اگر 2 موازی باشند. خطوط موازی، علائم و شرایط برای خطوط موازی

نشانه های موازی دو خط

قضیه 1. اگر وقتی دو خط با یک سکانس قطع می‌شوند:

زوایای متقاطع برابر هستند یا

زوایای مربوطه مساوی هستند یا

پس مجموع زوایای یک طرفه 180 درجه است

خطوط موازی هستند(عکس. 1).

اثبات ما خود را به اثبات مورد 1 محدود می کنیم.

بگذارید خطوط متقاطع a و b متقاطع و زوایای AB برابر باشند. به عنوان مثال، ∠ 4 = ∠ 6. اجازه دهید ثابت کنیم که a || ب

فرض کنید خطوط a و b موازی نباشند. سپس در نقطه ای M قطع می شوند و بنابراین یکی از زوایای 4 یا 6 زاویه خارجی مثلث ABM خواهد بود. برای قطعیت، اجازه دهید ∠ 4 زاویه خارجی مثلث ABM، و ∠ 6 زاویه داخلی باشد. از قضیه زاویه خارجی مثلث نتیجه می گیرد که ∠ 4 بزرگتر از ∠ 6 است، و این با شرط در تضاد است، به این معنی که خطوط a و 6 نمی توانند همدیگر را قطع کنند، بنابراین موازی هستند.

نتیجه 1. دو خط مختلف در یک صفحه عمود بر یک خط موازی هستند(شکل 2).

اظهار نظر. روشی که مورد 1 قضیه 1 را اثبات کردیم، روش اثبات با تناقض یا تقلیل به پوچی نامیده می شود. این روش نام خود را به این دلیل دریافت کرد که در ابتدای استدلال فرضی بر خلاف (مخالف) آنچه باید اثبات شود، مطرح می شود. به دلیل این که با استدلال بر اساس فرض انجام شده به یک نتیجه پوچ (به پوچ) می رسیم، آن را منجر به پوچ می گویند. دریافت چنین نتیجه ای ما را وادار می کند که فرضی را که در ابتدا مطرح شده بود رد کنیم و فرضی را که نیاز به اثبات داشت بپذیریم.

وظیفه 1.خطی بسازید که از یک نقطه M معین و موازی با یک خط معین a است و از نقطه M نمی گذرد.

راه حل. یک خط مستقیم p را از نقطه M عمود بر خط مستقیم a رسم می کنیم (شکل 3).

سپس یک خط b را از نقطه M عمود بر خط p رسم می کنیم. با توجه به نتیجه قضیه 1، خط b با خط a موازی است.

یک نتیجه گیری مهم از مشکل در نظر گرفته شده به دست می آید:
از طریق نقطه ای که روی یک خط معین قرار ندارد، همیشه می توان خطی موازی با خط داده شده رسم کرد.

ویژگی اصلی خطوط موازی به شرح زیر است.

بدیهیات خطوط موازی. از طریق یک نقطه معین که روی یک خط معین قرار ندارد، فقط یک خط موازی با خط داده شده عبور می کند.

اجازه دهید برخی از ویژگی‌های خطوط موازی را که از این اصل بدیهی پیروی می‌کنند، در نظر بگیریم.

1) اگر خطی یکی از دو خط موازی را قطع کند، خط دیگر را نیز قطع می کند (شکل 4).

2) اگر دو خط مختلف موازی با یک خط سوم باشند، آنها موازی هستند (شکل 5).

قضیه زیر نیز درست است.

قضیه 2. اگر دو خط موازی با یک عرضی قطع شوند، آنگاه:

زوایای متقاطع برابر هستند.

زوایای مربوطه برابر هستند.

مجموع زوایای یک طرفه 180 درجه است.

نتیجه 2. اگر خطی بر یکی از دو خط موازی عمود باشد، بر دیگری نیز عمود است.(شکل 2 را ببینید).

اظهار نظر. قضیه 2 معکوس قضیه 1 نامیده می شود. نتیجه قضیه 1 شرط قضیه 2 است. و شرط قضیه 1 نتیجه قضیه 2 است. هر قضیه ای معکوس ندارد، یعنی اگر یک قضیه داده شده باشد. درست است، پس قضیه معکوس ممکن است نادرست باشد.

اجازه دهید این را با استفاده از مثال قضیه زوایای عمودی توضیح دهیم. این قضیه را می توان به صورت زیر فرموله کرد: اگر دو زاویه عمودی باشند، آنگاه با هم برابرند. قضیه معکوس این خواهد بود: اگر دو زاویه با هم برابر باشند، آنها عمودی هستند. و این البته درست نیست. لازم نیست دو زاویه مساوی عمودی باشند.

مثال 1.دو خط موازی با یک سوم عبور می کنند. مشخص است که تفاوت بین دو زاویه یک طرفه داخلی 30 درجه است. این زوایا را پیدا کنید.

راه حل. اجازه دهید شکل 6 شرایط را برآورده کند.

فصل سوم.
موازی مستقیم

§ 38. وابستگی بین زوایا،
توسط دو خط موازی و یک خط ثانویه تشکیل شده است.

می دانیم که دو خط موازی هستند اگر وقتی یک خط سوم را قطع می کنند، زوایای متناظر با هم مساوی باشند، یا زوایای داخلی یا خارجی که به صورت متقاطع قرار دارند، یا مجموع زوایای داخلی یا مجموع زوایای یک طرفه خارجی برابر باشند. 2 د. اجازه دهید ثابت کنیم که قضایای معکوس نیز صادق هستند، یعنی:

اگر دو خط موازی با یک سوم عبور کنند، آنگاه:

1) زوایای مربوطه برابر هستند.
2) زوایای متقاطع داخلی برابر است.
3) زوایای متقاطع خارجی برابر است.
4) مجموع زوایای یک طرفه داخلی برابر است با 2 د ;
5) مجموع زوایای یک طرفه خارجی برابر است با 2 د .

برای مثال، ثابت کنیم که اگر دو خط موازی با خط سوم قطع شوند، آنگاه زوایای مربوطه برابر هستند.

بگذارید خطوط مستقیم AB و CD موازی باشند و MN سکونت آنها باشد (شکل 202) اجازه دهید ثابت کنیم که زوایای 1 و 2 مربوطه با یکدیگر برابر هستند.

بیایید این را فرض کنیم / 1 و / 2 برابر نیستند. سپس در نقطه O می توانیم بسازیم / IOC، متناظر و برابر / 2 (نقاشی 203).

اما اگر / MOQ = / 2، سپس خط مستقیم OK موازی با CD خواهد بود (§ 35).

ما دریافتیم که دو خط مستقیم AB و OK از نقطه O، موازی با خط مستقیم CD کشیده شده اند. اما این نمی تواند باشد (§ 37).

ما به یک تناقض رسیدیم زیرا این را فرض کردیم / 1 و / 2 برابر نیستند. بنابراین، فرض ما نادرست است و / 1 باید برابر باشد / 2، یعنی زوایای مربوطه برابر هستند.

اجازه دهید روابط بین زوایای باقی مانده را برقرار کنیم. بگذارید خطوط مستقیم AB و CD موازی باشند و MN سکونت آنها باشد (شکل 204).

ما فقط ثابت کردیم که در این حالت زوایای مربوطه برابر هستند. فرض کنید هر دو تا از آنها 119 درجه داشته باشند. بیایید اندازه هر یک از شش زاویه دیگر را محاسبه کنیم. بر اساس ویژگی‌های زوایای مجاور و عمودی، متوجه می‌شویم که چهار زاویه از هشت زاویه هر کدام ۱۱۹ درجه و بقیه هر کدام ۶۱ درجه خواهند داشت.

معلوم شد که هر دو زاویه متقاطع داخلی و خارجی به صورت جفت برابر هستند و مجموع زوایای یک طرفه داخلی یا خارجی برابر با 180 درجه (یا 2) است. د).

همین امر برای هر مقدار دیگری از زوایای متناظر مساوی انجام خواهد شد.

نتیجه 1. اگر هر یک از دو خط AB و CD با همان خط سوم MN موازی باشند، آنگاه دو خط اول با یکدیگر موازی هستند. (نقاشی 205).

در واقع با رسم سکنت EF (شکل 206) به دست می آید:
آ) / 1 = / 3، از آنجایی که AB || MN; ب) / 2 = / 3، از آنجایی که CO || MN.

به معنای، / 1 = / 2، و اینها زوایای مربوط به خطوط AB و CD و سکنت EF هستند، بنابراین، خطوط AB و CD موازی هستند.

نتیجه 2. اگر خطی بر یکی از دو خط موازی عمود باشد، بر دیگری نیز عمود است. (نقاشی 207).

در واقع، اگر EF _|_ AB، پس / 1 = د; اگر AB || پس سی دی / 1 = / 2.

از این رو، / 2 = دیعنی EF _|_ سی دی .

1) اگر وقتی دو خط با یک عرضی تلاقی می‌کنند، زوایای خوابیده با هم برابر باشند، خطوط موازی هستند.

2) اگر وقتی دو خط با یک عرضی تلاقی می کنند، زوایای مربوطه با هم برابر باشند، خطوط موازی هستند.

3) اگر وقتی دو خط مستقیم با یک عرضی تلاقی می کنند، مجموع زوایای یک طرفه برابر با 180 درجه باشد، خطوط مستقیم موازی هستند.

3. از نقطه ای که روی یک خط معین قرار ندارد، فقط یک خط موازی با خط داده شده می گذرد.

4 اگر خطی یکی از دو خط موازی را قطع کند، خط دیگر را نیز قطع می کند.

5. اگر دو خط با خط سوم موازی باشند، موازی هستند.

ویژگی های خطوط موازی

1) اگر دو خط موازی با یک عرضی قطع شوند، زوایای متقاطع برابر هستند.

2) اگر دو خط موازی با یک عرضی قطع شوند، زوایای مربوطه برابر هستند.

3) اگر دو خط موازی با یک عرضی قطع شوند، مجموع زوایای یک طرفه 180 درجه است.

7. اگر خطی بر یکی از دو خط موازی عمود باشد، بر دیگری نیز عمود است.

8. حل یک سیستم دو معادله با دوچنین جفت عددی مجهول نامیده می شود ایکس و در ، که با جایگزین شدن به این سیستم، هر یک از معادلات آن را به یک برابری عددی صحیح تبدیل می کند.

9. حل سیستم معادلات- به این معنی است که همه راه حل های آن را پیدا کنید یا ثابت کنید که هیچ کدام وجود ندارد.

1. روش های حل سیستم معادلات:

الف) جایگزینی

ب) اضافه کردن؛

ج) گرافیکی

10. مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است.

11. گوشه خارجیاز یک مثلث، زاویه ای است که در مجاورت برخی از زاویه های این مثلث قرار دارد.

زاویه بیرونی یک مثلث برابر است با مجموع دو زاویه مثلث که مجاور آن نیستند.

12. در هر مثلثی یا همه زوایای تند است یا دو زاویه تند و سومی منفرد یا مستقیم.

13 اگر هر سه زاویه یک مثلث تند باشد، آن مثلث نامیده می شود حاد زاویه دار

14. اگر یکی از زوایای مثلث منفرد باشد، آن مثلث نامیده می شود. کج زاویه دار

15. اگر یکی از زوایای مثلث قائم الزاویه باشد، آن مثلث نامیده می شود مستطیل شکل.

16. ضلع مثلث قائم الزاویه که در مقابل زاویه قائمه قرار دارد نامیده می شود هیپوتنوئوس، و دو طرف دیگر هستند پاها

17. در مثلث: 1) زاویه بزرگتر در مقابل ضلع بزرگتر قرار دارد. 2) پشت، ضلع بزرگتر در مقابل زاویه بزرگتر قرار دارد.

18. در مثلث قائم الزاویه، هیپوتنوز از ساق بلندتر است.

19. اگر دو زاويه از مثلث مساوي باشند، مثلث متساوي الساقين است (علامت مثلث متساوي الساقين).

20. هر ضلع مثلث از مجموع دو ضلع دیگر کوچکتر است.

21 مجموع دو زاویه تند یک مثلث قائم الزاویه 90 درجه است.

22. ساق مثلث قائم الزاویه که در مقابل زاویه 30 درجه قرار دارد، برابر با نیمی از هیپوتنوز است.

نشانه های تساوی مثلث های قائم الزاویه: 1) در دو ضلع. 2) در امتداد هیپوتنوز و زاویه حاد. 3) در امتداد هیپوتنوز و پا. 4) در امتداد ساق و زاویه حاد

طول یک عمود رسم شده از یک نقطه به یک خط را فاصله از این نقطه تا خط می گویند.

در این مقاله در مورد خطوط موازی صحبت می کنیم، تعاریفی ارائه می کنیم و علائم و شرایط موازی را بیان می کنیم. برای شفاف‌تر کردن مطالب نظری، از تصاویر و راه‌حل‌هایی برای مثال‌های معمولی استفاده می‌کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1 تعریف 1

خطوط موازی در یک صفحه- دو خط مستقیم در یک صفحه که هیچ نقطه مشترکی ندارند.

تعریف 2

خطوط موازی در فضای سه بعدی– دو خط مستقیم در فضای سه بعدی که در یک صفحه قرار دارند و نقاط مشترکی ندارند.

لازم به ذکر است که برای تعیین خطوط موازی در فضا، توضیح "در یک صفحه قرار گرفته اند" بسیار مهم است: دو خط در فضای سه بعدی که نقاط مشترک ندارند و در یک صفحه قرار نمی گیرند موازی نیستند. ، اما متقاطع.

برای نشان دادن خطوط موازی، معمولاً از نماد ∥ استفاده می شود. یعنی اگر خطوط داده شده a و b موازی باشند، این شرط باید به طور خلاصه به صورت زیر نوشته شود: a ‖ b. به صورت شفاهی، موازی خطوط به صورت زیر نشان داده می شود: خطوط a و b موازی هستند یا خط a موازی با خط b یا خط b موازی با خط a هستند.

اجازه دهید بیانیه ای را تدوین کنیم که نقش مهمی در موضوع مورد مطالعه دارد.

اصل

از نقطه ای که به یک خط معین تعلق ندارد، تنها خط مستقیم موازی با خط داده شده عبور می کند. این گفته را نمی توان بر اساس بدیهیات شناخته شده پلان سنجی اثبات کرد.

در موردی که در مورد فضا صحبت می کنیم، قضیه صادق است:

قضیه 1

از طریق هر نقطه ای از فضا که به یک خط معین تعلق ندارد، یک خط مستقیم موازی با خط داده شده وجود خواهد داشت.

اثبات این قضیه بر اساس اصل موضوع فوق (برنامه هندسه برای پایه های 10 - 11) آسان است.

معیار موازی بودن شرط کافی است که تحقق آن موازی بودن خطوط را تضمین می کند. به عبارت دیگر، تحقق این شرط برای تأیید واقعیت توازی کافی است.

به ویژه شرایط لازم و کافی برای موازی بودن خطوط در صفحه و فضا وجود دارد. توضیح می دهیم: واجب یعنی شرطی که تحقق آن برای خطوط موازی لازم است. اگر برآورده نشود، خطوط موازی نیستند.

به طور خلاصه شرط لازم و کافی برای موازی بودن خطوط، شرطی است که رعایت آن برای موازی بودن خطوط با یکدیگر لازم و کافی است. این از یک طرف نشانه موازی بودن است، از طرف دیگر ویژگی ذاتی خطوط موازی است.

قبل از ارائه فرمول دقیق یک شرط لازم و کافی، اجازه دهید چند مفهوم اضافی را یادآوری کنیم.

تعریف 3

خط برش- یک خط مستقیم که هر یک از دو خط مستقیم نامتناسب را قطع می کند.

متقاطع دو خط مستقیم، عرضی هشت زاویه توسعه نیافته را تشکیل می دهد. برای تنظیم یک شرط لازم و کافی، از انواع زاویه های متقاطع، متناظر و یک طرفه استفاده می کنیم. بیایید آنها را در تصویر نشان دهیم:

قضیه 2

اگر دو خط در یک صفحه با یک عرضی قطع شوند، برای موازی بودن خطوط داده شده کافی است که زوایای متقاطع مساوی یا زوایای متناظر با یکدیگر مساوی و یا مجموع زوایای یک طرفه برابر باشند. 180 درجه.

اجازه دهید شرایط لازم و کافی برای موازی بودن خطوط در یک صفحه را به صورت گرافیکی نشان دهیم:

اثبات این شرایط در برنامه هندسه برای پایه های 7 - 9 وجود دارد.

به طور کلی، این شرایط برای فضای سه بعدی نیز صدق می کند، مشروط بر اینکه دو خط و یک سکنت متعلق به یک صفحه باشند.

اجازه دهید به چند قضیه دیگر اشاره کنیم که اغلب برای اثبات موازی بودن خطوط استفاده می شود.

قضیه 3

در یک صفحه، دو خط موازی با یک سوم با یکدیگر موازی هستند. این ویژگی بر اساس بدیهیات موازی که در بالا ذکر شد ثابت می شود.

قضیه 4

در فضای سه بعدی، دو خط موازی با یک سوم موازی یکدیگر هستند.

اثبات نشانه در برنامه درسی هندسه پایه دهم مطالعه می شود.

اجازه دهید مثالی از این قضایا ارائه دهیم:

اجازه دهید یک جفت قضیه دیگر را نشان دهیم که موازی بودن خطوط را اثبات می کند.

قضیه 5

در یک صفحه، دو خط عمود بر یک سوم با یکدیگر موازی هستند.

اجازه دهید چیزی مشابه را برای فضای سه بعدی فرموله کنیم.

قضیه 6

در فضای سه بعدی، دو خط عمود بر یک سوم با یکدیگر موازی هستند.

بیایید نشان دهیم:

تمام قضایای فوق، علائم و شرایط فوق، به راحتی موازی خطوط را با استفاده از روش های هندسه اثبات می کند. یعنی برای اثبات موازی بودن خطوط، می توان نشان داد که زوایای متناظر با هم برابر هستند، یا این واقعیت را نشان داد که دو خط داده شده بر خط سوم عمود هستند و غیره. اما توجه داشته باشید که اغلب استفاده از روش مختصات برای اثبات موازی بودن خطوط در یک صفحه یا در فضای سه بعدی راحت تر است.

موازی بودن خطوط در یک سیستم مختصات مستطیلی

در یک سیستم مختصات مستطیلی مشخص، یک خط مستقیم با معادله یک خط مستقیم در صفحه یکی از انواع ممکن تعیین می شود. به همین ترتیب، یک خط مستقیم که در یک سیستم مختصات مستطیلی در فضای سه بعدی تعریف شده است با برخی از معادلات برای یک خط مستقیم در فضا مطابقت دارد.

اجازه دهید شرایط لازم و کافی را برای موازی خطوط در یک سیستم مختصات مستطیلی بسته به نوع معادله ای که خطوط داده شده را توصیف می کند، بنویسیم.

بیایید با شرط موازی بودن خطوط در یک صفحه شروع کنیم. این بر اساس تعاریف بردار جهت یک خط و بردار عادی یک خط در یک صفحه است.

قضیه 7

برای موازی بودن دو خط غیر منطبق بر روی یک صفحه، لازم و کافی است که بردارهای جهت خطوط داده شده، هم خط باشند، یا بردارهای عادی خطوط داده شده، خطی باشند، یا بردار جهت یک خط، عمود بر آن باشند. بردار معمولی خط دیگر

بدیهی است که شرط موازی بودن خطوط در یک صفحه بر اساس شرط همخطی بودن بردارها یا شرط عمود بودن دو بردار است. یعنی اگر a → = (a x , a y) و b → = (b x , b y) بردارهای جهت خطوط a و b باشند.

و n b → = (n b x , n b y) بردارهای عادی خطوط a و b هستند، سپس شرط لازم و کافی فوق را به صورت زیر می نویسیم: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y یا n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y یا a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 که t مقداری واقعی است. مختصات راهنماها یا بردارهای مستقیم با معادلات داده شده خطوط مستقیم تعیین می شود. بیایید به مثال های اصلی نگاه کنیم.

1. خط a در یک سیستم مختصات مستطیلی با معادله کلی خط تعیین می شود: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0. خط مستقیم b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. سپس بردارهای عادی خطوط داده شده به ترتیب دارای مختصات (A 1, B 1) و (A 2, B 2) خواهند بود. شرط موازی را به صورت زیر می نویسیم:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. خط a با معادله خطی با شیب به شکل y = k 1 x + b 1 توصیف می شود. خط مستقیم b - y = k 2 x + b 2. سپس بردارهای معمولی خطوط داده شده به ترتیب دارای مختصات (k 1, - 1) و (k 2, - 1) خواهند بود و شرط موازی بودن را به صورت زیر می نویسیم:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

بنابراین، اگر خطوط موازی در یک صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی با معادلات با ضرایب زاویه ای به دست آیند، آنگاه ضرایب زاویه ای خطوط داده شده برابر خواهند بود. و گزاره مخالف درست است: اگر خطوط غیر منطبق بر روی صفحه در یک سیستم مختصات مستطیلی با معادلات یک خط با ضرایب زاویه ای یکسان تعیین شوند، آنگاه این خطوط داده شده موازی هستند.

1. خطوط a و b در یک سیستم مختصات مستطیلی با معادلات متعارف یک خط در یک صفحه مشخص می شوند: x - x 1 a x = y - y 1 a y و x - x 2 b x = y - y 2 b y یا با معادلات پارامتری یک خط در یک صفحه: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y و x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

سپس بردارهای جهت خطوط داده شده به ترتیب عبارتند از: a x, a y و b x, b y و شرط موازی بودن را به صورت زیر می نویسیم:

a x = t b x a y = t b y

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال 1

دو خط داده می شود: 2 x - 3 y + 1 = 0 و x 1 2 + y 5 = 1. تعیین موازی بودن آنها ضروری است.

راه حل

اجازه دهید معادله یک خط مستقیم را در قطعات به شکل یک معادله کلی بنویسیم:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

می بینیم که n a → = (2, - 3) بردار نرمال خط 2 x - 3 y + 1 = 0 است و n b → = 2, 1 5 بردار نرمال خط x 1 2 + y 5 است. = 1.

بردارهای حاصل خطی نیستند، زیرا چنین مقداری از tat وجود ندارد که برابری درست باشد:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

بنابراین، شرط لازم و کافی برای موازی بودن خطوط در یک صفحه برآورده نمی شود، به این معنی که خطوط داده شده موازی نیستند.

پاسخ:خطوط داده شده موازی نیستند.

مثال 2

خطوط y = 2 x + 1 و x 1 = y - 4 2 داده شده است. آیا آنها موازی هستند؟

راه حل

بیایید معادله متعارف خط مستقیم x 1 = y - 4 2 را به معادله خط مستقیم با شیب تبدیل کنیم:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

می بینیم که معادلات خطوط y = 2 x + 1 و y = 2 x + 4 یکسان نیستند (اگر غیر از این بود، خطوط منطبق بودند) و ضرایب زاویه ای خطوط برابر است، یعنی خطوط داده شده موازی هستند.

بیایید سعی کنیم مشکل را متفاوت حل کنیم. ابتدا بیایید بررسی کنیم که آیا خطوط داده شده منطبق هستند یا خیر. ما از هر نقطه ای در خط y = 2 x + 1 استفاده می کنیم، به عنوان مثال، (0، 1)، مختصات این نقطه با معادله خط x 1 = y - 4 2 مطابقت ندارد، یعنی خطوط انجام می دهند. منطبق نیست

مرحله بعدی تعیین اینکه آیا شرط موازی بودن خطوط داده شده برقرار است یا خیر.

بردار عادی خط y = 2 x + 1 بردار n a → = (2, - 1) است و بردار جهت خط دوم داده شده b → = (1، 2) است. حاصل ضرب اسکالر این بردارها برابر با صفر است:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

بنابراین، بردارها عمود هستند: این به ما نشان می‌دهد که شرط لازم و کافی برای موازی بودن خطوط اصلی وجود دارد. آن ها خطوط داده شده موازی هستند.

پاسخ:این خطوط موازی هستند.

برای اثبات موازی بودن خطوط در یک سیستم مختصات مستطیلی فضای سه بعدی از شرط لازم و کافی زیر استفاده می شود.

قضیه 8

برای موازی بودن دو خط غیرمتناسب در فضای سه بعدی، لازم و کافی است که بردارهای جهت این خطوط به صورت هم خط باشند.

آن ها با توجه به معادلات خطوط در فضای سه بعدی، با تعیین مختصات بردارهای جهت خطوط داده شده و همچنین بررسی وضعیت هم خطی آنها، پاسخ به این سؤال که آیا آنها موازی هستند یا نه، به دست می آید. به عبارت دیگر، اگر a → = (a x، a y، a z) و b → = (b x، b y، b z) به ترتیب بردارهای جهت خطوط a و b باشند، برای اینکه آنها موازی باشند، وجود چنین عدد واقعی t ضروری است، به طوری که تساوی برقرار است:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

مثال 3

خطوط x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 و x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ داده شده است. اثبات موازی بودن این خطوط ضروری است.

راه حل

شرایط مسئله توسط معادلات متعارف یک خط در فضا و معادلات پارامتریک یک خط دیگر در فضا ارائه می شود. بردارهای راهنما a → و b ← خطوط داده شده دارای مختصات هستند: (1، 0، - 3) و (2، 0، - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 ، سپس a → = 1 2 · b → .

در نتیجه شرط لازم و کافی برای موازی بودن خطوط در فضا برآورده می شود.

پاسخ:موازی بودن خطوط داده شده ثابت می شود.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

زوایای مربوطه: 1 و 5، 4 و 8، 2 و 6، 3 و 7;

زوایای متقاطع داخلی: 3 و 5، 4 و 6;

زوایای متقاطع خارجی: 1 و 7، 2 و 8;

گوشه های یک طرفه داخلی: 3 و 6، 4 و 5;

گوشه های یک طرفه خارجی: 1 و 8، 2 و 7.

بنابراین، ∠ 2 = ∠ 4 و ∠ 8 = ∠ 6، اما طبق آنچه ثابت شد، ∠ 4 = ∠ 6.

بنابراین، ∠ 2 =∠ 8.

3. زوایای مربوطه 2 و 6 یکسان هستند، زیرا ∠ 2 = ∠ 4، و ∠ 4 = ∠ 6. اجازه دهید همچنین مطمئن شویم که سایر زوایای متناظر برابر هستند.

4. مجموع گوشه های یک طرفه داخلی 3 و 6 2d خواهند بود زیرا مجموع گوشه های مجاور 3 و 4 برابر است با 2d = 180 0، و ∠ 4 را می توان با ∠ 6 یکسان جایگزین کرد. همچنین مطمئن می شویم که مجموع زوایا 4 و 5 برابر است با 2d.

5. مجموع گوشه های یک طرفه خارجی 2d خواهد بود زیرا این زوایا به ترتیب برابر هستند گوشه های یک طرفه داخلیمانند گوشه ها عمودی.

از توجیه اثبات شده فوق بدست می آوریم قضایای معکوس

هنگامی که در تقاطع دو خط با یک خط سوم دلخواه به دست می آوریم که:

1. زوایای متقاطع داخلی یکسان است.

یا 2.زوایای متقاطع خارجی یکسان هستند.

یا 3.زوایای مربوطه برابر هستند.

یا 4.مجموع زوایای یک طرفه داخلی 2d = 180 0 است.

یا 5.مجموع یک طرفه های خارجی 2d = 180 0 است ,

سپس دو خط اول موازی هستند.