ساده سازی معادلات مثلثاتی. تبدیل هویت عبارات مثلثاتی

درس تصویری "ساده سازی عبارات مثلثاتی" به منظور شکل گیری مهارت دانش آموزان در حل مسائل مثلثاتی با استفاده از هویت های مثلثاتی پایه طراحی شده است. در طول درس تصویری، انواع هویت های مثلثاتی، نمونه هایی از حل مسائل با استفاده از آنها در نظر گرفته می شود. با استفاده از وسایل بصری، دستیابی معلم به اهداف درس آسانتر است. ارائه واضح مطالب به حفظ نکات مهم کمک می کند. استفاده از افکت های انیمیشن و صداگذاری به شما این امکان را می دهد که در مرحله توضیح مطالب به طور کامل جایگزین معلم شوید. بنابراین معلم با استفاده از این کمک تصویری در درس ریاضی می تواند اثربخشی تدریس را افزایش دهد.

در ابتدای درس تصویری موضوع آن اعلام می شود. سپس هویت‌های مثلثاتی که قبلاً مورد مطالعه قرار گرفته‌اند، یادآوری می‌شوند. صفحه برابری‌های sin 2 t+cos 2 t=1، tg t=sin t/cos t را نشان می‌دهد، جایی که t≠π/2+πk برای kϵZ، ctg t=cos t/sin t، درست برای t≠πk، که در آن kϵZ، tan t · ctg t=1، در t≠πk/2، که در آن kϵZ، هویت های مثلثاتی پایه نامیده می شود. خاطرنشان می شود که این هویت ها اغلب در حل مسائل مورد استفاده قرار می گیرند که برای اثبات برابری یا ساده سازی بیان ضروری است.

در ادامه، نمونه هایی از کاربرد این هویت ها در حل مسائل در نظر گرفته شده است. ابتدا، پیشنهاد شده است که حل مسائل ساده سازی عبارات را در نظر بگیریم. در مثال 1، لازم است عبارت cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t ساده شود. برای حل مثال ابتدا ضریب مشترک cos 2 t در پرانتز قرار می گیرد. در نتیجه چنین تبدیلی در پرانتز، عبارت 1-cos 2 t به دست می آید که مقدار آن از هویت اصلی مثلثات برابر با sin 2 t است. پس از تبدیل عبارت، بدیهی است که یک عامل رایج دیگر sin 2 t را می توان از پرانتز خارج کرد، پس از آن عبارت به شکل sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t) می شود. از همان هویت اصلی، مقدار عبارت داخل پرانتز را برابر با 1 استنباط می کنیم. در نتیجه ساده سازی، cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t به دست می آید.

در مثال 2، عبارت cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) نیز باید ساده شود. از آنجایی که هزینه عبارت در صورت شمار هر دو کسر است، می توان آن را به عنوان یک عامل مشترک در پرانتز قرار داد. سپس کسرهای داخل پرانتز با ضرب (1- sint) (1+ sint) به یک مخرج مشترک تقلیل می‌یابند. پس از کاهش عبارت های مشابه، 2 در صورت و 1 - sin 2 t در مخرج باقی می ماند. در سمت راست صفحه، هویت اصلی مثلثاتی sin 2 t+cos 2 t=1 یادآوری می شود. با استفاده از آن، مخرج کسری cos 2 t را پیدا می کنیم. پس از کاهش کسری، یک شکل ساده از عبارت هزینه / (1- sint) + هزینه / (1 + sint) \u003d 2 / هزینه دریافت می کنیم.

در ادامه، نمونه‌هایی از اثبات هویت‌ها را در نظر می‌گیریم که در آنها دانش کسب شده در مورد هویت‌های اولیه مثلثات به کار گرفته شده است. در مثال 3، اثبات هویت ضروری است (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. سمت راست صفحه نمایش سه هویت را نشان می دهد که برای اثبات مورد نیاز است - tg t ctg t=1، ctg t=cos t/sin t و tg t=sin t/cos t با محدودیت‌ها. برای اثبات هویت، ابتدا براکت ها باز می شوند و پس از آن محصولی تشکیل می شود که بیانگر هویت مثلثاتی اصلی tg t·ctg t=1 است. سپس با توجه به هویت از تعریف کوتانژانت، ctg 2 t تبدیل می شود. در نتیجه تبدیل ها، عبارت 1-cos 2 t به دست می آید. با استفاده از هویت اصلی، ارزش عبارت را پیدا می کنیم. بنابراین ثابت می شود که (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

در مثال 4، باید مقدار عبارت tg 2 t+ctg 2 t را در صورت tg t+ctg t=6 بیابید. برای ارزیابی عبارت، ابتدا سمت راست و چپ معادله (tg t+ctg t) 2 =6 2 مربع می شوند. فرمول ضرب اختصاری در سمت راست صفحه نمایش داده می شود. پس از باز کردن پرانتزهای سمت چپ عبارت، مجموع tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t تشکیل می‌شود که برای تبدیل آن می‌توان یکی از هویت‌های مثلثاتی tg t ctg t=1 را اعمال کرد. که فرم آن در سمت راست صفحه بازخوانی می شود. پس از تبدیل برابری tg 2 t+ctg 2 t=34 به دست می آید. سمت چپ برابری با شرط مسئله منطبق است، بنابراین پاسخ 34 است. مشکل حل شد.

درس تصویری "ساده سازی عبارات مثلثاتی" برای استفاده در درس ریاضی مدرسه سنتی توصیه می شود. همچنین، مطالب برای معلمی که آموزش از راه دور ارائه می دهد مفید خواهد بود. به منظور ایجاد مهارت در حل مسائل مثلثاتی.

تفسیر متن:

"ساده سازی عبارات مثلثاتی".

برابری

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (سینوس مجذور te به اضافه کسینوس مجذور te برابر با یک)

2) tgt =، در t ≠ + πk، kϵZ (مماس te برابر است با نسبت سینوس te به کسینوس te زمانی که te برابر با pi با دو به اضافه پی کا نباشد، ka متعلق به zet است)

3) ctgt =، در t≠ πk، kεZ (کتانژانت te برابر است با نسبت کسینوس te به سینوس te وقتی که te با قله ka که متعلق به z است برابر نیست).

4) tgt ∙ ctgt = 1 برای t ≠، kϵZ

هویت های مثلثاتی پایه نامیده می شوند.

اغلب آنها در ساده سازی و اثبات عبارات مثلثاتی استفاده می شوند.

نمونه هایی از استفاده از این فرمول ها را هنگام ساده سازی عبارات مثلثاتی در نظر بگیرید.

مثال 1. عبارت را ساده کنید: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (بیان یک کسینوس مربع te منهای کسینوس درجه چهارم te به اضافه سینوس درجه چهارم te).

راه حل. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 ت) = گناه 2 ت 1 = گناه 2 تن

(فاکتور مشترک کسینوس مربع te را خارج می کنیم، در پرانتز تفاوت بین واحد و مجذور کسینوس te را بدست می آوریم که برابر با مجذور سینوس te با هویت اول است. مجموع سینوس چهارم را بدست می آوریم. درجه te از حاصلضرب کسینوس مربع te و سینوس مربع te فاکتور مشترک سینوس مربع te خارج از پرانتز خارج می شود، در پرانتز مجموع مجذورهای کسینوس و سینوس را بدست می آوریم که با توجه به مثلثات پایه هویت، برابر با 1 است. در نتیجه، مربع سینوس te را به دست می آوریم).

مثال 2. عبارت: + را ساده کنید.

(بیان مجموع دو کسر در صورت کسینوس اول te در مخرج یک منهای سینوس te، در صورت کسینوس دوم te در مخرج دومی به اضافه سینوس ته باشد).

(فاکتور مشترک کسینوس te را از پرانتز خارج می کنیم و در پرانتز آن را به مخرج مشترک می آوریم که حاصلضرب یک منهای سینوس ته به یک به علاوه سینوس ته است.

در صورتگر می‌گیریم: یک به علاوه سینوس ته به اضافه یک منهای سینوس ته، مشابه‌هایی را می‌دهیم، پس از آوردن مشابه‌ها، صورت برابر دو می‌شود.

در مخرج می توانید فرمول ضرب اختصاری (تفاوت مربعات) را اعمال کنید و تفاوت بین واحد و مربع سینوس ته را بدست آورید که با توجه به هویت مثلثاتی پایه

برابر با مربع کسینوس te است. پس از تقلیل با کسینوس te، به پاسخ نهایی می رسیم: تقسیم دو بر کسینوس ته).

نمونه هایی از استفاده از این فرمول ها را در اثبات عبارات مثلثاتی در نظر بگیرید.

مثال 3. هویت را ثابت کنید (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (مصادف اختلاف بین مجذور مماس te و سینوس te و مربع کوتانژانت از te برابر است با مربع سینوس te).

اثبات

بیایید سمت چپ برابری را تبدیل کنیم:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = گناه 2 تن

(اجازه دهید پرانتزها را باز کنیم، از رابطه ای که قبلاً به دست آمده مشخص می شود که حاصل ضرب مجذور مماس te توسط کوتانژانت te برابر با یک است. به یاد بیاورید که کتانژانت te برابر است با نسبت کسینوس te به سینوس te، به این معنی که مربع کوتانژانت نسبت مربع کسینوس te به مربع سینوس te است.

پس از تقلیل با سینوس مربع te، تفاوت بین واحد و کسینوس مربع ته را به دست می آوریم که برابر با سینوس مربع ته است). Q.E.D.

مثال 4. مقدار عبارت tg 2 t + ctg 2 t را در صورت tgt + ctgt = 6 بیابید.

(مجموع مجذورات مماس ته و کوتانژانت ته در صورتی که مجموع مماس و کتانژانت شش باشد).

راه حل. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

بیایید هر دو قسمت تساوی اصلی را مربع کنیم:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (مربع مجموع مماس te و کوتانژانت te شش مجذور است). فرمول ضرب اختصاری را به یاد بیاورید: مجذور مجموع دو کمیت برابر است با مجذور اولی به اضافه دو برابر حاصل ضرب اولی و دومی به علاوه مربع دومی. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 بدست می آوریم.

از آنجایی که حاصل ضرب مماس te و کتانژانت te برابر با یک است، پس tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (مجموع مجذورات مماس te و کتانژانت te و دو برابر است با سی و شش)،

ورونکووا اولگا ایوانونا

MBOU "دبیرستان

شماره 18"

انگلس، منطقه ساراتوف.

معلم ریاضی.

"عبارات مثلثاتی و تبدیل آنها"

مقدمه……………………………………………………………………………….3

فصل 1 طبقه بندی وظایف برای استفاده از تبدیل عبارات مثلثاتی ……………………………………………………………

1.1. وظایف محاسباتی مقادیر عبارات مثلثاتی……….5

1.2.وظایف ساده سازی عبارات مثلثاتی .... 7

1.3. وظایف تبدیل عبارات مثلثاتی عددی ... ..7

1.4 وظایف مختلط………………………………………………………

فصل 2

2.1 تکرار موضوعی در کلاس 10………………………………………………………………………

آزمون 1………………………………………………………………………………..12

آزمون 2………………………………………………………………………………..13

تست 3………………………………………………………………………………..14

2.2 تکرار نهایی در کلاس 11…………………………………………………………………………………………

آزمون 1………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

تست 2…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

آزمون 3…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

نتیجه گیری……………………………………………………………………………………………………………………………

فهرست ادبیات استفاده شده……………………………………………….20

مقدمه.

در شرایط امروز مهم ترین سوال این است: "چگونه می توان به رفع برخی خلاءهای دانش دانش آموزان کمک کرد و آنها را از اشتباهات احتمالی در امتحان برحذر داشت؟" برای حل این مسئله، لازم است از دانش آموزان نه جذب رسمی مطالب برنامه، بلکه درک عمیق و آگاهانه آن، توسعه سرعت محاسبات شفاهی و تبدیل و همچنین توسعه مهارت های حل ساده ترین مطالب حاصل شود. مشکلات "در ذهن". لازم است دانش آموزان را متقاعد کرد که تنها در صورت حضور یک موقعیت فعال، در مطالعه ریاضی، مشروط به کسب مهارت های عملی، مهارت ها و استفاده از آنها، می توان روی موفقیت واقعی حساب کرد. لازم است از هر فرصتی برای آماده شدن برای امتحان استفاده شود، از جمله دروس انتخابی در پایه های 10-11، برای تجزیه و تحلیل منظم وظایف پیچیده با دانش آموزان، انتخاب منطقی ترین راه برای حل آنها در کلاس درس و کلاس های اضافی.نتیجه مثبت درحوزه حل مسائل معمولی را می توان در صورتی به دست آورد که معلمان ریاضی با ایجادآموزش ابتدایی خوب دانش آموزان، جستجوی راه های جدید برای حل مشکلاتی که پیش روی ما باز شده است، آزمایش فعالانه، به کارگیری فن آوری های آموزشی مدرن، روش ها، تکنیک هایی که شرایط مساعدی را برای خود تحقق بخشی موثر و خود تعیین کننده دانش آموزان ایجاد می کند. شرایط اجتماعی جدید

مثلثات جزء لاینفک درس ریاضی مدرسه است. دانش خوب و مهارت های قوی در مثلثات گواه سطح کافی از فرهنگ ریاضی، شرط ضروری برای مطالعه موفقیت آمیز ریاضیات، فیزیک و تعدادی از فنون است.رشته ها

مرتبط بودن کار. بخش قابل توجهی از فارغ التحصیلان مدرسه سال به سال آمادگی بسیار ضعیفی را در این بخش مهم ریاضیات نشان می دهند، همانطور که نتایج سال های گذشته (درصد تکمیل در سال 2011-48.41٪، 2012-51.05٪) از زمان تجزیه و تحلیل قبولی نشان می دهد. آزمون یکپارچه ایالتی نشان داد که دانش آموزان هنگام انجام تکالیف این بخش خاص اشتباهات زیادی مرتکب می شوند یا اصلاً چنین تکالیفی را انجام نمی دهند. در یک سوالات آزمون نمونه دولتی در مثلثات تقریبا در سه نوع کار یافت می شود. این حل ساده ترین معادلات مثلثاتی در کار B5 و کار با عبارات مثلثاتی در کار B7 و مطالعه توابع مثلثاتی در کار B14 و همچنین وظایف B12 است که در آن فرمول هایی برای توصیف پدیده های فیزیکی و حاوی توابع مثلثاتی وجود دارد. . و این تنها بخشی از وظایف B است! اما معادلات مثلثاتی مورد علاقه با انتخاب ریشه های C1 و وظایف هندسی "نه چندان مورد علاقه" C2 و C4 نیز وجود دارد.

هدف، واقعگرایانه. مطالب مربوط به وظایف USE B7 را که به تبدیل عبارات مثلثاتی اختصاص داده شده است را تجزیه و تحلیل کنید و وظایف را بر اساس شکل ارائه آنها در آزمون ها طبقه بندی کنید.

این اثر از دو فصل مقدمه و خاتمه تشکیل شده است. مقدمه بر ارتباط کار تأکید دارد. فصل اول یک طبقه بندی از وظایف برای استفاده از تبدیل عبارات مثلثاتی در تکالیف آزمایشی آزمون یکپارچه ایالت (2012) ارائه می کند.

در فصل دوم، سازماندهی تکرار مبحث «تحول عبارات مثلثاتی» در پایه های 10، 11 در نظر گرفته شده و تست هایی در این مبحث تدوین شده است.

فهرست منابع شامل 17 منبع است.

فصل 1. طبقه بندی وظایف برای استفاده از تبدیل عبارات مثلثاتی.

مطابق با استاندارد آموزش متوسطه (کامل) و الزامات سطح آموزش دانش آموزان، وظایف دانش مبانی مثلثات در کدنویس الزامات گنجانده شده است.

یادگیری اصول مثلثات زمانی موثرتر خواهد بود که:

دانش آموزان انگیزه مثبتی برای تکرار مطالبی که قبلاً مطالعه کرده اند، خواهند داشت.

رویکرد دانش آموز محور در فرآیند آموزشی اجرا خواهد شد.

سیستمی از وظایف اعمال خواهد شد که به گسترش، تعمیق، سیستم سازی دانش دانش آموزان کمک می کند.

فن آوری های آموزشی پیشرفته استفاده خواهد شد.

پس از تجزیه و تحلیل ادبیات و منابع اینترنتی برای آماده شدن برای امتحان، ما یکی از طبقه بندی های ممکن وظایف B7 (KIM USE 2012-مثلثات) را پیشنهاد کرده ایم: وظایف برای محاسبهمقادیر عبارات مثلثاتی؛ تکالیف برایتبدیل عبارات مثلثاتی عددی. تکالیف برای تبدیل عبارات مثلثاتی تحت اللفظی. وظایف مختلط

1.1. وظایف محاسباتی مقادیر عبارات مثلثاتی

یکی از رایج ترین انواع مسائل مثلثاتی ساده، محاسبه مقادیر توابع مثلثاتی با مقدار یکی از آنهاست:

الف) استفاده از هویت مثلثاتی پایه و پیامدهای آن.

مثال 1 . پیدا کنید اگر
و
.

راه حل.
,
,

زیرا ، سپس
.

پاسخ.

مثال 2 . پیدا کردن
، اگر
و .

راه حل.
,
,
.

زیرا ، سپس
.

پاسخ. .

ب) استفاده از فرمول های دو زاویه.

مثال 3 . پیدا کردن
، اگر
.

راه حل. ، .

پاسخ.
.

مثال 4 . مقدار یک عبارت را پیدا کنید
.

راه حل. .

پاسخ.
.

1. پیدا کردن ، اگر

. پاسخ. -0.2

2. پیدا کردن ، اگر
و
. پاسخ. 0.4

3. پیدا کردن

، اگر . پاسخ. -12.884. پیدا کردن

، اگر

. پاسخ. -0.845. مقدار عبارت را پیدا کنید:

. پاسخ. 66. مقدار یک عبارت را پیدا کنید

.پاسخ. -19

1.2.وظایف برای ساده سازی عبارات مثلثاتی. فرمول‌های کاهش باید به خوبی توسط دانش‌آموزان تسلط داشته باشند، زیرا بیشتر در درس‌های هندسه، فیزیک و سایر رشته‌های مرتبط استفاده خواهند شد.

مثال 5 . ساده سازی عبارات
.

راه حل. .

پاسخ.
.

وظایف برای راه حل مستقل:

1. بیان را ساده کنید

. پاسخ. 0.62. پیدا کردن

، اگر

و. پاسخ. 10.563. مقدار یک عبارت را پیدا کنید

، اگر

. پاسخ. 2

1.3. وظایف تبدیل عبارات مثلثاتی عددی.

هنگام توسعه مهارت ها و توانایی های وظایف برای تبدیل عبارات مثلثاتی عددی، باید به دانش جدول مقادیر توابع مثلثاتی، ویژگی های برابری و تناوب توابع مثلثاتی توجه شود.

الف) استفاده از مقادیر دقیق توابع مثلثاتی برای برخی زوایا.

مثال 6 . محاسبه
.

راه حل.
.

پاسخ.
.

ب) استفاده از خواص برابری توابع مثلثاتی

مثال 7 . محاسبه
.

راه حل. .

پاسخ.

که در) استفاده از ویژگی های دوره ایتوابع مثلثاتی

مثال 8 . مقدار یک عبارت را پیدا کنید
.

راه حل. .

پاسخ.
.

وظایف برای راه حل مستقل:

1. مقدار یک عبارت را پیدا کنید

. پاسخ. -40.52. مقدار عبارت را بیابید

. پاسخ. 17

3. مقدار یک عبارت را پیدا کنید
. پاسخ. 6

. پاسخ. -24

پاسخ. -64

1.4 وظایف مختلط

فرم آزمون گواهینامه دارای ویژگی های بسیار قابل توجهی است، بنابراین توجه به وظایف مرتبط با استفاده از چندین فرمول مثلثاتی به طور همزمان مهم است.

مثال 9 پیدا کردن
، اگر
.

راه حل.
.

پاسخ.
.

مثال 10 . پیدا کردن
، اگر
و
.

راه حل. .

زیرا ، سپس
.

پاسخ.
.

مثال 11. پیدا کردن
، اگر .

راه حل. , ,
,
,
,
,
.

پاسخ.

مثال 12. محاسبه
.

راه حل. .

پاسخ.
.

مثال 13 مقدار یک عبارت را پیدا کنید
، اگر
.

راه حل. .

پاسخ.
.

وظایف برای راه حل مستقل:

1. پیدا کردن

، اگر

. پاسخ. -1.75
2. پیدا کردن

، اگر

. پاسخ. 33. پیدا کنید

، اگر .پاسخ. 0.254. مقدار عبارت را بیابید

، اگر

. پاسخ. 0.35. مقدار عبارت را بیابید

، اگر

. پاسخ. 5

فصل 2. سازماندهی جنبه های روش شناختی تکرار نهایی مبحث "تحول عبارات مثلثاتی".

یکی از مهم ترین مسائلی که به بهبود عملکرد تحصیلی کمک می کند، دستیابی به دانش عمیق و مستحکم در بین دانش آموزان، موضوع تکرار مطالبی است که قبلاً مطالعه شده اند. تمرین نشان می دهد که در کلاس دهم سازماندهی یک تکرار موضوعی مصلحت تر است. در کلاس یازدهم - تکرار نهایی.

2.1. تکرار موضوعی در پایه دهم.

در فرآیند کار بر روی مطالب ریاضی، تکرار هر مبحث تکمیل شده یا یک بخش کامل از دوره اهمیت ویژه ای پیدا می کند.

با تکرار موضوعی، دانش دانش آموزان در مورد موضوع در مرحله پایانی عبور یا پس از استراحت، سیستماتیک می شود.

برای تکرار موضوعی، دروس ویژه ای اختصاص داده می شود که بر روی آنها مطالب یک موضوع خاص متمرکز و تعمیم می شود.

تکرار در درس از طریق گفتگو با مشارکت گسترده دانش آموزان در این گفتگو انجام می شود. پس از آن، به دانش آموزان وظیفه داده می شود تا موضوع خاصی را تکرار کنند و به آنها هشدار داده می شود که روی تست ها کار اعتباری انجام می شود.

یک آزمون در مورد یک موضوع باید شامل تمام سوالات اصلی آن باشد. پس از اتمام کار، خطاهای مشخصه تجزیه و تحلیل می شوند و برای حذف آنها تکراری سازماندهی می شود.

برای درس های تکرار موضوعی، ما توسعه یافته را ارائه می دهیم اوراق تستبا موضوع "تبدیل عبارات مثلثاتی".

تست شماره 1

تست شماره 2

تست شماره 3

جدول پاسخ

تست

2.2. تکرار پایانی در کلاس یازدهم.

تکرار نهایی در مرحله نهایی مطالعه مسائل اصلی درس ریاضی انجام می شود و در ارتباط منطقی با مطالعه مطالب آموزشی برای این بخش یا دوره به طور کلی انجام می شود.

تکرار نهایی مطالب آموزشی دارای اهداف زیر است:

1. فعال سازی مواد کل دوره آموزشی برای روشن شدن ساختار منطقی آن و ایجاد سیستمی در درون روابط موضوعی و بین موضوعی.

2. تعمیق و در صورت امکان گسترش دانش دانشجویان در مورد مسائل اصلی درس در فرآیند تکرار.

در زمینه امتحان اجباری در ریاضیات برای همه فارغ التحصیلان، معرفی تدریجی USE باعث می شود معلمان رویکرد جدیدی را برای آماده سازی و اجرای دروس اتخاذ کنند، با در نظر گرفتن نیاز به اطمینان از تسلط همه دانش آموزان بر مواد آموزشی در سطح پایه، و همچنین فرصتی برای دانشجویان با انگیزه علاقه مند به کسب نمرات بالا برای پذیرش در دانشگاه، پیشرفت پویا در تسلط بر مطالب در سطح فزاینده و بالا.

در درس های تکرار نهایی می توانید کارهای زیر را در نظر بگیرید:

مثال 1 . مقدار عبارت را محاسبه کنید.راه حل. =

= =

=0,5. پاسخ. 0.5. مثال 2 بزرگترین مقدار صحیحی که عبارت می تواند بگیرد را مشخص کنید

راه حل. زیرا
می تواند هر مقدار متعلق به بخش [–1; 1]، سپس
هر مقدار از بخش [-0.4; 0.4]، بنابراین. مقدار صحیح عبارت یک است - عدد 4.

جواب: 4 مثال 3 . بیان را ساده کنید

راه حل: بیایید از فرمول فاکتورگیری مجموع مکعب ها استفاده کنیم: . ما داریم

ما داریم:
.

پاسخ 1

مثال 4 محاسبه
.

راه حل. .

پاسخ: 0.28

برای درس های تکرار نهایی، تست های توسعه یافته با موضوع "تبدیل عبارات مثلثاتی" را ارائه می دهیم.

بزرگترین عدد صحیح را که از 1 تجاوز نکند مشخص کنید

نتیجه.

پس از بررسی ادبیات روش‌شناختی مربوطه در مورد این موضوع، می‌توان نتیجه گرفت که توانایی و مهارت در حل تکالیف مربوط به تبدیل‌های مثلثاتی در درس ریاضی مدرسه بسیار مهم است.

در طول کار انجام شده، طبقه بندی وظایف B7 انجام شد. فرمول های مثلثاتی که اغلب در CMM های سال 2012 استفاده می شود در نظر گرفته شده است. نمونه هایی از وظایف همراه با راه حل آورده شده است. تست‌های متفاوتی برای سازماندهی تکرار و نظام‌بندی دانش در آمادگی برای امتحان ایجاد شده‌اند.

توصیه می شود کار آغاز شده را با در نظر گرفتن ادامه دهید حل ساده ترین معادلات مثلثاتی در کار B5، مطالعه توابع مثلثاتی در کار B14، کار B12، که در آن فرمول هایی برای توصیف پدیده های فیزیکی و حاوی توابع مثلثاتی وجود دارد.

در خاتمه، مایلم یادآوری کنم که اثربخشی قبولی در آزمون تا حد زیادی با چگونگی سازماندهی مؤثر فرآیند آماده سازی در همه سطوح آموزشی، با همه دسته های دانش آموزان تعیین می شود. و اگر بتوانیم استقلال، مسئولیت پذیری و آمادگی دانش آموزان را برای ادامه یادگیری در طول زندگی بعدی خود شکل دهیم، نه تنها دستور دولت و جامعه را انجام خواهیم داد، بلکه عزت نفس خود را نیز افزایش خواهیم داد.

تکرار مطالب آموزشی مستلزم کار خلاقانه معلم است. او باید ارتباط روشنی بین انواع تکرار ایجاد کند، یک سیستم عمیقاً فکر شده تکرار را اجرا کند. تسلط بر هنر سازماندهی تکرار وظیفه معلم است. قدرت دانش دانش آموزان تا حد زیادی به راه حل آن بستگی دارد.

ادبیات.

Vygodsky Ya.Ya.، کتابچه راهنمای ریاضیات ابتدایی. -M.: Nauka، 1970.

وظایف افزایش دشواری در جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای کلاس های 10-11 دبیرستان / B.M. ایولف، A.M. آبراموف، یو.پی. دودنیتسین، اس.آی. شوارتزبرد. - م.: روشنگری، 1990.

استفاده از فرمول های مثلثاتی پایه برای تبدیل عبارات (پایه 10) // جشنواره ایده های آموزشی. 2012-2013.

کوریانوف A.G. ، پروکوفیف A.A. ما دانش آموزان خوب و دانش آموزان ممتاز را برای امتحان آماده می کنیم. - م.: دانشگاه علوم تربیتی «اول شهریور»، 1391.- 103 ص.

کوزنتسوا E.N.ساده سازی عبارات مثلثاتی. حل معادلات مثلثاتی با روش های مختلف (آمادگی برای امتحان). کلاس 11 ام. 2012-2013.

Kulanin E.D. 3000 مسئله رقابتی در ریاضیات. شناسه چهارم، درست است. و اضافی - M.: Rolf، 2000.

موردکوویچ A.G. مشکلات روشی مطالعه مثلثات در مدرسه آموزش عمومی // ریاضیات در مدرسه. 2002. شماره 6.

Pichurin L.F. درباره مثلثات و نه تنها در مورد آن: -M. روشنگری، 1985

Reshetnikov N.N. مثلثات در مدرسه: -M. : دانشگاه علوم تربیتی «اول شهریور»، 1385، lk 1.

Shabunin M.I.، Prokofiev A.A. ریاضی. جبر. شروع تجزیه و تحلیل ریاضی سطح مشخصات: کتاب درسی پایه دهم - M .: BINOM. آزمایشگاه دانش، 2007.

پورتال آموزشی برای آمادگی در آزمون.

آماده شدن برای امتحان ریاضی "اوه، این مثلثات! http://festival.1september.ru/articles/621971/

پروژه "ریاضی؟ آسان!!!" http://www.resolventa.ru/

بخش ها: ریاضی

کلاس: 11

درس 1

موضوع: پایه یازدهم (آمادگی برای امتحان)

ساده سازی عبارات مثلثاتی.

حل ساده ترین معادلات مثلثاتی (2 ساعت)

اهداف:

سیستم سازی، تعمیم، گسترش دانش و مهارت های دانش آموزان مربوط به استفاده از فرمول های مثلثاتی و حل ساده ترین معادلات مثلثاتی.

تجهیزات برای درس:

ساختار درس:

اورگمنت
تست روی لپ تاپ بحث در مورد نتایج.
ساده سازی عبارات مثلثاتی
حل ساده ترین معادلات مثلثاتی
کار مستقل.
خلاصه درس. توضیح تکالیف.

1. لحظه سازمانی. (2 دقیقه.)

معلم به حضار سلام می کند ، موضوع درس را اعلام می کند ، به یاد می آورد که قبلاً وظیفه تکرار فرمول های مثلثات داده شده بود و دانش آموزان را برای آزمایش قرار می دهد.

2. آزمایش. (15 دقیقه + 3 دقیقه بحث)

هدف آزمایش دانش فرمول های مثلثاتی و توانایی به کارگیری آنهاست. هر دانش آموز روی میز خود یک لپ تاپ دارد که در آن گزینه تست وجود دارد.

هر تعداد گزینه می تواند وجود داشته باشد، من نمونه ای از یکی از آنها را ذکر می کنم:

گزینه I

ساده سازی عبارات:

الف) هویت های مثلثاتی اساسی

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

ب) فرمول های جمع

3. sin5x - sin3x;

ج) تبدیل یک محصول به مبلغ

6. 2sin8y cos3y;

د) فرمول های دو زاویه

7.2sin5x cos5x;

ه) فرمول های نیم زاویه

و) فرمول های زاویه سه گانه

ز) جایگزینی جهانی

ح) پایین آوردن مدرک

16. cos 2 (3x/7);

دانش‌آموزان روی لپ‌تاپ در مقابل هر فرمول پاسخ‌های خود را می‌بینند.

کار فوراً توسط رایانه بررسی می شود. نتایج بر روی یک صفحه بزرگ نمایش داده می شود تا همه ببینند.

همچنین پس از پایان کار، پاسخ های صحیح بر روی لپ تاپ دانش آموزان نمایش داده می شود. هر دانش آموز می بیند که اشتباه کجا بوده و چه فرمول هایی را باید تکرار کند.

3. ساده سازی عبارات مثلثاتی. (25 دقیقه)

هدف تکرار، کار کردن و تثبیت کاربرد فرمول های اساسی مثلثات است. حل مسائل B7 از امتحان.

در این مرحله، توصیه می شود کلاس را به گروه های دانش آموزان قوی (کار مستقل با تأیید بعدی) و ضعیف که با معلم کار می کنند تقسیم کنید.

تکلیف برای دانش آموزان قوی (از قبل به صورت چاپی آماده شده است). بر اساس USE 2011 تاکید اصلی بر روی فرمول های کاهش و زاویه دوگانه است.

عبارات را ساده کنید (برای زبان آموزان قوی):

به موازات آن، معلم با دانش آموزان ضعیف کار می کند و تکالیف را بر روی صفحه نمایش تحت دیکته دانش آموزان حل می کند.

محاسبه:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

ساده کردن:

نوبت به بحث درباره نتایج کار گروه قوی رسید.

پاسخ ها روی صفحه نمایش داده می شود و همچنین با کمک دوربین فیلمبرداری، کار 5 دانش آموز مختلف (برای هر کدام یک کار) نمایش داده می شود.

گروه ضعیف شرایط و روش حل را می بیند. بحث و تحلیل است. با استفاده از ابزار فنی، این امر به سرعت اتفاق می افتد.

4. حل ساده ترین معادلات مثلثاتی. (30 دقیقه.)

هدف تکرار، نظام‌بندی و تعمیم حل ساده‌ترین معادلات مثلثاتی با ثبت ریشه‌های آنهاست. حل مسئله B3.

هر معادله مثلثاتی، مهم نیست چگونه آن را حل کنیم، به ساده ترین آنها منجر می شود.

دانش آموزان هنگام انجام تکالیف باید به نوشتن ریشه معادلات موارد خاص و فرم کلی و انتخاب ریشه در آخرین معادله توجه کنند.

حل معادلات:

کوچکترین ریشه مثبت پاسخ را بنویسید.

5. کار مستقل (10 دقیقه)

هدف آزمایش مهارت های کسب شده، شناسایی مشکلات، خطاها و راه های رفع آنهاست.

انواع کار به انتخاب دانشجو ارائه می شود.

گزینه برای "3"

1) مقدار عبارت را بیابید

2) عبارت 1 - sin 2 3α - cos 2 3α را ساده کنید

3) معادله را حل کنید

گزینه برای "4"

1) مقدار عبارت را بیابید

2) معادله را حل کنید کوچکترین ریشه مثبت پاسخ خود را بنویسید.

گزینه برای "5"

1) اگر tgα را پیدا کنید

2) ریشه معادله را پیدا کنید کوچکترین ریشه مثبت پاسخ خود را بنویسید.

6. خلاصه درس (5 دقیقه)

معلم این واقعیت را خلاصه می کند که درس فرمول های مثلثاتی را تکرار و ادغام می کند، حل ساده ترین معادلات مثلثاتی.

تکالیف (از قبل به صورت چاپی آماده شده است) با بررسی نقطه ای در درس بعدی تعیین می شود.

حل معادلات:

10) پاسخ خود را به عنوان کوچکترین ریشه مثبت بیان کنید.

درس 2

موضوع: پایه یازدهم (آمادگی برای امتحان)

روش های حل معادلات مثلثاتی. انتخاب ریشه (2 ساعت)

اهداف:

تعمیم و نظام مند کردن دانش در حل معادلات مثلثاتی انواع مختلف.
برای ترویج توسعه تفکر ریاضی دانش آموزان، توانایی مشاهده، مقایسه، تعمیم، طبقه بندی.
دانش آموزان را تشویق کنید تا بر مشکلات در فرآیند فعالیت ذهنی غلبه کنند، به خودکنترلی، درون نگری در فعالیت های خود.

تجهیزات برای درس: KRMu، لپ تاپ برای هر دانش آموز.

ساختار درس:

اورگمنت
بحث d/s و samot. کار درس آخر
تکرار روش های حل معادلات مثلثاتی.
حل معادلات مثلثاتی
انتخاب ریشه در معادلات مثلثاتی
کار مستقل.
خلاصه درس. مشق شب.

1. لحظه سازماندهی (2 دقیقه)

معلم به حضار سلام می کند، موضوع درس و برنامه کاری را اعلام می کند.

2. الف) تجزیه و تحلیل تکالیف (5 دقیقه)

هدف بررسی عملکرد است. یک اثر با کمک دوربین فیلمبرداری روی صفحه نمایش داده می شود، بقیه به صورت انتخابی برای بررسی معلم جمع آوری می شوند.

ب) تجزیه و تحلیل کار مستقل (3 دقیقه)

هدف این است که اشتباهات را مرتب کنید، راه هایی را برای غلبه بر آنها نشان دهید.

بر روی صفحه نمایش پاسخ ها و راه حل ها، دانش آموزان کار خود را از قبل صادر کرده اند. تحلیل به سرعت پیش می رود.

3. تکرار روشهای حل معادلات مثلثاتی (5 دقیقه)

هدف، یادآوری روش‌هایی برای حل معادلات مثلثاتی است.

از دانش آموزان بپرسید که چه روش هایی برای حل معادلات مثلثاتی می دانند. تاکید کنید که روش های به اصطلاح اساسی (متداول مورد استفاده) وجود دارد:

جایگزینی متغیر،
فاکتورسازی،
معادلات همگن،

و روش های کاربردی وجود دارد:

با توجه به فرمول های تبدیل جمع به حاصل و حاصلضرب به جمع،
با فرمول های کاهش،
جایگزینی مثلثاتی جهانی
معرفی یک زاویه کمکی،
ضرب در یک تابع مثلثاتی

همچنین لازم به یادآوری است که یک معادله را می توان به روش های مختلف حل کرد.

4. حل معادلات مثلثاتی (30 دقیقه)

هدف تعمیم و تجمیع دانش و مهارت در مورد این موضوع، آماده سازی برای حل C1 از USE است.

حل معادلات هر روش را به همراه دانش آموزان به مصلحت می دانم.

دانش آموز راه حل را دیکته می کند، معلم روی تبلت می نویسد، کل روند روی صفحه نمایش داده می شود. این به شما این امکان را می دهد که به سرعت و کارآمد مطالبی را که قبلاً پوشش داده شده است در حافظه خود بازیابی کنید.

حل معادلات:

1) تغییر متغیر 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) فاکتورسازی 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) معادلات همگن sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) تبدیل مجموع به حاصل ضرب cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) تبدیل محصول به مجموع 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) کاهش درجه sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0.5

7) جایگزینی مثلثاتی جهانی sinx + 5cosx + 5 = 0.

هنگام حل این معادله، باید توجه داشت که استفاده از این روش منجر به باریک شدن دامنه تعریف می شود، زیرا سینوس و کسینوس با tg(x/2) جایگزین می شوند. بنابراین، قبل از نوشتن پاسخ، لازم است بررسی کنید که آیا اعداد از مجموعه π + 2πn، n Z اسب های این معادله هستند یا خیر.

8) معرفی یک زاویه کمکی √3sinx + cosx - √2 = 0

9) ضرب در یک تابع مثلثاتی cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. انتخاب ریشه معادلات مثلثاتی (20 دقیقه)

از آنجایی که در شرایط رقابت شدید هنگام ورود به دانشگاه ها، حل یک قسمت اول امتحان کافی نیست، بیشتر دانشجویان باید به وظایف قسمت دوم (C1، C2، C3) توجه کنند.

بنابراین، هدف از این مرحله از درس، یادآوری مطالب قبلاً مطالعه شده، برای آماده شدن برای حل مسئله C1 از USE در سال 2011 است.

معادلات مثلثاتی وجود دارد که در آن هنگام نوشتن پاسخ باید ریشه ها را انتخاب کنید. این به دلیل برخی محدودیت ها است، به عنوان مثال: مخرج کسری برابر با صفر نیست، عبارت زیر ریشه یک درجه زوج غیر منفی است، عبارت زیر علامت لگاریتم مثبت است و غیره.

این گونه معادلات معادلات با پیچیدگی افزایش یافته در نظر گرفته شده و در نسخه USE در قسمت دوم یعنی C1 قرار دارند.

معادله را حل کنید:

کسر صفر است اگر آن وقت با استفاده از دایره واحد، ریشه ها را انتخاب می کنیم (شکل 1 را ببینید)

تصویر 1.

x = π + 2πn، n Z را دریافت می کنیم

پاسخ: π + 2πn، n Z

در صفحه، انتخاب ریشه ها روی یک دایره در یک تصویر رنگی نشان داده شده است.

زمانی که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصلضرب برابر با صفر است و کمان در عین حال معنای خود را از دست نمی دهد. سپس

با استفاده از دایره واحد، ریشه ها را انتخاب کنید (شکل 2 را ببینید)

بخش ها: ریاضی

کلاس: 11

درس 1

موضوع: پایه یازدهم (آمادگی برای امتحان)

ساده سازی عبارات مثلثاتی.

حل ساده ترین معادلات مثلثاتی (2 ساعت)

اهداف:

سیستم سازی، تعمیم، گسترش دانش و مهارت های دانش آموزان مربوط به استفاده از فرمول های مثلثاتی و حل ساده ترین معادلات مثلثاتی.

تجهیزات برای درس:

ساختار درس:

اورگمنت
تست روی لپ تاپ بحث در مورد نتایج.
ساده سازی عبارات مثلثاتی
حل ساده ترین معادلات مثلثاتی
کار مستقل.
خلاصه درس. توضیح تکالیف.

1. لحظه سازمانی. (2 دقیقه.)

2. آزمایش. (15 دقیقه + 3 دقیقه بحث)

هر تعداد گزینه می تواند وجود داشته باشد، من نمونه ای از یکی از آنها را ذکر می کنم:

گزینه I

ساده سازی عبارات:

الف) هویت های مثلثاتی اساسی

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

ب) فرمول های جمع

3. sin5x - sin3x;

ج) تبدیل یک محصول به مبلغ

6. 2sin8y cos3y;

د) فرمول های دو زاویه

7.2sin5x cos5x;

ه) فرمول های نیم زاویه

و) فرمول های زاویه سه گانه

ز) جایگزینی جهانی

ح) پایین آوردن مدرک

16. cos 2 (3x/7);

دانش‌آموزان روی لپ‌تاپ در مقابل هر فرمول پاسخ‌های خود را می‌بینند.

کار فوراً توسط رایانه بررسی می شود. نتایج بر روی یک صفحه بزرگ نمایش داده می شود تا همه ببینند.

3. ساده سازی عبارات مثلثاتی. (25 دقیقه)

هدف تکرار، کار کردن و تثبیت کاربرد فرمول های اساسی مثلثات است. حل مسائل B7 از امتحان.

عبارات را ساده کنید (برای زبان آموزان قوی):

به موازات آن، معلم با دانش آموزان ضعیف کار می کند و تکالیف را بر روی صفحه نمایش تحت دیکته دانش آموزان حل می کند.

محاسبه:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

ساده کردن:

نوبت به بحث درباره نتایج کار گروه قوی رسید.

گروه ضعیف شرایط و روش حل را می بیند. بحث و تحلیل است. با استفاده از ابزار فنی، این امر به سرعت اتفاق می افتد.

4. حل ساده ترین معادلات مثلثاتی. (30 دقیقه.)

هدف تکرار، نظام‌بندی و تعمیم حل ساده‌ترین معادلات مثلثاتی با ثبت ریشه‌های آنهاست. حل مسئله B3.

هر معادله مثلثاتی، مهم نیست چگونه آن را حل کنیم، به ساده ترین آنها منجر می شود.

حل معادلات:

کوچکترین ریشه مثبت پاسخ را بنویسید.

5. کار مستقل (10 دقیقه)

هدف آزمایش مهارت های کسب شده، شناسایی مشکلات، خطاها و راه های رفع آنهاست.

انواع کار به انتخاب دانشجو ارائه می شود.

گزینه برای "3"

1) مقدار عبارت را بیابید

2) عبارت 1 - sin 2 3α - cos 2 3α را ساده کنید

3) معادله را حل کنید

گزینه برای "4"

1) مقدار عبارت را بیابید

2) معادله را حل کنید کوچکترین ریشه مثبت پاسخ خود را بنویسید.

گزینه برای "5"

1) اگر tgα را پیدا کنید

2) ریشه معادله را پیدا کنید کوچکترین ریشه مثبت پاسخ خود را بنویسید.

6. خلاصه درس (5 دقیقه)

معلم این واقعیت را خلاصه می کند که درس فرمول های مثلثاتی را تکرار و ادغام می کند، حل ساده ترین معادلات مثلثاتی.

تکالیف (از قبل به صورت چاپی آماده شده است) با بررسی نقطه ای در درس بعدی تعیین می شود.

حل معادلات:

10) پاسخ خود را به عنوان کوچکترین ریشه مثبت بیان کنید.

درس 2

موضوع: پایه یازدهم (آمادگی برای امتحان)

روش های حل معادلات مثلثاتی. انتخاب ریشه (2 ساعت)

اهداف:

تعمیم و نظام مند کردن دانش در حل معادلات مثلثاتی انواع مختلف.
برای ترویج توسعه تفکر ریاضی دانش آموزان، توانایی مشاهده، مقایسه، تعمیم، طبقه بندی.
دانش آموزان را تشویق کنید تا بر مشکلات در فرآیند فعالیت ذهنی غلبه کنند، به خودکنترلی، درون نگری در فعالیت های خود.

تجهیزات برای درس: KRMu، لپ تاپ برای هر دانش آموز.

ساختار درس:

اورگمنت
بحث d/s و samot. کار درس آخر
تکرار روش های حل معادلات مثلثاتی.
حل معادلات مثلثاتی
انتخاب ریشه در معادلات مثلثاتی
کار مستقل.
خلاصه درس. مشق شب.

1. لحظه سازماندهی (2 دقیقه)

معلم به حضار سلام می کند، موضوع درس و برنامه کاری را اعلام می کند.

2. الف) تجزیه و تحلیل تکالیف (5 دقیقه)

ب) تجزیه و تحلیل کار مستقل (3 دقیقه)

هدف این است که اشتباهات را مرتب کنید، راه هایی را برای غلبه بر آنها نشان دهید.

بر روی صفحه نمایش پاسخ ها و راه حل ها، دانش آموزان کار خود را از قبل صادر کرده اند. تحلیل به سرعت پیش می رود.

3. تکرار روشهای حل معادلات مثلثاتی (5 دقیقه)

هدف، یادآوری روش‌هایی برای حل معادلات مثلثاتی است.

جایگزینی متغیر،
فاکتورسازی،
معادلات همگن،

و روش های کاربردی وجود دارد:

با توجه به فرمول های تبدیل جمع به حاصل و حاصلضرب به جمع،
با فرمول های کاهش،
جایگزینی مثلثاتی جهانی
معرفی یک زاویه کمکی،
ضرب در یک تابع مثلثاتی

همچنین لازم به یادآوری است که یک معادله را می توان به روش های مختلف حل کرد.

4. حل معادلات مثلثاتی (30 دقیقه)

هدف تعمیم و تجمیع دانش و مهارت در مورد این موضوع، آماده سازی برای حل C1 از USE است.

حل معادلات هر روش را به همراه دانش آموزان به مصلحت می دانم.

حل معادلات:

1) تغییر متغیر 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) فاکتورسازی 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) معادلات همگن sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) تبدیل مجموع به حاصل ضرب cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) تبدیل محصول به مجموع 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) کاهش درجه sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0.5

7) جایگزینی مثلثاتی جهانی sinx + 5cosx + 5 = 0.

8) معرفی یک زاویه کمکی √3sinx + cosx - √2 = 0

9) ضرب در یک تابع مثلثاتی cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. انتخاب ریشه معادلات مثلثاتی (20 دقیقه)

این گونه معادلات معادلات با پیچیدگی افزایش یافته در نظر گرفته شده و در نسخه USE در قسمت دوم یعنی C1 قرار دارند.

معادله را حل کنید:

کسر صفر است اگر آن وقت با استفاده از دایره واحد، ریشه ها را انتخاب می کنیم (شکل 1 را ببینید)

تصویر 1.

x = π + 2πn، n Z را دریافت می کنیم

پاسخ: π + 2πn، n Z

در صفحه، انتخاب ریشه ها روی یک دایره در یک تصویر رنگی نشان داده شده است.

با استفاده از دایره واحد، ریشه ها را انتخاب کنید (شکل 2 را ببینید)

شکل 2.

بریم سراغ سیستم:

در اولین معادله سیستم، ثبت تغییرات را 2 (sinx) = y می کنیم، معادله را بدست می آوریم سپس ، بازگشت به سیستم

با استفاده از دایره واحد، ریشه ها را انتخاب می کنیم (شکل 5 را ببینید)،

شکل 5

6. کار مستقل (15 دقیقه)

هدف تلفیق و بررسی جذب مواد، شناسایی خطاها و ترسیم راه‌های اصلاح آنها است.

این اثر در سه نسخه ارائه شده است که از قبل به صورت چاپی و به انتخاب دانشجویان تهیه شده است.

معادلات را می توان به هر شکلی حل کرد.

گزینه برای "3"

حل معادلات:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

گزینه برای "4"

حل معادلات:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

گزینه برای "5"

حل معادلات:

1) 2sinx - 3cosx = 2

7. خلاصه درس، تکلیف (5 دقیقه)

معلم درس را خلاصه می کند، یک بار دیگر توجه را به این واقعیت جلب می کند که معادله مثلثاتی را می توان به چندین روش حل کرد. بهترین راه برای دستیابی به یک نتیجه سریع، روشی است که توسط یک دانش آموز خاص به بهترین شکل آموخته شود.

هنگام آماده شدن برای امتحان، باید به طور سیستماتیک فرمول ها و روش های حل معادلات را تکرار کنید.

تکالیف (از قبل به صورت چاپی تهیه شده) توزیع شده و راه های حل برخی از معادلات توضیح داده شده است.

حل معادلات:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2x + sin2x = 3

4) گناه 2 x + گناه 2 2x - گناه 2 3x - گناه 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

AT تحولات یکسان عبارات مثلثاتیاز ترفندهای جبری زیر می توان استفاده کرد: جمع و تفریق عبارت های یکسان. خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز ضرب و تقسیم بر یک مقدار؛ استفاده از فرمول ضرب مختصر؛ انتخاب یک مربع کامل؛ فاکتورسازی یک مثلث مربع; معرفی متغیرهای جدید برای ساده سازی تبدیل.

هنگام تبدیل عبارات مثلثاتی حاوی کسر، می توانید از خواص نسبت، کاهش کسرها یا کاهش کسرها به مخرج مشترک استفاده کنید. علاوه بر این، می توانید از انتخاب قسمت صحیح کسر استفاده کنید و صورت و مخرج کسر را در یک مقدار ضرب کنید و همچنین در صورت امکان، یکنواختی صورت یا مخرج را نیز در نظر بگیرید. در صورت لزوم، می توانید یک کسر را به صورت مجموع یا تفاضل چند کسر ساده تر نشان دهید.

علاوه بر این، هنگام استفاده از تمام روش های لازم برای تبدیل عبارات مثلثاتی، لازم است که به طور مداوم محدوده مقادیر مجاز عبارات تبدیل شده را در نظر بگیرید.

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 1

محاسبه A = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x - π/2) cos ( 2x - 7π /2) +
+ گناه (3π/2 - x) گناه (2x -5π/2)) 2

راه حل.

از فرمول های کاهش نتیجه می شود:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x. cos (3π - x) \u003d -cos x;

گناه (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x؛ cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x؛ cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

گناه (3π / 2 - x) \u003d -cos x; گناه (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

از این رو، به موجب فرمول های جمع آرگومان ها و هویت مثلثاتی اولیه، به دست می آوریم

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= گناه 2 3x + cos 2 3x = 1

پاسخ 1.

مثال 2

عبارت M = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β – sin (α + β) sin γ + cos γ را به یک محصول تبدیل کنید.

راه حل.

از فرمول های جمع آرگومان ها و فرمول های تبدیل مجموع توابع مثلثاتی به حاصل ضرب، پس از گروه بندی مناسب، داریم.

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β - γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β - γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β - γ)/2) - (α + (β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

پاسخ: M = 4cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2) cos ((β + γ)/2).

مثال 3.

نشان دهید که عبارت A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) برای همه x از R یک می گیرد. و همین مقدار این مقدار را پیدا کنید.

راه حل.

ما دو روش برای حل این مشکل ارائه می دهیم. با استفاده از روش اول، با جداسازی مربع کامل و استفاده از فرمول های مثلثاتی اولیه مربوطه، به دست می آوریم.

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2 (cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

برای حل مسئله به روش دوم، A را تابعی از x از R در نظر بگیرید و مشتق آن را محاسبه کنید. پس از تحولات، می گیریم

А´ \u003d -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x - π/6) + cos (x + π/6) sin ( x + π/6)) - 2cos (x - π/6) sin (x - π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x - π/6)) - sin 2(x - π/6) =

Sin 2x - (sin (2x + π/3) + sin (2x - π/3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π/3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.

از این رو، با توجه به معیار ثبات یک تابع قابل تفکیک در یک بازه، نتیجه می گیریم که

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4، x ∈ R.

پاسخ: A = 3/4 برای x € R.

روشهای اصلی اثبات هویت مثلثاتی عبارتند از:

آ)کاهش سمت چپ هویت به سمت راست با تبدیل مناسب.
ب)کاهش سمت راست هویت به سمت چپ؛
که در)کاهش قسمت راست و چپ هویت به یک شکل.
ز)کاهش به صفر تفاوت بین قسمت چپ و راست هویت در حال اثبات است.

مثال 4

بررسی کنید که cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).

راه حل.

تبدیل سمت راست این هویت با توجه به فرمول های مثلثاتی مربوطه، داریم

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) - (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

سمت راست هویت به سمت چپ کاهش می یابد.

مثال 5

ثابت کنید که sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ = 2 اگر α، β، γ زوایای داخلی یک مثلث باشند.

راه حل.

با توجه به اینکه α، β، γ زوایای داخلی یک مثلث هستند، آن را بدست می آوریم

α + β + γ = π و از این رو γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 (1 - cos 2α) + ½ (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 (cos 2α + cos 2β) = 2.

برابری اصلی ثابت شده است.

مثال 6

ثابت کنید برای اینکه یکی از زوایای α، β، γ مثلث برابر با 60 درجه باشد، لازم و کافی است که sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0 باشد.

راه حل.

شرط این مشکل، ثبوت وجوب و کفایه هر دو را فرض می کند.

ابتدا ثابت می کنیم نیاز داشتن.

می توان نشان داد که

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

بنابراین، با در نظر گرفتن cos (3/2 60°) = cos 90° = 0، به دست می آوریم که اگر یکی از زوایای α، β یا γ برابر با 60 درجه باشد، آنگاه

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 و از این رو sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

حالا ثابت کنیم کفایتشرایط مشخص شده

اگر sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0، پس cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0، و بنابراین

یا cos (3α/2) = 0، یا cos (3β/2) = 0، یا cos (3γ/2) = 0.

در نتیجه،

یا 3α/2 = π/2 + πk، یعنی. α = π/3 + 2πk/3،

یا 3β/2 = π/2 + πk، یعنی. β = π/3 + 2πk/3،

یا 3γ/2 = π/2 + πk،

آن ها γ = π/3 + 2πk/3، که در آن k ε Z.

از اینکه α، β، γ زوایای یک مثلث هستند، داریم

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

بنابراین، برای α = π/3 + 2πk/3 یا β = π/3 + 2πk/3 یا

γ = π/3 + 2πk/3 از همه kεZ فقط k = 0 مناسب است.

از این رو چنین است که یا α = π/3 = 60 درجه، یا β = π/3 = 60 درجه، یا γ = π/3 = 60 درجه.

ادعا ثابت شده است.

آیا هیچ سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه عبارات مثلثاتی را ساده کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی - ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.