कम्पास का उपयोग करके परिबद्ध वृत्त का निर्माण करें। कम्पास और रूलर के साथ निर्माण

लक्ष्य:

छात्रों के बीच "सर्कल", "सर्कल" की अवधारणाओं को समेकित करना; "वृत्त की त्रिज्या" की अवधारणा प्राप्त करना; किसी दिए गए त्रिज्या के वृत्त बनाना सीखें; तर्क करने, विश्लेषण करने की क्षमता विकसित करें।

व्यक्तिगत यूयूडी:
गणित के पाठों के प्रति सकारात्मक दृष्टिकोण बनाना;
विषय-अनुसंधान गतिविधियों में रुचि;

मेटा-विषय कार्य

नियामक यूयूडी:
सीखने के कार्य को स्वीकार करें और सहेजें;
शिक्षक और कक्षा के सहयोग से कई समाधान खोजें;

संज्ञानात्मक यूयूडी:
समस्याएँ स्थापित करना और हल करना:
समस्या को स्वतंत्र रूप से पहचानना और तैयार करना;
सामान्य शिक्षा:
पाठ्यपुस्तक में आवश्यक जानकारी ढूँढ़ें;
कम्पास का उपयोग करके किसी दिए गए त्रिज्या का एक वृत्त बनाएं;
पहेली:
"त्रिज्या" की अवधारणा बनाने के लिए;
वर्गीकृत करें, तुलना करें;
अपने निष्कर्ष स्वयं निकालें;

संचारी यूयूडी:
भाषण साधनों का उपयोग करके टीम वर्क में सक्रिय रूप से भाग लेना;
अपनी बात पर बहस करें;

आइटम कौशल:
"वृत्त त्रिज्या" अवधारणाओं की आवश्यक विशेषताओं की पहचान कर सकेंगे;
विभिन्न त्रिज्याओं वाले वृत्त बनाएं;
किसी चित्र में त्रिज्या को पहचानें।

कक्षाओं के दौरान

सीखने की गतिविधियों के लिए प्रेरणा

- आइए देखें कि क्या हर कोई पाठ के लिए तैयार है?

"पाठ में भावनात्मक प्रवेश":

सूरज की तरह मुस्कुराओ.

बादलों की तरह डूबना

बारिश की तरह रोओ

ऐसे चकित हो गए मानो इंद्रधनुष देख लिया हो

अब मेरे बाद दोहराएँ

खेल "मैत्रीपूर्ण प्रतिध्वनि"

2.ज्ञान को अद्यतन करना

मौखिक गिनती

ए) 60-40 36+12 10+20 58-12 90-50 31+13

पैटर्न को सुलझाएं. पंक्ति जारी रखें.

उत्तर: 20, 48,30,46,40,44 50.42

ख) समस्या का समाधान करें:

1. पहले दिन दुकान से 42 किलो फल बिके और दूसरे दिन 2 किलो ज्यादा फल बिके। दूसरे दिन कितने किलोग्राम की बिक्री हुई?

क्या बदलने की आवश्यकता है ताकि कार्य 2 चरणों में हल हो जाए।

बॉल्स - 16 पीसी।

कूदने वाली रस्सियाँ - 28 पीसी।

इस समस्या का समाधान खोजें.

28-16 28+16

प्रश्न को बदलें ताकि समस्या को घटाव द्वारा हल किया जा सके।

3. सीखने के कार्य का विवरण

1. ज्यामितीय आकृतियों के नाम बताइए

वृत्त परिधि अंडाकार गेंद

कौन सी आकृति लुप्त है?

आंकड़ों में क्या समानता है? (वृत्त, परिधि, गेंद का आकार समान है)

क्या अंतर है?

2. में

वृत्त पर कौन से बिंदु हैं? वृत्त के बाहर कौन से बिंदु हैं?

बिंदु O का क्या मतलब है? (वृत्त केंद्र)

OB खंड का नाम क्या है?

एक वृत्त में कितनी त्रिज्याएँ खींची जा सकती हैं?

कौन सा खंड त्रिज्या नहीं है? क्यों?

निष्कर्ष क्या हो सकता है?

निष्कर्ष: सभी त्रिज्याओं की लंबाई समान होती है .

3. चित्र में कितने वृत्त हैं?

वृत्त किस प्रकार भिन्न हैं? (आकार)

वृत्त का आकार क्या निर्धारित करता है?

निष्कर्ष क्या हो सकता है?

निष्कर्ष: वृत्त जितना बड़ा होगा, उसकी त्रिज्या उतनी ही बड़ी होगी।

पाठ का विषय निर्धारित करें.

विषय: कम्पास का उपयोग करके दी गई त्रिज्या का एक वृत्त बनाना।

इस पाठ के लिए हम अपने लिए कौन से कार्य निर्धारित कर सकते हैं?

4. थीम पर काम करें

क) एक वृत्त का निर्माण.

किसी दिए गए आकार का वृत्त बनाने के लिए आपको क्या जानने की आवश्यकता है?

3 सेमी त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए।

बी) परियोजना गतिविधियों के लिए तैयारी

1) ड्राइंग पर विचार करें

तितली किस आकार की होती है? समान त्रिज्या वाले वृत्त?

2) जोड़ियों में काम करें.

प्रोजेक्ट के ऊपर के चरणों का क्रम पुनर्स्थापित करें।

परियोजना प्रस्तुति या प्रदर्शन

इरादा (स्केच बनाने का)

योजना को क्रियान्वित करने के लिए आंकड़े बनाएं

विचार करें कि आकृतियों की त्रिज्या क्या होनी चाहिए

ग) प्रोजेक्ट पर काम करें.

संकलित एल्गोरिथम के अनुसार समूहों में कार्य करें

यह पाठ वृत्त और वृत्त के अध्ययन के लिए समर्पित है। साथ ही, शिक्षक आपको बंद और खुली रेखाओं के बीच अंतर करना सिखाएंगे। आप वृत्त के मूल गुणों से परिचित होंगे: केंद्र, त्रिज्या और व्यास। उनकी परिभाषाएँ जानें. यदि व्यास ज्ञात है तो त्रिज्या निर्धारित करना सीखें, और इसके विपरीत।

यदि आप वृत्त के अंदर की जगह भरते हैं, उदाहरण के लिए, कागज या कार्डबोर्ड पर कम्पास के साथ एक वृत्त बनाते हैं और उसे काटते हैं, तो हमें एक वृत्त मिलता है (चित्र 10)।

चावल। 10. वृत्त

घेराएक वृत्त से घिरा हुआ समतल का भाग है।

स्थिति: Vitya Verkhoglyadkin ने अपने वृत्त में 11 व्यास बनाए (चित्र 11)। और जब उसने त्रिज्याएँ गिनीं, तो उसे 21 मिलीं। क्या उसने सही गिनती की?

चावल। 11. समस्या के लिए चित्रण

समाधान:त्रिज्या व्यास से दोगुनी होनी चाहिए, इसलिए:

वाइटा ने गलत गिनती की।

ग्रन्थसूची

1. अंक शास्त्र। ग्रेड 3 प्रोक. सामान्य शिक्षा के लिए adj वाले संस्थान। एक इलेक्ट्रॉन के लिए. वाहक। 2 बजे भाग 1 / [एम.आई. मोरो, एम.ए. बंटोवा, जी.वी. बेल्ट्युकोवा और अन्य] - दूसरा संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2012. - 112 पी.: बीमार। - (रूस का स्कूल)।
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गृहकार्य

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2. पहेली सुलझाओ.

हम अपने भाई के साथ रहते हैं,

हम एक साथ इतना मज़ा करते हैं

हम शीट पर एक मग रखेंगे (चित्र 12),

आइए इसे एक पेंसिल से गोल करें।

जो तुम्हें आवश्यक हो, वह ले लो -

यह कहा जाता है...

3. वृत्त का व्यास ज्ञात करना आवश्यक है यदि यह ज्ञात हो कि त्रिज्या 5 मीटर है।

4. * कम्पास का उपयोग करके, त्रिज्या वाले दो वृत्त बनाएं: ए) 2 सेमी और 5 सेमी; बी) 10 मिमी और 15 मिमी।

निर्माण समस्याओं में, एक कंपास और एक रूलर को आदर्श उपकरण माना जाता है, विशेष रूप से, एक रूलर में कोई विभाजन नहीं होता है और इसकी केवल एक तरफ अनंत लंबाई होती है, और एक कंपास में मनमाने ढंग से बड़ा या मनमाने ढंग से छोटा उद्घाटन हो सकता है।

अनुमत निर्माण.निर्माण कार्यों में निम्नलिखित कार्यों की अनुमति है:

1. एक बिंदु चिह्नित करें:

• विमान का मनमाना बिंदु;
• किसी दी गई रेखा पर एक मनमाना बिंदु;
• किसी दिए गए वृत्त पर एक मनमाना बिंदु;
• दो दी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु;
• किसी दी गई सीधी रेखा और किसी दिए गए वृत्त के प्रतिच्छेदन/स्पर्शरेखा के बिंदु;
• दो दिए गए वृत्तों के प्रतिच्छेदन/स्पर्शरेखा बिंदु।

2. रूलर का उपयोग करके, आप एक सीधी रेखा बना सकते हैं:

• समतल पर मनमानी सीधी रेखा;
• किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक मनमानी रेखा;
• दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा।

3. कम्पास का उपयोग करके, आप एक वृत्त बना सकते हैं:

• समतल पर मनमाना वृत्त;
• किसी दिए गए बिंदु पर केन्द्रित एक मनमाना वृत्त;
• दो दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर त्रिज्या वाला एक मनमाना वृत्त;
• एक वृत्त जो किसी दिए गए बिंदु पर केंद्रित है और जिसकी त्रिज्या दो दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर है।

भवन निर्माण संबंधी समस्याओं का समाधान.निर्माण समस्या के समाधान में तीन आवश्यक भाग शामिल हैं:

1. अभीष्ट वस्तु के निर्माण की विधि का वर्णन |
2. सबूत है कि वर्णित तरीके से निर्मित वस्तु वास्तव में वांछित है।
3. प्रारंभिक स्थितियों के विभिन्न प्रकारों के लिए इसकी प्रयोज्यता के साथ-साथ वर्णित विधि द्वारा प्राप्त समाधान की विशिष्टता या गैर-विशिष्टता के लिए वर्णित निर्माण विधि का विश्लेषण।

किसी दिए गए खंड के बराबर एक खंड का निर्माण।मान लीजिए कि बिंदु $O$ पर मूल बिंदु वाली एक किरण और एक खंड $AB$ दिया गया है। एक किरण पर एक खंड $OP = AB$ बनाने के लिए, त्रिज्या $AB$ के बिंदु $O$ पर केन्द्रित एक वृत्त का निर्माण करना होगा। वृत्त के साथ किरण का प्रतिच्छेदन बिंदु वांछित बिंदु $P$ होगा।

दिए गए कोण के बराबर कोण बनाना।मान लीजिए कि बिंदु $O$ पर मूल बिंदु वाली एक किरण और एक कोण $ABC$ दिया गया है। बिंदु $B$ को केंद्र में रखकर हम एक मनमानी त्रिज्या $r$ के साथ एक वृत्त का निर्माण करते हैं। वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को क्रमशः $BA$ और $BC$ $A"$ और $C"$ किरणों से निरूपित करें।

आइए $r$ त्रिज्या के बिंदु $O$ पर केन्द्रित एक वृत्त बनाएं। किरण के साथ वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु को $P$ से निरूपित करें। आइए त्रिज्या $A"B"$ के बिंदु $P$ पर केन्द्रित एक वृत्त बनाएं। वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु को $Q$ से निरूपित करें। आइए एक किरण $OQ$ बनाएं।

हमें कोण $POQ$ कोण $ABC$ के बराबर मिलता है, क्योंकि त्रिभुज $POQ$ और $ABC$ तीन तरफ से बराबर हैं।

एक खंड पर लंबवत समद्विभाजक का निर्माण।हम मनमाने त्रिज्या के दो प्रतिच्छेदी वृत्त बनाते हैं जिनका केंद्र खंड के सिरों पर होता है। उनके प्रतिच्छेदन के दो बिंदुओं को जोड़ने पर, हमें लंबवत समद्विभाजक प्राप्त होता है।

एक कोण के समद्विभाजक का निर्माण.आइए मनमाने त्रिज्या का एक वृत्त बनाएं जिसका केंद्र कोने के शीर्ष पर हो। आइए मनमाना त्रिज्या के दो प्रतिच्छेदी वृत्त बनाएं जिनका केंद्र कोण की भुजाओं के साथ पहले वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर हो। कोण के शीर्ष को इन दो वृत्तों के किसी भी प्रतिच्छेदन बिंदु से जोड़कर, हम कोण का समद्विभाजक प्राप्त करते हैं।

दो खंडों के योग का निर्माण.किसी दिए गए किरण पर दो दिए गए खंडों के योग के बराबर खंड बनाने के लिए, दिए गए खंड के बराबर खंड बनाने की विधि को दो बार लागू करना आवश्यक है।

दो कोणों के योग का निर्माण.किसी दी गई किरण से दिए गए दो कोणों के योग के बराबर कोण को स्थगित करने के लिए, दिए गए किरण के बराबर कोण बनाने की विधि को दो बार लागू करना आवश्यक है।

किसी खंड का मध्यबिंदु ढूँढना।किसी दिए गए खंड के मध्य को चिह्नित करने के लिए, आपको खंड के लिए एक लंबवत द्विभाजक बनाने और खंड के साथ लंबवत के चौराहे के बिंदु को चिह्नित करने की आवश्यकता है।

किसी दिए गए बिंदु से होकर जाने वाली लंब रेखा का निर्माण।मान लीजिए कि दिए गए बिंदु पर लंबवत और दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा बनाना आवश्यक है। हम किसी दिए गए बिंदु पर केंद्र के साथ मनमानी त्रिज्या का एक वृत्त खींचते हैं (चाहे वह एक सीधी रेखा पर स्थित हो या नहीं), एक सीधी रेखा को दो बिंदुओं पर काटता है। हम उस खंड के लिए एक लंबवत समद्विभाजक बनाते हैं जिसके सिरे रेखा के साथ वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर होते हैं। यह वांछित लंब रेखा होगी.

किसी दिए गए बिंदु से होकर जाने वाली एक समानांतर रेखा की रचना करना।मान लीजिए कि किसी दिए गए बिंदु के समानांतर और रेखा के बाहर दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा बनाना आवश्यक है। हम एक दिए गए बिंदु से होकर गुजरने वाली और दी गई रेखा के लंबवत एक रेखा बनाते हैं। फिर हम इस बिंदु से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा बनाते हैं, जो निर्मित लंब के लंबवत होती है। इस प्रकार प्राप्त सीधी रेखा वांछित होगी।

लकड़ी के हिस्सों के निर्माण या प्रसंस्करण में, कुछ मामलों में यह निर्धारित करना आवश्यक होता है कि उनका ज्यामितीय केंद्र कहाँ स्थित है। यदि भाग का आकार चौकोर या आयताकार है तो ऐसा करना कठिन नहीं है। यह विपरीत कोनों को विकर्णों से जोड़ने के लिए पर्याप्त है, जो एक ही समय में हमारी आकृति के बिल्कुल केंद्र में प्रतिच्छेद करते हैं।
उन उत्पादों के लिए जिनका आकार वृत्त जैसा है, यह समाधान काम नहीं करेगा, क्योंकि उनमें कोने नहीं हैं, और इसलिए विकर्ण हैं। इस मामले में, अन्य सिद्धांतों पर आधारित किसी अन्य दृष्टिकोण की आवश्यकता है।

और वे मौजूद हैं, और कई रूपों में। उनमें से कुछ काफी जटिल हैं और कई उपकरणों की आवश्यकता होती है, अन्य को लागू करना आसान होता है और उन्हें लागू करने के लिए उपकरणों के पूरे सेट की आवश्यकता नहीं होती है।
अब हम केवल एक नियमित रूलर और पेंसिल से वृत्त का केंद्र खोजने के सबसे आसान तरीकों में से एक पर गौर करेंगे।

वृत्त का केंद्र ज्ञात करने का क्रम:

वह वाक्य जो किसी विशेष भाव या नाम का अर्थ स्पष्ट करता हो, कहलाता है परिभाषा. हम पहले ही परिभाषाओं से मिल चुके हैं, उदाहरण के लिए, एक कोण, आसन्न कोण, एक समद्विबाहु त्रिभुज आदि की परिभाषा के साथ। आइए एक और ज्यामितीय आकृति की परिभाषा दें - एक वृत्त।

परिभाषा

इस बिंदु को कहा जाता है वृत्त केंद्र, और केंद्र को वृत्त के किसी भी बिंदु से जोड़ने वाला खंड है वृत्त त्रिज्या(चित्र 77)। वृत्त की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि सभी त्रिज्याओं की लंबाई समान होती है।

चावल। 77

किसी वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड उसकी जीवा कहलाता है। वृत्त के केन्द्र से गुजरने वाली जीवा कहलाती है व्यास.

चित्र 78 में, खंड AB और EF वृत्त की जीवाएँ हैं, खंड CD वृत्त का व्यास है। जाहिर है, एक वृत्त का व्यास उसकी त्रिज्या का दोगुना होता है। वृत्त का केंद्र किसी भी व्यास का मध्यबिंदु होता है।

चावल। 78

किसी वृत्त पर कोई भी दो बिंदु उसे दो भागों में विभाजित करते हैं। इनमें से प्रत्येक भाग को वृत्त का चाप कहा जाता है। चित्र 79 में, ALB और AMB बिंदु A और B से घिरे हुए चाप हैं।

चावल। 79

किसी चित्र में वृत्त को चित्रित करने के लिए, उपयोग करें दिशा सूचक यंत्र(चित्र 80)।

चावल। 80

ज़मीन पर एक वृत्त खींचने के लिए आप रस्सी का उपयोग कर सकते हैं (चित्र 81)।

चावल। 81

समतल का वृत्त से घिरा भाग वृत्त कहलाता है (चित्र 82)।

चावल। 82

कम्पास और रूलर के साथ निर्माण

हम पहले ही ज्यामितीय निर्माणों से निपट चुके हैं: हमने सीधी रेखाएँ खींची, दिए गए खंडों के बराबर खंड अलग रखे, कोण, त्रिकोण और अन्य आकृतियाँ बनाईं। उसी समय, हमने एक स्केल रूलर, एक कम्पास, एक प्रोट्रैक्टर, एक ड्राइंग स्क्वायर का उपयोग किया।

यह पता चला है कि कई निर्माण बिना स्केल विभाजन के केवल कंपास और स्ट्रेटएज का उपयोग करके किए जा सकते हैं। इसलिए, ज्यामिति में, निर्माण के उन कार्यों को विशेष रूप से प्रतिष्ठित किया जाता है, जिन्हें केवल इन दो उपकरणों का उपयोग करके हल किया जाता है।

उनके साथ क्या किया जा सकता है? यह स्पष्ट है कि शासक व्यक्ति को एक मनमाना रेखा खींचने की अनुमति देता है, साथ ही दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा भी बनाता है। कम्पास का उपयोग करके, आप मनमानी त्रिज्या का एक वृत्त, साथ ही एक दिए गए बिंदु पर केंद्र और दिए गए खंड के बराबर त्रिज्या वाला एक वृत्त खींच सकते हैं। इन सरल ऑपरेशनों को निष्पादित करके, हम कई दिलचस्प निर्माण समस्याओं को हल कर सकते हैं:

दिए गए कोण के बराबर एक कोण बनाएं;
किसी दिए गए बिंदु से होकर दी गई रेखा पर लंबवत एक रेखा खींचिए;
इस खंड को आधे और अन्य कार्यों में विभाजित करें।

आइए एक सरल कार्य से शुरुआत करें।

काम

किसी दी गई किरण पर उसकी शुरुआत से, दिए गए किरण के बराबर एक खंड अलग रखें।

समाधान

आइए समस्या की स्थिति में दिए गए आंकड़ों को चित्रित करें: किरण ओएस और खंड एबी (चित्र 83, ए)। फिर, एक कम्पास के साथ, हम केंद्र O के साथ त्रिज्या AB का एक वृत्त बनाते हैं (चित्र 83, b)। यह वृत्त किरण OS को किसी बिंदु D पर प्रतिच्छेद करेगा। खंड OD आवश्यक है।

चावल। 83

निर्माण कार्यों के उदाहरण

दिए गए कोण के बराबर कोण बनाना

काम

दी गई किरण से दिए गए कोण के बराबर एक कोण अलग रखें।

समाधान

शीर्ष A और किरण OM के साथ यह कोण चित्र 84 में दिखाया गया है। कोण A के बराबर एक कोण बनाना आवश्यक है, ताकि इसकी एक भुजा किरण OM के साथ संपाती हो।

चावल। 84

आइए मनमाना त्रिज्या का एक वृत्त बनाएं जिसका केंद्र दिए गए कोण के शीर्ष A पर हो। यह वृत्त कोने की भुजाओं को बिंदु B और C पर प्रतिच्छेद करता है (चित्र 85, a)। फिर हम उसी त्रिज्या का एक वृत्त बनाते हैं जिसका केंद्र दी गई किरण OM के आरंभ में होता है। यह बीम को बिंदु D पर काटता है (चित्र 85, b)। उसके बाद, हम केंद्र D के साथ एक वृत्त बनाते हैं, जिसकी त्रिज्या BC के बराबर है। O और D केंद्र वाले वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। आइए हम इनमें से एक बिंदु को अक्षर E से निरूपित करें। आइए हम सिद्ध करें कि कोण MOE आवश्यक कोण है।

चावल। 85

त्रिभुज ABC और ODE पर विचार करें। खंड AB और AC केंद्र A वाले वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, और खंड OD और OE केंद्र O वाले वृत्त की त्रिज्याएँ हैं (चित्र 85, b देखें)। चूँकि निर्माण के अनुसार इन वृत्तों की त्रिज्याएँ समान हैं, तो AB = OD, AC = OE है। साथ ही, निर्माण के अनुसार, BC = DE.

इसलिए, तीन तरफ Δ ABC = Δ ODE। इसलिए, ∠DOE = ∠BAC, यानी निर्मित कोण MOE दिए गए कोण A के बराबर है।

यदि हम कम्पास के स्थान पर रस्सी का उपयोग करें तो वही निर्माण जमीन पर भी किया जा सकता है।

एक कोण समद्विभाजक का निर्माण

काम

दिए गए कोण के समद्विभाजक की रचना कीजिए।

समाधान

यह कोण BAC चित्र 86 में दिखाया गया है। आइए मनमाना त्रिज्या का एक वृत्त बनाएं जिसका केंद्र शीर्ष A पर हो। यह कोण की भुजाओं को बिंदु B और C पर प्रतिच्छेद करेगा।

चावल। 86

फिर हम बिंदु B और C पर केंद्र लेकर समान त्रिज्या BC के दो वृत्त बनाते हैं (आकृति में इन वृत्तों के केवल भाग दिखाए गए हैं)। वे दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिनमें से कम से कम एक कोने के अंदर स्थित है। हम इसे अक्षर E से निरूपित करते हैं। आइए सिद्ध करें कि किरण AE दिए गए कोण BAC का समद्विभाजक है।

त्रिभुज ACE और ABE पर विचार करें। वे तीन तरफ से बराबर हैं। दरअसल, एई सामान्य पक्ष है; AC और AB एक ही वृत्त की त्रिज्याओं के बराबर हैं; सीई = निर्माण द्वारा बीई।

त्रिभुज ACE और ABE की समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि ∠CAE = ∠BAE, अर्थात किरण AE दिए गए कोण BAC का समद्विभाजक है।

टिप्पणी

क्या कम्पास और स्ट्रेटएज का उपयोग करके किसी दिए गए कोण को दो समान कोणों में विभाजित किया जा सकता है? यह स्पष्ट है कि यह संभव है - इसके लिए आपको इस कोण का एक समद्विभाजक खींचने की आवश्यकता है।

इस कोण को भी चार बराबर कोणों में विभाजित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको इसे आधे में विभाजित करना होगा, और फिर प्रत्येक आधे को फिर से आधा में विभाजित करना होगा।

क्या कम्पास और स्ट्रेटएज का उपयोग करके किसी दिए गए कोण को तीन समान कोणों में विभाजित करना संभव है? यह कार्य, कहा जाता है कोण त्रिखंड समस्याएँ, ने कई सदियों से गणितज्ञों का ध्यान आकर्षित किया है। 19वीं शताब्दी में ही यह सिद्ध हो गया था कि मनमाने कोण से ऐसा निर्माण असंभव है।

लम्बवत रेखाओं का निर्माण

काम

उस पर एक रेखा और एक बिंदु दिया गया है। किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली और दी गई रेखा के लंबवत एक रेखा की रचना करें।

समाधान

दी गई रेखा a और इस रेखा से संबंधित दिए गए बिंदु M को चित्र 87 में दिखाया गया है।

चावल। 87

बिंदु M से निकलने वाली सीधी रेखा a की किरणों पर, हम समान खंड MA और MB को अलग रखते हैं। फिर हम त्रिज्या AB के केंद्र A और B वाले दो वृत्त बनाते हैं। वे दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं: P और Q.

आइए हम बिंदु M और इनमें से एक बिंदु से होकर एक रेखा खींचें, उदाहरण के लिए, रेखा MP (चित्र 87 देखें), और सिद्ध करें कि यह रेखा वांछित है, अर्थात यह दी गई रेखा a पर लंबवत है। .

दरअसल, चूँकि समद्विबाहु त्रिभुज PAB की माध्यिका PM भी ऊँचाई है, तो PM ⊥ a.

खंड के मध्य का निर्माण

काम

इस खंड के मध्यबिंदु का निर्माण करें।

समाधान

माना AB दिया गया खंड है। हम त्रिज्या AB के केंद्र A और B वाले दो वृत्त बनाते हैं। वे बिंदु P और Q पर प्रतिच्छेद करते हैं। एक रेखा PQ खींचिए। खंड AB के साथ इस रेखा के प्रतिच्छेदन का बिंदु O खंड AB का वांछित मध्यबिंदु है।

दरअसल, त्रिभुज APQ और BPQ तीन भुजाओं में बराबर हैं, इसलिए ∠1 = ∠2 (चित्र 89)।

चावल। 89

नतीजतन, खंड आरओ समद्विबाहु त्रिभुज एआरवी का समद्विभाजक है, और इसलिए माध्यिका, यानी बिंदु ओ खंड एबी का मध्यबिंदु है।

कार्य

143. चित्र 90 में दिखाए गए खंडों में से कौन से हैं: ए) एक वृत्त की जीवाएं; बी) वृत्त के व्यास; ग) वृत्त की त्रिज्या?

चावल। 90

144. खंड AB और CD एक वृत्त के व्यास हैं। साबित करें कि: ए) जीवा बीडी और एसी बराबर हैं; बी) जीवा AD और BC बराबर हैं; ग) ∠BAD = ∠BCD.

145. खंड MK केंद्र O वाले वृत्त का व्यास है, और MR और RK इस वृत्त की समान जीवाएँ हैं। ∠POM ज्ञात कीजिए।

146. खंड AB और CD केंद्र O वाले एक वृत्त के व्यास हैं। त्रिभुज AOD का परिमाप ज्ञात कीजिए, यदि यह ज्ञात हो कि CB = 13 सेमी, AB = 16 सेमी है।

147. केंद्र O वाले एक वृत्त पर बिंदु A और B अंकित किए गए हैं ताकि कोण AOB समकोण हो। खंड BC वृत्त का व्यास है। सिद्ध कीजिए कि जीवा AB और AC बराबर हैं।

148. एक सीधी रेखा पर दो बिंदु A और B दिए गए हैं। बीम BA की निरंतरता पर, खंड BC को अलग रखें ताकि BC \u003d 2AB हो।

149. एक रेखा a, उस पर न पड़ा एक बिंदु B और एक खंड PQ दिया गया है। रेखा a पर एक बिंदु M की रचना करें ताकि BM = PQ हो। क्या समस्या का हमेशा कोई समाधान होता है?

150. एक वृत्त, उस पर न पड़ा एक बिंदु A और एक खंड PQ दिया गया है। वृत्त पर एक बिंदु M की रचना कीजिए ताकि AM = PQ हो। क्या समस्या का हमेशा कोई समाधान होता है?

151. न्यूनकोण BAC तथा किरण XY दिये गये हैं। कोण YXZ की रचना कीजिए ताकि ∠YXZ = 2∠BAC हो।

152. अधिककोण AOB दिया गया है। किरण OX की रचना इस प्रकार करें कि कोण XOA और XOB समान अधिक कोण हों।

153. एक रेखा a और उस पर स्थित एक बिंदु M दिया गया है। बिंदु M से होकर गुजरने वाली और रेखा a पर लंबवत एक रेखा बनाएं।

समाधान

आइए किसी दिए गए बिंदु M पर केंद्र रखकर एक वृत्त बनाएं, जो दी गई सीधी रेखा a को दो बिंदुओं पर काटता है, जिसे हम अक्षर A और B द्वारा निरूपित करते हैं (चित्र 91)। फिर हम बिंदु M से गुजरने वाले केंद्र A और B वाले दो वृत्त बनाते हैं। ये वृत्त बिंदु M और एक अन्य बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे हम अक्षर N से दर्शाते हैं। आइए रेखा MN खींचें और साबित करें कि यह रेखा वांछित है एक, यानी यह सीधी रेखा ए पर लंबवत है।

चावल। 91

दरअसल, त्रिभुज AMN और BMN तीन भुजाओं में बराबर हैं, इसलिए ∠1 = ∠2। यह इस प्रकार है कि खंड एमसी (सी रेखाओं ए और एमएन का प्रतिच्छेदन बिंदु है) समद्विबाहु त्रिभुज एएमबी का समद्विभाजक है, और इसलिए ऊंचाई है। इस प्रकार, एमएन ⊥ एबी, यानी, एमएन ⊥ ए।

154. त्रिभुज ABC दिया गया है। निर्माण: ए) द्विभाजक एके; बी) वीएम माध्यिका; ग) त्रिभुज की ऊंचाई CH. 155. कम्पास और रूलर का उपयोग करके, इसके बराबर एक कोण बनाएं: a) 45°; बी) 22°30"।

कार्यों के उत्तर

152. निर्देश. सबसे पहले, कोण AOB का समद्विभाजक बनाएं।