एक समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंड। एक समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंड एक समकोण त्रिभुज में औसत आनुपातिक खंड प्रमाण

पाठ मकसद:

1. दो खंडों के माध्य आनुपातिक (ज्यामितीय माध्य) की अवधारणा का परिचय दे सकेंगे;
2. एक समकोण त्रिभुज में आनुपातिक खंडों की समस्या पर विचार करें: एक समकोण के शीर्ष से खींचे गए समकोण त्रिभुज की ऊंचाई का एक गुण;
3. समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में अध्ययन किए गए विषय का उपयोग करने में छात्रों के कौशल का निर्माण करना।

पाठ का प्रकार:नई सामग्री सीखने का पाठ।

योजना:

1. संगठनात्मक क्षण.
2. ज्ञान अद्यतन.
3. समकोण के शीर्ष से खींचे गए समकोण त्रिभुज की ऊंचाई के गुण का अध्ययन:
   - प्रारंभिक चरण;
   - परिचय;
   - मिलाना।
4. दो खंडों के माध्य आनुपातिक की अवधारणा का परिचय।
5. दो खंडों के औसत आनुपातिक की अवधारणा को आत्मसात करना।
6. परिणामों का प्रमाण:
   - समकोण के शीर्ष से खींची गई समकोण त्रिभुज की ऊंचाई, उन खंडों के बीच का औसत आनुपातिक है जिसमें कर्ण को इस ऊंचाई से विभाजित किया गया है;
   - एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण और पैर और ऊंचाई के बीच घिरे कर्ण के खंड के बीच का औसत आनुपातिक है।
7. समस्या को सुलझाना।
8. संक्षेपण।
9. होमवर्क सेट करना.

कक्षाओं के दौरान

मैं. संगठन

नमस्ते दोस्तों, बैठिए। क्या हर कोई पाठ के लिए तैयार है?

हम काम शुरू करते हैं.

द्वितीय. ज्ञान का अद्यतन

पिछले पाठों में आपने कौन सी महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणा सीखी? ( त्रिभुज समानता की अवधारणा के साथ)

- आइए याद करें कि कौन से दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं? (दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि उनके कोण क्रमशः बराबर हों और एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की समरूप भुजाओं के समानुपाती हों))

दो त्रिभुजों की समानता सिद्ध करने के लिए हम किसका प्रयोग करते हैं? (

- इन संकेतों की सूची बनाएं. (त्रिभुजों की समरूपता के तीन चिन्ह बनाइए)

तृतीय. एक समकोण के शीर्ष से प्राप्त एक आयताकार त्रिभुज की ऊंचाई के गुणों का अध्ययन

ए) प्रारंभिक चरण

- दोस्तों, कृपया पहली स्लाइड देखें। ( आवेदन) यहां दो समकोण त्रिभुज हैं - और। और क्रमश: ऊंचाइयां हैं। .

कार्य 1. ए)निर्धारित करें कि क्या और समान हैं।

त्रिभुजों की समानता सिद्ध करने के लिए हम किसका प्रयोग करते हैं? ( त्रिभुजों की समानता के चिह्न)

(पहला संकेत, चूँकि समस्या में त्रिभुजों की भुजाओं के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है)

. (दो जोड़े: 1. ∟B= ∟B1 (सीधी रेखाएं), 2. ∟A= ∟A 1)

- निष्कर्ष निकालें। ( त्रिभुजों की समरूपता के प्रथम चिह्न द्वारा ~)

कार्य 1. बी)निर्धारित करें कि क्या और समान हैं।

हम किस समानता मानदंड का उपयोग करेंगे और क्यों? (पहला संकेत, क्योंकि समस्या में त्रिभुजों की भुजाओं के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है)

हमें समान कोणों के कितने जोड़े खोजने की आवश्यकता है? इन जोड़ियों को खोजें (चूँकि त्रिभुज समकोण हैं, समान कोणों का एक जोड़ा पर्याप्त है: ∟A= ∟A 1)

- निष्कर्ष निकालें. (त्रिभुजों की समानता के पहले चिह्न से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि ये त्रिभुज समरूप हैं)।

बातचीत के परिणामस्वरूप, स्लाइड 1 इस तरह दिखती है:

बी) प्रमेय की खोज

कार्य 2.

निर्धारित करें कि क्या और, और समान हैं। बातचीत के परिणामस्वरूप उत्तर बनते हैं, जो स्लाइड पर प्रतिबिंबित होते हैं।

- आंकड़े से पता चला है. क्या हमने कार्यों के प्रश्नों का उत्तर देते समय इस डिग्री माप का उपयोग किया? ( नहीं, उपयोग नहीं किया गया)

- दोस्तों, निष्कर्ष निकालें: समकोण के शीर्ष से खींची गई ऊँचाई समकोण त्रिभुज को किन त्रिभुजों में विभाजित करती है? (निष्कर्ष निकालें)

- सवाल उठता है: क्या ये दो समकोण त्रिभुज, जिनकी ऊँचाई समकोण त्रिभुज को विभाजित करती है, एक दूसरे के समान होंगे? आइए समान कोणों के जोड़े खोजने का प्रयास करें।

बातचीत के परिणामस्वरूप एक रिकॉर्ड बनता है:

- और अब आइए एक पूर्ण निष्कर्ष निकालें। ( निष्कर्ष: समकोण के शीर्ष से खींची गई समकोण त्रिभुज की ऊंचाई त्रिभुज को दो भागों में विभाजित करती है समान

- वह। हमने एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई के गुण पर एक प्रमेय तैयार किया है और सिद्ध किया है।

आइए प्रमेय की संरचना स्थापित करें और एक चित्र बनाएं। प्रमेय में क्या दिया गया है और क्या सिद्ध करने की आवश्यकता है? छात्र अपनी नोटबुक में लिखते हैं:

आइए नई ड्राइंग के लिए प्रमेय का पहला बिंदु सिद्ध करें। हम किस समानता मानदंड का उपयोग करेंगे और क्यों? (पहला, चूँकि प्रमेय में त्रिभुजों की भुजाओं के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है)

हमें समान कोणों के कितने जोड़े खोजने की आवश्यकता है? इन जोड़ियों को खोजें. (इस मामले में, एक जोड़ी पर्याप्त है: ∟A-सामान्य)

- निष्कर्ष निकालें. त्रिभुज समरूप हैं. परिणामस्वरूप, प्रमेय के निरूपण का एक उदाहरण दिखाया गया है

- दूसरा और तीसरा बिंदु घर पर खुद लिखें।

ग) प्रमेय को आत्मसात करना

- तो, ​​प्रमेय फिर से तैयार करें (एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई, समकोण के शीर्ष से खींची गई, त्रिभुज को दो भागों में विभाजित करती है समानसमकोण त्रिभुज, जिनमें से प्रत्येक इस त्रिभुज के समान है)

- इस प्रमेय द्वारा "एक समकोण त्रिभुज में समकोण के शीर्ष से ऊँचाई" की रचना में समरूप त्रिभुजों के कितने जोड़े ज्ञात किए जा सकते हैं? ( तीन जोड़े)

छात्रों को निम्नलिखित कार्य दिए गए हैं:

चतुर्थ. दो रेखाओं के औसत आनुपातिक की अवधारणा का परिचय

अब हम एक नई अवधारणा सीखने जा रहे हैं।

ध्यान!

परिभाषा।रेखा खंड XYबुलाया औसत आनुपातिक (जियोमेट्रिक माध्य)खंडों के बीच अबऔर सीडी, अगर

(नोटबुक में लिखें).

वी. दो पंक्तियों के औसत आनुपातिक की अवधारणा का जुड़ाव

अब अगली स्लाइड पर चलते हैं।

अभ्यास 1।औसत आनुपातिक खंड एमएन और केपी की लंबाई ज्ञात करें, यदि एमएन = 9 सेमी, केपी = 16 सेमी।

- कार्य में क्या दिया गया है? ( दो खंड और उनकी लंबाई: एमएन = 9 सेमी, केपी = 16 सेमी)

- आपको क्या खोजने की आवश्यकता है? ( इन खंडों की औसत लंबाई आनुपातिक है)

- माध्य आनुपातिक का सूत्र क्या है और हम इसे कैसे ज्ञात करते हैं?

(हम डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और माध्य प्रोप की लंबाई पाते हैं।)

कार्य संख्या 2.खंड AB की लंबाई ज्ञात करें यदि खंड AB और CD का औसत आनुपातिक 90 सेमी है और CD = 100 सेमी है

- कार्य में क्या दिया गया है? (खंड CD की लंबाई = 100 सेमी और खंड AB और CD का औसत अनुपात 90 सेमी है)

समस्या में क्या पाया जाना चाहिए? ( खंड AB की लंबाई)

- हम समस्या का समाधान कैसे करेंगे? (आइए औसत आनुपातिक खंड एबी और सीडी के लिए सूत्र लिखें, इससे एबी की लंबाई व्यक्त करें और समस्या के डेटा को प्रतिस्थापित करें।)

VI. निष्कर्ष

- शाबाश लड़कों। और अब हम प्रमेय में हमारे द्वारा सिद्ध की गई त्रिभुजों की समानता पर लौटते हैं। प्रमेय को पुनः दोहराएँ. ( समकोण के शीर्ष से खींची गई समकोण त्रिभुज की ऊँचाई त्रिभुज को दो भागों में विभाजित करती है समानसमकोण त्रिभुज, जिनमें से प्रत्येक दिए गए के समान है)

- आइए सबसे पहले त्रिभुजों और की समानता का उपयोग करें। इससे क्या निष्कर्ष निकलता है? ( समानता की परिभाषा के अनुसार, भुजाएँ समान भुजाओं के समानुपाती होती हैं)

- अनुपात की मूल संपत्ति का उपयोग करने पर क्या समानता प्राप्त होगी? ()

- सीडी एक्सप्रेस करें और निष्कर्ष निकालें (;.

निष्कर्ष: समकोण के शीर्ष से खींची गई समकोण त्रिभुज की ऊंचाई, उन खंडों के बीच का औसत आनुपातिक है जिसमें कर्ण को इस ऊंचाई से विभाजित किया गया है)

- और अब अपने लिए साबित करें कि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण और पैर और ऊंचाई के बीच घिरे कर्ण के खंड के बीच का औसत आनुपातिक है। हम पाते हैं - ... वे खंड जिनमें कर्ण को विभाजित किया गया है यह ऊंचाई )

एक समकोण त्रिभुज का पाद ... के बीच माध्य आनुपातिक है- ...कर्ण और इस पैर और ऊंचाई के बीच घिरा कर्ण का खंड )

– हम सीखे गए कथनों को कहाँ लागू करते हैं? ( समस्याओं का समाधान करते समय)

नौवीं. होमवर्क सेट करना

डी/जेड:क्रमांक 571, क्रमांक 572 (ए, ई), एक नोटबुक में स्वतंत्र कार्य, सिद्धांत।

समकोण त्रिभुजों की समरूपता का चिन्ह

आइए सबसे पहले समकोण त्रिभुजों की समरूपता के चिह्न का परिचय दें।

प्रमेय 1

समकोण त्रिभुजों की समरूपता का चिन्ह: दो समकोण त्रिभुज समरूप होते हैं जब उनमें प्रत्येक का एक न्यूनकोण समान होता है (चित्र 1)।

चित्र 1. समान समकोण त्रिभुज

सबूत।

मान लीजिए कि $\कोण B=\कोण B_1$. चूँकि त्रिभुज समकोण हैं, $\कोण A=\कोण A_1=(90)^0$. इसलिए, वे त्रिभुजों की समानता के पहले चिह्न के अनुसार समान हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समकोण त्रिभुज में ऊँचाई प्रमेय

प्रमेय 2

समकोण के शीर्ष से खींची गई एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई त्रिभुज को दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है, जिनमें से प्रत्येक दिए गए त्रिभुज के समान है।

सबूत।

आइए हमें समकोण $C$ वाला एक समकोण त्रिभुज $ABC$ दिया जाए। ऊँचाई $CD$ खींचिए (चित्र 2)।

चित्र 2. प्रमेय 2 का चित्रण

आइए हम साबित करें कि त्रिकोण $ACD$ और $BCD$ त्रिकोण $ABC$ के समान हैं और त्रिकोण $ACD$ और $BCD$ समान हैं।

चूँकि $\कोण ADC=(90)^0$, त्रिभुज $ACD$ समकोण है। त्रिभुज $ACD$ और $ABC$ का उभयनिष्ठ कोण $A$ है, इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, त्रिभुज $ACD$ और $ABC$ समरूप हैं।

चूँकि $\कोण BDC=(90)^0$, त्रिभुज $BCD$ समकोण है। त्रिभुज $BCD$ और $ABC$ का उभयनिष्ठ कोण $B$ है, इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, त्रिभुज $BCD$ और $ABC$ समरूप हैं।

अब त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ पर विचार करें

\[\कोण A=(90)^0-\कोण ACD\] \[\कोण BCD=(90)^0-\कोण ACD=\कोण A\]

इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ समरूप हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

औसत आनुपातिक

प्रमेय 3

समकोण त्रिभुज की ऊँचाई, समकोण के शीर्ष से खींची गई, उन खंडों का औसत आनुपातिक है जिनमें ऊँचाई इस त्रिभुज के कर्ण को विभाजित करती है।

सबूत।

इसलिए, प्रमेय 2 के अनुसार, त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ समरूप हैं

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय 4

एक समकोण त्रिभुज का पाद कर्ण और पाद के बीच घिरे कर्ण के खंड और कोण के शीर्ष से खींची गई ऊँचाई के बीच का माध्य आनुपातिक है।

सबूत।

प्रमेय के प्रमाण में, हम चित्र 2 से संकेतन का उपयोग करेंगे।

प्रमेय 2 के अनुसार, हमारे पास यह है कि त्रिभुज $ACD$ और $ABC$ समान हैं

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

पाठ 40 सी. बी. एक। एच। सी. बी.सी. एच. एसी. A. V. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई, एक समकोण के शीर्ष से खींची गई, त्रिभुज को 2 समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है, जिनमें से प्रत्येक दिए गए त्रिभुज के समान है। समकोण त्रिभुजों की समरूपता का चिन्ह. दो समकोण त्रिभुज समरूप होते हैं यदि उनमें से प्रत्येक का न्यूनकोण समान हो। खंड XY को खंड एबी और सीडी के लिए माध्य आनुपातिक (ज्यामितीय माध्य) कहा जाता है यदि संपत्ति 1। समकोण के शीर्ष से खींचे गए समकोण त्रिभुज की ऊंचाई कर्ण पर पैरों के प्रक्षेपण के बीच का माध्य आनुपातिक है। संपत्ति 2. एक समकोण त्रिभुज का पाद कर्ण और कर्ण पर इस पाद के प्रक्षेपण के बीच का माध्य आनुपातिक है।

ज्यामिति ग्रेड 8

"पाइथागोरस प्रमेय पर समस्याओं का समाधान" - त्रिभुज एबीसी समद्विबाहु। पाइथागोरस प्रमेय का व्यावहारिक अनुप्रयोग। ABCD एक चतुर्भुज है. चौकोर क्षेत्र. सूरज ढूंढो. सबूत। एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का आधार। पाइथागोरस प्रमेय पर विचार करें. चतुर्भुज का क्षेत्रफल. आयताकार त्रिभुज. पाइथागोरस प्रमेय। कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

"समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना" - आधार। ऊंचाई। समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई निर्धारित करना. समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल. त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये. क्षेत्र की संपत्तियां. मौखिक व्यायाम. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें। समांतर चतुर्भुज ऊँचाई. वर्ग का परिमाप ज्ञात कीजिये. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल. वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये. आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें। चौकोर क्षेत्र.

"क्वद्रत 8वीं कक्षा" - काला वर्ग। वर्ग की परिधि के आसपास मौखिक कार्य के लिए कार्य। चौकोर क्षेत्र. चौकोर चिन्ह. वर्ग हमारे बीच है. वर्ग एक आयत है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। वर्ग। चौकोर आधार वाला बैग. मौखिक कार्य. चित्र में कितने वर्ग दिखाए गए हैं. वर्ग गुण. धनवान व्यापारी. वर्ग के क्षेत्रफल पर मौखिक कार्य के लिए कार्य। एक वर्ग की परिधि.

"अक्षीय समरूपता की परिभाषा" - एक ही लंबवत पर स्थित बिंदु। दो रेखाएँ खींचिए. निर्माण। कथानक बिंदु. संकेत। वे आकृतियाँ जिनमें अक्षीय समरूपता नहीं है। रेखा खंड। अनुपलब्ध निर्देशांक. आकृति। वे आकृतियाँ जिनमें सममिति के दो से अधिक अक्ष हों। समरूपता. कविता में समरूपता. त्रिकोण बनाएं. समरूपता के अक्ष. एक खंड का निर्माण. एक बिंदु बनाना. समरूपता के दो अक्षों वाली आकृतियाँ। लोग। त्रिभुज। आनुपातिकता.

"समान त्रिभुजों को परिभाषित करना" - बहुभुज। आनुपातिक कटौती. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात. दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं। स्थितियाँ। शीर्ष पर दो कोण और समद्विभाजक देकर एक त्रिभुज की रचना करें। मान लीजिए हमें ध्रुव से दूरी निर्धारित करने की आवश्यकता है। त्रिभुजों की समानता का तीसरा चिन्ह. आइए एक त्रिभुज बनाएं. एबीसी. त्रिभुज ABC और ABC की तीन बराबर भुजाएँ हैं। किसी वस्तु की ऊँचाई ज्ञात करना।

"पाइथागोरस प्रमेय का समाधान" - खिड़कियों के हिस्से। सबसे सरल प्रमाण. हम्मूराबी. विकर्ण. पूर्ण प्रमाण. घटाव द्वारा प्रमाण. पाइथागोरस. अपघटन विधि द्वारा प्रमाण. प्रमेय का इतिहास. व्यास. पूरक विधि द्वारा प्रमाण. एप्सटीन का प्रमाण. कैंटर. त्रिभुज। अनुयायी. पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोग. पाइथागोरस प्रमेय। प्रमेय का कथन. पेरिगल का प्रमाण. प्रमेय का अनुप्रयोग.

आज आपका ध्यान एक अद्भुत और रहस्यमय विषय - ज्यामिति पर एक और प्रस्तुति की ओर आकर्षित किया गया है। इस प्रस्तुति में, हम आपको ज्यामितीय आकृतियों की एक नई संपत्ति से परिचित कराएंगे, विशेष रूप से, समकोण त्रिभुजों में आनुपातिक खंडों की अवधारणा से।

सबसे पहले आपको यह याद रखना होगा कि त्रिभुज क्या है? यह सबसे सरल बहुभुज है, जिसमें तीन खंडों से जुड़े तीन शीर्ष हैं। समकोण त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसका एक कोण 90 डिग्री का होता है। आपके ध्यान में प्रस्तुत हमारी पिछली प्रशिक्षण सामग्री में आप पहले ही उनके बारे में अधिक विस्तार से जान चुके हैं।

इसलिए, आज के अपने विषय पर लौटते हुए, हम इस क्रम में निरूपित करते हैं कि 90 डिग्री के कोण से खींचे गए समकोण त्रिभुज की ऊंचाई इसे दो त्रिभुजों में विभाजित करती है, जो एक दूसरे के और मूल त्रिभुज दोनों के समान हैं। आपकी रुचि के सभी चित्र और ग्राफ़ प्रस्तावित प्रस्तुति में दिए गए हैं, और हम अनुशंसा करते हैं कि आप वर्णित स्पष्टीकरण के साथ उन्हें देखें।

उपरोक्त थीसिस का एक चित्रमय उदाहरण दूसरी स्लाइड पर देखा जा सकता है। त्रिभुज समरूप होते हैं क्योंकि उनके दो समान कोण होते हैं। यदि आप अधिक विस्तार से निर्दिष्ट करते हैं, तो कर्ण तक कम ऊंचाई इसके साथ एक समकोण बनाती है, अर्थात, पहले से ही समान कोण हैं, और प्रत्येक गठित कोण में प्रारंभिक के रूप में एक सामान्य कोण भी होता है। परिणामस्वरुप दो कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। अर्थात् त्रिभुज समरूप हैं।

आइए हम यह भी बताएं कि "माध्य आनुपातिक" या "ज्यामितीय माध्य" की अवधारणा का क्या अर्थ है? यह खंड AB और CD के लिए एक निश्चित XY खंड है जब यह उनकी लंबाई के उत्पाद के वर्गमूल के बराबर होता है।

जिससे यह भी पता चलता है कि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण और इस पैर के कर्ण पर प्रक्षेपण, यानी दूसरे पैर के बीच का ज्यामितीय माध्य है।

समकोण त्रिभुज का एक अन्य गुण यह है कि इसकी ऊंचाई, 90° के कोण से खींची गई, कर्ण पर पैरों के प्रक्षेपण के बीच औसत आनुपातिक है। यदि आप प्रस्तुतिकरण और आपके ध्यान में लाई गई अन्य सामग्रियों का संदर्भ लें, तो आप देखेंगे कि इस थीसिस का प्रमाण बहुत ही सरल और सुलभ रूप में है। इससे पहले हम पहले ही सिद्ध कर चुके हैं कि परिणामी त्रिभुज एक दूसरे के और मूल त्रिभुज के समान हैं। फिर, इन ज्यामितीय आकृतियों के पैरों के अनुपात का उपयोग करके, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई सीधे उन खंडों के उत्पाद के वर्गमूल के समानुपाती होती है जो ऊंचाई कम करने के परिणामस्वरूप बने थे। मूल त्रिभुज का समकोण.

प्रस्तुति में अंतिम बात यह है कि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण और उसके खंड के लिए ज्यामितीय माध्य है जो पैर और 90 डिग्री के बराबर कोण से खींची गई ऊंचाई के बीच स्थित है। इस मामले पर इस दृष्टि से विचार किया जाना चाहिए कि ये त्रिभुज एक-दूसरे के समान हैं, और उनमें से एक का पैर दूसरे के कर्ण से प्राप्त होता है। लेकिन प्रस्तावित सामग्रियों का अध्ययन करके आप इसे और अधिक विस्तार से जान पाएंगे।

समकोण त्रिभुजों की समरूपता का चिन्ह

आइए सबसे पहले समकोण त्रिभुजों की समरूपता के चिह्न का परिचय दें।

प्रमेय 1

समकोण त्रिभुजों की समरूपता का चिन्ह: दो समकोण त्रिभुज समरूप होते हैं जब उनमें प्रत्येक का एक न्यूनकोण समान होता है (चित्र 1)।

चित्र 1. समान समकोण त्रिभुज

सबूत।

मान लीजिए कि $\कोण B=\कोण B_1$. चूँकि त्रिभुज समकोण हैं, $\कोण A=\कोण A_1=(90)^0$. इसलिए, वे त्रिभुजों की समानता के पहले चिह्न के अनुसार समान हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समकोण त्रिभुज में ऊँचाई प्रमेय

प्रमेय 2

समकोण के शीर्ष से खींची गई एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई त्रिभुज को दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है, जिनमें से प्रत्येक दिए गए त्रिभुज के समान है।

सबूत।

आइए हमें समकोण $C$ वाला एक समकोण त्रिभुज $ABC$ दिया जाए। ऊँचाई $CD$ खींचिए (चित्र 2)।

चित्र 2. प्रमेय 2 का चित्रण

आइए हम साबित करें कि त्रिकोण $ACD$ और $BCD$ त्रिकोण $ABC$ के समान हैं और त्रिकोण $ACD$ और $BCD$ समान हैं।

चूँकि $\कोण ADC=(90)^0$, त्रिभुज $ACD$ समकोण है। त्रिभुज $ACD$ और $ABC$ का उभयनिष्ठ कोण $A$ है, इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, त्रिभुज $ACD$ और $ABC$ समरूप हैं।

चूँकि $\कोण BDC=(90)^0$, त्रिभुज $BCD$ समकोण है। त्रिभुज $BCD$ और $ABC$ का उभयनिष्ठ कोण $B$ है, इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, त्रिभुज $BCD$ और $ABC$ समरूप हैं।

अब त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ पर विचार करें

\[\कोण A=(90)^0-\कोण ACD\] \[\कोण BCD=(90)^0-\कोण ACD=\कोण A\]

इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ समरूप हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

औसत आनुपातिक

प्रमेय 3

समकोण त्रिभुज की ऊँचाई, समकोण के शीर्ष से खींची गई, उन खंडों का औसत आनुपातिक है जिनमें ऊँचाई इस त्रिभुज के कर्ण को विभाजित करती है।

सबूत।

इसलिए, प्रमेय 2 के अनुसार, त्रिभुज $ACD$ और $BCD$ समरूप हैं

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय 4

एक समकोण त्रिभुज का पाद कर्ण और पाद के बीच घिरे कर्ण के खंड और कोण के शीर्ष से खींची गई ऊँचाई के बीच का माध्य आनुपातिक है।

सबूत।

प्रमेय के प्रमाण में, हम चित्र 2 से संकेतन का उपयोग करेंगे।

प्रमेय 2 के अनुसार, हमारे पास यह है कि त्रिभुज $ACD$ और $ABC$ समान हैं

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।