عمود وسط در مثلث قائم الزاویه. یک دایره در اطراف مثلث مثلثی در اطراف یک دایره

اثبات قضایا در مورد خواص دایره ای که در اطراف یک مثلث قرار گرفته است

وسط عمود بر بخش خط

تعریف 1. وسط عمود بر بخش خطنامیده می شود ، یک خط مستقیم عمود بر این بخش و عبور از وسط آن (شکل 1).

قضیه 1 هر نقطه از نقطه وسط عمود بر بخش خط است در همان فاصله از انتها این بخش

اثبات یک نقطه دلخواه D را که عمود بر بخش AB قرار دارد در نظر بگیرید (شکل 2) و ثابت کنید که مثلث های ADC و BDC برابر هستند.

در واقع ، این مثلث ها مثلث هایی با زاویه راست هستند که در آنها پاهای AC و BC برابر هستند و پا DC معمولی است. برابری مثلثهای ADC و BDC برابری بخشهای AD و DB را نشان می دهد. قضیه 1 ثابت شده است.

قضیه 2 (برعکس قضیه 1)... اگر نقطه ای از انتهای یک قطعه خط در یک فاصله باشد ، در وسط عمود بر این قسمت قرار دارد.

اثبات اجازه دهید قضیه 2 را با تناقض اثبات کنیم. برای این منظور ، فرض کنید که نقطه E در فاصله یکسانی از انتهای قطعه قرار دارد ، اما در وسط عمود بر این بخش قرار ندارد. اجازه دهید این فرض را به تناقض برسانیم. اجازه دهید ابتدا موردی را در نظر بگیریم که نقاط E و A در طرف مقابل عمود بر نقطه وسط قرار دارند (شکل 3). در این حالت ، بخش EA در نقطه ای عمود بر نقطه وسط قرار دارد ، که ما آن را با حرف D نشان می دهیم.

اجازه دهید ثابت کنیم که بخش AE طولانی تر از بخش EB است. واقعا ،

بنابراین ، در مواردی که نقاط E و A در طرف مقابل عمود قرار دارند ، ما دچار تناقض می شویم.

حال موردی را در نظر بگیرید که نقاط E و A در یک طرف عمود بر نقطه وسط قرار دارند (شکل 4). اجازه دهید ثابت کنیم که بخش EB طولانی تر از بخش AE است. واقعا ،

این تناقض اثبات قضیه 2 را تکمیل می کند.

دایره ای در اطراف مثلث

تعریف 2. با یک دایره در اطراف مثلث، دایره ای است که از هر سه راس مثلث عبور می کند (شکل 5). در این حالت ، مثلث نامیده می شود مثلثی که در یک دایره حک شده است ،یا مثلث حک شده.

ویژگی های یک دایره که در یک مثلث قرار گرفته است. قضیه سینوسی

شکل	نقاشی	ویژگی
عمود بر وسط به اضلاع مثلث		در یک نقطه قطع می شوند .

مرکز محدوده مثلث حاد زاویه دار یک دایره		مرکز در مورد توضیح داده شده است حاد زاویه دار داخل مثلث.
مرکز در مورد مثلث زاویه دار یک دایره محدود شده است		مرکز توضیح داد در مورد مستطیل شکل هیپوتنوز وسط .
مرکز درمورد مثلث مبهم یک دایره محدود شده است		مرکز در مورد توضیح داده شده است دیر فهم مثلث دایره دروغ می گوید بیرون مثلث.
		,
مربع مثلث		S = 2R 2 گناه آگناه بگناه ج ,
شعاع دایره محدود شده		برای هر مثلثی ، برابری صادق است:

عمود بر وسط اضلاع مثلث

همه عمود بر میانه کشیده به اضلاع مثلث دلخواه ، در یک نقطه قطع می شوند .

دایره ای در اطراف مثلث

یک دایره را می توان در اطراف هر مثلثی توصیف کرد ... مرکز دایره ای که در اطراف مثلثی قرار گرفته ، نقطه ای است که همه عمود بر اضلاع مثلث در آن قطع می شوند.

مرکز یک دایره که در اطراف مثلثی با زاویه حاد قرار گرفته است

مرکز در مورد توضیح داده شده است حاد زاویه دار مثلث دایره دروغ می گوید داخل مثلث.

مرکز یک دایره که در اطراف مثلثی با زاویه راست قرار گرفته است

مرکز توضیح داد در مورد مستطیل شکل مثلث دایره است هیپوتنوز وسط .

مرکز یک دایره که در اطراف یک مثلث مبهم قرار گرفته است

مرکز در مورد توضیح داده شده است دیر فهم مثلث دایره دروغ می گوید بیرون مثلث.

برای هر مثلثی ، مساوات صادق است (قضیه سینوسی):

جایی که a ، b ، c اضلاع مثلث ، A ، B ، C گوشه های مثلث هستند ، R شعاع دایره محدود است.

مساحت مثلث

برای هر مثلثی ، برابری صادق است:

S = 2R 2 گناه آگناه بگناه ج ,

جایی که A ، B ، C زاویه های مثلث هستند ، S مساحت مثلث است ، R شعاع دایره محدود است.

شعاع دایره محدود شده

برای هر مثلثی ، برابری صادق است:

جایی که a ، b ، c اضلاع مثلث هستند ، S مساحت مثلث است ، R شعاع دایره محدود است.

اثبات قضایا در مورد خواص دایره ای که در اطراف یک مثلث قرار گرفته است

قضیه 3. همه عمود بر اضلاع مثلث دلخواه در یک نقطه قطع می شوند.

اثبات دو عمود بر اضلاع AC و AB مثلث ABC در نظر بگیرید و نقطه تقاطع آنها را با حرف O مشخص کنید (شکل 6).

از آنجا که نقطه O در نقطه وسط عمود بر بخش AC قرار دارد ، بنابراین ، بر اساس قضیه 1 ، برابری برقرار است.

عمود وسط (عمود بر متوسطیا مدیتریکس) یک خط مستقیم عمود بر این بخش است و از وسط آن می گذرد.

خواص

p_a = \ tfrac (2aS) (a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2) ، p_b = \ tfrac (2bS) (a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2) ، p_c = \ tfrac (2cS) ( a ^ 2-b ^ 2 + c ^ 2) ،

جایی که زیرنویس طرفی را نشان می دهد که عمود بر آن کشیده شده است ،

س

مساحت مثلث است و همچنین فرض می شود که اضلاع توسط نابرابری ها به هم متصل شده اند

a \ geqslant b \ geqslant ج.

p_a \ geq p_b

p_c \ geq p_b.

به عبارت دیگر ، یک مثلث دارای کوچکترین نقطه میانی عمود بر بخش میانی است.

در مورد مقاله "خط مرکز عمود بر" بنویسید

یادداشت ها (ویرایش)

گزیده ای که نقطه وسط عمود را مشخص می کند

کوتوزوف که برای جویدن متوقف شد ، با تعجب به ولزوژن خیره شد ، انگار نمی فهمید چه چیزی به او گفته شده است. ولزوژن ، با توجه به هیجان هرن هرن ، [آقا پیر (آلمانی)] با لبخند گفت:
- من خودم را مستحق ندانستم آنچه را که از پروردگارتان دیدم پنهان کنم ... نیروها در بی نظمی کامل هستند ...
- دیده ای؟ دیدی؟ .. - کوتوزوف فریاد زد ، اخم کرد ، سریع بلند شد و پا به ولزوژن گذاشت. "چگونه شما ... چگونه جرات می کنید! .." او فریاد زد و با دست دادن و خفه شدن اشارات تهدید آمیزی انجام داد. - چگونه می توانید آقا عزیزم این را به من بگویید. تو هیچی بلد نیستی از من به ژنرال بارکلی بگویید که اطلاعات او نادرست است و جریان واقعی نبرد برای من ، فرمانده کل ، بهتر از او است.
ولزوژن می خواست به چیزی اعتراض کند ، اما کوتوزوف حرف او را قطع کرد.
- دشمن در سمت چپ دفع می شود و در جناح راست شکست می خورد. اگر شما بد دیدید ، آقا ، پس به خود اجازه ندهید آنچه را نمی دانید بگوید. لطفاً به ژنرال بارکلی بروید و روز بعد قصد ضروری من برای حمله به دشمن را به او منتقل کنید - کوتوزوف به شدت گفت. همه ساکت بودند و می شد صدای یک تنفس سنگین ژنرال قدیمی که نفس نفس می زد را شنید. - همه جا دافعه شد ، که از این جهت خدا و ارتش شجاع ما را شکر می کنم. دشمن شکست می خورد ، و فردا ما او را از سرزمین مقدس روسیه بدرقه می کنیم ، - کوتوزوف با عبور از خود گفت. و ناگهان از اشکهای جاری گریه کرد. وولزوژن شانه هایش را بالا انداخت و لب هایش را جمع کرد ، بی سر و صدا کنار رفت و از شگفت انگیز Eingenommenheit des alten Herrn شگفت زده شد. [به این استبداد استاد قدیمی. (آلمانی)]
کوتوزوف خطاب به ژنرال موهای سیاه و زیبا که در آن زمان وارد تپه می شد ، گفت: "بله ، او اینجا است ، قهرمان من." این Raevsky بود که تمام روز را در نقطه اصلی میدان Borodino گذراند.
Raevsky گزارش داد که سربازان محکم در محل خود هستند و فرانسوی ها دیگر جرات حمله به آنها را ندارند. کوتوزوف پس از گوش دادن به او به زبان فرانسوی گفت:
- Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous pensioner؟ [بنابراین شما مانند دیگران فکر نمی کنید که ما باید عقب نشینی کنیم؟]

برای ارائه ایده ای از طبقه جدیدی از مشکلات - ساخت اشکال هندسی با استفاده از قطب نما و خط کش بدون تقسیم مقیاس.

مفهوم GMT را معرفی کنید.

تعریف عمود بر میانه ، نحوه ساخت آن را بیاموزید و قضیه را درباره عمود بر میانه و همچنین معکوس آن ثابت کنید.

استفاده از سیستم طراحی رایانه ای "Compass-3D" برای انجام سازه های هندسی ، که توصیه می شود در درس هندسه با استفاده از قطب نما و خط کش انجام شود.

مواد دستی (ضمیمه شماره 1)

وظایف ساختمان با قطب نما و خط کش بدون تقسیم اغلب بر اساس یک طرح خاص حل می شود:

من. تحلیل و بررسی: شکل مورد نظر را به صورت شماتیک رسم کرده و بین داده های کار و عناصر مورد نظر ارتباط برقرار کنید.

II ساختمان: طبق برنامه ریزی انجام شده ، ساخت و ساز با قطب نما و خط کش انجام می شود.

سوم اثبات: ثابت کنید که شکل ساخته شده شرایط مسئله را برآورده می کند.

IV مطالعه: یک مطالعه انجام دهید ، برای هر داده داده شده ، مشکل یک راه حل دارد و اگر دارد ، چند راه حل (در همه مشکلات انجام نمی شود).

در اینجا چند نمونه از کارهای اساسی ساختمان است که ما در نظر خواهیم گرفت:

1. بخش مساوی با بخش داده شده را به تعویق بیندازید (قبلاً مطالعه شده بود).

2. ساخت نقطه وسط عمود بر بخش خط:

وسط یک بخش مشخص را بسازید ؛
یک خط مستقیم که از یک نقطه معین و عمود بر یک خط مستقیم معین عبور می کند ، بسازید (یک نقطه ممکن است روی یک خط مستقیم معین قرار گیرد یا نباشد).

3. ساخت نیمساز زاویه.

4. ساخت زاویه مساوی زاویه داده شده.

وسط عمود بر بخش خط.

تعریف: نقطه میانی عمود بر یک خط خطی یک خط مستقیم است که از نقطه وسط یک قسمت خط عبور کرده و عمود بر آن است.

وظیفه: "نقطه میانی را عمود بر بخش خط بسازید". ارائه

О - AB متوسط

توضیحات ساختمان ( اسلاید شماره 4):

ری a؛ الف - آغاز پرتو

محیط (A ؛ r = m)

محیط a = B ؛ AB = متر

دایره 1 (A ؛ r 1> m / 2)

دایره 2 (B ؛ r 1)

دایره 1 دایره 2 =

MN ؛ MN AB = 0 ، (MN = L)

جایی که MN AB ، O نقطه میانی AB است

سوم اثبات(اسلاید شماره 5 ، 6)

1. AMN و BNM را در نظر بگیرید:

AM = MB = BN = AN = r 2 ، بنابراین AM = BN ، AN = BM MN - طرف مشترک

(شکل 3)

بنابراین AMN = BNM (در 3 طرف) ،

از این رو

1 = 2 (با تعریف برابر)

3 = 4 (با تعریف برابر)

2. MAN و NBM - متساوی الساقین (با تعریف) ->

1 = 4 و 3 = 2 (با خاصیت متساوی الساقین)

3. از نقاط 1 و 2 -> 1 = 3 از این رو MO نیمساز یک AMB متساوی الساقین است

4. بنابراین ، ما ثابت کردیم که MN عمود بر بخش AB است

IV مطالعه

این مشکل تنها راه حل را دارد ، از آنجا که هر بخش فقط یک نقطه میانی دارد و از طریق یک نقطه مشخص می توانید یک خط مستقیم عمود بر قسمت داده شده بکشید.

تعریف: مجموعه هندسی نقاط (GMT) مجموعه نقاطی است که دارای ویژگی خاصی هستند. (ضمیمه شماره 2)

GMT برای شما شناخته شده است:

نقطه میانی عمود بر بخش خط مجموعه ای از نقاط است که با انتهای بخش خط فاصله یکسانی دارند.
نیمساز زاویه - مجموعه ای از نقاط که از اضلاع یک زاویه با هم فاصله دارند

بنابراین ، بیایید قضیه را اثبات کنیم:

قضیه: "هر نقطه از عمود بر قطعه با انتهای این بخش فاصله یکسانی دارد."

(شکل 4)

داده شده: AB ؛ MO - عمود بر وسط

ثابت کنید: AM = BM

اثبات:

1. MO - نقطه وسط عمود (بر اساس شرایط) -> O - نقطه وسط بخش AB ، MOAB

2. AMO و WMO - مستطیلی را در نظر بگیرید

MO - پای مشترک

AO = BO (O -وسط AB) -> AMO = BMO (در 2 پا) -> AM = BM (با تعریف مثلث های مساوی ، به عنوان اضلاع مربوطه)

Q.E.D

تکلیف: "اثبات قضیه مخالف"

قضیه: "هر نقطه با فاصله یکسانی از انتهای یک قطعه عمود بر این بخش قرار دارد".

(شکل 5)

داده شده: AB ؛ MA = MB

ثابت كردن: نقطه M در عمود وسط قرار دارد

اثبات:

که MO عمود میانی است که شامل تمام نقاط با فاصله یکسانی از انتهای قطعه است.

خاصیت مرکز عمود بر اضلاع مثلث است

آنها در یک نقطه قطع می شوند و این نقطه مرکز دایره محدود شده در اطراف مثلث است ، ما در کلاس هشتم مطالعه خواهیم کرد.

کارگاه

تجهیزات مادی و فنی:

حجم: 29،574 کیلوبایت

سیستم عامل: ویندوز 9x / 2000 / XP

وب سایت: http://www.ascon.ru

حالا بیایید ساختار را به محیط گرافیکی کامپیوتر منتقل کنیم. (اسلاید شماره 7)

دانش و مهارت های قبلی باید در یک کار خاص اعمال شود. خواهید دید که ساختمان بیش از ساختن یک دفترچه یادداشت برای شما زمان نمی برد. در میان چیزهای دیگر ، جالب است که ببینیم محیط کامپیوتر چگونه دستورات انسان را برای ساختن شکل های صفحه اجرا می کند. در اینجا ضمیمه شماره 3 آمده است که مراحل ساختمان شما را به تفصیل شرح می دهد. برنامه را بارگذاری کنید و یک نقاشی جدید باز کنید ( اسلاید شماره 8, 9).

رسم اشیاء هندسی مشخص شده در دستور مسئله: ray آشروع از نقطه آو بخش مساوی است متر- طول دلخواه ( اسلاید شماره 10).

با استفاده از زبانه ، مشخصه پرتو ، بخش ، آغاز پرتو را در نقاشی وارد کنید "ابزار"متن

یک دایره با شعاع مساوی با بخش خط بسازید متردر راس یک نقطه معین متمرکز شده است آ (اسلاید شماره 11).

متردر نقطه مشخص A در راس متمرکز شده است ( اسلاید شماره 12 ، 13).

یک دایره با شعاع مساوی با یک خط بزرگتر از 1/2 بسازید متربرای انجام این کار ، مورد "را انتخاب کنید بین 2 امتیاز " (اسلاید شماره 14 ، 15 ، 16).

از طریق نقاط تقاطع دایره ها M و Nیک خط مستقیم بکشید ( اسلاید شماره 17.18).

کتابهای مورد استفاده:

اوگرینوویچ ND "انفورماتیک. دوره اصلی "پایه 7. - M: BINOM - 2008 - 175 ص.
Ugrinovich ND "کارگاه آموزشی انفورماتیک و فناوری اطلاعات". آموزش - M: BINOM ، 2004-2006. -
Ugrinovich ND "آموزش دوره" انفورماتیک و فناوری اطلاعات و ارتباطات "در مقاطع ابتدایی و دبیرستان 8-11 M.: آزمایشگاه دانش BINOM ، 2008. - 180 ص.
کارگاه آموزشی رایانه Ugrinovich ND در CD-ROM. - M: BINOM ، 2004-2006.
بوگوسلاوسکی A.A. ، Tretyak T.M. فرافونوف A.A. "قطب نما - 3D v 5.11-8.0 کارگاه برای مبتدیان" - M: SOLON - PRESS ، 2006 - 272 p.
آتاناسیان L.S. ، Butuzov V.F. ، Kadomtsev S.B. ، و همکاران. "هندسه 7-9. کتاب درسی برای مدارس متوسطه " - M: Education 2006 - 384 p.
Atanasyan LS ، Butuzov VF ، Kadomtsev SB و همکاران. "مطالعه هندسه درجه 7-9. توصیه های روش برای کتاب درسی ” - M: Education 1997 - 255 p.
Afanasyeva T.L. ، Tapilina L.A. "برنامه های درس برای کتاب درسی کلاس هشتم Atanasyan LS" - ولگوگراد "معلم" 2010 ، 166 ص.

ضمیمه شماره 1

برنامه ای برای حل مشکلات ساختمان با قطب نما و خط کش.

تحلیل و بررسی.
ساخت و ساز.
اثبات
مطالعه.

توضیح

هنگام انجام تجزیه و تحلیل ، شکل مورد نیاز به صورت شماتیک ترسیم شده و بین داده های وظیفه و عناصر مورد نیاز ارتباط برقرار می شود.
طبق برنامه ریزی شده ، ساخت و ساز با قطب نما و خط کش انجام می شود.
ثابت کنید که شکل ساخته شده شرایط مسئله را برآورده می کند.
تحقیقات انجام می شود: آیا برای هر داده داده شده ، آیا مشکل راه حلی دارد و در صورت وجود ، چند راه حل؟

نمونه هایی از کارهای اولیه ساختمان

بخش مساوی با بخش داده شده را به تعویق بیندازید.
نقطه میانی را عمود بر بخش خط بسازید.
نقطه وسط بخش خط را ترسیم کنید.
یک خط مستقیم که از یک نقطه معین عبور می کند ، عمود بر یک خط مستقیم معین بسازید (یک نقطه ممکن است روی یک خط مستقیم معین قرار گیرد یا نباشد).
نیمساز زاویه را بسازید.
زاویه ای برابر با زاویه داده شده بسازید.

ضمیمه شماره 2

منبع نقاط (GMT) مجموعه نقاطی است که دارای ویژگی خاصی هستند.

نمونه هایی از GMT:

نقطه میانی عمود بر بخش خط مجموعه ای از نقاط است که با انتهای بخش خط فاصله یکسانی دارند.
دایره مجموعه ای از نقاط است که با یک نقطه معین فاصله دارند - مرکز دایره.
نیمساز یک زاویه مجموعه ای از نقاط است که از اضلاع زاویه با هم فاصله دارند.

هر نقطه از نقطه میانی عمود بر قطعه با انتهای این بخش فاصله یکسانی دارد.

در درس قبل ، خواص نیمساز یک زاویه را که هم در یک مثلث محصور شده اند و هم آزاد ، بررسی کردیم. مثلث شامل سه زاویه است و برای هر یک از آنها خواص در نظر گرفته شده از دوسویه حفظ می شود.

قضیه:

نیمسازهای AA 1 ، BB 1 ، CC 1 مثلث در یک نقطه O قطع می شوند (شکل 1).

برنج. 1. نشان دادن قضیه

اثبات:

دو نیمساز اول BB 1 و CC 1 را در نظر بگیرید. آنها قطع می شوند ، نقطه تقاطع O وجود دارد. برای اثبات این امر ، برعکس فرض کنید: اجازه دهید نیمسازهای داده شده تلاقی نکنند ، در این صورت آنها موازی هستند. سپس خط BC یک ثانویه و مجموع زوایا است ، این با این واقعیت که کل مثلث مجموع زوایا است ، در تضاد است.

بنابراین ، نقطه O تقاطع دو نیمسکه وجود دارد. ویژگی های آن را در نظر بگیرید:

نقطه O روی نیمساز زاویه قرار دارد ، به این معنی که از دو طرف BA و BC فاصله مساوی دارد. اگر OK عمود بر BC است ، OL عمود بر VA است ، سپس طول این عمود بر -است. همچنین ، نقطه O روی نیمساز زاویه قرار دارد و از طرفین CV و CA با هم فاصله دارند ، عمود بر خط های ОМ و ОК مساوی هستند.

ما برابری های زیر را بدست آوردیم:

، یعنی هر سه عمود بریده از نقطه O به اضلاع مثلث برابر یکدیگر هستند.

ما به برابری عمود بر OL و OM علاقه مند هستیم. این برابری می گوید که نقطه O از اضلاع زاویه مساوی است و از آن نتیجه می گیرد که بر روی نیمساز AA 1 قرار دارد.

بنابراین ، ما ثابت کرده ایم که هر سه نیمسط مثلث در یک نقطه قطع می شوند.

علاوه بر این ، یک مثلث از سه بخش خط تشکیل شده است ، به این معنی که ما باید ویژگی های یک خط واحد را در نظر بگیریم.

بخش AB تنظیم شده است. هر بخش دارای یک وسط است و می توان یک عمود بر آن کشید - ما آن را با p نشان می دهیم. بنابراین ، p نقطه وسط عمود است.

برنج. 2. نشان دادن قضیه

هر نقطه ای که در عمود وسط قرار دارد با انتهای بخش خط فاصله یکسانی دارد.

ثابت کنید (شکل 2).

اثبات:

مثلث ها و. آنها مستطیل شکل و مساوی هستند ، زیرا دارای یک OM پای مشترک هستند و پاهای AO و OB از نظر شرط برابر هستند ، بنابراین ما دو مثلث زاویه دار راست در دو پا داریم. نتیجه می شود که دوپایان مثلث ها نیز برابر هستند ، یعنی طبق نیاز.

قضیه معکوس درست است.

هر نقطه با فاصله یکسانی از انتهای یک قطعه خط در وسط عمود بر این بخش قرار دارد.

یک بخش AB داده می شود ، عمود بر آن p است ، نقطه M ، با فاصله انتهایی قطعه از هم فاصله دارد. ثابت کنید که نقطه M در نقطه وسط عمود بر قطعه قرار دارد (شکل 3).

برنج. 3. نشان دادن قضیه

اثبات:

مثلثی را در نظر بگیرید. او طبق شرایط ، متساوی الساق است. میانه مثلث را در نظر بگیرید: نقطه O وسط پایه AB است ، OM میانه است. با توجه به خاصیت مثلث متساوی الساقین ، میانه ای که به قاعده آن کشیده می شود ، هم ارتفاع و هم نیمسکه است. از این رو نتیجه می گیرد که. اما خط p نیز عمود بر AB است. ما می دانیم که تنها عمود بر بخش AB را می توان به نقطه O رساند ، به این معنی که خطوط OM و p با هم منطبق هستند ، به این ترتیب نقطه M متعلق به خط p است که برای اثبات آن لازم بود.

قضایای مستقیم و معکوس را می توان تعمیم داد.

یک نقطه در وسط عمود بر قطعه قرار دارد اگر و فقط اگر با انتهای این بخش فاصله یکسانی داشته باشد.

بنابراین ، اجازه دهید تکرار کنیم که سه قسمت خط در یک مثلث وجود دارد و ویژگی نقطه عمود بر عمود بر هر یک از آنها قابل اجرا است.

قضیه:

عمود بر میانی مثلث در یک نقطه قطع می شوند.

مثلثی تنظیم شده است. عمود بر اضلاع آن: Р 1 به طرف قبل از میلاد ، Р 2 به سمت AC ، Р 3 به سمت AB.

ثابت کنید که عمود بر P 1 ، P 2 و P 3 در نقطه O قطع می شوند (شکل 4).

برنج. 4. نشان دادن قضیه

اثبات:

دو عمود P 2 و P 3 را در نظر بگیرید ، آنها قطع می شوند ، نقطه تقاطع O وجود دارد. اجازه دهید این حقیقت را با تناقض اثبات کنیم - بگذارید عمود بر موارد 2 و 3 3 موازی باشند. سپس زاویه باز می شود ، که با این واقعیت که مجموع سه زاویه یک مثلث است ، مغایرت دارد. بنابراین ، نقطه ای از تقاطع دو مورد از سه حالت عمود بر هم وجود دارد. خواص نقطه O: در وسط عمود بر ضلع AB قرار دارد ، به این معنی که از انتهای بخش AB فاصله مساوی دارد :. همچنین در وسط عمود بر طرف AC قرار دارد که به این معنی است. ما برابری های زیر را بدست آوردیم.