एक वृत्त में घूमते समय गति की गति। एक स्थिर मापांक गति के साथ एक वृत्त में किसी पिंड की गति
इस पाठ में, हम वक्ररेखीय गति, अर्थात् एक वृत्त में किसी पिंड की एकसमान गति पर विचार करेंगे। हम सीखेंगे कि जब कोई पिंड एक वृत्त में घूमता है तो रैखिक गति, अभिकेन्द्रीय त्वरण क्या होता है। हम उन मात्राओं का भी परिचय देते हैं जो घूर्णी गति (रोटेशन अवधि, घूर्णन आवृत्ति, कोणीय वेग) की विशेषता बताती हैं, और इन मात्राओं को एक दूसरे से जोड़ते हैं।
किसी वृत्त में एकसमान गति से यह समझा जाता है कि वस्तु किसी भी समान अवधि के लिए एक ही कोण से घूमती है (चित्र 6 देखें)।
चावल। 6. एकसमान वृत्ताकार गति
अर्थात्, तात्कालिक गति का मॉड्यूल नहीं बदलता है:
इस गति को कहा जाता है रेखीय.
हालाँकि गति का मापांक नहीं बदलता, गति की दिशा लगातार बदलती रहती है। बिंदुओं पर वेग सदिशों पर विचार करें एऔर बी(चित्र 7 देखें)। वे अलग-अलग दिशाओं में निर्देशित हैं, इसलिए वे समान नहीं हैं। यदि बिंदु पर गति से घटा दिया जाए बीबिंदु गति ए, हमें एक वेक्टर मिलता है .
चावल। 7. वेग सदिश
गति में परिवर्तन () का उस समय से अनुपात जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ () त्वरण है।
इसलिए, कोई भी वक्ररेखीय गति त्वरित हो जाती है.
यदि हम चित्र 7 में प्राप्त वेग त्रिभुज पर विचार करें, तो बिंदुओं की बहुत करीबी व्यवस्था के साथ एऔर बीएक दूसरे से, वेग सदिशों के बीच का कोण (α) शून्य के करीब होगा:
यह भी ज्ञात है कि यह त्रिभुज समद्विबाहु है, इसलिए वेग के मापांक बराबर (समान गति) हैं:
इसलिए, इस त्रिभुज के आधार पर दोनों कोण अनिश्चित काल तक करीब हैं:
इसका मतलब यह है कि वेक्टर के साथ निर्देशित त्वरण वास्तव में स्पर्शरेखा के लंबवत है। यह ज्ञात है कि किसी वृत्त में स्पर्शरेखा के लंबवत रेखा एक त्रिज्या होती है, इसलिए त्वरण वृत्त के केंद्र की ओर त्रिज्या के अनुदिश निर्देशित होता है। इस त्वरण को अभिकेन्द्रीय त्वरण कहते हैं।
चित्र 8 पहले चर्चा किए गए वेगों के त्रिभुज और एक समद्विबाहु त्रिभुज को दर्शाता है (दो भुजाएँ एक वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)। ये त्रिभुज समरूप हैं, क्योंकि उनमें परस्पर लंबवत रेखाओं से बने कोण समान होते हैं (त्रिज्या, वेक्टर की तरह, स्पर्शरेखा के लंबवत होती है)।
चावल। 8. अभिकेन्द्रीय त्वरण सूत्र की व्युत्पत्ति के लिए चित्रण
रेखा खंड अबचाल है(). हम एकसमान वृत्ताकार गति पर विचार कर रहे हैं, इसलिए:
परिणामी अभिव्यक्ति को इसके स्थान पर रखें अबत्रिभुज समरूपता सूत्र में:
"रैखिक गति", "त्वरण", "समन्वय" की अवधारणाएं घुमावदार प्रक्षेपवक्र के साथ आंदोलन का वर्णन करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं। इसलिए, घूर्णी गति की विशेषता वाली मात्राओं का परिचय देना आवश्यक है।
1. घूर्णन अवधि (टी ) एक संपूर्ण क्रांति का समय कहा जाता है। इसे सेकंड में SI इकाइयों में मापा जाता है।
अवधियों के उदाहरण: पृथ्वी अपनी धुरी पर 24 घंटे () में और सूर्य के चारों ओर 1 वर्ष () में घूमती है।
अवधि की गणना का सूत्र:
कुल घूर्णन समय कहाँ है; - क्रांतियों की संख्या।
2. घूर्णन आवृत्ति (एन ) - समय की प्रति इकाई शरीर द्वारा किए जाने वाले चक्करों की संख्या। इसे पारस्परिक सेकंड में एसआई इकाइयों में मापा जाता है।
आवृत्ति ज्ञात करने का सूत्र:
कुल घूर्णन समय कहाँ है; - क्रांतियों की संख्या
आवृत्ति और अवधि व्युत्क्रमानुपाती होती हैं:
3. कोणीय वेग () उस कोण में परिवर्तन का अनुपात कहा जाता है जिस पर शरीर मुड़ता है और उस समय के दौरान जब यह मोड़ होता है। इसे सेकंड से विभाजित रेडियन में एसआई इकाइयों में मापा जाता है।
कोणीय वेग ज्ञात करने का सूत्र:
कोण में परिवर्तन कहाँ है; वह समय है जो मोड़ आने में लगा।
किसी दिए गए प्रक्षेपवक्र के साथ कण गति का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला गोलाकार गति है। वृत्त पर कण की स्थिति (चित्र 46) किसी प्रारंभिक बिंदु A से दूरी निर्दिष्ट करके नहीं, बल्कि वृत्त के केंद्र O से कण तक खींची गई त्रिज्या द्वारा बनाए गए कोण को निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट की जा सकती है। आरंभिक बिंदु A तक.
प्रक्षेप पथ के साथ गति की गति के साथ-साथ, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है
कोण के परिवर्तन की दर को दर्शाने वाले कोणीय वेग का परिचय देना सुविधाजनक है
प्रक्षेप पथ के अनुदिश गति की गति को रैखिक गति भी कहा जाता है। आइए हम रैखिक और कोणीय वेगों के बीच संबंध स्थापित करें। जिस चाप पर मैं कोण बना रहा हूं उसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या है और कोण को रेडियन में मापा जाता है। इसलिए, कोणीय वेग ω भी संबंध द्वारा रैखिक वेग से संबंधित है
चावल। 46. कोण वृत्त पर एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करता है
एक वृत्त के साथ चलते समय त्वरण, साथ ही मनमाने ढंग से घुमावदार गति के दौरान, आम तौर पर दो घटक होते हैं: स्पर्शरेखा, वृत्त की ओर स्पर्शरेखा की ओर निर्देशित और वेग मान में परिवर्तन की गति को दर्शाता है, और सामान्य, वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित और विशेषता गति की दिशा में परिवर्तन की गति.
त्वरण के सामान्य घटक का मान, जिसे इस मामले में (वृत्ताकार गति) सेंट्रिपेटल त्वरण कहा जाता है, सामान्य सूत्र (3) § 8 द्वारा दिया जाता है, जिसमें रैखिक वेग को अब सूत्र (3) का उपयोग करके कोणीय वेग के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है ):
यहाँ वृत्त की त्रिज्या, निश्चित रूप से, प्रक्षेप पथ के सभी बिंदुओं के लिए समान है।
एक वृत्त में एकसमान गति के साथ, जब मान स्थिर होता है, तो कोणीय वेग ω, जैसा कि (3) से देखा जा सकता है, भी स्थिर होता है। इस मामले में, इसे कभी-कभी चक्रीय आवृत्ति भी कहा जाता है।
अवधि और आवृत्ति.एक वृत्त में एकसमान गति को चिह्नित करने के लिए, इसके साथ क्रांति की अवधि टी का उपयोग करना सुविधाजनक है, जिसे उस समय के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके दौरान एक पूर्ण क्रांति की जाती है, और आवृत्ति - अवधि टी का व्युत्क्रम, जो के बराबर है प्रति इकाई समय में क्रांतियों की संख्या:
कोणीय वेग की परिभाषा (2) से मात्राओं के बीच संबंध का पता चलता है
यह संबंध हमें अभिकेन्द्रीय त्वरण के लिए सूत्र (4) को निम्नलिखित रूप में भी लिखने की अनुमति देता है:
ध्यान दें कि कोणीय वेग ω को रेडियन प्रति सेकंड में मापा जाता है, और आवृत्ति को प्रति सेकंड क्रांतियों में मापा जाता है। और के साथ आयाम समान हैं क्योंकि ये मात्राएँ केवल एक संख्यात्मक कारक से भिन्न होती हैं
काम
रिंग रोड के किनारे. खिलौना रेलवे की पटरियाँ एक त्रिज्या वलय बनाती हैं (चित्र 47)। ट्रेलर उनके साथ-साथ चलता है, एक रॉड द्वारा धकेला जाता है जो रिंग के अंदर लगभग रेल की पटरी पर स्थित एक बिंदु के चारों ओर निरंतर कोणीय वेग से घूमता है। ट्रेलर के चलते समय उसकी गति कैसे बदल जाती है?
चावल। 47. रिंग रोड पर वाहन चलाते समय कोणीय वेग ज्ञात करना
समाधान। एक छड़ द्वारा एक निश्चित दिशा में बनाया गया कोण एक रैखिक नियम के अनुसार समय के साथ बदलता है:। जिस दिशा से कोण मापा जाता है, उसके लिए बिंदु से गुजरने वाले वृत्त के व्यास को लेना सुविधाजनक होता है (चित्र 47)। बिंदु O वृत्त का केंद्र है। जाहिर है, केंद्रीय कोण जो सर्कल पर ट्रेलर की स्थिति निर्धारित करता है, उसी चाप के आधार पर अंकित कोण का दोगुना होता है: इसलिए, रेल के साथ चलते समय ट्रेलर से कोणीय वेग उस कोणीय वेग से दोगुना होता है जिसके साथ रॉड घूमती है:
इस प्रकार, ट्रेलर से कोणीय वेग स्थिर रहा। इसका मतलब है कि ट्रेलर पटरियों पर समान रूप से चलता है। इसकी रेखीय गति स्थिर एवं समान होती है
एक वृत्त में ऐसी समान गति के साथ ट्रेलर का त्वरण हमेशा केंद्र O की ओर निर्देशित होता है, और इसका मॉड्यूल अभिव्यक्ति (4) द्वारा दिया जाता है:
सूत्र (4) देखें। इसे कैसे समझा जाना चाहिए: क्या त्वरण अभी भी आनुपातिक है या व्युत्क्रमानुपाती है?
बताएं कि, एक वृत्त के अनुदिश असमान गति के साथ, कोणीय वेग अपना अर्थ तो बरकरार रखता है, लेकिन अपना अर्थ खो देता है?
एक सदिश के रूप में कोणीय वेग.कुछ मामलों में, कोणीय वेग को एक वेक्टर के रूप में मानना सुविधाजनक होता है, जिसका मापांक उस तल के लंबवत एक स्थिर दिशा है जिसमें वृत्त स्थित है। ऐसे वेक्टर का उपयोग करके, कोई (3) के समान एक सूत्र लिख सकता है, जो एक वृत्त में घूम रहे कण के वेग वेक्टर को व्यक्त करता है।
चावल। 48. कोणीय वेग वेक्टर
हम मूल बिंदु को वृत्त के केंद्र O पर रखते हैं। फिर, जब कण चलता है, तो इसका त्रिज्या वेक्टर केवल कोणीय वेग ω के साथ घूमेगा, और इसका मापांक हमेशा वृत्त की त्रिज्या के बराबर होता है (चित्र 48)। यह देखा जा सकता है कि वृत्त पर स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित वेग वेक्टर को कोणीय वेग वेक्टर ω और कण के त्रिज्या वेक्टर के वेक्टर उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है:
वेक्टर उत्पाद.परिभाषा के अनुसार, दो वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद उस विमान के लंबवत एक वेक्टर होता है जिसमें गुणा किए गए वैक्टर स्थित होते हैं। वेक्टर उत्पाद दिशा का चुनाव निम्नलिखित नियम के अनुसार किया जाता है। पहले गुणक को मानसिक रूप से दूसरे की ओर घुमाया जाता है, जैसे कि वह रिंच का हैंडल हो। वेक्टर उत्पाद को उसी दिशा में निर्देशित किया जाता है जिस दिशा में दाएँ हाथ का पेंच चलता है।
यदि वेक्टर उत्पाद के कारकों को आपस में बदल दिया जाता है, तो यह विपरीत दिशा में बदल जाएगा: इसका मतलब है कि वेक्टर उत्पाद गैर-क्रमविनिमेय है।
अंजीर से. 48 यह देखा जा सकता है कि सूत्र (8) वेक्टर के लिए सही दिशा देगा यदि वेक्टर सह को ठीक उसी तरह निर्देशित किया गया है जैसा कि इस आंकड़े में दिखाया गया है। इसलिए, हम निम्नलिखित नियम बना सकते हैं: कोणीय वेग वेक्टर की दिशा दाहिने हाथ के धागे के साथ एक पेंच की गति की दिशा से मेल खाती है, जिसका सिर उसी दिशा में घूमता है जैसे कण एक सर्कल में चलता है।
परिभाषा के अनुसार, क्रॉस उत्पाद का मॉड्यूल उनके बीच के कोण की साइन द्वारा गुणा किए गए वैक्टर के मॉड्यूल के उत्पाद के बराबर है:
सूत्र (8) में, गुणित सदिश w और एक दूसरे के लंबवत हैं, इसलिए, जैसा कि सूत्र (3) के अनुसार होना चाहिए।
दो समानांतर सदिशों के क्रॉस उत्पाद के बारे में क्या कहा जा सकता है?
घड़ी की सुई के कोणीय वेग वेक्टर की दिशा क्या है? ये सदिश मिनट और घंटे की सूइयों के लिए किस प्रकार भिन्न हैं?
एकसमान वृत्तीय गतिसबसे सरल उदाहरण है. उदाहरण के लिए, घड़ी की सुई का सिरा वृत्त के डायल के साथ घूमता है। वृत्त में किसी पिंड की गति कहलाती है लाइन की गति.
एक वृत्त के अनुदिश पिंड की एकसमान गति के साथ, पिंड के वेग का मापांक समय के साथ नहीं बदलता है, अर्थात, v = const, लेकिन इस मामले में केवल वेग वेक्टर की दिशा बदलती है (ar = 0), और दिशा में वेग वेक्टर में परिवर्तन को एक मान द्वारा दर्शाया जाता है जिसे कहा जाता है केन्द्राभिमुख त्वरण() एक एन या एक सीए. प्रत्येक बिंदु पर, अभिकेंद्रीय त्वरण वेक्टर त्रिज्या के साथ वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
अभिकेन्द्रीय त्वरण का मापांक बराबर होता है
ए सीएस = वी 2 / आर
जहाँ v रैखिक गति है, R वृत्त की त्रिज्या है
चावल। 1.22. शरीर का एक वृत्त में घूमना।
वृत्त में किसी पिंड की गति का वर्णन करते समय, इसका प्रयोग करें त्रिज्या मोड़ कोणवह कोण φ है जिसके द्वारा वृत्त के केंद्र से उस बिंदु तक खींची गई त्रिज्या जहां उस समय गतिमान पिंड है, समय t में घूमती है। घूर्णन कोण को रेडियन में मापा जाता है। वृत्त की दो त्रिज्याओं के बीच के कोण के बराबर, जिनके बीच चाप की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है (चित्र 1.23)। अर्थात्, यदि l = R, तो
1 रेडियन= एल/आर
क्योंकि परिधिके बराबर है
एल = 2πR
360 ओ = 2πआर/आर = 2π रेड।
इस तरह
1 रेड. = 57.2958 लगभग = 57 लगभग 18'
कोणीय वेगएक वृत्त में पिंड की एकसमान गति का मान ω है, जो त्रिज्या φ के घूर्णन कोण और उस समय अंतराल के अनुपात के बराबर है जिसके दौरान यह घूर्णन किया जाता है:
ω = φ / टी
कोणीय वेग मापने की इकाई रेडियन प्रति सेकंड [रेड/एस] है। रैखिक वेग मापांक तय की गई दूरी l और समय अंतराल t के अनुपात से निर्धारित होता है:
वी= एल / टी
लाइन की गतिएक वृत्त के अनुदिश एकसमान गति के साथ, यह वृत्त पर दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होता है। जब बिंदु गति करता है, तो बिंदु द्वारा तय किए गए वृत्ताकार चाप की लंबाई l, अभिव्यक्ति द्वारा घूर्णन के कोण φ से संबंधित होती है
एल = आरφ
जहाँ R वृत्त की त्रिज्या है।
फिर, बिंदु की एकसमान गति के मामले में, रैखिक और कोणीय वेग संबंध से संबंधित होते हैं:
v = l / t = Rφ / t = Rω या v = Rω
चावल। 1.23. रेडियन.
संचलन की अवधि- यह समय T की अवधि है, जिसके दौरान पिंड (बिंदु) परिधि के चारों ओर एक चक्कर लगाता है। परिसंचरण की आवृत्ति- यह परिसंचरण अवधि का व्युत्क्रम है - प्रति इकाई समय (प्रति सेकंड) क्रांतियों की संख्या। परिसंचरण की आवृत्ति को अक्षर n द्वारा दर्शाया जाता है।
एन=1/टी
एक अवधि के लिए, बिंदु के घूर्णन का कोण φ 2π रेड है, इसलिए 2π = ωT, जहां से
टी = 2π / ω
अर्थात् कोणीय वेग है
ω = 2π / टी = 2πn
केन्द्राभिमुख त्वरणअवधि T और क्रांति की आवृत्ति n के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:
ए सीएस = (4π 2 आर) / टी 2 = 4π 2 आरएन 2
चूँकि रैखिक गति समान रूप से दिशा बदलती है, तो वृत्त के अनुदिश गति को एकसमान नहीं कहा जा सकता, यह समान रूप से त्वरित होती है।
कोणीय वेग
वृत्त पर एक बिंदु चुनें 1 . आइए एक दायरा बनाएं. समय की एक इकाई के लिए, बिंदु बिंदु पर चला जाएगा 2 . इस मामले में, त्रिज्या कोण का वर्णन करती है। कोणीय वेग संख्यात्मक रूप से प्रति इकाई समय त्रिज्या के घूर्णन कोण के बराबर है।
अवधि और आवृत्ति
परिभ्रमण काल टीवह समय है जो शरीर को एक चक्कर लगाने में लगता है।
RPM प्रति सेकंड क्रांतियों की संख्या है।
आवृत्ति और अवधि संबंध से संबंधित हैं
कोणीय वेग से संबंध
लाइन की गति
वृत्त पर प्रत्येक बिंदु कुछ गति से चलता है। इस गति को रैखिक कहा जाता है। रैखिक वेग वेक्टर की दिशा हमेशा वृत्त की स्पर्श रेखा से मेल खाती है।उदाहरण के लिए, ग्राइंडर के नीचे से चिंगारी तात्कालिक गति की दिशा को दोहराते हुए चलती है।
वृत्त पर एक बिंदु पर विचार करें जो एक चक्कर लगाता है, जो समय व्यतीत होता है - यही वह अवधि है टी.बिंदु जिस पथ पर विजय प्राप्त करता है वह वृत्त की परिधि है।
केन्द्राभिमुख त्वरण
किसी वृत्त के अनुदिश चलते समय, त्वरण वेक्टर हमेशा वेग वेक्टर के लंबवत होता है, जो वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
पिछले सूत्रों का उपयोग करके, हम निम्नलिखित संबंध प्राप्त कर सकते हैं
वृत्त के केंद्र से निकलने वाली एक ही सीधी रेखा पर स्थित बिंदुओं (उदाहरण के लिए, ये पहिये की सुई पर स्थित बिंदु हो सकते हैं) में समान कोणीय वेग, अवधि और आवृत्ति होगी। यानी, वे एक ही तरह से घूमेंगे, लेकिन अलग-अलग रैखिक गति के साथ। बिंदु केंद्र से जितना दूर होगा, वह उतनी ही तेजी से आगे बढ़ेगा।
वेगों के योग का नियम घूर्णी गति के लिए भी मान्य है। यदि किसी पिंड या संदर्भ तंत्र की गति एक समान नहीं है, तो कानून तात्कालिक वेगों पर लागू होता है। उदाहरण के लिए, घूमते हिंडोले के किनारे पर चलने वाले व्यक्ति की गति हिंडोले के किनारे के घूमने की रैखिक गति और व्यक्ति की गति के वेक्टर योग के बराबर होती है।
पृथ्वी दो मुख्य घूर्णी गतियों में भाग लेती है: दैनिक (अपनी धुरी के चारों ओर) और कक्षीय (सूर्य के चारों ओर)। सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की परिक्रमा की अवधि 1 वर्ष या 365 दिन है। पृथ्वी अपनी धुरी पर पश्चिम से पूर्व की ओर घूमती है, इस घूर्णन की अवधि 1 दिन या 24 घंटे है। अक्षांश भूमध्य रेखा के तल और पृथ्वी के केंद्र से उसकी सतह पर एक बिंदु तक की दिशा के बीच का कोण है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार किसी भी त्वरण का कारण कोई बल होता है। यदि कोई गतिमान पिंड अभिकेन्द्रीय त्वरण का अनुभव करता है, तो इस त्वरण का कारण बनने वाले बलों की प्रकृति भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि कोई वस्तु रस्सी से बंधी हुई एक वृत्त में घूमती है, तो कार्य करने वाला बल लोचदार बल होता है।
यदि डिस्क पर पड़ा कोई पिंड अपनी धुरी के चारों ओर डिस्क के साथ घूमता है, तो ऐसा बल घर्षण बल है। यदि बल कार्य करना बंद कर दे तो वस्तु एक सीधी रेखा में चलती रहेगी
A से B तक वृत्त पर एक बिंदु की गति पर विचार करें। रैखिक वेग बराबर है
आइए अब पृथ्वी से जुड़े एक निश्चित सिस्टम की ओर बढ़ते हैं। बिंदु A का कुल त्वरण निरपेक्ष मान और दिशा दोनों में समान रहेगा, क्योंकि संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम से दूसरे में जाने पर त्वरण नहीं बदलता है। एक स्थिर पर्यवेक्षक के दृष्टिकोण से, बिंदु A का प्रक्षेपवक्र अब एक वृत्त नहीं है, बल्कि एक अधिक जटिल वक्र (चक्रवात) है, जिसके साथ बिंदु असमान रूप से चलता है।
वृत्ताकार गति किसी पिंड की वक्ररेखीय गति का सबसे सरल मामला है। जब कोई पिंड विस्थापन वेक्टर के साथ एक निश्चित बिंदु के चारों ओर घूमता है, तो रेडियन में मापे गए कोणीय विस्थापन ∆ φ (वृत्त के केंद्र के सापेक्ष घूर्णन का कोण) का परिचय देना सुविधाजनक होता है।
कोणीय विस्थापन को जानकर, उस वृत्ताकार चाप (पथ) की लंबाई की गणना करना संभव है जिससे पिंड गुजरा है।
∆ एल = आर ∆ φ
यदि घूर्णन का कोण छोटा है, तो ∆ l ≈ ∆ s .
आइए स्पष्ट करें कि क्या कहा गया है:
कोणीय वेग
वक्ररेखीय गति के साथ, कोणीय वेग ω की अवधारणा पेश की जाती है, यानी घूर्णन के कोण में परिवर्तन की दर।
परिभाषा। कोणीय वेग
प्रक्षेपवक्र के किसी दिए गए बिंदु पर कोणीय वेग कोणीय विस्थापन ∆ φ और उस समय अंतराल ∆ t के अनुपात की सीमा है जिसके दौरान यह घटित हुआ। ∆t → 0 .
ω = ∆ φ ∆ टी , ∆ टी → 0 .
कोणीय वेग मापने की इकाई रेडियन प्रति सेकंड (आरएडीएस) है।
वृत्त में घूमते समय पिंड के कोणीय और रैखिक वेगों के बीच एक संबंध होता है। कोणीय वेग ज्ञात करने का सूत्र:
एक वृत्त में एकसमान गति के साथ, गति v और ω अपरिवर्तित रहती हैं। केवल रैखिक वेग वेक्टर की दिशा बदलती है।
इस मामले में, शरीर पर एक वृत्त के अनुदिश एकसमान गति सेंट्रिपेटल, या सामान्य त्वरण से प्रभावित होती है, जो वृत्त की त्रिज्या से उसके केंद्र तक निर्देशित होती है।
ए एन = ∆ वी → ∆ टी , ∆ टी → 0
अभिकेंद्री त्वरण मॉड्यूल की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:
ए एन = वी 2 आर = ω 2 आर
आइए इन संबंधों को सिद्ध करें।
आइए विचार करें कि वेक्टर v → समय की एक छोटी अवधि में कैसे बदलता है ∆ t । ∆ वी → = वी बी → - वी ए → .
बिंदु ए और बी पर, वेग वेक्टर को वृत्त के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित किया जाता है, जबकि दोनों बिंदुओं पर वेग मॉड्यूल समान होते हैं।
त्वरण की परिभाषा के अनुसार:
ए → = ∆ वी → ∆ टी , ∆ टी → 0
आइए चित्र देखें:
त्रिभुज OAB और BCD समरूप हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि O A A B = B C C D .
यदि कोण ∆ φ का मान छोटा है, तो दूरी A B = ∆ s ≈ v · ∆ t है। ऊपर दिए गए समान त्रिभुजों के लिए O A = R और C D = ∆ v को ध्यान में रखते हुए, हमें यह मिलता है:
आर वी ∆ टी = वी ∆ वी या ∆ वी ∆ टी = वी 2 आर
जब ∆ φ → 0, सदिश ∆ v → = v B → - v A → की दिशा वृत्त के केंद्र की ओर पहुंचती है। यह मानते हुए कि ∆ t → 0, हमें मिलता है:
ए → = ए एन → = ∆ वी → ∆ टी ; ∆t → 0 ; ए एन → = वी 2 आर .
एक वृत्त के साथ एकसमान गति के साथ, त्वरण मॉड्यूल स्थिर रहता है, और वृत्त के केंद्र की ओर अभिविन्यास बनाए रखते हुए, वेक्टर की दिशा समय के साथ बदलती रहती है। इसीलिए इस त्वरण को सेंट्रिपेटल कहा जाता है: वेक्टर किसी भी समय वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
सदिश रूप में अभिकेन्द्रीय त्वरण का रिकॉर्ड इस प्रकार है:
ए एन → = - ω 2 आर → .
यहाँ R → एक वृत्त के केंद्र पर मूल बिंदु वाले बिंदु का त्रिज्या सदिश है।
सामान्य स्थिति में, एक वृत्त के अनुदिश गति करते समय त्वरण में दो घटक होते हैं - सामान्य और स्पर्शरेखीय।
उस स्थिति पर विचार करें जब शरीर वृत्त के चारों ओर असमान रूप से चलता है। आइए हम स्पर्शरेखा (स्पर्शरेखा) त्वरण की अवधारणा का परिचय दें। इसकी दिशा पिंड के रैखिक वेग की दिशा से मेल खाती है और वृत्त के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित होती है।
ए τ = ∆ वी τ ∆ टी ; ∆t → 0
यहां ∆ v τ = v 2 - v 1 अंतराल ∆ t पर वेग मापांक में परिवर्तन है
पूर्ण त्वरण की दिशा सामान्य और स्पर्शरेखा त्वरण के वेक्टर योग द्वारा निर्धारित की जाती है।
एक समतल में वृत्ताकार गति को दो निर्देशांकों का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है: x और y। समय के प्रत्येक क्षण में, शरीर की गति को घटकों v x और v y में विघटित किया जा सकता है।
यदि गति एक समान है, तो मान v x और v y के साथ-साथ संबंधित निर्देशांक एक अवधि T = 2 π R v = 2 π ω के साथ हार्मोनिक कानून के अनुसार समय में बदल जाएंगे
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