درس تصویری "دایره. ساخت قطب نما و خط کش

دایره یک خط منحنی بسته است که هر نقطه آن از یک نقطه O که مرکز نامیده می شود در یک فاصله قرار دارد.

خطوط مستقیمی که هر نقطه از دایره را به مرکز آن متصل می کنند نامیده می شوند شعاع هاآر.

خط مستقیم AB که دو نقطه دایره را به هم متصل می کند و از مرکز آن O می گذرد نامیده می شود قطردی

اجزای دایره ها نامیده می شوند قوس ها.

سی دی خط مستقیم که دو نقطه روی یک دایره را به هم متصل می کند نامیده می شود وتر.

خط مستقیم МN که فقط یک نقطه مشترک با دایره دارد نامیده می شود مماس.

قسمتی از دایره که با وتر سی دی و قوس محدود شده است نامیده می شود بخش.

به قسمتی از دایره که به دو شعاع و یک قوس محدود می شود گفته می شود بخش.

دو خط افقی و عمودی متقابل که در مرکز دایره متقاطع هستند نامیده می شوند محورهای یک دایره.

زاویه تشکیل شده توسط دو شعاع KOA نامیده می شود گوشه مرکزی.

دو شعاع متقابل عمود بر همزاویه 90 0 را بسازید و 1/4 دایره را محدود کنید.

دایره ای با محورهای افقی و عمودی بکشید که آن را به 4 قسمت مساوی تقسیم می کند. دو خط عمود بر هم با کمک قطب نما یا مربع در 45 0، دایره را به 8 قسمت مساوی تقسیم می کنند.

تقسیم یک دایره به 3 و 6 قسمت مساوی (ضرب 3 در سه)

برای تقسیم یک دایره به 3، 6 و مضرب آنها، دایره ای به شعاع معین و محورهای مربوطه را رسم می کنیم. تقسیم می تواند از نقطه تقاطع محور افقی یا عمودی با دایره شروع شود. شعاع مشخص شده دایره به صورت متوالی 6 بار رسوب می کند. سپس نقاط به‌دست‌آمده روی دایره به‌طور متوالی توسط خطوط مستقیم به هم متصل شده و یک شش ضلعی منقوش منظم را تشکیل می‌دهند. اتصال نقاط از طریق یک مثلث متساوی الاضلاع به دست می آید و دایره را به سه قسمت مساوی تقسیم می کنیم.

ساخت یک پنج ضلعی منظم به شرح زیر انجام می شود. دو محور عمود بر هم از دایره به اندازه قطر دایره رسم می کنیم. نیمه سمت راست قطر افقی را با استفاده از قوس R1 به نصف تقسیم کنید. از نقطه "a" به دست آمده در وسط این قطعه به شعاع R2، یک کمان دایره ای بکشید تا با قطر افقی در نقطه "b" قطع شود. با شعاع R3 از نقطه "1" یک کمان دایره ای بکشید تا با یک دایره معین (نقطه 5) قطع شود و ضلع یک پنج ضلعی منظم را بدست آورید. فاصله "b-O" ضلع یک ده ضلعی منظم را نشان می دهد.

تقسیم یک دایره به N-امین قسمت های یکسان (ساختن یک چند ضلعی منظم از N ضلع)

به شرح زیر انجام می شود. افقی و عمودی را متقابلاً عمود بر محور دایره ترسیم می کنیم. از نقطه بالای "1" دایره، یک خط مستقیم با زاویه دلخواه نسبت به محور عمودی بکشید. روی آن قطعات مساوی با طول دلخواه قرار می دهیم که تعداد آنها برابر است با تعداد قسمت هایی که دایره داده شده را به آنها تقسیم می کنیم، به عنوان مثال 9. انتهای آخرین قطعه به نقطه پایینی قطر عمودی متصل می شود. . خطوطی موازی با خط بدست آمده از انتهای بخش های معوق تا تقاطع با قطر عمودی ترسیم می کنیم، بنابراین قطر عمودی یک دایره معین را به تعداد معینی قسمت تقسیم می کنیم. با شعاع برابر با قطر دایره، از نقطه پایینی محور عمودی یک قوس MN بکشید تا با ادامه محور افقی دایره قطع شود. از نقاط M و N پرتوهایی را از طریق نقاط تقسیم زوج (یا فرد) قطر عمودی می کشیم تا زمانی که با دایره تلاقی کنند. بخش های به دست آمده از دایره موارد مورد نیاز خواهند بود، زیرا نکات 1، 2، …. 9 دایره را به 9 قسمت مساوی (N) تقسیم کنید.

جمله ای که معنای یک عبارت یا نام خاص را توضیح دهد نامیده می شود تعریف کردن... ما قبلاً با تعاریفی روبرو شده ایم، به عنوان مثال، با تعریف زاویه، زوایای مجاور، مثلث متساوی الساقین، و غیره. اجازه دهید تعریفی از شکل هندسی دیگری ارائه دهیم - یک دایره.

تعریف

این نقطه نامیده می شود مرکز دایره، و پاره ای که مرکز را با هر نقطه ای از دایره متصل می کند است شعاع دایره(شکل 77). از تعریف دایره بر می آید که طول همه شعاع ها یکسان است.

برنج. 77

قطعه ای که دو نقطه از یک دایره را به هم متصل می کند وتر آن نامیده می شود. وتر که از مرکز دایره عبور می کند آن را می گویند قطر.

در شکل 78، پاره های AB و EF آکوردهای دایره هستند، قطعه CD قطر دایره است. بدیهی است که قطر دایره دو برابر شعاع آن است. مرکز دایره نقطه وسط هر قطری است.

برنج. 78

هر دو نقطه از دایره آن را به دو قسمت تقسیم می کند. به هر یک از این قسمت ها قوس دایره ای می گویند. در شکل 79، ALB و AMB کمان هایی هستند که با نقاط A و B محدود شده اند.

برنج. 79

برای به تصویر کشیدن یک دایره در نقاشی، استفاده کنید قطب نما(شکل 80).

برنج. 80

برای کشیدن دایره روی زمین می توانید از طناب استفاده کنید (شکل 81).

برنج. 81

قسمتی از صفحه که به یک دایره محدود می شود دایره نامیده می شود (شکل 82).

برنج. 82

ساخت قطب نما و خط کش

ما قبلاً با ساختارهای هندسی سروکار داشته ایم: خطوط مستقیم ترسیم کردیم، بخش هایی برابر با داده ها قرار دادیم، زوایا، مثلث ها و اشکال دیگر را ترسیم کردیم. در این کار از خط کش مقیاس، قطب نما، نقاله، مربع رسم استفاده کردیم.

به نظر می رسد که بسیاری از ساخت و سازها را می توان تنها با استفاده از یک قطب نما و یک خط کش بدون تقسیم مقیاس انجام داد. بنابراین، در هندسه، آن دسته از کارهای ساخت و ساز به طور خاص متمایز می شوند که تنها با استفاده از این دو ابزار حل می شوند.

چه کاری می توانید با آنها انجام دهید؟ واضح است که خط کش به شما امکان می دهد یک خط مستقیم دلخواه بکشید و همچنین یک خط مستقیم از دو نقطه داده شده بسازید. با استفاده از قطب نما، می توانید دایره ای با شعاع دلخواه و همچنین دایره ای با مرکز در یک نقطه معین و شعاع برابر با یک قطعه معین رسم کنید. با انجام این عملیات ساده، ما قادر خواهیم بود بسیاری از مشکلات ساخت و ساز جالب را حل کنیم:

زاویه ای برابر با زاویه داده شده بسازید.
یک خط مستقیم از طریق این نقطه، عمود بر این خط مستقیم بکشید.
این بخش را به نصف و وظایف دیگر تقسیم کنید.

بیایید با یک کار ساده شروع کنیم.

وظیفه

بر روی یک پرتو داده شده از ابتدای آن، قطعه ای برابر با آن داده شده را به تعویق بیندازید.

راه حل

بیایید شکل های داده شده در شرایط مسئله را به تصویر بکشیم: ray OS و بخش AB (شکل 83، a). سپس با قطب نما دایره ای به شعاع AB با مرکز O می سازیم (شکل 83، ب). این دایره اشعه سیستم عامل را در نقطه ای از D قطع می کند. قطعه OD قطعه مورد نیاز است.

برنج. 83

نمونه کارهای ساختمانی

ترسیم زاویه ای برابر با یک داده

وظیفه

از پرتو داده شده، زاویه ای برابر با زاویه داده شده را کنار بگذارید.

راه حل

این زاویه با راس A و پرتو ОМ در شکل 84 نشان داده شده است. لازم است زاویه ای برابر با زاویه A ساخته شود تا یکی از اضلاع آن با پرتو OM منطبق شود.

برنج. 84

بیایید دایره ای با شعاع دلخواه با مرکز راس A زاویه داده شده رسم کنیم. این دایره دو طرف گوشه را در نقاط B و C قطع می کند (شکل 85، a). سپس دایره ای به همان شعاع با مرکز پرتو OM داده شده رسم می کنیم. در نقطه D از پرتو عبور می کند (شکل 85، b). پس از آن دایره ای با مرکز D می سازیم که شعاع آن برابر با BC است. دایره هایی با مرکز O و D در دو نقطه قطع می شوند. یکی از این نقاط را با حرف E نشان می دهیم. اجازه دهید ثابت کنیم که زاویه MOE زاویه مورد نظر است.

برنج. 85

مثلث های ABC و ODE را در نظر بگیرید. پاره های AB و AC شعاع دایره با مرکز A هستند و قطعات OD و OE شعاع دایره با مرکز O هستند (شکل 85، b را ببینید). از آنجایی که بر اساس ساخت، این دایره ها شعاع مساوی دارند، پس AB = OD، AC = OE. همچنین با ساخت ВС = DE.

بنابراین، Δ ABC = Δ ODE در سه طرف. بنابراین، ∠DOE = ∠BAC، یعنی زاویه ساخته شده MOE برابر با زاویه A است.

در صورت استفاده از طناب به جای قطب نما، می توان همین ساختار را روی زمین نیز انجام داد.

ترسیم نیمساز یک زاویه

وظیفه

نیمساز زاویه داده شده را بسازید.

راه حل

این زاویه BAC در شکل 86 نشان داده شده است. دایره ای با شعاع دلخواه در مرکز راس A رسم کنید. این زاویه دو طرف زاویه را در نقاط B و C قطع می کند.

برنج. 86

سپس دو دایره به همان شعاع BC با مرکز در نقاط B و C رسم می کنیم (فقط قسمت هایی از این دایره ها در شکل نشان داده شده است). آنها در دو نقطه تلاقی خواهند کرد که حداقل یکی از آنها در گوشه قرار دارد. اجازه دهید آن را با حرف E نشان دهیم. اجازه دهید ثابت کنیم که پرتو AE نیمساز زاویه داده شده BAC است.

مثلث های ACE و ABE را در نظر بگیرید. آنها از سه طرف برابر هستند. در واقع، AE یک طرف مشترک است. AC و AB برابر با شعاع یک دایره هستند. CE = BE توسط ساخت و ساز.

از برابری مثلث های ACE و ABE نتیجه می شود که ∠CAE = ∠BAE، یعنی پرتو AE نیمساز یک زاویه معین BAC است.

اظهار نظر

آیا می توان با استفاده از قطب نما و خط کش یک زاویه را به دو زاویه مساوی تقسیم کرد؟ واضح است که ممکن است - برای این شما باید نیمساز این زاویه را ترسیم کنید.

این زاویه را نیز می توان به چهار زاویه مساوی تقسیم کرد. برای انجام این کار، باید آن را به نصف تقسیم کنید و سپس هر نیمه را دوباره به نصف تقسیم کنید.

آیا می توان این زاویه را با کمک قطب نما و خط کش به سه زاویه مساوی تقسیم کرد؟ این وظیفه دوبله مشکلات سه برش زاویه، قرن ها توجه ریاضیدانان را به خود جلب کرده است. فقط در قرن 19 ثابت شد که چنین ساخت و ساز برای یک زاویه دلخواه غیرممکن است.

ترسیم خطوط عمود بر هم

وظیفه

یک خط مستقیم و یک نقطه روی آن آورده شده است. خطی بسازید که از یک نقطه معین می گذرد و عمود بر این خط است.

راه حل

این خط a و یک نقطه M متعلق به این خط در شکل 87 نشان داده شده است.

برنج. 87

روی پرتوهای خط مستقیم a که از نقطه M خارج می شوند، بخش های مساوی MA و MB را به تعویق می اندازیم. سپس دو دایره با مرکز A و B به شعاع AB می سازیم. آنها در دو نقطه تلاقی می کنند: P و Q.

اجازه دهید از نقطه M و یکی از این نقاط یک خط مستقیم بکشیم، برای مثال خط مستقیم MP (نگاه کنید به شکل 87)، و ثابت کنیم که این خط مورد نیاز است، یعنی عمود بر خط داده شده است. آ.

در واقع، از آنجایی که PM میانه مثلث متساوی الساقین PAB نیز ارتفاع است، PM ⊥ a.

نقطه وسط یک پاره خط را رسم کنید

وظیفه

نقطه میانی این بخش را بسازید.

راه حل

اجازه دهید AB یک قطعه معین باشد. بیایید دو دایره با مرکز A و B با شعاع AB بسازیم. آنها در نقاط P و Q قطع می شوند. خط PQ را رسم کنید. نقطه O تقاطع این خط با قطعه AB، نقطه میانی مورد نظر قطعه AB است.

در واقع، مثلث های APQ و BPQ در سه ضلع برابر هستند، بنابراین ∠1 = ∠2 (شکل 89).

برنج. 89

در نتیجه، قطعه PO نیمساز مثلث متساوی الساقین APB است، و از این رو میانه، یعنی نقطه O نقطه میانی قطعه AB است.

وظایف

143. کدام یک از بخش های نشان داده شده در شکل 90 عبارتند از: الف) وترهای دایره. ب) قطر دایره؛ ج) شعاع دایره؟

برنج. 90

144. بخش های AB و CD - قطر یک دایره. ثابت کنید که: الف) آکوردهای BD و AC برابر هستند. ب) آکوردهای AD و BC برابر هستند. ج) ∠BAD = ∠BCD.

145. قطعه MK - قطر یک دایره با مرکز O، و MP و PK - وترهای مساوی از این دایره. ∠POM را پیدا کنید.

146. قطعات AB و CD - قطرهای دایره ای با مرکز O. محیط مثلث AOD را پیدا کنید، اگر معلوم باشد که CB = 13 سانتی متر، AB = 16 سانتی متر است.

147. نقاط A و B روی دایره ای با مرکز O مشخص شده اند تا زاویه AOB یک خط مستقیم باشد. بخش قبل از میلاد - قطر دایره. ثابت کنید که آکوردهای AB و AC برابر هستند.

148. دو نقطه A و B روی خط مستقیم آورده شده است.در امتداد پرتو B A قطعه BC را طوری کنار بگذارید که BC = 2AB باشد.

149. یک خط مستقیم a، یک نقطه B که روی آن قرار ندارد و یک قطعه PQ در نظر گرفته می شود. یک نقطه M روی خط a بسازید تا BM = PQ. آیا یک مشکل همیشه راه حلی دارد؟

150. با توجه به یک دایره، نقطه A، نه بر روی آن، و یک قطعه PQ. یک نقطه M روی دایره بسازید تا AM = PQ. آیا یک مشکل همیشه راه حلی دارد؟

151. یک زاویه حاد BAC و پرتو XY داده شده است. گوشه YXZ را طوری بسازید که ∠YXZ = 2∠BAC.

152. یک زاویه منفرد AOB داده شده است. پرتو OX را طوری بسازید که زوایای XOA و XOB زوایای منفرد برابر باشند.

153. به شما یک خط مستقیم a و یک نقطه M داده می شود که روی آن قرار ندارد. خطی بسازید که از نقطه M می گذرد و بر خط a عمود می شود.

راه حل

دایره ای به مرکز یک نقطه M بسازید و یک خط معین a را در دو نقطه قطع کنید که آن را با حروف A و B نشان می دهیم (شکل 91). سپس دو دایره با مرکز A و B می سازیم که از نقطه M عبور می کنند. این دایره ها در نقطه M و در یک نقطه دیگر که با حرف N نشان می دهیم قطع می شوند. یک خط MN رسم می کنیم و ثابت می کنیم که این خط مورد نیاز است. یعنی عمود بر مستقیم الف است.

برنج. 91

در واقع، مثلث های AMN و BMN از سه ضلع برابر هستند، بنابراین ∠1 = ∠2. نتیجه می شود که قطعه MC (C نقطه تلاقی خطوط a و MN است) نیمساز مثلث متساوی الساقین AMB و از این رو ارتفاع است. بنابراین، MN ⊥ AB، یعنی MN ⊥ a.

154. مثلث ABC داده شده است. ساختن: الف) نیمساز AK; ب) میانه VM؛ ج) ارتفاع مثلث CH. 155. با استفاده از قطب نما و خط کش، زاویه ای برابر با: الف) 45 درجه بسازید. ب) 22 درجه 30 ".

پاسخ به مشکلات

152. اشاره. ابتدا نیمساز زاویه AOB را بسازید.

§ 1 محیط. مفاهیم اساسی

در ریاضیات جملاتی وجود دارد که معنای یک نام یا عبارت خاص را توضیح می دهد. چنین جملاتی را تعریف می گویند.

بیایید مفهوم دایره را تعریف کنیم. دایره یک شکل هندسی است که شامل تمام نقاط صفحه است که در فاصله معینی از یک نقطه معین قرار دارند.

این نقطه را که نقطه O بنامیم مرکز دایره نامیده می شود.

قطعه ای که مرکز را به هر نقطه از دایره متصل می کند، شعاع دایره نامیده می شود. شما می توانید بسیاری از این بخش ها را ترسیم کنید، به عنوان مثال، OA، OV، OS. طول همه آنها یکسان خواهد بود.

قطعه ای که دو نقطه از یک دایره را به هم متصل می کند وتر نامیده می شود. MN وتر دایره است.

وتری که از مرکز دایره عبور می کند قطر نامیده می شود. AB قطر دایره است. قطر از دو شعاع تشکیل شده است، به این معنی که طول قطر دو برابر شعاع است. مرکز یک دایره نقطه وسط هر قطری است.

هر دو نقطه از دایره آن را به دو قسمت تقسیم می کند. به این قسمت ها قوس دایره ای می گویند.

ANV و AMV کمان های دایره ای هستند.

به قسمتی از صفحه که به دایره محدود می شود دایره می گویند.

برای به تصویر کشیدن یک دایره در نقاشی، از قطب نما استفاده کنید. دایره را می توان روی زمین نیز ترسیم کرد. برای این کار فقط از طناب استفاده کنید. یک سر طناب را به یک میخ رانده شده در زمین وصل کنید و با سر دیگر آن دایره ای بکشید.

§ 2 ساخت و ساز با قطب نما و خط کش

در هندسه، بسیاری از ساخت و سازها را می توان تنها با استفاده از قطب نما و خط کش بدون تقسیم مقیاس انجام داد.

فقط با استفاده از یک خط کش، می توانید یک خط مستقیم دلخواه، و همچنین یک خط مستقیم دلخواه که از یک نقطه مشخص می گذرد، یا یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد، رسم کنید.

قطب نما به شما امکان می دهد دایره ای با شعاع دلخواه ترسیم کنید، همچنین دایره ای با مرکز در یک نقطه معین و شعاع برابر با یک قطعه معین.

به طور جداگانه، هر یک از این ابزارها ساخت ساده ترین سازه ها را ممکن می کند، اما با کمک این دو ابزار می توانید از قبل عملیات پیچیده تری را انجام دهید، به عنوان مثال،

حل مشکلات ساختمانی مانند

زاویه ای برابر با زاویه داده شده بسازید،

با اضلاع داده شده یک مثلث بسازید،

بخش را به نصف تقسیم کنید،

از طریق این نقطه یک خط مستقیم عمود بر این خط مستقیم و غیره بکشید.

بیایید مشکل را در نظر بگیریم.

وظیفه: روی یک پرتو داده شده از ابتدای آن، قطعه ای برابر با قطعه داده شده قرار دهید.

سیستم عامل پرتو و بخش AB داده شده است. لازم است یک قطعه OD برابر با قطعه AB ساخته شود.

با استفاده از قطب نما، دایره ای به شعاع برابر طول قطعه AB بسازید که در مرکز نقطه O قرار دارد. این دایره این پرتو OS را در نقطه ای از D قطع می کند. بخش OD قطعه مورد نیاز است.

فهرست ادبیات مورد استفاده:

1. هندسه. پایه های 7-9: کتاب درسی. برای آموزش عمومی سازمان ها / L.S. آتاناسیان، وی.ف. بوتوزوف، S.B. Kadomtsev و دیگران - M .: آموزش و پرورش، 2013 .-- 383 p .: ill.
2. گاوریلووا N.F. توسعه درس هندسه کلاس هفتم. - M .: "VAKO"، 2004. - 288s. - (برای کمک به معلم مدرسه).
3. O. Belitskaya هندسه. درجه 7 ام. قسمت 1. تست ها - ساراتوف: لیسیوم، 2014 .-- 64 ص.

هنگام ساخت یا پردازش قطعات چوبی، در برخی موارد لازم است که مرکز هندسی آنها مشخص شود. اگر قسمت دارای شکل مربع یا مستطیل باشد، انجام این کار دشوار نیست. کافی است گوشه های مخالف را با مورب وصل کنیم که دقیقاً در مرکز شکل ما قطع می شود.
برای محصولاتی که شکل دایره دارند، این راه حل کار نخواهد کرد، زیرا آنها گوشه ای ندارند و بنابراین مورب ندارند. در این مورد، شما نیاز به رویکرد دیگری بر اساس اصول مختلف دارید.

و آنها وجود دارند، و در بسیاری از تغییرات. برخی از آنها بسیار پیچیده هستند و به چندین ابزار نیاز دارند، برخی دیگر به راحتی قابل پیاده سازی هستند و برای اجرای آنها نیازی به مجموعه کاملی از ابزارها ندارند.
اکنون به یکی از ساده ترین راه ها برای یافتن مرکز دایره با استفاده از یک خط کش معمولی و مداد نگاه خواهیم کرد.

دنباله پیدا کردن مرکز دایره: