एक यादृच्छिक चर का अभिन्न संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन।

एक यादृच्छिक चर का अभिन्न संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन

टीजेडआर-3. सीबी का अभिन्न संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन

वितरण कानून निर्धारित करने का यह सबसे सार्वभौमिक तरीका है। इसका उपयोग असतत और निरंतर SW दोनों के लिए किया जा सकता है। अक्सर, जब इस पद्धति के बारे में बात की जाती है, तो ʼʼintegralʼʼ और ʼʼprobabilityʼʼ शब्दों को छोड़ दिया जाता है और ʼʼ शब्द का उपयोग किया जाता है। वितरण समारोह सीबीʼʼ .

संचयी संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन वह संभावना है कि कुछ यादृच्छिक चर X वर्तमान x से कम मान लेता है:

एफ(एक्स) = पी(एक्स< х) (20)

उदाहरण के लिए, यदि बिजली लाइन में करंट जैसे SW के लिए, वितरण फ़ंक्शन F(90) = 0.3 है, तो इसका मतलब है कि बिजली लाइन में करंट 90 ए से कम मान लेने की संभावना 0.3 है।

यदि नेटवर्क में वोल्टेज के लिए वितरण फ़ंक्शन F(215) = 0.4 है, तो 0.4 संभावना है कि नेटवर्क में वोल्टेज 215 V से कम है।

संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन को विश्लेषणात्मक, सारणीबद्ध या ग्राफ़िक रूप से निर्दिष्ट किया जाना चाहिए।

उदाहरण 27

परीक्षा में छात्रों के अंकों के वितरण की दी गई श्रृंखला (तालिका 8, पंक्ति 1 और 2) के अनुसार, अभिन्न वितरण फलन (तालिका 8, पंक्ति 3) लिखें और उसका ग्राफ बनाएं।

तालिका 8

यह कहने योग्य है कि वितरण फ़ंक्शन के मूल्यों को खोजने के लिए इसकी परिभाषा (20) का उपयोग करना बेहद महत्वपूर्ण है:

· के लिए एक्स = 2 एफ(2)= पी(एक्स< 2) = 0, चूँकि परीक्षा में 2 से कम अंक नहीं हैं;

· के लिए एक्स= 3 एफ(3)= पी(एक्स< 3) = पी (एक्स = 2) = 0.1, क्योंकि 3 से कम केवल स्कोर 2 है;

· के लिए एक्स = 4 एफ(4)= पी(एक्स< 4) = पी( एक्स= 2) + आर(एक्स= 3) = 0.1 + 0.5 = 0.6, क्योंकि 4 से कम में दो ग्रेड होते हैं - 2 या 3 (4 से कम ग्रेड प्राप्त करना प्राप्त करने के बराबर है) याग्रेड 2 याअंक 3 और खोजने के लिए एफ(4) आप असंगत घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं);

· के लिए एक्स = 5 एफ(5)= पी(एक्स< 5) = आर(एक्स< 4) + आर(एक्स= 4) = 0.6 + 0.3 = 0.9, अर्थात् को एफ(4) अंक 4 होने की प्रायिकता जोड़ी जाती है।

F(x) के मान ज्ञात करने के क्रम का विश्लेषण करते हुए, हम देखते हैं कि CV के सबसे छोटे मान की संभावना को पहले दूसरे मान की प्रायिकता में जोड़ा जाता है, फिर तीसरे को, और इसी तरह। यानी संभावनाएं बढ़ती नजर आ रही हैं. इस कारण से, अभिन्न वितरण फ़ंक्शन को भी कहा जाता है ``संचयी संभावनाओं का कार्य``।

सांख्यिकी पर साहित्य में, संचयी संभावनाओं के कार्य को अक्सर कहा जाता है संचयी।

डेटा तालिका के आधार पर. 8 इंटीग्रल फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्लॉट किया जाना चाहिए अलग यादृच्छिक चर (चित्र 29)। यह सुविधा है असंतत. फिट कूदोअलग अलग मानएक्स, ए ऊंचाइयोंʼʼकदमʼʼ - उपयुक्त संभावनाओं. विराम के स्थानों में, फ़ंक्शन (छवि 29) बिंदुओं द्वारा इंगित मान लेता है, ᴛ.ᴇ। लगातार छोड़ दिया. सामान्य शब्दों में, एक पृथक SW के लिए, हम लिख सकते हैं: एफ(एक्स) = पी(एक्स< х) = . (21)

यह समझने के लिए कि निरंतर सीवी के लिए अभिन्न वितरण फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसा दिखेगा, आप निम्नलिखित तर्क का सहारा ले सकते हैं। यदि हम कल्पना करें कि असतत एसडब्ल्यू मानों की संख्या बढ़ जाती है, तो अधिक अंतराल होंगे, और चरणों की ऊंचाई कम हो जाएगी। सीमा में, जब संभावित मानों की संख्या अनंत हो जाती है (और यह एक सतत सीवी है), तो चरण ग्राफ़ एक सतत में बदल जाएगा (चित्र 30)।

क्योंकि सीबी का अभिन्न संभाव्यता वितरण फ़ंक्शनअत्यंत महत्वपूर्ण है, आइए इस पर अधिक विस्तार से विचार करें गुण:

संपत्ति 1. वितरण कानून स्थापित करने का यह तरीका सार्वभौमिक, क्योंकि यह असतत और सतत एसडब्ल्यू दोनों के लिए वितरण कानून स्थापित करने के लिए उपयुक्त है।

संपत्ति 2 . चूँकि अभिन्न वितरण फलन ϶ᴛᴏ प्रायिकता है इसका मान 0 से 1 तक के खंड पर होता है।

संपत्ति 3 . वितरण समारोह आयामरहित, साथ ही कोई भी संभावना।

संपत्ति 4 . वितरण कार्य है गैर घटनेवाला कार्य, यानी तर्क का बड़ा मूल्य फ़ंक्शन के समान या अधिक मूल्य से मेल खाता है: कब एक्स 2 > x 1 F(x 2) ≥ F(x 1).

यह गुण इस तथ्य (चित्र 31) से निकलता है कि एक बड़े खंड (-∞ से x 2 तक) से टकराने की संभावना किसी भी तरह से छोटे खंड (-∞ से x 1 तक) से टकराने की संभावना से कम नहीं होनी चाहिए।

इस घटना में कि क्षेत्र में से एक्स 2पहले एक्स 1(चित्र 32) तब कोई संभावित SW मान नहीं हैं (यह असतत SW के लिए संभव है)। एफ(एक्स 2) = एफ(एक्स 1).

सतत SW के वितरण फलन के लिए (चित्र 33) एफ(एक्स 2)हमेशा अधिक एफ(एक्स 1).

गुण 4 के दो परिणाम हैं।

परिणाम 1

में प्रायिकता कि X का मान अंतराल (x 1; x 2) में मान लेगा, अंतराल की सीमाओं पर अभिन्न फ़ंक्शन के मानों के बीच अंतर के बराबर है:

पी(एक्स 1 ≤ एक्स< х 2) = F(х 2) – F(х 1). (15)

इस परिणाम को इस प्रकार समझाया जा सकता है (चित्र 31):

एफ (एक्स 2) \u003d पी (एक्स< х 2) –

संभावना है कि SW बिंदु के बाईं ओर मान लेता है एक्स 2 .

एफ (एक्स 1) \u003d पी (एक्स< х 1) संभावना है कि SW बिंदु के बाईं ओर मान लेता है एक्स 1 .

इसलिए अंतर है

पी(एक्स< х 2) - Р(Х < х 1) ऐसी संभावना है कि SW मान से क्षेत्र में स्थित हैं एक्स 1 पहले एक्स 2 (अंजीर.34) .

एक यादृच्छिक चर का अभिन्न संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन - अवधारणा और प्रकार। "यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का अभिन्न कार्य" 2017, 2018 श्रेणी का वर्गीकरण और विशेषताएं।

स्थानीय मोइवर-लाप्लास सूत्र की शर्तों के तहत, संभावना है कि सफलताओं की संख्या एम 1 और एम 2 के बीच होगी, लगभग मोइवर-लाप्लास के अभिन्न सूत्र द्वारा पाई जा सकती है

जहाँ x 1 =
, एक्स 2 =
,
लाप्लास फ़ंक्शन है.

इन कार्यों के मूल्य संभाव्यता के सिद्धांत पर पाठ्यपुस्तकों के परिशिष्ट में हैं।

वितरण कानून का ग्राफिकल असाइनमेंटअंजीर में दिखाया गया है। 1

चावल। 1 असतत यादृच्छिक चर का वितरण बहुभुज।

किसी यादृच्छिक चर के वितरण को तालिका के रूप में, सूत्र के रूप में या ग्राफिक रूप से वर्णित करने की विधि केवल असतत यादृच्छिक चर पर लागू होती है।

1.5. संचयी वितरण कार्य

अभिन्न वितरण फ़ंक्शन आपको असतत और निरंतर यादृच्छिक चर दोनों को निर्दिष्ट करने की अनुमति देता है।

संचयी वितरण फ़ंक्शन (आईडीएफ) एक फ़ंक्शन F(x) है जो प्रत्येक संभावित मान x के लिए, संभावना निर्धारित करता है कि एक यादृच्छिक चर X, x से कम मान लेगा, अर्थात।

अभिन्न वितरण फ़ंक्शन का ज्यामितीय अर्थ यह संभावना है कि यादृच्छिक चर X वास्तविक अक्ष पर बिंदु x के बाईं ओर स्थित मान लेगा।

एक असतत यादृच्छिक चर के लिए एक्स, जो मान ले सकता है एक्स 1 , एक्स 2 , …,एक्स एन, वितरण फ़ंक्शन का रूप है जहां योग चिह्न के अंतर्गत असमानता का अर्थ है कि योग उन सभी मूल्यों से संबंधित है एक्स मैंजिसका मूल्य कम है एक्स. आइए हम फ़ंक्शन की परिभाषा के आधार पर इस सूत्र की व्याख्या करें एफ(एक्स). मान लीजिए कि तर्क x ने कुछ निश्चित लिया है, लेकिन ऐसा कि असमानता संतुष्ट हो जाए एक्स मैं <एक्स≤एक्स मैं+1 . फिर संख्या अक्ष पर संख्या x के बाईं ओर यादृच्छिक चर के केवल वे मान होंगे जिनका सूचकांक 1, 2, 3, ..., मैं. इसलिए, असमानता एक्स<एक्सयदि मान निष्पादित किया जाता है एक्समूल्यों को अपनाएंगे एक्स को, कहाँ क = 1, 2, …, मैं. इस प्रकार घटना एक्स<एक्सयदि कोई हो तो आएगा, चाहे कोई भी घटना हो एक्स = एक्स 1 , एक्स=एक्स 2 , एक्स=एक्स 3 , …, एक्स=एक्स मैं. चूँकि ये घटनाएँ असंगत हैं, तो संभाव्यता जोड़ प्रमेय द्वारा हमारे पास है

संचयी वितरण फलन के गुण:

1. अभिन्न वितरण फ़ंक्शन के मान खंड से संबंधित हैं

:
.

2. संभावना है कि यादृच्छिक चर X अंतराल (ए, बी) में निहित मान लेगा, इस अंतराल पर अभिन्न वितरण फ़ंक्शन की वृद्धि के बराबर है

3. यदि यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान x अंतराल (ए, बी) से संबंधित हैं, तो

, अगर

, अगर

एक सतत यादृच्छिक चर के आईजीएफ का ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 2

चावल। 2 सतत यादृच्छिक चर के IGF का ग्राफ़

असतत यादृच्छिक चर के आईजीएफ का ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 3

चावल। 3 असतत यादृच्छिक चर के IGF का ग्राफ़

1.6. विभेदक वितरण समारोह

विभेदक वितरण फ़ंक्शन का उपयोग निरंतर यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

विभेदक वितरण फ़ंक्शन (डीडीएफ)(या संभाव्यता घनत्व) अभिन्न फलन का पहला व्युत्पन्न है।

संचयी वितरण फ़ंक्शन अंतर वितरण फ़ंक्शन के लिए प्रतिअवकलन है। तब

संभावना है कि एक निरंतर यादृच्छिक चर X अंतराल (ए, बी) से संबंधित मान लेता है, ए से बी तक लिए गए अंतर फ़ंक्शन के निश्चित अभिन्न अंग के बराबर है:

डीएफआर का ज्यामितीय अर्थ इस प्रकार है: संभावना है कि एक सतत यादृच्छिक चर f(x) और सीधी रेखाएँ x = a और x = b (चित्र 4)।

चावल। 4 विभेदक वितरण फलन के ग्राफ को सामान्यतः वितरण वक्र कहा जाता है।

विभेदक वितरण फ़ंक्शन के गुण:

1. विभेदक वितरण फलन गैर-ऋणात्मक है, अर्थात्।

2. यदि यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान अंतराल (ए, बी) से संबंधित हैं, तो

विभेदक वितरण फ़ंक्शन को अक्सर निरंतर यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का नियम कहा जाता है।

लागू समस्याओं को हल करते समय, व्यक्ति को निरंतर यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण के विभिन्न कानूनों का सामना करना पड़ता है। अक्सर पाया जाता है समान एवं सामान्य वितरण के नियम.

हमने स्थापित किया है कि वितरण श्रृंखला पूरी तरह से एक अलग यादृच्छिक चर की विशेषता रखती है। हालाँकि, यह विशेषता सार्वभौमिक नहीं है। यह केवल अलग-अलग मात्राओं के लिए मौजूद है। किसी सतत मात्रा के लिए, वितरण श्रृंखला का निर्माण नहीं किया जा सकता है। दरअसल, एक सतत यादृच्छिक चर में संभावित मानों का एक बेशुमार सेट होता है जो एक निश्चित अंतर को पूरी तरह से भर देता है। ऐसी तालिका संकलित करना असंभव है जिसमें इस मात्रा के सभी संभावित मान सूचीबद्ध हों। इसलिए, एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, उस अर्थ में कोई वितरण श्रृंखला नहीं है जिसमें यह एक असतत चर के लिए मौजूद है। हालाँकि, एक यादृच्छिक चर के संभावित मानों की विभिन्न श्रेणियाँ समान रूप से संभावित नहीं हैं, और एक सतत चर के लिए अभी भी एक "संभावना वितरण" है, हालांकि एक असतत चर के समान अर्थ में नहीं।

इस संभाव्यता वितरण को मापने के लिए, घटना की गैर-संभावना का उपयोग करना सुविधाजनक है आर(एक्स= एक्स), इस तथ्य से युक्त कि यादृच्छिक चर एक निश्चित मान लेगा एक्स, और किसी घटना की संभावना आर(एक्स<एक्स), जिसमें यह तथ्य शामिल है कि यादृच्छिक चर इससे कम मान लेगा एक्स. जाहिर है, इस घटना की संभावना पर निर्भर करता है एक्स, अर्थात। का कुछ कार्य है एक्स.

परिभाषा। वितरण समारोह अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्सएक फ़ंक्शन कहा जाता है एफ(एक्स) प्रत्येक मान के लिए व्यक्त करना एक्ससंभावना है कि यादृच्छिक चर एक्ससे कम मूल्य लेता है एक्स:

वितरण फलन भी कहा जाता है संचयी वितरण कार्य या अभिन्न वितरण कानून .

वितरण फलन यादृच्छिक चर की सबसे सार्वभौमिक विशेषता है। यह सभी यादृच्छिक चरों के लिए मौजूद है: असतत और निरंतर दोनों। वितरण फ़ंक्शन संभाव्य दृष्टिकोण से एक यादृच्छिक चर को पूरी तरह से चित्रित करता है, अर्थात। वितरण कानून का एक रूप है.

वितरण फ़ंक्शन एक सरल ज्यामितीय व्याख्या की अनुमति देता है। एक यादृच्छिक चर पर विचार करें एक्सधुरी पर ओह(चित्र 4.2), जो प्रयोग के परिणामस्वरूप एक या दूसरा स्थान ले सकता है। मान लीजिए कि अक्ष पर एक बिंदु चुना गया है, जिसका मान है एक्स. फिर, प्रयोग के परिणामस्वरूप, यादृच्छिक चर एक्सबिंदु के बाएँ या दाएँ हो सकता है एक्स. जाहिर है, संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्सबिंदु के बाईं ओर होगा एक्स, बिंदु की स्थिति पर निर्भर करेगा एक्स, अर्थात। तर्क का एक कार्य बनें एक्स.

एक असतत यादृच्छिक चर के लिए एक्स, जो मान ले सकता है एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन, वितरण फ़ंक्शन का रूप है

इसके वितरण फलन को खोजें और आलेखीय रूप से चित्रित करें।

समाधान। हम अलग-अलग मूल्य निर्धारित करेंगे एक्सऔर उनके लिए खोजें एफ(एक्स) = = पी(एक्स < एक्स).

1. यदि एक्स≤ 0, फिर एफ(एक्स) = पी(एक्स < एक्स) = 0.

2. यदि 0< एक्स≤ 1, फिर एफ(एक्स) = पी(एक्स < एक्स) = पी(एक्स = 0) = 0,08.

3. यदि 1< एक्स≤ 2, फिर एफ(एक्स) = पी(एक्स < एक्स) = पी(एक्स = 0) + पी(एक्स = 1) = 0,08 + 0,44 = 0,52.

4. यदि एक्स> 2, फिर एफ(एक्स) = पी(एक्स < एक्स) = पी(एक्स = 0) + पी(एक्स = 1) + पी(एक्स = 2) = 0,08 + 0,44 + + 0,48 = 1.

आइए वितरण फलन लिखें।

आइए वितरण फ़ंक्शन को ग्राफ़िक रूप से चित्रित करें (चित्र 4.3)। ध्यान दें कि बाईं ओर से असंततता बिंदुओं के पास पहुंचने पर, फ़ंक्शन अपना मान बनाए रखता है (ऐसे फ़ंक्शन को बाईं ओर से निरंतर कहा जाता है)। इन बिंदुओं को ग्राफ़ पर हाइलाइट किया गया है। ◄

यह उदाहरण इस दावे की ओर ले जाता है कि किसी भी असतत यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन एक असंतत चरण फ़ंक्शन है जिसकी छलांग यादृच्छिक चर के संभावित मानों के अनुरूप बिंदुओं पर होती है और इन मानों की संभावनाओं के बराबर होती है.

वितरण फलन के सामान्य गुणों पर विचार करें।

1. यादृच्छिक चर का वितरण फलन शून्य और एक के बीच एक गैर-नकारात्मक फलन है:

3. माइनस इनफिनिटी पर वितरण फलन शून्य के बराबर होता है, प्लस इनफिनिटी पर यह एक के बराबर होता है, अर्थात।

उदाहरण 4.3.एक यादृच्छिक चर का वितरण कार्य एक्सकी तरह लगता है:

यादृच्छिक चर होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए एक्सअंतराल में एक मान लेता है और शून्य संभावना रखता है।

हालाँकि, एक ऐसी घटना की अवधारणा जिसमें गैर-शून्य संभावना है, लेकिन जिसमें शून्य संभावना वाली घटनाएं शामिल हैं, एक निश्चित लंबाई वाले खंड के विचार से अधिक विरोधाभासी नहीं है, जबकि खंड का एक भी बिंदु नहीं है एक गैर-शून्य लंबाई. एक खंड में ऐसे बिंदु होते हैं, लेकिन इसकी लंबाई उनकी लंबाई के योग के बराबर नहीं होती है।

इस संपत्ति से निम्नलिखित परिणाम निकलता है।

परिणाम। यदि:

पी(एक्स 1 < एक्स < एक्स 2) = पी(एक्स 1 ≤ एक्स < एक्स 2) = पी(एक्स 1 < एक्स ≤ एक्स 2) = पी(एक्स 1 ≤ एक्स ≤ एक्स 2).

वितरण के विभेदक और अभिन्न नियम

एक यादृच्छिक चर का वितरण कानून इस मात्रा के संभावित मूल्यों और इन मूल्यों के अनुरूप उनकी घटना की संभावनाओं के बीच संबंध स्थापित करता है। यादृच्छिक चर के वितरण के नियम का वर्णन करने के दो रूप हैं - विभेदक और अभिन्न . इसके अलावा, मेट्रोलॉजी में, विभेदक रूप का मुख्य रूप से उपयोग किया जाता है - वितरण कानून संभावित गहराई अनियमित परिवर्तनशील वस्तु।
विभेदक वितरण कानून विशेषता वितरण घनत्व एक यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व इस मामले में संभावना पीसे अंतराल में एक यादृच्छिक चर को मारना एक्स 1पहले x2 :

ग्राफिक रूप से, यह संभावना वक्र के नीचे के क्षेत्र का अनुपात है एफ(एक्स)से अंतराल में एक्स 1पहले x2संपूर्ण वितरण वक्र से घिरे कुल क्षेत्रफल तक।

इस मामले में, वितरण निरंतर अनियमित परिवर्तनशील वस्तु। इनके अलावा और भी हैं अलग यादृच्छिक चर जो कई विशिष्ट मान लेते हैं जिन्हें क्रमांकित किया जा सकता है।

यादृच्छिक चर का अभिन्न वितरण नियमएक फ़ंक्शन है एफ(एक्स),सूत्र द्वारा परिभाषित

संभावना है कि यादृच्छिक चर कम होगा x1फ़ंक्शन मान द्वारा दिया गया एफ(एक्स)पर एक्स = एक्स 1:

एफ(एक्स)एक गैर-घटता हुआ फलन है और X → ∞ के रूप में एफ(एक्स)→1

जब X → - ∞ एफ(एक्स)→0

एफ(एक्स) -फलन सतत है, क्योंकि एक निश्चित अंतराल में प्रेक्षणों का परिणाम कोई भी मान ले सकता है

हालाँकि, चौथी संपत्ति आमतौर पर व्यवहार में लागू नहीं की जाती है। यह इस तथ्य के कारण है कि उपयोग किए गए एसआई का एक सीमित रिज़ॉल्यूशन होता है: एक पॉइंटर डिवाइस के लिए, यह स्केल (क्वांटम एफवी) के एक विभाजन की कीमत है, डिजिटल उपकरणों के लिए, यह सबसे छोटे कोड अंक की कीमत है। इसलिए, वास्तव में, त्रुटि के लिए वितरण फ़ंक्शन का चरणबद्ध रूप होता है।

फिर भी, मेट्रोलॉजिकल अभ्यास में, अभिन्न कार्य को निरंतर माना जाता है, जो त्रुटियों के प्रसंस्करण को सरल बनाता है।

सतत यादृच्छिक चर के वितरण का एकसमान नियम।

एक सतत यादृच्छिक चर एक समान वितरण कानून का पालन करता है यदि इसके संभावित मान एक निश्चित निश्चित अंतराल में होते हैं, जिसके भीतर सभी मान समान रूप से संभावित होते हैं, यानी उनकी संभावना घनत्व समान होती है। दूसरे शब्दों में, संभाव्यता वितरण को एक समान कहा जाता है, यदि उस अंतराल पर, जिसमें यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान शामिल हैं, अंतर फ़ंक्शन का एक स्थिर मान होता है।

एक समान संभाव्यता वितरण वाले यादृच्छिक चर,<<встречаются на практике. Например, при снятии показаний измерительных приборов. Ошибка при округлении отсчёта до ближайшего целого деления шкалы является случайной величиной, которая может с постоянной плотностью вероятности принимать любые значения между двумя соседними делениями. Таким образом, данная случайная величина имеет равномерное распределение.

आइए हम यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों को मानते हुए समान वितरण के अंतर फ़ंक्शन (घनत्व) को ढूंढें एक्स बीच में बंद कर दिया , जिस पर विभेदक फलन स्थिर रहता है, अर्थात्।

एफ(एक्स) = सी

शर्त से एक्स मानों को सीमा से बाहर नहीं ले जाता , इसीलिए एफ(एक्स) = 0सभी के लिए एक्स< a और एक्स< b.

आइए स्थिरांक का मान ज्ञात करें साथ . चूँकि यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान अंतराल से संबंधित हैं , तो यह सच है:

तो, अंतराल पर एक यादृच्छिक चर के समान वितरण का नियम (यहाँ ए< b ) को विश्लेषणात्मक रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है:

आइए अब हम एक सतत यादृच्छिक चर के समान वितरण का अभिन्न फलन ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं

अगर एक्स< a वह एफ(एक्स) = 0और इसलिए एफ(एक्स) = 0

अगर ए ≤ एक्स ≤ बीवह और इसलिए

अगर एक्सबीवह

तो, वांछित अभिन्न वितरण फ़ंक्शन को विश्लेषणात्मक रूप से निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

x के लिए F(x) = 0< a

a ≤ x ≤ b के लिए

x ˃ b के लिए F(x) = 1

समान सतत वितरण के गुण:

1. पहला क्षण (उम्मीद)

2. माध्यिका: एम = एम(एक्स)

3. मोड - खंड पर कोई भी संख्या (मोड - वितरण का सबसे संभावित मूल्य);

प्रायिकता से निरूपित करें कि यादृच्छिक चर x एक मान से कम लेता है जो कि x का अभिन्न वितरण फ़ंक्शन कहलाता है। चूंकि कोई भी संभाव्यता और 1 के बीच होनी चाहिए, तो सभी मानों के लिए हमारे पास: यदि ऐसी हैं कि संभाव्यता उस संभाव्यता से अधिक या उसके बराबर होगी यानी। दूसरे शब्दों में, फ़ंक्शन बढ़ने के साथ घट नहीं सकता है

अभिन्न वितरण फ़ंक्शन का एक विशिष्ट रूप अंजीर में दिखाया गया है। 1, जहां क्षैतिज अक्ष प्लॉट किया गया है और ऊर्ध्वाधर फ़ंक्शन है

अभिन्न वितरण फ़ंक्शन को जानने के बाद, हम किसी भी संभावना के लिए आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि वास्तव में, चूंकि घटनाएं असंगत हैं, इनमें से किसी भी घटना के घटित होने की संभावना प्रत्येक घटना की संभावनाओं के योग के बराबर होगी, यानी।

(स्कैन देखें)

चूँकि इन दोनों घटनाओं में से किसी के घटित होने की संभावना या घटना के घटित होने की संभावना के साथ मेल खाती है, तो, संबंध (1.1) के अनुसार, हमारे पास है

अत: घटना के घटित होने की वांछित प्रायिकता बराबर होगी

ऐसे मामले में जब एक यादृच्छिक चर x वस्तुओं के समूह से यादृच्छिक रूप से चुनी गई किसी वस्तु की कुछ विशेषताओं को मापने का परिणाम है, तो अभिन्न वितरण फ़ंक्शन की एक सरल व्याख्या देना संभव है। जैसा कि पैराग्राफ 1.1.1 में दर्शाया गया है, इसमें मामले की संभावना यह है कि देखा गया मान x कुछ समानता या असमानता (कहता है, या ऐसी वस्तुओं के सापेक्ष अनुपात (वस्तुओं के दिए गए समूह में) के बराबर है जिसके लिए मान x संबंधित समानता या असमानता को संतुष्ट करता है। इस प्रकार, बस निर्धारित करता है उन वस्तुओं का सापेक्ष अनुपात जिनके लिए संभावनाओं की इस व्याख्या के साथ, संबंध (1.2) स्पष्ट हो जाता है। यह वास्तव में बताता है कि वस्तुओं की सापेक्ष संख्या जिसके लिए वस्तुओं की सापेक्ष संख्या के बराबर है, साथ ही वस्तुओं की सापेक्ष संख्या भी है जिसे वस्तुओं के समूह को अक्सर जनसंख्या कहा जाता है। अब तक, हमने केवल सीमित संख्या में वस्तुओं वाली जनसंख्या पर विचार किया है। ऐसी आबादी को परिमित कहा जाता है।

किसी घटना की संभावना की व्याख्या जिसके लिए एक निश्चित संबंध (समानता या असमानता) संतुष्ट है, ऐसे तत्वों की दी गई सामान्य जनसंख्या में सापेक्ष अनुपात के रूप में जिसके लिए x का मान इस संबंध को संतुष्ट करता है, बहुत उपयोगी साबित होता है कई मामले, और हम अक्सर इसका उपयोग करेंगे। हालाँकि, यदि हम सीमित आबादी तक सीमित नहीं हैं तो संभावनाओं की ऐसी व्याख्या हमेशा संभव नहीं होती है। दरअसल, एक सीमित सामान्य जनसंख्या से जुड़े अभिन्न वितरण फ़ंक्शन की अपनी विशेषताएं होती हैं।

आइए मान लें कि सामान्य जनसंख्या में तत्व शामिल हैं। तब यादृच्छिक चर x विभिन्न मानों से अधिक नहीं ले सकता है। मान लीजिए कि x विभिन्न मान ले सकता है, और इन मानों को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया गया है, यह स्पष्ट है कि यदि x का मान कई तत्वों के लिए समान है, तो इसमें संचयी वितरण फ़ंक्शन केस में चित्र में दिखाए गए चरण वक्र का रूप होगा। 2.

वितरण फ़ंक्शन में बिल्कुल छलांग होगी, और प्रत्येक छलांग का परिमाण या तो संचयी वितरण फ़ंक्शन द्वारा गुणा किए गए पूर्णांक के बराबर होगा, जो चित्र में निरंतर वक्र द्वारा दर्शाया गया है। 1 स्पष्टतः इस प्रकार का नहीं है।

इस प्रकार, यदि संचयी वितरण फलन एक सतत वक्र है, तो एक परिमित सामान्य जनसंख्या के कुछ तत्वों के सापेक्ष अनुपात के रूप में संभावनाओं की व्याख्या असंभव है। हालाँकि, किसी भी निरंतर संचयी वितरण फ़ंक्शन को किसी परिमित जनसंख्या से जुड़े चरणबद्ध संचयी वितरण फ़ंक्शन द्वारा किसी भी सटीकता के साथ अनुमानित किया जा सकता है, बशर्ते कि बाद में तत्वों की संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी हो। इस प्रकार, किसी भी सतत संचयी वितरण फलन को एक परिमित जनसंख्या से जुड़े संचयी वितरण फलन का सीमित रूप माना जा सकता है। इस सामान्य में तत्वों की संख्या में अनंत वृद्धि के साथ सीमा पहुँच जाती है

समुच्चय। इसका मतलब यह है कि यदि हम एक अनंत जनसंख्या (अनंत संख्या में तत्वों वाली जनसंख्या) के अस्तित्व की अनुमति देते हैं, तो इस जनसंख्या से जुड़ी किसी भी संभावना को हमेशा जनसंख्या के संबंधित तत्वों के सापेक्ष अनुपात के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। बेशक, अनंत जनसंख्या की अवधारणा केवल एक उपयोगी अमूर्तता है, जिसे केवल सिद्धांत को सरल बनाने के लिए पेश किया गया है।

अनंत सामान्य जनसंख्या के उदाहरण के रूप में, एक प्रयोग पर विचार करें जिसमें एक निश्चित छड़ की लंबाई मापना शामिल है। प्रत्येक माप के परिणाम को एक यादृच्छिक चर माना जा सकता है, जो एक अभिन्न वितरण फ़ंक्शन द्वारा विशेषता है। फिर एक अनंत सामान्य जनसंख्या रॉड की लंबाई के बार-बार माप का एक अनंत अनुक्रम होगा, ताकि वास्तव में किए गए प्रत्येक माप को एक तत्व माना जा सके इस आबादी का. कभी-कभी सामान्य जनसंख्या सीमित होती है, लेकिन इस जनसंख्या के तत्वों की संख्या इतनी बड़ी होती है कि इस जनसंख्या से जुड़ी समस्याओं पर विचार करना अधिक सुविधाजनक हो जाता है जैसे कि यह अनंत थी, अर्थात, जैसे कि सामान्य जनसंख्या अनंत थी . उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम संयुक्त राज्य अमेरिका में रहने वाली 20 वर्ष और उससे अधिक आयु की सभी महिलाओं की ऊंचाई के वितरण में रुचि रखते हैं। जाहिर है, ऐसे व्यक्तियों की संख्या इतनी बड़ी है कि यदि हम ऐसे व्यक्तियों की सामान्य जनसंख्या को अनंत मानें तो महत्वपूर्ण गणितीय सरलीकरण पर भरोसा किया जा सकता है।