Arcsin gráf és tulajdonságai. Inverz trigonometrikus függvények, grafikonjaik és képleteik

Inverz trigonometrikus függvények(körfüggvények, ívfüggvények) - matematikai függvények, amelyek inverzek a trigonometrikus függvényekkel.

arcszinusz(jelölése: arcsin x; arcsin x- ez a szög bűn egyenrangúi x).

arcszinusz (y = arcsin x) - inverz trigonometrikus függvény bűn (x = sin y), amelynek van egy tartománya és egy értékkészlete . Más szóval, az értékével adja vissza a szöget bűn.

Funkció y=sin x folytonos és a teljes számegyenese mentén korlátos. Funkció y=arcsin x- szigorúan növeli.

Az arcsin függvény tulajdonságai.

Arcsine cselekmény.

Az arcsin függvény beszerzése.

Van egy funkció y = sin x. Az egész definíciós tartományában darabonként monoton, tehát az inverz megfeleltetés y = arcsin x nem függvény. Ezért azt a szegmenst vesszük figyelembe, amelyen csak növekszik, és felvesszük az értéktartomány minden értékét - . Mert funkcióhoz y = sin x az intervallumon a függvény összes értékét az argumentum egyetlen értékével kapjuk meg, ami azt jelenti, hogy ezen az intervallumon van egy inverz függvény y = arcsin x, melynek gráfja szimmetrikus a függvény grafikonjára y = sin x viszonylag egyenes szakaszon y = x.

Az inverz trigonometrikus függvényekkel kapcsolatos problémák gyakran felmerülnek az iskolai záróvizsgákon és egyes egyetemeken a felvételi vizsgákon. A téma részletes tanulmányozása csak szabadon választható órákon vagy szabadon választható kurzusokon valósítható meg. A javasolt kurzus célja, hogy a lehető legteljesebb mértékben fejlessze minden tanuló képességeit, és javítsa matematikai felkészültségét.

A tanfolyam 10 órás:

1.Arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x függvények (4 óra).

2. Inverz trigonometrikus függvények műveletei (4 óra).

3. Inverz trigonometrikus műveletek trigonometrikus függvényeken (2 óra).

1. lecke (2 óra) Téma: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x függvények.

Cél: ennek a kérdésnek a teljes ismertetése.

1. Függvény y = arcsin x.

a) Az y = sin x függvényre a szakaszon van egy inverz (egyértékű) függvény, amit megegyeztünk, hogy arcszinusznak nevezünk és a következőképpen jelöljük: y = arcsin x. Az inverz függvény grafikonja szimmetrikus a főfüggvény grafikonjával az I - III koordinátaszögek felezőszöge tekintetében.

Az y = arcsin x függvény tulajdonságai.

1) Meghatározási terület: szegmens [-1; 1];

2) Változási terület: szegmens;

3) y függvény = arcsin x páratlan: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Az y = arcsin x függvény monoton növekszik;

5) A gráf origójában metszi az Ox, Oy tengelyeket.

Példa 1. Keresse meg a = arcsin. Ezt a példát a következőképpen lehet részletesen megfogalmazni: keressünk egy a -tól ig terjedő tartományban lévő argumentumot, amelynek szinusza egyenlő.

Megoldás. Számtalan érv létezik, amelyek szinusza egyenlő -val, például: stb. De minket csak a szegmensben szereplő érv érdekel. Ez lenne az érv. Így, .

2. példa Find .Megoldás. Ugyanúgy érvelve, mint az 1. példában, azt kapjuk .

b) szóbeli gyakorlatok. Keresse meg: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Válasz minta: , mert . Van-e értelme a kifejezéseknek: ; arcsin 1,5; ?

c) Rendezzük növekvő sorrendbe: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Függvények y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (hasonló).

2. lecke (2 óra) Témakör: Inverz trigonometrikus függvények, grafikonjaik.

Cél: ebben a leckében készségeket kell fejleszteni a trigonometrikus függvények értékeinek meghatározásában, az inverz trigonometrikus függvények grafikonjainak összeállításában D (y), E (y) és a szükséges transzformációk segítségével.

Ebben a leckében végezzen gyakorlatokat, amelyek magukban foglalják a definíciós tartomány megtalálását, a következő típusú függvények értéktartományát: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.

Készítsen grafikonokat a következő függvényekből: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y = arcsin;

d) y = arcsin; e) y = arcsin; e) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Példa.Ábrázoljuk y = arccos

A következő gyakorlatokat illesztheti be a házi feladatba: készítsen függvénygrafikonokat: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Inverz függvények grafikonjai

Cél: a matematikai ismeretek bővítése (ez a matematikai képzés fokozott követelményeivel rendelkező szakokra jelentkezők számára fontos) inverz trigonometrikus függvényekre vonatkozó alapvető összefüggések bevezetésével.

Anyag a leckéhez.

Néhány egyszerű trigonometrikus művelet inverz trigonometrikus függvényekkel: sin (arcsin x) = x , i xi ? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Feladatok.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

b) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Legyen arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;

cos (arcsin x) = ; sin (arccos x) = .

Megjegyzés: a gyökér elé vesszük a „+” jelet, mert a = arcsin x teljesíti a .

c) sin (1,5 + arcsin Válasz: );

d) ctg ( + arctg 3) Válasz: ;

e) tg ( – arcctg 4) Válasz: .

e) cos (0,5 + arccos). Válasz: .

Kiszámítja:

a) bűn (2 arctan 5) .

Legyen arctan 5 = a, majd sin 2 a = vagy bűn (2 arctan 5) = ;

b) cos ( + 2 arcsin 0,8) Válasz: 0,28.

c) arctg + arctg.

Legyen a = arctg, b = arctg,

akkor tg(a + b) = .

d) bűn (arcsin + arcsin).

e) Bizonyítsuk be, hogy minden x I [-1; 1] valódi arcsin x + arccos x = .

Bizonyíték:

arcsin x = – arccos x

sin (arcsin x) = bűn ( – arccos x)

x = cos (arccos x)

A megoldás saját kezűleg: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Otthoni megoldáshoz: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 – arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.

Cél: Ebben a leckében mutassa be az arányok használatát összetettebb kifejezések átalakítására.

Anyag a leckéhez.

ORÁLISAN:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);

c) sin (arctg -3), cos (arcсtg());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

ÍRÁSBAN:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg ( - arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Az önálló munka segít meghatározni az anyag elsajátításának szintjét.

Házi feladathoz ajánlhatja:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) sin(2 arctg); 5) tg ( (arcsin ))

Cél: a trigonometrikus függvényeken végzett inverz trigonometrikus műveletek megértésének kialakítása a hallgatókban, a tanult elmélet megértésének növelésére összpontosítva.

A téma tanulmányozása során feltételezzük, hogy a memorizálandó elméleti anyag mennyisége korlátozott.

Az óra anyaga:

Az y = arcsin (sin x) függvény tanulmányozásával és ábrázolásával kezdheti el az új anyagok tanulását.

3. Minden x I R y I-hez kapcsolódik, azaz.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. A függvény páratlan: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Grafikon y = arcsin (sin x) ezen:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin ( – x) = sin x, 0<= - x <= .

Így,

Miután megszerkesztettük y = arcsin (sin x) -on, szimmetrikusan folytatjuk az origó körül a [- ; 0], tekintettel ennek a függvénynek a furcsaságára. A periodicitás használatával a teljes számegyenesen haladunk tovább.

Ezután írjon le néhány összefüggést: arcsin (sin a) = a ha<= a <= ; arccos (cos a ) = a, ha 0<= a <= ; arctg (tg a) = a ha< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

És végezd el a következő gyakorlatokat:a) arccos(sin 2).Válasz: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6) Válasz: - 0,1; c) arctg (tg 2) Válasz: 2 - ;

d) arcctg(tg 0,6).Válasz: 0,9; e) arccos (cos ( - 2) Válasz: 2 - ; e) arcsin (sin ( - 0,6)). Válasz: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Válasz: 2 - ; h) аrcctg (tg 0,6). Válasz: - 0,6; - arctan x; e) arccos + arccos

Definíció és jelölés

Az Arcsine-t néha a következőképpen jelölik:
.

Az arcszinusz függvény grafikonja

Az y = függvény grafikonja arcsin x

Az arszinusz gráfot a szinuszgráfból kapjuk, ha az abszcissza és az ordináta tengely felcserélődik. A kétértelműség kiküszöbölése érdekében az értékek tartománya arra az intervallumra korlátozódik, amelyen keresztül a funkció monoton. Ezt a meghatározást az arcszinusz főértékének nevezzük.

Arccosine, arccos

Definíció és jelölés

Az arccosine-t néha a következőképpen jelölik:
.

Az ív koszinusz függvény grafikonja

Az y = függvény grafikonja arccos x

Az ív koszinusz gráfot a koszinusz gráfból kapjuk, ha az abszcissza és az ordináta tengely felcserélődik. A kétértelműség kiküszöbölése érdekében az értékek tartománya arra az intervallumra korlátozódik, amelyen keresztül a funkció monoton. Ezt a meghatározást az ív koszinusz főértékének nevezzük.

Paritás

Az arcszinusz függvény páratlan:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Az ív koszinusz függvény nem páros vagy páratlan:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Tulajdonságok - extrém, növekedés, csökkenés

Az arcszinusz és arkoszinusz függvények definíciós tartományukban folytonosak (lásd a folytonosság bizonyítását). Az arcszin és az arkoszin főbb tulajdonságait a táblázat mutatja be.

Táblázat az arcszinuszokról és az arkoszinuszokról

Ez a táblázat bemutatja az arcszinuszok és arkoszinuszok értékeit fokokban és radiánokban, az argumentum bizonyos értékeihez.

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Képletek

Összeg és különbség képletek

vagy

és

és

vagy

és

és

nál nél

nál nél

nál nél

nál nél

Kifejezések logaritmussal, komplex számokkal

Kifejezések hiperbolikus függvényeken keresztül

Származékok

;
.
Lásd az arcszin és arkoszin származékok származtatását >>>

Magasabb rendű származékok:
,
ahol egy fokú polinom. A képletek határozzák meg:
;
;
.

Lásd: Az arszinusz és az arkozin magasabb rendű származékai > > >

Integrálok

Megtesszük az x = helyettesítést bűn t. Alkatrészenként integrálunk, figyelembe véve, hogy -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, cos t ≥ 0:
.

Fejezzük ki az arc koszinuszát az arc szinuszon keresztül:
.

A sorozat bővítése

Amikor |x|< 1 a következő bomlás megy végbe:
;
.

Inverz függvények

Az arcszinusz és az arkoszinusz inverze szinusz, illetve koszinusz.

A következő képletek a teljes definíciós tartományban érvényesek:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

A következő képletek csak az arcszinusz és arkoszinusz értékek halmazára érvényesek:
arcsin(sin x) = x nál nél
arccos(cos x) = x nál nél .

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.