محاسبه حدود یک تابع با حل دقیق. محدودیت توالی و عملکرد

حل مسائل مربوط به یافتن حدود هنگام حل مسائل مربوط به یافتن حدود، باید برخی از محدودیت ها را به خاطر بسپارید تا هر بار آنها را مجدداً محاسبه نکنید. با ترکیب این محدودیت های شناخته شده، محدودیت های جدیدی را با استفاده از ویژگی های ذکر شده در § 4 پیدا خواهیم کرد. برای راحتی بیشتر، محدودیت‌هایی که اغلب با آن مواجه می‌شوند را ارائه می‌کنیم: محدودیت‌ها 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L، = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a)، اگر f (x) پیوسته است x a اگر معلوم شود تابع پیوسته است، به جای یافتن حد، مقدار تابع را محاسبه می کنیم. مثال 1. lim (x*-6l:+ 8) را پیدا کنید. از آنجایی که تابع چندمجموعه X->2 پیوسته است، پس lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 مثال 2. پیدا کنید lim -G. . ابتدا حد مخرج را پیدا می کنیم: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; برابر X-Y1 صفر نیست، به این معنی که می توانیم ویژگی 4 § 4 را اعمال کنیم، سپس x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. حد از مخرج X X برابر با صفر است، بنابراین، خاصیت 4 از § 4 را نمی توان اعمال کرد. از آنجایی که صورت یک عدد ثابت است و مخرج [x2x) -> -0 برای x - - 1، پس کل کسر به طور نامحدود افزایش می یابد. مقدار مطلق، یعنی lim " 1 X - * - - 1 x* + x مثال 4. lim\-ll*" را پیدا کنید!"" "حد مخرج صفر است: lim (xr-6lg+ 8) = 2*- 6-2 + 8 = 0، بنابراین ویژگی X 4 § 4 قابل اجرا نیست. اما حد شمارنده نیز برابر با صفر است: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. بنابراین، حدود صورت و مخرج به طور همزمان برابر با صفر است. با این حال، عدد 2 ریشه هر دو صورت و مخرج است، بنابراین کسر را می توان با اختلاف x-2 کاهش داد (طبق قضیه بزوت). در واقع، x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" بنابراین، xr- - f- 6 g x-3 -1 1 مثال 5. lim xn (n عدد صحیح، مثبت) را بیابید. X با ما xn = X* X داریم. . X، n برابر از آنجایی که هر عامل بدون محدودیت رشد می کند، محصول نیز بدون محدودیت رشد می کند، یعنی lim xn = oo. x oo مثال 6. lim xn(n عدد صحیح، مثبت) را پیدا کنید. X -> - CO ما xn = x x... x داریم. از آنجایی که هر عامل در قدر مطلق رشد می کند در حالی که منفی باقی می ماند، پس در مورد یک درجه زوج، محصول به طور نامحدود رشد می کند در حالی که مثبت باقی می ماند، یعنی lim *n = + oo (برای زوج n). *-* -о در مورد یک درجه فرد، قدر مطلق حاصل افزایش می یابد، اما منفی می ماند، یعنی lim xn = - oo (برای n فرد). p -- 00 مثال 7. lim را پیدا کنید. x x-*- co * اگر m>pu پس می توانیم بنویسیم: m = n + kt که در آن k>0. بنابراین xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x - x> A x yu به مثال 6 رسیدیم. If ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x -* yu A X -> co در اینجا صورتگر ثابت می ماند و مخرج در مقدار مطلق رشد می کند، بنابراین lim -ь = 0. شکل زیر: تابع توان هر چه سریعتر رشد کند، توان بزرگتر است. $хв_Зхг + 7 مثال 8. lim g L -г-= را پیدا کنید. در این مثال x-*® «J* "Г bХ -ох-о و صورت و مخرج بدون محدودیت افزایش می یابند. اجازه دهید هم صورت و هم را تقسیم کنیم. مخرج با بالاترین توان x، یعنی روی xb، سپس 3 7_ مثال 9. لیر را پیدا کنید... با انجام تبدیل ها، لیر را به دست می آوریم... ^ = lim X CO + 3 7 3 از آنجایی که lim -5 = 0، lim - ، = 0، سپس حد مخرج rad-*® X X-+-CD X صفر است، در حالی که حد شمارنده 1 است. در نتیجه، کل کسر بدون حد افزایش می یابد، یعنی t. 7x hm X-+ yu مثال 10. lim را پیدا کنید اجازه دهید حد S مخرج را محاسبه کنیم، به یاد داشته باشیم که تابع cos*-مستمر است: لیر (2 + cos x) = 2 + cozy = 2. سپس x->- S lim (l-fsin*) مثال 15. یافتن lim *<*-e>2 و lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO پرس (l: - a)2 = z; از آنجایی که (Λ;-a)2 همیشه به صورت غیر منفی و بدون محدودیت با x رشد می کند، سپس برای x - ±oo متغیر جدید z-*oc. بنابراین qt £ را بدست می آوریم<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (به یادداشت §5 مراجعه کنید). g -*■ co به طور مشابه lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q، زیرا x ± oo g m - (x-a)z بدون محدودیت به صورت x ->±oo کاهش می یابد (به یادداشت § مراجعه کنید

محدودیت ها برای همه دانش آموزان ریاضی دردسرهای زیادی ایجاد می کند. برای حل یک محدودیت، گاهی اوقات باید از ترفندهای زیادی استفاده کنید و از بین انواع روش های حل، دقیقاً روشی را انتخاب کنید که برای یک مثال خاص مناسب است.

در این مقاله به شما در درک محدودیت‌های توانایی‌های خود یا درک محدودیت‌های کنترل کمک نمی‌کنیم، اما سعی می‌کنیم به این سوال پاسخ دهیم: چگونه محدودیت‌ها را در ریاضیات بالاتر درک کنیم؟ درک با تجربه به دست می آید، بنابراین در عین حال چندین مثال مفصل از حل حدود را با توضیحات ارائه خواهیم کرد.

مفهوم حد در ریاضیات

سؤال اول این است: این حد چیست و حد چیست؟ ما می توانیم در مورد محدودیت های دنباله های عددی و توابع صحبت کنیم. ما به مفهوم حد یک تابع علاقه مندیم، زیرا این همان چیزی است که دانش آموزان اغلب با آن مواجه می شوند. اما ابتدا کلی ترین تعریف از حد:

فرض کنید مقداری متغیر وجود دارد. اگر این مقدار در فرآیند تغییر به طور نامحدود به عدد خاصی نزدیک شود آ ، آن آ - حد این مقدار

برای تابعی که در یک بازه مشخص تعریف شده است f(x)=y چنین عددی حد نامیده می شود آ ، که تابع زمانی به آن تمایل دارد ایکس ، به یک نقطه خاص تمایل دارد آ . نقطه آ متعلق به بازه ای است که تابع در آن تعریف می شود.

دست و پا گیر به نظر می رسد، اما بسیار ساده نوشته شده است:

لیم- از انگلیسی حد- حد.

یک توضیح هندسی نیز برای تعیین حد وجود دارد، اما در اینجا ما به تئوری نمی پردازیم، زیرا ما بیشتر به جنبه عملی موضوع علاقه داریم تا جنبه نظری. وقتی این را می گوییم ایکس به مقداری تمایل دارد، این بدان معناست که متغیر مقدار یک عدد را نمی گیرد، بلکه به آن بی نهایت نزدیک می شود.

بیایید یک مثال خاص بزنیم. وظیفه یافتن حد است.

برای حل این مثال، مقدار را جایگزین می کنیم x=3 به یک تابع ما گرفتیم:

به هر حال، اگر علاقه مند هستید، مقاله جداگانه ای در این زمینه بخوانید.

در نمونه ها ایکس می تواند به هر ارزشی گرایش داشته باشد. می تواند هر عدد یا بی نهایت باشد. در اینجا یک مثال زمانی است ایکس به بی نهایت تمایل دارد:

بطور شهودی، هرچه عدد در مخرج بزرگتر باشد، مقدار تابع کوچکتر خواهد بود. بنابراین، با رشد نامحدود ایکس معنی 1/x کاهش می یابد و به صفر نزدیک می شود.

همانطور که می بینید، برای حل محدودیت، فقط باید مقدار مورد نظر را در تابع جایگزین کنید ایکس . با این حال، این ساده ترین مورد است. اغلب یافتن محدودیت چندان واضح نیست. در محدوده ها عدم قطعیت هایی از نوع وجود دارد 0/0 یا بی نهایت/بی نهایت . در چنین مواقعی چه باید کرد؟ توسل به ترفندها!

عدم قطعیت های درون

عدم قطعیت شکل بی نهایت/بی نهایت

بگذارید یک محدودیت وجود داشته باشد:

اگر بخواهیم بی نهایت را جایگزین تابع کنیم، هم در صورت و هم در مخرج بی نهایت می گیریم. به طور کلی، شایان ذکر است که عنصر خاصی از هنر در حل چنین عدم قطعیت هایی وجود دارد: باید توجه داشته باشید که چگونه می توانید عملکرد را به گونه ای تغییر دهید که عدم قطعیت از بین برود. در مورد ما، صورت و مخرج را بر تقسیم می کنیم ایکس در مقطع ارشد چه اتفاقی خواهد افتاد؟

از مثالی که قبلاً در بالا توضیح داده شد، می دانیم که عبارت های حاوی x در مخرج به صفر تمایل دارند. سپس راه حل حد این است:

برای حل عدم قطعیت نوع بی نهایت/بی نهایتصورت و مخرج را تقسیم بر ایکسبه بالاترین درجه

راستی! برای خوانندگان ما اکنون 10٪ تخفیف در نظر گرفته شده است

نوع دیگری از عدم قطعیت: 0/0

مثل همیشه، جایگزینی مقادیر در تابع x=-1 می دهد 0 در صورت و مخرج کمی دقیق تر نگاه کنید متوجه می شوید که یک معادله درجه دوم در صورتگر داریم. بیایید ریشه ها را پیدا کنیم و بنویسیم:

کم کنیم و بگیریم:

بنابراین، اگر با عدم قطعیت نوع مواجه هستید 0/0 - صورت و مخرج را فاکتور بگیرید.

برای آسان‌تر کردن حل مثال‌ها، جدولی با محدودیت‌های برخی از توابع ارائه می‌کنیم:

حکومت L'Hopital در داخل

راه قدرتمند دیگری برای از بین بردن هر دو نوع عدم قطعیت. ماهیت روش چیست؟

در صورت عدم قطعیت در حد، مشتق صورت و مخرج را بگیرید تا عدم قطعیت از بین برود.

قانون L'Hopital به این صورت است:

نکته مهم : حدی که در آن مشتقات صورت و مخرج به جای مصدر و مخرج قرار می گیرند باید وجود داشته باشد.

و اکنون - یک مثال واقعی:

عدم قطعیت معمولی وجود دارد 0/0 . بیایید مشتقات صورت و مخرج را در نظر بگیریم:

Voila، عدم قطعیت به سرعت و با ظرافت حل می شود.

امیدواریم بتوانید این اطلاعات را در عمل به کار ببرید و پاسخ سوال «چگونه محدودیت ها را در ریاضیات بالاتر حل کنیم» بیابید. اگر نیاز به محاسبه حد یک دنباله یا حد یک تابع در یک نقطه دارید، و مطلقاً زمانی برای این کار وجود ندارد، برای یک راه حل سریع و دقیق با یک سرویس دانشجویی حرفه ای تماس بگیرید.

در این مبحث ما هر سه گروه از محدودیت های نامعقول ذکر شده در بالا را در نظر خواهیم گرفت. بیایید با محدودیت های حاوی عدم قطعیت شکل $\frac(0)(0)$ شروع کنیم.

افشای عدم قطعیت $\frac(0)(0)$.

حل نمونه های استاندارد از این نوع معمولاً شامل دو مرحله است:

• ما با ضرب در عبارت به اصطلاح «مجموعه» از شر غیرعقلانی خلاص می شویم که باعث عدم قطعیت می شود.
• در صورت لزوم، عبارت را در صورت یا مخرج (یا هر دو) فاکتور کنید.
• عوامل منجر به عدم قطعیت را کاهش می دهیم و مقدار مورد نظر حد را محاسبه می کنیم.

اصطلاح "بیان مزدوج" استفاده شده در بالا به تفصیل در مثال ها توضیح داده خواهد شد. در حال حاضر دلیلی برای پرداختن به جزئیات در مورد آن وجود ندارد. به طور کلی، بدون استفاده از عبارت مزدوج، می توانید راه دیگری را طی کنید. گاهی اوقات یک جایگزین خوب انتخاب شده می تواند غیرمنطقی را از بین ببرد. چنین نمونه هایی در تست های استاندارد نادر است، بنابراین ما فقط یک مثال شماره 6 را برای استفاده از جایگزین در نظر خواهیم گرفت (به قسمت دوم این مبحث مراجعه کنید).

ما به چندین فرمول نیاز داریم که در زیر می نویسم:

\شروع(معادله) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(معادله) \شروع(معادله) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \پایان(معادله) \شروع(معادله) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \پایان(معادله) \شروع (معادله) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end (معادله)

علاوه بر این، فرض می کنیم که خواننده فرمول های حل معادلات درجه دوم را می داند. اگر $x_1$ و $x_2$ ریشه های سه جمله ای درجه دوم $ax^2+bx+c$ باشند، می توان با استفاده از فرمول زیر آن را فاکتور گرفت:

\begin(معادله) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(معادله)

فرمول های (1)-(5) برای حل مسائل استاندارد کاملاً کافی هستند که اکنون به آنها می پردازیم.

مثال شماره 1

$\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ و $\lim_(x\ به 3) (x-3)=3-3=0$، سپس در حد داده شده یک عدم قطعیت به شکل $\frac(0)(0)$ داریم. تفاوت $\sqrt(7-x)-2$ مانع از آشکار شدن این عدم قطعیت می شود. برای رهایی از چنین غیرمنطقی ها از ضرب در اصطلاح مزدوج استفاده می شود. اکنون به نحوه عملکرد چنین ضربی خواهیم پرداخت. ضرب $\sqrt(7-x)-2$ در $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

برای باز کردن پرانتزها، به جای $a=\sqrt(7-x)$، $b=2$ در سمت راست فرمول ذکر شده اعمال کنید:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x $$

همانطور که می بینید، اگر شمارنده را در $\sqrt(7-x)+2$ ضرب کنید، ریشه (یعنی غیرمنطقی بودن) در صورت ناپدید می شود. این عبارت $\sqrt(7-x)+2$ خواهد بود مزدوجبه عبارت $\sqrt(7-x)-2$. با این حال، ما نمی توانیم به سادگی عدد را در $\sqrt(7-x)+2$ ضرب کنیم، زیرا این کسر $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ را تغییر می دهد. زیر حد . لازم است که صورت و مخرج را همزمان ضرب کنید:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

حالا به یاد داشته باشید که $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ را باز کنید. و پس از باز کردن پرانتزها و یک تبدیل کوچک $3-x=-(x-3)$، کسر را با $x-3$ کاهش می دهیم:

$$ \lim_(x\ تا 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\تا 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

عدم قطعیت $\frac(0)(0)$ ناپدید شده است. اکنون می توانید به راحتی پاسخ این مثال را دریافت کنید:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

توجه می کنم که عبارت مزدوج بسته به اینکه چه نوع غیرمنطقی را باید حذف کند، می تواند ساختار خود را تغییر دهد. در مثال های شماره 4 و شماره 5 (به بخش دوم این مبحث مراجعه کنید) از نوع دیگری از عبارت مزدوج استفاده خواهد شد.

پاسخ: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

مثال شماره 2

$\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ و $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$، سپس ما با عدم قطعیت فرم $\frac(0)(0)$ سروکار دارند. بیایید از نامعقول بودن مخرج این کسر خلاص شویم. برای این کار، هم صورت و هم مخرج کسری $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ را به عبارت $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ مزدوج به مخرج:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

مجدداً، مانند مثال شماره 1، برای گسترش باید از پرانتز استفاده کنید. با جایگزینی $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ در سمت راست فرمول مذکور، عبارت زیر را برای مخرج بدست می آوریم:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ راست)=\\ =\چپ(\sqrt(x^2+5)\راست)^2-\چپ(\sqrt(7x^2-19)\راست)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

بیایید به حد خود برگردیم:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

در مثال شماره 1، تقریباً بلافاصله پس از ضرب در عبارت مزدوج، کسر کاهش یافت. در اینجا، قبل از کاهش، باید عبارات $3x^2-5x-2$ و $x^2-4$ را فاکتورسازی کنید و تنها پس از آن به کاهش ادامه دهید. برای فاکتور کردن عبارت $3x^2-5x-2$ باید از . ابتدا معادله درجه دوم $3x^2-5x-2=0$ را حل می کنیم:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \شروع (تراز شده) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end (تراز شده) $$

با جایگزینی $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ به , خواهیم داشت:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

اکنون زمان آن است که عبارت x^2-4$ را فاکتورسازی کنیم. بیایید با جایگزین کردن $a=x$، $b=2$ در آن استفاده کنیم:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

از نتایج به دست آمده استفاده کنیم. چون $x^2-4=(x-2)(x+2)$ و $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$، پس:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

با کاهش براکت $x-2$ دریافت می کنیم:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

همه! عدم قطعیت از بین رفته است. یک قدم دیگر و به جواب می رسیم:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\تا 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

پاسخ: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4) دلار.

در مثال زیر، حالتی را در نظر بگیرید که هم در صورت و هم در مخرج کسر، غیرمنطقی‌ها وجود دارد.

مثال شماره 3

$\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) را پیدا کنید )) دلار.

از آنجایی که $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ و $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$، سپس یک عدم قطعیت از فرم $ داریم \frac (0)(0)$. از آنجایی که در این حالت ریشه ها هم در مخرج و هم در صورت وجود دارند، برای رهایی از عدم قطعیت باید همزمان در دو براکت ضرب کنید. ابتدا به عبارت $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ به صورت‌گر مزدوج کنید. و در مرحله دوم، به عبارت $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ به مخرج مزدوج شود.

$$ \lim_(x\ تا 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\چپ|\frac(0)(0)\راست|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2 -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2 -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(تراز شده) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(تراز شده) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

برای عبارت $x^2-8x+15$ دریافت می کنیم:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \شروع (تراز شده) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10) (2) = 5. \end(تراز شده)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

جایگزینی بسط های حاصل $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ و $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ در حد مجاز در حال بررسی، خواهد داشت:

$$ \lim_(x\ تا 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\ تا 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

پاسخ: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6 دلار.

در قسمت بعدی (دوم) چند مثال دیگر را در نظر خواهیم گرفت که در آنها عبارت مزدوج شکلی متفاوت از مسائل قبلی خواهد داشت. نکته اصلی که باید به خاطر داشت این است که هدف از استفاده از یک عبارت مزدوج خلاص شدن از شر غیرمنطقی است که باعث عدم اطمینان می شود.

توابع ابتدایی و نمودارهای آنها

توابع ابتدایی اصلی عبارتند از: تابع توان، تابع نمایی، تابع لگاریتمی، توابع مثلثاتی و توابع مثلثاتی معکوس و همچنین یک چند جمله ای و یک تابع گویا که نسبت دو چند جمله ای است.

توابع ابتدایی نیز شامل آن دسته از توابع است که با اعمال چهار عمل اصلی حسابی و تشکیل یک تابع مختلط از توابع ابتدایی به دست می آیند.

نمودارهای توابع ابتدایی

	خط مستقیم- نمودار یک تابع خطی y = تبر + ب. تابع y به صورت یکنواخت برای a > 0 افزایش و برای a کاهش می یابد< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	سهمی- نمودار تابع سه جمله ای درجه دوم y = تبر 2 + bx + c. دارای یک محور عمودی تقارن است. اگر a > 0 باشد، اگر a حداقل باشد< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения تبر 2 + bx + c = 0
	هذلولی- نمودار تابع وقتی a > O در ربع های I و III قرار دارد، وقتی a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) یا y - - x(a< 0).
	تابع نمایی. غرفه دار(تابع نمایی به پایه e) y = e x. (املای دیگر y = exp(x)). مجانب محور آبسیسا است.
	تابع لگاریتمی y = log a x(a > 0)
	y = sinx. موج سینوسی- تابع تناوبی با دوره T = 2π

محدودیت عملکرد

تابع y=f(x) یک عدد A به عنوان حد دارد زیرا x به a تمایل دارد، اگر برای هر عدد ε › 0 عدد δ › 0 وجود داشته باشد به طوری که | y – A | ‹ ε if |x - a| ‹ δ,

یا lim y = A

تداوم عملکرد.

تابع y=f(x) در نقطه x = a پیوسته است اگر lim f(x) = f(a)، یعنی.

حد یک تابع در یک نقطه x = a برابر است با مقدار تابع در یک نقطه مشخص.

یافتن حدود توابع

قضایای اساسی در مورد حدود توابع.

1. حد یک مقدار ثابت برابر است با این مقدار ثابت:

2. حد یک مجموع جبری برابر است با مجموع جبری حدود این توابع:

lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h

3. حد حاصلضرب چند تابع برابر است با حاصل ضرب حدود این توابع:

lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim h

4. حد نصاب دو تابع برابر است با نصاب حدود این توابع در صورتی که حد مخرج برابر 0 نباشد:

lim------- = -----------

اولین حد قابل توجه: lim --------- = 1

محدودیت قابل توجه دوم: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2، 718281..)

نمونه هایی از یافتن حدود توابع.

5.1. مثال:

هر محدودیتی از سه بخش تشکیل شده است:

1) نماد محدود شناخته شده.

2) ورودی های زیر نماد حد. ورودی به عنوان "X تمایل به یک دارد." اغلب x است، اگرچه به جای "x" می تواند هر متغیر دیگری وجود داشته باشد. به جای یک مطلقاً هر عددی می تواند وجود داشته باشد، همچنین بی نهایت 0 یا .

3) در این مورد زیر علامت حد عمل می کند.

خود ضبط به این صورت می‌خواند: «حد تابعی که x تمایل به وحدت دارد».

یک سوال بسیار مهم - عبارت "x" به چه معناست؟ تلاش می کندبه یک"؟ عبارت "x" تلاش می کندبه یک" باید به صورت زیر درک شود: "x" به طور مداوم مقادیر را می گیرد که به وحدت بی نهایت نزدیک و عملاً منطبق بر آن هستند.

چگونه مثال بالا را حل کنیم؟ با توجه به موارد فوق، فقط باید یکی را در تابع زیر علامت حد جایگزین کنید:

پس قانون اول : وقتی محدودیت داده می شود، ابتدا به سادگی عدد را به تابع وصل می کنید.

5.2. مثال با بی نهایت:

بیایید بفهمیم که چیست؟ این در صورتی است که بدون محدودیت افزایش یابد.

بنابراین: اگر ، سپس تابع به منهای بی نهایت میل می کند:

طبق قانون اول ما به جای "X" در تابع جایگزین می کنیم بی نهایت و ما جواب می گیریم.

5.3. مثال دیگر با بی نهایت:

دوباره شروع به افزایش تا بی نهایت می کنیم و به رفتار تابع نگاه می کنیم.
نتیجه گیری: عملکرد به طور نامحدود افزایش می یابد

5.4. یک سری مثال:

سعی کنید خودتان مثال های زیر را تحلیل ذهنی کنید و ساده ترین انواع محدودیت ها را حل کنید:

, , , , , , , , ,

چه چیزی را باید از موارد بالا به خاطر بسپارید و بفهمید؟

وقتی محدودیتی در نظر گرفته شد، ابتدا به سادگی عدد را به عملکرد وصل کنید. در عین حال، شما باید ساده ترین محدودیت ها را درک کرده و بلافاصله حل کنید، مانند , , و غیره.

6. محدودیت با عدم قطعیت نوع و روشی برای حل آنها

اکنون گروه حدود را در نظر می گیریم زمانی که، و تابع کسری است که صورت و مخرج آن دارای چند جمله ای هستند.

6.1. مثال:

حد محاسبه کنید

طبق قانون ما سعی می کنیم بی نهایت را جایگزین تابع کنیم. در اوج چه چیزی بدست می آوریم؟ بی نهایت. و در زیر چه اتفاقی می افتد؟ همچنین بی نهایت. بنابراین، ما چیزی داریم که عدم قطعیت گونه نامیده می شود. ممکن است کسی فکر کند که = 1، و پاسخ آماده است، اما در حالت کلی اصلاً اینطور نیست و شما باید چند تکنیک راه حل را اعمال کنید که اکنون آن را بررسی می کنیم.

چگونه می توان محدودیت های این نوع را حل کرد؟

ابتدا به عددگر نگاه می کنیم و بالاترین توان را پیدا می کنیم:

توان پیشرو در صورتگر دو است.

اکنون به مخرج نگاه می کنیم و همچنین آن را به بالاترین توان می یابیم:

بالاترین درجه مخرج دو است.

سپس بالاترین توان صورت و مخرج را انتخاب می کنیم: در این مثال، آنها یکسان و برابر با دو هستند.

بنابراین، روش حل به شرح زیر است: برای آشکار کردن عدم قطعیت شما باید صورت و مخرج را بر تقسیم کنید در مقطع ارشد

بنابراین، پاسخ 1 نیست.

مثال

حد را پیدا کنید

باز هم در صورت و مخرج در بالاترین درجه پیدا می کنیم:

حداكثر مدرك در صورت‌حساب: 3

حداکثر مدرک تحصیلی در مخرج: 4

انتخاب کنید بزرگترینمقدار، در این مورد چهار.
طبق الگوریتم ما، برای نشان دادن عدم قطعیت، صورت و مخرج را بر تقسیم می کنیم.

مثال

حد را پیدا کنید

حداکثر درجه "X" در صورتگر: 2

حداکثر درجه "X" در مخرج: 1 (می توان به صورت نوشتاری)
برای آشکار شدن عدم قطعیت، لازم است که صورت و مخرج را بر . راه حل نهایی ممکن است به این صورت باشد:

صورت و مخرج را تقسیم بر

راه حل محدودیت های عملکرد آنلاین. مقدار محدود یک تابع یا دنباله تابعی را در یک نقطه پیدا کنید، محاسبه کنید نهاییمقدار تابع در بی نهایت تعیین همگرایی یک سری اعداد و خیلی بیشتر را می توان به لطف سرویس آنلاین ما انجام داد -. ما به شما اجازه می‌دهیم محدودیت‌های عملکرد را به‌سرعت و با دقت آنلاین پیدا کنید. شما خودتان متغیر تابع و حدی که به آن گرایش دارد را وارد کنید و سرویس ما تمامی محاسبات را برای شما انجام می دهد و پاسخی دقیق و ساده می دهد. و برای یافتن محدودیت آنلاینشما می توانید هر دو سری عددی و توابع تحلیلی حاوی ثابت در بیان تحت اللفظی وارد کنید. در این حالت، حد یافت شده تابع شامل این ثابت ها به عنوان آرگومان های ثابت در عبارت خواهد بود. خدمات ما هرگونه مشکل پیچیده پیدا کردن را حل می کند محدودیت های آنلاین، کافی است تابع و نقطه ای که باید محاسبه شود را مشخص کنید مقدار حد تابع. در حال محاسبه محدودیت های آنلاین، می توانید از روش ها و قوانین مختلفی برای حل آنها استفاده کنید، ضمن اینکه نتیجه به دست آمده را با بررسی کنید حل محدودیت های آنلایندر سایت www.site ، که منجر به انجام موفقیت آمیز کار می شود - از اشتباهات و خطاهای اداری خود جلوگیری خواهید کرد. یا می توانید کاملاً به ما اعتماد کنید و از نتیجه ما در کار خود استفاده کنید، بدون صرف تلاش و زمان اضافی برای محاسبه مستقل حد تابع. ما به ورودی مقادیر حدی مانند بی نهایت اجازه می دهیم. لازم است یک عضو مشترک از یک دنباله اعداد وارد کنید و www.siteمقدار را محاسبه خواهد کرد محدود کردن آنلاینبه اضافه یا منهای بی نهایت.

یکی از مفاهیم اساسی آنالیز ریاضی است محدودیت عملکردو محدودیت توالیدر یک نقطه و در بی نهایت مهم است که بتوانید درست حل کنید محدودیت ها. با خدمات ما این کار دشواری نخواهد بود. تصمیمی گرفته می شود محدودیت های آنلایندر عرض چند ثانیه، پاسخ دقیق و کامل است. مطالعه آنالیز ریاضی با شروع می شود انتقال به حد, محدودیت هاتقریباً در تمام زمینه های ریاضیات عالی استفاده می شود، بنابراین داشتن یک سرور در دسترس است راه حل های محدود آنلاین، که سایت است.