Формула e mc2 что значит. Энергоинформ — альтернативная энергетика, энергосбережение, информационно-компьютерные технологии

Физический смысл формулы E = mc 2

Вряд ли найдётся взрослый человек, не знающий эту формулу. Иногда её даже называют самой знаменитой формулой в мире. Она стала известной человечеству после того, как Эйнштейн создал свою теорию относительности. Согласно Эйнштейну, его формула показывает не просто связь между материей и энергией, а равнозначность материи и энергии. Иными словами, по этой формуле энергия может превратиться в материю, а материя может превратиться в энергию.

Но мне известна и другая формула (да и не только мне, а всем специалистам по тепловым процессам): Q = mr, где Q — количество тепла, m — масса, r — теплота фазового перехода. Любые фазовые переходы (испарение и конденсация, плавление и кристаллизация, абляция и сухая возгонка) описываются этой формулой. При подводе тепла в количестве Q (или его отводе) в новое фазовое состояние переходит такое количество вещества m, которое прямо пропорционально количеству тепла Q и обратно пропорционально теплоте фазового перехода r. А тепло — это разновидность энергии. Но никто и никогда не делал из этого факта вывод, будто в вещество превращается само тепло, то есть энергия. Почему же с формулой E = mc 2 произошла такая пертурбация?

Когда мне удалось получить формулу энергии физического вакуума, вот тогда мне и удалось ответить на этот вопрос. Оказалось, что в самом общем виде энергия физического вакуума описывается этой известной формулой E = mc 2 . А её физический смысл в точности совпадает с физическим смыслом формулы Q = mr: когда мы подводим к вакууму (или эфиру, как его называли раньше) энергию в количестве Е, вакуум порождает такое количество вещества m, которое прямо пропорционально подведённой энергии Е и обратно пропорционально энергии фазового перехода с 2 . Иными словами, никакого перехода энергии в вещество или материю не наблюдается.

А причина допущенной Эйнштейном ошибки относительно физического смысла его формулы заключается в отрицании им реального существования эфира-физвакуума. Если мы полагаем, что эфир не существует, тогда у нас получится, что вещество рождается в самом настоящем смысле слова из пустоты. Но каждому понятно, что из ничего получить что-то невозможно. Поэтому приходится искать иной источник появления вещества. Вследствие того, что данный процесс рождения вещества описывается формулой E = mc 2 , физики настолько привыкают иметь дело с энергией, что начинают воспринимать её как нечто реально существующее, а не характеристику, коей она всего лишь и является. И отсюда остаётся всего лишь один шаг, чтобы заявить о преобразовании в вещество самой энергии.

Скептики могут возразить мне тем, что мои рассуждения опровергаются результатами экспериментов. Мол, эксперименты на ускорителях показывают, что масса элементарных частиц увеличивается с ростом скорости, то есть с ростом энергии, подводимой к частице для увеличения её скорости. И из этого факта делается вывод, будто в данных экспериментах энергия преобразуется в массу. Но когда я поднял информацию о том, как именно выполнялись эти и другие похожие эксперименты, то обнаружил интересную вещь: оказывается, за всю историю научных изысканий ни в одном эксперименте не измеряли массу напрямую, но всегда измеряли затраты энергии, а затем перебрасывали энергию на массу по формуле E = mc 2 и говорили об увеличении массы. Однако, можно предложить иное объяснение повышенным затратам энергии в опытах на ускорителе: подводимая к частице энергия преобразуется не в массу частицы, а в преодоление сопротивления окружающего нас эфира-физвакуума. Когда любой объект (и элементарная частица тоже) движется ускоренно, он своим неравномерным движением деформирует эфир-вакуум, а тот отвечает на это созданием сил сопротивления, для преодоления которых требуется затратить энергию. И чем больше будет скорость объекта, тем больше будет деформация эфира-вакуума, тем больше будут силы сопротивления, тем больше понадобится энергии для их преодоления.

Для того, чтобы выяснить, какая концепция верна (традиционная в виде увеличения массы с увеличением скорости или альтернативная в форме преодоления сил сопротивления эфира-вакуума), необходимо поставить такой эксперимент, в котором масса движущейся частицы измерялась бы напрямую без измерения затрат энергии. Но каков должен быть этот эксперимент, я пока не придумал. Может, придумает кто-то другой?

И. А. Прохоров

Полная и окончательная формулировка современной теории относительности содержится в большой статье Альберта Эйнштейна «К электродинамике движущихся тел», опубликованной в 1905 году. Если говорить об истории создания теории относительности, то у Эйнштейна были предшественники. Отдельные важные вопросы теории исследовались в работах Х.Лоренца, Дж.Лармора, А.Пуанкаре, а также некоторых других физиков. Однако теория относительности как физическая теория до появления работы Эйнштейна не существовала. Работа Эйнштейна отличается от предшествующих работ совершенно новым пониманием как отдельных сторон теории, так и всей теории как целого, таким пониманием, которого не было в работах его предшественников.

Теория относительности заставила пересмотреть многие основные представления физики. Относительность одновременности событий, различия в ходе движущихся и покоящихся часов, отличия в длине движущейся и покоящейся линеек — эти и многие другие следствия теории относительности неразрывно связаны с новыми по сравнению с ньютоновской механикой представлениями о пространстве и времени, а также о взаимной связи пространства и времени.

Одно из важнейших следствий теории относительности — знаменитое соотношение Эйнштейна между массой m покоящегося тела и запасом энергии Е в этом теле:

E = m c 2 , (1 )

где с — скорость света.

(Это соотношение называют по-разному. На Западе для него принято название «соотношение эквивалентности между массой и энергией». У нас долгое время было принято более осторожное название «соотношение взаимосвязи между массой и энергией». Сторонники этого более осторожного названия избегают слова «эквивалентность», тождественность, потому что, говорят они, масса и энергия — это разные качества вещества, они могут быть связаны между собой, но не тождественны, не эквивалентны. Мне кажется, что эта осторожность является излишней. Равенство E = mc 2 говорит само за себя. Из него следует, что массу можно измерять в единицах энергии, а энергию — в единицах массы. Кстати, так физики и поступают. А утверждение, что масса и энергия — это разные характеристики вещества, было справедливо в механике Ньютона, а в механике Эйнштейна само соотношение E = mc 2 говорит о тождественности этих двух величин — массы и энергии. Можно, конечно, сказать, что соотношение между массой и энергией не означает их тождественности. Но это все равно, что сказать, глядя на равенство 2 = 2: это не тождество, а соотношение между разными двойками, потому что справа стоит правая двойка, а слева — левая.)

Соотношение (1) обычно выводится из уравнения движения тела в эйнштейновской механике, но этот вывод достаточно труден для ученика средней школы. Поэтому имеет смысл попытаться найти простой вывод этой формулы.

Сам Эйнштейн, сформулировав в 1905 году основы теории относительности в статье «К электродинамике движущихся тел», затем вернулся к вопросу о соотношении между массой и энергией. В том же 1905 году он опубликовал короткую заметку «Зависит ли инерция тела от содержащейся в нем энергии?». В этой статье он дал вывод соотношения E = mc 2 , который опирается не на уравнение движения, а, как и приведенный ниже вывод, на эффект Доплера. Но этот вывод тоже довольно сложный.

Вывод формулы E = mc 2 , который мы хотим вам предложить, не основан на уравнении движения и, кроме того, является достаточно простым, так что школьники старших классов могут его одолеть — для этого почти не потребуется знаний, выходящих за пределы школьной программы. На всякий случай мы приведем все сведения, которые нам понадобятся. Это сведения об эффекте Доплера и о фотоне — частице электромагнитного поля. Но предварительно оговорим одно условие, которое будем считать выполненным и на которое будем опираться при выводе.

Условие малости скоростей

Мы будем предполагать, что тело массой m , с которым мы будем иметь дело, либо покоится (и тогда, очевидно, скорость его равна нулю), либо, если оно движется, то со скоростью υ , малой по сравнению со скоростью света с . Иными словами, мы будем предполагать, что отношение υ c скорости тела к скорости света есть величина малая по сравнению с единицей. Однако мы будем считать отношение υ c хотя и малой, но не пренебрежимо малой величиной — будем учитывать величины, пропорциональные первой степени отношения υ c , но будем пренебрегать вторыми и более высокими степенями этого отношения. Например, если при выводе нам придется иметь дело с выражением 1 − υ 2 c 2 , мы будем пренебрегать величиной υ 2 c 2 по сравнению с единицей:

1 − υ 2 c 2 = 1 , υ 2 c 2 ≪ υ c ≪ 1. (2 )

В этом приближении получаются соотношения, которые на первый взгляд могут показаться странными, хотя ничего странного в них нет, надо только помнить, что соотношения эти не являются точными равенствами, а справедливы с точностью до величины υ c включительно, величинами же порядка υ 2 c 2 мы пренебрегаем. В таком предположении справедливо, например, следующее приближенное равенство:

1 1 − υ c = 1 + υ c , υ 2 c 2 ≪ 1. (3 )

Действительно, умножим обе части этого приближенного равенства на 1 − υ c . Мы получим

1 = 1 − υ 2 c 2 ,

т.е. приближенное равенство (2). Поскольку мы считаем, что величина υ 2 c 2 пренебрежимо мала в сравнении с единицей, мы видим, что в приближении υ 2 c 2 ≪ 1 равенство (3) справедливо.

Аналогично, нетрудно доказать в том же приближении равенство

1 1 + υ c = 1 − υ c . (4 )

Чем меньше величина υ c , тем точнее эти приближенные равенства.

Мы не случайно будем использовать приближение малых скоростей. Нередко приходится слышать и читать, что теория относительности должна применяться в случае больших скоростей, когда отношение скорости тела к скорости света имеет порядок единицы, при малых же скоростях применима механика Ньютона. На самом деле теория относительности не сводится к механике Ньютона даже в случае сколь угодно малых скоростей. Мы это увидим, доказав соотношение E = mc 2 для покоящегося или очень медленно движущегося тела. Механика Ньютона такого соотношения дать не может.

Оговорив малость скоростей по сравнению со скоростью света, перейдем к изложению некоторых сведений, которые понадобятся нам при выводе формулы E = mc 2 .

Эффект Доплера

Мы начнем с явления, которое называется по имени австрийского физика Кристиана Доплера, открывшего это явление в середине позапрошлого века.

Рассмотрим источник света, причем будем считать, что источник движется вдоль оси x со скоростью υ . Предположим для простоты, что в момент времени t = 0 источник проходит через начало координат, т.е. через точку х = 0. Тогда положение источника в любой момент времени t определяется формулой

x = υ t .

Предположим, что далеко впереди излучающего тела на оси x помещен наблюдатель, который следит за движением тела. Ясно, что при таком расположении тело приближается к наблюдателю. Допустим, что наблюдатель взглянул на тело в момент времени t . В этот момент до наблюдателя доходит световой сигнал, излученный телом в более ранний момент времени t’ . Очевидно, момент излучения должен предшествовать моменту приема, т.е. должно быть t’ < t .

Определим связь между t’ и t . В момент излучения t’ тело находится в точке x ′ = υ t ′ , a наблюдатель пусть находится в точке х = L . Тогда расстояние от точки излучения до точки приема равно L − υ t ′ , а время, за которое свет пройдет такое расстояние, равно L − υ t ′ c . Зная это, мы легко можем записать уравнение, связывающее t’ и t :

t = t ′ + L − υ t ′ c . t ′ = t − L c 1 − υ c . (5 )

Таким образом, наблюдатель, глядя на движущееся тело в момент времени t , видит это тело там, где оно находилось в более ранний момент времени t’ , причем связь между t и t’ определяется формулой (5).

Предположим теперь, что яркость источника периодически меняется по закону косинуса. Обозначим яркость буквой I . Очевидно, I есть функция времени, и мы можем, учитывая это обстоятельство, записать

I = I 0 + I 1 cos ω t (I 0 > I 1 > 0 ) ,

где I 0 и I 1 — некоторые постоянные, не зависящие от времени. Неравенство в скобках необходимо потому, что яркость не может быть отрицательной величиной. Но для нас в данном случае это обстоятельство не имеет никакого значения, поскольку в дальнейшем нас будет интересовать только переменная составляющая — второе слагаемое в формуле для I (t ).

Пусть наблюдатель смотрит на тело в момент времени t . Как уже было сказано, он видит тело в состоянии, соответствующем более раннему моменту времени t’ . Переменная часть яркости в момент t’ пропорциональна cos ωt’ . С учетом соотношения (5) получаем

cos ω t ′ = cos ω t − L c 1 − υ c = cos ( ω t 1 − υ c − ω L c 1 1 − υ c ) .

Коэффициент при t под знаком косинуса дает частоту изменения яркости, как ее видит наблюдатель. Обозначим эту частоту через ω’ , тогда

ω ′ = ω 1 − υ c . (6 )

Если источник покоится (υ = 0), то ω’ = ω , т.е. наблюдатель воспринимает ту же самую частоту, что излучается источником. Если же источник движется к наблюдателю (в этом случае наблюдатель принимает излучение, направленное вперед по движению источника), то принимаемая частота ω’ ω , причем принимаемая частота больше излучаемой.

Случай, когда источник движется от наблюдателя, можно получить, изменив знак перед υ в соотношении (6). Видно, что тогда принимаемая частота оказывается меньше излучаемой.

Можно сказать, что вперед излучаются большие частоты, а назад — малые (если источник удаляется от наблюдателя, то наблюдатель, очевидно, принимает излучение, испущенное назад).

В несовпадении частоты колебаний источника и частоты, принимаемой наблюдателем, и состоит эффект Доплера. Если наблюдатель находится в системе координат, в которой источник покоится, то излучаемая и принимаемая частоты совпадают. Если же наблюдатель находится в системе координат, в которой источник движется со скоростью υ , то связь излучаемой и принимаемой частот определяется формулой (6). При этом мы предполагаем, что наблюдатель всегда покоится.

Как видно, связь между излучаемой и принимаемой частотами определяется скоростью v относительного движения источника и наблюдателя. В этом смысле безразлично, кто движется — источник приближается к наблюдателю или наблюдатель к источнику. Но нам в дальнейшем удобнее будет считать, что наблюдатель покоится.

Строго говоря, в разных системах координат время течет по-разному. Изменение хода времени также сказывается на величине наблюдаемой частоты. Если,например, частота колебаний маятника в системе координат, где он покоится, равна ω , то в системе координат, где он движется со скоростью υ , частота равна ω 1 − υ 2 c 2 − − − − − √ . К такому результату приводит теория относительности. Но поскольку мы с самого начала условились пренебрегать величиной υ 2 c 2 по сравнению с единицей, то изменение хода времени для нашего случая (движение с малой скоростью) пренебрежимо мало.

Таким образом, наблюдение за движущимся телом имеет свои особенности. Наблюдатель видит тело не там, где оно находится (пока сигнал идет к наблюдателю, тело успевает переместиться), и принимает сигнал, частота которого ω’ отличается от излучаемой частоты ω .

Выпишем теперь окончательные формулы, которые понадобятся нам в дальнейшем. Если движущийся источник излучает вперед по направлению движения, то частота ω’ , принятая наблюдателем, связана с частотой источника ω соотношением

ω ′ = ω 1 − υ c = ω ( 1 + υ c ) , υ c ≪ 1. (7 )

Для излучения назад имеем

ω ′ = ω 1 + υ c = ω ( 1 − υ c ) , υ c ≪ 1. (8 )

Энергия и импульс фотона

Современное представление о частице электромагнитного поля — фотоне, как и формула E = mc 2 , которую мы собираемся доказать, принадлежит Эйнштейну и было высказано им в том же 1905 году, в котором он доказал эквивалентность массы и энергии. Согласно Эйнштейну, электромагнитные и, в частности, световые волны состоят из отдельных частиц — фотонов. Если рассматривается свет некоторой определенной частоты ω , то каждый фотон имеет энергию E , пропорциональную этой частоте:

E = ℏ ω .

Коэффициент пропорциональности ℏ называется постоянной Планка. По порядку величины постоянная Планка равна 10 -34 , размерность ее Дж·с. Мы здесь не выписываем точного значения постоянной Планка, оно нам не понадобится.

Иногда вместо слова «фотон» говорят «квант электромагнитного поля».

Фотон имеет не только энергию, но и импульс, равный

p = ℏ ω c = E c .

Этих сведений нам будет достаточно для дальнейшего.

Вывод формулы E = mc 2

Рассмотрим покоящееся тело массой m . Предположим, что это тело одновременно излучает два фотона в прямо противоположных направлениях. Оба фотона имеют одинаковые частоты ω и, значит, одинаковые энергии E = ℏ ω , а также равные по величине и противоположные по направлению импульсы. В результате излучения тело теряет энергию

Δ E = 2 ℏ ω . (9 )

Потеря импульса равна нулю, и, следовательно, тело после излучения двух квантов остается в покое.

Этот мысленный опыт представлен на рисунке 1. Тело изображено кружком, а фотоны — волнистыми линиями. Один из фотонов излучается в положительном направлении оси x , другой — в отрицательном. Около волнистых линий приведены значения энергии и импульса соответствующих фотонов. Видно, что сумма излученных импульсов равна нулю.

Рис.1. Картина двух фотонов в системе отсчета, в которой излучающее тело покоится: а) тело до излучения; б) после излучения

Рассмотрим теперь ту же картину с точки зрения наблюдателя, который движется по оси x влево (т.е. в отрицательном направлении оси x ) с малой скоростью υ . Такой наблюдатель увидит уже не покоящееся тело, а тело, движущееся с малой скоростью вправо. Величина этой скорости равна υ , а направлена скорость в положительном направлении оси x . Тогда частота, излучаемая вправо, будет определяться формулой (7) для случая излучения вперед:

ω ′ = ω ( 1 + υ c ) .

Мы частоту фотона, излучаемого движущимся телом вперед по направлению движения, обозначили через ω’ , чтобы не спутать эту частоту с частотой ω излучаемого фотона в той системе координат, где тело покоится. Соответственно, частота фотона, излучаемого движущимся телом влево, определяется формулой (8) для случая излучения назад:

ω ′′ = ω ( 1 − υ c ) .

Чтобы не перепутать излучение вперед и излучение назад, мы будем величины, относящиеся к излучению назад, обозначать двумя штрихами.

Поскольку, из-за эффекта Доплера, частоты излучения вперед и назад различны, энергия и импульс у излученных квантов также будут различаться. Квант, излученный вперед, будет иметь энергию

E ′ = ℏ ω ′ = ℏ ω ( 1 + υ c )

и импульс

p ′ = ℏ ω ′ c = ℏ ω c ( 1 + υ c ) .

Квант, излученный назад, будет иметь энергию

E ′′ = ℏ ω ′′ = ℏ ω ( 1 − υ c )

и импульс

p ′′ = ℏ ω ′′ c = ℏ ω c ( 1 − υ c ) .

При этом импульсы квантов направлены в противоположные стороны.

Картина процесса излучения, каким его видит движущийся наблюдатель, изображена на рисунке 2.

Рис.2. Картина двух фотонов в системе отсчета, где скорость излучающего тела равна υ : а) тело до излучения; б) после излучения

Важно здесь подчеркнуть, что на рисунках 1 и 2 изображен один и тот же процесс, но с точки зрения разных наблюдателей. Первый рисунок относится к случаю, когда наблюдатель покоится относительно излучающего тела, а второй — когда наблюдатель движется.

Подсчитаем баланс энергии и импульса для второго случая. Потеря энергии в системе координат, где излучатель имеет скорость υ , равна

Δ E ′ = E ′ + E ′′ = ℏ ω ( 1 + υ c ) + ℏ ω ( 1 − υ c ) = 2 ℏ ω = Δ E ,

т.е. она такая же, как и в системе, где излучатель покоится (см. формулу (9)). Но потеря импульса в системе, где излучатель движется, не равна нулю, в отличие от системы покоя:

Δ p ′ = p ′ − p ′′ = ℏ ω c ( 1 + υ c ) − ℏ ω c ( 1 1 υ c ) = 2 ℏ ω c υ c = Δ E c 2 υ . (10 )

Движущийся излучатель теряет импульс Δ E υ c 2 и, следовательно, должен, казалось бы, тормозиться, уменьшать свою скорость. Но в системе покоя излучение симметрично, излучатель не меняет скорости. Значит, скорость излучателя не может измениться и в той системе, где он движется. А если скорость тела не меняется, то как оно может потерять импульс?

Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, как записывается импульс тела массой m :

p = m υ

— импульс равен произведению массы тела на его скорость. Если скорость тела не меняется, то его импульс может измениться только за счет изменения массы:

Δ p = Δ m υ

Здесь Δp — изменение импульса тела при неизменной скорости, Δm — изменение его массы.

Это выражение для потери импульса надо приравнять к выражению (10), которое связывает потерю импульса с потерей энергии. Мы получим формулу

Δ E c 2 υ = Δ m υ , Δ E = Δ m c 2 ,

которая означает, что изменение энергии тела влечет за собой пропорциональное изменение его массы. Отсюда легко получить соотношение между полной массой тела и полным запасом энергии:

E = m c 2 .

Открытие этой формулы явилось огромным шагом вперед в понимании природных явлений. Само по себе осознание эквивалентности массы и энергии есть великое достижение. Но полученная формула, помимо того, имеет широчайшее поле применения. Распад и слияние атомных ядер, рождение и распад частиц, превращения элементарных частиц одна в другую и множество других явлений требуют для своего объяснения учета формулы связи между массой и энергией.

Если взять обычную пальчиковую батарейку из пульта от телевизора, и превратить ее в энергию, то точно такую же энергию можно получить от 250 миллиардов таких же батареек, если использовать их по-старинке. Не очень хороший получается КПД.

А то и означает, что масса и энергия - это одно и то же. То есть масса - это частный случай энергии. Энергию, заключенную в массе чего угодно, можно посчитать по этой простой формуле.

Скорость света - это очень много. Это 299 792 458 метров в секунду или, если вам так удобнее, 1 079 252 848,8 километров в час. Из-за этой большой величины получается, что если превратить чайный пакетик целиком в энергию, то этого хватит, чтобы вскипятить 350 миллиардов чайников.

У меня есть пара грамм вещества, где мне получить мою энергию?

Перевести всю массу предмета в энергию можно, только если вы где-нибудь найдете столько же антиматерии. А ее получить в домашних условиях проблематично , этот вариант отпадает.

Термоядерный синтез

Существует очень много природных термоядерных реакторов, вы можете их наблюдать, просто . Солнце и другие звезды - это и есть гигантские термоядерные реакторы.

Другой способ откусить от материи хоть сколько-то массы и превратить ее в энергию - это произвести термоядерный синтез . Берем два ядра водорода, сталкиваем их, получаем одно ядро гелия. Весь фокус в том, что масса двух ядер водорода немного больше, чем масса одного ядра гелия. Вот эта масса и превращается в энергию.

Но тут тоже не так все просто: ученые еще не научились поддерживать реакцию управляемого ядерного синтеза, промышленный термоядерный реактор фигурирует только в самых оптимистичных планах на середину этого столетия.

Ядерный распад

Ближе к реальности - реакция ядерного распада. Она вовсю используется в . Это когда два больших ядра атома распадаются на два маленьких. При такой реакции масса осколков получается меньше массы ядра, пропавшая масса и уходит в энергию.

Ядерный взрыв - это тоже ядерный распад, но неуправляемый, прекрасная иллюстрация этой формулы.

Горение

Превращение массы в энергию вы можете наблюдать прямо у вас в руках. Зажгите спичку - и вот она. При некоторых химических реакциях, например, горения, выделяется энергия от потери массы. Но она очень мала по сравнению с реакцией распада ядра, и вместо ядерного взрыва у вас в руках происходит просто горение спички.

Более того, когда вы поели, еда через сложные химические реакции благодаря мизерной потере массы отдает энергию, которую вы потом используете, чтобы сыграть в настольный теннис, ну или на диване перед телеком, чтобы поднять пульт и переключить канал.

Так что, когда вы едите бутерброд, часть его массы превратится в энергию по формуле E=mc 2 .

Болотовский Б. Простой вывод формулы E = mc 2 //Квант. - 2005. - № 6. - С. 2-7.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Введение

Теория относительности заставила пересмотреть многие основные представления физики. Относительность одновременности событий, различия в ходе движущихся и покоящихся часов, отличия в длине движущейся и покоящейся линеек - эти и многие другие следствия теории относительности неразрывно связаны с новыми по сравнению с ньютоновской механикой представлениями о пространстве и времени, а также о взаимной связи пространства и времени.

Одно из важнейших следствий теории относительности - знаменитое соотношение Эйнштейна между массой m покоящегося тела и запасом энергии Е в этом теле:

\(~E = mc^2, \qquad (1)\)

где с - скорость света.

(Это соотношение называют по-разному. На Западе для него принято название «соотношение эквивалентности между массой и энергией». У нас долгое время было принято более осторожное название «соотношение взаимосвязи между массой и энергией». Сторонники этого более осторожного названия избегают слова «эквивалентность», тождественность, потому что, говорят они, масса и энергия - это разные качества вещества, они могут быть связаны между собой, но не тождественны, не эквивалентны. Мне кажется, что эта осторожность является излишней. Равенство E = mc 2 говорит само за себя. Из него следует, что массу можно измерять в единицах энергии, а энергию - в единицах массы. Кстати, так физики и поступают. А утверждение, что масса и энергия - это разные характеристики вещества, было справедливо в механике Ньютона, а в механике Эйнштейна само соотношение E = mc 2 говорит о тождественности этих двух величин - массы и энергии. Можно, конечно, сказать, что соотношение между массой и энергией не означает их тождественности. Но это все равно, что сказать, глядя на равенство 2 = 2: это не тождество, а соотношение между разными двойками, потому что справа стоит правая двойка, а слева - левая.)

Вывод формулы E = mc 2 , который мы хотим вам предложить, не основан на уравнении движения и, кроме того, является достаточно простым, так что школьники старших классов могут его одолеть - для этого почти не потребуется знаний, выходящих за пределы школьной программы. На всякий случай мы приведем все сведения, которые нам понадобятся. Это сведения об эффекте Доплера и о фотоне - частице электромагнитного поля. Но предварительно оговорим одно условие, которое будем считать выполненным и на которое будем опираться при выводе.

Условие малости скоростей

Мы будем предполагать, что тело массой m , с которым мы будем иметь дело, либо покоится (и тогда, очевидно, скорость его равна нулю), либо, если оно движется, то со скоростью υ , малой по сравнению со скоростью света с . Иными словами, мы будем предполагать, что отношение \(~\frac{\upsilon}{c}\) скорости тела к скорости света есть величина малая по сравнению с единицей. Однако мы будем считать отношение \(~\frac{\upsilon}{c}\) хотя и малой, но не пренебрежимо малой величиной - будем учитывать величины, пропорциональные первой степени отношения \(~\frac{\upsilon}{c}\), но будем пренебрегать вторыми и более высокими степенями этого отношения. Например, если при выводе нам придется иметь дело с выражением \(~1 - \frac{\upsilon^2}{c^2}\), мы будем пренебрегать величиной \(~\frac{\upsilon^2}{c^2}\) по сравнению с единицей:

\(~1 - \frac{\upsilon^2}{c^2} = 1, \ \frac{\upsilon^2}{c^2} \ll \frac{\upsilon}{c} \ll 1. \qquad (2)\)

В этом приближении получаются соотношения, которые на первый взгляд могут показаться странными, хотя ничего странного в них нет, надо только помнить, что соотношения эти не являются точными равенствами, а справедливы с точностью до величины \(~\frac{\upsilon}{c}\) включительно, величинами же порядка \(~\frac{\upsilon^2}{c^2}\) мы пренебрегаем. В таком предположении справедливо, например, следующее приближенное равенство:

\(~\frac{1}{1 - \frac{\upsilon}{c}} = 1 + \frac{\upsilon}{c}, \ \frac{\upsilon^2}{c^2} \ll 1. \qquad (3)\)

Действительно, умножим обе части этого приближенного равенства на \(~1 - \frac{\upsilon}{c}\). Мы получим

\(~1 = 1 - \frac{\upsilon^2}{c^2},\)

т.е. приближенное равенство (2). Поскольку мы считаем, что величина \(~\frac{\upsilon^2}{c^2}\) пренебрежимо мала в сравнении с единицей, мы видим, что в приближении \(~\frac{\upsilon^2}{c^2} \ll 1\) равенство (3) справедливо.

Аналогично, нетрудно доказать в том же приближении равенство

\(~\frac{1}{1 + \frac{\upsilon}{c}} = 1 - \frac{\upsilon}{c}. \qquad (4)\)

Чем меньше величина \(~\frac{\upsilon}{c}\), тем точнее эти приближенные равенства.

Эффект Доплера

\(~x = \upsilon t.\)

Определим связь между t’ и t . В момент излучения t’ тело находится в точке \(~x" = \upsilon t"\), a наблюдатель пусть находится в точке х = L . Тогда расстояние от точки излучения до точки приема равно \(~L - \upsilon t"\), а время, за которое свет пройдет такое расстояние, равно \(~\frac{L - \upsilon t"}{c}\). Зная это, мы легко можем записать уравнение, связывающее t’ и t :

\(~t = t" + \frac{L - \upsilon t"}{c}.\)

\(~t" = \frac{t - \frac Lc}{1 - \frac{\upsilon}{c}}. \qquad (5)\)

\(~I = I_0 + I_1 \cos \omega t \ (I_0 > I_1 > 0),\)

где I 0 и I 1 - некоторые постоянные, не зависящие от времени. Неравенство в скобках необходимо потому, что яркость не может быть отрицательной величиной. Но для нас в данном случае это обстоятельство не имеет никакого значения, поскольку в дальнейшем нас будет интересовать только переменная составляющая - второе слагаемое в формуле для I (t ).

\(~\cos \omega t" = \cos \omega \frac{t - \frac Lc}{1 - \frac{\upsilon}{c}} = \cos \left(\frac{\omega t}{1 - \frac{\upsilon}{c}} - \omega \frac Lc \frac{1}{1 - \frac{\upsilon}{c}}\right).\)

\(~\omega" = \frac{\omega}{1 - \frac{\upsilon}{c}}. \qquad (6)\)

Можно сказать, что вперед излучаются большие частоты, а назад - малые (если источник удаляется от наблюдателя, то наблюдатель, очевидно, принимает излучение, испущенное назад).

Как видно, связь между излучаемой и принимаемой частотами определяется скоростью v относительного движения источника и наблюдателя. В этом смысле безразлично, кто движется - источник приближается к наблюдателю или наблюдатель к источнику. Но нам в дальнейшем удобнее будет считать, что наблюдатель покоится.

Строго говоря, в разных системах координат время течет по-разному. Изменение хода времени также сказывается на величине наблюдаемой частоты. Если,например, частота колебаний маятника в системе координат, где он покоится, равна ω , то в системе координат, где он движется со скоростью υ , частота равна \(~\omega \sqrt{1 - \frac{\upsilon^2}{c^2}}\). К такому результату приводит теория относительности. Но поскольку мы с самого начала условились пренебрегать величиной \(~\frac{\upsilon^2}{c^2}\) по сравнению с единицей, то изменение хода времени для нашего случая (движение с малой скоростью) пренебрежимо мало.

\(~\omega" = \frac{\omega}{1 - \frac{\upsilon}{c}} = \omega \left(1 + \frac{\upsilon}{c} \right), \ \frac{\upsilon}{c} \ll 1. \qquad (7)\)

Для излучения назад имеем

\(~\omega" = \frac{\omega}{1 + \frac{\upsilon}{c}} = \omega \left(1 - \frac{\upsilon}{c} \right), \ \frac{\upsilon}{c} \ll 1. \qquad (8)\)

Энергия и импульс фотона

Современное представление о частице электромагнитного поля - фотоне, как и формула E = mc 2 , которую мы собираемся доказать, принадлежит Эйнштейну и было высказано им в том же 1905 году, в котором он доказал эквивалентность массы и энергии. Согласно Эйнштейну, электромагнитные и, в частности, световые волны состоят из отдельных частиц - фотонов. Если рассматривается свет некоторой определенной частоты ω , то каждый фотон имеет энергию E , пропорциональную этой частоте:

\(~E = \hbar \omega .\)

Коэффициент пропорциональности \(~\hbar\) называется постоянной Планка. По порядку величины постоянная Планка равна 10 -34 , размерность ее Дж·с. Мы здесь не выписываем точного значения постоянной Планка, оно нам не понадобится.

Иногда вместо слова «фотон» говорят «квант электромагнитного поля».

Фотон имеет не только энергию, но и импульс, равный

\(~p = \frac{\hbar \omega}{c} = \frac Ec .\)

Этих сведений нам будет достаточно для дальнейшего.

Вывод формулы E = mc 2

Рассмотрим покоящееся тело массой m . Предположим, что это тело одновременно излучает два фотона в прямо противоположных направлениях. Оба фотона имеют одинаковые частоты ω и, значит, одинаковые энергии \(~E = \hbar \omega\), а также равные по величине и противоположные по направлению импульсы. В результате излучения тело теряет энергию

\(~\Delta E = 2 \hbar \omega. \qquad (9)\)

Потеря импульса равна нулю, и, следовательно, тело после излучения двух квантов остается в покое.

Этот мысленный опыт представлен на рисунке 1. Тело изображено кружком, а фотоны - волнистыми линиями. Один из фотонов излучается в положительном направлении оси x , другой - в отрицательном. Около волнистых линий приведены значения энергии и импульса соответствующих фотонов. Видно, что сумма излученных импульсов равна нулю.

\(~\omega" = \omega \left(1 + \frac{\upsilon}{c} \right).\)

\(~\omega"" = \omega \left(1 - \frac{\upsilon}{c} \right).\)

\(~E" = \hbar \omega" = \hbar \omega \left(1 + \frac{\upsilon}{c} \right)\)

и импульс

\(~p" = \frac{\hbar \omega"}{c} = \frac{\hbar \omega}{c} \left(1 + \frac{\upsilon}{c} \right).\)

Квант, излученный назад, будет иметь энергию

\(~E"" = \hbar \omega"" = \hbar \omega \left(1 - \frac{\upsilon}{c} \right)\)

и импульс

\(~p"" = \frac{\hbar \omega""}{c} = \frac{\hbar \omega}{c} \left(1 - \frac{\upsilon}{c} \right).\)

При этом импульсы квантов направлены в противоположные стороны.

Картина процесса излучения, каким его видит движущийся наблюдатель, изображена на рисунке 2.

Важно здесь подчеркнуть, что на рисунках 1 и 2 изображен один и тот же процесс, но с точки зрения разных наблюдателей. Первый рисунок относится к случаю, когда наблюдатель покоится относительно излучающего тела, а второй - когда наблюдатель движется.

\(~\Delta E" = E" + E"" = \hbar \omega \left(1 + \frac{\upsilon}{c} \right) + \hbar \omega \left(1 - \frac{\upsilon}{c} \right) = 2 \hbar \omega = \Delta E,\)

\(~\Delta p" = p" - p"" = \frac{\hbar \omega}{c} \left(1 + \frac{\upsilon}{c} \right) - \frac{\hbar \omega}{c} \left(1 1 \frac{\upsilon}{c} \right) = \frac{2 \hbar \omega}{c} \frac{\upsilon}{c} = \frac{\Delta E}{c^2} \upsilon. \qquad (10)\)

Движущийся излучатель теряет импульс \(~\frac{\Delta E \upsilon}{c^2}\) и, следовательно, должен, казалось бы, тормозиться, уменьшать свою скорость. Но в системе покоя излучение симметрично, излучатель не меняет скорости. Значит, скорость излучателя не может измениться и в той системе, где он движется. А если скорость тела не меняется, то как оно может потерять импульс?

Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, как записывается импульс тела массой m :

\(~p = m \upsilon\)

Импульс равен произведению массы тела на его скорость. Если скорость тела не меняется, то его импульс может измениться только за счет изменения массы:

\(~\Delta p = \Delta m \upsilon\)

Здесь Δp - изменение импульса тела при неизменной скорости, Δm - изменение его массы.

\(~\frac{\Delta E}{c^2}\upsilon = \Delta m \upsilon,\)

\(~\Delta E = \Delta m c^2,\)

\(~E = mc^2.\)

В заключение - два домашних задания для любителей теории относительности.

Прочитайте статью А.Эйнштейна «Зависит ли инерция тела от содержащейся в нем энергии?» .
Попробуйте самостоятельно вывести соотношение \(~\Delta m = \frac{\Delta E}{c^2}\) для случая системы отсчета, скорость которой υ может быть не малой по сравнению со скоростью света с . Указание . Используйте точную формулу для импульса частицы: \(~p = \frac{m \upsilon}{\sqrt{1 - \frac{\upsilon^2}{c^2}}}\) и точную формулу для эффекта Доплера: \(~\omega" = \omega \sqrt{\frac{1 + \frac{\upsilon}{c}}{1 - \frac{\upsilon}{c}}},\) которая получается, если учесть различие в ходе времени в покоящейся и движущейся системах отсчета.