शक्तियों से युक्त भावों को परिवर्तित करना। अभिव्यक्तियाँ परिवर्तित करना

किसी अभिव्यक्ति के मान की गणना करते समय जो अंकगणितीय ऑपरेशन सबसे अंत में किया जाता है वह "मास्टर" ऑपरेशन होता है।

अर्थात्, यदि आप अक्षरों के स्थान पर कुछ (कोई भी) संख्याएँ प्रतिस्थापित करते हैं और अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने का प्रयास करते हैं, तो यदि अंतिम क्रिया गुणन है, तो हमारे पास एक उत्पाद है (अभिव्यक्ति गुणनखंडित है)।

यदि अंतिम क्रिया जोड़ या घटाव है, तो इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति गुणनखंडित नहीं है (और इसलिए इसे कम नहीं किया जा सकता है)।

इसे सुदृढ़ करने के लिए, कुछ उदाहरण स्वयं हल करें:

उदाहरण:

समाधान:

1. मुझे आशा है कि आप तुरंत काटने में जल्दबाजी नहीं करेंगे और? इस तरह की इकाइयों को "कम" करना अभी भी पर्याप्त नहीं था:

पहला कदम गुणनखंडन होना चाहिए:

4. भिन्नों को जोड़ना और घटाना। भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना।

साधारण भिन्नों को जोड़ना और घटाना एक परिचित ऑपरेशन है: हम एक सामान्य हर की तलाश करते हैं, प्रत्येक भिन्न को लुप्त कारक से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते/घटाते हैं।

चलो याद करते हैं:

उत्तर:

1. हर और अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, अर्थात उनमें उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं हैं। इसलिए, इन संख्याओं का LCM उनके उत्पाद के बराबर है। यह सामान्य भाजक होगा:

2. यहाँ सामान्य विभाजक है:

3. यहां, सबसे पहले, हम मिश्रित भिन्नों को अनुचित अंशों में बदलते हैं, और फिर सामान्य योजना के अनुसार:

यदि भिन्नों में अक्षर हों तो यह बिल्कुल अलग बात है, उदाहरण के लिए:

आइए कुछ सरल से शुरुआत करें:

a) हर में अक्षर नहीं होते

यहां सब कुछ सामान्य संख्यात्मक भिन्नों जैसा ही है: हम सामान्य हर ढूंढते हैं, प्रत्येक भिन्न को लुप्त गुणनखंड से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते/घटाते हैं:

अब अंश में आप समान, यदि कोई हो, दे सकते हैं और उनका गुणनखंड कर सकते हैं:

खुद कोशिश करना:

उत्तर:

बी) हर में अक्षर होते हैं

आइए अक्षरों के बिना एक सामान्य हर खोजने के सिद्धांत को याद रखें:

· सबसे पहले, हम सामान्य कारकों का निर्धारण करते हैं;

· फिर हम सभी सामान्य कारकों को एक-एक करके लिखते हैं;

· और उन्हें अन्य सभी गैर-सामान्य कारकों से गुणा करें।

हर के सामान्य गुणनखंडों को निर्धारित करने के लिए, हम पहले उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करते हैं:

आइए हम सामान्य कारकों पर जोर दें:

आइए अब सामान्य कारकों को एक-एक करके लिखें और उनमें सभी गैर-सामान्य (रेखांकित नहीं) कारकों को जोड़ें:

यह सामान्य विभाजक है.

चलिए पत्रों पर वापस आते हैं। हर बिल्कुल उसी तरह दिए गए हैं:

· हरों का गुणनखंड करें;

· सामान्य (समान) कारकों का निर्धारण करें;

· सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखें;

· उन्हें अन्य सभी गैर-सामान्य कारकों से गुणा करें.

तो, क्रम में:

1) हरों का गुणनखंड करें:

2) सामान्य (समान) कारक निर्धारित करें:

3) सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखें और उन्हें अन्य सभी (गैर-रेखांकित) कारकों से गुणा करें:

तो यहाँ एक सामान्य विभाजक है। पहले अंश को इससे गुणा किया जाना चाहिए, दूसरे को - से:

वैसे, एक तरकीब है:

उदाहरण के लिए: ।

हम हर में समान गुणनखंड देखते हैं, केवल सभी अलग-अलग संकेतकों के साथ। सामान्य विभाजक होगा:

एक स्तर तक

एक स्तर तक

एक स्तर तक

एक स्तर तक।

आइए कार्य को जटिल बनाएं:

भिन्नों का हर समान कैसे बनाएं?

आइए भिन्न के मूल गुण को याद करें:

यह कहीं नहीं कहता कि भिन्न के अंश और हर में से समान संख्या को घटाया (या जोड़ा) जा सकता है। क्योंकि यह सच नहीं है!

स्वयं देखें: उदाहरण के लिए, कोई भिन्न लें, और अंश और हर में कुछ संख्या जोड़ें, उदाहरण के लिए,। आपने क्या सीखा?

तो, एक और अटल नियम:

जब आप भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाते हैं, तो केवल गुणन संक्रिया का उपयोग करें!

लेकिन क्या पाने के लिए आपको गुणा करने की आवश्यकता है?

तो गुणा करें. और इससे गुणा करें:

जिन अभिव्यक्तियों को गुणनखंडित नहीं किया जा सकता उन्हें हम "प्राथमिक कारक" कहेंगे।

उदाहरणार्थ, - यह एक प्राथमिक कारक है । - वही। लेकिन नहीं: इसे गुणनखंडित किया जा सकता है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या? क्या यह प्राथमिक है?

नहीं, क्योंकि इसे गुणनखंडित किया जा सकता है:

(आप पहले ही विषय "" में गुणनखंडन के बारे में पढ़ चुके हैं)।

तो, जिन प्राथमिक कारकों में आप अक्षरों के साथ एक अभिव्यक्ति को विघटित करते हैं, वे उन सरल कारकों के अनुरूप होते हैं जिनमें आप संख्याओं को विघटित करते हैं। और हम उनसे वैसे ही निपटेंगे.

हम देखते हैं कि दोनों हरों में गुणक होता है। यह सामान्य भाजक से डिग्री तक जाएगा (याद रखें क्यों?)।

कारक प्राथमिक है, और उनके पास एक सामान्य कारक नहीं है, जिसका अर्थ है कि पहले अंश को बस इससे गुणा करना होगा:

एक और उदाहरण:

समाधान:

इससे पहले कि आप इन हरों को घबराहट में गुणा करें, आपको यह सोचने की ज़रूरत है कि उन्हें कैसे गुणनखंडित किया जाए? वे दोनों प्रतिनिधित्व करते हैं:

महान! तब:

एक और उदाहरण:

समाधान:

हमेशा की तरह, आइए हरों का गुणनखंड करें। पहले हर में हम इसे केवल कोष्ठक से बाहर रखते हैं; दूसरे में - वर्गों का अंतर:

ऐसा प्रतीत होता है कि कोई सामान्य कारक नहीं हैं। लेकिन अगर आप बारीकी से देखें, तो वे समान हैं... और यह सच है:

तो चलिए लिखते हैं:

अर्थात्, यह इस प्रकार निकला: कोष्ठक के अंदर हमने पदों की अदला-बदली की, और उसी समय भिन्न के सामने का चिह्न विपरीत में बदल गया। ध्यान रखें, ऐसा आपको अक्सर करना होगा।

आइए अब इसे एक सामान्य विभाजक पर लाएँ:

समझ गया? आइए अब इसकी जाँच करें।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

उत्तर:

यहां हमें एक और बात याद रखनी होगी - घनों का अंतर:

कृपया ध्यान दें कि दूसरे अंश के हर में "योग का वर्ग" सूत्र शामिल नहीं है! योग का वर्ग इस प्रकार दिखेगा:।

A योग का तथाकथित अपूर्ण वर्ग है: इसमें दूसरा पद पहले और अंतिम का गुणनफल है, न कि उनका दोहरा गुणनफल। योग का आंशिक वर्ग घनों के अंतर के विस्तार के कारकों में से एक है:

यदि पहले से ही तीन भिन्न हों तो क्या करें?

हाँ, वही बात! सबसे पहले, आइए सुनिश्चित करें कि हर में कारकों की अधिकतम संख्या समान है:

कृपया ध्यान दें: यदि आप एक कोष्ठक के अंदर चिह्न बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिह्न विपरीत में बदल जाता है। जब हम दूसरे कोष्ठक में चिह्न बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिह्न फिर से विपरीत दिशा में बदल जाता है। परिणामस्वरूप, यह (अंश के सामने का चिह्न) नहीं बदला है।

हम पूरे पहले हर को सामान्य हर में लिखते हैं, और फिर इसमें उन सभी कारकों को जोड़ते हैं जो अभी तक नहीं लिखे गए हैं, दूसरे से, और फिर तीसरे से (और इसी तरह, यदि अधिक भिन्न हैं)। अर्थात्, यह इस प्रकार निकलता है:

हम्म... यह स्पष्ट है कि भिन्नों के साथ क्या करना है। लेकिन दोनों का क्या?

यह सरल है: आप भिन्नों को जोड़ना जानते हैं, है ना? तो, हमें दो को भिन्न बनाना होगा! आइए याद रखें: भिन्न एक विभाजन संक्रिया है (यदि आप भूल गए हैं तो अंश को हर से विभाजित किया जाता है)। और किसी संख्या को विभाजित करने से आसान कुछ भी नहीं है। इस स्थिति में, संख्या स्वयं नहीं बदलेगी, बल्कि भिन्न में बदल जाएगी:

बिल्कुल वही जो आवश्यक है!

5. भिन्नों का गुणन और विभाजन।

खैर, सबसे कठिन हिस्सा अब खत्म हो गया है। और हमारे आगे सबसे सरल, लेकिन साथ ही सबसे महत्वपूर्ण भी है:

प्रक्रिया

संख्यात्मक अभिव्यक्ति की गणना करने की प्रक्रिया क्या है? इस अभिव्यक्ति के अर्थ की गणना करके याद रखें:

क्या आपने गिनती की?

यह काम करना चाहिए।

तो, मैं आपको याद दिला दूं।

पहला कदम डिग्री की गणना करना है।

दूसरा है गुणा और भाग. यदि एक ही समय में कई गुणा और भाग हों तो उन्हें किसी भी क्रम में किया जा सकता है।

और अंत में, हम जोड़ और घटाव करते हैं। फिर, किसी भी क्रम में.

लेकिन: कोष्ठक में अभिव्यक्ति का मूल्यांकन बारी-बारी से किया जाता है!

यदि कई कोष्ठकों को एक-दूसरे से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो हम पहले प्रत्येक कोष्ठक में अभिव्यक्ति की गणना करते हैं, और फिर उन्हें गुणा या विभाजित करते हैं।

यदि कोष्ठक के अंदर अधिक कोष्ठक हों तो क्या होगा? खैर, आइए सोचें: कोष्ठक के अंदर कुछ अभिव्यक्ति लिखी हुई है। किसी व्यंजक की गणना करते समय, आपको सबसे पहले क्या करना चाहिए? यह सही है, कोष्ठक की गणना करें। खैर, हमने इसका पता लगा लिया: पहले हम आंतरिक कोष्ठक की गणना करते हैं, फिर बाकी सभी चीजों की।

तो, उपरोक्त अभिव्यक्ति की प्रक्रिया इस प्रकार है (वर्तमान क्रिया को लाल रंग में हाइलाइट किया गया है, अर्थात, वह क्रिया जो मैं अभी कर रहा हूं):

ठीक है, यह सब सरल है.

लेकिन यह अक्षरों वाली अभिव्यक्ति के समान नहीं है?

नहीं, यह वैसा ही है! केवल अंकगणितीय संक्रियाओं के बजाय, आपको बीजगणितीय संक्रियाएँ करने की आवश्यकता है, अर्थात, पिछले अनुभाग में वर्णित क्रियाएँ: समान ला रहा हूँ, भिन्नों को जोड़ना, भिन्नों को कम करना, इत्यादि। एकमात्र अंतर बहुपदों के गुणनखंडन की क्रिया में होगा (हम अक्सर भिन्नों के साथ काम करते समय इसका उपयोग करते हैं)। अक्सर, गुणनखंड करने के लिए, आपको I का उपयोग करने की आवश्यकता होती है या बस सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखना पड़ता है।

आमतौर पर हमारा लक्ष्य अभिव्यक्ति को उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना होता है।

उदाहरण के लिए:

आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

1) सबसे पहले, हम कोष्ठक में दिए गए व्यंजक को सरल बनाते हैं। वहां हमारे पास भिन्नों का अंतर है, और हमारा लक्ष्य इसे उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना है। इसलिए, हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं और जोड़ते हैं:

इस अभिव्यक्ति को और अधिक सरल बनाना असंभव है; यहां सभी कारक प्राथमिक हैं (क्या आपको अभी भी याद है कि इसका क्या अर्थ है?)।

2) हमें मिलता है:

भिन्नों को गुणा करना: इससे अधिक सरल क्या हो सकता है।

3) अब आप छोटा कर सकते हैं:

ठीक है अब सब ख़त्म हो गया। कुछ भी जटिल नहीं, है ना?

एक और उदाहरण:

अभिव्यक्ति को सरल कीजिये.

सबसे पहले, इसे स्वयं हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही समाधान पर विचार करें।

समाधान:

सबसे पहले, आइए कार्यों का क्रम निर्धारित करें।

सबसे पहले, आइए भिन्नों को कोष्ठकों में जोड़ें, ताकि दो भिन्नों के बजाय हमें एक भिन्न प्राप्त हो।

फिर हम भिन्नों का विभाजन करेंगे। खैर, आइए परिणाम को अंतिम भिन्न के साथ जोड़ें।

मैं चरणों को योजनाबद्ध तरीके से क्रमांकित करूंगा:

अब मैं आपको वर्तमान क्रिया को लाल रंग में रंगते हुए प्रक्रिया दिखाऊंगा:

1. यदि समान हों तो उन्हें तुरंत लाया जाना चाहिए। हमारे देश में जब भी ऐसी कोई बात सामने आती है, तो उन्हें तुरंत सामने लाने की सलाह दी जाती है।

2. यही बात भिन्नों को कम करने पर भी लागू होती है: जैसे ही कम करने का अवसर मिले, इसका लाभ उठाना चाहिए। अपवाद उन भिन्नों के लिए है जिन्हें आप जोड़ते या घटाते हैं: यदि अब उनके हर समान हैं, तो कमी को बाद के लिए छोड़ दिया जाना चाहिए।

यहां कुछ कार्य दिए गए हैं जिन्हें आपको स्वयं हल करना है:

और शुरुआत में ही क्या वादा किया गया था:

उत्तर:

समाधान (संक्षिप्त):

यदि आपने कम से कम पहले तीन उदाहरणों का सामना कर लिया है, तो आपने विषय में महारत हासिल कर ली है।

अब सीखने पर!

भावों को परिवर्तित करना। सारांश और बुनियादी सूत्र

बुनियादी सरलीकरण संचालन:

• समान लाना: समान शब्दों को जोड़ने (घटाने) के लिए, आपको उनके गुणांक जोड़ने और अक्षर भाग निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।
• गुणनखंडन:सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखना, उसे लागू करना, आदि।
• एक अंश कम करना: भिन्न के अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित किया जा सकता है, जिससे भिन्न का मान नहीं बदलता है।
  1) अंश और हर खंड करना
  2) यदि अंश और हर में सामान्य गुणनखंड हों, तो उन्हें काटा जा सकता है।

  महत्वपूर्ण: केवल गुणकों को ही कम किया जा सकता है!

• भिन्नों को जोड़ना और घटाना:
  ;
• भिन्नों को गुणा और विभाजित करना:
  ;

भाव, अभिव्यक्ति रूपांतरण

शक्ति अभिव्यक्तियाँ (शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियाँ) एवं उनका परिवर्तन

इस लेख में हम अभिव्यक्ति को शक्तियों से परिवर्तित करने के बारे में बात करेंगे। सबसे पहले, हम उन परिवर्तनों पर ध्यान केंद्रित करेंगे जो किसी भी प्रकार की अभिव्यक्ति के साथ किए जाते हैं, जिसमें शक्ति अभिव्यक्ति भी शामिल है, जैसे कोष्ठक खोलना और समान शब्द लाना। और फिर हम विशेष रूप से डिग्री के साथ अभिव्यक्तियों में निहित परिवर्तनों का विश्लेषण करेंगे: आधार और घातांक के साथ काम करना, डिग्री के गुणों का उपयोग करना आदि।

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शक्ति अभिव्यक्ति क्या हैं?

शब्द "पावर एक्सप्रेशन" व्यावहारिक रूप से स्कूली गणित की पाठ्यपुस्तकों में दिखाई नहीं देता है, लेकिन यह अक्सर समस्याओं के संग्रह में दिखाई देता है, विशेष रूप से यूनिफाइड स्टेट परीक्षा और उदाहरण के लिए यूनिफाइड स्टेट परीक्षा की तैयारी के लिए। उन कार्यों का विश्लेषण करने के बाद जिनमें शक्ति अभिव्यक्तियों के साथ कोई कार्य करना आवश्यक है, यह स्पष्ट हो जाता है कि शक्ति अभिव्यक्तियों को उनकी प्रविष्टियों में शक्तियों से युक्त अभिव्यक्तियों के रूप में समझा जाता है। इसलिए, आप अपने लिए निम्नलिखित परिभाषा स्वीकार कर सकते हैं:

परिभाषा।

शक्ति अभिव्यक्तियाँशक्तियाँ युक्त अभिव्यक्तियाँ हैं।

चलो हम देते है शक्ति अभिव्यक्ति के उदाहरण. इसके अलावा, हम उन्हें इस अनुसार प्रस्तुत करेंगे कि प्राकृतिक प्रतिपादक वाली डिग्री से वास्तविक प्रतिपादक वाली डिग्री तक विचारों का विकास कैसे होता है।

जैसा कि ज्ञात है, सबसे पहले व्यक्ति एक प्राकृतिक घातांक के साथ किसी संख्या की घात से परिचित होता है; इस स्तर पर, 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) प्रकार की पहली सरलतम घात अभिव्यक्तियाँ 4, 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 आदि दिखाई देते हैं।

थोड़ी देर बाद, पूर्णांक घातांक वाली संख्या की घात का अध्ययन किया जाता है, जिससे नकारात्मक पूर्णांक घात वाली घात अभिव्यक्तियाँ सामने आती हैं, जैसे कि निम्नलिखित: 3 −2, , ए −2 +2 बी −3 +सी 2 .

हाई स्कूल में वे डिग्री की ओर लौटते हैं। वहां एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री पेश की जाती है, जो संबंधित शक्ति अभिव्यक्तियों की उपस्थिति पर जोर देती है: , , और इसी तरह। अंत में, अपरिमेय घातांक वाली डिग्रियों और उनसे युक्त अभिव्यक्तियों पर विचार किया जाता है: , .

मामला सूचीबद्ध शक्ति अभिव्यक्तियों तक ही सीमित नहीं है: आगे चर घातांक में प्रवेश करता है, और, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अभिव्यक्तियाँ उत्पन्न होती हैं: 2 x 2 +1 या . और परिचित होने के बाद, घात और लघुगणक वाले भाव प्रकट होने लगते हैं, उदाहरण के लिए, x 2·lgx −5·x lgx।

इसलिए, हमने इस प्रश्न पर विचार किया है कि अभिव्यक्तियाँ किस शक्ति का प्रतिनिधित्व करती हैं। आगे हम उन्हें बदलना सीखेंगे।

शक्ति अभिव्यक्ति के मुख्य प्रकार के परिवर्तन

शक्ति अभिव्यक्तियों के साथ, आप अभिव्यक्तियों के किसी भी बुनियादी पहचान परिवर्तन को निष्पादित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप कोष्ठक खोल सकते हैं, संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को उनके मानों से बदल सकते हैं, समान शब्द जोड़ सकते हैं, आदि। स्वाभाविक रूप से, इस मामले में, कार्रवाई करने के लिए स्वीकृत प्रक्रिया का पालन करना आवश्यक है। चलिए उदाहरण देते हैं.

उदाहरण।

घात अभिव्यक्ति 2 3 ·(4 2 −12) के मान की गणना करें।

समाधान।

क्रियाओं के निष्पादन के क्रम के अनुसार सबसे पहले कोष्ठक में क्रियाएँ करें। वहां, सबसे पहले, हम घात 4 2 को उसके मान 16 से बदलते हैं (यदि आवश्यक हो, देखें), और दूसरी बात, हम अंतर 16−12=4 की गणना करते हैं। हमारे पास है 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

परिणामी अभिव्यक्ति में, हम घात 2 3 को उसके मान 8 से प्रतिस्थापित करते हैं, जिसके बाद हम उत्पाद 8·4=32 की गणना करते हैं। यह वांछित मान है.

इसलिए, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

उत्तर:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

उदाहरण।

शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 3 ए 4 बी −7 −1+2 ए 4 बी −7.

समाधान।

जाहिर है, इस अभिव्यक्ति में समान पद 3·a 4 ·b −7 और 2·a 4 ·b −7 शामिल हैं, और हम उन्हें प्रस्तुत कर सकते हैं:।

उत्तर:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

उदाहरण।

किसी अभिव्यक्ति को उत्पाद के रूप में शक्तियों के साथ व्यक्त करें।

समाधान।

आप संख्या 9 को 3 2 की घात के रूप में निरूपित करके और फिर संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र का उपयोग करके कार्य का सामना कर सकते हैं - वर्गों का अंतर:

उत्तर:

विशेष रूप से शक्ति अभिव्यक्तियों में निहित कई समान परिवर्तन भी हैं। हम उनका आगे विश्लेषण करेंगे.

आधार और प्रतिपादक के साथ कार्य करना

ऐसी डिग्रियाँ हैं जिनका आधार और/या घातांक केवल संख्याएँ या चर नहीं हैं, बल्कि कुछ अभिव्यक्तियाँ हैं। उदाहरण के तौर पर, हम प्रविष्टियाँ (2+0.3·7) 5−3.7 और (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) देते हैं।

ऐसी अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय, आप डिग्री के आधार में अभिव्यक्ति और घातांक में अभिव्यक्ति दोनों को इसके चर के ओडीजेड में समान रूप से समान अभिव्यक्ति के साथ बदल सकते हैं। दूसरे शब्दों में, हमें ज्ञात नियमों के अनुसार, हम डिग्री के आधार को अलग से और घातांक को अलग से बदल सकते हैं। यह स्पष्ट है कि इस परिवर्तन के परिणामस्वरूप, एक अभिव्यक्ति प्राप्त होगी जो मूल के समान ही होगी।

इस तरह के परिवर्तन हमें शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति को सरल बनाने या हमारे लिए आवश्यक अन्य लक्ष्यों को प्राप्त करने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए, ऊपर उल्लिखित घात अभिव्यक्ति (2+0.3 7) 5−3.7 में, आप आधार और घातांक में संख्याओं के साथ संचालन कर सकते हैं, जो आपको घात 4.1 1.3 पर जाने की अनुमति देगा। और कोष्ठक खोलने और समान पदों को घात (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) के आधार पर लाने के बाद, हमें एक सरल रूप a 2·(x+) की शक्ति अभिव्यक्ति प्राप्त होती है 1) .

डिग्री गुणों का उपयोग करना

शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति को बदलने के लिए मुख्य उपकरणों में से एक समानताएं हैं जो प्रतिबिंबित करती हैं। आइए हम मुख्य बातों को याद करें। किसी भी सकारात्मक संख्या ए और बी और मनमानी वास्तविक संख्या आर और एस के लिए, शक्तियों के निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

• ए आर·ए एस =ए आर+एस ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ए·बी) आर =ए आर ·बी आर ;
• (ए:बी) आर =ए आर:बी आर ;
• (ए आर) एस =ए आर·एस।

ध्यान दें कि प्राकृतिक, पूर्णांक और सकारात्मक घातांक के लिए, संख्या ए और बी पर प्रतिबंध इतना सख्त नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं m और n के लिए समानता a m ·a n =a m+n न केवल सकारात्मक a के लिए, बल्कि ऋणात्मक a के लिए और a=0 के लिए भी सत्य है।

स्कूल में, शक्ति अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करते समय मुख्य ध्यान उपयुक्त संपत्ति को चुनने और इसे सही ढंग से लागू करने की क्षमता पर होता है। इस मामले में, डिग्री के आधार आमतौर पर सकारात्मक होते हैं, जो डिग्री के गुणों को बिना किसी प्रतिबंध के उपयोग करने की अनुमति देता है। यही बात शक्तियों के आधारों में चर युक्त अभिव्यक्तियों के परिवर्तन पर भी लागू होती है - चर के अनुमेय मूल्यों की सीमा आमतौर पर ऐसी होती है कि आधार उस पर केवल सकारात्मक मान लेते हैं, जो आपको शक्तियों के गुणों का स्वतंत्र रूप से उपयोग करने की अनुमति देता है . सामान्य तौर पर, आपको अपने आप से लगातार यह पूछने की ज़रूरत है कि क्या इस मामले में डिग्री की किसी संपत्ति का उपयोग करना संभव है, क्योंकि संपत्तियों के गलत उपयोग से शैक्षिक मूल्य में कमी और अन्य परेशानियां हो सकती हैं। शक्तियों के गुणों का उपयोग करके अभिव्यक्तियों का परिवर्तन लेख में इन बिंदुओं पर विस्तार से और उदाहरणों के साथ चर्चा की गई है। यहां हम खुद को कुछ सरल उदाहरणों पर विचार करने तक ही सीमित रखेंगे।

उदाहरण।

अभिव्यक्ति a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 को आधार a के साथ एक घात के रूप में व्यक्त करें।

समाधान।

सबसे पहले, हम एक शक्ति को एक शक्ति में बढ़ाने की संपत्ति का उपयोग करके दूसरे कारक (ए 2) -3 को बदलते हैं: (ए 2) −3 =ए 2·(−3) =ए −6. मूल शक्ति अभिव्यक्ति 2.5·a −6:a −5.5 का रूप लेगी। जाहिर है, घातों के गुणन और विभाजन के गुणों का उपयोग उसी आधार पर करना बाकी है, जो हमारे पास है
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
ए 2.5−6:ए −5.5 =ए −3.5:ए −5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

उत्तर:

ए 2.5 ·(ए 2) −3:ए −5.5 =ए 2.

शक्ति अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करते समय शक्तियों के गुणों का उपयोग बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ दोनों में किया जाता है।

उदाहरण।

घात अभिव्यक्ति का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान।

दाएं से बाएं ओर लागू समानता (ए·बी) आर =एआर ·बी आर, हमें मूल अभिव्यक्ति से फॉर्म के उत्पाद तक और आगे बढ़ने की अनुमति देती है। और जब घातों को समान आधारों से गुणा किया जाता है, तो घातांक जुड़ जाते हैं: .

मूल अभिव्यक्ति को दूसरे तरीके से बदलना संभव था:

उत्तर:

.

उदाहरण।

घात अभिव्यक्ति a 1.5 −a 0.5 −6 को देखते हुए, एक नया चर t=a 0.5 प्रस्तुत करें।

समाधान।

डिग्री ए 1.5 को 0.5 3 के रूप में दर्शाया जा सकता है और फिर, डिग्री की संपत्ति के आधार पर डिग्री (ए आर) एस = ए आर एस के आधार पर, दाएं से बाएं लागू किया जाता है, इसे फॉर्म (ए 0.5) 3 में बदल दिया जाता है। इस प्रकार, ए 1.5 −ए 0.5 −6=(ए 0.5) 3 −ए 0.5 −6. अब एक नया वेरिएबल t=a 0.5 प्रस्तुत करना आसान है, हमें t 3 −t−6 मिलता है।

उत्तर:

t 3 −t−6 .

घात वाले भिन्नों को परिवर्तित करना

घात अभिव्यक्तियों में घात वाले भिन्न शामिल हो सकते हैं या उनका प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। भिन्नों का कोई भी बुनियादी परिवर्तन जो किसी भी प्रकार के भिन्नों में निहित होता है, ऐसे भिन्नों पर पूरी तरह से लागू होता है। अर्थात्, जिन भिन्नों में घात होते हैं उन्हें कम किया जा सकता है, एक नए हर में घटाया जा सकता है, उनके अंश के साथ अलग से और हर के साथ अलग से काम किया जा सकता है, आदि। इन शब्दों को स्पष्ट करने के लिए, कई उदाहरणों के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

शक्ति अभिव्यक्ति को सरल बनाएं .

समाधान।

यह शक्ति अभिव्यक्ति एक अंश है. आइए इसके अंश और हर के साथ काम करें। अंश में हम कोष्ठक खोलते हैं और घातों के गुणों का उपयोग करके परिणामी अभिव्यक्ति को सरल बनाते हैं, और हर में हम समान पद प्रस्तुत करते हैं:

और आइए भिन्न के सामने ऋण लगाकर हर का चिह्न भी बदलें: .

उत्तर:

.

एक नए हर में घात वाले भिन्नों को कम करना, एक नए हर में परिमेय भिन्नों को कम करने के समान ही किया जाता है। इस स्थिति में, एक अतिरिक्त गुणनखंड भी पाया जाता है और भिन्न के अंश और हर को उससे गुणा किया जाता है। इस क्रिया को करते समय, यह याद रखने योग्य है कि एक नए हर में कमी से वीए में कमी हो सकती है। ऐसा होने से रोकने के लिए, यह आवश्यक है कि मूल अभिव्यक्ति के लिए ODZ चर से चर के किसी भी मान के लिए अतिरिक्त कारक शून्य पर न जाए।

उदाहरण।

भिन्नों को एक नए हर में घटाएँ: a) हर को a, b) हर को.

समाधान।

ए) इस मामले में, यह पता लगाना काफी आसान है कि कौन सा अतिरिक्त गुणक वांछित परिणाम प्राप्त करने में मदद करता है। यह 0.3 का गुणक है, क्योंकि 0.7·ए 0.3 =ए 0.7+0.3 =ए. ध्यान दें कि चर के अनुमेय मानों की सीमा में (यह सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट है), 0.3 की शक्ति गायब नहीं होती है, इसलिए, हमें दिए गए अंश और हर को गुणा करने का अधिकार है इस अतिरिक्त कारक द्वारा अंश:

बी) हर पर करीब से नज़र डालने पर, आप उसे पाएंगे

और इस व्यंजक को इससे गुणा करने पर घनों का योग प्राप्त होगा, अर्थात्। और यह नया हर है जिससे हमें मूल भिन्न को कम करने की आवश्यकता है।

इस तरह हमें एक अतिरिक्त कारक मिला। चर x और y के स्वीकार्य मानों की सीमा में, अभिव्यक्ति गायब नहीं होती है, इसलिए, हम भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा कर सकते हैं:

उत्तर:

ए) , बी) .

घात वाले भिन्नों को कम करने में भी कोई नई बात नहीं है: अंश और हर को कई कारकों के रूप में दर्शाया जाता है, और अंश और हर के समान कारकों को कम किया जाता है।

उदाहरण।

अंश कम करें: ए) , बी) ।

समाधान।

a) सबसे पहले, अंश और हर को संख्या 30 और 45 से घटाया जा सकता है, जो 15 के बराबर है। स्पष्ट रूप से x 0.5 +1 और द्वारा कमी करना भी संभव है . यहाँ हमारे पास क्या है:

बी) इस मामले में, अंश और हर में समान कारक तुरंत दिखाई नहीं देते हैं। उन्हें प्राप्त करने के लिए, आपको प्रारंभिक परिवर्तन करने होंगे। इस मामले में, वे वर्गों के अंतर सूत्र का उपयोग करके हर का गुणनखंड करते हैं:

उत्तर:

ए)

बी) .

भिन्नों को नए हर में बदलना और भिन्नों को कम करना मुख्य रूप से भिन्नों के साथ काम करने के लिए उपयोग किया जाता है। क्रियाएँ ज्ञात नियमों के अनुसार की जाती हैं। भिन्नों को जोड़ने (घटाने) पर, उन्हें एक सामान्य हर में घटा दिया जाता है, जिसके बाद अंशों को जोड़ा (घटाया) जाता है, लेकिन हर वही रहता है। परिणाम एक भिन्न है जिसका अंश अंशों का गुणनफल है, और हर हरों का गुणनफल है। किसी भिन्न से भाग करना उसके व्युत्क्रम से गुणा करना है।

उदाहरण।

चरणों का पालन करें .

समाधान।

सबसे पहले, हम कोष्ठक में भिन्नों को घटाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम उन्हें एक सामान्य विभाजक पर लाते हैं, जो है , जिसके बाद हम अंशों को घटाते हैं:

अब हम भिन्नों को गुणा करते हैं:

जाहिर है, x 1/2 की शक्ति से कम करना संभव है, जिसके बाद हमारे पास है .

आप वर्गों के अंतर सूत्र का उपयोग करके हर में घात अभिव्यक्ति को सरल भी बना सकते हैं: .

उत्तर:

उदाहरण।

शक्ति अभिव्यक्ति को सरल बनाएं .

समाधान।

जाहिर है, इस भिन्न को (x 2.7 +1) 2 से कम किया जा सकता है, इससे भिन्न प्राप्त होता है . यह स्पष्ट है कि X की शक्तियों के साथ कुछ और करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम परिणामी अंश को एक उत्पाद में बदल देते हैं। इससे हमें समान आधारों पर शक्तियों को विभाजित करने की संपत्ति का लाभ उठाने का अवसर मिलता है: . और प्रक्रिया के अंत में हम अंतिम उत्पाद से भिन्न की ओर बढ़ते हैं।

उत्तर:

.

और आइए हम यह भी जोड़ें कि यह संभव है, और कई मामलों में वांछनीय है, कि घातांक के चिह्न को बदलते हुए, नकारात्मक घातांक वाले कारकों को अंश से हर में या हर से अंश में स्थानांतरित किया जाए। ऐसे परिवर्तन अक्सर आगे की कार्रवाइयों को सरल बनाते हैं। उदाहरण के लिए, एक शक्ति अभिव्यक्ति को द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

भावों को जड़ों और शक्तियों से रूपांतरित करना

प्रायः जिन भावों में कुछ परिवर्तन की आवश्यकता होती है, उनमें घातों के साथ भिन्नात्मक घातांक वाले मूल भी मौजूद होते हैं। ऐसी अभिव्यक्ति को वांछित रूप में बदलने के लिए अधिकांश मामलों में केवल जड़ों तक या केवल शक्तियों तक जाना ही पर्याप्त होता है। लेकिन चूंकि शक्तियों के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है, वे आमतौर पर जड़ों से शक्तियों की ओर बढ़ते हैं। हालाँकि, इस तरह के संक्रमण को अंजाम देने की सलाह तब दी जाती है जब मूल अभिव्यक्ति के लिए चर का ODZ आपको मॉड्यूल को संदर्भित करने या ODZ को कई अंतरालों में विभाजित करने की आवश्यकता के बिना जड़ों को शक्तियों से बदलने की अनुमति देता है (हमने इस पर विस्तार से चर्चा की है) लेख जड़ों से शक्तियों और पीठ तक संक्रमण करता है एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री से परिचित होने के बाद एक अपरिमेय घातांक के साथ एक डिग्री पेश की जाती है, जो हमें एक मनमाना वास्तविक घातांक के साथ एक डिग्री के बारे में बात करने की अनुमति देती है। इस स्तर पर, स्कूल शुरू होता है अध्ययन घातांक प्रकार्य, जो विश्लेषणात्मक रूप से एक शक्ति द्वारा दिया जाता है, जिसका आधार एक संख्या है, और घातांक एक चर है। इसलिए हमें घात के आधार में संख्याओं से युक्त घात अभिव्यक्तियों का सामना करना पड़ता है, और घातांक में - चर के साथ अभिव्यक्तियाँ, और स्वाभाविक रूप से ऐसी अभिव्यक्तियों के परिवर्तन करने की आवश्यकता उत्पन्न होती है।

यह कहा जाना चाहिए कि संकेतित प्रकार के भावों का परिवर्तन आमतौर पर हल करते समय करना पड़ता है घातीय समीकरणऔर घातांकीय असमानताएँ, और ये रूपांतरण काफी सरल हैं। अधिकांश मामलों में, वे डिग्री के गुणों पर आधारित होते हैं और अधिकांश भाग के लिए, भविष्य में एक नया चर पेश करने के उद्देश्य से होते हैं। समीकरण हमें उन्हें प्रदर्शित करने की अनुमति देगा 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

सबसे पहले, शक्तियाँ, जिनके घातांक में एक निश्चित चर (या चर के साथ अभिव्यक्ति) और एक संख्या का योग होता है, को उत्पादों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह बाईं ओर अभिव्यक्ति के पहले और अंतिम शब्दों पर लागू होता है:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

इसके बाद, समानता के दोनों पक्षों को अभिव्यक्ति 7 2 x द्वारा विभाजित किया जाता है, जो मूल समीकरण के लिए चर x के ODZ पर केवल सकारात्मक मान लेता है (यह इस प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए एक मानक तकनीक है, हम नहीं हैं) अभी इसके बारे में बात कर रहे हैं, इसलिए शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों के बाद के परिवर्तनों पर ध्यान केंद्रित करें):

अब हम भिन्नों को घातों से रद्द कर सकते हैं, जो देता है .

अंत में, समान घातांक वाली घातों के अनुपात को संबंधों की घातों से बदल दिया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप समीकरण बनता है , जो समतुल्य है . किए गए परिवर्तनों से हमें एक नया चर पेश करने की अनुमति मिलती है, जो मूल घातीय समीकरण के समाधान को द्विघात समीकरण के समाधान में बदल देता है

नगर राज्य शैक्षणिक संस्थान

बेसिक सेकेंडरी स्कूल नंबर 25

बीजगणित पाठ

विषय:

« भिन्नात्मक घातांक वाले घात वाले व्यंजकों को परिवर्तित करना"

द्वारा विकसित:

,

गणित शिक्षक

उच्चतर सेयोग्यता श्रेणी

नोडल

2013

पाठ विषय: घातांक वाले व्यंजकों को भिन्नात्मक घातांकों से परिवर्तित करना

पाठ का उद्देश्य:

1. भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री युक्त अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करने में कौशल, ज्ञान और कौशल का और विकास

2. त्रुटियों को खोजने की क्षमता का विकास, सोच, रचनात्मकता, भाषण, कंप्यूटिंग कौशल का विकास

3. स्वतंत्रता, विषय में रुचि, सावधानी, सटीकता को बढ़ावा देना।

टीसीओ:चुंबकीय बोर्ड, परीक्षण कार्ड, टेबल, व्यक्तिगत कार्ड, स्कूली बच्चों के पास व्यक्तिगत कार्य के लिए टेबल पर खाली हस्ताक्षरित शीट, एक क्रॉसवर्ड पहेली, गणितीय वार्म-अप के लिए टेबल, एक मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर है।

पाठ का प्रकार: ZUN को सुरक्षित करना।

समय के साथ पाठ योजना

1. संगठनात्मक पहलू (2 मिनट)

2. होमवर्क जाँचना (5 मिनट)

3. क्रॉसवर्ड पहेली (3 मिनट)

4. गणितीय वार्म-अप (5 मिनट)

5. ललाट को मजबूत बनाने वाले व्यायामों को हल करना (7 मिनट)

6. व्यक्तिगत कार्य (10 मिनट)

7. दोहराव अभ्यास का समाधान (5 मिनट)

8. पाठ सारांश (2 मिनट)

9. होमवर्क असाइनमेंट (1 मिनट)

कक्षाओं के दौरान

1) सहकर्मी समीक्षा के रूप में होमवर्क की जाँच करना . अच्छे विद्यार्थी कमज़ोर बच्चों की कॉपियाँ जाँचते हैं। और कमजोर लोग नमूना नियंत्रण कार्ड का उपयोग करके मजबूत लोगों से जांच करते हैं। होमवर्क दो संस्करणों में दिया गया है।

मैं विकल्प कार्य कठिन नहीं है

द्वितीय विकल्प कार्य कठिन है

जाँच के परिणामस्वरूप, लोग एक साधारण पेंसिल से गलतियों को उजागर करते हैं और रेटिंग देते हैं। कक्षा के बाद बच्चों द्वारा अपनी नोटबुक सौंपने के बाद मैं अंततः काम की जाँच करता हूँ। मैं लोगों से उनके परीक्षण के परिणाम पूछता हूं और इस प्रकार के काम के लिए ग्रेड अपनी सारांश तालिका में रखता हूं।

2) सैद्धांतिक सामग्री का परीक्षण करने के लिए, एक क्रॉसवर्ड पहेली की पेशकश की जाती है.

लंबवत:

1. एकपदी को बहुपद से गुणा करते समय उपयोग किया जाने वाला गुणन गुण?

2. किसी घात को घात में बढ़ाने पर घातांक का प्रभाव?

3. शून्य सूचकांक वाली डिग्री?

4. समान कारकों से युक्त उत्पाद?

क्षैतिज रूप से:

5. जड़ एन – ओह एक गैर-नकारात्मक संख्या की डिग्री?

6. घातों को गुणा करते समय घातांकों की क्रिया?

7. घातों को विभाजित करने में घातांकों का प्रभाव?

8. सभी समान कारकों की संख्या?

3) गणितीय वार्म-अप

ए) गणना करें और समस्या में छिपे शब्द को पढ़ने के लिए सिफर का उपयोग करें।

आपके सामने बोर्ड पर एक टेबल है. कॉलम 1 की तालिका में ऐसे उदाहरण हैं जिनकी गणना करने की आवश्यकता है।

टेबल की कुंजी

और उत्तर कॉलम में लिखें II, और कॉलम III में इस उत्तर के अनुरूप अक्षर डालें।

शिक्षक: तो, एन्क्रिप्टेड शब्द "डिग्री" है। अगले कार्य में हम दूसरी और तीसरी डिग्री के साथ काम करते हैं

बी) गेम "सुनिश्चित करें कि आप कोई गलती न करें"

बिन्दुओं के स्थान पर एक अंक अंकित करें

ए) x=(x...)2; बी) ए3/2 = (ए1/2)…; ग) a=(a1/3)…; घ) 5... = (51/4)2; ई) 34/3=(34/9)…; ई) 74/5 = (7...)2; जी) x1/2=(x...)2; ज) y1/2=(y...)2

आइए त्रुटि ढूंढें:

ए1/4 – 2ए1/2 + 1 = (ए1/

तो, दोस्तों, इस कार्य को पूरा करने के लिए क्या उपयोग करने की आवश्यकता है:

डिग्री की संपत्ति: डिग्री को एक घात तक बढ़ाने पर, घातांक को गुणा किया जाता है;

4) आइए अब फ्रंट-एंड लिखित कार्य शुरू करें। , पिछले कार्य के परिणामों का उपयोग करना। नोटबुक खोलें और पाठ की तारीख और विषय लिखें।

№ 000

ए) ए - बी = (ए1/2)2 - (बी1/2)2 = (ए1/2 - बी1/2)*(ए1/2 + बी1/2)

बी) ए - सी = (ए1/3)3 - (बी1/3)3 = (ए1/3 - सी1/3)*(ए2/3 + ए1/3 बी1/3 + बी2/3)

नंबर 000 (ए, सी, डी, ई)

ए ) एम2 – 5 = एम2 – (एम1/2)2 = (एम – 51/2)*(एम+51/2)

सी) ए3 - 4 = (ए3/2)2 - 22 = (ए3/2 - 2)*(ए3/2 +2)

डी) x2/5 – y4/5 = (x1/5)2 – (y2/5)2 = (x1/5 – y2/5)*(x1/5 + y2/5)

ई) 4 - ए = 22 - (ए1/2)2 = (2 - ए1/2)*(2+ए1/2)

नंबर 000 (ए, डी, एफ)

ए) x3 - 2 = x3 - (21/3)3 = (x - 21/3)*(x2 + 21/3 x + 22/3)

डी) ए6/5 + 27 = (ए2/5)3 + 33 = (ए2/5 + 3)*(ए4/3 – 3 ए2/5 + 9)

ई) 4 + वाई = (41/3)3 + (वाई1/3)3 = (41/3 + वाई1/3)*(42/3 + 41/3 वाई1/3 + वाई2/3)

श्रेणी

5) अलग-अलग शीट पर चार विकल्पों का उपयोग करके अलग-अलग कार्ड पर काम करें

अलग-अलग स्तर की कठिनाई वाले कार्य शिक्षक के किसी भी संकेत के बिना पूरे किए जाते हैं।

मैं तुरंत काम की जाँच करता हूँ और ग्रेड को अपनी मेज पर और लोगों की शीट पर रख देता हूँ।

नंबर 000 (ए, सी, डी, एच)

ए) 4*31/2/(31/2 – 3) = 4*31/2 /31/2*(1 – 31/2) = 4 / (1 – 31/2)

सी) x + x1/2 /2x = x1/2*(x1/2+1)/ 2*(x1/2)2 = (x1/2+1)/ 2x1/2

ई) (ए2/3 – बी2/3)/(ए1/3 +बी1/3) = (ए1/3)2 – (बी1/3)2/(ए1/3 +बी1/3) = (ए1/3) + बी1/3)*(ए1/3 – बी1/3)/(ए1/3 + बी1/3) = ए1/3 – बी1/3

ज) (x2/3 - x1/3 y1/3 + y2/3)/(x + y) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/(( x1/3)3 +(y1/3)3) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 +(y1/3)2)/(x1/3 +y1/3)*((x1 /3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2) = 1/ (x1/3 + y1/3)

7) जटिलता की अलग-अलग डिग्री के साथ अलग-अलग कार्डों पर काम करना. कुछ अभ्यासों में शिक्षक की सिफारिशें होती हैं, क्योंकि सामग्री जटिल होती है और कमजोर बच्चों के लिए काम का सामना करना मुश्किल होता है

चार विकल्प भी उपलब्ध हैं. मूल्यांकन तुरंत होता है. मैंने सभी ग्रेडों को एक स्प्रेडशीट में डाल दिया।

संग्रह से समस्या क्रमांक

शिक्षक प्रश्न पूछता है:

1. समस्या में क्या पाया जाना चाहिए?

2. इसके लिए आपको क्या जानने की जरूरत है?

3. 1 पैदल यात्री और 2 पैदल यात्री के समय को कैसे व्यक्त करें?

4. समस्या की स्थिति के अनुसार पैदल यात्रियों 1 और 2 के समय की तुलना करें और एक समीकरण बनाएं।

समस्या का समाधान:

मान लीजिए कि 1 पैदल यात्री की गति x (किमी/घंटा) है

X +1 (किमी/घंटा) - 2 पैदल यात्रियों की गति

4/х (एच) - पैदल चलने का समय

4/(x +1) (एच) - दूसरे पैदल यात्री का समय

समस्या की शर्तों के अनुसार 4/x >4/ (x +1) 12 मिनट के लिए

12 मिनट = 12/60 घंटे = 1/5 घंटे

चलिए एक समीकरण बनाते हैं

एक्स/4 – 4/ (एक्स +1) = 1/5

NOZ: 5x(x +1) ≠ 0

5*4*(x+1) – 5*4x = x*(x+1)

20x + 20 – 20x – x2 – x = 0

X2 +x –20 = 0

डी=1 – 4*(-20) = 81, 81>0, 2 के

x1 = (-1 -√81)/(-2) = 5 किमी/घंटा - 1 पैदल यात्री की गति

x2 = (-1 + √81)/(-2) = 4 - समस्या के अर्थ में फिट नहीं बैठता, क्योंकि x>0

उत्तर: 5 किमी/घंटा - 2 पैदल यात्रियों की गति

9) पाठ सारांश: तो, दोस्तों, आज पाठ में हमने डिग्री वाले भावों को बदलने के ज्ञान, कौशल और कौशल को समेकित किया, संक्षिप्त गुणन सूत्रों को लागू किया, सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकाला, और कवर की गई सामग्री को दोहराया। मैं फायदे और नुकसान बताता हूं।

पाठ को एक तालिका में सारांशित करना।

10) मैं ग्रेड की घोषणा करता हूं। होमवर्क असाइनमेंट

व्यक्तिगत कार्ड K-1 और K-2

मैं बी-1 और बी-2 बदलता हूं; बी-3 और बी-4, क्योंकि वे समतुल्य हैं

पाठ के लिए अनुप्रयोग.

1) होमवर्क के लिए कार्ड

1. सरल करें

ए) (x1/2 – y1/2)2 + 2x1/2 y1/2

बी) (ए3/2 + 5ए1\2)2 – 10ए2

2. योग के रूप में उपस्थित होना

a) a1/3 c1\4*(b2/3 + c3/4)

बी) (ए1/2 – बी1/2)*(ए + ए1/2 बी1\2 + सी)

3. समग्र गुणक निकालें

ग) 151/3 +201/3

1. सरल करें

ए) √m + √n – (m1/4 – n1/4)2

बी) (ए1/4 + बी1/4)*(ए1/8 + बी1/8)*(ए1\8 – बी1/8)

2. योग के रूप में उपस्थित होना

a) x0.5 y0.5*(x-0.5 – y1.5)

बी) (x1/3 + y1/3)*(x2\3 – x1/3 y1\3 + y2/3)

3. सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें

बी) सी1\3 – सी

सी) (2ए)1/3 - (5ए)1\3

2) बी-2 के लिए नियंत्रण कार्ड

a) √m + √n – (m 1|4 – n 1|4)2 = m 1|2 + n 1|2 – ((m 1|2)2 – 2 m 1/4 n 1/4 + (एन 1/2)2) = एम 1/2 + एन 1/2 - एम 1/2 + 2 एम 1/4 एन 1/4 - एन 1/2 = 2 एम 1/4 एन 1/4

बी) (ए1/4 + बी1/4)*(ए1/8 + बी1/8)*(ए1/8 – बी1/8) = (ए1/4 + बी1/4)*(ए1/8)2 – ( в1/8)2 = (а1/4 + в1/4)*(а1/4 - в1/4) = (а1/4)2 - (в1/4)2 = а1/2 - в1/2

a) x0.5 y0.5* (x-0.5-y1.5) = x0.5 y0.5 x-0.5 – x0.5 y0.5y1.5 = x0 y0.5 – x0.5 y2 = y0. 5 – x0.5 y2

बी) (x1/3 + y1/3)*(x2/3 – x1/3 y1\3 + y2/3) = (x1\3 + y1/3)*((x1/3)2 – x1/3 y1\3 + (y1/3)2) = (x1/3)2 + (y1/3)2 = x + y

ए) 3 - 31/2 = 31/2 * (31/2 - 1)

बी) वी1/3 - वी = वी1/3 *(1 - वी2/3)

सी) (2ए)1/3 – (5ए)1/3 = ए1/3*(21/3 – 51/3)

3) प्रथम व्यक्तिगत कार्य के लिए कार्ड

ए) ए - वाई, एक्स ≥ 0, वाई ≥ 0

बी) ए - और, ए ≥ 0

1. वर्गों के अंतर के रूप में गुणनखंड करें

ए) ए1/2 - बी1/2

2. घनों के अंतर या योग के रूप में गुणनखंड करें

ए) सी1/3 + डी1/3

1. वर्गों के अंतर के रूप में गुणनखंड करें

ए) एक्स1/2 + वाई1/2

बी) एक्स1/4 - यू1/4

2. घनों के अंतर या योग के रूप में गुणनखंड करें

4) दूसरे व्यक्तिगत कार्य के लिए कार्ड

ए) (एक्स - एक्स1/2)/ (एक्स1/2 - 1)

निर्देश: x1/2, कोष्ठक से अंश हटाएँ

बी) (ए - सी)/(ए1/2 - बी1/2)

नोट: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

अंश कम करें

ए) (21/4 - 2)/5*21/4

निर्देश: कोष्ठक से 21/4 हटा दें

बी) (ए - सी)/(5ए1/2 - 5वी1/2)

नोट: a – b = (a1/2)2 – (b1/2)2

विकल्प 3

1. भिन्न कम करें

ए) (x1/2 – x1/4)/x3/4

निर्देश: x1/4 को कोष्ठक से बाहर रखें

बी) (ए1/2 - बी1/2)/(4ए1/4 - 4बी1/4)

विकल्प 4

अंश कम करें

ए) 10/ (10 - 101/2)

बी) (ए - सी)/(ए2/3 + ए1\3बी1/3+ बी 1/3)

विषय: " भिन्नात्मक घातांक के साथ घात वाले व्यंजकों को परिवर्तित करना"

"किसी को गणित से डिग्रियाँ ख़त्म करने का प्रयास करने दीजिए, और वह देख लेगा कि उनके बिना आप ज़्यादा दूर तक नहीं पहुँच सकते।" (एम.वी. लोमोनोसोव)

पाठ मकसद:

शैक्षिक:"तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" विषय पर छात्रों के ज्ञान को सारांशित और व्यवस्थित करना; सामग्री की महारत के स्तर की निगरानी करना; छात्रों के ज्ञान और कौशल में अंतराल को खत्म करना;

विकसित होना:छात्रों के आत्म-नियंत्रण कौशल को विकसित करना; प्रत्येक छात्र के लिए उनके काम में रुचि का माहौल बनाना, छात्रों की संज्ञानात्मक गतिविधि का विकास करना;

शैक्षिक:गणित के इतिहास में विषय में रुचि पैदा करें।

पाठ का प्रकार: ज्ञान के सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण का पाठ

उपकरण: प्रत्येक छात्र के लिए मूल्यांकन पत्रक, कार्यों वाले कार्ड, डिकोडर, क्रॉसवर्ड पहेलियाँ।

प्रारंभिक तैयारी: कक्षा को समूहों में विभाजित किया गया है, प्रत्येक समूह में नेता एक सलाहकार है।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण।

अध्यापक:हमने "तर्कसंगत प्रतिपादक वाली एक शक्ति और उसके गुणों" विषय का अध्ययन पूरा कर लिया है। इस पाठ में आपका कार्य यह दिखाना है कि आपने जो सामग्री पढ़ी है उसमें आपने कैसे महारत हासिल की है और आप अर्जित ज्ञान को विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए कैसे लागू कर सकते हैं। आपमें से प्रत्येक के पास अपनी मेज पर एक स्कोर शीट है। इसमें आप पाठ के प्रत्येक चरण के लिए अपना मूल्यांकन दर्ज करेंगे। पाठ के अंत में आप पाठ के लिए औसत अंक देंगे।

मूल्यांकन पत्र

द्वितीय. होमवर्क की जाँच करना.

सहकर्मी हाथ में पेंसिल लेकर जाँच करते हैं, उत्तर छात्रों द्वारा पढ़े जाते हैं।

तृतीय. छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना।

अध्यापक:प्रसिद्ध फ्रांसीसी लेखक अनातोले फ्रांस ने एक बार कहा था: "सीखना मज़ेदार होना चाहिए... ज्ञान को अवशोषित करने के लिए, आपको इसे भूख से अवशोषित करना चाहिए।"

आइए क्रॉसवर्ड पहेली को हल करते समय आवश्यक सैद्धांतिक जानकारी दोहराएँ।

क्षैतिज रूप से:

1. वह क्रिया जिसके द्वारा डिग्री के मूल्य की गणना की जाती है (निर्माण)।

2. समान कारकों से युक्त उत्पाद (डिग्री)।

3. किसी घात को घात तक बढ़ाने पर घातांक की क्रिया (काम)।

4. अंशों की वह क्रिया जिस पर अंशों के घातांक घटाए जाते हैं (विभाजन)।

लंबवत:

5. सभी समान कारकों की संख्या (अनुक्रमणिका)।

6. शून्य सूचकांक वाली डिग्री (इकाई)।

7. आवर्ती गुणक (आधार)।

8. 10 5 का मान: (2 3 5 5) (चार)।

9. एक प्रतिपादक जो सामान्यतः नहीं लिखा जाता (इकाई)।

चतुर्थ. गणितीय वार्म-अप.

अध्यापक।आइए एक तर्कसंगत घातांक और उसके गुणों के साथ डिग्री की परिभाषा को दोहराएं, और निम्नलिखित कार्यों को पूरा करें।

1. अभिव्यक्ति x 22 को आधार x के साथ दो शक्तियों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करें, यदि कारकों में से एक बराबर है: x 2, x 5.5, x 1\3, x 17.5, x 0

2. सरल करें:

बी) वाई 5\8 वाई 1\4: वाई 1\8 = वाई

ग) 1.4 से -0.3 से 2.9 तक

3. डिकोडर का उपयोग करके शब्द की गणना करें और लिखें।

इस कार्य को पूरा करने के बाद, आप लोग उस जर्मन गणितज्ञ का नाम जानेंगे जिसने "प्रतिपादक" शब्द का परिचय दिया था।

1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3

शब्द: 1234567 (स्टिफ़ेल)

वी. नोटबुक में लिखित कार्य (उत्तर बोर्ड पर खोले जाते हैं) .

कार्य:

1. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

(x-2): (x 1\2 -2 1\2) (y-3): (y 1\2 – 3 1\2) (x-1): (x 2\3 - x 1\3 +1)

2. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

(x 3\8 x 1\4:) 4 x=81 पर

VI. समूहों में काम।

व्यायाम। डिकोडर का उपयोग करके समीकरणों को हल करें और शब्द बनाएं।

कार्ड नंबर 1

शब्द: 1234567 (डायोफैंटस)

कार्ड नंबर 2

कार्ड नंबर 3

शब्द: 123451 (न्यूटन)

डिकोडर

अध्यापक।इन सभी वैज्ञानिकों ने "डिग्री" की अवधारणा के विकास में योगदान दिया।

सातवीं. डिग्री की अवधारणा के विकास के बारे में ऐतिहासिक जानकारी (छात्र संदेश)।

एक प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री की अवधारणा प्राचीन लोगों के बीच बनाई गई थी। क्षेत्रफल और आयतन की गणना के लिए वर्ग और घन संख्याओं का उपयोग किया जाता था। प्राचीन मिस्र और बेबीलोन के वैज्ञानिकों द्वारा कुछ संख्याओं की शक्तियों का उपयोग कुछ समस्याओं को हल करने में किया जाता था।

तीसरी शताब्दी में यूनानी वैज्ञानिक डायोफैंटस की पुस्तक "अरिथमेटिक" प्रकाशित हुई, जिसने अक्षर चिन्हों की शुरुआत की नींव रखी। डायोफैंटस अज्ञात की पहली छह शक्तियों और उनके पारस्परिक प्रतीकों का परिचय देता है। इस पुस्तक में, एक वर्ग को एक सबस्क्रिप्ट आर के साथ एक चिह्न द्वारा दर्शाया गया है; घन - सूचकांक आर, आदि के साथ k पर हस्ताक्षर करें।

अधिक जटिल बीजगणितीय समस्याओं को हल करने और डिग्री के साथ काम करने के अभ्यास से, डिग्री की अवधारणा को सामान्य बनाने और एक घातांक के रूप में शून्य, नकारात्मक और भिन्नात्मक संख्याओं को पेश करके इसका विस्तार करने की आवश्यकता उत्पन्न हुई। गणितज्ञों को डिग्री की अवधारणा को धीरे-धीरे एक गैर-प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री तक सामान्यीकृत करने का विचार आया।

भिन्नात्मक घातांक और भिन्नात्मक घातांक के साथ शक्तियों के संचालन के लिए सबसे सरल नियम फ्रांसीसी गणितज्ञ निकोलस ओरेस्मे (1323-1382) के काम "अनुपात के एल्गोरिदम" में पाए जाते हैं।

समानता, 0 =1 (0 के लिए और 0 के बराबर नहीं) का उपयोग 15वीं शताब्दी की शुरुआत में समरकंद वैज्ञानिक गियासद्दीन काशी दज़मशीद ने अपने कार्यों में किया था। स्वतंत्र रूप से, शून्य संकेतक 15वीं शताब्दी में निकोलाई शूक द्वारा पेश किया गया था। यह ज्ञात है कि निकोलस शुक्वेट (1445-1500) ने ऋणात्मक और शून्य घातांक वाली डिग्रियों पर विचार किया था।

बाद में, जर्मन गणितज्ञ एम. स्टिफ़ेल द्वारा लिखित "पूर्ण अंकगणित" (1544) और साइमन स्टीविन में भिन्नात्मक और नकारात्मक घातांक पाए जाते हैं। साइमन स्टीविन ने सुझाव दिया कि 1/n का मतलब जड़ है।

जर्मन गणितज्ञ एम. स्टिफ़ेल (1487-1567) ने 0 = 1 की परिभाषा दी और नाम प्रतिपादक पेश किया (यह जर्मन प्रतिपादक से शाब्दिक अनुवाद है)। जर्मन पोटेंज़िएरेन का अर्थ है किसी शक्ति तक पहुंचना।

16वीं शताब्दी के अंत में, फ्रांकोइस विएते ने न केवल चर, बल्कि उनके गुणांकों को भी निर्दिष्ट करने के लिए अक्षरों की शुरुआत की। उन्होंने पहली, दूसरी और तीसरी डिग्री के लिए संक्षिप्ताक्षरों का उपयोग किया: एन, क्यू, सी। लेकिन आधुनिक अंकन (जैसे कि 4, ए 5) 17वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस द्वारा पेश किए गए थे।

शून्य, ऋणात्मक और भिन्नात्मक घातांक वाली घातों की आधुनिक परिभाषाएँ और संकेतन अंग्रेजी गणितज्ञ जॉन वालिस (1616-1703) और आइजैक न्यूटन (1643-1727) के काम से उत्पन्न हुए हैं।

शून्य, ऋणात्मक और भिन्नात्मक घातांक और आधुनिक प्रतीकों को प्रस्तुत करने की सलाह के बारे में सबसे पहले 1665 में अंग्रेजी गणितज्ञ जॉन वालिस ने विस्तार से लिखा था। उनका काम आइजैक न्यूटन द्वारा पूरा किया गया, जिन्होंने व्यवस्थित रूप से नए प्रतीकों को लागू करना शुरू किया, जिसके बाद वे सामान्य उपयोग में आ गए।

एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री का परिचय गणितीय कार्रवाई की अवधारणाओं के सामान्यीकरण के कई उदाहरणों में से एक है। शून्य, ऋणात्मक और भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री को इस तरह से परिभाषित किया जाता है कि उस पर कार्रवाई के वही नियम लागू होते हैं जो प्राकृतिक घातांक वाली डिग्री के लिए लागू होते हैं, यानी। ताकि डिग्री की मूल परिभाषित अवधारणा के मूल गुण संरक्षित रहें।

तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री की नई परिभाषा प्राकृतिक घातांक वाली डिग्री की पुरानी परिभाषा का खंडन नहीं करती है, यानी, तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री की नई परिभाषा का अर्थ डिग्री के विशेष मामले के लिए वही रहता है एक प्राकृतिक प्रतिपादक के साथ. गणितीय अवधारणाओं को सामान्यीकृत करते समय देखे गए इस सिद्धांत को स्थायित्व का सिद्धांत (स्थिरता का संरक्षण) कहा जाता है। इसे 1830 में अंग्रेजी गणितज्ञ जे. पीकॉक द्वारा अपूर्ण रूप में व्यक्त किया गया था, और इसे 1867 में जर्मन गणितज्ञ जी. हैंकेल द्वारा पूर्ण और स्पष्ट रूप से स्थापित किया गया था।

आठवीं. खुद जांच करें # अपने आप को को।

कार्ड का उपयोग करके स्वतंत्र कार्य (उत्तर बोर्ड पर प्रकट होते हैं) .

विकल्प 1

1. गणना करें: (1 अंक)

(ए + 3ए 1\2): (ए 1\2 +3)

विकल्प 2

1. गणना करें: (1 अंक)

2. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं: प्रत्येक को 1 अंक

a) x 1.6 x 0.4 b)(x 3\8) -5\6

3. समीकरण हल करें: (2 अंक)

4. व्यंजक को सरल कीजिए: (2 अंक)

5. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: (3 अंक)

नौवीं. पाठ का सारांश.

आपको कक्षा में कौन से सूत्र और नियम याद आए?

कक्षा में अपने कार्य का विश्लेषण करें।

कक्षा में विद्यार्थियों के कार्य का मूल्यांकन किया जाता है।

एक्स. होमवर्क. के: आर IV (रिपीट) कला। 156-157 नंबर 4 (ए-सी), नंबर 7 (ए-सी),

अतिरिक्त: संख्या 16

आवेदन

मूल्यांकन पत्र

नाम/नाम/छात्र____________________________________________________

कार्ड नंबर 1

1) एक्स 1\3 =4; 2) y -1 =3\5; 3) ए 1\2 = 2\3; 4) x -0.5 x 1.5 = 1; 5)y 1\3 =2; 6) ए 2\7 ए 12\7 = 25; 7) ए 1\2: ए = 1\3

डिकोडर

कार्ड नंबर 2

1) एक्स 1\3 =4; 2) वाई -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4)y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) ए 1\2: ए = 1\3

डिकोडर

कार्ड नंबर 3

1) ए 2\7 ए 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0.7 x 3.7 = 8; 4) ए 1\2: ए = 1\3; 5) और 1\2 = 2\3

डिकोडर

कार्ड नंबर 1

1) एक्स 1\3 =4; 2) y -1 =3\5; 3) ए 1\2 = 2\3; 4) x -0.5 x 1.5 = 1; 5)y 1\3 =2; 6) ए 2\7 ए 12\7 = 25; 7) ए 1\2: ए = 1\3

डिकोडर

कार्ड नंबर 2

1) एक्स 1\3 =4; 2) वाई -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4)y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) ए 1\2: ए = 1\3

डिकोडर

कार्ड नंबर 3

1) ए 2\7 ए 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0.7 x 3.7 = 8; 4) ए 1\2: ए = 1\3; 5) और 1\2 = 2\3

डिकोडर

कार्ड नंबर 1

1) एक्स 1\3 =4; 2) y -1 =3\5; 3) ए 1\2 = 2\3; 4) x -0.5 x 1.5 = 1; 5)y 1\3 =2; 6) ए 2\7 ए 12\7 = 25; 7) ए 1\2: ए = 1\3

डिकोडर

कार्ड नंबर 2

1) एक्स 1\3 =4; 2) वाई -1 = 3; 3) (x+6) 1\2 = 3; 4)y 1\3 =2; 5) (y-3) 1\3 =2; 6) ए 1\2: ए = 1\3

डिकोडर

कार्ड नंबर 3

1) ए 2\7 ए 12\7 = 25; 2) (x-12) 1\3 =2; 3) x -0.7 x 3.7 = 8; 4) ए 1\2: ए = 1\3; 5) और 1\2 = 2\3

डिकोडर

अनुभाग: अंक शास्त्र

कक्षा: 9

लक्ष्य: किसी डिग्री के गुणों को तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ लागू करने के कौशल को समेकित और सुधारना; भिन्नात्मक घातांक के साथ घात वाले भावों का सरल रूपांतरण करने में कौशल विकसित करना।

पाठ का प्रकार: इस विषय पर ज्ञान को समेकित करने और लागू करने पर पाठ।

पाठ्यपुस्तक: बीजगणित 9वां संस्करण। एस.ए. तेल्याकोवस्की।

कक्षाओं के दौरान

शिक्षक का प्रारंभिक भाषण

"बीजगणित से अपरिचित लोग उन आश्चर्यजनक चीज़ों की कल्पना नहीं कर सकते जो इस विज्ञान की सहायता से हासिल की जा सकती हैं।" जी.वी. लाइबनिट्स

बीजगणित हमारे लिए प्रयोगशाला परिसर के द्वार खोलता है "एक तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ एक डिग्री।"

1. फ्रंटल सर्वेक्षण

1) भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की परिभाषा दीजिए।

2) शून्य के बराबर आधार वाली डिग्री किस भिन्नात्मक घातांक के लिए परिभाषित है?

3) क्या डिग्री का निर्धारण ऋणात्मक आधार के लिए भिन्नात्मक घातांक से किया जाएगा?

असाइनमेंट: संख्या 64 को आधार -2 के साथ एक घात के रूप में कल्पना करें; 2; 8.

किस संख्या का घन 64 है?

क्या संख्या 64 को एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक घात के रूप में दर्शाने का कोई और तरीका है?

2. समूहों में काम करें

1 समूह. सिद्ध कीजिए कि व्यंजक (-2) 3/4 ; 0 -2 का कोई मतलब नहीं है.

दूसरा समूह. मूल के रूप में भिन्नात्मक घातांक वाली एक घात की कल्पना करें: 2 2/3; 3 -1|3 ; - 1.5 में; 5ए 1/2; (x-y) 2/3 .

तीसरा समूह. भिन्नात्मक घातांक के साथ एक घात के रूप में प्रस्तुत करें: v3; 8 वा 4; 3v2 -2 ; v(x+y) 2/3 ; vvv.

3. आइए "शक्तियों पर कार्रवाई" प्रयोगशाला की ओर चलें

प्रयोगशाला के बारंबार अतिथि खगोलशास्त्री हैं। वे अपनी "खगोलीय संख्याएँ" लाते हैं, उन्हें बीजगणितीय प्रसंस्करण के अधीन करते हैं और उपयोगी परिणाम प्राप्त करते हैं

उदाहरण के लिए, पृथ्वी से एंड्रोमेडा निहारिका की दूरी संख्या द्वारा व्यक्त की जाती है

9500000000000000000 = 95 10 18 किमी;

यह कहा जाता है क्विंटिलियन।

सूर्य का द्रव्यमान ग्राम में संख्या 1983 10 30 ग्राम द्वारा व्यक्त किया जाता है - नॉनालियन.

इसके अलावा, प्रयोगशाला को अन्य गंभीर कार्यों का सामना करना पड़ता है। उदाहरण के लिए, भावों की गणना करने की समस्या जैसे:

ए) ; बी) ; वी) .

प्रयोगशाला कर्मचारी ऐसी गणनाएँ सबसे सुविधाजनक तरीके से करते हैं।

आप काम से जुड़ सकते हैं. ऐसा करने के लिए, आइए तर्कसंगत घातांक के साथ शक्तियों के गुणों को दोहराएं:

अब तर्कसंगत घातांक के साथ घातों के गुणों का उपयोग करके अभिव्यक्ति की गणना या सरलीकरण करें:

पहला समूह:

समूह 2:

समूह 3:

जांचें: बोर्ड पर समूह से एक व्यक्ति।

4. तुलना कार्य

हम घातों के गुणों का उपयोग करके अभिव्यक्ति 2 100 और 10 30 की तुलना कैसे कर सकते हैं?

उत्तर:

2 100 =(2 10) 10 =1024 10 .

10 30 =(10 3) 10 =1000 10

1024 10 >1000 10

2 100 >10 30

5. और अब मैं आपको "डिग्री के अनुसंधान" प्रयोगशाला में आमंत्रित करता हूं।

हम शक्तियों पर क्या परिवर्तन कर सकते हैं?

1) संख्या 3 को घातांक 2 के साथ एक घात के रूप में कल्पना करें; 3; -1.

2) भाव a-c को गुणनखंडित कैसे किया जा सकता है? इन+इन 1/2; ए-2ए 1/2; 2 के 2?

3) आपसी सत्यापन के बाद अंश को कम करें:

4) किए गए परिवर्तनों की व्याख्या करें और अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

6. पाठ्यपुस्तक के साथ कार्य करना।क्रमांक 611(जी, डी, एफ)।

समूह 1: (डी)।

समूह 2: (ई).

समूह 3: (एफ)।

क्रमांक 629 (ए, बी)।

सहकर्मी समीक्षा।

7. हम एक कार्यशाला (स्वतंत्र कार्य) करते हैं।

दिए गए भाव:

किस भिन्न को कम करते समय संक्षिप्त गुणन सूत्र का उपयोग किया जाता है और उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखा जाता है?

समूह 1: क्रमांक 1, 2, 3.

समूह 2: क्रमांक 4, 5, 6.

समूह 3: क्रमांक 7, 8, 9.

कार्य पूरा करते समय, आप अनुशंसाओं का उपयोग कर सकते हैं।

1. यदि उदाहरण अंकन में तर्कसंगत घातांक वाली घातें और nवीं डिग्री की जड़ें दोनों शामिल हैं, तो तर्कसंगत घातांक वाली घातों के रूप में nवीं डिग्री की जड़ें लिखें।
2. उस अभिव्यक्ति को सरल बनाने का प्रयास करें जिस पर क्रियाएं की जाती हैं: कोष्ठक खोलना, संक्षिप्त गुणन सूत्र का उपयोग करना, एक नकारात्मक घातांक वाली घात से एक सकारात्मक घातांक वाली घात वाली अभिव्यक्ति की ओर बढ़ना।
3. वह क्रम निर्धारित करें जिसमें क्रियाएं की जानी चाहिए।
4. चरणों को उसी क्रम में पूरा करें जिस क्रम में वे निष्पादित किए गए हैं।

शिक्षक कॉपियाँ एकत्र करने के बाद मूल्यांकन करते हैं।

8. गृहकार्य: क्रमांक 624, 623।