График линейного уравнения с двумя переменными. График уравнения с модулем

Страница 2

Построить график уравнения х+у=3 и с помощью графика узнать несколько решений этого уравнения.

Далее внимание учащихся обращается на то, что график линейного уравнения с двумя переменными с двумя переменными проще строить, если уравнение преобразовано к виду y=kx+b, для которого употребляется термин «линейная функция». Позднее им сообщается, что существуют и другие функции, например у=х2 (ее изучению посвящена глава 7).

В учебнике вводятся теоремы без доказательства, например:

Теорема 2. Графиком линейной функции y=kx+b является прямая.

Теорема 4. Прямая, служащая графиком линейной функции y=kx+b, параллельна прямой, служащей графиком прямой пропорциональности y=kx.

С квадратичной функцией учащиеся в учебниках Ш.А. Алимова впервые сталкиваются в 8 классе.

В §35 учащиеся знакомятся с определением квадратичной функции. Даются примеры из жизни, где имеет место быть квадратичная функция. Например, зависимость площади квадрата от его стороны является примером функции y=x2.

В §36 предлагается рассмотреть функцию y=x2, т.е. квадратичную функцию y=ax2+bx+c при, а=1, b=0, с=0.

Для построения функции составляется таблица, а затем точки отмечаются на координатной плоскости и соединяются. График функции y=x2 называется параболой.

После чего выясняются некоторые свойства функции y=x2.

В §37 учащимся предлагается построить график функции y=ax2. Сравнивается графики функций y=ax2 и y=x2. Говорят, что график функции y=аx2 получается растяжением графика функции y=x2 от оси Ох вдоль оси Оу в а раз.

Рассматриваются свойства функции y=ax2, где а¹0

1) если а>0, то функция y=ax2 принимает положительные значения при х¹0;

если а<0, то функция y=ax2 принимает отрицательные значения при х¹0;

2) Парабола y=ax2 симметрична относительно оси ординат;

3) Если а>0, то функция y=ax2 возрастает при х³0 убывает и при х£0;

Если а<0, то функция y=ax2 убывает при х³0 и возрастает при х£0.

В §38 автор предлагает построить график квадратичной функции. Для этого предлагается использовать метод выделения полного квадрата (получили у=(х+т)2+п), а затем сравнить полученный график с графиком функции у=х2. Делается вывод что мы получаем параболу сдвинутую на т единиц по оси Ох и на п единиц по оси Оу.

В §39 приводится алгоритм построения графика любой квадратичной функции y=ax2+bx+c:

Построить вершину параболы (х0, у0), вычислив х0, у0 по формулам .

Провести через вершину параболы прямую параллельную оси ординат, - ось симметрии параболы.

Найти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы.

Построить две какие-то точки параболы, симметричные относительно ее оси. Для этого надо взять две точки на оси, симметричные относительно точки х0 (х0 ¹ 0), и вычислить соответствующие значения функции (эти значения одинаковы). Например, можно построить точки параболы с абсциссами х=0 и х=2х0 (ординаты этих точек равны с)

Провести через построенные точки параболу.

При изучении темы формируются умения определять по графику промежутки возрастания функции, промежутки знакопостоянства, нули функции. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции и решение задач с их применением не входит в число обязательных.

В заключении, учащимся предоставляется возможность еще раз повторить решение систем двух уравнений, одно из которых первой, а другое второй степени.

В учебниках Ю.Н. Макарычева и др. с функцией y=x2 учащиеся впервые сталкиваются в 7 классе. Все сведения рассматриваются в этом параграфе аналогично учебнику Ш.А. Алимова за 8 класс.

Нарисуйте числовую линию. Поскольку для изображения неравенства с одной переменной достаточно одной оси, нет необходимости рисовать прямоугольную систему координат. Вместо этого просто проведите прямую линию.

Изобразите неравенство. Это довольно просто, так как имеется всего лишь одна координата. Предположим, необходимо изобразить неравенство x <1. Для начала следует найти на оси число 1.

• Если неравенство задается знаком > или < (“больше” или “меньше”), обведите заданное число пустым кружком.
• Если неравенство задается знаком ≥ {\displaystyle \geq } (“больше или равно”) или ≤ {\displaystyle \leq } (“меньше или равно”), закрасьте кружок вокруг точки.

1. Проведите линию. Проведите линию из только что отмеченной точки на числовой оси. Если переменная больше данного числа, отложите линию вправо. Если переменная меньше, проведите линию влево. На конце линии поставьте стрелку, чтобы показать, что она не является конечным отрезком и продолжается дальше.

   Проверьте ответ. Подставьте вместо переменной x какое-либо число и отметьте его положение на числовой оси. Если это число лежит на проведенной вами линии, график верен.

График линейного неравенства

Используйте формулу прямой линии. Подобная формула использовалась выше для обычных линейных уравнений, однако в данном случае вместо знака ‘=’ следует поставить знак неравенства. Это может быть один из следующих знаков: <, >, ≤ {\displaystyle \leq } или ≥ {\displaystyle \geq } .

• Уравнение прямой линии имеет вид y=mx+b , где m соответствует наклону, а b - пересечению с осью y.
• Знак неравенства означает, что данное выражение имеет множество решений.

1. Изобразите неравенство. Найдите точку пересечения прямой с осью y и ее наклон, после чего отметьте соответствующие координаты. В качестве примера рассмотрим неравенство y >1/2x +1. В этом случае прямая будет пересекать ось y при x =1, а ее наклон составит ½, то есть при движении вправо на 2 единицы мы будем подниматься вверх на 1 единицу.

   Проведите линию. Перед этим посмотрите на знак неравенства. Если это < или >, следует провести пунктирную линию. Если в неравенстве стоит знак ≤ {\displaystyle \leq } или ≥ {\displaystyle \geq } , линия должна быть сплошной.

   Заштрихуйте график. Так как неравенство имеет множество решений, на графике следует показать все возможные решения. Это означает, что следует заштриховать область над линией или под ней.

График квадратного уравнения

Посмотрите на формулу. В квадратном уравнении хотя бы одна переменная возводится в квадрат. Обычно квадратное уравнение записывается в следующем виде: y=ax 2 +bx+c .

• При построении графика квадратного уравнения у вас получится парабола, то есть кривая в виде латинской буквы ‘U’.
• Для построения параболы необходимо знать координаты хотя бы трех точек, в том числе вершины параболы (ее центральной точки).

1. Определите a, b и c. Например, в уравнении y=x 2 +2x+1 a =1, b =2 и c =1. Каждый параметр представляет собой число, которое стоит перед переменной в соответствующей степени. Например, если перед x не стоит никакого числа, значит b =1, поскольку соответствующее слагаемое можно записать в виде 1x .

   Найдите вершину параболы. Чтобы найти среднюю точку параболы, используйте выражение -b /2a . Для нашего примера получаем -2/2(1), то есть -1.

   Составьте таблицу. Итак, мы знаем, что координата x вершины равна -1. Однако это лишь одна координата. Чтобы найти соответствующую ей координату y , а также две другие точки параболы, необходимо составить таблицу.

   Постройте таблицу из трех строк и двух столбцов.

   • Запишите координату x вершины параболы в центральной ячейке левого столбца.
   • Выберите еще две координаты x на одинаковом расстоянии слева и справа (в отрицательную и положительную стороны вдоль горизонтальной оси). Например, можно отступить от вершины на 2 единицы влево и вправо, то есть записать в соответствующих ячейках -3 и 1.
   • Можно выбрать любые целые числа, которые отстоят от вершины на равном расстоянии.
   • Если вы хотите построить более точный график, вместо трех можно взять пять точек. В этом случае следует делать то же самое, только таблица будет состоять не из трех, а из пяти строк.

2. Используйте уравнение и таблицу, чтобы найти неизвестные координаты y . Берите по одной координате x из таблицы, подставляйте ее в заданное уравнение и находите соответствующую координату y.

   • В нашем случае мы подставляем в уравнение y =x 2 +2x +1 вместо x -3. В результате находим y = -3 2 +2(-3)+1, то есть y =4.
   • Записываем найденную координату y в ячейке возле соответствующей ей координаты x.
   • Найдите таким образом все три (или пять, если вы используете больше точек) координаты y .

3. Нанесите на график точки. Итак, у вас получилось по крайней мере три точки с известными координатами, которые можно отметить на графике. Соедините их кривой в форме параболы. Готово!

График квадратного неравенства

Постройте график параболы. В квадратном неравенстве используется формула, аналогичная квадратному уравнению, однако вместо знака ‘=’ стоит знак неравенства. Например, квадратное неравенство может выглядеть следующим образом: y x 2 +bx +c. Используйте шаги из предыдущего метода “График квадратного уравнения” и найдите три точки параболы.

Линейное уравнение с двумя переменными - любое уравнение, которое имеет следующий вид: a*x + b*y =с . Здесь x и y есть две переменные, a,b,c - некоторые числа.

Решением линейного уравнения a*x + b*y = с, называется любая пара чисел (x,y) которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Линейное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Если каждую пару чисел, которые являются решением линейного уравнения с двумя переменными, изобразить на координатной плоскости в виде точек, то все эти точки образуют график линейного уравнения с двумя переменными. Координатами точками будут служить наши значения x и у. При этом значение х будет являться абсциссой, а значение у - ординатой.

График линейного уравнения с двумя переменными

Графиком линейного уравнения с двумя переменными называется множество всевозможных точек координатной плоскости, координаты которых будут являться решениями этого линейного уравнения. Несложно догадаться, что график будет представлять собой прямую линию. Поэтому такие уравнения и называются линейными.

Алгоритм построения

Алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменным.

1. Начертить координатные оси, подписать их и отметить единичный масштаб.

2. В линейном уравнении положить х = 0, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

3. В линейном уравнении в качестве у взять число 0, и решить полученное уравнение относительно х. Отметить полученную точку на графике

4. При необходимости взять произвольное значение х, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

5. Соединить полученные точки, продолжить график за них. Подписать получившуюся прямую.

Пример: Построить график уравнения 3*x - 2*y =6;

Положим х=0, тогда - 2*y =6; y= -3;

Положим y=0, тогда 3*x = 6; x=2;

Отмечаем полученные точки на графике, проводим через них прямую и подписываем её. Посмотрите на рисунок ниже, график должен получиться именно таким.

Вы знаете, что каждой упорядоченной паре чисел соответствует определенная точка на координатной плоскости. Поскольку каждое решение уравнения с двумя переменными х и у - это упорядоченная пара чисел, то все его решения можно изобразить точками па координатной плоскости. В этих точек абсцисса - это значение переменной х, а ордината - соответствующее значение переменной у. Следовательно, получим график уравнения с двумя переменными.

Запомните!

Графиком уравнения с двумя переменными называется изображение на координатной плоскости всех точек, координаты которых удовлетворяют данное уравнение.

Посмотрите на рисунки 64 и 65. Вы видите график уравнения 0,5 x - у = 2, где х - четное одноцифрове число (рис. 64), и график уравнения х 2 + у 2 = 4 (рис. 65). Первый график содержит всего четыре точки, поскольку переменные х и у могут принимать только четыре значения. Второй же график является линией на координатной плоскости. Он содержит множество точек, поскольку переменная х может принимать любые значения от -2 до 2 и таких чисел - множество. Соответствующих значений в тоже множество. Они изменяются от 2 до 2.

На рисунке 66 показан график уравнения х + у = 4. В отличие от графика уравнения х 2 + у 2 = 4 (см. рис. 65), каждой абсцисі точек данного графика соответствует единственная ордината. А это означает, что на рисунке 66 изображен график функции. Убедитесь самостоятельно, что график уравнения на рисунке 64 также является графиком функции.

Обратите внимание

не у каждого уравнение его график является графиком функции, однако каждый график функции является графиком некоторого уравнения.

Уравнение x + y = 4 является линейным уравнением с двумя переменными. Решив его относительно у, получим: у = -х + 4. Полученное равенство можно понимать как формулу, которая задает линейную функцию у = -х + 4. Графиком такой функции является прямая. Итак, графиком линейного уравнения х + у = 4, который изображен на рисунке 66, есть прямая.

Можно ли утверждать, что график любого линейного уравнения с двумя переменными является прямой? Нет. Например, линейное уравнение 0 ∙ х + 0 ∙ у = 0 удовлетворяет любая пара чисел, а потому график этого уравнения содержит все точки координатной плоскости.

Выясним, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными ах + bу + с = 0 в зависимости от значений коэффициентов а, b и с. Возможны такие случаи.

Пусть a ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 можно представить в виде:

Получили равенство, задающее линейную функцию у(х). Ее графику, а значит, и графиком данного уравнения является прямая, не проходящая через начало координат (рис. 67).

2. Пусть а ≠ 0, b ≠ 0, с = 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид ах + by + 0 = 0, или у = х.

Получили равенство, что задает прямую пропорциональность у(х). Ее графику, а значит, и графиком данного уравнения является прямая, проходящая через начало координат (рис. 68).

3. Пусть a ≠ 0, b = 0, с ≠ 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид ах + 0 ∙ у + с = 0, или х = -.

Получили равенство не задает функцию y(). Это равенство удовлетворяют такие пары чисел (х; у), в которых х = , а у - любое число. На координатной плоскости эти точки лежат на прямой, параллельной оси OY. Итак, графиком данного уравнения является прямая, параллельная оси ординат (рис. 69).

4. Пусть a ≠ 0, b = 0, с = 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид ах + 0 ∙ у + 0 = 0, или х = 0.

Это равенство удовлетворяют такие пары чисел (x; у), в которых х = 0, а у - любое число. На координатной плоскости эти точки лежат на оси OY. Итак, графиком данного уравнения с прямая, совпадающая с осью ординат.

5. Пусть а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠0. Тогда уравнение ах + bу + с = 0 приобретает вид 0 ∙ х + by + с = 0, или у = -. Это равенство задает функцию y(x), что приобретает тех же значений для любых значений x, то есть является постоянной. Ее графику, а значит, и графиком данного уравнения является прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 70).

6. Пусть а = 0, b ≠ 0, с = 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид 0 ∙ х + by + 0 = 0, или в = 0. Получили постоянную функцию у(х), в которой каждая точка графика лежит на оси ОХ. Итак, графиком данного уравнения является прямая, совпадающая с осью абсцисс.

7. Пусть a = 0, b = 0, с ≠ 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид 0 ∙ х + 0 ∙ у + с = 0, или 0 ∙ х + 0 ∙ в = с. А такое линейное уравнение не имеет решений, поэтому его график не содержит ни одной точки координатной плоскости.

8. Пусть а = 0, b = 0, с = 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид 0 ∙ х + 0 ∙ y + 0 = 0, или 0 ∙ х + 0 ∙ у = 0. А такое линейное уравнение имеет множество решений, поэтому его с графиком-вся координатная плоскость.

Можем подытожить полученные результаты.

График линейного уравнения с двумя переменными ах + bу +с = 0:

Является прямой, если а ≠ 0 или b ≠ 0;

Является всей плоскостью, если а = 0, b = 0 и с = 0;

Не содержит ни одной точки координатной плоскости, если а = 0, b = 0 и с ≠ 0.

Задача. Постройте график уравнения 2х - у - 3 = 0

Решения. Уравнения 2х - у - 3 = 0 является линейным. Поэтому его графиком является прямая у = 2х - 3. Для ее построения достаточно задать две точки, принадлежащие этой прямой. Составим таблицу значений у для двух произвольных значений х, например, для х = 0 и х = 2(табл. 27).

Таблица 27

На координатной плоскости обозначим точки с координатами (0; -3) и (2; 1) и проведем через них прямую (рис. 70). Эта прямая - искомый график уравнения 2х - у - 3 = 0.

Можно ли отождествлять график линейного уравнения с двумя переменными и график уравнения первой степени с двумя переменными? Нет, поскольку существуют линейные уравнения не являются уравнениями первой степени. Например, таковыми являются уравнение 0 ∙ х + 0 ∙ у + с = 0, 0 ∙ х + 0 ∙ у + 0 = 0.

Обратите внимание:

График линейного уравнения с двумя переменными может быть прямой, всей плоскостью или не содержать ни одной точки координатной плоскости;

График уравнения первой степени с двумя переменными всегда является прямой.

Узнайте больше

1. Пусть а ≠ 0. Тогда общее решение уравнения можно представить еще и в таком виде: Х = - у -. Получили линейную функцию х(у). Ее графиком является прямая. Для построения такого графика надо по-другому состковать оси координат: первой координатной осью (независимой переменной) считать ось ОУ, а второй (зависимой переменной)

Ось ОХ. Тогда ось ОУ удобно расположить горизонтально, а ось ОХ

Вертикально (рис. 72). График уравнения в этом случае тоже будет по-разному размещаться на координатной плоскости в зависимости отмечаний коэффициентов b и с. Исследуйте это самостоятельно.

2. Николай Николаевич Боголюбов (1909-1992) - выдающийся отечественный математик и механик, физик-теоретик, основатель научных школ по нелинейной механике и теоретической физике, академик АН УССР (1948) и АН СССР (с 1953). Родился в г. Нижний Новгород Российской империи. В 1921 г. семья переехала в Киев. После окончания семилетней школы Боголюбов самостоятельно изучал физику и математику и с 14-ти лет уже принимал участие в семинаре кафедры математической физики Киевского университета под руководством академика Д. А. Граве. В 1924 г. в 15-летнем возрасте Боголюбов написал первую научную работу, а в следующем году был принят в аспирантуру АНУРСР к академикам. М. Крылова, которую закончил в 1929 г., получив в 20 лет степень доктора математических наук.

В 1929 p. М.М. Боголюбов стал научным сотрудником Украинской академии наук, в 1934 начал преподавать в Киевском университете (с 1936 г. - профессор). С конца 40-х годов XX века. одновременно работал в России. Был директором Объединенного института ядерных исследований, а впоследствии - директором Математического института имени. А. Стеклова в Москве, преподавал в Московском государственном университете имени Михаила Ломоносова. В 1966 г. стал первым директором созданного им Института теоретической физики АН УССР в Киеве, одновременно (1963-1988) он - академик - секретарь Отдела математики АН СССР.

М.М. Боголюбов -дважды Герой Социалистического Труда (1969,1979), награжден Ленинской премией (1958), Государственной премией СССР (1947.1953,1984), Золотой медалью им. М. В. Ломоносова АН СССР (1985).

21 сентября 2009 г. на фасаде Красного корпуса Киевского национального университета имени Тараса Шевченко была открыта мемориальная доска гениальному ученому-академику Николаю Боголюбову в честь столетия со дня его рождения.

В 1992 г. Национальной академией наук Украины была основана Премия НАН Украины имени Н. М. Боголюбова, которая вручается Отделением математики НАН Украины за выдающиеся научные работы в области математики и теоретической физики. В честь ученого была названа малая планета «22616 Боголюбов».

ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ

1. Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?

2. В любом случае графиком уравнения с двумя переменными является прямая; плоскость?

3. В каком случае график линейного уравнения с двумя переменными проходит через начало координат?

РЕШИТЕ ЗАДАЧИ

1078 . На каком из рисунков 73-74 изображен график линейного уравнения с двумя переменными? Ответ объясните.

1079 . При каких значений коэффициентов а, b и с прямая ах + bу + с =0.

1) проходит через начало координат;

2) параллельна оси абсцисс;

3) параллельна оси ординат;

4) совпадает с осью абсцисс;

5) совпадает с осью ординат?

1080 . Не выполняя построения, определите, принадлежит графику линейного уравнения с двумя переменными 6х - 2у + 1 = 0 точка:

1)А(-1;2,5); 2)В(0;3,5); 3) С(-2; 5,5); 4)D(1,5;5).

1081 . Не выполняя построения, определите, принадлежит графику линейного уравнения с двумя переменными 3х + 3у - 5 = 0 точка:

1) A (-1; ); 2) B (0; 1).

1082

1) 2х + у - 4 = 0, если х = 0; 3) 3х + 3у - 1 = 0, если х = 2;

2) 4х - 2y + 5 = 0, если х = 0; 4)-5х - у + 6 = 0, если х = 2.

1083 . Для данного линейного уравнения с двумя переменными найдите значение у, соответствующее заданному значению х:

1)3х - у + 2 = 0, если х = 0; 2) 6х - 5y - 7 = 0, если х = 2.

1084

1) 2х + у - 4 = 0; 4) -х + 2у + 8 = 0; 7) 5х - 10 = 0;

2) 6х - 2y + 12 = 0; 5)-х - 2у + 4 = 0; 8)-2у + 4 = 0;

3) 5х - 10y = 0; 6)х - у = 0; 9) х - у = 0.

1085 . Постройте график линейного уравнения с двумя переменными:

1) 4х + у - 3 = 0; 4) 10х - 5у - 1 = 0;

2) 9х - 3у + 12 = 0; 5) 2х + 6 = 0;

3)-4х - 8у = 0; 6) у - 3 = 0.

1086 . Найдите координаты точки пересечения графика линейного уравнения с двумя переменными 2х - 3у - 18 = 0 с осью:

1) оси; 2) оси.

1087 . Найдите координаты точки пересечения графика линейного уравнения с двумя переменными 5х + 4у - 20 = 0 с осью:

1) оси; 2) оси.

1088 . На прямой, которая является графиком уравнения 0,5 х + 2у - 4 = 0, обозначено точку. Найдите ординату этой точки, если ее абсцисса равна:

5) 4(х - у) = 4 - 4у;

6) 7х - 2у = 2(1 + 3,5 х).

1094 . График линейного уравнения с двумя переменными проходит через точку А(3; -2). Найдите неизвестный коэффициент уравнения:

1) ах + 3у - 3 = 0;

2) 2х - by + 8 = 0;

3)-х + 3у - с = 0.

1095 . Определите вид четырехугольника, вершинами которого являются точки пересечения графиков уравнений:

х - y + 4 = 0, х - у - 4 = 0, -х - у + 4 = 0, -х - у - 4 = 0

1096 . Постройте график уравнения:

1) а - 4b + 1 = 0; 3) 3a + 0 ∙ b - 12 = 0;

2) 0 ∙ а + 2b + 6 = 0; 4) 0 ∙ a + 0 ∙ b + 5 = 0.

ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ

1097 . Составьте линейное уравнение с двумя переменными по следующим данным: 1) 3 кг конфет и 2 кг печенья стоят 120 грн; 2) 2 ручки дороже 5 карандашей на 20 грн. Постройте график составленного уравнения.

1098 . Постройте график уравнения к задаче о: 1) количество девушек и парней в вашем классе; 2) покупку тетрадей в линейку и в клеточку.

ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ

1099. Турист прошел 12 км за час. За сколько часов турист преодолеет расстояние 20 км с такой же скоростью движения?

1100. Какой должна быть скорость поезда по новому расписанию, чтобы он мог проехать расстояние между двумя станциями за 2,5 ч, если согласно старого расписания, двигаясь со скоростью 100 км/ч он преодолевал ее за 3 ч?