یک سیستم میله ای استاتیکی نامعین تخت را محاسبه کنید. محاسبه سیستم های استاتیکی نامعین به روش نیرو

سیستم های استاتیکی نامعین را سیستم های میله ای می نامند، برای تعیین واکنش تکیه گاه هایی که در آنها فقط معادلات تعادل کافی نیست. از نقطه نظر سینماتیک، اینها سیستم های میله ای هستند که تعداد درجات آزادی آنها کمتر از تعداد پیوندها است. برای آشکارسازی عدم قطعیت استاتیکی چنین سیستم‌هایی، لازم است معادلات سازگاری تغییر شکل اضافی ایجاد شود. تعداد چنین معادلاتی با تعداد نامعینی استاتیکی سیستم میله تعیین می شود. شکل 8.14 نمونه هایی از تیرها و قاب های استاتیکی نامعین را نشان می دهد.

تیر نشان داده شده در شکل 8.14b نامیده می شود مداومپرتو. این نام از این واقعیت ناشی می شود که تکیه گاه میانی فقط از پرتو پشتیبانی می کند. در نقطه تکیه گاه، تیر توسط لولا بریده نمی شود، لولا به بدنه تیر بریده نمی شود. بنابراین، تأثیر تنش‌ها و تغییر شکل‌هایی که تیر بر دهانه سمت چپ تجربه می‌کند، بر دهانه سمت راست نیز تأثیر می‌گذارد. اگر یک لولا به بدنه تیر در محل تکیه گاه میانی بریده شود، در نتیجه سیستم از نظر استاتیکی تعیین می شود - از یک تیر دو تیر مستقل از یکدیگر دریافت می کنیم که هر کدام از نظر استاتیکی تعیین می شوند. لازم به ذکر است که تیرهای پیوسته در مقایسه با تیرهای شکاف، متریال کمتری دارند، زیرا آنها به طور منطقی لنگرهای خمشی را در طول خود توزیع می کنند. در این راستا تیرهای پیوسته در ساختمان سازی و مهندسی کاربرد فراوانی دارند. با این حال، پرتوهای پیوسته، که از نظر استاتیکی نامشخص هستند، نیاز به یک روش محاسباتی خاص دارند که شامل استفاده از تغییر شکل‌های سیستم می‌شود.

قبل از شروع به محاسبه سیستم های استاتیکی نامعین، لازم است نحوه تعیین درجه عدم تعیین استاتیک آنها را یاد بگیرید. یکی از ساده‌ترین قوانین برای تعیین درجه عدم قطعیت استاتیکی به شرح زیر است:

, (8.3)

جایی که  تعداد اوراق تحمیل شده به سازه؛  تعداد معادلات تعادل مستقل ممکنی که می توان برای سیستم مورد نظر کامپایل کرد.

ما از معادله (8.3) برای تعیین درجه عدم تعین استاتیکی سیستم های نشان داده شده در شکل 8.14 استفاده می کنیم.

تیر نشان داده شده در شکل 8.14a یک بار از نظر استاتیک نامشخص است، زیرا دارای سه بند در پای چپ و یک بند در پای راست است. فقط سه معادله تعادل مستقل برای چنین پرتویی وجود دارد. بنابراین، درجه عدم تعیین استاتیک تیر
. تیر پیوسته نشان داده شده در شکل 8.14b نیز یک بار از نظر استاتیکی نامشخص است، زیرا دارای دو پیوند در تکیه گاه سمت چپ و هر کدام یک اتصال در تکیه گاه میانی و در تکیه گاه راست - در مجموع چهار اتصال است. بنابراین، درجه عدم تعین استاتیک آن
.

قاب نشان داده شده در شکل. 8.14c، سه برابر استاتیکی نامشخص است، زیرا دارای شش پیوند در تکیه گاه ها است. فقط سه معادله تعادل مستقل برای این قاب وجود دارد. بنابراین، درجه عدم قطعیت استاتیک برای این قاب از معادله (8.3) برابر است با:
. درجه نامعین بودن استاتیک قاب نشان داده شده در شکل 8.18، d برابر با چهار است، زیرا قاب دارای هفت اتصال روی تکیه گاه ها است. بنابراین، درجه عدم تعین استاتیک آن برابر است با
.

قانون (8.3) برای تعیین درجه عدم تعین استاتیک فقط برای سیستم های ساده استفاده می شود. در موارد پیچیده تر، این قانون کار نمی کند. شکل 8.15 چارچوبی را نشان می دهد که درجه عدم قطعیت استاتیک آن را نمی توان با استفاده از رابطه (8.3) تعیین کرد.

از نظر بیرونی، سیستم نشان داده شده در شکل 8.15 پنج برابر استاتیک نامشخص است. برقراری این امر با استفاده از معادله (8.3) آسان است: از شش پیوند خارجی (سه پیوند در بخش A، سه در بخش B و دو در بخش C)، سه معادله تعادل ممکن کم می‌شود. با این حال، این سیستم همچنین دارای یک نامعین بودن استاتیک داخلی است. در نظر گرفتن عدم تعین استاتیک داخلی با استفاده از رابطه (8.3) غیرممکن است. قبل از حرکت به سمت تعیین درجه عدم قطعیت استاتیک قاب نشان داده شده در شکل 8.15، چندین تعاریف را معرفی می کنیم. اولین مورد از این تعاریف شامل مفهوم لولای ساده است.

سادهبه نام لولای اتصال دو میله (شکل 8.16).

شکل 8.16. لولای ساده

یک لولا که چندین میله را به هم متصل می کند نامیده می شود دشوار(شکل 8.17).

شکل 8.17. لولای پیچیده

تعداد لولاهای ساده ای که می توانند جایگزین یک لولا پیچیده شوند از فرمول تعیین می شود:

, (8.4)

جایی که
- تعداد میله های موجود در گره.

ما لولای پیچیده نشان داده شده در شکل 8.17 را به تعداد لولاهای ساده با استفاده از فرمول (8.4) دوباره محاسبه می کنیم:
. بنابراین، لولا پیچیده نشان داده شده در شکل 8.17 را می توان با چهار لولا ساده جایگزین کرد.

بیایید یک مفهوم دیگر را معرفی کنیم - حلقه بسته.

بیایید قضیه را ثابت کنیم: هر حلقه بسته از نظر استاتیکی سه برابر نامشخص است.

برای اثبات قضیه، مدار بسته ای را با نیروهای خارجی در نظر بگیرید (شکل 8.18).

اجازه دهید یک کانتور بسته را با یک بخش عمودی برش دهیم و عوامل نیروی داخلی را که در محل برش ایجاد می شود نشان دهیم. سه عامل درونی در هر یک از بخشها ایجاد می شود: نیروی برشی ، لحظه خم شدن
و نیروی طولی
. در مجموع، هر یک از قسمت های بریده کانتور، علاوه بر نیروهای خارجی، تحت تأثیر شش عامل داخلی قرار می گیرند (شکل 8.18، b، c). با در نظر گرفتن تعادل یکی از قسمت های برش، به عنوان مثال، سمت چپ (شکل 8.18، b)، متوجه می شویم که مشکل سه برابر استاتیکی نامشخص است، زیرا تنها سه معادله تعادل مستقل را می توان برای برش کامپایل کرد. -قسمت آف، و شش نیروی ناشناخته بر روی قسمت برش کار می کنند. بنابراین، درجه عدم تعیین ثابت یک حلقه بسته برابر است با
. قضیه ثابت شده است.

حال با استفاده از مفهوم یک لولا ساده و یک حلقه بسته می‌توان قاعده دیگری برای تعیین درجه عدم تعین استاتیک تنظیم کرد:

, (8.5)

جایی که
 تعداد حلقه های بسته؛
 تعداد لولاها بر حسب ساده (8.4).

با استفاده از معادله (8.5)، درجه عدم قطعیت استاتیکی قاب نشان داده شده در شکل 8.15 را تعیین می کنیم. قاب دارای پنج کانتور است
، از جمله کانتور تشکیل شده توسط میله های پشتیبانی. لولا در گره D ساده است، زیرا دو میله را به هم متصل می کند. لولا در بخش K پیچیده است، زیرا چهار میله را به هم متصل می کند. تعداد لولاهای ساده ای که می توانند جایگزین لولا در بخش K شوند طبق فرمول (8.4) است:
. لولا C نیز پیچیده است زیرا سه میله را به هم متصل می کند. برای این لولا
. علاوه بر این، سیستم دارای دو لولا ساده دیگر است که با آن به پایه متصل می شود. بنابراین، تعداد لولاهای ساده در سیستم است
. جایگزینی تعداد حلقه های بسته
و تعداد لولاهای ساده
در فرمول (8.5) درجه عدم تعیین استاتیک قاب را تعیین می کنیم:
. بنابراین، در شکل نشان داده شده است. 8.15 فریم، هفت برابر استاتیک نامشخص. و این بدان معنی است که برای محاسبه چنین سیستمی، علاوه بر سه معادله تعادل، هفت معادله سازگاری تغییر شکل ها نیز لازم است. با حل سیستم 10 معادله ای که از این طریق با توجه به مجهولات موجود در این معادلات به دست آمده است، می توان هم بزرگی واکنش ها در پیوندهای خارجی و هم نیروهای داخلی ایجاد شده در قاب را تعیین کرد. روش حل این مسئله را می توان با حذف معادلات تعادل از سیستم معادلات تا حدودی ساده کرد. اما این رویکرد مستلزم استفاده از روش های حل ویژه است که یکی از آنها روش نیرو است.

سیستم هایی از نظر استاتیکی نامعین نامیده می شوند که در آنها نیروهای داخلی را نمی توان تنها از طریق معادلات تعادلی (معادلات استاتیک) تعیین کرد.

سازه های استاتیکی نامعین به اصطلاح دارند زیادیاتصالات آنها می توانند در تکیه گاه ها، میله ها و سایر عناصر رخ دهند. چنین اتصالاتی "زائد" نامیده می شوند زیرا برای اطمینان از تعادل ساختار ضروری نیستند، بلکه با الزامات استحکام و استحکام آن تعیین می شوند. چنین اتصالات اضافی نامیده می شود خارجیعلاوه بر این، اتصالات غیر ضروری ممکن است به دلیل ویژگی های خود طرح ایجاد شود. به عنوان مثال، یک کانتور قاب بسته (شکل 46، ز)در هر بخش سه نیروی داخلی مجهول دارد، یعنی. تنها شش، و سه تای آنها "اضافی" هستند. این تلاش اضافی نامیده می شود درونی؛ داخلی.با توجه به تعداد اتصالات "اضافی" خارجی یا داخلی، آنها برقرار می کنند درجه عدم تعیین استاتیک سیستم.برابر است با تفاوت بین تعداد مجهول های تعیین شده و تعداد معادلات ایستا. با یک مجهول "اضافی"، سیستم یک بار، یا یک بار نامشخص استاتیک، با دو - دو بار نامشخص استاتیک، و غیره نامیده می شود.

طرح نشان داده شده در شکل 46، آ، یک بار از نظر استاتیکی نامشخص است و ساختارهای نشان داده شده در شکل. 46، بو که در، -دو برابر استاتیکی نامعین، در شکل. 46، d - سه بار با ساختار ایستا نامشخص.

هنگام حل مسائل استاتیکی نامعین، علاوه بر معادلات استاتیکی، از معادلاتی استفاده می شود که تغییر شکل عناصر ساختاری را در نظر می گیرند.

چندین روش برای حل مسائل استاتیکی نامعین وجود دارد: روش مقایسه جابجایی، روش نیرو، روش جابجایی.

روش نیرو

هنگام محاسبه سیستم های استاتیکی نامعین، نیروها به عنوان مجهول در نظر گرفته می شوند.

محاسبه توسط روش نیروبه ترتیب زیر انجام می شود:

• 1. درجه عدم قطعیت استاتیک را تنظیم کنید.
• 2. با حذف اتصالات "اضافی"، سیستم اصلی با یک سیستم ثابت به نام جایگزین می شود. سیستم اصلیچندین سیستم از این دست را می توان با رعایت شرایط جغرافیایی آنها ساخت

تغییرناپذیری متریک

• 3. سیستم اصلی با نیروهای خارجی داده شده و نیروهای ناشناخته "اضافی" بارگذاری می شود که جایگزین عملکرد اتصالات از راه دور می شود و در نتیجه سیستم معادل
• 4. برای اطمینان از هم ارزی سیستم اصلی و اصلی، نیروهای مجهول باید طوری انتخاب شوند که تغییر شکل های سیستم اصلی با تغییر شکل های سیستم استاتیکی نامعین اصلی تفاوتی نداشته باشد. برای این منظور، جابجایی نقاط کاربرد مجهولات «زائد» در جهت عمل آنها برابر با صفر است. از معادلات اضافی به دست آمده از این طریق، مقادیر نیروهای مجهول "اضافی" تعیین می شود. تعیین جابجایی نقاط مربوطه به هر طریقی قابل انجام است، اما بهتر است از کلی ترین روش موهر استفاده شود.
• 5. پس از تعیین مقادیر نیروهای مجهول "اضافی"، واکنش ها تعیین می شود و نمودارهای نیروهای داخلی ترسیم می شود، مقاطع انتخاب می شوند و قدرت به روش معمول بررسی می شود.

معادلات متعارف روش نیرو

معادلات جابجایی اضافی که برابری به صفر جابجایی ها را در جهت مجهولات "اضافی" بیان می کنند، می توانند به راحتی در اصطلاح جمع آوری شوند. شکل متعارفآن ها طبق یک الگوی خاص اجازه دهید این را با مثال حل ساده ترین سیستم استاتیکی نامعین نشان دهیم (شکل 47، آ).

ما کنسول را به عنوان سیستم اصلی انتخاب می کنیم و پشتیبانی مفصلی را کنار می گذاریم. سیستم معادل پس از اعمال نیروی خارجی T 7 و ناشناخته "اضافی" به دست می آید ایکس(شکل 47، ب).

معادله متعارف، که جابجایی صفر نقطه را بیان می کند ATاز نیروهای F و ایکس،اراده

از معادله ای که داریم

برای سیستمی که دارای دو اتصال "اضافی" است، سیستم معادلات متعارف به شکل زیر است:

• 8 11 X 1 + b 12 ^2 + ^1
• 621-^1 + 622^2 "I" ^20-

حرکات A[صو b [y که در معادلات متعارف گنجانده شده است، با روش Mohr تعیین می شوند.

برای سیستم های متشکل از عناصر مستطیلی، محاسبه جابجایی ها با استفاده از روش Vereshchagin راحت است.

به عنوان مثال، برای کار نشان داده شده در شکل. 47، با ضرب نمودارها (شکل 48)، ضرایب معادله متعارف را بدست می آوریم:

1 2 I 3 1 I / I 2 1 5 I1 3

E] L LL =-/ / -/ = -, E]A LR =-------- +-------.

1 11 2 3 3 1 1R 2 2 2 2 3 2/ 48 E]

گرفتن Chl - - = - E.

تعریف قدرت ایکس،ما در واقع واکنش پشتیبانی را پیدا کردیم من هستم.علاوه بر این، مشکل تعیین ضرایب نیروی داخلی را می توان طبق معمول با استفاده از روش مقاطع حل کرد.

وزارت آموزش و پرورش فدراسیون روسیه

موسسه دولتی

دانشگاه فنی دولتی کوزبس

گروه مقاومت مصالح

محاسبه سیستم های لولا-میله ای استاتیکی نامشخص تحت تنش - فشرده سازی

دستورالعمل اجرای محاسبه و کار گرافیکی در مورد استحکام مواد برای دانش آموزان همه تخصص ها

گردآوری شده توسط: V.D. مویزینکو

صورتجلسه شماره 8 مورخ 29.06.01 اداره به تصویب رسید

یک نسخه الکترونیکی در کتابخانه ساختمان اصلی KuzGTU وجود دارد

کمروو 2002

معرفی. محدوده و هدف تکلیف

یک سیستم میله لولا از نظر استاتیکی نامعین سیستمی است که در آن نیروهای موجود در میله ها و واکنش های موجود در تکیه گاه ها را نمی توان تنها از طریق شرایط تعادل تعیین کرد.

شکل 1 یک براکت معمولی متشکل از دو میله را نشان می دهد. نیروهای N 1 و N 2 در میله های این براکت به راحتی از شرایط تعادل برای سیستم نیروهای همگرا اعمال شده به گره برش C تعیین می شوند، زیرا دو معادله برای این سیستم نیروها با دو مجهول حل شده است.

اگر طراحی براکت با افزودن یک میله دیگر پیچیده شود (شکل 1، b)، آنگاه نیروهای موجود در میله ها را نمی توان به همان روش تعیین کرد، زیرا برای گره C، فقط دو معادله تعادل ایستا هنوز می تواند کامپایل شود (ΣΧ = 0؛ ΣY = 0)، و تعداد نیروهای مجهول سه است. ما زمانی یک سیستم استاتیکی نامشخص داریم.

با پیچیده کردن طراحی و معرفی میله های جدید، می توان یک سیستم استاتیکی نامعین را دو بار (به شکل 1c مراجعه کنید)، سه بار و غیره به دست آورد. بنابراین، تحت n برابر یک سیستم استاتیکی نامعین، چنین سیستمی درک می شود که در آن تعداد اتصالات از تعداد معادلات مستقل استاتیک توسط n واحد بیشتر است.

معادلات اضافی لازم برای حل مسئله را می توان با در نظر گرفتن سیستم در حالت تغییر شکل یافته و ایجاد ارتباط بین جابجایی ها و تغییر شکل های عناصر سازه ای یافت. معادلات حاصل را معادلات سازگاری کرنش می نامند.

شکل 2 نمودار برخی از سیستم های استاتیکی نامعین را نشان می دهد.

شکل 2. برخی از انواع سیستم های استاتیکی نامعین

هنگام مطالعه بخش "سیستم های میله ای استاتیکی نامعین" و انجام این محاسبات و کار گرافیکی، دانش آموز باید ویژگی های سیستم های استاتیکی نامعین را بیاموزد. کسب مهارت در آشکارسازی عدم قطعیت استاتیکی، در تعیین نیروها در عناصر سازه ای و انتخاب سطوح مقطع از شرایط مقاومت.

تکلیف از دانش آموز می خواهد که موارد زیر را انجام دهد:

- نیروهای موجود در میله ها را تعیین کنید و سطح مقطع را از اثر بارهای خارجی انتخاب کنید.

- تعیین تنش های اضافی در میله ها به دلیل تغییرات دما؛

- تعیین تنش های نصب اضافی ناشی از عدم دقت در ساخت میله ها.

- بخش های میله ها را با توجه به حالت حد انتخاب کنید.

حجم و شکل انجام محاسبات و تکلیف گرافیکی به حجم درس مورد مطالعه بستگی دارد و توسط معلم در کلاس های عملی مذاکره می شود.

1. اطلاعات نظری مختصر

هنگام حل مسائل استاتیکی نامشخص، ترتیب زیر باید رعایت شود:

1.1. جنبه ایستا مشکل را در نظر بگیرید. طرحی از نیروها بسازید و معادلات استاتیک را بنویسید.

1.2. جنبه هندسی مسئله را در نظر بگیرید. یک برنامه سفر بسازید. معادلات سازگاری تغییر شکل اضافی را به اندازه ای جمع آوری کنید که تمام نیروهای مجهول را بتوان پیدا کرد.

1.3. جنبه فیزیکی مشکل را در نظر بگیرید. با توجه به قوانین فیزیک (با محاسبه دما) و طبق قانون هوک، تغییر شکل های موجود در معادلات سازگاری آنها را از طریق نیروهای ناشناخته وارد بر میله ها بیان کنید:

1.4. حل مشترک معادلات استاتیک، هندسه، فیزیک و تعیین نیروهای مجهول.

1.5. استفاده از شرایط مقاومت فشاری یا کششی N/F = [ σ ]، سطح مقطع میله ها را انتخاب کنید.

1.6. با نیروهای شناخته شده در میله ها و سطوح مقطع پذیرفته شده، تنش های نرمال را با استفاده از فرمول محاسبه کنید

σ = N F.

2. مثال

داده شده: یک تیر کاملاً صلب AB، همانطور که در شکل 3 نشان داده شده است، با بار و نیروی P به طور یکنواخت توزیع شده است.

شکل 3. نمودار یک سیستم استاتیکی نامعین

داده های اولیه برای محاسبه

4. کل تنش ها را در میله ها از اثر بارها، تغییرات دما و عدم دقت در ساخت تعیین کنید.

2.1. محاسبه سیستم میله لولایی استاتیکی نامعین برای بارگذاری خارجی

P = 30 kN q = 15 kN / m

A C B

شکل 4. طرح اولیه طراحی

2.1.1. سمت استاتیک مشکل

طرف ایستا مسئله توسط طرح نیروها در نظر گرفته می شود. طرح نیرو یک طرح طراحی است که تمام نیروهای (اعم از شناخته شده و ناشناخته) اعمال شده به عنصر سیستم میله لولایی را نشان می دهد، که تعادل آن در نظر گرفته شده است (در مورد ما، این یک تیر صلب AB است). اجازه دهید میله های فولادی و مسی را برش دهیم و قسمت های زیرین دور ریخته شده آنها را با نیروهای داخلی جایگزین کنیم (شکل 5).

P = 30 kN q = 15 kN / m

A C B

60 درجه

برنج. 5. طرح نیروهای ناشی از بارهای خارجی

از طرح نیروها (نگاه کنید به شکل 5) معادلات تعادل ایستا را یادداشت می کنیم. برای پاسخ به اولین سوال، لازم است نیروهای موجود در میله ها - فولاد و مس را بدانید. در این حالت نیازی به محاسبه واکنش تکیه گاه لولایی نیست. بنابراین از سه

معادلات استاتیک ممکن (ΣX = 0؛ ΣY = 0؛ Σm c = 0) را می نویسیم

موردی که شامل واکنش های پشتیبان ثابت محوری C نمی شود:

∑ mC = 0

- N CT a + q a 2 2 + p a + NM sin60o b = 0،

− N ST 2 + 15 2 2 2 + 30 2 − NM 0.866 4 = 0،

پس از انجام عملیات جبری، معادله تعادل شکل خواهد گرفت

2.1.2. جنبه هندسی مسئله

جنبه هندسی مسئله توسط طرح جابجایی در نظر گرفته شده است. طرح جابجایی یک نمودار طراحی است که موقعیت سیستم میله لولایی را قبل و بعد از بارگیری نشان می دهد. در طرح جابجایی، جابجایی نقاط تیر (AA1 و BB1) را نشان می دهیم.

تغییر شکل مطلق میله های مس و فولاد (∆ l ST ؛ ∆ l M )

(شکل 6). علاوه بر این، به دلیل تغییر شکل های کوچک، نقاط تیر را به صورت عمودی به سمت بالا یا پایین حرکت می دهیم و تغییر شکل میله های شیبدار را با عمود مشخص می کنیم.

برنج. 6. طرح جابجایی های ناشی از عمل بارهای خارجی

با توجه به طرح جابجایی، معادله ای برای سازگاری تغییر شکل ها ترسیم می کنیم. اول از همه، نسبت جابجایی نقاط تیر را از شباهت مثلث های AA1 C و CBB1 می نویسیم (شکل 6):

جابجایی نقاط تیر (AA1 و BB1) بر حسب تغییر شکل بیان می شود.

عبارات (2.3) و (2.4) با رابطه (2.2) جایگزین می شوند:

2.1.3. جنبه فیزیکی مشکل

معادله سازگاری تغییر شکل حاصل (2.5) در این شکل را نمی توان با معادله تعادل (2.1) حل کرد، زیرا کمیت های مجهول موجود در آنها ماهیت متفاوتی دارند.

تغییر شکل های مطلق ∆ l CT و ∆ l M را در رابطه (2.5) بیان می کنیم

ما معادله سازگاری کرنش را بر حسب نیروهای موجود در میله ها به دست آورده ایم.

2.1.4. سنتز

اجازه دهید به طور مشترک معادلات تعادل (2.1) و معادله سازگاری تغییر شکل (2.6) را حل کنیم.

NCT + 1.73 NM = 45

0.67NCT \u003d 0.95NM.

از معادله دوم سیستم، نیروی N ST را بیان می کنیم:

و در معادله اول سیستم جایگزین کنید.

نتیجه مثبت N ST و N M فرضیات ما در مورد فشرده سازی میله فولادی و کشش میله مسی را تأیید می کند، به این معنی که نیروهای موجود در میله ها به صورت زیر خواهد بود:

2.1.5. انتخاب مقاطع عرضی میله ها

انتخاب مقاطع عرضی میله ها با توجه به شرایط استحکام کششی - فشرده سازی انجام می شود:

N F ≤ [σ] .

الف) سطح مقطع میلگرد فولادی مورد نیاز از شرایط مقاومت تعیین می شود:

ب) سطح مقطع میله مسی مورد نیاز از شرایط مقاومت تعیین می شود:

در این مورد، با توجه به نسبت داده شده از مساحت، مساحت میله فولادی باید برابر با:

FCT = 4 3 FM = 4 3 1.7 10- 4 = 1.275 10- 4 m2 ..

ما سطح مقطع بزرگ میله ها را می پذیریم:

با سطوح مقطع پذیرفته شده میله های مسی و فولادی، تنش ها را در این میله ها تعیین می کنیم.

2.2. محاسبه دمای یک سیستم میله لولا از نظر استاتیکی نامعین

هدف از محاسبه دما تعیین تنش های اضافی در میله های مسی و فولادی ناشی از تغییرات دما می باشد.

فرض کنید سیستم با T = 20 o C گرم شود. الگوریتم حل یکسان است. طرح اولیه طراحی در شکل نشان داده شده است. 7.

سیستم‌های میله‌ای، واکنش‌های پشتیبان و عوامل نیروی داخلی که نمی‌توان آنها را تنها از طریق معادلات تعادلی یافت، نامیده می‌شوند. از نظر استاتیکی نامشخص.

تفاوت بین تعداد نیروهای مجهول مورد نیاز و معادلات تعادل مستقل تعیین می شود درجه عدم تعیین استاتیک سیستم. درجه نامعینی استاتیکی همیشه برابر است با تعداد اتصالات زائد (زائد) که حذف آنها یک سیستم استاتیکی نامعین را به یک سیستم هندسی غیرقابل تعیین از نظر استاتیکی تبدیل می کند. هم اتصالات خارجی (مرجع) و هم اتصالات داخلی، که محدودیت های خاصی را بر حرکت بخش های سیستم نسبت به یکدیگر اعمال می کنند، می توانند اضافی باشند.

از نظر هندسی تغییر ناپذیرچنین سیستمی نامیده می شود که تغییر شکل آن فقط در ارتباط با تغییر شکل عناصر آن امکان پذیر است.

متغیر هندسیچنین سیستمی نامیده می شود که عناصر آن می توانند تحت تأثیر نیروهای خارجی بدون تغییر شکل (مکانیسم) حرکت کنند.

در شکل نشان داده شده است. 12.1 فریم دارای هفت پیوند خارجی (پشتیبانی) است. برای تعیین نیروهای موجود در این پیوندها (واکنش های حمایتی)، می توان تنها سه معادله تعادل مستقل را ایجاد کرد. بنابراین، این سیستم دارای چهار اتصال اضافی است، به این معنی که چهار برابر استاتیک نامشخص است. بنابراین، درجه عدم قطعیت استاتیکی برای قاب های مسطح است:

جایی که آر- تعداد واکنش های حمایتی

کانتور متشکل از تعدادی عنصر (مستقیم یا منحنی) که به طور صلب (بدون لولا) به یکدیگر متصل شده و یک مدار بسته را تشکیل می دهند، مدار بسته نامیده می شود. . قاب مستطیلی که در شکل 12.2 نشان داده شده است یک حلقه بسته است. از نظر استاتیکی سه برابر نامشخص است، زیرا برای نامشخص بودن آن از نظر استاتیکی باید یکی از عناصر آن را قطع کرد و سه اتصال اضافی را حذف کرد. واکنش های این پیوندها عبارتند از: نیروی طولی، نیروی عرضی و لنگر خمشی وارد بر محل برش. آنها را نمی توان با استفاده از معادلات استاتیک تعیین کرد. در شرایط مشابه، به معنای عدم قطعیت استاتیک، هر حلقه بسته ای وجود دارد که همیشه وجود دارد سه بار از نظر استاتیک نامشخص.

گنجاندن یک لولا در یک گره قاب که در آن دو میله همگرا می شوند، یا قرار دادن آن در هر نقطه ای از محور میله، یک اتصال را حذف می کند و درجه کلی عدم قطعیت استاتیک را یک بار کاهش می دهد. چنین لولا یک یا ساده نامیده می شود (شکل 12.3).

به طور کلی، هر لولا شامل یک گره اتصال است جمیله ها، درجه عدم قطعیت استاتیک را کاهش می دهد ج-1 ، از آنجایی که چنین لولا جایگزین می شود ج-1 لولاهای تکی (شکل 12.3). بنابراین، درجه عدم تعیین استاتیک سیستم در حضور حلقه های بسته با فرمول تعیین می شود.

چنین سیستمی از نظر استاتیکی نامعین نامیده می شود اگر نتوان آن را با استفاده از معادلات استاتیک به تنهایی محاسبه کرد، زیرا دارای اتصالات غیر ضروری است. برای محاسبه چنین سیستم هایی، معادلات اضافی تدوین می شود که تغییر شکل های سیستم را در نظر می گیرد.

سیستم های استاتیکی نامعیندارای تعدادی ویژگی بارز:

1. از نظر استاتیکی نامشخصسازه ها سفت تر از ساختارهای مربوطه هستند به صورت ایستا تعیین می شود، زیرا اتصالات اضافی دارند.
2. در از نظر استاتیکی نامشخصدر سیستم‌ها، نیروهای داخلی کوچک‌تری وجود دارد که کارایی آنها را در مقایسه با آن‌ها تعیین می‌کند به صورت ایستا تعیین می شود سیستم ها تحت بارهای خارجی یکسان.
3. نقض اتصالات غیر ضروری در از نظر استاتیکی نامشخصسیستم همیشه منجر به تخریب نمی شود، در حالی که از دست دادن ارتباطات در به صورت ایستا تعیین می شودسیستم آن را از نظر هندسی متغیر می کند.
4. برای محاسبه از نظر استاتیکی نامشخصسیستم ها، لازم است ابتدا مشخصات هندسی مقاطع المان ها مشخص شود، یعنی. در واقع شکل و اندازه آنها است، زیرا تغییر آنها منجر به تغییر نیروها در اتصالات و توزیع جدید تلاش ها در تمام عناصر سیستم می شود.
5. هنگام محاسبه از نظر استاتیکی نامشخصدر سیستم ها، لازم است مواد ساخت و ساز را از قبل انتخاب کنید، زیرا لازم است که مدول الاستیسیته آن را بدانید.
6. در از نظر استاتیکی نامشخصسیستم ها، اثرات دما، نشست تکیه گاه ها، عدم دقت در ساخت و نصب باعث تلاش بیشتر می شود.

اصلی روش های محاسبهاز نظر استاتیکی نامشخصسیستم ها عبارتند از:

1. روش نیرو. در اینجا نیروها به عنوان مجهولات - نیروها و لحظات - در نظر گرفته می شوند.
2.روش حرکت.عوامل تغییر شکل ناشناخته هستند - زوایای چرخش و جابجایی های خطی.
3.روش ترکیبیدر اینجا بخشی از مجهولات نشان دهنده تلاش ها و بخشی دیگر نشان دهنده جابجایی ها است.
4. روش ترکیبی.در محاسبه سیستم های متقارن برای بارهای نامتقارن استفاده می شود. به نظر می رسد که توصیه می شود سیستم را برای مولفه متقارن یک بار معین با روش جابجایی و برای مولفه متقارن معکوس - با روش نیرو محاسبه کنید.
علاوه بر روش‌های تحلیلی نشان‌داده‌شده، روش‌های عددی مختلفی در محاسبه سیستم‌های پیچیده استفاده می‌شود.

معادلات متعارف روش نیرو

برای بدست آوردن معادلات اضافی که در پاراگراف قبل ذکر شد، ابتدا باید معادلات داده شده را n بار بچرخانید. از نظر استاتیکی نامشخصسیستم را با حذف اتصالات غیر ضروری از آن به یک سیستم استاتیکی تعیین می کند. سیستم استاتیکی تعیین شده به دست آمده نامیده می شود پایه ای.توجه داشته باشید که تبدیل یک سیستم معین به یک سیستم معین استاتیک اجباری نیست. گاهی اوقات از اصلاح روش نیرو استفاده می شود که در آن سیستم زیربنایی می تواند باشد از نظر استاتیکی نامشخصبا این حال، ارائه این موضوع خارج از محدوده این راهنما است. در صورت اعمال نیروها و گشتاورهای اضافی که واکنش پیوندهای دور ریخته شده است، حذف هیچ گونه پیوندی، نیروها و تغییر شکل های داخلی سیستم را تغییر نمی دهد. این بدان معنی است که اگر یک بار معین و واکنش های پیوندهای راه دور به سیستم اصلی اعمال شود، آنگاه سیستم های اصلی و داده شده تبدیل می شوند. معادل.

در یک سیستم معین، هیچ جابجایی در امتداد جهت پیوندهای صلب موجود وجود ندارد، از جمله پیوندهایی که در طول انتقال به سیستم اصلی دور ریخته می شوند، بنابراین، در سیستم اصلی، جابجایی ها در امتداد جهت پیوندهای دور ریخته شده باید برابر با صفر باشد. و برای این، واکنش های پیوندهای ریزش شده باید مقادیر کاملاً مشخصی داشته باشند.

شرط تساوی به صفر جابجایی در جهت هر اتصال i از n دور انداخته شده بر اساس اصل استقلال عمل نیروها به شکل زیر است:

که در آن شاخص اول جهت حرکت و تعداد اتصال قطع شده را نشان می دهد و شاخص دوم نشان دهنده دلیلی است که باعث حرکت شده است. حرکت در جهت پیوند i است که در اثر واکنش پیوند k-ام ایجاد می شود. - حرکت در جهت اتصال i-ام، ناشی از عمل همزمان کل بار خارجی.

در روش نیرو معمولا واکنش پیوند k ام را با Xk نشان می دهند. با در نظر گرفتن این عنوان و با توجه به اعتبار قانون هوک، جابجایی ها را می توان به صورت زیر نشان داد:

جایی که یک حرکت منفرد (یا خاص) در جهت پیوند i ام است که در اثر واکنش ایجاد می شود. واکنش منطبق در جهت با Xk، اما برابر با وحدت.

با جایگزینی (2) به (1)، دریافت می کنیم:

معنای فیزیکیمعادله (3): حرکت در سیستم اصلی در جهت i-امین اتصال دور انداخته شده برابر با صفر است.

با نوشتن عبارات مشابه (3) برای کل مجموعه پیوندهای دور ریخته شده، به دست می آوریم سیستم معادلات متعارفروش نیرو:

شکل معادله (4)، یعنی. تعداد اصطلاحات در هر یک از آنها و تعداد کل آنها فقط با درجه عدم تعیین ثابت سیستم تعیین می شود و به ویژگی های خاص آن بستگی ندارد.

ضرایب سیستم معادلات متعارف (4) با روش Mohr-Vereshchagin با ضرب نمودارهای مربوطه تعیین می شود. همه این ضرایب، همانطور که در بالا ذکر شد، نشان دهنده جابجایی هستند. ضرایب ایستاده در مجهولات جابجایی واحد هستند و اعضای آزاد هستند محمولهتک حرکات به دو دسته تقسیم می شوند اصلی،واقع در امتداد مورب اصلی و داشتن شاخص های یکسان و اثرات جانبی(). حرکات اصلی برخلاف حرکات جانبی همیشه مثبت هستند. جابجایی های متقارن واقع شده، مطابق با قضیه مربوط به متقابل جابجایی ها، با یکدیگر برابر هستند، یعنی. .

الگوریتم محاسبه روش نیرو

صرف نظر از ویژگی های طراحی در نظر گرفته شده، دنباله زیر محاسبه سیستم های استاتیکی نامعین قابل تشخیص است. روش نیرو:

1. تعیین کنید درجه عدم قطعیت استاتیک.
2. سیستم اصلی را انتخاب کنید.
3. یک سیستم معادل تشکیل دهید.
4. سیستم را رایت کنید معادلات متعارف.
5. واحد و نمودارهای بار عوامل نیروی داخلی ناشی از عناصر سازه مورد نظر را بسازید.
6. ضرایب مجهولات و عبارات آزاد سیستم معادلات متعارف را محاسبه کنید.
7. یک نمودار مجزا بسازید.
8. یک بررسی جهانی از ضرایب برای عبارت مجهول و آزاد انجام دهید.
9. حل سیستم (4)، یعنی. تعیین واکنش پیوندهای اضافی
10. نمودارهای عوامل نیروی داخلی در حال ظهور را برای یک سیستم معین بسازید (به عبارت دیگر، نمودارهای نهایی).
11. بررسی های ایستا و سینماتیک را انجام دهید.
توجه داشته باشید که نکات 7، 8، 11 الگوریتم فوق کاملاً ضروری نیستند، اگرچه به شما امکان می دهند صحت محاسبه را کنترل کنید. و برای سیستم هایی با یک اتصال اضافی، نقاط 7 و 8 به سادگی بی معنی هستند، زیرا در این مورد کل نمودار منفرد با منفرد منطبق است.
بیایید نگاهی دقیق تر به برخی از مراحل محاسبه فوق بیندازیم.

انتخاب یک سیستم اولیه

این مهمترین مرحله محاسبه است، زیرا انتخاب منطقی سیستم اصلی کار محاسباتی را بسیار ساده می کند. بیایید راه های ممکن برای حذف اتصالات غیر ضروری را در نظر بگیریم، که شکل سیستم اصلی را تعیین می کند.

1. رد اتصالات غیر ضروری با حذف کامل برخی از تکیه گاه ها یا جایگزینی آنها با تکیه گاه هایی با تعداد اتصالات کمتر انجام می شود. واکنش هایی که در جهت پیوندهای رها شده عمل می کنند مجهولات اضافی هستند. شکل 1، b، c، d نسخه های مختلفی از سیستم معادل بدست آمده با این روش را برای قاب نشان می دهد (شکل 1، a).

2. قرار دادن لولاها در بخش های میانی میله ها اجازه می دهد تا در هر یک از این بخش ها اتصالی مربوط به لحظه خمشی برقرار شود. این لحظه ها مجهولات زائد هستند. برای یک قاب با درجه عدم قطعیت استاتیک n = 3 (شکل 2، a)، هنگام انتخاب سیستم اصلی، باید سه لولا نصب شود. موقعیت این لولاها می تواند دلخواه باشد، اما نیاز تغییر ناپذیری هندسی سیستم را برآورده می کند (شکل 2b).

3. تشریح میله سه پیوند مربوط به نیروهای داخلی M، Q، N را حذف می کند (شکل 2، ج). در موارد خاص (شکل 2d)، بریدن یک میله در امتداد یک لولا، دو پیوند را آزاد می کند (شکل 2، e)، و بریدن یک میله مستقیم با لولا در انتها یک پیوند را آزاد می کند (شکل 2، f).

در میان اتصالات یک سیستم استاتیکی نامعین، کاملا ضروری و مشروط ضروری متمایز می شوند. پیوندهایی کاملاً ضروری هستند که با حذف آنها سیستم از نظر هندسی قابل تغییر می شود. یک اتصال کاملا ضروری با تعیین ایستا بودن تلاش در آن مشخص می شود، یعنی. واکنش چنین پیوندی را می توان از شرایط تعادل محاسبه کرد. هنگام انتخاب سیستم اصلی، اتصالات کاملا ضروری را نمی توان دور انداخت.

روابطی که پس از حذف آنها، سیستم از نظر هندسی بدون تغییر باقی می ماند، مشروطاً ضروری نامیده می شوند. سیستمی که پیوند داده نشده است ممکن است سیستم اولیه باشد روش نیرو.

محاسبه ضرایب و ترم آزاد معادلات متعارف

این مرحله از محاسبه با ساخت نمودارهای واحد و بار عوامل نیروی داخلی (برای تیرها و قاب ها - نمودارهای لنگرهای خمشی) انجام می شود. نمودارهای واحد از عمل یک نیروی واحد بدون بعد یا یک واحد گشتاور بدون بعد ساخته می شوند که در جهت با جهت مجهول اضافی متناظر در سیستم معادل منطبق است و با نشان داده می شوند و نمودار واحد با نشان داده می شوند.

نمودار بار از بار خارجی اعمال شده به سیستم اصلی ساخته شده است. در این حالت می توانید یک نمودار از عمل همزمان همه بارهای خارجی یا چندین نمودار جدا از هر یک از بارهای اعمال شده بسازید. چنین تقسیم یک نمودار بار به چندین نمودار ساده تر، به عنوان یک قاعده، تنها زمانی توصیه می شود که در بین بارهای موجود، یک بار توزیع یکنواخت وجود داشته باشد و نمودار لحظه ای در بخش مربوطه در زیر آن علامت متناوب باشد. در این حالت، در هر معادله متعارف، تعداد عبارت های آزاد برابر با تعداد نمودارهای بار رسم شده خواهد بود.

جابجایی های واحد و بار (ضرایب و ترم های آزاد معادلات متعارف) را می توان به طور کلی با روش موهر محاسبه کرد. برای تیرها و قاب ها، این کار را می توان با استفاده از قانون Vereshchagin انجام داد.

تأیید جهانی ضرایب و ترم های آزاد معادلات متعارف

برای انجام یک بررسی جهانی، لازم است یک نمودار واحد کل ساخته شود - نموداری از لحظات از عمل همزمان تمام نیروهای واحد اعمال شده به سیستم اصلی:

کل نمودار واحد را در نمودار ضرب می کنیم:

بنابراین، حاصل ضرب نمودار مجموع و i-امین یک حرکت در جهت i-امین اتصال از عمل مشترک مجهولات اضافی منفرد است. این جابجایی برابر است با مجموع ضرایب i-امین معادله متعارف:

این چک نامیده می شود خط به خطو برای هر معادله متعارف صدق می کند.
به جای n بررسی خط، یکی از آنها اغلب انجام می شود - چک جهانی،که شامل ضرب نمودار واحد کل در خودش و بررسی شرایط است:

اگر بررسی جهانی انجام شود، جابجایی های واحد به درستی محاسبه می شود. در غیر این صورت، لازم است بررسی های خط به خط انجام شود، که به شما امکان می دهد جابجایی را که در حین محاسبه آن خطا رخ داده است، روشن کنید.

برای بررسی جابجایی های بار، لازم است که واحد کل و نمودارهای بار لحظه های خمشی را ضرب کنیم:

بنابراین، تأیید شرایط آزاد سیستم معادلات متعارف (4) شامل تحقق شرط است.