एक सतत यादृच्छिक चर है। सतत यादृच्छिक चर

3. सतत यादृच्छिक चर।

असतत यादृच्छिक चर के अलावा, जिनके संभावित मान संख्याओं का एक परिमित या अनंत क्रम बनाते हैं जो किसी भी अंतराल को पूरी तरह से नहीं भरते हैं, अक्सर ऐसे यादृच्छिक चर होते हैं जिनके संभावित मान एक निश्चित अंतराल बनाते हैं। इस तरह के एक यादृच्छिक चर का एक उदाहरण ठीक से स्थापित तकनीकी प्रक्रिया के साथ एक निश्चित आकार के नाममात्र मूल्य से विचलन है। इस तरह के यादृच्छिक चर को संभाव्यता वितरण कानून का उपयोग करके निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है पी (एक्स). हालांकि, उन्हें संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है एफ (एक्स). यह फ़ंक्शन ठीक उसी तरह परिभाषित किया गया है जैसे असतत यादृच्छिक चर के मामले में:

इस प्रकार, यहाँ भी समारोह एफ (एक्स)पूर्ण संख्या अक्ष पर परिभाषित किया गया है, और बिंदु पर इसका मान एक्सप्रायिकता के बराबर है कि यादृच्छिक चर से कम मान लेगा एक्स.
किसी भी यादृच्छिक चर के वितरण फलन के लिए सूत्र () और गुण 1° और 2° मान्य हैं। प्रमाण एक असतत मात्रा के मामले में समान रूप से किया जाता है।
यादृच्छिक चर कहा जाता है निरंतर, यदि इसके लिए एक गैर-ऋणात्मक टुकड़ावार-निरंतर फ़ंक्शन मौजूद है * जो किसी भी मान के लिए संतुष्ट है एक्ससमानता
एक क्षेत्र के रूप में अभिन्न के ज्यामितीय अर्थ के आधार पर, हम कह सकते हैं कि असमानताओं को पूरा करने की संभावना आधार के साथ एक वक्रीय समलंब के क्षेत्रफल के बराबर है ऊपर एक वक्र से घिरा हुआ है (चित्र 6)।
चूंकि, और सूत्र के आधार पर ()
, फिर
ध्यान दें कि एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, वितरण फलन एफ (एक्स)किसी भी बिंदु पर निरंतर एक्स, जहां फ़ंक्शन निरंतर है। यह इस तथ्य से होता है कि एफ (एक्स)इन बिंदुओं पर अंतर है।
सूत्र के आधार पर (), मानते हुए एक्स 1 = एक्स, , अपने पास

समारोह की निरंतरता के कारण एफ (एक्स)हमें वह मिलता है

फलस्वरूप

इस तरह, प्रायिकता कि एक सतत यादृच्छिक चर x के किसी एकल मान को ग्रहण कर सकता है, शून्य है.
इससे यह पता चलता है कि प्रत्येक असमानता की पूर्ति में होने वाली घटनाएं
, , ,
उनकी समान संभावना है, अर्थात्।

दरअसल, उदाहरण के लिए,

इसलिये

टिप्पणी।जैसा कि हम जानते हैं कि यदि कोई घटना असंभव है, तो उसके घटित होने की प्रायिकता शून्य होती है। संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा में, जब परीक्षण के परिणामों की संख्या सीमित होती है, तो विपरीत प्रस्ताव भी होता है: यदि किसी घटना की संभावना शून्य है, तो घटना असंभव है, क्योंकि इस मामले में कोई भी परीक्षण परिणाम इसके पक्ष में नहीं है। एक सतत यादृच्छिक चर के मामले में, इसके संभावित मूल्यों की संख्या अनंत है। संभावना है कि यह मान किसी विशेष मान पर ले जाएगा एक्स 1जैसा कि हमने देखा है, शून्य के बराबर है। हालांकि, यह इस बात का पालन नहीं करता है कि यह घटना असंभव है, क्योंकि परीक्षण के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक चर, विशेष रूप से, मान ले सकता है एक्स 1. इसलिए, एक सतत यादृच्छिक चर के मामले में, इस संभावना के बारे में बात करना समझ में आता है कि यादृच्छिक चर अंतराल में आता है, न कि इस संभावना के बारे में कि यह किसी विशेष मूल्य पर ले जाएगा।
इसलिए, उदाहरण के लिए, एक रोलर के निर्माण में, हमें इस संभावना में कोई दिलचस्पी नहीं है कि इसका व्यास नाममात्र मूल्य के बराबर होगा। हमारे लिए, संभावना है कि रोलर का व्यास सहनशीलता से बाहर नहीं जाता है, महत्वपूर्ण है।

वितरण घनत्व संभावनाओं एक्सफ़ंक्शन को कॉल करें एफ (एक्स)वितरण फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न है एफ (एक्स):

एक यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण घनत्व की अवधारणा एक्सअसतत मात्रा के लिए लागू नहीं है।

संभावित गहराई एफ (एक्स)डिफरेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन कहलाता है:

संपत्ति 1.वितरण घनत्व एक गैर-ऋणात्मक मान है:

संपत्ति 2.वितरण घनत्व का अनुचित समाकलन एक के बराबर है:

उदाहरण 1.25.एक सतत यादृच्छिक चर के वितरण समारोह को देखते हुए एक्स:

एफ (एक्स).

समाधान:वितरण घनत्व वितरण फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न के बराबर है:

1. एक सतत यादृच्छिक चर के वितरण समारोह को देखते हुए एक्स:

वितरण घनत्व ज्ञात कीजिए।

2. एक सतत यादृच्छिक चर का वितरण फलन दिया गया है एक्स:

वितरण घनत्व का पता लगाएं एफ (एक्स)।

1.3. निरंतर यादृच्छिक की संख्यात्मक विशेषताएं

मात्रा

अपेक्षित मूल्यनिरंतर यादृच्छिक चर एक्स, जिसके संभावित मूल्य संपूर्ण अक्ष के हैं ओह, समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है:

यह माना जाता है कि अभिन्न बिल्कुल अभिसरण करता है।

ए, बी), फिर:

एफ (एक्स)यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व है।

फैलाव निरंतर यादृच्छिक चर एक्स, जिनके संभावित मूल्य संपूर्ण अक्ष से संबंधित हैं, समानता द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

विशेष मामला। यदि यादृच्छिक चर के मान अंतराल से संबंधित हैं ( ए, बी), फिर:

संभावना है कि एक्सअंतराल से संबंधित मान लेगा ( ए, बी), समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है:

.

उदाहरण 1.26।सतत यादृच्छिक चर एक्स

एक यादृच्छिक चर से टकराने की गणितीय अपेक्षा, विचरण और प्रायिकता ज्ञात कीजिए एक्सअंतराल में (0; 0.7)।

समाधान:यादृच्छिक चर को अंतराल (0,1) पर वितरित किया जाता है। आइए हम एक सतत यादृच्छिक चर के वितरण घनत्व को परिभाषित करें एक्स:

क) गणितीय अपेक्षा :

बी) फैलाव

में)

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य:

1. यादृच्छिक चर एक्सवितरण समारोह द्वारा दिया गया:

एम (एक्स);

बी) फैलाव डी (एक्स);

एक्सअंतराल में (2,3)।

2. यादृच्छिक मूल्य एक्स

खोजें: क) गणितीय अपेक्षा एम (एक्स);

बी) फैलाव डी (एक्स);

सी) एक यादृच्छिक चर को मारने की संभावना निर्धारित करें एक्सअंतराल में (1; 1.5)।

3. यादृच्छिक मूल्य एक्सअभिन्न वितरण समारोह द्वारा दिया जाता है:

खोजें: क) गणितीय अपेक्षा एम (एक्स);

बी) फैलाव डी (एक्स);

सी) एक यादृच्छिक चर को मारने की संभावना निर्धारित करें एक्सअंतराल में।

1.4. एक सतत यादृच्छिक चर के वितरण के नियम

1.4.1. वर्दी वितरण

सतत यादृच्छिक चर एक्सअंतराल पर एक समान वितरण है [ ए, बी], यदि इस खंड पर एक यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का घनत्व स्थिर है, और इसके बाहर शून्य के बराबर है, अर्थात:

चावल। चार।

; ; .

उदाहरण 1.27.किसी रूट की एक बस 5 मिनट के अंतराल के साथ समान रूप से चलती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर एक्स- बस का वेटिंग टाइम 3 मिनट से कम होगा।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- अंतराल पर समान रूप से वितरित।

संभावित गहराई: .

प्रतीक्षा समय 3 मिनट से अधिक न हो, इसके लिए यात्री को पिछली बस के प्रस्थान के 2 से 5 मिनट के भीतर बस स्टॉप पर पहुंचना होगा, अर्थात। यादृच्छिक मूल्य एक्सअंतराल (2;5) के भीतर गिरना चाहिए। उस। वांछित संभावना:

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य:

1. क) एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए एक्सअंतराल में समान रूप से वितरित (2; 8);

बी) एक यादृच्छिक चर के विचरण और मानक विचलन का पता लगाएं एक्स,अंतराल में समान रूप से वितरित (2;8)।

2. एक विद्युत घड़ी की मिनट की सुई प्रत्येक मिनट के अंत में उछलती है। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि किसी दिए गए क्षण में घड़ी वास्तविक समय से 20 सेकंड से अधिक के अंतर को दर्शाएगी।

1.4.2. घातीय (घातीय) वितरण

सतत यादृच्छिक चर एक्सघातीय रूप से वितरित किया जाता है यदि इसकी संभाव्यता घनत्व का रूप है:

जहां घातीय वितरण का पैरामीटर है।

इस तरह

चावल। 5.

संख्यात्मक विशेषताएं:

उदाहरण 1.28।यादृच्छिक मूल्य एक्स- प्रकाश बल्ब का संचालन समय - एक घातीय वितरण है। यदि औसत दीपक जीवन 400 घंटे है तो दीपक कम से कम 600 घंटे तक चलने की संभावना निर्धारित करें।

समाधान:समस्या की स्थिति के अनुसार, एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स 400 घंटे के बराबर है, इसलिए:

;

वांछित संभावना, जहां

आखिरकार:

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य:

1. घातांकीय नियम का घनत्व और वितरण फलन लिखिए, यदि पैरामीटर ।

2. यादृच्छिक मूल्य एक्स

किसी मात्रा की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए एक्स.

3. यादृच्छिक मूल्य एक्ससंभाव्यता वितरण समारोह द्वारा दिया गया:

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

1.4.3. सामान्य वितरण

सामान्यसतत यादृच्छिक चर का प्रायिकता बंटन कहलाता है एक्स, जिसका घनत्व रूप है:

कहाँ पे एक- गणितीय अपेक्षा, - मानक विचलन एक्स.

संभावना है कि एक्सअंतराल से संबंधित मान लेगा:

, कहाँ पे

लाप्लास फ़ंक्शन है।

एक वितरण जिसमें ; , अर्थात। संभाव्यता घनत्व के साथ मानक कहा जाता है।

चावल। 6.

विचलन का निरपेक्ष मान धनात्मक संख्या से कम होने की प्रायिकता:

.

विशेष रूप से, जब ए = 0 समानता सत्य है:

उदाहरण 1.29।यादृच्छिक मूल्य एक्ससामान्य रूप से वितरित। मानक विचलन । किसी यादृच्छिक चर का निरपेक्ष मान में गणितीय अपेक्षा से विचलन 0.3 से कम होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान: .

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य:

1. एक यादृच्छिक चर के सामान्य वितरण की संभाव्यता घनत्व लिखें एक्स, जानते हुए भी एम (एक्स) = 3, डी (एक्स) = 16.

2. सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन एक्सक्रमशः 20 और 5 हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणामस्वरूप एक्सअंतराल (15;20) में निहित मान लेगा।

3. यादृच्छिक माप त्रुटियां मानक विचलन मिमी और गणितीय अपेक्षा के साथ सामान्य कानून के अधीन हैं ए = 0. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निरपेक्ष मान में 3 स्वतंत्र मापों में से कम से कम एक की त्रुटि 4 मिमी से अधिक न हो।

4. कुछ पदार्थों को व्यवस्थित त्रुटियों के बिना तौला जाता है। यादृच्छिक तोल त्रुटियाँ मानक विचलन r के साथ सामान्य नियम के अधीन होती हैं। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निरपेक्ष मान में 10 ग्राम से अधिक की त्रुटि के साथ तोल किया जाएगा।

इस मामले में वितरण कार्य, (5.7) के अनुसार, रूप लेगा:

जहाँ: m गणितीय अपेक्षा है, s मानक विचलन है।

जर्मन गणितज्ञ गॉस के बाद सामान्य वितरण को गॉसियन भी कहा जाता है। तथ्य यह है कि एक यादृच्छिक चर का पैरामीटर के साथ सामान्य वितरण होता है: एम, निम्नानुसार दर्शाया गया है: एन (एम, एस), जहां: एम = ए = एम;

अक्सर, सूत्रों में, गणितीय अपेक्षा को द्वारा निरूपित किया जाता है एक . यदि एक यादृच्छिक चर को नियम N(0,1) के अनुसार वितरित किया जाता है, तो इसे सामान्यीकृत या मानकीकृत सामान्य मान कहा जाता है। इसके लिए वितरण फ़ंक्शन का रूप है:

सामान्य वितरण के घनत्व का ग्राफ, जिसे सामान्य वक्र या गाऊसी वक्र कहा जाता है, चित्र 5.4 में दिखाया गया है।

चावल। 5.4. सामान्य वितरण घनत्व

एक यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं को उसके घनत्व द्वारा निर्धारित करने पर एक उदाहरण पर विचार किया जाता है।

उदाहरण 6.

वितरण घनत्व द्वारा एक सतत यादृच्छिक चर दिया जाता है: .

वितरण के प्रकार का निर्धारण करें, गणितीय अपेक्षा M(X) और प्रसरण D(X) ज्ञात करें।

दिए गए वितरण घनत्व की (5.16) से तुलना करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि m = 4 के साथ सामान्य वितरण नियम दिया गया है। इसलिए, गणितीय अपेक्षा M(X)=4, प्रसरण D(X)=9.

मानक विचलन एस = 3।

लैपलेस फ़ंक्शन, जिसका रूप है:

सामान्य वितरण फलन (5.17) से संबंधित है, संबंध द्वारा:

एफ 0 (एक्स) \u003d एफ (एक्स) + 0.5।

लाप्लास फ़ंक्शन विषम है।

(-x)=-Ф(x)।

लाप्लास फ़ंक्शन (х) के मानों को सारणीबद्ध किया जाता है और x के मान के अनुसार तालिका से लिया जाता है (देखें परिशिष्ट 1)।

एक सतत यादृच्छिक चर का सामान्य वितरण संभाव्यता के सिद्धांत और वास्तविकता के वर्णन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है; यह यादृच्छिक प्राकृतिक घटनाओं में बहुत व्यापक है। व्यवहार में, बहुत बार यादृच्छिक चर होते हैं जो कई यादृच्छिक शब्दों के योग के परिणामस्वरूप सटीक रूप से बनते हैं। विशेष रूप से, माप त्रुटियों के विश्लेषण से पता चलता है कि वे विभिन्न प्रकार की त्रुटियों का योग हैं। अभ्यास से पता चलता है कि माप त्रुटियों का संभाव्यता वितरण सामान्य कानून के करीब है।

लैपलेस फ़ंक्शन का उपयोग करके, कोई दिए गए अंतराल में गिरने की संभावना और एक सामान्य यादृच्छिक चर के दिए गए विचलन की गणना की समस्याओं को हल कर सकता है।

यादृच्छिक मान

उदाहरण 2.1.यादृच्छिक मूल्य एक्सवितरण समारोह द्वारा दिया गया

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणामस्वरूप एक्स(2.5; 3.6) के बीच मान लेगा।

समाधान: एक्सअंतराल में (2.5; 3.6) दो तरीकों से निर्धारित किया जा सकता है:

उदाहरण 2.2.मापदंडों के किन मूल्यों पर लेकिनतथा परसमारोह एफ(एक्स) = ए + बी - एक्सयादृच्छिक चर के गैर-ऋणात्मक मानों के लिए वितरण फ़ंक्शन हो सकता है एक्स.

समाधान:चूंकि यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान एक्सअंतराल से संबंधित हैं, फिर फ़ंक्शन के लिए वितरण फ़ंक्शन होने के लिए एक्स, संपत्ति को धारण करना चाहिए:

.

उत्तर: .

उदाहरण 2.3।यादृच्छिक चर X वितरण फलन द्वारा दिया जाता है

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि, चार स्वतंत्र परीक्षणों के परिणामस्वरूप, मान एक्सठीक 3 बार अंतराल से संबंधित मान लेगा (0.25; 0.75)।

समाधान:किसी मान से टकराने की प्रायिकता एक्सअंतराल में (0.25; 0.75) हम सूत्र द्वारा पाते हैं:

उदाहरण 2.4.गेंद के एक थ्रो में टोकरी से टकराने की प्रायिकता 0.3 है। तीन थ्रो में हिट की संख्या के वितरण का नियम बनाएं।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- टोकरी में तीन थ्रो के साथ हिट की संख्या - मान ले सकते हैं: 0, 1, 2, 3. प्रायिकताएँ एक्स

एक्स:

उदाहरण 2.5.दो निशानेबाज निशाने पर एक शॉट लगाते हैं। पहले शूटर द्वारा इसे मारने की संभावना 0.5, दूसरी - 0.4 है। लक्ष्य पर हिट की संख्या के वितरण का नियम लिखिए।

समाधान:एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण के नियम का पता लगाएं एक्स- लक्ष्य पर हिट की संख्या। घटना को पहले शूटर द्वारा लक्ष्य पर हिट होने दें, और - दूसरे शूटर द्वारा मारा जाए, और - क्रमशः, उनकी चूकें।

आइए हम SV के प्रायिकता बंटन के नियम की रचना करें एक्स:

उदाहरण 2.6।एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम करते हुए, 3 तत्वों का परीक्षण किया जाता है। तत्वों के विफलता-मुक्त संचालन की अवधि (घंटों में) में वितरण घनत्व कार्य होते हैं: पहले के लिए: एफ 1 (टी) =1-इ- 0,1 टी, दूसरे के लिए: एफ 2 (टी) = 1-इ- 0,2 टी, तीसरे के लिए: एफ 3 (टी) =1-इ- 0,3 टी. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 0 से 5 घंटे के समय अंतराल में: केवल एक तत्व विफल हो जाएगा; केवल दो तत्व विफल होंगे; तीनों तत्व विफल हो जाते हैं।

समाधान:आइए संभावनाओं के जनरेटिंग फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करें:

प्रायिकता कि स्वतंत्र परीक्षणों में, जिनमें से पहले में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता लेकिनबराबर , दूसरे में, आदि, घटना लेकिनठीक एक बार प्रकट होता है, की घातों में जनन फलन के विस्तार में गुणांक के बराबर होता है। आइए 0 से 5 घंटे के समय अंतराल में पहले, दूसरे और तीसरे तत्व की क्रमशः विफलता और गैर-विफलता की संभावनाएं खोजें:

आइए एक जनरेटिंग फंक्शन बनाएं:

पर गुणांक घटना की प्रायिकता के बराबर है लेकिनठीक तीन बार प्रकट होगा, अर्थात तीनों तत्वों के विफल होने की प्रायिकता; पर गुणांक इस संभावना के बराबर है कि ठीक दो तत्व विफल हो जाएंगे; गुणांक इस संभावना के बराबर है कि केवल एक तत्व विफल हो जाएगा।

उदाहरण 2.7.संभाव्यता घनत्व को देखते हुए एफ(एक्स) अनियमित चर एक्स:

वितरण फलन F(x) ज्ञात कीजिए।

समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

.

इस प्रकार, वितरण फ़ंक्शन का रूप है:

उदाहरण 2.8।डिवाइस में तीन स्वतंत्र रूप से काम करने वाले तत्व होते हैं। एक प्रयोग में प्रत्येक तत्व के विफल होने की प्रायिकता 0.1 है। एक प्रयोग में असफल तत्वों की संख्या के वितरण के नियम का संकलन कीजिए।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- एक प्रयोग में विफल होने वाले तत्वों की संख्या - मान ले सकते हैं: 0, 1, 2, 3. प्रायिकताएँ एक्सइन मूल्यों को लेता है, हम बर्नौली सूत्र द्वारा पाते हैं:

इस प्रकार, हमें एक यादृच्छिक चर के प्रायिकता बंटन का निम्नलिखित नियम प्राप्त होता है: एक्स:

उदाहरण 2.9।बहुत सारे 6 भागों में 4 मानक भाग होते हैं। 3 आइटम यादृच्छिक रूप से चुने गए थे। चयनित भागों के बीच मानक भागों की संख्या के वितरण का नियम तैयार करें।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- चयनित लोगों के बीच मानक भागों की संख्या - मान ले सकते हैं: 1, 2, 3 और एक हाइपरजोमेट्रिक वितरण है। संभावना है कि एक्स

कहाँ पे -- लॉट में भागों की संख्या;

-- लॉट में मानक भागों की संख्या;

– चयनित भागों की संख्या;

-- चयनित लोगों में मानक भागों की संख्या।

.

.

.

उदाहरण 2.10.यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व होता है

जहां और ज्ञात नहीं हैं, लेकिन, ए और। लगता है और ।

समाधान:इस मामले में, यादृच्छिक चर एक्सअंतराल पर त्रिकोणीय वितरण (सिम्पसन वितरण) है [ ए, बी]. संख्यात्मक विशेषताएं एक्स:

फलस्वरूप, . इस प्रणाली को हल करने पर, हमें दो जोड़े मान मिलते हैं: . चूंकि, समस्या की स्थिति के अनुसार, हमारे पास अंत में है: .

उत्तर: .

उदाहरण 2.11.औसतन 10% अनुबंधों के लिए, बीमा कंपनी बीमित घटना के घटित होने के संबंध में बीमा राशि का भुगतान करती है। यादृच्छिक रूप से चुने गए चार अनुबंधों में से गणितीय अपेक्षा और ऐसे अनुबंधों की संख्या की भिन्नता की गणना करें।

समाधान:गणितीय अपेक्षा और विचरण को सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

.

एसवी के संभावित मूल्य (बीमाकृत घटना की घटना के साथ अनुबंधों की संख्या (चार में से): 0, 1, 2, 3, 4।

हम विभिन्न अनुबंधों (चार में से) की संभावनाओं की गणना करने के लिए बर्नौली सूत्र का उपयोग करते हैं, जिसके लिए बीमा राशि का भुगतान किया गया था:

.

सीवी की वितरण श्रृंखला (बीमाकृत घटना की घटना के साथ अनुबंधों की संख्या) का रूप है:

उत्तर: , ।

उदाहरण 2.12.पांच गुलाबों में से दो सफेद होते हैं। एक ही समय में लिए गए दो में से सफेद गुलाब की संख्या को व्यक्त करते हुए एक यादृच्छिक चर के लिए एक वितरण कानून लिखें।

समाधान:दो गुलाबों के नमूने में या तो सफेद गुलाब नहीं हो सकता है, या एक या दो सफेद गुलाब हो सकते हैं। इसलिए, यादृच्छिक चर एक्समान ले सकते हैं: 0, 1, 2. संभावनाएं जो एक्सइन मानों को लेता है, हम सूत्र द्वारा पाते हैं:

कहाँ पे -- गुलाब की संख्या;

-- सफेद गुलाब की संख्या;

– एक साथ लिए गए गुलाबों की संख्या;

-- लेने वालों में सफेद गुलाब की संख्या।

.

.

.

तब यादृच्छिक चर के वितरण का नियम इस प्रकार होगा:

उदाहरण 2.13. 15 इकट्ठी इकाइयों में से 6 को अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता है। अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता वाली इकाइयों की संख्या के वितरण के नियम को तैयार करें, कुल संख्या में से पांच यादृच्छिक रूप से चुने गए।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- चयनित पांचों में से जिन इकाइयों को अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता होती है - वे मान ले सकते हैं: 0, 1, 2, 3, 4, 5 और एक हाइपरजोमेट्रिक वितरण है। संभावना है कि एक्सइन मानों को लेता है, हम सूत्र द्वारा पाते हैं:

कहाँ पे -- इकट्ठे इकाइयों की संख्या;

-- अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता वाली इकाइयों की संख्या;

– चयनित समुच्चय की संख्या;

-- चयनित इकाइयों के बीच अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता वाली इकाइयों की संख्या।

.

.

.

.

.

.

तब यादृच्छिक चर के वितरण का नियम इस प्रकार होगा:

उदाहरण 2.14.मरम्मत के लिए प्राप्त 10 घड़ियों में से 7 को तंत्र की सामान्य सफाई की आवश्यकता है। घड़ियाँ मरम्मत के प्रकार के अनुसार क्रमबद्ध नहीं होती हैं। मास्टर, एक ऐसी घड़ी की तलाश में है, जिसमें सफाई की आवश्यकता हो, एक-एक करके उनकी जांच करता है और ऐसी घड़ी पाकर, आगे देखना बंद कर देता है। देखे गए घंटों की संख्या की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता ज्ञात कीजिए।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- चयनित पांच में से जिन इकाइयों को अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता है - वे निम्नलिखित मान ले सकते हैं: 1, 2, 3, 4। संभावनाएँ कि एक्सइन मानों को लेता है, हम सूत्र द्वारा पाते हैं:

.

.

.

.

तब यादृच्छिक चर के वितरण का नियम इस प्रकार होगा:

आइए अब मात्रा की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें:

उत्तर: , ।

उदाहरण 2.15.ग्राहक अपने आवश्यक फ़ोन नंबर का अंतिम अंक भूल गया है, लेकिन याद रखता है कि यह विषम है। यदि वह अंतिम अंक को यादृच्छिक रूप से डायल करता है और भविष्य में डायल किए गए अंक को डायल नहीं करता है, तो वांछित संख्या को हिट करने से पहले उसके द्वारा किए गए डायल की संख्या की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता का पता लगाएं।

समाधान:यादृच्छिक चर मान ले सकते हैं: . चूंकि सब्सक्राइबर भविष्य में डायल किए गए अंक को डायल नहीं करता है, इसलिए इन मानों की संभावनाएं बराबर होती हैं।

आइए एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला की रचना करें:

आइए गणितीय अपेक्षा और डायलिंग प्रयासों की संख्या के विचरण की गणना करें:

उत्तर: , ।

उदाहरण 2.16.श्रृंखला के प्रत्येक उपकरण के लिए विश्वसनीयता परीक्षण के दौरान विफलता की संभावना बराबर होती है पी. परीक्षण किए जाने पर विफल होने वाले उपकरणों की संख्या की गणितीय अपेक्षा निर्धारित करें एनउपकरण।

समाधान:असतत यादृच्छिक चर X में विफल उपकरणों की संख्या है एनस्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में विफलता की संभावना बराबर होती है पी,द्विपद कानून के अनुसार वितरित। द्विपद वितरण की गणितीय अपेक्षा परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में होने वाली घटना की संभावना के उत्पाद के बराबर है:

उदाहरण 2.17.असतत यादृच्छिक चर एक्स 3 संभावित मान लेता है: प्रायिकता के साथ ; संभावना के साथ और संभावना के साथ। खोजें और जानें कि M( एक्स) = 8.

समाधान:हम गणितीय अपेक्षा की परिभाषाओं और असतत यादृच्छिक चर के वितरण के नियम का उपयोग करते हैं:

हम देखतें है: ।

उदाहरण 2.18.तकनीकी नियंत्रण विभाग मानकता के लिए उत्पादों की जाँच करता है। वस्तु के मानक होने की प्रायिकता 0.9 है। प्रत्येक बैच में 5 आइटम होते हैं। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं एक्स- बैचों की संख्या, जिनमें से प्रत्येक में ठीक 4 मानक उत्पाद हैं, यदि 50 बैच सत्यापन के अधीन हैं।

समाधान:इस मामले में, किए गए सभी प्रयोग स्वतंत्र हैं, और संभावना है कि प्रत्येक बैच में बिल्कुल 4 मानक उत्पाद शामिल हैं, इसलिए गणितीय अपेक्षा सूत्र द्वारा निर्धारित की जा सकती है:

,

पार्टियों की संख्या कहां है;

संभावना है कि एक बैच में ठीक 4 मानक आइटम हैं।

हम बर्नौली सूत्र का उपयोग करके संभाव्यता पाते हैं:

उत्तर: .

उदाहरण 2.19.एक यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए एक्स- घटना की घटनाओं की संख्या एदो स्वतंत्र परीक्षणों में, यदि इन परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकताएँ समान हों और यह ज्ञात हो कि एम(एक्स) = 0,9.

समाधान:समस्या को दो तरह से हल किया जा सकता है।

1) संभावित सीबी मान एक्स: 0, 1, 2. बर्नौली सूत्र का उपयोग करके, हम इन घटनाओं की प्रायिकताएँ ज्ञात करते हैं:

, , .

फिर वितरण कानून एक्सकी तरह लगता है:

गणितीय अपेक्षा की परिभाषा से, हम संभाव्यता निर्धारित करते हैं:

आइए SW . का प्रसरण ज्ञात करें एक्स:

.

2) आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

.

उत्तर: .

उदाहरण 2.20।सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन एक्सक्रमशः 20 और 5 हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणामस्वरूप एक्सअंतराल (15; 25) में निहित मान लेगा।

समाधान:एक सामान्य यादृच्छिक चर से टकराने की प्रायिकता एक्ससे खंड पर लाप्लास फ़ंक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया गया है:

उदाहरण 2.21।एक समारोह दिया:

पैरामीटर के किस मूल्य पर सीयह फ़ंक्शन कुछ निरंतर यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व है एक्स? एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए एक्स.

समाधान:किसी फ़ंक्शन के लिए कुछ यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व होने के लिए, यह गैर-ऋणात्मक होना चाहिए, और इसे संपत्ति को संतुष्ट करना चाहिए:

.

फलस्वरूप:

सूत्र का उपयोग करके गणितीय अपेक्षा की गणना करें:

.

सूत्र का उपयोग करके विचरण की गणना करें:

टी is पी. इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता को खोजना आवश्यक है।

समाधान:एक असतत यादृच्छिक चर X का वितरण कानून - स्वतंत्र परीक्षणों में एक घटना की घटनाओं की संख्या, जिनमें से प्रत्येक में एक घटना के होने की संभावना है, द्विपद कहा जाता है। द्विपद वितरण की गणितीय अपेक्षा परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में घटना A के घटित होने की प्रायिकता के गुणनफल के बराबर होती है:

.

उदाहरण 2.25.लक्ष्य पर तीन स्वतंत्र शॉट दागे जाते हैं। प्रत्येक शॉट मारने की संभावना 0.25 है। तीन शॉट्स के साथ हिट की संख्या का मानक विचलन निर्धारित करें।

समाधान:चूंकि तीन स्वतंत्र परीक्षण किए गए हैं, और प्रत्येक परीक्षण में घटना ए (हिट) की घटना की संभावना समान है, हम मान लेंगे कि असतत यादृच्छिक चर एक्स - लक्ष्य पर हिट की संख्या - द्विपद के अनुसार वितरित की जाती है कानून।

द्विपद बंटन का प्रसरण परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में किसी घटना के घटित होने और न होने की प्रायिकता के गुणनफल के बराबर होता है:

उदाहरण 2.26।बीमा कंपनी में 10 मिनट में आने वाले ग्राहकों की औसत संख्या तीन है। अगले 5 मिनट में कम से कम एक ग्राहक के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

5 मिनट में आने वाले ग्राहकों की औसत संख्या: . .

उदाहरण 2.29।प्रोसेसर कतार में एक आवेदन के लिए प्रतीक्षा समय 20 सेकंड के औसत मूल्य के साथ एक घातीय वितरण कानून का पालन करता है। संभावना है कि अगला (मनमाना) अनुरोध प्रोसेसर के लिए 35 सेकंड से अधिक समय तक प्रतीक्षा करेगा।

समाधान:इस उदाहरण में, अपेक्षा , और विफलता दर है .

तब वांछित संभावना है:

उदाहरण 2.30। 15 छात्रों का एक समूह एक हॉल में 10 सीटों की 20 पंक्तियों के साथ एक बैठक करता है। प्रत्येक छात्र यादृच्छिक रूप से हॉल में एक सीट लेता है। क्या प्रायिकता है कि पंक्ति में सातवें स्थान पर तीन से अधिक व्यक्ति नहीं होंगे?

समाधान:

उदाहरण 2.31।

तब प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार:

कहाँ पे -- लॉट में भागों की संख्या;

-- लॉट में गैर-मानक भागों की संख्या;

– चयनित भागों की संख्या;

-- चयनित लोगों के बीच गैर-मानक भागों की संख्या।

तब यादृच्छिक चर का वितरण नियम इस प्रकार होगा।

निरंतर यादृच्छिक चर में संभावित मानों की अनंत संख्या होती है। इसलिए, उनके लिए एक वितरण श्रृंखला शुरू करना असंभव है।

इस संभावना के बजाय कि यादृच्छिक चर X, x के बराबर मान लेगा, अर्थात। p(X = x), इस प्रायिकता पर विचार करें कि X, x से कम मान लेगा, अर्थात। पी(एक्स< х).

हम यादृच्छिक चर की एक नई विशेषता का परिचय देते हैं - वितरण फ़ंक्शन और इसके गुणों पर विचार करें।

वितरण फलन एक यादृच्छिक चर की सबसे सार्वभौमिक विशेषता है। इसे असतत और निरंतर यादृच्छिक चर दोनों के लिए परिभाषित किया जा सकता है:

एफ(एक्स) = पी(एक्स< x).

वितरण समारोह गुण।

वितरण फलन अपने तर्क का एक गैर-घटता फलन है, अर्थात्। यदि:

माइनस इनफिनिटी पर, वितरण फलन शून्य होता है:

धनात्मक अनंत पर, वितरण फलन एक के बराबर होता है:

किसी दिए गए अंतराल में यादृच्छिक चर के गिरने की प्रायिकता सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

फलन f(x), जो वितरण फलन के व्युत्पन्न के बराबर है, यादृच्छिक चर X का प्रायिकता घनत्व या वितरण घनत्व कहलाता है:

आइए खंड b से c तक f(x) के रूप में टकराने की प्रायिकता व्यक्त करें। यह इस खंड में संभाव्यता तत्वों के योग के बराबर है, अर्थात। अभिन्न:

यहाँ से, हम वितरण फलन को प्रायिकता घनत्व के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:

संभाव्यता घनत्व गुण।

प्रायिकता घनत्व एक गैर-ऋणात्मक फलन है (चूंकि वितरण फलन एक गैर-घटता फलन है):

घनत्व शायद

sti एक सतत कार्य है।

संभाव्यता घनत्व की अनंत सीमाओं में अभिन्न 1 के बराबर है:

संभाव्यता घनत्व में एक यादृच्छिक चर का आयाम होता है।

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और फैलाव

गणितीय अपेक्षा और विचरण का अर्थ वही रहता है जो असतत यादृच्छिक चर के मामले में होता है। उन्हें खोजने के लिए सूत्रों का रूप बदलकर बदलता है:

फिर हम एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और फैलाव की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

उदाहरण। एक सतत यादृच्छिक चर का वितरण फलन निम्न द्वारा दिया जाता है:

a का मान, प्रायिकता घनत्व, साइट से टकराने की प्रायिकता (0.25-0.5), गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।

चूँकि वितरण फलन F(x) सतत है, तो x = 1 ax2 = 1 के लिए, इसलिए a = 1।

संभाव्यता घनत्व वितरण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में पाया जाता है:

किसी दिए गए क्षेत्र से टकराने की संभावना की गणना दो तरीकों से की जा सकती है: वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करना और संभाव्यता घनत्व का उपयोग करना।

• पहला रास्ता। हम बंटन फलन के माध्यम से प्रायिकता ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:
• दूसरा रास्ता। हम संभाव्यता घनत्व के माध्यम से संभाव्यता खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

गणितीय अपेक्षा ढूँढना:

भिन्नता ढूँढना:

वर्दी वितरण

एक सतत यादृच्छिक चर X पर विचार करें, जिसके संभावित मान एक निश्चित अंतराल में हैं और समान रूप से संभावित हैं।

ऐसे यादृच्छिक चर का प्रायिकता घनत्व होगा:

जहां c कुछ स्थिर है।

संभाव्यता घनत्व ग्राफ निम्नानुसार प्रदर्शित किया जाएगा:

हम पैरामीटर c को b और c के पदों में व्यक्त करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि पूरे क्षेत्र में संभाव्यता घनत्व का अभिन्न अंग 1 के बराबर होना चाहिए:

एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व

वितरण समारोह खोजें:

एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का वितरण कार्य

आइए वितरण फ़ंक्शन को प्लॉट करें:

आइए हम एक समान वितरण का पालन करते हुए एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता की गणना करें।

तब मानक विचलन इस तरह दिखेगा:

सामान्य (गाऊसी) वितरण

एक सतत यादृच्छिक चर X को सामान्य रूप से पैरामीटर a, y> 0 के साथ वितरित किया जाता है यदि इसकी संभाव्यता घनत्व है:

एक यादृच्छिक चर के वितरण वक्र का रूप है:

टेस्ट 2

कार्य 1. एक असतत यादृच्छिक चर X के वितरण के नियम की रचना करें, एक यादृच्छिक चर के गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन की गणना करें।

विकल्प 1

QCD मानकीकरण के लिए उत्पादों की जाँच करता है। वस्तु के मानक होने की प्रायिकता 0.7 है। 20 वस्तुओं का परीक्षण किया गया। यादृच्छिक चर X के वितरण के नियम का पता लगाएं - परीक्षण किए गए उत्पादों के बीच मानक उत्पादों की संख्या। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन की गणना करें।

विकल्प 2

कलश में 4 गेंदें होती हैं, जिन पर अंक 2 अंकित होते हैं; चार; 5; 5. एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। एक यादृच्छिक चर X के वितरण के नियम का पता लगाएं - उस पर अंकों की संख्या। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन की गणना करें।

विकल्प 3

शिकारी खेल को तब तक शूट करता है जब तक कि वह हिट न हो जाए, लेकिन तीन से अधिक शॉट फायर नहीं कर सकता। प्रत्येक शॉट मारने की संभावना 0.6 है। यादृच्छिक चर X के वितरण के नियम की रचना करें - शूटर द्वारा दागे गए शॉट्स की संख्या। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन की गणना करें।

विकल्प 4

माप में निर्दिष्ट सटीकता को पार करने की संभावना 0.4 है। एक यादृच्छिक चर X के वितरण के नियम की रचना करें - 10 मापों में त्रुटियों की संख्या। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन की गणना करें।

विकल्प 5

एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.45 है। 20 गोलियां चलाईं। एक यादृच्छिक चर X के वितरण के नियम की रचना करें - हिट की संख्या। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन की गणना करें।

विकल्प 6

एक निश्चित कारखाने के उत्पादों में विवाह का 5% होता है। यादृच्छिक चर X के लिए वितरण नियम बनाएं - सौभाग्य के लिए लिए गए पांच उत्पादों में से दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन की गणना करें।

विकल्प 7

असेंबलर के लिए आवश्यक पुर्जे पांच में से तीन बॉक्स में होते हैं। असेंबलर तब तक बक्से खोलता है जब तक उसे सही हिस्से नहीं मिल जाते। एक यादृच्छिक चर X के वितरण के नियम की रचना करें - खुले बक्सों की संख्या। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन की गणना करें।

विकल्प 8

एक कलश में 3 काली और 2 सफेद गेंदें हैं। बिना वापसी के गेंदों का क्रमिक निष्कर्षण तब तक किया जाता है जब तक कि काला दिखाई न दे। एक यादृच्छिक चर X के वितरण के नियम की रचना करें - निकाली गई गेंदों की संख्या। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन की गणना करें।

विकल्प 9

छात्र 20 में से 15 प्रश्न जानता है। टिकट में 3 प्रश्न हैं। एक यादृच्छिक चर X के वितरण के नियम की रचना करें - टिकट में छात्र को ज्ञात प्रश्नों की संख्या। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन की गणना करें।

विकल्प 10

3 प्रकाश बल्ब हैं, जिनमें से प्रत्येक में 0.4 की संभावना के साथ एक दोष है। चालू होने पर, दोषपूर्ण प्रकाश बल्ब जल जाता है और इसे दूसरे द्वारा बदल दिया जाता है। यादृच्छिक चर X के लिए वितरण नियम बनाएं - परीक्षण किए गए लैंप की संख्या। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन की गणना करें।

कार्य 2. यादृच्छिक चर X वितरण फलन F(X) द्वारा दिया जाता है। वितरण घनत्व, गणितीय अपेक्षा, विचरण, और एक यादृच्छिक चर के अंतराल (बी, सी) में गिरने की संभावना का पता लगाएं। फलन F(X) और f(X) के आलेखों की रचना कीजिए।

विकल्प 1

विकल्प 2

विकल्प 3

विकल्प 4

विकल्प 5

विकल्प 6

विकल्प 7

विकल्प 8

विकल्प 9

विकल्प 10

परीक्षा के लिए प्रश्न

संभाव्यता की क्लासिक परिभाषा।

कॉम्बिनेटरिक्स के तत्व। निवास स्थान। उदाहरण।

कॉम्बिनेटरिक्स के तत्व। क्रमपरिवर्तन। उदाहरण।

कॉम्बिनेटरिक्स के तत्व। संयोजन। उदाहरण।

संभावनाओं के योग पर प्रमेय।

प्रायिकता गुणन प्रमेय।

घटनाओं पर संचालन।

कुल संभावना सूत्र।

बेयस सूत्र।

परीक्षणों की पुनरावृत्ति। बर्नौली सूत्र।

असतत यादृच्छिक चर। वितरण रेंज। उदाहरण।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा।

असतत यादृच्छिक चर का फैलाव।

एक यादृच्छिक चर का द्विपद वितरण।

पॉसों वितरण।

ज्यामितीय प्रगति के नियम के अनुसार वितरण।

निरंतर यादृच्छिक चर। वितरण कार्य और उसके गुण।

संभाव्यता घनत्व और इसके गुण।

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा।

एक सतत यादृच्छिक चर का फैलाव।

एक सतत यादृच्छिक चर का समान वितरण।

सामान्य वितरण कानून।