पूर्णांकों का शेषफल, नियम, उदाहरण सहित विभाजन। शेषफल सहित विभाजन

संख्याओं की विभाज्यता के लक्षण- ये ऐसे नियम हैं जो विभाजित किए बिना, अपेक्षाकृत शीघ्रता से यह पता लगाने की अनुमति देते हैं कि क्या यह संख्या किसी शेषफल के बिना किसी दी गई संख्या से विभाज्य है।
कुछ विभाज्यता के लक्षणकाफी सरल, कुछ अधिक कठिन। इस पृष्ठ पर आपको अभाज्य संख्याओं की विभाज्यता के दोनों चिह्न मिलेंगे, जैसे, उदाहरण के लिए, 2, 3, 5, 7, 11, और भाज्य संख्याओं की विभाज्यता के चिह्न, जैसे 6 या 12।
मुझे आशा है कि यह जानकारी आपके लिए उपयोगी होगी.
सीखने का आनंद!

2 से विभाज्यता का चिन्ह

यह विभाज्यता के सबसे सरल लक्षणों में से एक है। यह इस तरह लगता है: यदि किसी प्राकृतिक संख्या का रिकॉर्ड एक सम अंक के साथ समाप्त होता है, तो यह सम है (शेषफल के बिना 2 से विभाजित), और यदि किसी संख्या का रिकॉर्ड एक विषम अंक के साथ समाप्त होता है, तो यह संख्या विषम है।
दूसरे शब्दों में, यदि किसी संख्या का अंतिम अंक है 2 , 4 , 6 , 8 या 0 - संख्या 2 से विभाज्य है, यदि नहीं तो वह विभाज्य नहीं है
उदाहरण के लिए, संख्याएँ: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 2 से विभाज्य हैं क्योंकि वे सम हैं।
ए संख्या: 23 5 , 137 , 2303
2 से विभाज्य नहीं हैं क्योंकि वे विषम हैं।

3 से विभाज्यता का चिन्ह

विभाज्यता के इस चिन्ह के पूरी तरह से अलग नियम हैं: यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य है, तो वह संख्या भी 3 से विभाज्य है; यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य नहीं है, तो वह संख्या 3 से विभाज्य नहीं है।
इसलिए, यह समझने के लिए कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, आपको बस उन संख्याओं को एक साथ जोड़ना होगा जो इसे बनाती हैं।
यह इस तरह दिखता है: 3987 और 141 को 3 से विभाजित किया गया है, क्योंकि पहली स्थिति में 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - बिना किसी शेषफल के 3 से विभाज्य), और दूसरे में 1+4+1= 6 (6:3=2 - शेषफल के बिना 3 से भी विभाज्य)।
लेकिन संख्याएँ: 235 और 566, 3 से विभाज्य नहीं हैं, क्योंकि 2+3+5= 10 और 5+6+6= 17 (और हम जानते हैं कि न तो 10 और न ही 17 को बिना किसी शेषफल के 3 से विभाजित किया जा सकता है)।

4 चिह्न से विभाज्यता

विभाज्यता का यह परीक्षण अधिक जटिल होगा. यदि किसी संख्या के अंतिम 2 अंक एक ऐसी संख्या बनाते हैं जो 4 से विभाज्य है या वह 00 है, तो वह संख्या 4 से विभाज्य है, अन्यथा यह संख्या शेषफल के बिना 4 से विभाज्य नहीं है।
उदाहरण के लिए: 1 00 और 3 64 4 से विभाज्य हैं, क्योंकि पहली स्थिति में संख्या समाप्त होती है 00 , और दूसरे में 64 , जो बदले में बिना किसी शेषफल के 4 से विभाज्य है (64:4=16)
संख्या 3 57 और 8 86 4 से विभाज्य नहीं हैं क्योंकि इनमें से कोई भी नहीं 57 कोई भी नहीं 86 4 से विभाज्य नहीं हैं, और इसलिए विभाज्यता की इस कसौटी के अनुरूप नहीं हैं।

5 से विभाज्यता का चिन्ह

और फिर, हमारे पास विभाज्यता का एक सरल संकेत है: यदि किसी प्राकृतिक संख्या का रिकॉर्ड अंक 0 या 5 के साथ समाप्त होता है, तो यह संख्या बिना किसी शेषफल के 5 से विभाज्य होती है। यदि संख्या का रिकॉर्ड किसी भिन्न अंक के साथ समाप्त होता है, तो शेषफल के बिना संख्या 5 से विभाज्य नहीं है।
इसका मतलब यह है कि कोई भी संख्या अंकों में समाप्त होती है 0 और 5 , उदाहरण के लिए 1235 5 और 43 0 , नियम के अंतर्गत आते हैं और 5 से विभाज्य हैं।
और, उदाहरण के लिए, 1549 3 और 56 4 5 या 0 पर समाप्त न हों, जिसका अर्थ है कि वे शेषफल के बिना 5 से विभाज्य नहीं हो सकते।

6 से विभाज्यता का चिन्ह

हमारे सामने एक भाज्य संख्या 6 है, जो संख्या 2 और 3 का गुणनफल है। इसलिए, 6 से विभाज्यता का चिह्न भी भाज्य है: किसी संख्या को 6 से विभाज्य होने के लिए, उसे विभाज्यता के दो संकेतों के अनुरूप होना चाहिए एक ही समय में: 2 से विभाज्यता का चिह्न और 3 से विभाज्यता का चिह्न। साथ ही, ध्यान दें कि 4 जैसी मिश्रित संख्या में विभाज्यता का एक व्यक्तिगत चिह्न होता है, क्योंकि यह स्वयं संख्या 2 का गुणनफल है। . लेकिन 6 से विभाज्यता के परीक्षण पर वापस आते हैं।
संख्याएँ 138 और 474 सम हैं और 3 (1+3+8=12, 12:3=4 और 4+7+4=15, 15:3=5) से विभाज्यता के संकेतों के अनुरूप हैं, जिसका अर्थ है कि वे हैं 6 से विभाज्य। लेकिन 123 और 447, हालांकि वे 3 से विभाज्य हैं (1+2+3=6, 6:3=2 और 4+4+7=15, 15:3=5), लेकिन वे विषम हैं, और इसलिए 2 से विभाज्यता की कसौटी के अनुरूप नहीं हैं, और इसलिए 6 से विभाज्यता की कसौटी के अनुरूप नहीं हैं।

7 से विभाज्यता का चिन्ह

यह विभाज्यता मानदंड अधिक जटिल है: एक संख्या 7 से विभाज्य होती है यदि इस संख्या के दसियों की संख्या में से अंतिम अंक को दोगुना करने का परिणाम 7 से विभाज्य हो या 0 के बराबर हो।
यह थोड़ा भ्रमित करने वाला लगता है, लेकिन व्यवहार में यह सरल है। अपने लिए देखें: संख्या 95 9, 7 से विभाज्य है क्योंकि 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 बिना किसी शेषफल के 7 से विभाज्य है)। इसके अलावा, यदि परिवर्तनों के दौरान प्राप्त संख्या के साथ कठिनाइयाँ हैं (इसके आकार के कारण, यह समझना मुश्किल है कि यह 7 से विभाज्य है या नहीं, तो इस प्रक्रिया को जितनी बार भी आप उचित समझें, जारी रखा जा सकता है)।
उदाहरण के लिए, 45 5 और 4580 1 में 7 से विभाज्यता के चिह्न हैं। पहले मामले में, सब कुछ काफी सरल है: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. दूसरे मामले में, हम यह करेंगे: 4580 -2*1=4580-2=4578. हमारे लिए यह समझना मुश्किल है कि क्या 457 8 बटा 7, तो चलिए प्रक्रिया दोहराते हैं: 457 -2*8=457-16=441. और फिर से हम विभाज्यता के चिह्न का उपयोग करेंगे, क्योंकि हमारे सामने अभी भी तीन अंकों की संख्या है 44 1. तो, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, यानी। 42 बिना किसी शेषफल के 7 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि 45801 भी 7 से विभाज्य है।
और यहाँ संख्याएँ हैं 11 1 और 34 5, 7 से विभाज्य नहीं है क्योंकि 11 -2*1=11-2=9 (9, 7 से समान रूप से विभाज्य नहीं है) और 34 -2*5=34-10=24 (24, 7 से समान रूप से विभाज्य नहीं है)।

8 से विभाज्यता का चिन्ह

8 से विभाज्यता का संकेत इस प्रकार लगता है: यदि अंतिम 3 अंक एक संख्या बनाते हैं जो 8 से विभाज्य है, या यह 000 है, तो दी गई संख्या 8 से विभाज्य है।
नंबर 1 000 या 1 088 8 से विभाज्य हैं: पहला वाला समाप्त होता है 000 , दूसरा 88 :8=11 (शेषफल के बिना 8 से विभाज्य)।
और यहाँ संख्याएँ 1 हैं 100 या 4 757 8 से विभाज्य नहीं हैं क्योंकि संख्याएँ 100 और 757 शेषफल के बिना 8 से विभाज्य नहीं हैं।

9 से विभाज्यता का चिन्ह

विभाज्यता का यह चिह्न 3 से विभाज्यता के चिह्न के समान है: यदि किसी संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य है, तो वह संख्या भी 9 से विभाज्य है; यदि किसी संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य नहीं है, तो वह संख्या 9 से विभाज्य नहीं है।
उदाहरण के लिए: 3987 और 144 9 से विभाज्य हैं क्योंकि पहली स्थिति में 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - बिना किसी शेषफल के 9 से विभाज्य), और दूसरे में 1+4+4= 9 (9:9=1 - 9 से शेषफल के बिना भी विभाज्य)।
लेकिन संख्याएँ: 235 और 141, 9 से विभाज्य नहीं हैं, क्योंकि 2+3+5= 10 और 1+4+1= 6 (और हम जानते हैं कि न तो 10 और न ही 6 को बिना किसी शेषफल के 9 से विभाजित किया जा सकता है)।

10, 100, 1000 और अन्य बिट इकाइयों द्वारा विभाज्यता के संकेत

मैंने इन विभाज्यता मानदंडों को जोड़ दिया क्योंकि उन्हें उसी तरह वर्णित किया जा सकता है: एक संख्या एक बिट इकाई द्वारा विभाज्य होती है यदि संख्या के अंत में शून्य की संख्या किसी दिए गए बिट इकाई में शून्य की संख्या से अधिक या उसके बराबर है।
दूसरे शब्दों में, उदाहरण के लिए, हमारे पास इस तरह की संख्याएँ हैं: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . ये सभी 1 से विभाज्य हैं 0 ; 46400 और 867 000 1 से भी विभाज्य हैं 00 ; और उनमें से केवल एक - 867 000 1 से विभाज्य 000 .
कोई भी संख्या जो एक बिट इकाई से कम शून्य पर समाप्त होती है, उस बिट इकाई से विभाज्य नहीं होती है, जैसे 600 30 और 7 93 साझा न करें 1 00 .

11 से विभाज्यता का चिन्ह

यह पता लगाने के लिए कि क्या कोई संख्या 11 से विभाज्य है, आपको इस संख्या के सम और विषम अंकों के योग के बीच का अंतर प्राप्त करना होगा। यदि यह अंतर 0 के बराबर है या बिना किसी शेषफल के 11 से विभाज्य है, तो संख्या स्वयं बिना किसी शेषफल के 11 से विभाज्य है।
इसे स्पष्ट करने के लिए, मैं उदाहरणों पर विचार करने का प्रस्ताव करता हूं: 2 35 4, 11 से विभाज्य है क्योंकि ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4, 11 से भी विभाज्य है क्योंकि ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
और यहाँ 1 है 1 1 या 4 35 4, 11 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि पहली स्थिति में हमें (1 + 1) प्राप्त होता है - 1 =1, और दूसरे में ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

12 से विभाज्यता का चिन्ह

संख्या 12 संयुक्त है। इसकी विभाज्यता का संकेत एक ही समय में 3 और 4 से विभाज्यता के संकेतों के अनुरूप है।
उदाहरण के लिए, 300 और 636 4 से विभाज्यता के दोनों संकेतों के अनुरूप हैं (अंतिम 2 अंक शून्य हैं या 4 से विभाज्य हैं) और 3 से विभाज्यता के संकेत हैं (अंकों का योग और पहली और दूसरी संख्याओं को 3 से विभाजित किया जाता है) ), और इसलिए, वे बिना किसी शेषफल के 12 से विभाज्य हैं।
लेकिन 200 या 630 12 से विभाज्य नहीं हैं, क्योंकि पहले मामले में संख्या केवल 4 से विभाज्यता के संकेत से मेल खाती है, और दूसरे में - केवल 3 से विभाज्यता के संकेत से मेल खाती है। लेकिन एक ही समय में दोनों संकेत नहीं।

13 से विभाज्यता का चिन्ह

13 से विभाज्यता का एक संकेत यह है कि यदि किसी संख्या की दहाई की संख्या, इस संख्या की इकाइयों में 4 से गुणा करने पर, 13 का गुणज या 0 के बराबर होती है, तो वह संख्या स्वयं 13 से विभाज्य होती है।
उदाहरण के लिए 70 2. तो 70 +4*2=78, 78:13=6 (78, 13 से समान रूप से विभाज्य है), इसलिए 70 2 बिना किसी शेषफल के 13 से विभाज्य है। दूसरा उदाहरण संख्या है 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. संख्या 130 बिना किसी शेषफल के 13 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि दी गई संख्या 13 से विभाज्यता के चिह्न से मेल खाती है।
यदि हम संख्याएँ लें 12 5 या 21 2, तो हमें मिलता है 12 +4*5=32 और 21 +4*2=29 क्रमशः, और न तो 32 और न ही 29, बिना किसी शेषफल के 13 से विभाज्य हैं, जिसका अर्थ है कि दी गई संख्याएँ बिना किसी शेषफल के 13 से विभाज्य नहीं हैं।

संख्याओं की विभाज्यता

जैसा कि ऊपर से देखा जा सकता है, यह माना जा सकता है कि किसी भी प्राकृतिक संख्या का मिलान विभाज्यता के अपने व्यक्तिगत चिह्न या "मिश्रित" चिन्ह से किया जा सकता है यदि संख्या कई अलग-अलग संख्याओं का गुणज है। लेकिन जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, मूल रूप से संख्या जितनी बड़ी होगी, इसकी विशेषता उतनी ही जटिल होगी। शायद विभाज्यता मानदंड की जाँच करने में लगने वाला समय विभाजन के बराबर या उससे अधिक हो सकता है। इसीलिए हम आम तौर पर सबसे सरल विभाज्यता परीक्षण का उपयोग करते हैं।

एक साधारण उदाहरण पर विचार करें:
15:5=3
इस उदाहरण में, हमने प्राकृत संख्या 15 को विभाजित किया है पूरी तरह 3, कोई शेष नहीं.

कभी-कभी किसी प्राकृत संख्या को पूर्णतः विभाजित नहीं किया जा सकता। उदाहरण के लिए, समस्या पर विचार करें:
कोठरी में 16 खिलौने थे। समूह में पाँच बच्चे थे। प्रत्येक बच्चे ने समान संख्या में खिलौने लिए। प्रत्येक बच्चे के पास कितने खिलौने हैं?

समाधान:
संख्या 16 को 5 से एक कॉलम से विभाजित करें और प्राप्त करें:

हम जानते हैं कि 16 गुणा 5 विभाज्य नहीं है। निकटतम छोटी संख्या जो 5 से विभाज्य है वह 15 है और शेषफल 1 है। संख्या 15 को हम 5⋅3 के रूप में लिख सकते हैं। परिणामस्वरूप (16 - लाभांश, 5 - भाजक, 3 - आंशिक भागफल, 1 - शेषफल)। प्राप्त FORMULA शेषफल के साथ विभाजनजो किया जा सकता है समाधान सत्यापन.

ए= बी⋅ सी+ डी
ए -विभाज्य
बी -विभाजक,
सी - अपूर्ण भागफल,
डी - शेष.

उत्तर: प्रत्येक बच्चा 3 खिलौने लेगा और एक खिलौना बचेगा।

विभाजन का शेष भाग

शेषफल सदैव भाजक से कम होना चाहिए।

यदि भाग देने पर शेषफल शून्य हो तो लाभांश विभाज्य होता है। पूरी तरहया प्रति भाजक कोई शेष नहीं.

यदि, विभाजित करते समय, शेष भाजक से अधिक है, तो इसका मतलब है कि प्राप्त संख्या सबसे बड़ी नहीं है। एक बड़ी संख्या है जो लाभांश को विभाजित करेगी और शेष भाजक से कम होगा।

"शेषफल सहित विभाजन" विषय पर प्रश्न:
क्या शेषफल भाजक से बड़ा हो सकता है?
उत्तर: नहीं.

क्या शेषफल भाजक के बराबर हो सकता है?
उत्तर: नहीं.

अपूर्ण भागफल, भाजक और शेषफल द्वारा लाभांश कैसे ज्ञात करें?
उत्तर: हम अपूर्ण भागफल, भाजक और शेषफल के मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और लाभांश ज्ञात करते हैं। सूत्र:
a=b⋅c+d

उदाहरण 1:
शेषफल के साथ विभाजन करें और जांचें: a) 258:7 b) 1873:8

समाधान:
क) एक कॉलम में विभाजित करें:

258 - विभाज्य,
7 - विभाजक,
36 - अपूर्ण भागफल,
6 - शेष. भाजक 6 से कम शेषफल<7.

7⋅36+6=252+6=258

ख) एक कॉलम में विभाजित करें:

1873 - विभाज्य,
8 - विभाजक,
234 - अपूर्ण भागफल,
1 शेषफल है. भाजक 1 से कम शेषफल<8.

सूत्र में स्थानापन्न करें और जांचें कि क्या हमने उदाहरण को सही ढंग से हल किया है:
8⋅234+1=1872+1=1873

उदाहरण #2:
प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने पर क्या शेषफल प्राप्त होता है: a) 3 b) 8?

उत्तर:
a) शेषफल भाजक से कम है, इसलिए 3 से कम है। हमारे मामले में, शेषफल 0, 1 या 2 हो सकता है।
बी) शेषफल भाजक से कम है, इसलिए, 8 से कम है। हमारे मामले में, शेषफल 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 या 7 हो सकता है।

उदाहरण #3:
प्राकृत संख्याओं को विभाजित करने पर प्राप्त होने वाला सबसे बड़ा शेषफल क्या है: a) 9 b) 15?

उत्तर:
a) शेषफल भाजक से कम है, इसलिए, 9 से कम है। लेकिन हमें सबसे बड़े शेषफल को इंगित करने की आवश्यकता है। अर्थात् भाजक की निकटतम संख्या। यह संख्या 8 है.
बी) शेषफल भाजक से कम है, इसलिए, 15 से कम है। लेकिन हमें सबसे बड़े शेषफल को इंगित करने की आवश्यकता है। अर्थात् भाजक की निकटतम संख्या। यह संख्या 14 है.

उदाहरण #4:
लाभांश ज्ञात करें: ए) ए: 6 = 3 (रेम 4) बी) सी: 24 = 4 (रेम 11)

समाधान:
ए) सूत्र का उपयोग करके हल करें:
a=b⋅c+d
(a लाभांश है, b भाजक है, c आंशिक भागफल है, d शेषफल है।)
ए:6=3(बाकी.4)
(ए लाभांश है, 6 भाजक है, 3 अपूर्ण भागफल है, 4 शेष है।) सूत्र में संख्याओं को प्रतिस्थापित करें:
a=6⋅3+4=22
उत्तर: a=22

बी) सूत्र का उपयोग करके हल करें:
a=b⋅c+d
(a लाभांश है, b भाजक है, c आंशिक भागफल है, d शेषफल है।)
s:24=4(बाकी.11)
(सी लाभांश है, 24 भाजक है, 4 आंशिक भागफल है, 11 शेष है।) सूत्र में संख्याओं को प्रतिस्थापित करें:
c=24⋅4+11=107
उत्तर: s=107

काम:

तार 4 मी. 13 सेमी के टुकड़ों में काटा जाना चाहिए। इनमें से कितने टुकड़े होंगे?

समाधान:
सबसे पहले आपको मीटर को सेंटीमीटर में बदलना होगा।
4मी.=400से.मी.
आप एक कॉलम से विभाजित कर सकते हैं या आपके दिमाग में हमें यह मिलता है:
400:13=30(बाकी 10)
की जाँच करें:
13⋅30+10=390+10=400

उत्तर: 30 टुकड़े निकलेंगे और 10 सेमी तार बचेगा।

लेख पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने की अवधारणा का विश्लेषण करता है। आइए हम शेषफल के साथ पूर्णांकों की विभाज्यता पर प्रमेय को सिद्ध करें और विभाज्य और भाजक, अपूर्ण भागफल और शेषफल के बीच संबंध को देखें। उदाहरणों के साथ विस्तार से जांच करके, पूर्णांकों को शेषफलों से विभाजित करते समय नियमों पर विचार करें। समाधान के अंत में, हम जाँच करेंगे।

पूर्णांकों को शेषफलों से विभाजित करने की सामान्य समझ

शेषफल के साथ पूर्णांकों का विभाजन प्राकृतिक संख्याओं के शेष के साथ एक सामान्यीकृत विभाजन के रूप में माना जाता है। ऐसा इसलिए किया जाता है क्योंकि प्राकृत संख्याएँ पूर्णांकों का घटक होती हैं।

एक मनमाना संख्या के शेषफल के साथ विभाजन कहता है कि पूर्णांक a, संख्या b से विभाज्य है, जो शून्य से भिन्न है। यदि b = 0 है तो शेषफल के साथ कोई विभाजन नहीं किया जाता है।

शेषफल के साथ प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन के साथ-साथ, पूर्णांक ए और बी का विभाजन किया जाता है, जिसमें बी शून्य से भिन्न होता है, सी और डी द्वारा। इस स्थिति में, a और b को लाभांश और भाजक कहा जाता है, और d विभाजन का शेषफल है, c एक पूर्णांक या आंशिक भागफल है।

यदि हम मान लें कि शेषफल एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, तो इसका मान संख्या b के मापांक से अधिक नहीं है। आइए इसे इस प्रकार लिखें: 0 ≤ d ≤ b . असमानताओं की इस श्रृंखला का उपयोग 3 या अधिक संख्याओं की तुलना करते समय किया जाता है।

यदि c एक अधूरा भागफल है, तो d एक पूर्णांक a को b से विभाजित करने का शेषफल है, आप संक्षेप में ठीक कर सकते हैं: a: b \u003d c (शेष d)।

संख्याओं a को b से विभाजित करने पर शेषफल शून्य संभव है, तो वे कहते हैं कि a को b से पूर्णतः विभाजित किया जाता है, अर्थात बिना किसी शेषफल के। बिना किसी शेषफल के विभाजन को विभाजन का एक विशेष मामला माना जाता है।

यदि हम शून्य को किसी संख्या से विभाजित करते हैं, तो परिणाम के रूप में हमें शून्य प्राप्त होता है। विभाजन का शेष भी शून्य होगा। इसे पूर्णांक द्वारा शून्य के विभाजन के सिद्धांत से देखा जा सकता है।

अब पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने के अर्थ पर विचार करें।

यह ज्ञात है कि धनात्मक पूर्णांक प्राकृतिक होते हैं, फिर शेषफल से विभाजित करने पर वही अर्थ प्राप्त होगा जो प्राकृतिक संख्याओं को शेषफल से विभाजित करने पर होता है।

एक ऋणात्मक पूर्णांक a को एक धनात्मक पूर्णांक b से विभाजित करना समझ में आता है। आइए एक उदाहरण देखें. एक ऐसी स्थिति की कल्पना करें जहां हमारे ऊपर वस्तुओं का इतनी मात्रा में कर्ज है कि उसे बी लोगों द्वारा चुकाया जाना है। ऐसा करने के लिए सभी को समान रूप से योगदान देने की जरूरत है।' प्रत्येक के लिए ऋण की राशि निर्धारित करने के लिए निजी सी के मूल्य पर ध्यान देना आवश्यक है। शेष d इंगित करता है कि ऋण चुकाने के बाद वस्तुओं की संख्या ज्ञात है।

आइए सेब के साथ एक उदाहरण लें। यदि 2 व्यक्तियों को 7 सेब चाहिए। यदि हम गणना करें कि प्रत्येक को 4 सेब लौटाने होंगे, तो पूरी गणना के बाद उनके पास 1 सेब बचेगा। आइए इसे एक समानता के रूप में लिखें: (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) .

किसी भी संख्या a को पूर्णांक से विभाजित करने का कोई मतलब नहीं है, लेकिन एक विकल्प के रूप में यह संभव है।

शेषफल सहित पूर्णांकों के लिए विभाज्यता प्रमेय

हमने पाया कि a लाभांश है, फिर b भाजक है, c आंशिक भागफल है, और d शेषफल है। वे आपस में जुड़े हुए हैं. हम इस संबंध को समानता a = b · c + d का उपयोग करके दिखाएंगे। उनके बीच का संबंध शेषफल के साथ विभाज्यता प्रमेय द्वारा दर्शाया गया है।

प्रमेय

किसी भी पूर्णांक को केवल एक पूर्णांक और एक गैर-शून्य संख्या b के संदर्भ में इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: a = b · q + r, जहां q और r कुछ पूर्णांक हैं। यहां हमारे पास 0 ≤ r ≤ b है।

आइए हम a = b · q + r के अस्तित्व की संभावना सिद्ध करें।

सबूत

यदि दो संख्याएँ a और b हैं, और a बिना किसी शेषफल के b से विभाज्य है, तो परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक संख्या q है, कि समानता a = b · q सत्य होगी। तब समानता को सत्य माना जा सकता है: a = b q + r for r = 0.

फिर q को ऐसे लेना आवश्यक है जो असमानता b · q द्वारा दिया गया हो< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

हमारे पास यह है कि अभिव्यक्ति a - b · q का मान शून्य से अधिक है और संख्या b के मान से अधिक नहीं है, इसलिए यह इस प्रकार है कि r = a - b · q। हम पाते हैं कि संख्या a को a = b · q + r के रूप में दर्शाया जा सकता है।

अब हमें b के नकारात्मक मानों के लिए a = b · q + r का प्रतिनिधित्व करने की संभावना पर विचार करने की आवश्यकता है।

संख्या का मापांक धनात्मक हो जाता है, तब हमें a = b q 1 + r मिलता है, जहाँ q 1 का मान कुछ पूर्णांक है, r एक पूर्णांक है जो शर्त 0 ≤ r में फिट बैठता है< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

विशिष्टता का प्रमाण

मान लें कि a = b q + r , q और r शर्त 0 ≤ r के साथ पूर्णांक हैं< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где प्रश्न 1और आर 1कुछ संख्याएँ हैं जहाँ क्यू 1 ≠ क्यू, 0 ≤ r1< b .

जब असमानता को बाएँ और दाएँ पक्षों से घटाया जाता है, तो हमें 0 = b · (q - q 1) + r - r 1 मिलता है, जो r - r 1 = b · q 1 - q के बराबर है। चूंकि मॉड्यूल का उपयोग किया जाता है, हमें समानता r - r 1 = b · q 1 - q मिलती है।

दी गई शर्त कहती है कि 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что क्यूऔर प्रश्न 1- संपूर्ण, और क्यू ≠ क्यू 1, फिर q 1 - q ≥ 1 . इसलिए हमारे पास वह b · q 1 - q ≥ b है। परिणामी असमानताएँ r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि संख्या a को a = b · q + r जैसे अंकन के अलावा किसी अन्य तरीके से प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

लाभांश, भाजक, आंशिक भागफल और शेषफल के बीच संबंध

समानता a \u003d b c + d का उपयोग करके, आप अज्ञात लाभांश a पा सकते हैं जब भाजक b को अपूर्ण भागफल c और शेष d के साथ जाना जाता है।

उदाहरण 1

लाभांश निर्धारित करें यदि विभाजित करने पर हमें - 21, अपूर्ण भागफल 5 और शेष 12 मिलता है।

समाधान

ज्ञात भाजक b = − 21, अपूर्ण भागफल c = 5, और शेष d = 12 के साथ लाभांश a की गणना करना आवश्यक है। हमें समानता a = b c + d का संदर्भ लेने की आवश्यकता है, यहां से हमें a = (− 21) 5 + 12 मिलता है। संक्रियाओं के क्रम के अधीन, हम - 21 को 5 से गुणा करते हैं, जिसके बाद हमें (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93 प्राप्त होता है।

उत्तर: - 93 .

भाजक और आंशिक भागफल और शेषफल के बीच संबंध को समानता का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है: b = (a - d) : c , c = (a - d) : b और d = a - b · c । उनकी सहायता से हम भाजक, आंशिक भागफल और शेषफल की गणना कर सकते हैं। यह ज्ञात लाभांश, भाजक और आंशिक भागफल के साथ एक पूर्णांक a को b से विभाजित करने के शेषफल को लगातार खोजने के लिए उबलता है। सूत्र d = a − b · c लागू किया जाता है। आइए समाधान पर विस्तार से विचार करें।

उदाहरण 2

एक पूर्णांक - 19 को एक पूर्णांक 3 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए जिसका ज्ञात अपूर्ण भागफल - 7 के बराबर है।

समाधान

किसी भाग के शेषफल की गणना करने के लिए, हम फॉर्म d = a - b c का एक सूत्र लागू करते हैं। शर्त के अनुसार, सभी डेटा a = - 19, b = 3, c = - 7 उपलब्ध हैं। यहां से हमें d = a - b c = - 19 - 3 (- 7) = - 19 - (- 21) = - 19 + 21 = 2 (अंतर - 19 - (- 21)) मिलता है... इस उदाहरण की गणना घटाव नियम द्वारा पूर्ण ऋणात्मक संख्या द्वारा की जाती है।

उत्तर: 2 .

सभी धनात्मक पूर्णांक प्राकृतिक हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि विभाजन शेष प्राकृतिक संख्याओं के साथ विभाजन के सभी नियमों के अनुसार किया जाता है। प्राकृतिक संख्याओं के शेष भाग के साथ विभाजन की गति महत्वपूर्ण है, क्योंकि न केवल सकारात्मक संख्याओं का विभाजन इस पर आधारित है, बल्कि मनमाना पूर्णांकों को विभाजित करने के नियम भी इस पर आधारित हैं।

सबसे सुविधाजनक विभाजन विधि एक कॉलम है, क्योंकि अपूर्ण या शेषफल के साथ केवल भागफल प्राप्त करना आसान और तेज़ है। आइए समाधान पर अधिक विस्तार से विचार करें।

उदाहरण 3

14671 को 54 से विभाजित करें।

समाधान

यह विभाजन एक कॉलम में किया जाना चाहिए:

अर्थात् अपूर्ण भागफल 271 के बराबर है और शेषफल 37 है।

उत्तर: 14671: 54 = 271. (शेष. 37)

किसी धनात्मक पूर्णांक के शेषफल को ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने का नियम, उदाहरण

किसी धनात्मक संख्या के शेषफल को ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए एक नियम बनाना आवश्यक है।

परिभाषा 1

किसी धनात्मक पूर्णांक a को ऋणात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने पर अपूर्ण भागफल एक ऐसी संख्या देता है जो संख्याओं a के मॉड्यूल को b से विभाजित करने पर अपूर्ण भागफल के विपरीत होती है। तब a को b से विभाजित करने पर शेषफल ही शेषफल होता है।

अतः हमारे पास यह है कि एक धनात्मक पूर्णांक को एक ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने का अधूरा भागफल एक गैर-धनात्मक पूर्णांक माना जाता है।

हमें एल्गोरिदम मिलता है:

• लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करें, तो हमें अपूर्ण भागफल प्राप्त होता है और
• शेष;
• विपरीत संख्या लिखिए.

किसी धनात्मक पूर्णांक को ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम के उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 4

17 बटा - 5 के शेषफल से विभाजन करें।

समाधान

आइए एक धनात्मक पूर्णांक के शेषफल को एक ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने का एल्गोरिदम लागू करें। 17 को - 5 मॉड्यूलो से विभाजित करना आवश्यक है। यहां से हमें पता चलता है कि अपूर्ण भागफल 3 है, और शेषफल 2 है।

हमें वह वांछित संख्या 17 को - 5 = - 3 से विभाजित करने पर प्राप्त होती है और शेषफल 2 के बराबर रहता है।

उत्तर: 17: (- 5) = - 3 (शेष 2)।

उदाहरण 5

45 को - 15 से विभाजित करें.

समाधान

संख्याओं को मॉड्यूलो से विभाजित करना आवश्यक है। हम संख्या 45 को 15 से विभाजित करते हैं, हमें शेषफल के बिना भागफल 3 प्राप्त होता है। अतः संख्या 45 बिना किसी शेषफल के 15 से विभाज्य है। उत्तर में हमें - 3 मिलता है, चूँकि विभाजन माड्यूलो से किया गया था।

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

उत्तर: 45: (− 15) = − 3 .

शेषफल सहित विभाजन नियम का सूत्रीकरण इस प्रकार है।

परिभाषा 2

किसी ऋणात्मक पूर्णांक   a को धनात्मक b से विभाजित करने पर अपूर्ण भागफल c प्राप्त करने के लिए, आपको इस संख्या का विपरीत लगाना होगा और इसमें से 1 घटाना होगा, फिर शेष d की गणना सूत्र द्वारा की जाएगी: d = a - b · सी।

नियम के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि विभाजित करने पर हमें एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक प्राप्त होता है। समाधान की सटीकता के लिए, शेषफल के साथ a को b से विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है:

• लाभांश और भाजक के मॉड्यूल खोजें;
• मॉड्यूलो को विभाजित करें;
• दी गई संख्या का विपरीत लिखें और 1 घटाएं;
• शेषफल के लिए सूत्र का उपयोग करें d = a − b c .

एक समाधान के उदाहरण पर विचार करें जहां यह एल्गोरिदम लागू किया जाता है।

उदाहरण 6

अपूर्ण भागफल और भाग का शेषफल - 17 बटा 5 ज्ञात कीजिए।

समाधान

हम दी गई संख्याओं को मॉड्यूलो से विभाजित करते हैं। हम पाते हैं कि विभाजित करने पर भागफल 3 होता है और शेषफल 2 होता है। चूँकि हमें 3 मिला, इसका विपरीत 3 है। 1 घटाना जरूरी है.

− 3 − 1 = − 4 .

वांछित मान - 4 के बराबर है।

शेषफल की गणना करने के लिए, आपको a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , फिर d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = चाहिए 3 .

इसका मतलब यह है कि भाग का अपूर्ण भागफल संख्या - 4 है और शेषफल 3 के बराबर है।

उत्तर:(- 17) : 5 = - 4 (शेष 3)।

उदाहरण 7

ऋणात्मक पूर्णांक - 1404 को धनात्मक 26 से विभाजित करें।

समाधान

एक कॉलम और मापांक द्वारा विभाजित करना आवश्यक है।

हमें शेषफल के बिना संख्याओं के मॉड्यूल का विभाजन मिला। इसका मतलब यह है कि विभाजन शेषफल के बिना किया जाता है, और वांछित भागफल = - 54 है।

उत्तर: (− 1 404) : 26 = − 54 .

ऋणात्मक पूर्णांकों के शेषफल के साथ विभाजन नियम, उदाहरण

पूर्णांक ऋणात्मक संख्याओं के शेषफल के साथ विभाजन नियम बनाना आवश्यक है।

परिभाषा 3

किसी ऋणात्मक पूर्णांक a को ऋणात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने पर अपूर्ण भागफल प्राप्त करने के लिए मॉड्यूलो गणना करना आवश्यक है, जिसके बाद 1 जोड़ें, फिर हम सूत्र d = a - b · c का उपयोग करके गणना कर सकते हैं।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि ऋणात्मक पूर्णांकों के विभाजन का अपूर्ण भागफल एक धनात्मक संख्या होगी।

हम इस नियम को एक एल्गोरिथम के रूप में बनाते हैं:

• लाभांश और भाजक के मॉड्यूल खोजें;
• अपूर्ण भागफल प्राप्त करने के लिए लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करें
• शेष;
• अपूर्ण भागफल में 1 जोड़ना;
• शेषफल की गणना, सूत्र d = a - b c के आधार पर।

आइए एक उदाहरण के साथ इस एल्गोरिदम पर विचार करें।

उदाहरण 8

- 17 को - 5 से विभाजित करने पर आंशिक भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिए।

समाधान

समाधान की शुद्धता के लिए, हम शेषफल के साथ विभाजन के लिए एल्गोरिदम लागू करते हैं। सबसे पहले, संख्याओं को मॉड्यूलो से विभाजित करें। यहां से हमें पता चलता है कि अपूर्ण भागफल = 3, और शेषफल 2 है। नियम के अनुसार अपूर्ण भागफल तथा 1 को जोड़ना आवश्यक है। हमें वह 3 + 1 = 4 मिलता है। यहां से हमें पता चलता है कि दी गई संख्याओं को विभाजित करने पर अपूर्ण भागफल 4 है।

शेषफल की गणना करने के लिए, हम सूत्र लागू करेंगे। शर्त के अनुसार, हमारे पास a = - 17, b = - 5, c = 4 है, फिर, सूत्र का उपयोग करते हुए, हमें d = a - b c = - 17 - (-5) 4 = - मिलता है। 17 - (- 20) = − 17 + 20 = 3। वांछित उत्तर अर्थात शेषफल 3 है तथा अपूर्ण भागफल 4 है।

उत्तर:(− 17) : (− 5) = 4 (शेष 3).

पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने के परिणाम की जाँच करना

संख्याओं को शेषफल से विभाजित करने के बाद जाँच करना आवश्यक है। इस जाँच में 2 चरण शामिल हैं। सबसे पहले, शेष d को गैर-नकारात्मकता के लिए जांचा जाता है, स्थिति 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण 9

निर्मित प्रभाग - 521 बटा - 12। भागफल 44 है, शेषफल 7 है। एक जाँच चलाएँ.

समाधान

चूँकि शेषफल एक धनात्मक संख्या है, इसका मान भाजक के मापांक से कम है। भाजक -12 है, इसलिए इसका मापांक 12 है। आप अगली चौकी पर जा सकते हैं।

शर्त के अनुसार, हमारे पास है कि a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 . यहां से हम b c + d की गणना करते हैं, जहां b c + d = - 12 44 + 7 = - 528 + 7 = - 521। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि समानता सत्य है। चेक पास हो गया.

उदाहरण 10

विभाजन की जाँच करें (− 17) : 5 = − 3 (शेष − 2). क्या समानता सत्य है?

समाधान

प्रथम चरण का तात्पर्य यह है कि पूर्णांकों के विभाजन को शेषफल से जाँचना आवश्यक है। इससे पता चलता है कि कार्रवाई गलत तरीके से की गई थी, क्योंकि शेषफल -2 के बराबर दिया गया है। शेष कोई ऋणात्मक संख्या नहीं है.

हमारा मानना ​​है कि दूसरी शर्त पूरी हो गई है, लेकिन इस मामले के लिए अपर्याप्त है।

उत्तर:नहीं।

उदाहरण 11

संख्या - 19 को - 3 से विभाजित करें। आंशिक भागफल 7 है और शेषफल 1 है। जांचें कि क्या यह गणना सही है.

समाधान

1 का शेषफल दिया गया है। वह सकारात्मक है. मान विभाजक मॉड्यूल से कम है, जिसका अर्थ है कि पहला चरण पूरा हो गया है। आइए दूसरे चरण पर चलते हैं।

आइए अभिव्यक्ति b · c + d के मान की गणना करें। शर्त के अनुसार, हमारे पास वह b = - 3, c = 7, d = 1 है, इसलिए, संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें b c + d = - 3 7 + 1 = - 21 + 1 = - मिलता है। 20. इसका तात्पर्य यह है कि a = b · c + d समानता संतुष्ट नहीं है, क्योंकि शर्त a = - 19 दी गई है।

इसका तात्पर्य यह है कि विभाजन त्रुटिवश किया गया है।

उत्तर:नहीं।

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इस लेख में हम विश्लेषण करेंगे शेषफल के साथ पूर्णांक विभाजन. आइए पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने के सामान्य सिद्धांत से शुरुआत करें, शेषफल से पूर्णांकों की विभाज्यता पर एक प्रमेय बनाएं और सिद्ध करें, लाभांश, भाजक, आंशिक भागफल और शेषफल के बीच संबंध का पता लगाएं। आगे, हम उन नियमों की घोषणा करेंगे जिनके द्वारा पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित किया जाता है, और उदाहरणों को हल करते समय इन नियमों के अनुप्रयोग पर विचार करेंगे। उसके बाद, हम सीखेंगे कि पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने के परिणाम की जाँच कैसे करें।

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पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने का सामान्य विचार

शेषफल के साथ पूर्णांकों के विभाजन को हम प्राकृतिक संख्याओं के शेष के साथ विभाजन के सामान्यीकरण के रूप में मानेंगे। यह इस तथ्य के कारण है कि प्राकृतिक संख्याएँ पूर्णांकों का एक घटक हैं।

आइए उन शब्दों और संकेतन से शुरू करें जो विवरण में उपयोग किए गए हैं।

प्राकृतिक संख्याओं को शेषफल के साथ विभाजित करने के अनुरूप, हम मानते हैं कि दो पूर्णांक a और b (b शून्य के बराबर नहीं है) के शेषफल के साथ विभाजन का परिणाम दो पूर्णांक c और d है। संख्या a और b को कहा जाता है भाज्यऔर डिवाइडरक्रमशः संख्या d है शेष a को b से विभाजित करने पर पूर्णांक c कहा जाता है अपूर्ण निजी(या केवल निजीयदि शेषफल शून्य है)।

आइए सहमत हों कि शेष एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, और इसका मान b से अधिक नहीं है, अर्थात, (जब हमने तीन या अधिक पूर्णांकों की तुलना करने के बारे में बात की तो हमें असमानताओं की समान श्रृंखलाएं मिलीं)।

यदि संख्या c एक आंशिक भागफल है, और संख्या d एक पूर्णांक a को एक पूर्णांक b से विभाजित करने का शेषफल है, तो हम इस तथ्य को संक्षेप में a:b=c (शेष d) के रूप में समानता के रूप में लिखेंगे।

ध्यान दें कि जब एक पूर्णांक a को पूर्णांक b से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल शून्य हो सकता है। इस मामले में, हम कहते हैं कि a, b से विभाज्य है एक का पता लगाए बिना(या पूरी तरह). इस प्रकार, शेषफल के बिना पूर्णांकों का विभाजन, शेषफल के साथ पूर्णांकों के विभाजन का एक विशेष मामला है।

यह भी कहने योग्य है कि शून्य को किसी पूर्णांक से विभाजित करते समय, हम हमेशा बिना किसी शेषफल के विभाजन से निपटते हैं, क्योंकि इस मामले में भागफल शून्य के बराबर होगा (एक पूर्णांक द्वारा शून्य के विभाजन के सिद्धांत पर अनुभाग देखें), और शेषफल भी शून्य के बराबर होगा।

हमने शब्दावली और संकेतन पर निर्णय ले लिया है, अब पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने का अर्थ समझते हैं।

एक ऋणात्मक पूर्णांक a को एक धनात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने से भी कोई मतलब निकल सकता है। ऐसा करने के लिए, एक ऋणात्मक पूर्णांक को ऋण के रूप में मानें। आइए ऐसी स्थिति की कल्पना करें. वस्तुओं को बनाने वाले ऋण को बी लोगों द्वारा समान योगदान देकर चुकाया जाना चाहिए। इस मामले में अपूर्ण भागफल c का पूर्ण मान इनमें से प्रत्येक व्यक्ति के ऋण की राशि निर्धारित करेगा, और शेष d दिखाएगा कि ऋण चुकाने के बाद कितनी वस्तुएँ शेष रहेंगी। चलिए एक उदाहरण लेते हैं. मान लीजिए कि 2 लोगों पर 7 सेब बकाया हैं। यदि हम मान लें कि उनमें से प्रत्येक पर 4 सेब बकाया हैं, तो कर्ज चुकाने के बाद उनके पास 1 सेब बचेगा। यह स्थिति समानता (−7):2=−4 (शेष 1) से मेल खाती है।

एक मनमाना पूर्णांक के शेष भाग को एक ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने पर, हम कोई अर्थ नहीं जोड़ेंगे, लेकिन हम इसे अस्तित्व का अधिकार छोड़ देंगे।

शेषफल सहित पूर्णांकों के लिए विभाज्यता प्रमेय

जब हमने प्राकृतिक संख्याओं को शेषफल से विभाजित करने के बारे में बात की, तो हमें पता चला कि लाभांश a, भाजक b, आंशिक भागफल c और शेष d समानता a=b c+d से संबंधित हैं। पूर्णांक a, b, c और d समान संबंध साझा करते हैं। इस संबंध की पुष्टि निम्नलिखित से होती है शेषफल के साथ विभाज्यता प्रमेय.

प्रमेय.

किसी भी पूर्णांक a को एक पूर्णांक और एक गैर-शून्य संख्या b के माध्यम से a=b q+r के रूप में एक अनूठे तरीके से दर्शाया जा सकता है, जहां q और r कुछ पूर्णांक हैं, और।

सबूत।

आइए पहले हम a=b·q+r को निरूपित करने की संभावना सिद्ध करें।

यदि पूर्णांक a और b ऐसे हैं कि a, b से समान रूप से विभाज्य है, तो परिभाषा के अनुसार एक पूर्णांक q मौजूद है जैसे कि a=b q। इस मामले में, समानता a=b q+r r=0 के लिए कायम है।

अब हम मान लेंगे कि b एक धनात्मक पूर्णांक है। हम एक पूर्णांक q को इस प्रकार चुनते हैं कि गुणनफल b·q संख्या a से अधिक न हो, और गुणनफल b·(q+1) पहले से ही a से अधिक हो। अर्थात्, हम q को इस प्रकार लेते हैं कि असमानताएँ b q हैं

ऋणात्मक b के लिए a=b q+r का प्रतिनिधित्व करने की संभावना को सिद्ध करना बाकी है।

चूँकि इस मामले में संख्या b का मापांक एक धनात्मक संख्या है, तो इसके लिए एक प्रतिनिधित्व है, जहाँ q 1 कुछ पूर्णांक है, और r एक पूर्णांक है जो शर्तों को पूरा करता है। फिर, q=−q 1 मानते हुए, हम नकारात्मक b के लिए आवश्यक प्रतिनिधित्व a=b q+r प्राप्त करते हैं।

हम विशिष्टता के प्रमाण की ओर मुड़ते हैं।

मान लीजिए कि निरूपण a=b q+r के अलावा, q और r पूर्णांक हैं और, एक और निरूपण a=b q 1 +r 1 है, जहां q 1 और r 1 कुछ पूर्णांक हैं, और q 1 ≠ q और है।

पहली समानता के बाएँ और दाएँ भागों से, क्रमशः, दूसरी समानता के बाएँ और दाएँ भागों को घटाने के बाद, हमें 0=b (q−q 1)+r−r 1 प्राप्त होता है, जो समानता r− के बराबर है। आर 1 =बी (क्यू 1 − क्यू) . फिर स्वरूप की समता , और संख्या के मापांक के गुणों के कारण - और समानता .

स्थितियों से और हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं। चूँकि q और q 1 पूर्णांक हैं और q≠q 1 है, तो, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि . प्राप्त असमानताओं से और इससे स्वरूप की समानता का पता चलता है हमारी धारणा के तहत असंभव. इसलिए, a=b·q+r को छोड़कर, संख्या a का कोई अन्य प्रतिनिधित्व नहीं है।

लाभांश, भाजक, आंशिक भागफल और शेषफल के बीच संबंध

समानता a=b c+d आपको एक अज्ञात लाभांश a खोजने की अनुमति देती है यदि भाजक b, आंशिक भागफल c और शेष d ज्ञात हो। एक उदाहरण पर विचार करें.

उदाहरण।

यदि पूर्णांक -21 से भाग देने पर भागफल 5 अपूर्ण हो और 12 शेष रहे तो लाभांश किसके बराबर होगा?

समाधान।

जब हम भाजक b=−21, आंशिक भागफल c=5 और शेष d=12 जानते हैं तो हमें लाभांश a की गणना करने की आवश्यकता होती है। समानता a=b c+d की ओर मुड़ने पर, हमें a=(−21) 5+12 मिलता है। अवलोकन करते हुए, पहले हम विभिन्न चिह्नों वाले पूर्णांकों के गुणन के नियम के अनुसार पूर्णांकों -21 और 5 का गुणन करते हैं, जिसके बाद हम विभिन्न चिह्नों वाले पूर्णांकों का योग करते हैं: (−21) 5+12=−105+12 =−93 .

उत्तर:

−93 .

लाभांश, भाजक, आंशिक भागफल और शेषफल के बीच संबंध भी b=(a−d):c , c=(a−d):b और d=a−b·c रूप की समानताओं द्वारा व्यक्त किए जाते हैं। ये समानताएँ हमें क्रमशः भाजक, आंशिक भागफल और शेषफल की गणना करने की अनुमति देती हैं। जब लाभांश, भाजक और आंशिक भागफल ज्ञात हो तो हमें अक्सर पूर्णांक a को पूर्णांक b से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने की आवश्यकता होती है, सूत्र d=a−b·c का उपयोग करके। आगे के प्रश्नों से बचने के लिए, हम शेषफल की गणना के एक उदाहरण का विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

यदि आंशिक भागफल −7 ज्ञात हो तो पूर्णांक −19 को पूर्णांक 3 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

विभाजन के शेष भाग की गणना करने के लिए, हम फॉर्म d=a−b·c के सूत्र का उपयोग करते हैं। शर्त से हमारे पास सभी आवश्यक डेटा a=−19 , b=3 , c=−7 है। हमें d=a−b c=−19−3 (−7)= −19−(−21)=−19+21=2 मिलता है (अंतर −19−(−21) की गणना हमने ऋणात्मक घटाने के नियम से की है पूर्णांक ).

उत्तर:

शेष धनात्मक पूर्णांकों के साथ विभाजन, उदाहरण

जैसा कि हम पहले ही एक से अधिक बार नोट कर चुके हैं, धनात्मक पूर्णांक प्राकृतिक संख्याएँ हैं। इसलिए, धनात्मक पूर्णांकों के शेष भाग के साथ विभाजन प्राकृतिक संख्याओं के शेष के साथ विभाजन के सभी नियमों के अनुसार किया जाता है। प्राकृतिक संख्याओं के शेष भाग के साथ आसानी से विभाजन करने में सक्षम होना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह वह है जो न केवल सकारात्मक पूर्णांकों के विभाजन को रेखांकित करता है, बल्कि मनमाने पूर्णांकों के शेष के साथ सभी विभाजन नियमों का आधार भी है।

हमारे दृष्टिकोण से, एक कॉलम द्वारा विभाजन करना सबसे सुविधाजनक है, यह विधि आपको अपूर्ण भागफल (या सिर्फ एक भागफल) और शेषफल दोनों प्राप्त करने की अनुमति देती है। धनात्मक पूर्णांकों के शेषफल के साथ विभाजन के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

14671 बटा 54 के शेषफल से भाग करें।

समाधान।

आइए इन धनात्मक पूर्णांक संख्याओं को एक स्तंभ से विभाजित करें:

अपूर्ण भागफल 271 निकला और शेषफल 37 है।

उत्तर:

14 671:54=271 (शेष 37) .

किसी धनात्मक पूर्णांक के शेषफल को ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने का नियम, उदाहरण

आइए एक नियम बनाएं जो आपको धनात्मक पूर्णांक के शेष भाग को ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने की अनुमति देता है।

किसी धनात्मक पूर्णांक a को ऋणात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने का आंशिक भागफल, a को b के मापांक से विभाजित करने के आंशिक भागफल के विपरीत होता है, और a को b से विभाजित करने का शेषफल, से विभाजित करने का शेषफल होता है।

इस नियम से यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी धनात्मक पूर्णांक को ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने का अपूर्ण भागफल एक गैर-धनात्मक पूर्णांक होता है।

आइए एक धनात्मक पूर्णांक के शेष भाग को एक ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए ध्वनियुक्त नियम को एक एल्गोरिदम में बदलें:

• हम लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करते हैं, हमें अपूर्ण भागफल और शेषफल प्राप्त होता है। (यदि इस स्थिति में शेषफल शून्य के बराबर निकला, तो मूल संख्याओं को बिना शेषफल के विभाजित किया जाता है, और पूर्णांकों को विपरीत चिह्नों से विभाजित करने के नियम के अनुसार, वांछित भागफल भागफल के विपरीत संख्या के बराबर होता है मॉड्यूल को विभाजित करना।)
• हम प्राप्त अपूर्ण भागफल के विपरीत संख्या और शेषफल लिखते हैं। ये संख्याएँ क्रमशः वांछित भागफल और मूल धनात्मक पूर्णांक को ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने का शेषफल हैं।

आइए हम एक धनात्मक पूर्णांक को एक ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करने का एक उदाहरण दें।

उदाहरण।

धनात्मक पूर्णांक 17 के शेषफल को ऋणात्मक पूर्णांक −5 से विभाजित करें।

समाधान।

आइए एक धनात्मक पूर्णांक के शेषफल को एक ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित करने वाले एल्गोरिदम का उपयोग करें।

डिवाइडिंग

3 की विपरीत संख्या −3 है। इस प्रकार, 17 को −5 से विभाजित करने का आवश्यक आंशिक भागफल −3 है, और शेषफल 2 है।

उत्तर:

17 :(−5)=−3 (बाकी 2).

उदाहरण।

विभाजित करना 45 बटा -15 .

समाधान।

लाभांश और भाजक के मॉड्यूल क्रमशः 45 और 15 हैं। संख्या 45 बिना किसी शेषफल के 15 से विभाज्य है, जबकि भागफल 3 है। इसलिए, धनात्मक पूर्णांक 45 बिना किसी शेषफल के ऋणात्मक पूर्णांक −15 से विभाज्य है, जबकि भागफल 3 के विपरीत संख्या के बराबर है, अर्थात −3। दरअसल, विभिन्न चिह्नों के साथ पूर्णांकों के विभाजन के नियम के अनुसार, हमारे पास है।

उत्तर:

45:(−15)=−3 .

एक ऋणात्मक पूर्णांक के शेषफल को एक धनात्मक पूर्णांक से विभाजित करना, उदाहरण

आइए हम एक ऋणात्मक पूर्णांक के शेषफल को एक धनात्मक पूर्णांक से विभाजित करने का नियम बनाएं।

एक ऋणात्मक पूर्णांक a को एक धनात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने पर अपूर्ण भागफल c प्राप्त करने के लिए, आपको मूल संख्याओं के मॉड्यूल को विभाजित करने से अपूर्ण भागफल के विपरीत संख्या लेनी होगी और उसमें से एक घटाना होगा, जिसके बाद शेष d की गणना की जाएगी सूत्र d=a−b c का उपयोग करके।

शेषफल से विभाजन के इस नियम से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक ऋणात्मक पूर्णांक को एक धनात्मक पूर्णांक से विभाजित करने का अपूर्ण भागफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है।

ध्वनिबद्ध नियम से एक सकारात्मक पूर्णांक बी द्वारा नकारात्मक पूर्णांक के शेष भाग के साथ विभाजन एल्गोरिथ्म का पालन किया जाता है:

• हम लाभांश और भाजक के मॉड्यूल ढूंढते हैं।
• हम लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करते हैं, हमें अपूर्ण भागफल और शेषफल प्राप्त होता है। (यदि शेषफल शून्य है, तो मूल पूर्णांक शेष के बिना विभाज्य हैं, और वांछित भागफल मॉड्यूल को विभाजित करने से भागफल के विपरीत संख्या के बराबर है।)
• हम प्राप्त अपूर्ण भागफल के विपरीत संख्या लिखते हैं और उसमें से संख्या 1 घटाते हैं। परिकलित संख्या मूल ऋणात्मक पूर्णांक को धनात्मक पूर्णांक से विभाजित करने पर वांछित आंशिक भागफल c है।

आइए उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करें, जिसमें हम शेषफल के साथ लिखित विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हैं।

उदाहरण।

आंशिक भागफल और ऋणात्मक पूर्णांक -17 को धनात्मक पूर्णांक 5 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

लाभांश -17 का मापांक 17 है, और भाजक 5 का मापांक 5 है।

डिवाइडिंग 17 बटा 5, हमें 3 का अपूर्ण भागफल और 2 का शेषफल प्राप्त होता है।

3 का विपरीत −3 है। −3: −3−1=−4 में से एक घटाएँ। तो, वांछित अपूर्ण भागफल −4 है।

शेष की गणना करना बाकी है। हमारे उदाहरण में a=−17 , b=5 , c=−4 , फिर d=a−b c=−17−5 (−4)= −17−(−20)=−17+20=3 .

इस प्रकार, ऋणात्मक पूर्णांक −17 को धनात्मक पूर्णांक 5 से विभाजित करने पर आंशिक भागफल −4 होता है और शेषफल 3 होता है।

उत्तर:

(−17):5=−4 (बाकी 3) .

उदाहरण।

ऋणात्मक पूर्णांक −1 404 को धनात्मक पूर्णांक 26 से विभाजित करें।

समाधान।

लाभांश मापांक 1404 है, भाजक मापांक 26 है।

एक कॉलम में 1404 को 26 से विभाजित करें:

चूँकि लाभांश के मापांक को बिना किसी शेषफल के भाजक के मापांक से विभाजित किया गया था, मूल पूर्णांकों को बिना किसी शेषफल के विभाजित किया गया है, और वांछित भागफल 54 के विपरीत संख्या के बराबर है, अर्थात -54।

उत्तर:

(−1 404):26=−54 .

ऋणात्मक पूर्णांकों के शेषफल के साथ विभाजन नियम, उदाहरण

आइए हम ऋणात्मक पूर्णांकों के शेषफल से विभाजन नियम बनाएं।

किसी ऋणात्मक पूर्णांक a को ऋणात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने पर अपूर्ण भागफल c प्राप्त करने के लिए, आपको मूल संख्याओं के मॉड्यूल को विभाजित करने से अपूर्ण भागफल की गणना करनी होगी और उसमें एक जोड़ना होगा, उसके बाद, सूत्र d का उपयोग करके शेष d की गणना करें =a−b c .

इस नियम से यह निष्कर्ष निकलता है कि ऋणात्मक पूर्णांकों के विभाजन का अपूर्ण भागफल एक धनात्मक पूर्णांक होता है।

आइए नकारात्मक पूर्णांकों को विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम के रूप में ध्वनिबद्ध नियम को फिर से लिखें:

• हम लाभांश और भाजक के मॉड्यूल ढूंढते हैं।
• हम लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करते हैं, हमें अपूर्ण भागफल और शेषफल प्राप्त होता है। (यदि शेषफल शून्य है, तो मूल पूर्णांक शेषफल के बिना विभाज्य हैं, और वांछित भागफल विभाजक के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करने के भागफल के बराबर है।)
• हम परिणामी अपूर्ण भागफल में एक जोड़ते हैं, यह संख्या मूल ऋणात्मक पूर्णांकों को विभाजित करने से वांछित अपूर्ण भागफल है।
• सूत्र d=a−b·c का उपयोग करके शेषफल की गणना करें।

किसी उदाहरण को हल करते समय ऋणात्मक पूर्णांकों को विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

आंशिक भागफल और ऋणात्मक पूर्णांक -17 को ऋणात्मक पूर्णांक -5 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

हम शेषफल के साथ उपयुक्त विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हैं।

लाभांश मापांक 17 है, भाजक मापांक 5 है।

विभाजन 17 गुना 5 से अपूर्ण भागफल 3 और शेषफल 2 प्राप्त होता है।

हम अपूर्ण भागफल 3 में एक जोड़ते हैं: 3+1=4। इसलिए, −17 को −5 से विभाजित करने का वांछित अपूर्ण भागफल 4 है।

शेष की गणना करना बाकी है। इस उदाहरण में a=−17 , b=−5 , c=4 , फिर d=a−b c=−17−(−5) 4= −17−(−20)=−17+20=3 .

अतः, ऋणात्मक पूर्णांक −17 को ऋणात्मक पूर्णांक −5 से विभाजित करने पर आंशिक भागफल 4 होता है, और शेषफल 3 होता है।

उत्तर:

(−17):(−5)=4 (बाकी 3) .

पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने के परिणाम की जाँच करना

पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने के बाद परिणाम की जांच करना उपयोगी होता है। सत्यापन दो चरणों में किया जाता है। पहले चरण में, यह जाँच की जाती है कि शेषफल d एक गैर-ऋणात्मक संख्या है या नहीं, और स्थिति की भी जाँच की जाती है। यदि सत्यापन के पहले चरण की सभी शर्तें पूरी हो जाती हैं, तो आप सत्यापन के दूसरे चरण में आगे बढ़ सकते हैं, अन्यथा यह तर्क दिया जा सकता है कि शेषफल से विभाजित करते समय कहीं न कहीं कोई त्रुटि हुई है। दूसरे चरण में, समानता a=b·c+d की वैधता की जाँच की जाती है। यदि यह समानता सत्य है तो शेषफल सहित विभाजन सही ढंग से किया गया है, अन्यथा कहीं न कहीं त्रुटि हो गयी है।

आइए उन उदाहरणों के समाधानों पर विचार करें जिनमें पूर्णांकों को शेषफल से विभाजित करने के परिणाम की जाँच की जाती है।

उदाहरण।

संख्या -521 को -12 से विभाजित करने पर आंशिक भागफल 44 और शेषफल 7 था, परिणाम की जाँच करें।

समाधान। −2 के लिए b=−3 , c=7 , d=1 . हमारे पास है b c+d=−3 7+1=−21+1=−20. इस प्रकार, समानता a=b c+d गलत है (हमारे उदाहरण में a=−19 )।

इसलिए, शेषफल के साथ विभाजन गलत तरीके से किया गया था।