वीडियो सबक "सर्कल। कम्पास और शासक निर्माण

एक वृत्त एक बंद वक्र रेखा है, जिसका प्रत्येक बिंदु एक बिंदु O से समान दूरी पर स्थित होता है, जिसे केंद्र कहा जाता है।

वृत्त के किसी बिंदु को उसके केंद्र से जोड़ने वाली सीधी रेखाएं कहलाती हैं त्रिज्याआर।

वृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ने वाली और उसके केंद्र O से गुजरने वाली सीधी रेखा AB कहलाती है व्यासडी।

वृत्तों के भाग कहलाते हैं आर्क्स.

एक वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा सीडी कहलाती है तार.

सीधी रेखा МN, जिसमें वृत्त के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है, कहलाती है स्पर्शरेखा.

जीवा सीडी और चाप से घिरे वृत्त के भाग को कहते हैं खंड.

दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरे वृत्त के भाग को कहते हैं क्षेत्र.

वृत्त के केंद्र पर प्रतिच्छेद करने वाली दो परस्पर लंबवत क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाएं कहलाती हैं एक वृत्त की कुल्हाड़ियों.

KOA की दो त्रिज्याओं से बनने वाले कोण को कहते हैं केंद्र का कोना.

दो परस्पर लंबवत त्रिज्या 90 0 का कोण बनाएं और वृत्त के 1/4 को सीमित करें।

क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अक्षों के साथ एक वृत्त बनाएं जो इसे 4 बराबर भागों में विभाजित करता है। एक कम्पास या 45 0 पर एक वर्ग की सहायता से खींची गई दो परस्पर लंबवत रेखाएं वृत्त को 8 बराबर भागों में विभाजित करती हैं।

एक वृत्त का 3 और 6 बराबर भागों में विभाजन (3 बटा तीन का गुणज)

एक वृत्त को 3, 6 और उनमें से एक गुणज में विभाजित करने के लिए, हम दी गई त्रिज्या और संगत अक्षों का एक वृत्त खींचते हैं। विभाजन वृत्त के साथ क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु से शुरू हो सकता है। सर्कल की निर्दिष्ट त्रिज्या क्रमिक रूप से 6 बार जमा की जाती है। फिर वृत्त पर प्राप्त बिंदु एक के बाद एक सीधी रेखाओं से जुड़े होते हैं और एक नियमित उत्कीर्ण षट्भुज बनाते हैं। एक के माध्यम से बिंदुओं को जोड़ने से एक समबाहु त्रिभुज प्राप्त होता है, और वृत्त को तीन बराबर भागों में विभाजित करता है।

एक नियमित पेंटागन का निर्माण निम्नानुसार किया जाता है। हम वृत्त के व्यास के बराबर वृत्त के दो परस्पर लंबवत अक्ष खींचते हैं। चाप R1 का उपयोग करके क्षैतिज व्यास के दाहिने आधे हिस्से को आधे में विभाजित करें। इस खंड के मध्य में प्राप्त बिंदु "ए" से त्रिज्या आर 2 के साथ, एक गोलाकार चाप खींचें जब तक कि यह बिंदु "बी" पर क्षैतिज व्यास के साथ छेड़छाड़ न करे। बिंदु "1" से त्रिज्या R3 के साथ एक वृत्त का चाप तब तक खींचे जब तक कि वह किसी दिए गए वृत्त (बिंदु 5) के साथ प्रतिच्छेद न कर दे और एक नियमित पंचकोण की भुजा प्राप्त न कर ले। दूरी "बी-ओ" एक नियमित दशमलव का पक्ष देता है।

एक वृत्त को N-वें समान भागों में विभाजित करना (N भुजाओं से एक नियमित बहुभुज बनाना)

इसे निम्नानुसार किया जाता है। हम वृत्त की धुरी पर क्षैतिज और लंबवत परस्पर लंबवत खींचते हैं। वृत्त के शीर्ष बिंदु "1" से, एक मनमाना कोण पर लंबवत अक्ष पर एक सीधी रेखा खींचें। उस पर हम मनमानी लंबाई के समान खंड बिछाते हैं, जिनमें से संख्या उन भागों की संख्या के बराबर होती है जिनमें हम दिए गए सर्कल को विभाजित करते हैं, उदाहरण के लिए 9। अंतिम खंड का अंत ऊर्ध्वाधर व्यास के निचले बिंदु से जुड़ा है। . हम आस्थगित खंडों के छोर से ऊर्ध्वाधर व्यास के साथ चौराहे तक प्राप्त एक के समानांतर रेखाएँ खींचते हैं, इस प्रकार किसी दिए गए वृत्त के ऊर्ध्वाधर व्यास को दिए गए भागों में विभाजित करते हैं। वृत्त के व्यास के बराबर त्रिज्या के साथ, ऊर्ध्वाधर अक्ष के निचले बिंदु से एक चाप MN खींचे जब तक कि यह वृत्त के क्षैतिज अक्ष की निरंतरता के साथ प्रतिच्छेद न करे। बिंदु M और N से हम ऊर्ध्वाधर व्यास के सम (या विषम) विभाजन बिंदुओं के माध्यम से किरणें तब तक खींचते हैं जब तक कि वे वृत्त के साथ प्रतिच्छेद न कर दें। सर्कल के प्राप्त खंड आवश्यक होंगे, क्योंकि अंक 1, 2,…. 9 सर्कल को 9 (एन) बराबर भागों में विभाजित करें।

वह वाक्य जो किसी विशेष पद या नाम का अर्थ स्पष्ट करता हो, कहलाता है परिभाषित करने... हम पहले ही परिभाषाओं के साथ मिल चुके हैं, उदाहरण के लिए, एक कोण की परिभाषा, आसन्न कोण, एक समद्विबाहु त्रिभुज, आदि। आइए हम एक अन्य ज्यामितीय आकृति की परिभाषा दें - एक वृत्त।

परिभाषा

इस बिंदु को कहा जाता है सर्कल का केंद्र, और केंद्र को वृत्त के किसी भी बिंदु से जोड़ने वाला खंड है वृत्त त्रिज्या(अंजीर। 77)। वृत्त की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि सभी त्रिज्याओं की लंबाई समान होती है।

चावल। 77

वृत्त के दो बिन्दुओं को जोड़ने वाले खण्ड को जीवा कहते हैं। वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली जीवा कहलाती है व्यास.

चित्र 78 में, खंड AB और EF वृत्त की जीवाएँ हैं, खंड CD वृत्त का व्यास है। जाहिर है, वृत्त का व्यास इसकी त्रिज्या का दोगुना है। वृत्त का केंद्र किसी भी व्यास का मध्यबिंदु होता है।

चावल। 78

वृत्त के कोई भी दो बिंदु इसे दो भागों में विभाजित करते हैं। इनमें से प्रत्येक भाग को वृत्ताकार चाप कहा जाता है। चित्र 79 में, ALB और AMB बिंदु A और B से घिरे चाप हैं।

चावल। 79

ड्राइंग में एक वृत्त को चित्रित करने के लिए, उपयोग करें दिशा सूचक यंत्र(अंजीर। 80)।

चावल। 80

जमीन पर एक वृत्त खींचने के लिए, आप एक रस्सी (अंजीर। 81) का उपयोग कर सकते हैं।

चावल। 81

एक वृत्त से घिरे समतल के भाग को वृत्त कहते हैं (चित्र 82)।

चावल। 82

कम्पास और शासक निर्माण

हम पहले से ही ज्यामितीय निर्माणों से निपट चुके हैं: हमने सीधी रेखाएँ खींचीं, डेटा के बराबर खंड बनाए, कोण, त्रिभुज और अन्य आकृतियाँ बनाईं। ऐसा करने में, हमने एक स्केल रूलर, परकार, प्रोट्रैक्टर, ड्रॉइंग स्क्वायर का उपयोग किया।

यह पता चला है कि कई निर्माण केवल एक कंपास और एक शासक का उपयोग करके स्केल डिवीजनों के बिना किया जा सकता है। इसलिए, ज्यामिति में, उन निर्माण कार्यों को विशेष रूप से प्रतिष्ठित किया जाता है, जिन्हें केवल इन दो उपकरणों का उपयोग करके हल किया जाता है।

आप उनके साथ क्या कर सकते हैं? यह स्पष्ट है कि रूलर आपको एक मनमानी सीधी रेखा खींचने की अनुमति देता है, साथ ही दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा भी बनाता है। एक कंपास का उपयोग करके, आप मनमानी त्रिज्या का एक चक्र बना सकते हैं, साथ ही किसी दिए गए बिंदु पर एक केंद्र के साथ एक सर्कल और किसी दिए गए सेगमेंट के बराबर त्रिज्या बना सकते हैं। इन सरल कार्यों को करने से, हम कई दिलचस्प निर्माण समस्याओं को हल करने में सक्षम होंगे:

दिए गए कोण के बराबर कोण बनाएं;
इस बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें, इस सीधी रेखा के लंबवत;
इस खंड को आधे और अन्य कार्यों में विभाजित करें।

आइए एक साधारण कार्य से शुरू करें।

टास्क

किसी दी गई किरण पर इसकी शुरुआत से दिए गए एक के बराबर एक खंड को स्थगित करने के लिए।

समाधान

आइए समस्या की स्थिति में दिए गए आंकड़ों को चित्रित करें: किरण ओएस और खंड एबी (चित्र। 83, ए)। फिर, एक परकार के साथ, हम केंद्र O के साथ त्रिज्या AB का एक वृत्त बनाते हैं (चित्र 83, b)। यह वृत्त OS किरण को किसी बिंदु D पर काटेगा। खंड OD आवश्यक है।

चावल। 83

निर्माण कार्यों के उदाहरण

दिए गए कोण के बराबर कोण बनाना

टास्क

दी गई किरण से अलग दिए गए कोण के बराबर कोण सेट करें।

समाधान

शीर्ष A और किरण के साथ यह कोण चित्र 84 में दिखाया गया है। कोण के बराबर कोण बनाना आवश्यक है, ताकि इसकी एक भुजा किरण के साथ मेल खाए।

चावल। 84

आइए दिए गए कोण के शीर्ष A पर केंद्रित मनमानी त्रिज्या का एक वृत्त बनाएं। यह वृत्त कोने की भुजाओं को बिंदु B और C पर काटता है (चित्र 85, a)। फिर हम दी गई किरण OM पर केन्द्रित समान त्रिज्या का एक वृत्त खींचते हैं। यह किरण को बिंदु D पर पार करती है (चित्र 85, b)। उसके बाद हम केंद्र D के साथ एक वृत्त का निर्माण करेंगे, जिसकी त्रिज्या BC के बराबर है। O और D केंद्रों वाले वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। हम इनमें से किसी एक बिंदु को E अक्षर से निरूपित करते हैं। आइए हम सिद्ध करें कि कोण MOE वांछित है।

चावल। 85

त्रिभुज ABC और ODE पर विचार करें। खंड AB और AC केंद्र A वाले वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, और खंड OD और OE केंद्र O वाले वृत्त की त्रिज्याएँ हैं (चित्र 85, b देखें)। चूँकि, रचना से, इन वृत्तों की त्रिज्याएँ समान हैं, तो AB = OD, AC = OE। रचना द्वारा भी = DE।

अत: तीन भुजाओं पर ABC = ODE है। अतः DOE = BAC, अर्थात् निर्मित कोण MOE दिए गए कोण A के बराबर है।

यदि आप कंपास के बजाय रस्सी का उपयोग करते हैं तो वही निर्माण जमीन पर किया जा सकता है।

कोण के द्विभाजक को प्लॉट करना

टास्क

दिए गए कोण के समद्विभाजक की रचना कीजिए।

समाधान

यह कोण बीएसी चित्र 86 में दिखाया गया है। शीर्ष ए पर केंद्रित मनमानी त्रिज्या का एक चक्र बनाएं। यह बिंदु बी और सी पर कोण के किनारों को काटेगा।

चावल। 86

फिर हम एक ही त्रिज्या BC के दो वृत्त खींचते हैं जिनके केंद्र बिंदु B और C पर हैं (इन वृत्तों के केवल कुछ भाग चित्र में दिखाए गए हैं)। वे दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेंगे, जिनमें से कम से कम एक कोने के अंदर होगा। आइए इसे अक्षर E से निरूपित करें। आइए सिद्ध करें कि किरण AE दिए गए कोण BAC का समद्विभाजक है।

त्रिभुज ACE और ABE पर विचार करें। वे तीन तरफ बराबर हैं। वास्तव में, AE एक सामान्य पक्ष है; AC और AB एक ही वृत्त की त्रिज्या के बराबर हैं; सीई = बीई निर्माण द्वारा।

त्रिभुज ACE और ABE की समानता से, यह इस प्रकार है कि ∠CAE = BAE, अर्थात् किरण AE दिए गए कोण BAC का समद्विभाजक है।

टिप्पणी

क्या कम्पास और रूलर की सहायता से दिए गए कोण को दो बराबर कोणों में विभाजित करना संभव है? यह स्पष्ट है कि यह संभव है - इसके लिए आपको इस कोण के द्विभाजक को खींचने की आवश्यकता है।

इस कोण को भी चार बराबर कोणों में विभाजित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको इसे आधे में विभाजित करने की आवश्यकता है, और फिर प्रत्येक आधे को फिर से आधे में विभाजित करें।

क्या कम्पास और रूलर की सहायता से इस कोण को तीन बराबर कोणों में विभाजित करना संभव है? यह कार्य, डब किया गया कोण ट्रिसेक्शन समस्याएंसदियों से गणितज्ञों का ध्यान आकर्षित किया है। केवल उन्नीसवीं शताब्दी में ही यह साबित हो गया था कि इस तरह का निर्माण एक मनमाना कोण के लिए असंभव है।

लंबवत रेखाएँ खींचना

टास्क

एक सीधी रेखा और उस पर एक बिंदु दिया गया है। किसी दिए गए बिंदु से होकर इस रेखा पर लंबवत एक रेखा की रचना करें।

समाधान

इस रेखा से संबंधित यह रेखा a और दिया गया बिंदु M चित्र 87 में दिखाया गया है।

चावल। 87

सीधी रेखा a की किरणों पर, बिंदु M से बाहर जाने पर, हम समान खंडों MA और MB को स्थगित करते हैं। फिर हम त्रिज्या AB के केंद्र A और B वाले दो वृत्त बनाएंगे। वे दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं: P और Q।

आइए हम बिंदु M और इनमें से एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं, उदाहरण के लिए, सीधी रेखा MP (चित्र 87 देखें), और साबित करें कि यह रेखा आवश्यक है, अर्थात यह दी गई रेखा पर लंबवत है लाइन ए.

वास्तव में, चूँकि समद्विबाहु त्रिभुज PAB का माध्य PM भी ऊँचाई है, PM a।

एक रेखाखंड का मध्यबिंदु बनाएं

टास्क

इस खण्ड के मध्य बिन्दु की रचना कीजिए।

समाधान

मान लीजिए AB एक दिया हुआ खंड है। आइए त्रिज्या AB के केंद्र A और B वाले दो वृत्त बनाएं। वे बिंदु P और Q पर प्रतिच्छेद करते हैं। रेखा PQ खींचते हैं। खंड AB के साथ इस रेखा के प्रतिच्छेदन का बिंदु O खंड AB का वांछित मध्यबिंदु है।

वास्तव में, त्रिभुज APQ और BPQ तीन भुजाओं पर बराबर हैं, इसलिए ∠1 = 2 (आकृति 89)।

चावल। 89

नतीजतन, खंड PO समद्विबाहु त्रिभुज APB का द्विभाजक है, और इसलिए माध्यिका, अर्थात बिंदु O खंड AB का मध्यबिंदु है।

कार्य

143. चित्र 90 में दिखाए गए खंडों में से कौन से हैं: क) वृत्त की जीवाएँ; बी) सर्कल के व्यास; ग) वृत्त की त्रिज्या?

चावल। 90

144. खंड AB और CD - एक वृत्त के व्यास। सिद्ध कीजिए कि: a) जीवाएँ BD और AC बराबर हैं; b) जीवाएँ AD और BC बराबर हैं; ग) BAD = BCD।

145. खंड एमके - केंद्र ओ के साथ एक सर्कल का व्यास, और एमपी और पीके - इस सर्कल के बराबर जीवा। POM ज्ञात कीजिए।

146. खंड AB और CD - केंद्र O वाले एक वृत्त के व्यास। त्रिभुज AOD का परिमाप ज्ञात कीजिए, यदि यह ज्ञात है कि CB = 13 सेमी, AB = 16 सेमी।

147. O केंद्र वाले एक वृत्त पर बिंदु A और B इस प्रकार अंकित हैं कि कोण AOB एक सीधी रेखा है। खंड ईसा पूर्व - वृत्त का व्यास। सिद्ध कीजिए कि जीवाएँ AB और AC बराबर हैं।

148. सीधी रेखा पर दो बिंदु A और B दिए गए हैं। किरण B A के विस्तार पर, खंड BC को अलग रखें ताकि BC = 2AB हो।

149. एक सीधी रेखा a, एक बिंदु B जो उस पर नहीं पड़ता है, और एक खंड PQ दिया गया है। रेखा a पर एक बिंदु M की रचना कीजिए ताकि BM = PQ हो। क्या किसी समस्या का हमेशा समाधान होता है?

150. एक वृत्त दिया गया है, बिंदु A, उस पर नहीं पड़ा है, और एक खंड PQ है। वृत्त पर एक बिंदु M की रचना कीजिए ताकि AM = PQ हो। क्या किसी समस्या का हमेशा समाधान होता है?

151. एक न्यून कोण BAC और किरण XY दिए गए हैं। YXZ कोने की रचना कीजिए ताकि YXZ = 2∠BAC हो।

152. एक अधिक कोण AOB दिया गया है। OX बीम की रचना इस प्रकार कीजिए कि कोण XOA और XOB बराबर अधिक कोण हों।

153. आपको एक सीधी रेखा a और एक बिंदु M दिया गया है जो उस पर नहीं पड़ता है। बिंदु M से होकर जाने वाली रेखा की रचना करें और रेखा a पर लंबवत।

समाधान

दिए गए बिंदु M पर केन्द्रित एक वृत्त की रचना कीजिए, जो दी गई रेखा a को दो बिंदुओं पर काटता है, जिसे हम अक्षर A और B से प्रदर्शित करते हैं (चित्र 91)। फिर हम दो वृत्त बनाते हैं जिनमें केंद्र A और B बिंदु M से होकर गुजरते हैं। ये वृत्त बिंदु M पर और एक और बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे हम N अक्षर से निरूपित करते हैं। हम एक रेखा MN खींचते हैं और साबित करते हैं कि यह रेखा आवश्यक है, अर्थात्, यह सीधे a के लंबवत है।

चावल। 91

वास्तव में, त्रिभुज AMN और BMN तीन भुजाओं पर बराबर हैं, इसलिए ∠1 = 2। यह इस प्रकार है कि खंड एमसी (सी लाइन ए और एमएन के चौराहे का बिंदु है) समद्विबाहु त्रिभुज एएमबी का द्विभाजक है, और इसलिए ऊंचाई। अत: MN AB, अर्थात् MN a.

154. त्रिभुज ABC दिया है। निर्माण: ए) द्विभाजक एके; बी) वीएम की माध्यिका; सी) सीएच त्रिकोण की ऊंचाई। 155. एक कंपास और रूलर का उपयोग करके, बराबर कोण बनाएं: a) 45 °; बी) 22 ° 30 "।

समस्याओं के उत्तर

152. संकेत। सबसे पहले, कोण AOB के समद्विभाजक की रचना कीजिए।

1 परिधि। बुनियादी अवधारणाओं

गणित में, ऐसे वाक्य होते हैं जो किसी विशेष नाम या अभिव्यक्ति का अर्थ बताते हैं। ऐसे वाक्यों को परिभाषा कहा जाता है।

आइए एक वृत्त की अवधारणा को परिभाषित करें। एक वृत्त एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें किसी दिए गए बिंदु से दी गई दूरी पर स्थित विमान के सभी बिंदु होते हैं।

यह बिंदु, चलो इसे बिंदु O कहते हैं, वृत्त का केंद्र कहलाता है।

केंद्र को वृत्त के किसी भी बिंदु से जोड़ने वाले खंड को वृत्त की त्रिज्या कहा जाता है। आप ऐसे बहुत से खंड बना सकते हैं, उदाहरण के लिए, OA, OV, OS। वे सभी समान लंबाई के होंगे।

वृत्त के दो बिन्दुओं को जोड़ने वाले खण्ड को जीवा कहते हैं। MN वृत्त की जीवा है।

वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली जीवा को व्यास कहते हैं। AB वृत्त का व्यास है। व्यास में दो त्रिज्याएँ होती हैं, जिसका अर्थ है कि व्यास की लंबाई त्रिज्या से दोगुनी है। वृत्त का केंद्र किसी भी व्यास का मध्यबिंदु होता है।

वृत्त के कोई भी दो बिंदु इसे दो भागों में विभाजित करते हैं। इन भागों को वृत्ताकार चाप कहते हैं।

NВ और АМВ गोलाकार चाप हैं।

समतल का वह भाग जो वृत्त से घिरा होता है वृत्त कहलाता है।

ड्राइंग में एक वृत्त को चित्रित करने के लिए, एक कंपास का उपयोग करें। जमीन पर भी वृत्त खींचा जा सकता है। ऐसा करने के लिए, बस एक रस्सी का उपयोग करें। रस्सी के एक सिरे को ज़मीन में धँसी एक खूंटी से जोड़ दें, और दूसरे सिरे से एक वृत्त खींच लें।

§ 2 कंस्ट्रक्शन कंपास और रूलर के साथ

ज्यामिति में, कई निर्माण केवल एक कम्पास और एक शासक का उपयोग करके बिना पैमाने के विभाजन के किए जा सकते हैं।

केवल एक रूलर का उपयोग करके, आप एक मनमानी सीधी रेखा, साथ ही किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक मनमानी सीधी रेखा या दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा खींच सकते हैं।

कम्पास आपको मनमाने त्रिज्या का एक वृत्त खींचने की अनुमति देता है, साथ ही एक वृत्त जिसमें एक बिंदु पर एक केंद्र होता है और एक दिए गए खंड के बराबर त्रिज्या होती है।

अलग-अलग, इनमें से प्रत्येक उपकरण सबसे सरल निर्माण करना संभव बनाता है, लेकिन इन दो उपकरणों की मदद से आप पहले से ही अधिक जटिल ऑपरेशन कर सकते हैं, उदाहरण के लिए,

निर्माण समस्याओं को हल करें जैसे कि

दिए गए कोण के बराबर कोण की रचना कीजिए,

दी गई भुजाओं से एक त्रिभुज की रचना कीजिए,

खंड को आधा में विभाजित करें,

इस बिंदु के माध्यम से, इस सीधी रेखा के लंबवत एक सीधी रेखा खींचें, आदि।

आइए समस्या पर विचार करें।

कार्य: किसी दी गई किरण पर उसकी शुरुआत से, दिए गए एक के बराबर एक खंड बिछाएं।

बीम ओएस और सेगमेंट एबी दिए गए हैं। खंड AB के बराबर एक खंड OD बनाना आवश्यक है।

एक कम्पास का उपयोग करके, बिंदु O पर केंद्रित खंड AB की लंबाई के बराबर त्रिज्या का एक वृत्त बनाएं। यह वृत्त इस किरण OS को किसी बिंदु D पर काटेगा। खंड OD आवश्यक खंड है।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

1. ज्यामिति। 7-9 ग्रेड: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए। संगठन / एल.एस. अतानास्यान, वी.एफ. बुटुज़ोव, एस.बी. कदोमत्सेव और अन्य - एम।: शिक्षा, 2013 ।-- 383 पी।: बीमार।
2. गैवरिलोवा एन.एफ. ज्यामिति ग्रेड 7 में पाठ विकास। - एम।: "वाको", 2004. - 288 एस। - (स्कूल शिक्षक की मदद करने के लिए)।
3. ओ. बेलित्सकाया ज्यामिति। 7 वीं कक्षा। भाग 1। परीक्षण। - सेराटोव: लिसेयुम, 2014 .-- 64 पी।

लकड़ी के हिस्सों का निर्माण या प्रसंस्करण करते समय, कुछ मामलों में यह निर्धारित करना आवश्यक होता है कि उनका ज्यामितीय केंद्र कहाँ है। यदि भाग का आकार चौकोर या आयताकार है, तो ऐसा करना मुश्किल नहीं है। यह विपरीत कोनों को विकर्णों से जोड़ने के लिए पर्याप्त है, जो बिल्कुल हमारे आंकड़े के केंद्र में प्रतिच्छेद करेंगे।
उन उत्पादों के लिए जिनके पास एक सर्कल का आकार है, यह समाधान काम नहीं करेगा, क्योंकि उनके पास कोई कोना नहीं है, और इसलिए कोई विकर्ण नहीं है। इस मामले में, आपको विभिन्न सिद्धांतों के आधार पर किसी अन्य दृष्टिकोण की आवश्यकता है।

और वे मौजूद हैं, और कई रूपों में। उनमें से कुछ काफी जटिल हैं और कई उपकरणों की आवश्यकता होती है, अन्य को लागू करना आसान होता है और उन्हें लागू करने के लिए उपकरणों के पूरे सेट की आवश्यकता नहीं होती है।
अब हम केवल एक नियमित रूलर और पेंसिल का उपयोग करके वृत्त के केंद्र को खोजने के सबसे आसान तरीकों में से एक को देखेंगे।

वृत्त का केंद्र ज्ञात करने का क्रम: