किसी यादृच्छिक चर के मानों की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए। एक्सेल में औसत और अपेक्षा

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य भी होंगे, जिनके उत्तर आप देख सकते हैं।

गणितीय अपेक्षा और विचरण एक यादृच्छिक चर की सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली संख्यात्मक विशेषताएं हैं। वे वितरण की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं की विशेषता बताते हैं: इसकी स्थिति और फैलाव की डिग्री। गणितीय अपेक्षा को अक्सर केवल माध्य के रूप में संदर्भित किया जाता है। अनियमित परिवर्तनशील वस्तु। एक यादृच्छिक चर का फैलाव - फैलाव की एक विशेषता, एक यादृच्छिक चर का फैलाव इसकी गणितीय अपेक्षा के आसपास।

अभ्यास की कई समस्याओं में, एक यादृच्छिक चर का पूर्ण, विस्तृत विवरण - वितरण का नियम - या तो प्राप्त नहीं किया जा सकता है, या इसकी बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है। इन मामलों में, वे संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग करके यादृच्छिक चर के अनुमानित विवरण तक सीमित हैं।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

आइये गणितीय अपेक्षा की अवधारणा पर आते हैं। मान लीजिए कि किसी पदार्थ का द्रव्यमान x-अक्ष के बिंदुओं के बीच वितरित किया गया है एक्स1 , एक्स 2 , ..., एक्सएन. इसके अलावा, प्रत्येक भौतिक बिंदु की संभावना के अनुरूप एक द्रव्यमान होता है पी1 , पी 2 , ..., पीएन. एक्स-अक्ष पर एक बिंदु का चयन करना आवश्यक है, जो उनके द्रव्यमान को ध्यान में रखते हुए, भौतिक बिंदुओं की पूरी प्रणाली की स्थिति को दर्शाता है। भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र को ऐसे बिंदु के रूप में लेना स्वाभाविक है। यह यादृच्छिक चर का भारित औसत है एक्स, जिसमें प्रत्येक बिंदु का भुज एक्समैंसंगत संभाव्यता के बराबर "वजन" के साथ प्रवेश करता है। इस प्रकार प्राप्त यादृच्छिक चर का माध्य मान एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा कहलाती है।

एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा उसके सभी संभावित मूल्यों और इन मूल्यों की संभावनाओं के उत्पादों का योग है:

उदाहरण 1जीत-जीत लॉटरी का आयोजन किया। 1000 जीतें हैं, जिनमें से 400 प्रत्येक 10 रूबल की हैं। 300 - 20 रूबल प्रत्येक 200 - 100 रूबल प्रत्येक। और 100 - 200 रूबल प्रत्येक। एक टिकट खरीदने वाले व्यक्ति की औसत जीत क्या है?

समाधान। यदि जीत की कुल राशि, जो 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 रूबल के बराबर है, को 1000 (जीत की कुल राशि) से विभाजित किया जाए तो हम औसत जीत पाएंगे। तब हमें 50000/1000 = 50 रूबल मिलते हैं। लेकिन औसत लाभ की गणना के लिए अभिव्यक्ति को निम्नलिखित रूप में भी दर्शाया जा सकता है:

दूसरी ओर, इन शर्तों के तहत, जीत की राशि एक यादृच्छिक चर है जो 10, 20, 100 और 200 रूबल के मान ले सकती है। क्रमशः 0.4 के बराबर संभावनाओं के साथ; 0.3; 0.2; 0.1. इसलिए, अपेक्षित औसत भुगतान भुगतान के आकार और उन्हें प्राप्त करने की संभावना के उत्पादों के योग के बराबर है।

उदाहरण 2प्रकाशक ने एक नई पुस्तक प्रकाशित करने का निर्णय लिया। वह किताब को 280 रूबल में बेचने जा रहा है, जिसमें से 200 उसे, 50 किताब की दुकान को और 30 लेखक को दिए जाएंगे। तालिका किसी पुस्तक को प्रकाशित करने की लागत और पुस्तक की एक निश्चित संख्या में प्रतियां बेचने की संभावना के बारे में जानकारी देती है।

प्रकाशक का अपेक्षित लाभ ज्ञात कीजिए।

समाधान। यादृच्छिक चर "लाभ" बिक्री से आय और लागत की लागत के बीच अंतर के बराबर है। उदाहरण के लिए, यदि किसी पुस्तक की 500 प्रतियां बेची जाती हैं, तो बिक्री से आय 200 * 500 = 100,000 है, और प्रकाशन की लागत 225,000 रूबल है। इस प्रकार, प्रकाशक को 125,000 रूबल का नुकसान हुआ। निम्न तालिका यादृच्छिक चर के अपेक्षित मूल्यों का सारांश प्रस्तुत करती है - लाभ:

इस प्रकार, हम प्रकाशक के लाभ की गणितीय अपेक्षा प्राप्त करते हैं:

.

उदाहरण 3एक शॉट से मारने का मौका पी= 0.2. गोले की खपत निर्धारित करें जो 5 के बराबर हिट की संख्या की गणितीय अपेक्षा प्रदान करती है।

समाधान। हम अब तक जो अपेक्षा सूत्र अपनाते आए हैं, उसी से हम व्यक्त करते हैं एक्स- सीपियों की खपत:

.

उदाहरण 4एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा निर्धारित करें एक्सतीन शॉट के साथ हिट की संख्या, यदि प्रत्येक शॉट के साथ हिट होने की संभावना पी = 0,4 .

संकेत: किसी यादृच्छिक चर के मानों की प्रायिकता ज्ञात कीजिए बर्नौली सूत्र .

अपेक्षा गुण

गणितीय अपेक्षा के गुणों पर विचार करें।

संपत्ति 1.एक स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा इस स्थिरांक के बराबर है:

संपत्ति 2.स्थिर कारक को अपेक्षा चिह्न से निकाला जा सकता है:

संपत्ति 3.यादृच्छिक चरों के योग (अंतर) की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग (अंतर) के बराबर है:

संपत्ति 4.यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है:

संपत्ति 5.यदि यादृच्छिक चर के सभी मान एक्सउसी संख्या से कमी (वृद्धि)। साथ, तो इसकी गणितीय अपेक्षा उसी संख्या से घटेगी (बढ़ेगी):

जब आप केवल गणितीय अपेक्षा तक ही सीमित नहीं रह सकते

ज्यादातर मामलों में, केवल गणितीय अपेक्षा ही किसी यादृच्छिक चर को पर्याप्त रूप से चित्रित नहीं कर सकती है।

चलो यादृच्छिक चर एक्सऔर वाईनिम्नलिखित वितरण कानूनों द्वारा दिए गए हैं:

इन मात्राओं की गणितीय अपेक्षाएँ समान हैं - शून्य के बराबर:

हालाँकि, उनका वितरण अलग है। यादृच्छिक मूल्य एक्सकेवल वे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर से थोड़ा भिन्न हैं वाईऐसे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न हों। एक समान उदाहरण: औसत वेतन उच्च और निम्न वेतन वाले श्रमिकों के अनुपात का आकलन करना संभव नहीं बनाता है। दूसरे शब्दों में, गणितीय अपेक्षा से कोई यह तय नहीं कर सकता कि इससे क्या विचलन, कम से कम औसतन, संभव है। ऐसा करने के लिए, आपको एक यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात करना होगा।

असतत यादृच्छिक चर का फैलाव

फैलावअसतत यादृच्छिक चर एक्सगणितीय अपेक्षा से इसके विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा कहलाती है:

एक यादृच्छिक चर का मानक विचलन एक्सइसके विचरण के वर्गमूल का अंकगणितीय मान है:

.

उदाहरण 5यादृच्छिक चर के प्रसरण और मानक विचलन की गणना करें एक्सऔर वाई, जिसके वितरण नियम ऊपर तालिका में दिए गए हैं।

समाधान। यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाएँ एक्सऔर वाई, जैसा कि ऊपर पाया गया, शून्य के बराबर है। के लिए फैलाव सूत्र के अनुसार इ(एक्स)=इ(य)=0 हमें मिलता है:

फिर यादृच्छिक चर के मानक विचलन एक्सऔर वाईगठित करना

.

इस प्रकार, समान गणितीय अपेक्षाओं के साथ, यादृच्छिक चर का विचरण एक्सबहुत छोटा और यादृच्छिक वाई- महत्वपूर्ण। यह उनके वितरण में अंतर का परिणाम है।

उदाहरण 6निवेशक के पास 4 वैकल्पिक निवेश परियोजनाएं हैं। तालिका इन परियोजनाओं में अपेक्षित लाभ पर डेटा को संबंधित संभावना के साथ सारांशित करती है।

प्रत्येक विकल्प के लिए गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन खोजें।

समाधान। आइए हम दिखाते हैं कि तीसरे विकल्प के लिए इन मात्राओं की गणना कैसे की जाती है:

तालिका सभी विकल्पों के लिए पाए गए मानों का सारांश प्रस्तुत करती है।

सभी विकल्पों की गणितीय अपेक्षा समान है। इसका मतलब यह है कि लंबे समय में सभी की आय समान होगी। मानक विचलन की व्याख्या जोखिम के माप के रूप में की जा सकती है - यह जितना बड़ा होगा, निवेश का जोखिम उतना ही अधिक होगा। एक निवेशक जो अधिक जोखिम नहीं चाहता है वह प्रोजेक्ट 1 चुनेगा क्योंकि इसमें सबसे छोटा मानक विचलन (0) है। यदि निवेशक छोटी अवधि में जोखिम और उच्च रिटर्न पसंद करता है, तो वह सबसे बड़े मानक विचलन वाली परियोजना - परियोजना 4 का चयन करेगा।

फैलाव गुण

आइए हम फैलाव के गुण प्रस्तुत करें।

संपत्ति 1.एक स्थिर मान का फैलाव शून्य है:

संपत्ति 2.अचर गुणनखंड को विचरण चिह्न से वर्गित करके निकाला जा सकता है:

.

संपत्ति 3.एक यादृच्छिक चर का प्रसरण इस मान के वर्ग की गणितीय अपेक्षा के बराबर होता है, जिसमें से मान की गणितीय अपेक्षा का वर्ग ही घटा दिया जाता है:

,

कहाँ .

संपत्ति 4.यादृच्छिक चरों के योग (अंतर) का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग (अंतर) के बराबर होता है:

उदाहरण 7यह ज्ञात है कि एक असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है: -3 और 7. इसके अलावा, गणितीय अपेक्षा ज्ञात है: इ(एक्स) = 4 . एक असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

समाधान। द्वारा निरूपित करें पीवह संभाव्यता जिसके साथ एक यादृच्छिक चर एक मान लेता है एक्स1 = −3 . फिर मान की प्रायिकता एक्स2 = 7 1 होगा - पी. आइए गणितीय अपेक्षा के लिए समीकरण प्राप्त करें:

इ(एक्स) = एक्स 1 पी + एक्स 2 (1 − पी) = −3पी + 7(1 − पी) = 4 ,

जहां हमें संभावनाएं मिलती हैं: पी= 0.3 और 1 − पी = 0,7 .

यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:

हम विचरण के गुण 3 के सूत्र का उपयोग करके इस यादृच्छिक चर के विचरण की गणना करते हैं:

डी(एक्स) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

किसी यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा स्वयं ज्ञात करें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 8असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है। यह 0.4 की संभावना के साथ 3 का बड़ा मान लेता है। इसके अलावा, यादृच्छिक चर का विचरण ज्ञात होता है डी(एक्स) = 6 . एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 9एक कलश में 6 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। कलश से 3 गेंदें निकाली गईं। निकाली गई गेंदों में से सफेद गेंदों की संख्या एक अलग यादृच्छिक चर है एक्स. इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।

समाधान। यादृच्छिक मूल्य एक्समान 0, 1, 2, 3 ले सकते हैं। संबंधित संभावनाओं की गणना की जा सकती है संभावनाओं के गुणन का नियम. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:

इसलिए इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा:

एम(एक्स) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

किसी दिए गए यादृच्छिक चर का विचरण है:

डी(एक्स) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

निरंतर यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और फैलाव

एक निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा की यांत्रिक व्याख्या एक ही अर्थ बनाए रखेगी: घनत्व के साथ एक्स-अक्ष पर लगातार वितरित एक इकाई द्रव्यमान के लिए द्रव्यमान का केंद्र एफ(एक्स). एक असतत यादृच्छिक चर के विपरीत, जिसके लिए फ़ंक्शन तर्क एक्समैंअचानक बदलता है, एक निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, तर्क लगातार बदलता रहता है। लेकिन एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा उसके माध्य मान से भी संबंधित होती है।

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण को खोजने के लिए, आपको निश्चित अभिन्न अंग खोजने की आवश्यकता है . यदि एक सतत यादृच्छिक चर का घनत्व फ़ंक्शन दिया गया है, तो यह सीधे इंटीग्रैंड में प्रवेश करता है। यदि एक संभाव्यता वितरण फलन दिया गया है, तो उसे विभेदित करके, आपको घनत्व फलन ज्ञात करना होगा।

किसी सतत् यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों का अंकगणितीय औसत उसका कहलाता है गणितीय अपेक्षा, या द्वारा निरूपित।

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता वितरण है

गणितीय अपेक्षा, परिभाषा, असतत और निरंतर यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, चयनात्मक, सशर्त अपेक्षा, गणना, गुण, कार्य, अपेक्षा का अनुमान, विचरण, वितरण फ़ंक्शन, सूत्र, गणना उदाहरण

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गणितीय अपेक्षा परिभाषा है

गणितीय सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक, एक यादृच्छिक चर के मूल्यों या संभावनाओं के वितरण की विशेषता। आमतौर पर इसे यादृच्छिक चर के सभी संभावित मापदंडों के भारित औसत के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसका व्यापक रूप से तकनीकी विश्लेषण, संख्या श्रृंखला के अध्ययन, निरंतर और दीर्घकालिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में उपयोग किया जाता है। वित्तीय बाजारों में व्यापार करते समय जोखिमों का आकलन करने, मूल्य संकेतकों की भविष्यवाणी करने में यह महत्वपूर्ण है, और जुए के सिद्धांत में रणनीतियों और गेम रणनीति के तरीकों के विकास में इसका उपयोग किया जाता है।

गणितीय अपेक्षा हैएक यादृच्छिक चर का माध्य मान, एक यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण को संभाव्यता सिद्धांत में माना जाता है।

गणितीय अपेक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर के माध्य मान का माप। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्सलक्षित एम(एक्स).

गणितीय अपेक्षा है

गणितीय अपेक्षा हैसंभाव्यता सिद्धांत में, सभी संभावित मानों का भारित औसत जो यह यादृच्छिक चर ले सकता है।

गणितीय अपेक्षा हैइन मानों की संभावनाओं द्वारा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों के उत्पादों का योग।

गणितीय अपेक्षा हैकिसी विशेष निर्णय से औसत लाभ, बशर्ते कि ऐसे निर्णय को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे में माना जा सके।

गणितीय अपेक्षा हैजुए के सिद्धांत में, जीत की वह राशि जो एक खिलाड़ी औसतन प्रत्येक दांव पर कमा सकता है या हार सकता है। जुआरियों की भाषा में, इसे कभी-कभी "गेमर्स एज" (यदि खिलाड़ी के लिए सकारात्मक है) या "हाउस एज" (यदि खिलाड़ी के लिए नकारात्मक है) कहा जाता है।

गणितीय अपेक्षा हैप्रति जीत लाभ का प्रतिशत औसत लाभ से गुणा करके हानि की संभावना को औसत हानि से गुणा किया जाता है।

गणितीय सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

यादृच्छिक चर की महत्वपूर्ण संख्यात्मक विशेषताओं में से एक गणितीय अपेक्षा है। आइए हम यादृच्छिक चरों की एक प्रणाली की अवधारणा का परिचय दें। यादृच्छिक चर के एक सेट पर विचार करें जो एक ही यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम हैं। यदि सिस्टम के संभावित मूल्यों में से एक है, तो घटना एक निश्चित संभावना से मेल खाती है जो कोलमोगोरोव सिद्धांतों को संतुष्ट करती है। यादृच्छिक चर के किसी भी संभावित मान के लिए परिभाषित फ़ंक्शन को संयुक्त वितरण कानून कहा जाता है। यह फ़ंक्शन आपको किसी भी घटना की संभावनाओं की गणना करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, यादृच्छिक चर के वितरण का संयुक्त कानून और, जो सेट से मान लेते हैं और, संभावनाओं द्वारा दिया जाता है।

शब्द "उम्मीद" पियरे साइमन मार्क्विस डी लाप्लास (1795) द्वारा पेश किया गया था और इसकी उत्पत्ति "अदायगी के अपेक्षित मूल्य" की अवधारणा से हुई थी, जो पहली बार 17वीं शताब्दी में ब्लेज़ पास्कल और क्रिश्चियन ह्यूजेंस के कार्यों में जुए के सिद्धांत में दिखाई दी थी। . हालाँकि, इस अवधारणा की पहली पूर्ण सैद्धांतिक समझ और मूल्यांकन पफ़नुटी लावोविच चेबीशेव (19वीं शताब्दी के मध्य) द्वारा दिया गया था।

यादृच्छिक संख्यात्मक चर का वितरण कानून (वितरण फ़ंक्शन और वितरण श्रृंखला या संभाव्यता घनत्व) पूरी तरह से एक यादृच्छिक चर के व्यवहार का वर्णन करता है। लेकिन कई समस्याओं में पूछे गए प्रश्न का उत्तर देने के लिए अध्ययन के तहत मात्रा की कुछ संख्यात्मक विशेषताओं (उदाहरण के लिए, इसका औसत मूल्य और इससे संभावित विचलन) को जानना पर्याप्त है। यादृच्छिक चर की मुख्य संख्यात्मक विशेषताएँ गणितीय अपेक्षा, विचरण, बहुलक और माध्यिका हैं।

एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा उसके संभावित मूल्यों और उनकी संबंधित संभावनाओं के उत्पादों का योग है। कभी-कभी गणितीय अपेक्षा को भारित औसत कहा जाता है, क्योंकि यह बड़ी संख्या में प्रयोगों में यादृच्छिक चर के देखे गए मूल्यों के अंकगणितीय माध्य के लगभग बराबर होता है। गणितीय अपेक्षा की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि इसका मान किसी यादृच्छिक चर के सबसे छोटे संभावित मान से कम नहीं है और सबसे बड़े से अधिक नहीं है। यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक गैर-यादृच्छिक (स्थिर) चर है।

गणितीय अपेक्षा का एक सरल भौतिक अर्थ है: यदि एक इकाई द्रव्यमान को एक सीधी रेखा पर रखा जाता है, कुछ बिंदुओं पर कुछ द्रव्यमान रखा जाता है (एक अलग वितरण के लिए), या इसे एक निश्चित घनत्व के साथ "स्मीयर" किया जाता है (बिल्कुल निरंतर वितरण के लिए), तब गणितीय अपेक्षा के अनुरूप बिंदु सीधे "गुरुत्वाकर्षण का केंद्र" समन्वय होगा।

एक यादृच्छिक चर का औसत मान एक निश्चित संख्या है, जो कि, जैसा कि यह था, इसका "प्रतिनिधि" है और इसे मोटे तौर पर अनुमानित गणनाओं में प्रतिस्थापित करता है। जब हम कहते हैं: "औसत लैंप संचालन समय 100 घंटे है" या "प्रभाव का औसत बिंदु लक्ष्य के सापेक्ष 2 मीटर दाईं ओर स्थानांतरित हो जाता है", हम इसके द्वारा एक यादृच्छिक चर की एक निश्चित संख्यात्मक विशेषता को इंगित करते हैं जो इसका वर्णन करता है संख्यात्मक अक्ष पर स्थान, अर्थात पोजिशन का विवरण।

संभाव्यता सिद्धांत में किसी स्थिति की विशेषताओं में से, सबसे महत्वपूर्ण भूमिका एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा द्वारा निभाई जाती है, जिसे कभी-कभी यादृच्छिक चर का औसत मूल्य भी कहा जाता है।

एक यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्स, जिसके संभावित मान हैं X1, x2, …, xnसंभावनाओं के साथ पी1, पी2,…, पी.एन. हमें एक्स-अक्ष पर यादृच्छिक चर के मानों की स्थिति को कुछ संख्याओं द्वारा चिह्नित करने की आवश्यकता है, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि इन मानों की अलग-अलग संभावनाएं हैं। इस प्रयोजन के लिए, मूल्यों के तथाकथित "भारित औसत" का उपयोग करना स्वाभाविक है क्सी, और औसत के दौरान प्रत्येक मान xi को इस मान की संभावना के आनुपातिक "वजन" के साथ ध्यान में रखा जाना चाहिए। इस प्रकार, हम यादृच्छिक चर के माध्य की गणना करेंगे एक्स, जिसे हम निरूपित करेंगे एम|एक्स|:

इस भारित औसत को यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। इस प्रकार, हमने संभाव्यता सिद्धांत की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक - गणितीय अपेक्षा की अवधारणा को प्रस्तुत किया। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों और इन मूल्यों की संभावनाओं के उत्पादों का योग है।

इसका उत्पादन होने दीजिए एनस्वतंत्र प्रयोग, जिनमें से प्रत्येक में मूल्य एक्सएक निश्चित मूल्य लेता है। मान लीजिए x1दिखाई दिया एम1समय, मूल्य x2दिखाई दिया एम2समय, सामान्य अर्थ क्सीकई बार दिखाई दिया। आइए हम एक्स के देखे गए मानों के अंकगणितीय माध्य की गणना करें, जो गणितीय अपेक्षा के विपरीत है एम|एक्स|हम निरूपित करेंगे एम*|एक्स|:

प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ एनआवृत्तियों अनुकरणीयसंगत संभावनाओं तक पहुँचेगा (संभावना में अभिसरण)। इसलिए, यादृच्छिक चर के देखे गए मानों का अंकगणितीय माध्य एम|एक्स|प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ, यह अपनी गणितीय अपेक्षा के करीब पहुंच जाएगा (संभावना में अभिसरण)। अंकगणित माध्य और ऊपर वर्णित गणितीय अपेक्षा के बीच संबंध बड़ी संख्या के कानून के रूपों में से एक की सामग्री का गठन करता है।

हम पहले से ही जानते हैं कि बड़ी संख्या के नियम के सभी रूप इस तथ्य को बताते हैं कि बड़ी संख्या में प्रयोगों पर कुछ औसत स्थिर होते हैं। यहां हम समान मूल्य के अवलोकनों की एक श्रृंखला से अंकगणितीय माध्य की स्थिरता के बारे में बात कर रहे हैं। कम संख्या में प्रयोगों के साथ, उनके परिणामों का अंकगणितीय माध्य यादृच्छिक होता है; प्रयोगों की संख्या में पर्याप्त वृद्धि के साथ, यह "लगभग यादृच्छिक नहीं" हो जाता है और, स्थिर होकर, एक स्थिर मूल्य - गणितीय अपेक्षा के करीब पहुंचता है।

बड़ी संख्या में प्रयोगों के लिए औसत की स्थिरता की संपत्ति को प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित करना आसान है। उदाहरण के लिए, किसी भी पिंड को प्रयोगशाला में सटीक तराजू पर तौलना, तोलने के परिणामस्वरूप हमें हर बार एक नया मूल्य मिलता है; अवलोकन की त्रुटि को कम करने के लिए, हम शरीर को कई बार तौलते हैं और प्राप्त मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का उपयोग करते हैं। यह देखना आसान है कि प्रयोगों (वजन) की संख्या में और वृद्धि के साथ, अंकगणितीय माध्य इस वृद्धि पर कम से कम प्रतिक्रिया करता है, और पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ यह व्यावहारिक रूप से बदलना बंद कर देता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यादृच्छिक चर की स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता - गणितीय अपेक्षा - सभी यादृच्छिक चर के लिए मौजूद नहीं है। ऐसे यादृच्छिक चर के उदाहरण बनाना संभव है जिनके लिए गणितीय अपेक्षा मौजूद नहीं है, क्योंकि संबंधित योग या अभिन्न विचलन होता है। हालाँकि, अभ्यास के लिए, ऐसे मामले महत्वपूर्ण रुचि के नहीं हैं। आमतौर पर, हम जिन यादृच्छिक चरों से निपट रहे हैं उनमें संभावित मूल्यों की एक सीमित सीमा होती है और निश्चित रूप से, एक अपेक्षा होती है।

यादृच्छिक चर की स्थिति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं के अलावा - गणितीय अपेक्षा, अन्य स्थिति विशेषताओं का उपयोग कभी-कभी व्यवहार में किया जाता है, विशेष रूप से, यादृच्छिक चर का मोड और माध्यिका।

किसी यादृच्छिक चर का बहुलक उसका सबसे संभावित मान होता है। शब्द "सबसे संभावित मूल्य", कड़ाई से बोलते हुए, केवल असंतुलित मात्राओं पर लागू होता है; किसी सतत मात्रा के लिए, मोड वह मान है जिस पर संभाव्यता घनत्व अधिकतम होता है। आंकड़े क्रमशः असंतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए मोड दिखाते हैं।

यदि वितरण बहुभुज (वितरण वक्र) में एक से अधिक अधिकतम हैं, तो वितरण को "बहुपद" कहा जाता है।

कभी-कभी ऐसे वितरण होते हैं जिनके बीच में अधिकतम नहीं, बल्कि न्यूनतम होता है। ऐसे वितरणों को "एंटीमॉडल" कहा जाता है।

सामान्य स्थिति में, यादृच्छिक चर का मोड और गणितीय अपेक्षा मेल नहीं खाती है। किसी विशेष मामले में, जब वितरण सममित और मोडल होता है (यानी एक मोड होता है) और गणितीय अपेक्षा होती है, तो यह वितरण के मोड और समरूपता के केंद्र के साथ मेल खाता है।

स्थिति की एक अन्य विशेषता का अक्सर उपयोग किया जाता है - एक यादृच्छिक चर का तथाकथित माध्यिका। यह विशेषता आमतौर पर केवल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए उपयोग की जाती है, हालांकि इसे औपचारिक रूप से असंतत चर के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है। ज्यामितीय रूप से, माध्यिका उस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र से घिरा क्षेत्र द्विभाजित होता है।

सममित मोडल वितरण के मामले में, माध्य माध्य और बहुलक के साथ मेल खाता है।

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर का औसत मूल्य है - एक यादृच्छिक चर की संभाव्यता वितरण की एक संख्यात्मक विशेषता। सबसे सामान्य तरीके से, एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एक्स(डब्ल्यू)संभाव्यता माप के संबंध में लेबेस्ग इंटीग्रल के रूप में परिभाषित किया गया है आरमूल संभाव्यता स्थान में:

गणितीय अपेक्षा की गणना लेबेस्ग इंटीग्रल के रूप में भी की जा सकती है एक्ससंभाव्यता वितरण द्वारा पिक्सलमात्रा एक्स:

प्राकृतिक तरीके से, कोई अनंत गणितीय अपेक्षा वाले यादृच्छिक चर की अवधारणा को परिभाषित कर सकता है। कुछ यादृच्छिक यात्राओं में वापसी का समय एक विशिष्ट उदाहरण है।

गणितीय अपेक्षा की सहायता से, वितरण की कई संख्यात्मक और कार्यात्मक विशेषताओं को निर्धारित किया जाता है (एक यादृच्छिक चर के संबंधित कार्यों की गणितीय अपेक्षा के रूप में), उदाहरण के लिए, उत्पन्न करने वाला फ़ंक्शन, विशेषता फ़ंक्शन, किसी भी क्रम के क्षण, विशेष रूप से, फैलाव , सहप्रसरण.

गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर (इसके वितरण का औसत मूल्य) के मूल्यों के स्थान की एक विशेषता है। इस क्षमता में, गणितीय अपेक्षा कुछ "विशिष्ट" वितरण पैरामीटर के रूप में कार्य करती है और इसकी भूमिका यांत्रिकी में स्थैतिक क्षण - द्रव्यमान वितरण के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के समन्वय - की भूमिका के समान है। अन्य स्थान विशेषताओं से, जिनकी सहायता से वितरण को सामान्य शब्दों में वर्णित किया जाता है - माध्यिकाएं, मोड, गणितीय अपेक्षा अधिक मूल्य में भिन्न होती है जो कि यह और संबंधित बिखरने वाली विशेषता - फैलाव - संभाव्यता सिद्धांत की सीमा प्रमेयों में होती है। सबसे बड़ी पूर्णता के साथ, गणितीय अपेक्षा का अर्थ बड़ी संख्या के कानून (चेबीशेव की असमानता) और बड़ी संख्या के मजबूत कानून द्वारा प्रकट होता है।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

मान लीजिए कि कुछ यादृच्छिक चर हैं जो कई संख्यात्मक मानों में से एक ले सकते हैं (उदाहरण के लिए, पासे रोल में अंकों की संख्या 1, 2, 3, 4, 5, या 6 हो सकती है)। अक्सर व्यवहार में, ऐसे मूल्य के लिए, सवाल उठता है: बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ "औसतन" क्या मूल्य होता है? प्रत्येक जोखिम भरे लेनदेन से हमारा औसत रिटर्न (या हानि) क्या होगा?

मान लीजिए कि किसी प्रकार की लॉटरी है। हम यह समझना चाहते हैं कि इसमें भाग लेना लाभदायक है या नहीं (या बार-बार, नियमित रूप से भाग लेना भी)। मान लीजिए कि हर चौथा टिकट जीतने पर पुरस्कार 300 रूबल होगा, और किसी भी टिकट की कीमत 100 रूबल होगी। अनंत संख्या में भागीदारी के साथ, यही होता है। तीन-चौथाई मामलों में, हम हारेंगे, हर तीन नुकसान पर 300 रूबल का खर्च आएगा। हर चौथे मामले में, हम 200 रूबल जीतेंगे। (पुरस्कार घटा लागत), यानी, चार भागीदारी के लिए, हम औसतन 100 रूबल खो देते हैं, एक के लिए - औसतन 25 रूबल। कुल मिलाकर, हमारे बर्बाद होने की औसत दर 25 रूबल प्रति टिकट होगी।

हम एक पासा फेंकते हैं. यदि यह धोखा नहीं है (गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को स्थानांतरित किए बिना, आदि), तो एक समय में हमारे पास औसतन कितने अंक होंगे? चूँकि प्रत्येक विकल्प समान रूप से संभावित है, हम मूर्खतापूर्ण अंकगणितीय माध्य लेते हैं और 3.5 प्राप्त करते हैं। चूँकि यह औसत है, इसलिए इस बात से नाराज़ होने की कोई ज़रूरत नहीं है कि कोई भी विशेष थ्रो 3.5 अंक नहीं देगा - ठीक है, इस घन का इतनी संख्या वाला कोई फलक नहीं है!

आइए अब हमारे उदाहरणों को संक्षेप में प्रस्तुत करें:

आइए ऊपर दी गई तस्वीर पर एक नज़र डालें। बायीं ओर यादृच्छिक चर के वितरण की एक तालिका है। X का मान n संभावित मानों में से एक ले सकता है (शीर्ष पंक्ति में दिया गया है)। कोई अन्य मूल्य नहीं हो सकता. प्रत्येक संभावित मान के अंतर्गत उसकी प्रायिकता नीचे हस्ताक्षरित है। दाईं ओर एक सूत्र है, जहाँ M(X) को गणितीय अपेक्षा कहा जाता है। इस मान का अर्थ यह है कि बड़ी संख्या में परीक्षणों (बड़े नमूने के साथ) के साथ, औसत मान इसी गणितीय अपेक्षा की ओर प्रवृत्त होगा।

आइए उसी प्लेइंग क्यूब पर वापस जाएं। एक थ्रो में अंकों की संख्या की गणितीय अपेक्षा 3.5 है (यदि आपको विश्वास नहीं है तो सूत्र का उपयोग करके स्वयं गणना करें)। मान लीजिए कि आपने इसे एक-दो बार फेंका। 4 और 6 गिर गए। औसतन, यह 5 निकला, यानी 3.5 से बहुत दूर। उन्होंने इसे फिर से फेंक दिया, 3 गिर गए, यानी औसतन (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... गणितीय अपेक्षा से कुछ दूर। अब एक अनोखा प्रयोग करें - घन को 1000 बार घुमाएँ! और अगर औसत बिल्कुल 3.5 नहीं है तो ये उसके करीब ही होगा.

आइए ऊपर वर्णित लॉटरी के लिए गणितीय अपेक्षा की गणना करें। तालिका इस तरह दिखेगी:

तब गणितीय अपेक्षा होगी, जैसा कि हमने ऊपर स्थापित किया है।

एक और बात यह है कि यह "उंगलियों पर" भी है, बिना किसी सूत्र के, यदि अधिक विकल्प होते तो यह मुश्किल होता। ठीक है, मान लीजिए कि 75% हारने वाले टिकट थे, 20% जीतने वाले टिकट थे, और 5% जीतने वाले टिकट थे।

अब गणितीय अपेक्षा के कुछ गुण।

इसे साबित करना आसान है:

एक स्थिर गुणक को अपेक्षा चिह्न से निकाला जा सकता है, वह है:

यह गणितीय अपेक्षा की रैखिकता संपत्ति का एक विशेष मामला है।

गणितीय अपेक्षा की रैखिकता का एक और परिणाम:

अर्थात्, यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा यादृच्छिक चरों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है।

माना कि X, Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, तब:

यह साबित करना भी आसान है) XYस्वयं एक यादृच्छिक चर है, जबकि यदि प्रारंभिक मान ले सकते हैं एनऔर एममान, क्रमशः, फिर XYएनएम मान ले सकते हैं। प्रत्येक मान की संभावना की गणना इस तथ्य के आधार पर की जाती है कि स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाएं कई गुना बढ़ जाती हैं। परिणामस्वरूप, हमें यह मिलता है:

सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

निरंतर यादृच्छिक चर में वितरण घनत्व (संभावना घनत्व) जैसी विशेषता होती है। वास्तव में, यह उस स्थिति की विशेषता है कि एक यादृच्छिक चर वास्तविक संख्याओं के सेट से कुछ मान अधिक बार लेता है, कुछ - कम बार। उदाहरण के लिए, इस चार्ट पर विचार करें:

यहाँ एक्स- वास्तव में एक यादृच्छिक चर, एफ(एक्स)- वितरण घनत्व. प्रयोगों के दौरान, इस ग्राफ़ को देखते हुए, मान एक्सअक्सर शून्य के करीब एक संख्या होगी. से अधिक होने की सम्भावना है 3 या कम हो -3 बल्कि विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक.

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक समान वितरण है:

यह सहज ज्ञान युक्त समझ के बिल्कुल अनुरूप है। मान लीजिए कि यदि हमें प्रत्येक खंड में एक समान वितरण के साथ बहुत सारी यादृच्छिक वास्तविक संख्याएँ मिलती हैं |0; 1| , तो अंकगणितीय माध्य लगभग 0.5 होना चाहिए।

असतत यादृच्छिक चर के लिए लागू गणितीय अपेक्षा के गुण - रैखिकता, आदि, यहां भी लागू होते हैं।

अन्य सांख्यिकीय संकेतकों के साथ गणितीय अपेक्षा का संबंध

सांख्यिकीय विश्लेषण में, गणितीय अपेक्षा के साथ, अन्योन्याश्रित संकेतकों की एक प्रणाली होती है जो घटनाओं की एकरूपता और प्रक्रियाओं की स्थिरता को दर्शाती है। अक्सर, भिन्नता संकेतकों का स्वतंत्र अर्थ नहीं होता है और इनका उपयोग आगे के डेटा विश्लेषण के लिए किया जाता है। अपवाद भिन्नता का गुणांक है, जो डेटा की एकरूपता को दर्शाता है, जो एक मूल्यवान सांख्यिकीय विशेषता है।

सांख्यिकीय विज्ञान में प्रक्रियाओं की परिवर्तनशीलता या स्थिरता की डिग्री को कई संकेतकों का उपयोग करके मापा जा सकता है।

किसी यादृच्छिक चर की परिवर्तनशीलता को दर्शाने वाला सबसे महत्वपूर्ण संकेतक है फैलाव, जो गणितीय अपेक्षा से सबसे निकट और सीधे संबंधित है। यह पैरामीटर अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण (परिकल्पना परीक्षण, कारण-और-प्रभाव संबंधों का विश्लेषण, आदि) में सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। माध्य रैखिक विचलन की तरह, विचरण भी माध्य के चारों ओर डेटा के प्रसार की सीमा को दर्शाता है।

संकेतों की भाषा को शब्दों की भाषा में अनुवाद करना उपयोगी है। इससे पता चलता है कि विचरण विचलनों का औसत वर्ग है। अर्थात्, पहले औसत मूल्य की गणना की जाती है, फिर प्रत्येक मूल और औसत मूल्य के बीच का अंतर लिया जाता है, वर्ग किया जाता है, जोड़ा जाता है और फिर इस जनसंख्या में मूल्यों की संख्या से विभाजित किया जाता है। व्यक्तिगत मान और माध्य के बीच का अंतर विचलन के माप को दर्शाता है। इसे यह सुनिश्चित करने के लिए चुकता किया जाता है कि सभी विचलन विशेष रूप से सकारात्मक संख्याएं बन जाएं और जब उनका योग किया जाए तो सकारात्मक और नकारात्मक विचलनों को पारस्परिक रूप से रद्द करने से बचा जा सके। फिर, वर्ग विचलनों को देखते हुए, हम केवल अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं। औसत - वर्ग - विचलन. विचलनों का वर्ग किया जाता है और औसत पर विचार किया जाता है। जादुई शब्द "फैलाव" का उत्तर सिर्फ तीन शब्द हैं।

हालाँकि, इसके शुद्ध रूप में, जैसे, उदाहरण के लिए, अंकगणितीय माध्य, या सूचकांक, फैलाव का उपयोग नहीं किया जाता है। यह बल्कि एक सहायक और मध्यवर्ती संकेतक है जिसका उपयोग अन्य प्रकार के सांख्यिकीय विश्लेषण के लिए किया जाता है। उसके पास माप की कोई सामान्य इकाई भी नहीं है। सूत्र के आधार पर, यह मूल डेटा इकाई का वर्ग है।

आइए एक यादृच्छिक चर को मापें एनउदाहरण के लिए, हम हवा की गति को दस बार मापते हैं और औसत मान ज्ञात करना चाहते हैं। माध्य मान वितरण फलन से किस प्रकार संबंधित है?

या हम पासे को बड़ी संख्या में पलटेंगे। प्रत्येक थ्रो के दौरान पासे पर पड़ने वाले अंकों की संख्या एक यादृच्छिक चर है और 1 से 6 तक कोई भी प्राकृतिक मान ले सकता है। एनयह एक बहुत ही विशिष्ट संख्या की ओर प्रवृत्त होता है - गणितीय अपेक्षा एमएक्स. इस मामले में, एमएक्स = 3.5.

यह मूल्य कैसे आया? भीतर आएं एनपरीक्षणों एन 1एक बार 1 अंक गिर जाने पर, एन 2समय - 2 अंक इत्यादि। फिर उन परिणामों की संख्या जिनमें एक अंक गिरा:

इसी प्रकार परिणामों के लिए जब 2, 3, 4, 5 और 6 अंक गिरे।

आइए अब मान लें कि हम यादृच्छिक चर x के वितरण नियम को जानते हैं, अर्थात, हम जानते हैं कि यादृच्छिक चर x संभावनाओं p1, p2, ... के साथ x1, x2, ..., xk मान ले सकता है। , पी.के.

एक यादृच्छिक चर x की गणितीय अपेक्षा Mx है:

गणितीय अपेक्षा हमेशा कुछ यादृच्छिक चर का उचित अनुमान नहीं होती है। इसलिए, औसत वेतन का अनुमान लगाने के लिए, माध्यिका की अवधारणा का उपयोग करना अधिक उचित है, अर्थात ऐसा मान कि औसत वेतन से कम और अधिक वेतन पाने वाले लोगों की संख्या समान हो।

प्रायिकता p1 कि यादृच्छिक चर x, x1/2 से कम है और प्रायिकता p2 कि यादृच्छिक चर x, x1/2 से अधिक है, समान हैं और 1/2 के बराबर हैं। सभी वितरणों के लिए माध्यिका विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होती है।

मानक या मानक विचलनसांख्यिकी में, औसत मूल्य से अवलोकन डेटा या सेट के विचलन की डिग्री को कहा जाता है। s या s अक्षरों से दर्शाया जाता है। एक छोटा मानक विचलन इंगित करता है कि डेटा को माध्य के आसपास समूहीकृत किया गया है, और एक बड़ा मानक विचलन इंगित करता है कि प्रारंभिक डेटा इससे बहुत दूर है। मानक विचलन किसी मात्रा के वर्गमूल के बराबर होता है जिसे विचरण कहा जाता है। यह माध्य से विचलित प्रारंभिक डेटा के वर्ग अंतर के योग का औसत है। एक यादृच्छिक चर का मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है:

उदाहरण। किसी लक्ष्य पर शूटिंग करते समय परीक्षण स्थितियों के तहत, यादृच्छिक चर के विचरण और मानक विचलन की गणना करें:

उतार-चढ़ाव- उतार-चढ़ाव, जनसंख्या की इकाइयों में विशेषता के मूल्य की परिवर्तनशीलता। अध्ययन की गई जनसंख्या में होने वाले गुण के अलग-अलग संख्यात्मक मानों को मानों के प्रकार कहा जाता है। जनसंख्या के संपूर्ण लक्षण वर्णन के लिए औसत मूल्य की अपर्याप्तता औसत मूल्यों को संकेतकों के साथ पूरक करना आवश्यक बनाती है जो अध्ययन के तहत विशेषता के उतार-चढ़ाव (भिन्नता) को मापकर इन औसतों की विशिष्टता का आकलन करना संभव बनाती है। भिन्नता के गुणांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

अवधि भिन्नता(आर) अध्ययन की गई आबादी में विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर है। यह संकेतक अध्ययन के तहत विशेषता के उतार-चढ़ाव का सबसे सामान्य विचार देता है, क्योंकि यह केवल वेरिएंट के चरम मूल्यों के बीच अंतर दिखाता है। विशेषता के चरम मूल्यों पर निर्भरता भिन्नता की सीमा को एक अस्थिर, यादृच्छिक चरित्र देती है।

औसत रैखिक विचलनविश्लेषण की गई जनसंख्या के सभी मूल्यों के उनके औसत मूल्य से पूर्ण (मॉड्यूलो) विचलन का अंकगणितीय माध्य है:

जुआ सिद्धांत में गणितीय अपेक्षा

गणितीय अपेक्षा हैकिसी जुआरी द्वारा दी गई शर्त पर जीत या हार की औसत राशि। यह एक खिलाड़ी के लिए बहुत महत्वपूर्ण अवधारणा है, क्योंकि यह अधिकांश खेल स्थितियों के मूल्यांकन के लिए मौलिक है। बुनियादी कार्ड लेआउट और गेम स्थितियों का विश्लेषण करने के लिए गणितीय अपेक्षा भी सबसे अच्छा उपकरण है।

मान लीजिए कि आप किसी दोस्त के साथ सिक्का खेल रहे हैं, हर बार बराबर $1 का दांव लगा रहे हैं, चाहे कुछ भी आए। टेल्स - आप जीतते हैं, हेड्स - आप हारते हैं। इसके अंत में आने की संभावना एक से एक है और आप $1 से $1 का दांव लगा रहे हैं। इस प्रकार, आपकी गणितीय अपेक्षा शून्य है, क्योंकि गणितीय रूप से कहें तो, आप नहीं जान सकते कि आप दो रोल के बाद लीड करेंगे या हारेंगे या 200 के बाद।

आपका प्रति घंटा लाभ शून्य है. प्रति घंटा भुगतान वह राशि है जो आप एक घंटे में जीतने की उम्मीद करते हैं। आप एक सिक्के को एक घंटे के भीतर 500 बार उछाल सकते हैं, लेकिन इससे आप जीतेंगे या हारेंगे नहीं आपकी संभावनाएँ न तो सकारात्मक हैं और न ही नकारात्मक। अगर आप देखें तो एक गंभीर खिलाड़ी के नजरिए से ऐसी सट्टेबाजी प्रणाली खराब नहीं है। लेकिन यह सिर्फ समय की बर्बादी है.

लेकिन मान लीजिए कि कोई व्यक्ति उसी गेम में आपके $1 के बदले $2 का दांव लगाना चाहता है। तब आपको तुरंत प्रत्येक दांव से 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद हो जाती है। 50 सेंट क्यों? औसतन, आप एक शर्त जीतते हैं और दूसरी हार जाते हैं। पहले डॉलर पर दांव लगाएं और $1 हारें, दूसरे पर दांव लगाएं और $2 जीतें। आपने दो बार $1 का दांव लगाया है और $1 से आगे हैं। तो आपके प्रत्येक एक डॉलर के दांव ने आपको 50 सेंट दिए।

यदि सिक्का एक घंटे में 500 बार गिरता है, तो आपका प्रति घंटा लाभ पहले से ही $250 होगा, क्योंकि। औसतन, आप 1 250 बार हारे और 2 250 बार जीते। $500 घटा $250 बराबर $250, जो कुल जीत है। ध्यान दें कि अपेक्षित मूल्य, जो कि एक दांव पर आपके द्वारा औसतन जीती जाने वाली राशि है, 50 सेंट है। आपने 500 बार एक डॉलर का दांव लगाकर 250 डॉलर जीते, जो आपके दांव के 50 सेंट के बराबर है।

गणितीय अपेक्षा का अल्पकालिक परिणामों से कोई लेना-देना नहीं है। आपका प्रतिद्वंद्वी, जिसने आपके खिलाफ $2 का दांव लगाने का फैसला किया है, वह लगातार पहले दस टॉस में आपको हरा सकता है, लेकिन आप, 2-टू-1 सट्टेबाजी के लाभ के साथ, बाकी सभी बराबर होने पर, किसी भी $1 के दांव पर 50 सेंट बनाते हैं। परिस्थितियाँ। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप एक दांव जीतते हैं या हारते हैं या कई दांव लगाते हैं, लेकिन केवल इस शर्त पर कि आपके पास लागतों की आसानी से भरपाई करने के लिए पर्याप्त नकदी है। यदि आप इसी तरह दांव लगाना जारी रखते हैं, तो लंबी अवधि में आपकी जीत अलग-अलग रोल में अपेक्षित मूल्यों के योग तक पहुंच जाएगी।

हर बार जब आप एक बेहतर दांव लगाते हैं (एक ऐसा दांव जो लंबे समय में लाभदायक हो सकता है) जब हालात आपके पक्ष में होते हैं, तो आप उस पर कुछ न कुछ जीतने के लिए बाध्य होते हैं, चाहे आप इसे हारें या नहीं। इसके विपरीत, यदि आपने खराब परिणाम के साथ दांव लगाया है (एक ऐसा दांव जो लंबे समय में लाभहीन है) जब हालात आपके पक्ष में नहीं हैं, तो आप कुछ खो देते हैं, भले ही आप इस हाथ में जीते या हारे।

यदि आपकी अपेक्षा सकारात्मक है तो आप सर्वोत्तम परिणाम के साथ दांव लगाते हैं, और यदि परिस्थितियां आपके पक्ष में हैं तो यह सकारात्मक है। सबसे खराब परिणाम के साथ दांव लगाने से, आप एक नकारात्मक उम्मीद रखते हैं, जो तब होता है जब हालात आपके खिलाफ होते हैं। गंभीर खिलाड़ी केवल सबसे अच्छे परिणाम पर दांव लगाते हैं, सबसे खराब परिणाम पर वे दांव लगाते हैं। आपके पक्ष में बाधाओं का क्या मतलब है? आप वास्तविक बाधाओं से अधिक जीत सकते हैं। टेल्स मारने की वास्तविक संभावना 1 से 1 है, लेकिन सट्टेबाजी अनुपात के कारण आपको 2 से 1 मिलता है। इस मामले में, हालात आपके पक्ष में हैं। प्रति दांव 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद के साथ आपको निश्चित रूप से सर्वोत्तम परिणाम मिलेगा।

यहां गणितीय अपेक्षा का एक अधिक जटिल उदाहरण दिया गया है। मित्र एक से पाँच तक की संख्याएँ लिखता है और आपके $1 के बदले $5 की शर्त लगाता है कि आप संख्या नहीं चुनेंगे। क्या आप ऐसी शर्त से सहमत हैं? यहाँ क्या अपेक्षा है?

औसतन, आप चार बार गलत होंगे। इसके आधार पर, आपके द्वारा संख्या का अनुमान लगाने की संभावना 4 से 1 होगी। संभावना यह है कि आप एक प्रयास में एक डॉलर खो देंगे। हालाँकि, आप 5 से 1 जीतते हैं, 4 से 1 हारने की संभावना के साथ। इसलिए, संभावनाएँ आपके पक्ष में हैं, आप दांव लगा सकते हैं और सर्वोत्तम परिणाम की आशा कर सकते हैं। यदि आप यह दांव पांच बार लगाते हैं, तो औसतन आप चार बार $1 हारेंगे और एक बार $5 जीतेंगे। इसके आधार पर, सभी पांच प्रयासों के लिए आप प्रति दांव 20 सेंट की सकारात्मक गणितीय अपेक्षा के साथ $1 अर्जित करेंगे।

एक खिलाड़ी जो दांव से अधिक जीतने जा रहा है, जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में है, वह बाधाओं को पकड़ रहा है। इसके विपरीत, जब वह दांव से कम जीतने की उम्मीद करता है तो वह अवसरों को बर्बाद कर देता है। दांव लगाने वाले की सकारात्मक या नकारात्मक अपेक्षाएं हो सकती हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि वह बाधाओं को पकड़ रहा है या बर्बाद कर रहा है।

यदि आप जीतने की 4 से 1 संभावना के साथ $10 जीतने के लिए $50 का दांव लगाते हैं, तो आपको $2 की नकारात्मक उम्मीद मिलेगी, क्योंकि औसतन, आप चार बार $10 जीतेंगे और एक बार $50 हारेंगे, जो दर्शाता है कि प्रति दांव हानि $10 होगी। लेकिन यदि आप $10 जीतने के लिए $30 का दांव लगाते हैं, 4 से 1 जीतने की समान संभावना के साथ, तो इस मामले में आपको $2 की सकारात्मक उम्मीद है, क्योंकि आप फिर से $10 के लाभ के लिए चार बार $10 जीतते हैं और एक बार $30 खोते हैं। ये उदाहरण बताते हैं कि पहला दांव ख़राब है और दूसरा अच्छा है।

गणितीय अपेक्षा किसी भी खेल स्थिति का केंद्र है। जब एक सट्टेबाज फुटबॉल प्रशंसकों को $10 जीतने के लिए $11 का दांव लगाने के लिए प्रोत्साहित करता है, तो उन्हें प्रत्येक $10 के लिए 50 सेंट की सकारात्मक उम्मीद होती है। यदि कैसीनो क्रेप्स में पास लाइन से भी पैसे का भुगतान करता है, तो घर की सकारात्मक उम्मीद प्रत्येक $100 के लिए लगभग $1.40 है, क्योंकि इस गेम को इस तरह से संरचित किया गया है कि जो कोई भी इस लाइन पर दांव लगाता है वह औसतन 50.7% हारता है और 49.3% बार जीतता है। निस्संदेह, यह न्यूनतम सकारात्मक अपेक्षा ही है जो दुनिया भर के कैसीनो मालिकों को भारी मुनाफा दिलाती है। जैसा कि वेगास वर्ल्ड कैसीनो के मालिक बॉब स्टुपक ने टिप्पणी की, "लंबी दूरी पर एक प्रतिशत नकारात्मक संभावना दुनिया के सबसे अमीर आदमी को दिवालिया बना देगी।"

पोकर खेलते समय गणितीय अपेक्षाएँ

पोकर का खेल गणितीय अपेक्षा के सिद्धांत और गुणों का उपयोग करने के मामले में सबसे अधिक उदाहरणात्मक और उदाहरणात्मक उदाहरण है।

पोकर में अपेक्षित मूल्य किसी विशेष निर्णय से औसत लाभ है, बशर्ते कि इस तरह के निर्णय को बड़ी संख्या और लंबी दूरी के सिद्धांत के ढांचे में माना जा सकता है। सफल पोकर हमेशा सकारात्मक गणितीय अपेक्षा के साथ चालों को स्वीकार करने के बारे में है।

पोकर खेलते समय गणितीय अपेक्षा का गणितीय अर्थ इस तथ्य में निहित है कि निर्णय लेते समय हम अक्सर यादृच्छिक चर का सामना करते हैं (हम नहीं जानते कि प्रतिद्वंद्वी के हाथ में कौन से कार्ड हैं, बाद के सट्टेबाजी दौर में कौन से कार्ड आएंगे)। हमें प्रत्येक समाधान पर बड़ी संख्या के सिद्धांत के दृष्टिकोण से विचार करना चाहिए, जो कहता है कि पर्याप्त बड़े नमूने के साथ, यादृच्छिक चर का औसत मूल्य इसकी गणितीय अपेक्षा के अनुरूप होगा।

गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए विशेष सूत्रों में, निम्नलिखित पोकर में सबसे अधिक लागू होता है:

पोकर खेलते समय, दांव और कॉल दोनों के लिए गणितीय अपेक्षा की गणना की जा सकती है। पहले मामले में, फोल्ड इक्विटी को ध्यान में रखा जाना चाहिए, दूसरे में, पॉट की अपनी बाधाओं को। किसी विशेष चाल की गणितीय अपेक्षा का मूल्यांकन करते समय, यह याद रखना चाहिए कि एक तह में हमेशा शून्य गणितीय अपेक्षा होती है। इस प्रकार, किसी भी नकारात्मक कदम की तुलना में कार्ड को त्यागना हमेशा अधिक लाभदायक निर्णय होगा।

अपेक्षा आपको बताती है कि आप अपने जोखिम वाले प्रत्येक डॉलर के लिए क्या उम्मीद कर सकते हैं (लाभ या हानि)। कैसीनो पैसा कमाते हैं क्योंकि उनमें खेले जाने वाले सभी खेलों की गणितीय अपेक्षा कैसीनो के पक्ष में होती है। खेलों की पर्याप्त लंबी श्रृंखला के साथ, यह उम्मीद की जा सकती है कि ग्राहक अपना पैसा खो देगा, क्योंकि "संभावना" कैसीनो के पक्ष में है। हालाँकि, पेशेवर कैसीनो खिलाड़ी अपने खेल को कम समय तक सीमित रखते हैं, जिससे उनके पक्ष में संभावनाएँ बढ़ जाती हैं। निवेश के लिए भी यही बात लागू होती है। यदि आपकी अपेक्षा सकारात्मक है, तो आप कम समय में कई ट्रेड करके अधिक पैसा कमा सकते हैं। अपेक्षा यह है कि प्रति जीत आपके लाभ का प्रतिशत आपके औसत लाभ से गुणा करके आपके नुकसान की संभावना को आपके औसत नुकसान से गुणा कर देता है।

पोकर को गणितीय अपेक्षा के संदर्भ में भी माना जा सकता है। आप मान सकते हैं कि एक निश्चित कदम लाभदायक है, लेकिन कुछ मामलों में यह सबसे अच्छा नहीं हो सकता है, क्योंकि दूसरा कदम अधिक लाभदायक है। मान लीजिए कि आपने पांच कार्ड ड्रा पोकर में पूरा हाउस जीत लिया। आपका प्रतिद्वंद्वी दांव लगाता है. आप जानते हैं कि यदि आप आगे बढ़ेंगे तो वह कॉल करेगा। इसलिए उठाना सबसे अच्छी युक्ति लगती है। लेकिन यदि आप उठाते हैं, तो शेष दो खिलाड़ी निश्चित रूप से मुड़ जाएंगे। लेकिन यदि आप दांव लगाते हैं, तो आप पूरी तरह आश्वस्त होंगे कि आपके बाद के अन्य दो खिलाड़ी भी ऐसा ही करेंगे। जब आप दांव बढ़ाते हैं, तो आपको एक यूनिट मिलती है, और केवल कॉल करने पर, आपको दो यूनिट मिलती हैं। इसलिए कॉल करने से आपको उच्च सकारात्मक अपेक्षित मूल्य मिलता है और यह सबसे अच्छी रणनीति है।

गणितीय अपेक्षा यह भी अंदाजा दे सकती है कि कौन सी पोकर रणनीति कम लाभदायक हैं और कौन सी अधिक लाभदायक हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप किसी विशेष हैंड से खेलते हैं और आपको लगता है कि आपकी औसत हानि एंटीस सहित 75 सेंट है, तो आपको उस हैंड से खेलना चाहिए क्योंकि जब कीमत 1 डॉलर हो तो यह फोल्ड करने से बेहतर है।

अपेक्षित मूल्य को समझने का एक और महत्वपूर्ण कारण यह है कि इससे आपको मानसिक शांति मिलती है, चाहे आप शर्त जीतें या नहीं: यदि आप एक अच्छा दांव लगाते हैं या समय पार करते हैं, तो आपको पता चल जाएगा कि आपने एक निश्चित राशि बनाई है या बचाई है। पैसा, जिसे एक कमज़ोर खिलाड़ी नहीं बचा सकता। यदि आप इस बात से निराश हैं कि ड्रॉ में आपके प्रतिद्वंद्वी का हाथ बेहतर है तो इसे मोड़ना बहुत कठिन है। जैसा कि कहा गया है, सट्टेबाजी के बजाय न खेलकर आप जो पैसा बचाते हैं, वह आपकी रात भर या मासिक जीत में जोड़ा जाता है।

बस याद रखें कि यदि आप हाथ बदलते हैं, तो आपका प्रतिद्वंद्वी आपको बुलाएगा, और जैसा कि आप पोकर के मौलिक सिद्धांत लेख में देखेंगे, यह आपके फायदों में से एक है। ऐसा होने पर आपको खुशी मनानी चाहिए. आप एक हाथ खोने का आनंद लेना भी सीख सकते हैं, क्योंकि आप जानते हैं कि आपके स्थान पर अन्य खिलाड़ी बहुत अधिक खो देंगे।

जैसा कि शुरुआत में सिक्का खेल के उदाहरण में चर्चा की गई थी, प्रति घंटा रिटर्न की दर गणितीय अपेक्षा से संबंधित है, और यह अवधारणा पेशेवर खिलाड़ियों के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। जब आप पोकर खेलने जा रहे हों, तो आपको मानसिक रूप से अनुमान लगाना चाहिए कि आप एक घंटे के खेल में कितना जीत सकते हैं। ज्यादातर मामलों में, आपको अपने अंतर्ज्ञान और अनुभव पर भरोसा करने की आवश्यकता होगी, लेकिन आप कुछ गणितीय गणनाओं का भी उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप ड्रा लोबॉल खेल रहे हैं और आप देखते हैं कि तीन खिलाड़ी $10 का दांव लगाते हैं और फिर दो कार्ड निकालते हैं, जो एक बहुत ही खराब रणनीति है, तो आप स्वयं गणना कर सकते हैं कि हर बार जब वे $10 का दांव लगाते हैं तो वे लगभग $2 हार जाते हैं। उनमें से प्रत्येक एक घंटे में आठ बार ऐसा करता है, जिसका अर्थ है कि तीनों को प्रति घंटे लगभग $48 का नुकसान होता है। आप शेष चार खिलाड़ियों में से एक हैं, जो लगभग बराबर हैं, इसलिए इन चार खिलाड़ियों (और उनमें से आप) को $48 साझा करना होगा, और प्रत्येक को प्रति घंटे $12 का लाभ होगा। इस मामले में आपकी प्रति घंटा दर केवल प्रति घंटे तीन खराब खिलाड़ियों द्वारा खोई गई धनराशि का आपका हिस्सा है।

लंबी अवधि में, खिलाड़ी की कुल जीत अलग-अलग वितरणों में उसकी गणितीय अपेक्षाओं का योग होती है। जितना अधिक आप सकारात्मक उम्मीद के साथ खेलेंगे, उतना अधिक आप जीतेंगे, और इसके विपरीत, जितना अधिक आप नकारात्मक उम्मीद के साथ खेलेंगे, उतना अधिक आप हारेंगे। परिणामस्वरूप, आपको ऐसे खेल को प्राथमिकता देनी चाहिए जो आपकी सकारात्मक अपेक्षा को अधिकतम कर सके या आपकी नकारात्मक अपेक्षा को नकार सके ताकि आप अपने प्रति घंटा लाभ को अधिकतम कर सकें।

खेल रणनीति में सकारात्मक गणितीय अपेक्षा

यदि आप कार्ड गिनना जानते हैं, तो कैसीनो की तुलना में आपको लाभ हो सकता है यदि वे ध्यान न दें और आपको बाहर निकाल दें। कैसिनो को नशे में धुत जुआरी पसंद हैं और वे ताश गिनना बर्दाश्त नहीं कर सकते। लाभ आपको समय के साथ हारने की तुलना में अधिक बार जीतने की अनुमति देगा। अपेक्षा गणनाओं का उपयोग करके अच्छा धन प्रबंधन आपको अपनी बढ़त का लाभ उठाने और अपने घाटे को कम करने में मदद कर सकता है। लाभ के बिना, आपके लिए पैसा दान में देना बेहतर है। स्टॉक एक्सचेंज पर खेल में, लाभ खेल की प्रणाली द्वारा दिया जाता है, जो नुकसान, मूल्य अंतर और कमीशन की तुलना में अधिक लाभ पैदा करता है। किसी भी राशि का धन प्रबंधन खराब गेमिंग सिस्टम को नहीं बचाएगा।

एक सकारात्मक अपेक्षा को शून्य से अधिक मान से परिभाषित किया जाता है। यह संख्या जितनी बड़ी होगी, सांख्यिकीय अपेक्षा उतनी ही मजबूत होगी। यदि मान शून्य से कम है तो गणितीय अपेक्षा भी ऋणात्मक होगी। ऋणात्मक मान का मापांक जितना बड़ा होगा, स्थिति उतनी ही खराब होगी। यदि परिणाम शून्य है, तो उम्मीद बेमेल है। आप केवल तभी जीत सकते हैं जब आपके पास सकारात्मक गणितीय अपेक्षा, एक उचित खेल प्रणाली हो। अंतर्ज्ञान पर खेलने से आपदा आती है।

गणितीय अपेक्षा और स्टॉक ट्रेडिंग

गणितीय अपेक्षा वित्तीय बाजारों में एक्सचेंज ट्रेडिंग में काफी व्यापक रूप से मांग वाला और लोकप्रिय सांख्यिकीय संकेतक है। सबसे पहले, इस पैरामीटर का उपयोग ट्रेडिंग की सफलता का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि यह मूल्य जितना बड़ा होगा, अध्ययन के तहत व्यापार को सफल मानने का कारण उतना ही अधिक होगा। बेशक, किसी व्यापारी के काम का विश्लेषण केवल इस पैरामीटर की मदद से नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, परिकलित मूल्य, कार्य की गुणवत्ता का आकलन करने के अन्य तरीकों के संयोजन में, विश्लेषण की सटीकता में काफी वृद्धि कर सकता है।

गणितीय अपेक्षा की गणना अक्सर ट्रेडिंग खाता निगरानी सेवाओं में की जाती है, जो आपको जमा पर किए गए कार्य का त्वरित मूल्यांकन करने की अनुमति देती है। अपवाद के रूप में, हम उन रणनीतियों का हवाला दे सकते हैं जो खोने वाले ट्रेडों के "ओवरस्टेइंग" का उपयोग करते हैं। एक व्यापारी कुछ समय के लिए भाग्यशाली हो सकता है, और इसलिए, उसके काम में बिल्कुल भी घाटा नहीं होगा। इस मामले में, केवल अपेक्षा के आधार पर काम करना संभव नहीं होगा, क्योंकि काम में इस्तेमाल होने वाले जोखिमों को ध्यान में नहीं रखा जाएगा।

बाज़ार में व्यापार करते समय, किसी व्यापारिक रणनीति की लाभप्रदता की भविष्यवाणी करते समय या किसी व्यापारी की उसके पिछले व्यापार के आँकड़ों के आधार पर उसकी आय की भविष्यवाणी करते समय गणितीय अपेक्षा का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

धन प्रबंधन के संबंध में, यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है कि नकारात्मक उम्मीद के साथ व्यापार करते समय, ऐसी कोई धन प्रबंधन योजना नहीं है जो निश्चित रूप से उच्च लाभ ला सके। यदि आप इन शर्तों के तहत एक्सचेंज खेलना जारी रखते हैं, तो चाहे आप अपने पैसे का प्रबंधन कैसे भी करें, आप अपना पूरा खाता खो देंगे, चाहे वह शुरुआत में कितना भी बड़ा क्यों न हो।

यह सिद्धांत न केवल नकारात्मक अपेक्षा वाले खेलों या ट्रेडों के लिए सत्य है, बल्कि यह सम विषम खेलों के लिए भी सत्य है। इसलिए, एकमात्र मामला जहां आपको लंबे समय में लाभ का मौका मिलता है वह सकारात्मक गणितीय अपेक्षा के साथ सौदा करना है।

नकारात्मक अपेक्षा और सकारात्मक अपेक्षा के बीच का अंतर जीवन और मृत्यु के बीच का अंतर है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि अपेक्षा कितनी सकारात्मक या कितनी नकारात्मक है; मायने यह रखता है कि यह सकारात्मक है या नकारात्मक। इसलिए, धन प्रबंधन पर विचार करने से पहले, आपको सकारात्मक उम्मीद वाला कोई खेल ढूंढना चाहिए।

यदि आपके पास वह गेम नहीं है, तो दुनिया का कोई भी धन प्रबंधन आपको नहीं बचा पाएगा। दूसरी ओर, यदि आपकी कोई सकारात्मक अपेक्षा है, तो उचित धन प्रबंधन के माध्यम से इसे घातीय वृद्धि फ़ंक्शन में बदलना संभव है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सकारात्मक अपेक्षा कितनी छोटी है! दूसरे शब्दों में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि एक अनुबंध पर आधारित व्यापार प्रणाली कितनी लाभदायक है। यदि आपके पास एक ऐसी प्रणाली है जो एकल व्यापार पर प्रति अनुबंध $10 जीतती है (फीस और फिसलन के बाद), तो आप इसे उस प्रणाली की तुलना में अधिक लाभदायक बनाने के लिए धन प्रबंधन तकनीकों का उपयोग कर सकते हैं जो प्रति व्यापार $1,000 का औसत लाभ दिखाती है (कमीशन की कटौती के बाद और फिसलन)।

महत्वपूर्ण बात यह नहीं है कि सिस्टम कितना लाभदायक था, बल्कि यह कितना निश्चित है कि यह कहा जा सकता है कि सिस्टम भविष्य में कम से कम न्यूनतम लाभ दिखाएगा। इसलिए, एक व्यापारी के लिए सबसे महत्वपूर्ण तैयारी यह सुनिश्चित करना है कि सिस्टम भविष्य में सकारात्मक अपेक्षित मूल्य दिखाए।

भविष्य में सकारात्मक अपेक्षित मूल्य पाने के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि आप अपने सिस्टम की स्वतंत्रता की डिग्री को सीमित न करें। यह न केवल अनुकूलित किए जाने वाले मापदंडों की संख्या को समाप्त या कम करके प्राप्त किया जाता है, बल्कि जितना संभव हो उतने सिस्टम नियमों को कम करके भी प्राप्त किया जाता है। आपके द्वारा जोड़ा गया प्रत्येक पैरामीटर, आपके द्वारा बनाया गया प्रत्येक नियम, आपके द्वारा सिस्टम में किया गया प्रत्येक छोटा परिवर्तन स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या को कम कर देता है। आदर्श रूप से, आप एक काफी आदिम और सरल प्रणाली बनाना चाहते हैं जो लगभग किसी भी बाजार में लगातार एक छोटा सा लाभ लाएगी। फिर, यह महत्वपूर्ण है कि आप समझें कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई प्रणाली कितनी लाभदायक है, जब तक वह लाभदायक है। ट्रेडिंग में आप जो पैसा कमाएंगे वह प्रभावी धन प्रबंधन के माध्यम से कमाया जाएगा।

एक ट्रेडिंग सिस्टम बस एक उपकरण है जो आपको एक सकारात्मक गणितीय अपेक्षा देता है ताकि धन प्रबंधन का उपयोग किया जा सके। ऐसी प्रणालियाँ जो केवल एक या कुछ बाज़ारों में काम करती हैं (कम से कम न्यूनतम लाभ दिखाती हैं), या अलग-अलग बाज़ारों के लिए अलग-अलग नियम या पैरामीटर रखती हैं, संभवतः लंबे समय तक वास्तविक समय में काम नहीं करेंगी। अधिकांश तकनीकी रूप से उन्मुख व्यापारियों के साथ समस्या यह है कि वे ट्रेडिंग सिस्टम के विभिन्न नियमों और मापदंडों को अनुकूलित करने में बहुत अधिक समय और प्रयास खर्च करते हैं। इससे बिल्कुल विपरीत परिणाम मिलते हैं. ट्रेडिंग सिस्टम का मुनाफा बढ़ाने पर ऊर्जा और कंप्यूटर का समय बर्बाद करने के बजाय, अपनी ऊर्जा को न्यूनतम लाभ प्राप्त करने की विश्वसनीयता के स्तर को बढ़ाने के लिए निर्देशित करें।

यह जानते हुए कि धन प्रबंधन केवल एक संख्या का खेल है जिसमें सकारात्मक अपेक्षाओं के उपयोग की आवश्यकता होती है, एक व्यापारी स्टॉक ट्रेडिंग के "पवित्र कब्र" की तलाश करना बंद कर सकता है। इसके बजाय, वह अपनी ट्रेडिंग पद्धति का परीक्षण शुरू कर सकता है, पता लगा सकता है कि यह पद्धति तार्किक रूप से कितनी सही है, क्या यह सकारात्मक उम्मीदें देती है। किसी भी, यहां तक ​​कि बहुत ही औसत दर्जे की ट्रेडिंग पद्धति पर भी लागू की गई उचित धन प्रबंधन पद्धति बाकी काम कर देगी।

किसी भी व्यापारी को अपने काम में सफलता के लिए तीन सबसे महत्वपूर्ण कार्यों को हल करने की आवश्यकता होती है:। यह सुनिश्चित करने के लिए कि सफल लेनदेन की संख्या अपरिहार्य गलतियों और गलत अनुमानों से अधिक हो; अपना ट्रेडिंग सिस्टम स्थापित करें ताकि जितनी बार संभव हो पैसा कमाने का अवसर मिले; अपने कार्यों का स्थिर सकारात्मक परिणाम प्राप्त करें।

और यहां, हमारे लिए, कामकाजी व्यापारियों के लिए, गणितीय अपेक्षा एक अच्छी मदद प्रदान कर सकती है। संभाव्यता के सिद्धांत में यह शब्द कुंजी में से एक है। इसके साथ, आप कुछ यादृच्छिक मूल्य का औसत अनुमान दे सकते हैं। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की तरह है, अगर हम सभी संभावित संभावनाओं को विभिन्न द्रव्यमान वाले बिंदुओं के रूप में कल्पना करते हैं।

किसी ट्रेडिंग रणनीति के संबंध में, इसकी प्रभावशीलता का मूल्यांकन करने के लिए, लाभ (या हानि) की गणितीय अपेक्षा का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। इस पैरामीटर को लाभ और हानि के दिए गए स्तरों के उत्पादों और उनके घटित होने की संभावना के योग के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, विकसित ट्रेडिंग रणनीति मानती है कि सभी परिचालनों का 37% लाभ लाएगा, और शेष भाग - 63% - लाभहीन होगा। उसी समय, एक सफल लेनदेन से औसत आय $7 होगी, और औसत हानि $1.4 होगी। आइए निम्नलिखित प्रणाली का उपयोग करके ट्रेडिंग की गणितीय अपेक्षा की गणना करें:

इस अंक का क्या अर्थ है? इसमें कहा गया है कि, इस प्रणाली के नियमों का पालन करते हुए, हमें प्रत्येक बंद लेनदेन से औसतन 1.708 डॉलर प्राप्त होंगे। चूँकि परिणामी दक्षता स्कोर शून्य से अधिक है, ऐसी प्रणाली का उपयोग वास्तविक कार्य के लिए किया जा सकता है। यदि, गणना के परिणामस्वरूप, गणितीय अपेक्षा नकारात्मक हो जाती है, तो यह पहले से ही औसत नुकसान का संकेत देता है और इस तरह के व्यापार से बर्बादी होगी।

प्रति व्यापार लाभ की राशि को% के रूप में सापेक्ष मूल्य के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

– प्रति 1 लेनदेन आय का प्रतिशत - 5%;

– सफल ट्रेडिंग संचालन का प्रतिशत - 62%;

– प्रति 1 व्यापार हानि प्रतिशत - 3%;

- असफल लेनदेन का प्रतिशत - 38%;

यानी औसत लेनदेन 1.96% लाएगा।

ऐसी प्रणाली विकसित करना संभव है, जो घाटे वाले ट्रेडों की प्रबलता के बावजूद, सकारात्मक परिणाम देगी, क्योंकि इसका MO>0 है।

हालाँकि, अकेले इंतज़ार करना पर्याप्त नहीं है। यदि सिस्टम बहुत कम ट्रेडिंग सिग्नल देता है तो पैसा कमाना मुश्किल है। इस मामले में, इसकी लाभप्रदता बैंक ब्याज के बराबर होगी। मान लीजिए कि प्रत्येक ऑपरेशन में औसतन केवल 0.5 डॉलर आते हैं, लेकिन क्या होगा यदि सिस्टम प्रति वर्ष 1000 लेनदेन मानता है? अपेक्षाकृत कम समय में यह बहुत गंभीर राशि होगी। इससे तार्किक रूप से यह पता चलता है कि एक अच्छी ट्रेडिंग प्रणाली की एक और पहचान छोटी होल्डिंग अवधि मानी जा सकती है।

स्रोत और लिंक

dic.academic.ru - अकादमिक ऑनलाइन शब्दकोश

गणित.आरयू - गणित पर शैक्षिक साइट

nsu.ru - नोवोसिबिर्स्क स्टेट यूनिवर्सिटी की शैक्षिक वेबसाइट

webmath.ru छात्रों, आवेदकों और स्कूली बच्चों के लिए एक शैक्षिक पोर्टल है।

exponenta.ru शैक्षिक गणितीय वेबसाइट

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क्रिप्टो.hut2.ru - बहुविषयक सूचना संसाधन

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slovopedia.com - बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

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संभाव्यता के सिद्धांत और इसके कई अनुप्रयोगों में, यादृच्छिक चर की विभिन्न संख्यात्मक विशेषताओं का बहुत महत्व है। मुख्य हैं गणितीय अपेक्षा और विचरण।

1. एक यादृच्छिक चर और उसके गुणों की गणितीय अपेक्षा।

पहले निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें. कारखाने को एक बैच प्राप्त करने दें एनबियरिंग्स. जिसमें:

मी 1 एक्स 1,
एम2- बाहरी व्यास वाले बीयरिंगों की संख्या एक्स 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
एम एन- बाहरी व्यास वाले बीयरिंगों की संख्या एक्स एन,

यहाँ एम 1 +एम 2 +...+एम एन =एन. अंकगणितीय माध्य ज्ञात कीजिए एक्स सीएफबेयरिंग का बाहरी व्यास. ज़ाहिर तौर से,
यादृच्छिक रूप से निकाले गए बेयरिंग के बाहरी व्यास को मान लेने वाला एक यादृच्छिक चर माना जा सकता है एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स एन, संगत संभावनाओं के साथ पी 1 \u003d एम 1 / एन, पी 2 = एम 2 /एन, ..., पी एन =एम एन /एन, क्योंकि संभावना अनुकरणीयबाहरी व्यास वाले असर की उपस्थिति एक्स मैंके बराबर है एम मैं /एन. इस प्रकार, अंकगणित माध्य एक्स सीएफकिसी बेयरिंग का बाहरी व्यास संबंध का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है
किसी दिए गए संभाव्यता वितरण कानून के साथ एक असतत यादृच्छिक चर बनें

गणितीय अपेक्षा असतत यादृच्छिक चरकिसी यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों और उनकी संगत संभावनाओं के जोड़ीवार उत्पादों का योग कहा जाता है, अर्थात। *
यह माना जाता है कि समानता के दाईं ओर अनुचित अभिन्न अंग (40) मौजूद है।

गणितीय अपेक्षा के गुणों पर विचार करें। ऐसा करने में, हम स्वयं को केवल पहले दो गुणों को सिद्ध करने तक ही सीमित रखते हैं, जिन्हें हम असतत यादृच्छिक चर के लिए लागू करेंगे।

1°. स्थिरांक C की गणितीय अपेक्षा इस स्थिरांक के बराबर है.
सबूत।स्थायी सीइसे एक यादृच्छिक चर के रूप में सोचा जा सकता है जो केवल एक मान ले सकता है सीएक के बराबर संभावना के साथ. इसीलिए

2°. स्थिर कारक को अपेक्षा चिन्ह से बाहर निकाला जा सकता है, अर्थात।
सबूत।संबंध (39) का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

3°. कई यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा इन चरों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है:

फैलावनिरंतर यादृच्छिक चर X, जिसके संभावित मान संपूर्ण अक्ष Ox से संबंधित हैं, समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है:

सेवा असाइनमेंट. ऑनलाइन कैलकुलेटर को उन समस्याओं को हल करने के लिए डिज़ाइन किया गया है जिनमें या तो वितरण घनत्व f(x) , या वितरण फ़ंक्शन F(x) (उदाहरण देखें)। आमतौर पर ऐसे कार्यों में इसे ढूंढने की आवश्यकता होती है गणितीय अपेक्षा, मानक विचलन, फ़ंक्शन f(x) और F(x) को प्लॉट करें.

अनुदेश. इनपुट डेटा का प्रकार चुनें: वितरण घनत्व f(x) या वितरण फ़ंक्शन F(x) ।

वितरण घनत्व f(x) दिया गया है:

वितरण फलन F(x) दिया गया है:

एक सतत यादृच्छिक चर को संभाव्यता घनत्व द्वारा परिभाषित किया गया है
(रेले वितरण कानून - रेडियो इंजीनियरिंग में प्रयुक्त)। M(x) , D(x) खोजें।

यादृच्छिक चर X कहा जाता है निरंतर , यदि इसका वितरण फलन F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
एक निरंतर यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन का उपयोग किसी दिए गए अंतराल में आने वाले यादृच्छिक चर की संभावनाओं की गणना करने के लिए किया जाता है:
पी(α< X < β)=F(β) - F(α)
इसके अलावा, एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इसकी सीमाएँ इस अंतराल में शामिल हैं या नहीं:
पी(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
वितरण घनत्व निरंतर यादृच्छिक चर को फ़ंक्शन कहा जाता है
f(x)=F'(x) , वितरण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न।

वितरण घनत्व गुण