یک راه حل برای قضیه مزرعه وجود دارد. آیا آخرین قضیه فرما ثابت شده است؟ مجموعه مقالات ریاضیدان کشاورز

در قرن هفدهم، یک وکیل و ریاضیدان پاره وقت، پیر فرما، در فرانسه زندگی می کرد که به سرگرمی خود ساعات طولانی اوقات فراغت می داد. یک غروب زمستانی، کنار شومینه نشسته بود، یکی از کنجکاوترین جمله ها را از حوزه نظریه اعداد مطرح کرد - این قضیه بود که بعدها قضیه بزرگ یا بزرگ فرما نامیده شد. شاید اگر یک رویداد اتفاق نمی افتاد، هیجان در محافل ریاضی چندان قابل توجه نبود. این ریاضیدان اغلب شب ها را صرف مطالعه کتاب مورد علاقه دیوفانتوس اسکندریه "حساب" (قرن 3) می کرد، در حالی که افکار مهم را در حاشیه آن یادداشت می کرد - این نادر بودن به دقت توسط پسرش برای آیندگان حفظ شد. بنابراین، در حاشیه وسیع این کتاب، دست فرما این کتیبه را به جا گذاشته بود: «من دلیل نسبتاً قابل توجهی دارم، اما بزرگتر از آن است که در حاشیه قرار گیرد». این ورودی بود که باعث هیجان شدید پیرامون قضیه شد. در بین ریاضیدانان شکی وجود نداشت که دانشمند بزرگ اعلام کرد که قضیه خود را ثابت کرده است. احتمالاً از خود می پرسید: "آیا او واقعاً آن را ثابت کرد، یا این یک دروغ پیش پا افتاده بود، یا شاید نسخه های دیگری وجود داشت، چرا این مدخل که اجازه نمی داد ریاضیدانان نسل های بعدی آرام بخوابند، در حاشیه قرار گرفت. کتاب؟".

جوهر قضیه بزرگ

قضیه نسبتاً معروف فرما در ذات خود ساده است و شامل این واقعیت است که به شرط اینکه n بزرگتر از دو باشد، یک عدد مثبت، معادله X n + Y n \u003d Z n راه حل هایی از نوع صفر نخواهد داشت. چارچوب اعداد طبیعی پیچیدگی باورنکردنی در این فرمول به ظاهر ساده پنهان شده بود و اثبات آن سه قرن طول کشید. یک چیز عجیب وجود دارد - این قضیه با تولدش دیر بود، زیرا مورد خاص آن برای n = 2 2200 سال پیش ظاهر شد - این قضیه نه کمتر معروف فیثاغورث است.

لازم به ذکر است که داستان مربوط به قضیه معروف فرما بسیار آموزنده و سرگرم کننده است و نه تنها برای ریاضیدانان. جالب تر از همه این است که علم برای دانشمند یک شغل نبود، بلکه یک سرگرمی ساده بود که به نوبه خود لذت زیادی را برای کشاورز به ارمغان می آورد. او همچنین دائماً با یک ریاضیدان در تماس بود و به صورت پاره وقت، همچنین یک دوست، ایده‌های خود را به اشتراک می‌گذاشت، اما به اندازه کافی عجیب، او به دنبال انتشار آثار خود نبود.

مجموعه مقالات ریاضیدان کشاورز

در مورد آثار خود فارمر، آنها دقیقاً به شکل حروف معمولی یافت شدند. در بعضی جاها هیچ صفحه کاملی وجود نداشت و فقط قطعاتی از مکاتبات حفظ شده است. جالبتر این واقعیت است که برای سه قرن دانشمندان به دنبال قضیه ای بودند که در نوشته های فرمر کشف شد.

اما هر کس جرات اثبات آن را نداشت، تلاش ها به "صفر" کاهش یافت. دکارت ریاضیدان معروف حتی دانشمند را به لاف زدن متهم کرد، اما همه چیز به معمولی ترین حسادت ختم شد. فارمر علاوه بر ایجاد، قضیه خود را نیز اثبات کرد. درست است، راه حل برای موردی پیدا شد که n=4 بود. در مورد مورد n=3، اویلر ریاضیدان آن را شناسایی کرد.

چگونه سعی کردند قضیه فرمر را اثبات کنند

در همان آغاز قرن نوزدهم، این قضیه همچنان وجود داشت. ریاضی دانان براهین بسیاری از قضایا یافته اند که محدود به اعداد طبیعی در عرض دویست بوده است.

و در سال 1909 ، مقدار نسبتاً زیادی در خط قرار گرفت ، برابر با صد هزار مارک منشاء آلمانی - و همه اینها فقط برای حل مشکل مرتبط با این قضیه. صندوق خود دسته جایزه توسط یک عاشق ریاضی ثروتمند پل ولفسکل، اصالتا آلمانی، باقی مانده است، اتفاقاً او بود که می خواست "دست روی خود بگذارد"، اما به لطف چنین دخالتی در قضیه فرمر، او می خواست زنده. هیجان ناشی از آن، هزاران «اثبات» را به وجود آورد که سیل دانشگاه‌های آلمان را فرا گرفت، و در حلقه ریاضیدانان، نام مستعار «فرمیست» متولد شد، که به صورت نیمه تحقیرآمیز برای نامیدن افراد بلندپرواز بلندپرواز که نتوانستند شواهد روشنی ارائه کنند، استفاده می‌شد.

فرضیه ریاضیدان ژاپنی یوتاکا تانیاما

تا اواسط قرن بیستم هیچ تغییری در تاریخ قضیه بزرگ وجود نداشت، اما یک رویداد جالب اتفاق افتاد. در سال 1955، یوتاکا تانیاما، ریاضیدان ژاپنی، که 28 سال داشت، بیانیه ای را از یک رشته ریاضی کاملاً متفاوت به جهان فاش کرد - فرضیه او، بر خلاف فرما، جلوتر از زمان خود بود. می گوید: "برای هر منحنی بیضی شکل مدولار مربوطه وجود دارد." به نظر می رسد که برای هر ریاضیدانی پوچ است، مثل اینکه یک درخت از فلز خاصی تشکیل شده است! فرضیه متناقض، مانند بسیاری از اکتشافات خیره کننده و مبتکرانه دیگر، پذیرفته نشد، زیرا آنها به سادگی هنوز به آن رشد نکرده بودند. و یوتاکا تانیاما سه سال بعد خودکشی کرد - اقدامی غیرقابل توضیح، اما احتمالاً افتخار یک نابغه واقعی سامورایی بیش از همه بود.

برای یک دهه تمام، این حدس به یاد نمی آمد، اما در دهه هفتاد به اوج محبوبیت رسید - توسط همه کسانی که می توانستند آن را درک کنند تأیید شد، اما، مانند قضیه فرما، اثبات نشده باقی ماند.

چگونه حدس تانیاما و قضیه فرما به هم مرتبط هستند

پانزده سال بعد، یک رویداد کلیدی در ریاضیات رخ داد و حدس معروف ژاپنی و قضیه فرما را ترکیب کرد. گرهارد گری بیان کرد که وقتی حدس تانیاما ثابت شود، آنگاه برهان قضیه فرما پیدا خواهد شد. یعنی دومی پیامد فرضیه تانیاما است و یک سال و نیم بعد قضیه فرما توسط استاد دانشگاه کالیفرنیا، کنت ریبت، اثبات شد.

زمان گذشت، پیشرفت جای پسرفت را گرفت و علم به سرعت در حال پیشرفت بود، به ویژه در زمینه فناوری رایانه. بنابراین، مقدار n شروع به افزایش بیشتر و بیشتر کرد.

در اواخر قرن بیستم، قوی ترین رایانه ها در آزمایشگاه های نظامی بودند، برنامه نویسی برای استخراج راه حلی برای مشکل معروف فرما انجام شد. در نتیجه تمام تلاش ها، مشخص شد که این قضیه برای بسیاری از مقادیر n، x، y صحیح است. اما، متأسفانه، این دلیل نهایی نشد، زیرا هیچ جزئیات خاصی وجود نداشت.

جان وایلز قضیه بزرگ فرما را اثبات کرد

و سرانجام، تنها در پایان سال 1994، یک ریاضیدان از انگلستان، جان وایلز، اثبات دقیقی از قضیه بحث برانگیز فرمر را پیدا کرد و نشان داد. سپس پس از بهبودهای فراوان، بحث در این زمینه به نتیجه منطقی خود رسید.

این تکذیب در بیش از صد صفحه از یک مجله درج شد! علاوه بر این، این قضیه بر روی یک دستگاه مدرن تر از ریاضیات عالی اثبات شد. و در کمال تعجب، در زمانی که کشاورز کار خود را می نوشت، چنین دستگاهی در طبیعت وجود نداشت. در یک کلام، مرد به عنوان یک نابغه در این زمینه شناخته شد که هیچکس نمی توانست با او بحث کند. علیرغم همه چیزهایی که اتفاق افتاد، امروز می توانید مطمئن باشید که قضیه ارائه شده دانشمند بزرگ فرمر موجه و اثبات شده است و هیچ ریاضی دانی با عقل سلیم در مورد این موضوع اختلافاتی را آغاز نخواهد کرد که حتی بدبین ترین شکاکان کل بشریت نیز با آن موافق هستند.

نام کامل شخصی که قضیه ارائه شده به نام او نامگذاری شد پیر دو فرمر بود. او در زمینه های مختلفی از ریاضیات مشارکت داشت. اما متأسفانه بیشتر آثار او تنها پس از مرگش منتشر شد.

قضیه بزرگ فرمات - بیانیه پیر فرما (وکیل فرانسوی و ریاضیدان پاره وقت) مبنی بر اینکه معادله دیوفانتین X n + Y n \u003d Z n، با توان n>2، که در آن n = یک عدد صحیح، هیچ جواب مثبتی ندارد. اعداد صحیح . متن نویسنده: "تجزیه یک مکعب به دو مکعب، یا یک دو مربع به دو دو مربع، یا به طور کلی یک توان بیشتر از دو به دو توان با یک توان غیرممکن است."

«فرمت و قضیه او»، آمادئو مودیلیانی، 1920

پیر این قضیه را در 29 مارس 1636 مطرح کرد. و بعد از حدود 29 سال درگذشت. اما همه چیز از اینجا شروع شد. بالاخره یک ریاضیدان ثروتمند آلمانی به نام ولفسکل صد هزار مارک به کسی که اثبات کامل قضیه فرما را ارائه می کند وصیت کرد! اما هیجان پیرامون قضیه نه تنها با این، بلکه با هیجان ریاضی حرفه ای نیز مرتبط بود. خود فرما به جامعه ریاضیات اشاره کرد که اثبات را می داند - اندکی قبل از مرگش، در سال 1665، مدخل زیر را در حاشیه کتاب دیوفانتوس اسکندریه "حساب" به جای گذاشت: "من دلیل بسیار شگفت انگیزی دارم، اما این است. خیلی بزرگتر از آن است که در مزارع قرار گیرد."

این اشاره (به علاوه، البته یک جایزه نقدی) بود که باعث شد ریاضیدانان بهترین سالهای خود را به جستجوی اثبات سپری کنند (طبق گفته دانشمندان آمریکایی، ریاضیدانان حرفه ای به تنهایی در مجموع 543 سال را صرف این کار کردند).

در مقطعی (در سال 1901)، کار بر روی قضیه فرما شهرت مشکوک "کار شبیه به جستجوی یک ماشین حرکت دائمی" را به دست آورد (حتی یک اصطلاح تحقیرآمیز وجود داشت - "فرماتیست ها"). و ناگهان در 23 ژوئن 1993، در یک کنفرانس ریاضی در مورد نظریه اعداد در کمبریج، استاد انگلیسی ریاضیات از دانشگاه پرینستون (نیوجرسی، ایالات متحده آمریکا) اندرو وایلز اعلام کرد که بالاخره فرما را ثابت کرده است!

با این حال، همانطور که وایلز توسط همکارانش اشاره کرد، اثبات نه تنها پیچیده، بلکه آشکارا اشتباه بود. اما پروفسور وایلز در تمام زندگی خود آرزوی اثبات این قضیه را داشت، بنابراین جای تعجب نیست که در ماه مه 1994 نسخه جدید و بهبود یافته ای از اثبات را به جامعه علمی ارائه کرد. هیچ هماهنگی، زیبایی در آن وجود نداشت، و هنوز هم بسیار پیچیده بود - این واقعیت که ریاضیدانان یک سال تمام این اثبات را تجزیه و تحلیل کرده اند (!) برای اینکه بفهمند آیا اشتباه نیست، خود صحبت می کند!

اما در نهایت، اثبات وایلز درست بود. اما ریاضیدانان پیر فرما را به خاطر اشاره‌اش در حساب نبخشیدند و در واقع او را دروغگو می‌دانستند. در واقع، اولین کسی که تمامیت اخلاقی فرما را زیر سوال برد، خود اندرو وایلز بود که اظهار داشت: "فرمت نمی توانست چنین مدرکی داشته باشد. این مدرک قرن بیستم است." سپس، در میان دانشمندان دیگر، این عقیده قوی‌تر شد که فرما «نمی‌توانست قضیه‌اش را به شیوه‌ای دیگر اثبات کند و فرما به دلایل عینی نمی‌توانست آن را به روشی که وایلز می‌رفت، اثبات کند».

در واقع، فرما، البته، می تواند آن را ثابت کند، و کمی بعد این اثبات توسط تحلیلگران دایره المعارف تحلیلی جدید بازسازی خواهد شد. اما - این "دلایل عینی" چیست؟
در واقع، تنها یک دلیل وجود دارد: در آن سال‌هایی که فرما زندگی می‌کرد، حدس تانیاما نمی‌توانست ظاهر شود، که اندرو وایلز بر اساس آن مدرک خود را ساخت، زیرا عملکردهای مدولار که حدس تانیاما بر روی آنها عمل می‌کند تنها در پایان قرن نوزدهم کشف شد. .

خود ویلز چگونه قضیه را اثبات کرد؟ سوال بیکار نیست - این برای درک اینکه چگونه خود فرما می تواند قضیه خود را اثبات کند مهم است. وایلز برهان خود را بر اساس اثبات حدس تانیاما که در سال 1955 توسط ریاضیدان 28 ساله ژاپنی یوتاکا تانیاما ارائه شد، ساخت.

این حدس به نظر می رسد: "هر منحنی بیضوی مربوط به یک شکل مدولار خاص است." منحنی‌های بیضوی، که برای مدت طولانی شناخته شده‌اند، دارای فرم دو بعدی (واقع در یک صفحه) هستند، در حالی که توابع مدولار شکل چهار بعدی دارند. یعنی فرضیه تانیاما مفاهیم کاملاً متفاوتی را با هم ترکیب می کرد - منحنی های مسطح ساده و اشکال چهار بعدی غیرقابل تصور. خود واقعیت اتصال ارقام با ابعاد مختلف در این فرضیه برای دانشمندان پوچ به نظر می رسید، به همین دلیل است که در سال 1955 هیچ اهمیتی به آن داده نشد.

با این حال، در پاییز 1984، "فرضیه تانیاما" ناگهان دوباره به خاطر سپرده شد و نه تنها به خاطر سپرده شد، بلکه اثبات احتمالی آن با اثبات قضیه فرما مرتبط شد! این کار توسط گرهارد فری، ریاضیدان زاربروکنی انجام شد که به جامعه علمی گفت: "اگر کسی بتواند حدس تانیاما را اثبات کند، آخرین قضیه فرما ثابت می شود."

فری چه کرد؟ او معادله فرما را به یک مکعب تبدیل کرد، سپس توجه را به این نکته جلب کرد که منحنی بیضی که از تبدیل معادله فرما به مکعب به دست می آید، نمی تواند مدولار باشد. با این حال، حدس تانیاما بیان کرد که هر منحنی بیضی می تواند مدولار باشد! بر این اساس، منحنی بیضوی ساخته شده از معادله فرما نمی تواند وجود داشته باشد، به این معنی که نمی توان راه حل های کامل و قضیه فرما را به این معنی که درست است وجود داشته باشد. خوب، در سال 1993، اندرو وایلز به سادگی حدس تانیاما و از این رو قضیه فرما را اثبات کرد.

با این حال، قضیه فرما را می‌توان بسیار ساده‌تر، بر اساس همان چندبعدی که هم تانیاما و هم فری عمل کردند، اثبات کرد.

برای شروع، اجازه دهید به شرطی که خود پیر فرما تعیین کرده است توجه کنیم - n>2. چرا این شرط لازم بود؟ بله، فقط برای این واقعیت که برای n=2 قضیه فیثاغورث معمولی X 2 +Y 2 =Z 2 به یک مورد خاص از قضیه فرما تبدیل می شود که دارای تعداد بی نهایت جواب اعداد صحیح است - 3،4،5. 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51،140،149 و غیره. بنابراین، قضیه فیثاغورث از قضیه فرما مستثنی است.

اما چرا دقیقاً در مورد n=2 چنین استثنایی رخ می دهد؟ اگر رابطه بین درجه (n=2) و بعد خود شکل را ببینید، همه چیز در جای خود قرار می گیرد. مثلث فیثاغورث یک شکل دو بعدی است. جای تعجب نیست که Z (یعنی هیپوتنوز) را می توان بر حسب پاهای (X و Y) بیان کرد که می توانند اعداد صحیح باشند. اندازه زاویه (90) این امکان را فراهم می کند که هیپوتنوس را بردار در نظر بگیریم و پاها بردارهایی هستند که روی محورها قرار گرفته و از مبدأ می آیند. بر این اساس، می توان یک بردار دو بعدی را که روی هیچ یک از محورها قرار ندارد، بر حسب بردارهایی که روی آنها قرار دارند، بیان کرد.

حال اگر به بعد سوم و از این رو به n=3 برویم، برای بیان یک بردار سه بعدی، اطلاعات کافی در مورد دو بردار وجود نخواهد داشت و بنابراین می توان Z را در معادله فرما از طریق بیان کرد. حداقل سه ترم (سه بردار به ترتیب روی سه محور سیستم مختصات قرار دارند).

اگر n=4 باشد، پس باید 4 جمله وجود داشته باشد، اگر n=5 باشد، باید 5 جمله وجود داشته باشد و به همین ترتیب. در این صورت، بیش از حد کافی راه حل های کامل وجود خواهد داشت. به عنوان مثال، 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 و غیره (شما می توانید مثال های دیگری را برای n=3، n=4 و غیره انتخاب کنید).

از همه اینها چه نتیجه ای حاصل می شود؟ از این نتیجه می شود که قضیه فرما در واقع هیچ جواب کاملی برای n>2 ندارد - اما فقط به این دلیل که خود معادله نادرست است! با همین موفقیت، می توان سعی کرد حجم یک متوازی الاضلاع را بر حسب طول دو لبه آن بیان کرد - البته این غیرممکن است (هیچ وقت راه حل های کامل پیدا نمی شود)، اما فقط به این دلیل که حجم یک متوازی الاضلاع را پیدا کنیم. ، باید طول هر سه لبه آن را بدانید.

وقتی از ریاضیدان معروف دیوید گیلبرت پرسیده شد که در حال حاضر مهمترین وظیفه علم چیست، او پاسخ داد "گرفتن یک مگس در سمت دور ماه". به سوال منطقی "چه کسی به آن نیاز دارد؟" او چنین پاسخ داد: "هیچ کس به آن نیاز ندارد. اما به این فکر کنید که برای انجام این کار باید چند کار مهم و پیچیده را حل کنید."

به عبارت دیگر، فرما (در وهله اول یک وکیل!) بر اساس فرمول بندی نادرست مسئله، یک شوخی حقوقی شوخ در کل دنیای ریاضی بازی کرد. او در واقع به ریاضیدانان پیشنهاد کرد که پاسخی بیابند که چرا مگس نمی تواند در آن سوی ماه زندگی کند، و در حاشیه حساب می خواست فقط بنویسد که به سادگی در ماه هوا وجود ندارد، یعنی. برای n>2 هیچ جواب عدد صحیحی برای قضیه او وجود ندارد، فقط به این دلیل که هر مقدار از n باید با تعداد معینی از جمله در سمت چپ معادله او مطابقت داشته باشد.

اما آیا این فقط یک شوخی بود؟ اصلا. نبوغ فرما دقیقاً در این واقعیت نهفته است که او در واقع اولین کسی بود که رابطه بین درجه و بعد یک شکل ریاضی را مشاهده کرد - یعنی تعداد عبارت های سمت چپ معادله کاملاً معادل است. معنای قضیه معروف او دقیقاً این بود که نه تنها جهان ریاضی را بر ایده این رابطه فشار دهد، بلکه همچنین اثبات وجود این رابطه را آغاز کرد - به طور شهودی قابل درک، اما هنوز از نظر ریاضی اثبات نشده است.

فرما، مانند هیچ کس دیگری، درک نکرد که برقراری رابطه بین اشیاء به ظاهر متفاوت نه تنها در ریاضیات، بلکه در هر علمی نیز بسیار مثمر ثمر است. چنین رابطه ای به یک اصل عمیق اشاره می کند که زیربنای هر دو شی است و امکان درک عمیق تر آنها را فراهم می کند.

به عنوان مثال، در ابتدا فیزیکدانان الکتریسیته و مغناطیس را پدیده هایی کاملاً نامرتبط می دانستند و در قرن نوزدهم، نظریه پردازان و آزمایشگران دریافتند که الکتریسیته و مغناطیس ارتباط نزدیکی با هم دارند. نتیجه، درک عمیق‌تری از الکتریسیته و مغناطیس بود. جریان‌های الکتریکی میدان‌های مغناطیسی ایجاد می‌کنند و آهن‌رباها می‌توانند الکتریسیته را در رساناهایی که نزدیک به آهنربا هستند القا کنند. این امر منجر به اختراع دینام و موتورهای الکتریکی شد. سرانجام مشخص شد که نور نتیجه نوسانات هماهنگ میدان های مغناطیسی و الکتریکی است.

ریاضیات زمان فرما شامل جزایر دانش در دریای جهل بود. هندسه‌سنج‌ها اشکال را در یک جزیره مطالعه کردند و ریاضیدانان احتمال و شانس را در جزیره دیگر مطالعه کردند. زبان هندسه با زبان نظریه احتمال بسیار متفاوت بود و اصطلاحات جبری برای کسانی که فقط از آمار صحبت می کردند بیگانه بود. متأسفانه ریاضیات زمان ما تقریباً از همان جزایر تشکیل شده است.

فارم اولین کسی بود که متوجه شد همه این جزایر به هم متصل هستند. و قضیه معروف او - قضیه بزرگ فرما - تأییدی عالی برای این موضوع است.

بعید است که حداقل یک سال از عمر دفتر تحریریه ما گذشته باشد که ده ها اثبات قضیه فرما را دریافت نکرده باشد. اکنون پس از "پیروزی" بر آن، جریان فروکش کرده است، اما خشک نشده است.

البته نه برای خشک شدن کامل، این مطلب را منتشر می کنیم. و نه برای دفاع از خودم - که، آنها می گویند، به همین دلیل است که ما سکوت کردیم، ما خودمان هنوز به بلوغ نرسیده ایم که در مورد چنین مشکلات پیچیده ای صحبت کنیم.

اما اگر مقاله واقعاً پیچیده به نظر می رسد، بلافاصله به انتهای آن نگاه کنید. باید احساس کنید که احساسات موقتاً آرام شده اند، علم تمام نشده است و به زودی برهان های جدید قضایای جدید برای ویراستاران ارسال خواهد شد.

به نظر می رسد قرن بیستم بیهوده نبوده است. ابتدا، مردم با انفجار یک بمب هیدروژنی برای لحظه ای خورشید دوم را ایجاد کردند. سپس روی ماه قدم زدند و در نهایت قضیه بدنام فرما را اثبات کردند. از این سه معجزه، دو معجزه اول بر لبان همه است، زیرا پیامدهای اجتماعی عظیمی داشته است. برعکس، سومین معجزه مانند یک اسباب بازی علمی دیگر به نظر می رسد - همتراز با نظریه نسبیت، مکانیک کوانتومی و قضیه گودل در مورد ناقص بودن حساب. با این حال، نسبیت و کوانتوم فیزیکدانان را به سمت بمب هیدروژنی سوق داد و تحقیقات ریاضیدانان دنیای ما را پر از رایانه کرد. آیا این رشته معجزات در قرن بیست و یکم ادامه خواهد داشت؟ آیا می توان ارتباط بین اسباب بازی های علمی بعدی و انقلاب های زندگی روزمره ما را ردیابی کرد؟ آیا این ارتباط به ما امکان می دهد پیش بینی های موفقی داشته باشیم؟ بیایید سعی کنیم این را با استفاده از مثال قضیه فرما درک کنیم.

بیایید برای شروع توجه داشته باشیم که او بسیار دیرتر از دوره طبیعی خود به دنیا آمد. به هر حال، اولین مورد خاص قضیه فرما، معادله فیثاغورث X 2 + Y 2 = Z 2 است که طول اضلاع یک مثلث قائم الزاویه را به هم مربوط می کند. فیثاغورث پس از اثبات این فرمول بیست و پنج قرن پیش، فوراً این سؤال را از خود پرسید: آیا مثلث های زیادی در طبیعت وجود دارند که در آنها هر دو ساق و هیپوتنوس یک عدد صحیح داشته باشند؟ به نظر می رسد که مصریان فقط یک مثلث را می شناختند - با اضلاع (3، 4، 5). اما یافتن گزینه های دیگر دشوار نیست: برای مثال (5، 12، 13)، (7، 24، 25) یا (8، 15، 17). در تمام این موارد، طول هیپوتانوس به شکل (A 2 + B 2) است، که در آن A و B اعداد همزمان اول با برابری متفاوت هستند. در این حالت طول پاها برابر با (A 2 - B 2) و 2AB است.

با توجه به این روابط، فیثاغورث به راحتی ثابت کرد که هر سه اعداد (X \u003d A 2 - B 2, Y \u003d 2AB, Z \u003d A 2 + B 2) راه حلی برای معادله X 2 + Y 2 \u003d Z است. 2 و یک مستطیل با طول اضلاع ساده متقابل تنظیم می کند. همچنین مشاهده می شود که تعداد سه گانه های مختلف از این نوع بی نهایت است. اما آیا همه جواب های معادله فیثاغورث این شکل را دارند؟ فیثاغورث قادر به اثبات یا رد چنین فرضیه ای نبود و این مسئله را بدون جلب توجه به آیندگان واگذار کرد. چه کسی می خواهد شکست های خود را برجسته کند؟ به نظر می رسد که پس از این مسئله مثلث های قائم الزاویه یکپارچه به مدت هفت قرن فراموش شد - تا زمانی که نابغه ریاضی جدیدی به نام دیوفانتوس در اسکندریه ظاهر شد.

ما اطلاعات کمی در مورد او داریم، اما واضح است که او هیچ شباهتی به فیثاغورث نداشت. او در هندسه و حتی فراتر از آن - چه در موسیقی، چه در نجوم و چه در سیاست - احساس پادشاهی می کرد. اولین ارتباط حسابی بین طول اضلاع یک چنگ هماهنگ، اولین مدل جهان از کره های متحدالمرکز حامل سیارات و ستارگان، با زمین در مرکز، و در نهایت، اولین جمهوری دانشمندان در شهر کروتون ایتالیا. - اینها دستاوردهای شخصی فیثاغورث است. دیوفانتوس چه چیزی می‌تواند با چنین موفقیت‌هایی مخالفت کند - یک محقق متواضع موزه بزرگ، که مدتهاست افتخار جمعیت شهر نیست؟

فقط یک چیز: درک بهتر دنیای باستانی اعداد، قوانینی که فیثاغورث، اقلیدس و ارشمیدس به سختی فرصت داشتند آن را احساس کنند. توجه داشته باشید که دیوفانتوس هنوز بر نمادگذاری موقعیتی اعداد بزرگ تسلط نداشته است، اما او می‌دانست که اعداد منفی چیست و احتمالاً ساعت‌های زیادی به این فکر کرده است که چرا حاصل ضرب دو عدد منفی مثبت است. جهان اعداد صحیح برای اولین بار به عنوان یک جهان خاص، متفاوت از جهان ستارگان، بخش ها یا چند وجهی برای دیوفانتوس آشکار شد. شغل اصلی دانشمندان در این دنیا حل معادلات است، یک استاد واقعی تمام راه حل های ممکن را پیدا می کند و ثابت می کند که هیچ راه حل دیگری وجود ندارد. این همان کاری است که دیوفانتوس با معادله فیثاغورث درجه دوم انجام داد و سپس فکر کرد: آیا حداقل یک راه حل معادله مکعبی مشابهی دارد X 3 + Y 3 = Z 3؟

دیوفانتوس نتوانست چنین راه حلی بیابد؛ تلاش او برای اثبات عدم وجود راه حل نیز ناموفق بود. بنابراین، دیوفانتوس با ترسیم نتایج کار خود در کتاب "حساب" (این اولین کتاب درسی جهان در مورد نظریه اعداد بود)، معادله فیثاغورث را به تفصیل تجزیه و تحلیل کرد، اما به کلمه ای در مورد تعمیم های احتمالی این معادله اشاره نکرد. اما او می توانست: به هر حال، این دیوفانتوس بود که برای اولین بار نماد قدرت اعداد صحیح را پیشنهاد کرد! اما افسوس: مفهوم "کتاب تکلیف" با علم و آموزش یونانی بیگانه بود و انتشار فهرستی از مشکلات حل نشده شغلی ناشایست تلقی می شد (فقط سقراط به گونه ای دیگر عمل کرد). اگر نمی توانید مشکل را حل کنید - ساکت شوید! دیوفانتوس ساکت شد و این سکوت به مدت چهارده قرن ادامه یافت - تا آغاز عصر جدید، زمانی که علاقه به روند تفکر انسان زنده شد.

چه کسی در آغاز قرن 16 تا 17 درباره هیچ چیز خیال پردازی نکرد! ماشین حساب خستگی ناپذیر کپلر سعی کرد ارتباط بین فاصله خورشید تا سیارات را حدس بزند. فیثاغورث شکست خورد. موفقیت کپلر پس از آموختن نحوه ادغام چند جمله ای ها و دیگر توابع ساده به دست آمد. برعکس، دکارت رویاپرداز محاسبات طولانی را دوست نداشت، اما این او بود که برای اولین بار تمام نقاط هواپیما یا فضا را به عنوان مجموعه ای از اعداد ارائه کرد. این مدل جسورانه هرگونه مشکل هندسی در مورد ارقام را به برخی از مسائل جبری در مورد معادلات کاهش می دهد - و بالعکس. به عنوان مثال، جواب های اعداد صحیح معادله فیثاغورث با نقاط صحیح روی سطح یک مخروط مطابقت دارند. سطح متناظر با معادله مکعبی X 3 + Y 3 = Z 3 پیچیده تر به نظر می رسد، ویژگی های هندسی آن چیزی را به پیر فرما نشان نمی دهد، و او مجبور شد مسیرهای جدیدی را از طریق وحشی اعداد صحیح هموار کند.

در سال 1636، کتابی از دیوفانتوس که به تازگی از یک اصل یونانی به لاتین ترجمه شده بود، به دست یک وکیل جوان از تولوز افتاد که به طور تصادفی در آرشیو بیزانسی زنده ماند و توسط یکی از فراریان رومی در زمان ترک به ایتالیا آورد. خراب کردن فرما با خواندن یک بحث ظریف از معادله فیثاغورث فکر کرد: آیا می توان چنین راه حلی را یافت که از سه عدد مربع تشکیل شده باشد؟ تعداد کمی از این نوع وجود ندارد: به راحتی می توان آن را با شمارش تأیید کرد. در مورد تصمیمات بزرگ چطور؟ فرما بدون کامپیوتر نمی توانست آزمایش عددی انجام دهد. اما او متوجه شد که برای هر جواب "بزرگ" معادله X 4 + Y 4 = Z 4، می توان راه حل کوچکتری ساخت. پس مجموع توانهای چهارم دو عدد صحیح هرگز با همان توان عدد سوم برابر نیست! در مورد مجموع دو مکعب چطور؟

فرما با الهام از موفقیت برای درجه 4، سعی کرد "روش فرود" را برای درجه 3 تغییر دهد - و موفق شد. معلوم شد که نمی‌توان دو مکعب کوچک از آن مکعب‌های تکی که یک مکعب بزرگ با طول یک یال از هم جدا می‌شود، تشکیل داد. فرما پیروز یادداشت کوتاهی در حاشیه کتاب دیوفانتوس کرد و نامه ای با گزارش مفصلی از کشف خود به پاریس فرستاد. اما او پاسخی دریافت نکرد - اگرچه معمولا ریاضیدانان پایتخت به موفقیت بعدی رقیب همکار خود در تولوز به سرعت واکنش نشان دادند. اینجا چه خبر است؟

خیلی ساده: در اواسط قرن هفدهم، حساب از مد افتاده بود. موفقیت های بزرگ جبر شناسان ایتالیایی قرن شانزدهم (زمانی که معادلات چند جمله ای درجات 3 و 4 حل شد) آغاز یک انقلاب علمی عمومی نبود، زیرا آنها اجازه حل مسائل روشن جدید در زمینه های علمی مجاور را نمی دادند. حال، اگر کپلر بتواند با استفاده از محاسبات محض، مدار سیارات را حدس بزند... اما افسوس، این نیاز به تحلیل ریاضی داشت. این بدان معنی است که باید توسعه یابد - تا پیروزی کامل روش های ریاضی در علوم طبیعی! اما تجزیه و تحلیل از هندسه رشد می کند، در حالی که حساب همچنان میدان بازی وکلای بیکار و دیگر دوستداران علم ابدی اعداد و ارقام است.

بنابراین، موفقیت های حسابی فرما نابهنگام بود و قدردانی نشد. او از این ناراحت نشد: برای شهرت یک ریاضیدان، حقایق حساب دیفرانسیل، هندسه تحلیلی و نظریه احتمال برای اولین بار برای او آشکار شد. تمام این اکتشافات فرما بلافاصله وارد صندوق طلایی علم جدید اروپایی شد، در حالی که نظریه اعداد برای صد سال دیگر در پس زمینه محو شد - تا زمانی که اویلر آن را احیا کرد.

این "پادشاه ریاضیدانان" قرن هجدهم در همه کاربردهای تحلیل قهرمان بود، اما از حساب نیز غافل نشد، زیرا روش های جدید تجزیه و تحلیل منجر به حقایق غیرمنتظره ای در مورد اعداد شد. چه کسی فکر می کرد که مجموع نامتناهی مجذورهای معکوس (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +…) برابر با π 2 / 6 باشد؟ چه کسی از یونانی ها می توانست پیش بینی کند که سریال های مشابه می توانند غیرمنطقی بودن عدد π را ثابت کنند؟

چنین موفقیت هایی اویلر را مجبور کرد تا دست نوشته های باقی مانده از فرما را با دقت بازخوانی کند (خوشبختانه پسر مرد بزرگ فرانسوی موفق به انتشار آنها شد). درست است که اثبات "قضیه بزرگ" برای درجه 3 حفظ نشده است ، اما اویلر به راحتی آن را فقط با اشاره به "روش فرود" بازیابی کرد و بلافاصله سعی کرد این روش را به درجه اول بعدی - 5 منتقل کند.

آنجا نبود! در استدلال اویلر، اعداد مختلط ظاهر شد که فرما موفق شد متوجه آنها نشود (معمولاً بسیاری از کاشفان چنین هستند). اما فاکتورسازی اعداد صحیح مختلط یک موضوع حساس است. حتی اویلر آن را به طور کامل درک نکرد و با عجله برای تکمیل کار اصلی خود - کتاب درسی "اصول تجزیه و تحلیل" - که قرار بود به هر جوان با استعدادی کمک کند تا با لایب نیتس همتراز شود و "مسئله فرمت" را کنار گذاشت. اویلر. انتشار کتاب درسی در سن پترزبورگ در سال 1770 به پایان رسید. اما اویلر به قضیه فرما بازنگشت، زیرا مطمئن بود که هر چیزی که دست و ذهن او لمس می کند توسط جوانان علمی جدید فراموش نخواهد شد.

و چنین شد: آدرین لژاندر فرانسوی جانشین اویلر در نظریه اعداد شد. در پایان قرن 18، او اثبات قضیه فرما را برای درجه 5 تکمیل کرد - و اگرچه در قدرت های اول بزرگ شکست خورد، کتاب درسی دیگری در مورد نظریه اعداد تدوین کرد. باشد که خوانندگان جوان آن از نویسنده پیشی بگیرند، همانطور که خوانندگان اصول ریاضی فلسفه طبیعی از نیوتن بزرگ پیشی گرفتند! لژاندر با نیوتن یا اویلر قابل مقایسه نبود، اما دو نابغه در میان خوانندگان او وجود داشت: کارل گاوس و اواریست گالویس.

چنین تمرکز بالایی از نوابغ توسط انقلاب فرانسه تسهیل شد که آیین دولتی عقل را اعلام کرد. پس از آن، هر دانشمند با استعدادی مانند کلمب یا اسکندر کبیر احساس می کرد که می تواند دنیای جدیدی را کشف یا فتح کند. بسیاری موفق شدند، به همین دلیل است که در قرن نوزدهم پیشرفت علمی و فناوری عامل اصلی تکامل بشر شد و همه حاکمان معقول (از ناپلئون شروع می‌شوند) از این امر آگاه بودند.

گاوس از نظر شخصیتی به کلمب نزدیک بود. اما او (مانند نیوتن) نمی دانست چگونه با سخنرانی های زیبا تخیل حاکمان یا دانش آموزان را مجذوب خود کند و به همین دلیل جاه طلبی های خود را به حوزه مفاهیم علمی محدود کرد. در اینجا او می توانست هر کاری که می خواست انجام دهد. به عنوان مثال، مشکل باستانی سه برش یک زاویه به دلایلی با قطب نما و راستا حل نمی شود. گاوس با کمک اعداد مختلط که نقاط صفحه را به تصویر می‌کشد، این مسئله را به زبان جبر ترجمه می‌کند - و یک نظریه کلی درباره امکان‌پذیری ساختارهای هندسی خاص به دست می‌آورد. بنابراین، در همان زمان، دلیل دقیقی مبنی بر عدم امکان ساخت یک 7 یا 9 ضلعی منظم با قطب نما و خط کش و چنین روشی برای ساختن یک 17 ضلعی منظم ظاهر شد که خردمندترین هندسه شناسان هلاس انجام دادند. خواب نیست

البته چنین موفقیتی بیهوده نیست: باید مفاهیم جدیدی را ابداع کرد که منعکس کننده اصل موضوع باشد. نیوتن سه مفهوم از این قبیل را معرفی کرد: شار (مشتق)، روان (انتگرال) و سری توان. آنها برای ایجاد تحلیل ریاضی و اولین مدل علمی جهان فیزیکی، از جمله مکانیک و نجوم کافی بودند. گاوس همچنین سه مفهوم جدید را معرفی کرد: فضای برداری، میدان و حلقه. جبر جدیدی از آنها رشد کرد که محاسبات یونانی و نظریه توابع عددی ایجاد شده توسط نیوتن را تابع کرد. تنها باقی ماند که منطق ایجاد شده توسط ارسطو را تابع جبر کنیم: در این صورت می‌توان با کمک محاسبات، مشتق‌پذیری یا عدم مشتق‌پذیری هر گزاره علمی را از مجموعه‌ای از بدیهیات اثبات کرد! به عنوان مثال، آیا قضیه فرما از بدیهیات حساب ناشی می شود یا فرض اقلیدس در مورد خطوط موازی از دیگر بدیهیات پلان سنجی ناشی می شود؟

گاوس فرصتی برای تحقق این رویای جسورانه نداشت - اگرچه او بسیار پیشرفت کرد و احتمال وجود جبرهای عجیب و غریب (غیر جابه‌جایی) را حدس زد. تنها نیکلای لوباچفسکی جسور روسی توانست اولین هندسه غیر اقلیدسی را بسازد و اولین جبر غیرقابل تعویض (نظریه گروه) توسط فرانسوی Evariste Galois مدیریت شد. و فقط خیلی دیرتر از مرگ گاوس - در سال 1872 - فلیکس کلین جوان آلمانی حدس زد که تنوع هندسه های ممکن را می توان با انواع جبرهای ممکن مطابقت یک به یک آورد. به بیان ساده، هر هندسه با گروه تقارن آن تعریف می شود - در حالی که جبر عمومی همه گروه های ممکن و ویژگی های آنها را مطالعه می کند.

اما چنین درکی از هندسه و جبر خیلی دیرتر به دست آمد و حمله به قضیه فرما در زمان حیات گاوس از سر گرفته شد. او خود از اصل قضیه فرما غافل شد: این کار پادشاه نیست که مسائل فردی را که در یک نظریه درخشان علمی نمی گنجد، حل کند! اما شاگردان گاوس که با جبر جدید او و تحلیل کلاسیک نیوتن و اویلر مسلح شده بودند، استدلال متفاوتی داشتند. ابتدا، پیتر دیریکله قضیه فرما را برای درجه 7 با استفاده از حلقه اعداد صحیح مختلط که توسط ریشه های این درجه وحدت ایجاد می شود، اثبات کرد. سپس ارنست کومر روش دیریکله را به تمام درجات اول (!) گسترش داد - به نظر او در عجله بود و او پیروز شد. اما به زودی هوشیاری فرا رسید: اثبات بدون عیب و نقص تنها در صورتی می‌گذرد که هر عنصر حلقه به‌طور منحصربه‌فرد به عوامل اصلی تجزیه شود! برای اعداد صحیح معمولی، این واقعیت قبلاً برای اقلیدس شناخته شده بود، اما فقط گاوس اثبات دقیق آن را ارائه کرد. اما در مورد کل اعداد مختلط چطور؟

بر اساس «اصل بزرگترین شیطنت»، ممکن است و باید فاکتورسازی مبهم رخ دهد! به محض اینکه کومر یاد گرفت که چگونه درجه ابهام را با روش های تجزیه و تحلیل ریاضی محاسبه کند، این حقه کثیف را در رینگ برای درجه 23 کشف کرد. گاوس وقت نداشت در مورد این نسخه از جبر جابجایی عجیب و غریب بیاموزد، اما دانش آموزان گاوس رشد کردند. تئوری زیبای جدید ایده آل ها به جای یک ترفند کثیف دیگر. درست است، این کمک زیادی به حل مشکل فرما نکرد: فقط پیچیدگی طبیعی آن واضح تر شد.

در طول قرن نوزدهم، این بت باستانی در قالب نظریه‌های پیچیده جدید، قربانی‌های بیشتری از طرفداران خود می‌خواست. جای تعجب نیست که در آغاز قرن بیستم، مؤمنان دلسرد شده و عصیان کردند و بت سابق خود را رد کردند. کلمه "فرماتیست" در بین ریاضیدانان حرفه ای به یک اصطلاح تحقیر آمیز تبدیل شده است. و اگرچه جایزه قابل توجهی برای اثبات کامل قضیه فرما تعیین شده بود، اما متقاضیان آن عمدتاً نادانانی با اعتماد به نفس بودند. قوی ترین ریاضیدانان آن زمان - پوانکاره و هیلبرت - به طرز سرکشی از این موضوع اجتناب کردند.

در سال 1900، هیلبرت قضیه فرما را در فهرست بیست و سه مسئله اصلی ریاضیات قرن بیستم قرار نداد. درست است ، او در مجموعه آنها مسئله کلی حل پذیری معادلات دیوفانتین را گنجانده است. اشاره واضح بود: از گاوس و گالوا الگوبرداری کنید، تئوری های کلی اشیاء ریاضی جدید را ایجاد کنید! سپس یک روز خوب (اما از قبل قابل پیش بینی نیست)، ترکش قدیمی خود به خود می افتد.

هانری پوانکاره رمانتیک بزرگ اینگونه عمل کرد. او با نادیده گرفتن بسیاری از مسائل "ابدی"، در تمام زندگی خود تقارن های برخی از اشیاء ریاضی یا فیزیک را مطالعه کرد: یا توابع یک متغیر پیچیده، یا مسیر حرکت اجرام سماوی، یا منحنی های جبری یا منیفولدهای صاف (اینها تعمیم های چند بعدی منحنی هستند. خطوط). انگیزه اقدامات او ساده بود: اگر دو جسم مختلف دارای تقارن های مشابه باشند، به این معنی است که یک رابطه درونی بین آنها وجود دارد که ما هنوز قادر به درک آن نیستیم! به عنوان مثال، هر یک از هندسه های دو بعدی (اقلیدس، لوباچفسکی یا ریمان) دارای گروه تقارن خاص خود هستند که بر روی صفحه عمل می کنند. اما نقاط صفحه اعداد مختلط هستند: به این ترتیب عمل هر گروه هندسی به دنیای وسیع توابع پیچیده منتقل می شود. مطالعه متقارن ترین این توابع ممکن و ضروری است: AUTOMORPHOUS (که تابع گروه اقلیدس هستند) و MODULAR (که تابع گروه لوباچفسکی هستند)!

همچنین منحنی های بیضوی در هواپیما وجود دارد. آنها هیچ ربطی به بیضی ندارند، بلکه با معادلاتی به شکل Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX به دست می آیند و بنابراین با هر خط مستقیمی در سه نقطه قطع می شوند. این واقعیت به ما امکان می دهد ضرب را در بین نقاط یک منحنی بیضی معرفی کنیم - آن را به یک گروه تبدیل کنیم. ساختار جبری این گروه منعکس کننده ویژگی های هندسی منحنی است؛ شاید به طور منحصر به فردی توسط گروه آن تعیین شود؟ این سوال ارزش مطالعه دارد، زیرا برای برخی از منحنی ها، گروه مورد علاقه ما مدولار است، یعنی مربوط به هندسه لوباچفسکی است ...

پوانکاره اینگونه استدلال می کرد و جوانان ریاضی اروپا را اغوا می کرد، اما در آغاز قرن بیستم این وسوسه ها به قضایا یا فرضیه های درخشان منجر نشد. با فراخوان هیلبرت به گونه‌ای دیگر معلوم شد: برای مطالعه راه‌حل‌های کلی معادلات دیوفانتین با ضرایب صحیح! در سال 1922، لوئیس موردل جوان آمریکایی، مجموعه راه حل های چنین معادله ای (این یک فضای برداری با ابعاد معین است) را با جنس هندسی منحنی مختلط که توسط این معادله ارائه می شود، مرتبط کرد. موردل به این نتیجه رسید که اگر درجه معادله به اندازه کافی بزرگ باشد (بیش از دو)، بعد فضای حل بر حسب جنس منحنی بیان می شود و بنابراین این بعد متناهی است. برعکس - به توان 2، معادله فیثاغورث دارای یک خانواده راه حل بی‌بعد است!

البته موردل ارتباط فرضیه خود را با قضیه فرما دید. اگر معلوم شود که به ازای هر درجه n > 2 فضای کل جواب های معادله فرما، بعد محدود است، این کمک خواهد کرد که ثابت شود اصلاً چنین جواب هایی وجود ندارد! اما موردل هیچ راهی برای اثبات فرضیه خود ندید - و اگرچه عمر طولانی داشت، اما منتظر تبدیل این فرضیه به قضیه فالتینگز نشد. این اتفاق در سال 1983، در دورانی کاملاً متفاوت، پس از موفقیت های بزرگ توپولوژی جبری منیفولدها رخ داد.

پوانکاره این علم را به طور تصادفی ایجاد کرد: او می خواست بداند منیفولدهای سه بعدی چیست. از این گذشته، ریمان ساختار تمام سطوح بسته را کشف کرد و یک پاسخ بسیار ساده گرفت! اگر چنین پاسخی در یک مورد سه بعدی یا چند بعدی وجود نداشته باشد، باید سیستمی از متغیرهای جبری منیفولد ارائه دهید که ساختار هندسی آن را تعیین می کند. بهتر است چنین متغیرهایی عناصر برخی از گروه ها باشند - جابجایی یا غیرقابل تغییر.

اگرچه عجیب به نظر می رسد، اما این طرح جسورانه پوانکاره موفق شد: از سال 1950 تا 1970 به لطف تلاش های بسیاری از هندسه شناسان و جبر شناسان انجام شد. تا سال 1950، انباشت آرامی از روش‌های مختلف برای طبقه‌بندی منیفولدها وجود داشت و پس از این تاریخ، به نظر می‌رسید که توده‌ای مهم از مردم و ایده‌ها جمع شده و انفجاری رخ داده است که قابل مقایسه با اختراع تجزیه و تحلیل ریاضی در قرن هفدهم است. اما انقلاب تحلیلی به مدت یک قرن و نیم ادامه یافت و زندگینامه خلاق چهار نسل ریاضیدانان - از نیوتن و لایب نیتس گرفته تا فوریه و کوشی را در بر گرفت. برعکس، انقلاب توپولوژیکی قرن بیستم، به لطف تعداد زیادی از شرکت کنندگان، در عرض بیست سال بود. در همان زمان، نسل بزرگی از ریاضیدانان جوان با اعتماد به نفس ظهور کرده اند که ناگهان در سرزمین تاریخی خود بی کار مانده اند.

در دهه هفتاد آنها به رشته های مجاور ریاضیات و فیزیک نظری هجوم بردند. بسیاری از آنها مدارس علمی خود را در ده ها دانشگاه در اروپا و آمریکا ایجاد کرده اند. بسیاری از دانش‌آموزان در سنین و ملیت‌های مختلف، با توانایی‌ها و گرایش‌های متفاوت، هنوز بین این مراکز تردد می‌کنند و همه می‌خواهند به خاطر کشفی معروف شوند. در این هیاهو بود که نهایتاً حدس موردل و قضیه فرما ثابت شد.

با این حال، اولین پرستو که از سرنوشت خود بی خبر بود، در سال های گرسنه و بیکار پس از جنگ در ژاپن بزرگ شد. نام پرستو یوتاکا تانیاما بود. در سال 1955، این قهرمان 28 ساله شد و تصمیم گرفت (به همراه دوستان گورو شیمورا و تاکاوجی تاماگاوا) تحقیقات ریاضی را در ژاپن احیا کند. از کجا شروع کنیم؟ البته با غلبه بر انزوا از همکاران خارجی! بنابراین در سال 1955، سه جوان ژاپنی میزبان اولین کنفرانس بین المللی جبر و نظریه اعداد در توکیو بودند. ظاهراً انجام این کار در ژاپنی که توسط آمریکایی‌ها دوباره آموزش دیده بود، آسان‌تر از روسیه بود که توسط استالین منجمد شد.

در میان مهمانان افتخاری دو قهرمان از فرانسه بودند: آندره ویل و ژان پیر سر. در اینجا ژاپنی ها بسیار خوش شانس بودند: ویل رئیس جبر شناسان فرانسوی و یکی از اعضای گروه بورباکی بود و سر جوان نیز نقشی مشابه در میان توپولوژیست ها ایفا کرد. در بحث های داغ با آنها، سر جوانان ژاپنی ترک خورد، مغز آنها آب شد، اما در نهایت چنین ایده ها و نقشه هایی متبلور شد که به سختی می توانست در محیطی متفاوت متولد شود.

یک روز، تانیاما با سوالی در مورد منحنی های بیضوی و توابع مدولار به ویل نزدیک شد. در ابتدا، فرانسوی چیزی نمی فهمید: تانیاما استاد صحبت کردن به زبان انگلیسی نبود. سپس اصل موضوع روشن شد، اما تانیاما نتوانست به امید خود فرمول دقیقی ارائه دهد. تنها چیزی که ویل می توانست به جوان ژاپنی پاسخ دهد این بود که اگر او از نظر الهام بسیار خوش شانس بود، آنگاه چیزی معقول از فرضیه های مبهم او بیرون می آمد. اما در حالی که امید به آن ضعیف است!

بدیهی است که ویل متوجه آتش آسمانی در نگاه تانیاما نشد. و آتش به پا شد: به نظر می رسد برای لحظه ای فکر تسلیم ناپذیر مرحوم پوانکاره به ژاپنی ها منتقل شد! تانیاما به این باور رسید که هر منحنی بیضی توسط توابع مدولار ایجاد می شود - به طور دقیق تر، "با یک فرم مدولار یکنواخت می شود". افسوس که این عبارت دقیق خیلی دیرتر متولد شد - در گفتگوهای تانیاما با دوستش شیمورا. و سپس تانیاما در یک حمله افسردگی خودکشی کرد... فرضیه او بی صاحب ماند: معلوم نبود چگونه آن را ثابت کرد یا کجا آن را آزمایش کرد و بنابراین برای مدت طولانی هیچکس آن را جدی نگرفت. اولین پاسخ فقط سی سال بعد - تقریباً مانند دوره فرما - آمد!

یخ در سال 1983 شکست، زمانی که گرد فالتینگز بیست و هفت ساله آلمانی به تمام جهان اعلام کرد: حدس موردل ثابت شده است! ریاضیدانان مراقب خود بودند، اما فالتینگز یک آلمانی واقعی بود: هیچ شکافی در اثبات طولانی و پیچیده او وجود نداشت. فقط زمان آن فرا رسیده است، حقایق و مفاهیم جمع شده اند - و اکنون یک جبرشناس با استعداد، با تکیه بر نتایج ده جبرگر دیگر، موفق شده است مشکلی را حل کند که شصت سال در انتظار استاد ایستاده است. این در ریاضیات قرن بیستم غیر معمول نیست. شایان ذکر است مسئله پیوستار سکولار در نظریه مجموعه ها، دو حدس برنزاید در نظریه گروه یا حدس پوانکاره در توپولوژی است. در نهایت، در تئوری اعداد، زمان برداشت محصولات قدیمی فرا رسیده است... کدام قله بعدی در یک سری از ریاضیدانان تسخیر شده خواهد بود؟ آیا مسئله اویلر، فرضیه ریمان یا قضیه فرما فرو می ریزد؟ خوب است که!

و اکنون، دو سال پس از افشای فالتینگز، یک ریاضیدان الهام گرفته دیگر در آلمان ظاهر شد. نام او گرهارد فری بود و ادعای عجیبی داشت: اینکه قضیه فرما از حدس تانیاما گرفته شده است! متأسفانه، سبک فری در بیان افکارش بیشتر یادآور تانیاما بدبخت بود تا هموطن واضح او، فالتینگز. در آلمان، هیچ کس فری را درک نکرد، و او به خارج از کشور رفت - به شهر باشکوه پرینستون، جایی که پس از انیشتین، آنها به چنین بازدیدکنندگانی عادت کردند. جای تعجب نیست که بری مازور، یک توپولوژیست همه کاره، یکی از قهرمانان حمله اخیر به منیفولدهای صاف، لانه خود را در آنجا ساخت. و دانش آموزی در کنار مازور بزرگ شد - کن ریبت که به همان اندازه در پیچیدگی های توپولوژی و جبر تجربه داشت، اما هنوز به هیچ وجه خود را تجلیل نمی کرد.

وقتی ریبت برای اولین بار سخنرانی های فری را شنید، تصمیم گرفت که این یک داستان مزخرف و تقریباً علمی تخیلی است (احتمالاً ویل به افشاگری های تانیاما به همین ترتیب واکنش نشان داد). اما ریبت نتوانست این "فانتزی" را فراموش کند و در مواقعی ذهنی به آن بازگشت. شش ماه بعد، ریبت معتقد بود که چیزی معقول در خیالات فری وجود دارد و یک سال بعد تصمیم گرفت که خودش تقریباً می تواند فرضیه عجیب فری را اثبات کند. اما تعدادی "سوراخ" باقی ماندند و ریبت تصمیم گرفت به رئیس خود مازور اعتراف کند. او با دقت به سخنان شاگرد گوش داد و با آرامش پاسخ داد: «بله، تو همه کارها را انجام دادی! در اینجا شما باید تبدیل Ф را اعمال کنید، در اینجا - از Lemmas B و K استفاده کنید، و همه چیز شکل بی عیب و نقصی به خود می گیرد! بنابراین ریبت با استفاده از منجنیق در شخصیت فری و مازور، جهشی از گمنامی به جاودانگی انجام داد. انصافاً همه آنها را - به همراه مرحوم تانیاما - باید برهان آخرین قضیه فرما دانست.

اما مشکل اینجاست: آنها گفته خود را از فرضیه تانیاما گرفته اند که خود اثبات نشده است! اگر او خیانت کند چه؟ ریاضیدانان مدت هاست می دانند که "هر چیزی از دروغ ناشی می شود"، اگر حدس تانیاما اشتباه باشد، پس استدلال بی عیب و نقص ریبت بی ارزش است! ما نیاز فوری به اثبات (یا رد) حدس تانیاما داریم - در غیر این صورت شخصی مانند فالتینگز قضیه فرما را به روش دیگری اثبات خواهد کرد. او تبدیل به یک قهرمان خواهد شد!

بعید است که ما هرگز بفهمیم که چه تعداد جبری جوان یا کارکشته پس از موفقیت فالتینگز یا پس از پیروزی ریبت در سال 1986 از قضیه فرما پریدند. همه آنها سعی می کردند مخفیانه کار کنند تا در صورت شکست در بین جامعه "دومیک ها"-فرماتیست ها قرار نگیرند. مشخص است که موفق ترین از همه - اندرو وایلز از کمبریج - طعم پیروزی را فقط در ابتدای سال 1993 احساس کرد. این نه آنقدر که وایلز ترسیده را خوشحال کرد: اگر اثبات حدس تانیاما خطا یا شکافی را نشان دهد، چه؟ سپس اعتبار علمی او از بین رفت! شما باید اثبات را با دقت بنویسید (اما ده ها صفحه خواهد بود!) و آن را به مدت شش ماه یا یک سال کنار بگذارید تا بعدا بتوانید با خونسردی و با دقت دوباره آن را بخوانید ... اما چه می شود اگر کسی مدرک خود را در این مدت منتشر می کند؟ آه دردسر...

با این حال وایلز راه مضاعفی برای آزمایش سریع اثبات خود ارائه کرد. ابتدا باید به یکی از دوستان و همکاران قابل اعتماد خود اعتماد کنید و کل مسیر استدلال را به او بگویید. از بیرون همه اشتباهات بیشتر نمایان است! ثانیاً خواندن یک دوره آموزشی ویژه در این زمینه برای دانشجویان باهوش و دانشجویان تحصیلات تکمیلی ضروری است: این افراد باهوش حتی یک اشتباه یک استاد را از دست نمی دهند! فقط هدف نهایی دوره را تا آخرین لحظه به آنها نگویید - در غیر این صورت تمام دنیا از آن مطلع خواهند شد! و البته، شما باید به دنبال چنین مخاطبی دور از کمبریج بگردید - بهتر است نه حتی در انگلیس، بلکه در آمریکا ... چه چیزی بهتر از پرینستون دوردست؟

وایلز در بهار 1993 به آنجا رفت. دوست صبور او، نیکلاس کاتز، پس از شنیدن گزارش طولانی وایلز، چند شکاف در آن یافت، اما همه آنها به راحتی اصلاح شدند. اما دانشجویان فارغ التحصیل پرینستون به زودی از دوره ویژه وایلز فرار کردند، و نمی خواستند افکار عجیب و غریب استاد را دنبال کنند، کسی که آنها را به کجا می برد. پس از بررسی (نه به ویژه عمیق) کار خود، وایلز تصمیم گرفت که زمان آن رسیده است که یک معجزه بزرگ را برای جهان آشکار کند.

در ژوئن 1993، کنفرانس دیگری در کمبریج برگزار شد که به "نظریه ایواساوا" اختصاص داشت - بخش محبوب نظریه اعداد. وایلز تصمیم گرفت تا بدون اعلام نتیجه اصلی تا آخر حدس تانیاما را اثبات کند. این گزارش برای مدت طولانی ادامه یافت، اما با موفقیت، روزنامه نگاران به تدریج شروع به جمع شدن کردند که چیزی را احساس کردند. بالاخره رعد و برق زد: قضیه فرما ثابت شد! شادی عمومی تحت الشعاع هیچ شکی قرار نگرفت: به نظر می رسد همه چیز روشن است ... اما دو ماه بعد ، کاتز با خواندن متن نهایی Wiles متوجه شکاف دیگری در آن شد. تغییر خاصی در استدلال متکی بر "سیستم اویلر" بود - اما آنچه وایلز ساخت چنین سیستمی نبود!

وایلز گلوگاه را بررسی کرد و متوجه شد که در اینجا اشتباه کرده است. حتی بدتر: مشخص نیست که چگونه استدلال اشتباه را جایگزین کنید! پس از آن، تاریک ترین ماه های زندگی وایلز رخ داد. پیش از این، او آزادانه یک مدرک بی سابقه از مواد در دست سنتز کرد. اکنون او به یک کار باریک و روشن گره خورده است - بدون اطمینان از اینکه راه حلی دارد و او می تواند آن را در آینده قابل پیش بینی پیدا کند. اخیراً فری نتوانست در برابر همان مبارزه مقاومت کند - و اکنون نام او با نام ریبت خوش شانس پوشیده شده بود ، اگرچه حدس فری درست بود. و چه اتفاقی برای حدس من و نام من خواهد افتاد؟

این کار سخت دقیقا یک سال به طول انجامید. در سپتامبر 1994، وایلز آماده پذیرش شکست و واگذاری فرضیه تانیاما به جانشینان خوش شانس تر بود. پس از اتخاذ چنین تصمیمی، او شروع به بازخوانی آهسته اثبات خود کرد - از ابتدا تا انتها، گوش دادن به ریتم استدلال، تجربه مجدد لذت اکتشافات موفق. اما وایلز با رسیدن به مکان "لعنتی" از نظر ذهنی یک یادداشت نادرست نشنید. آیا روند استدلال او هنوز بی عیب و نقص بود و خطا فقط در توصیف کلامی تصویر ذهنی رخ داد؟ اگر در اینجا "سیستم اویلر" وجود ندارد، پس چه چیزی در اینجا پنهان است؟

ناگهان فکر ساده ای به ذهنم خطور کرد: «سیستم اویلر» در جایی که نظریه ایواساوا قابل اجرا است کار نمی کند. چرا این نظریه را مستقیماً به کار نمی برید - خوشبختانه برای خود وایلز نزدیک و آشناست؟ و چرا او از همان ابتدا این رویکرد را امتحان نکرد، اما با دید شخص دیگری از مشکل فریب خورد؟ وایلز دیگر نمی توانست این جزئیات را به خاطر بسپارد - و بی فایده شد. او استدلال های لازم را در چارچوب نظریه ایواساوا انجام داد و همه چیز در نیم ساعت مشخص شد! بدین ترتیب - با یک سال تاخیر - آخرین شکاف در اثبات حدس تانیاما برطرف شد. متن نهایی به رحمت گروهی از داوران مشهورترین مجله ریاضی داده شد، یک سال بعد آنها اعلام کردند که اکنون هیچ خطایی وجود ندارد. بنابراین، در سال 1995، آخرین حدس فرما در سن 360 سالگی درگذشت و به یک قضیه اثبات شده تبدیل شد که به ناچار وارد کتاب های درسی نظریه اعداد خواهد شد.

با جمع بندی هیاهوی سه قرنی پیرامون قضیه فرما، باید به یک نتیجه عجیب برسیم: این حماسه قهرمانانه نمی توانست اتفاق بیفتد! در واقع، قضیه فیثاغورث ارتباط ساده و مهمی را بین اشیاء طبیعی بصری - طول قطعات - بیان می کند. اما همین را نمی توان در مورد قضیه فرما گفت. این بیشتر شبیه یک روبنای فرهنگی بر روی یک بستر علمی است - مانند رسیدن به قطب شمال زمین یا پرواز به ماه. به یاد بیاوریم که هر دوی این شاهکارها مدتها قبل از انجام آنها توسط نویسندگان خوانده شده است - در دوران باستان، پس از ظهور "عناصر" اقلیدس، اما قبل از ظهور "حساب" دیوفانتوس. بنابراین، در آن زمان نیاز عمومی به بهره برداری های فکری از این دست وجود داشت - حداقل خیالی! پیش از این، یونانی ها از اشعار هومر به اندازه کافی لذت برده بودند، همانطور که صد سال قبل از فرما، فرانسوی ها به اندازه کافی از اشعار مذهبی برخوردار بودند. اما سپس احساسات مذهبی فروکش کرد - و علم در کنار آنها ایستاد.

در روسیه، چنین فرآیندهایی صد و پنجاه سال پیش آغاز شد، زمانی که تورگنیف یوگنی بازاروف را هم تراز یوگنی اونگین قرار داد. درست است که نویسنده تورگنیف انگیزه اقدامات دانشمند بازاروف را به خوبی درک نمی کرد و جرات خواندن آنها را نداشت ، اما این کار به زودی توسط دانشمند ایوان سچنوف و روزنامه نگار روشنفکر ژول ورن انجام شد. یک انقلاب علمی و فناوری خودجوش نیاز به پوسته ای فرهنگی دارد تا در ذهن اکثر مردم نفوذ کند، و اینجا ابتدا داستان های علمی تخیلی و سپس ادبیات علمی عامه پسند (از جمله مجله "دانش قدرت است") می آید.

ضمناً یک موضوع علمی خاص برای عموم مردم اصلاً مهم نیست و حتی برای قهرمانان- مجریان نیز اهمیت چندانی ندارد. بنابراین، آموندسن با شنیدن در مورد دستیابی به قطب شمال توسط پیری و کوک، فوراً هدف اکسپدیشن از قبل آماده شده خود را تغییر داد - و به زودی یک ماه جلوتر از اسکات به قطب جنوب رسید. بعدها، دور زدن موفقیت آمیز یوری گاگارین از زمین، پرزیدنت کندی را مجبور کرد که هدف سابق برنامه فضایی آمریکا را به هدفی پرهزینه تر، اما بسیار چشمگیرتر تغییر دهد: فرود انسان روی ماه.

حتی قبل از آن، هیلبرت با بصیرت به این سؤال ساده لوحانه دانشجویان پاسخ داد: "راه حل کدام مشکل علمی اکنون بیشتر مفید خواهد بود"؟ - با شوخی پاسخ داد: "در سمت دور ماه یک مگس بگیر!" به این سوال گیج کننده: "چرا این لازم است؟" - به دنبال پاسخ واضح: "هیچکس به این نیاز ندارد! اما به روش های علمی و ابزارهای فنی فکر کنید که برای حل چنین مشکلی باید توسعه دهیم - و چه بسیاری از مشکلات زیبای دیگری که در این راه حل خواهیم کرد!

این دقیقاً همان چیزی است که در مورد قضیه فرما اتفاق افتاد. اویلر می توانست آن را نادیده بگیرد.

در این مورد، مشکل دیگری تبدیل به بت ریاضیدانان می شود - شاید هم از نظریه اعداد. به عنوان مثال، مسئله اراتوستن: آیا مجموعه ای متناهی یا نامتناهی از اعداد اول دوقلو (مانند 11 و 13، 17 و 19 و غیره) وجود دارد؟ یا مشکل اویلر: آیا هر عدد زوج حاصل جمع دو عدد اول است؟ یا: آیا بین اعداد π و e رابطه جبری وجود دارد؟ این سه مسئله هنوز حل نشده اند، اگرچه در قرن بیستم ریاضیدانان به درک ماهیت آنها نزدیک شده اند. اما در این قرن بسیاری از مسائل جدید و نه چندان جالب، به ویژه در تلاقی ریاضیات با فیزیک و سایر شاخه های علوم طبیعی، به وجود آمد.

در سال 1900، هیلبرت یکی از آنها را مشخص کرد: ایجاد یک سیستم کامل از بدیهیات فیزیک ریاضی! صد سال بعد، این مشکل تا حل شدن فاصله زیادی دارد، فقط به این دلیل که زرادخانه ابزارهای ریاضی فیزیک به طور پیوسته در حال رشد است، و همه آنها توجیه دقیقی ندارند. اما پس از سال 1970، فیزیک نظری به دو شاخه تقسیم شد. یکی (کلاسیک) از زمان نیوتن به مدل‌سازی و پیش‌بینی فرآیندهای پایدار می‌پردازد، دیگری (نوزاد) در تلاش است تا تعامل فرآیندهای ناپایدار و راه‌های کنترل آنها را رسمی کند. واضح است که این دو شاخه از فیزیک باید به طور جداگانه بدیهی شوند.

اولین آنها احتمالاً بیست یا پنجاه سال دیگر رسیدگی خواهد شد ...

و چه چیزی از شاخه دوم فیزیک - شاخه ای که مسئول انواع تکامل است (از جمله فراکتال های عجیب و غریب و جاذبه های عجیب، بوم شناسی بیوسنوزها و نظریه اشتیاق گومیلیوف) کم است؟ بعید است به زودی متوجه این موضوع شویم. اما پرستش دانشمندان به بت جدید در حال حاضر به یک پدیده انبوه تبدیل شده است. احتمالاً حماسه ای در اینجا رخ خواهد داد که با زندگینامه سه قرنی قضیه فرما قابل مقایسه است. بنابراین، در تقاطع علوم مختلف، بت های جدیدی متولد می شوند - شبیه به بت های مذهبی، اما پیچیده تر و پویاتر ...

ظاهراً انسان نمی تواند بدون سرنگونی بت های کهنه گاه و بی گاه و بدون خلق بت های جدید - با درد و شادی - آدم بماند! پیر فرما خوش شانس بود که در یک لحظه سرنوشت ساز نزدیک به نقطه داغ تولد یک بت جدید بود - و او موفق شد اثری از شخصیت خود را بر روی نوزاد باقی بگذارد. می توان به چنین سرنوشتی غبطه خورد و تقلید از آن گناه نیست.

سرگئی اسمیرنوف
"دانش قدرت است"

یک بار در شماره فهرست پستی سال نو در مورد نحوه درست کردن نان تست، به طور اتفاقی اشاره کردم که در پایان قرن بیستم یک رویداد بزرگ وجود داشت که بسیاری متوجه آن نشدند - به اصطلاح آخرین قضیه فرما در نهایت ثابت شد. به همین مناسبت، در میان نامه هایی که دریافت کردم، دو پاسخ از دخترانی یافتم (یکی از آنها، تا آنجا که من به یاد دارم، ویکا، دانش آموز کلاس نهم از Zelenograd است) که از این واقعیت شگفت زده شده بودند.

و من از اینکه دختران چقدر به مسائل ریاضیات مدرن علاقه مند هستند شگفت زده شدم. بنابراین، من فکر می کنم که نه تنها دختران، بلکه پسران در تمام سنین - از دانش آموزان دبیرستانی گرفته تا بازنشستگان، نیز علاقه مند به یادگیری تاریخ قضیه بزرگ خواهند بود.

اثبات قضیه فرما یک رویداد بزرگ است. و از مرسوم نیست که با کلمه "عالی" شوخی کنیم، پس به نظرم می رسد که هر گوینده ای که به خود احترام می گذارد (و همه ما وقتی می گوییم سخنرانان) صرفاً موظف به دانستن تاریخچه قضیه هستیم.

اگر اتفاق افتاده است که شما ریاضیات را آنقدر که من دوستش دارم دوست ندارید، با یک نگاه گذرا به برخی از جزئیات با جزئیات نگاه کنید. با درک اینکه همه خوانندگان لیست پستی ما علاقه ای به سرگردانی در طبیعت ریاضیات ندارند، سعی کردم هیچ فرمولی (به جز معادله قضیه فرما و چند فرضیه) ارائه ندهم و پوشش برخی موضوعات خاص را ساده تر کنم. تا حد امکان

چگونه فرما فرنی را دم می کرد

وکیل فرانسوی و ریاضیدان بزرگ نیمه وقت قرن هفدهم، پیر فرما (1601-1665)، یک جمله کنجکاو از حوزه نظریه اعداد مطرح کرد که بعدها به عنوان قضیه بزرگ (یا بزرگ) فرما شناخته شد. این یکی از معروف ترین و خارق العاده ترین قضایای ریاضی است. احتمالاً اگر در کتاب دیوفانتوس اسکندریه (قرن سوم پس از میلاد) "حساب" که فرما اغلب آن را مطالعه می کرد و در حاشیه های وسیع آن یادداشت می کرد و پسرش ساموئل با مهربانی آن را برای آیندگان حفظ کرد، هیجان اطراف آن چندان قوی نبود. تقریباً ورودی زیر از ریاضیدان بزرگ یافت نشد:

من شواهد بسیار شگفت انگیزی دارم، اما آنقدر بزرگ است که در حاشیه قرار بگیرد.»

این ورودی بود که باعث آشفتگی بزرگ بعدی پیرامون قضیه شد.

بنابراین، دانشمند معروف گفت که او قضیه خود را ثابت کرده است. بیایید این سوال را از خود بپرسیم: آیا او واقعاً آن را ثابت کرده است یا دروغ گفته است؟ یا آیا نسخه‌های دیگری برای توضیح ظاهر آن ورودی حاشیه‌ای وجود دارد که به بسیاری از ریاضیدانان نسل‌های بعدی اجازه نمی‌دهد آرام بخوابند؟

تاریخچه قضیه بزرگ به اندازه یک ماجراجویی در طول زمان جذاب است. فرما در سال 1636 بیان کرد که معادله ای از فرم x n + y n =z nهیچ راه حلی در اعداد صحیح با توان n>2 ندارد. این در واقع آخرین قضیه فرما است. در این فرمول ریاضی به ظاهر ساده، جهان پیچیدگی باورنکردنی را پنهان کرده است. اریک تمپل بل، ریاضیدان آمریکایی اسکاتلندی الاصل، در کتابش به نام «مسئله نهایی» (1961)، حتی پیشنهاد کرد که شاید بشریت قبل از اینکه بتواند آخرین قضیه فرما را اثبات کند، وجود نخواهد داشت.

تا حدودی عجیب است که این قضیه به دلایلی با تولدش دیر شد، زیرا این وضعیت مدت ها به تعویق افتاده بود، زیرا مورد خاص آن برای n = 2 - یکی دیگر از فرمول های ریاضی معروف - قضیه فیثاغورث، بیست و دو قرن زودتر پدید آمد. بر خلاف قضیه فرما، قضیه فیثاغورث دارای بی نهایت جواب اعداد صحیح است، به عنوان مثال، مثلث های فیثاغورثی: (3،4،5)، (5،12،13)، (7،24،25)، (8،15). ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

سندرم قضیه بزرگ

کسی که فقط سعی نکرد قضیه فرما را اثبات کند. هر دانش آموز نوپایی این را وظیفه خود می دانست که به قضیه بزرگ بپردازد، اما هیچ کس نتوانست آن را ثابت کند. در ابتدا صد سال کار نکرد. بعد صد تا دیگه و بیشتر یک سندرم توده ای در بین ریاضیدانان شروع به ایجاد کرد: "چطور است؟ فرما این را ثابت کرد، اما اگر من نتوانم، یا چه؟" - و برخی از آنها بر این اساس به معنای کامل دیوانه شدند.

مهم نیست که چقدر این قضیه آزمایش شده است، همیشه درست است. من یک برنامه نویس پرانرژی را می شناختم که به فکر رد قضیه بزرگ با تلاش برای یافتن حداقل یک راه حل (مثال متقابل) با تکرار بر روی اعداد صحیح با استفاده از یک رایانه سریع (در آن زمان بیشتر رایانه نامیده می شد) وسواس داشت. او به موفقیت کار خود اعتقاد داشت و دوست داشت بگوید: "کمی بیشتر - و احساسی رخ خواهد داد!" من فکر می کنم که در نقاط مختلف سیاره ما تعداد قابل توجهی از این نوع جویندگان جسور وجود داشت. البته راه حلی پیدا نکرد. و هیچ رایانه‌ای، حتی با سرعت شگفت‌انگیز، هرگز نمی‌توانست قضیه را آزمایش کند، زیرا همه متغیرهای این معادله (از جمله نماها) می‌توانند تا بی نهایت افزایش یابند.

قضیه نیاز به اثبات دارد

ریاضی‌دانان می‌دانند که اگر قضیه‌ای ثابت نشود، هر چیزی (اعم از درست یا نادرست) می‌تواند از آن نتیجه بگیرد، همان‌طور که در مورد برخی فرضیه‌های دیگر انجام شد. به عنوان مثال، پیر فرما در یکی از نامه های خود پیشنهاد کرد که اعدادی به شکل 2 n +1 (به اصطلاح اعداد فرما) لزوماً اول هستند (یعنی مقسوم علیه عدد صحیح ندارند و فقط بر خود و بر خود قابل تقسیم هستند. یکی بدون باقیمانده)، اگر n توان دو باشد (1، 2، 4، 8، 16، 32، 64، و غیره). فرضیه فرما بیش از صد سال زنده ماند - تا اینکه لئونارد اویلر در سال 1732 نشان داد که

2 32 + 1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

سپس، تقریباً 150 سال بعد (1880)، فورچون لندری عدد فرما زیر را فاکتور گرفت:

2 64 + 1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721

چگونه می توانند مقسوم علیه این اعداد بزرگ را بدون کمک کامپیوتر پیدا کنند - فقط خدا می داند. به نوبه خود، اویلر این فرضیه را مطرح کرد که معادله x 4 + y 4 + z 4 =u 4 هیچ راه حلی در اعداد صحیح ندارد. با این حال، حدود 250 سال بعد، در سال 1988، نائوم الکیس از هاروارد موفق شد (در حال حاضر با استفاده از یک برنامه کامپیوتری) کشف کند که

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

بنابراین، آخرین قضیه فرما نیاز به اثبات داشت، در غیر این صورت فقط یک فرضیه بود، و ممکن است جایی در میدان‌های عددی بی‌پایان حل معادله قضیه بزرگ گم شود.

باهوش ترین و پرکارترین ریاضیدان قرن هجدهم، لئونارد اویلر، که آرشیو سوابقش را بشر برای تقریباً یک قرن مرتب می کند، قضیه فرما را برای قدرت های 3 و 4 ثابت کرد (یا بهتر است بگوییم، او شواهد گمشده خود پیر فرما را تکرار کرد). ; پیرو او در نظریه اعداد، لژاندر (و بطور مستقل دیریکله) - برای درجه 5. لنگ - برای درجه 7. اما به طور کلی، قضیه اثبات نشده باقی ماند.

در 1 مارس 1847، در جلسه آکادمی علوم پاریس، دو ریاضیدان برجسته به طور همزمان - گابریل لم و آگوستین کوشی - اعلام کردند که آنها به پایان اثبات قضیه بزرگ رسیده اند و مسابقه ای ترتیب دادند و آنها را منتشر کردند. اثبات در قطعات با این حال، دوئل بین آنها قطع شد زیرا همان خطا در اثبات آنها کشف شد که توسط ریاضیدان آلمانی ارنست کومر به آن اشاره شد.

در آغاز قرن بیستم (1908)، یک کارآفرین، بشردوست و دانشمند ثروتمند آلمانی، پل ولفسکل، صد هزار مارک را به هرکسی که اثبات کامل قضیه فرما را ارائه کند، وصیت کرد. قبلاً در اولین سال پس از انتشار وصیت نامه ولفسکل توسط آکادمی علوم گوتینگن، هزاران دلیل از طرف دوستداران ریاضیات غرق شد و این جریان برای چندین دهه متوقف نشد، اما همانطور که می توانید تصور کنید، همه آنها حاوی اشتباهاتی بودند. . آنها می گویند که آکادمی فرم هایی با محتوای زیر تهیه کرده است:

عزیز _________________________!
در اثبات قضیه فرما در صفحه ____ صفحه ____ از بالا
خطای زیر در فرمول پیدا شد: __________________________:

که برای متقاضیان بدشانس برای دریافت جایزه ارسال شد.

در آن زمان، یک نام مستعار نیمه تحقیرآمیز در حلقه ریاضیدانان ظاهر شد - فرمیست. این نامی بود که به هر تازه‌کار با اعتماد به نفسی که دانش نداشت، اما بیشتر از آن که می‌خواست عجله‌اش را در اثبات قضیه بزرگ امتحان کند، می‌گذاشتند و سپس، بدون توجه به اشتباهات خود، با غرور به سینه‌اش سیلی زد و با صدای بلند اعلام کرد: «من اولین قضیه فرما را ثابت کرد! هر کشاورز، حتی اگر ده هزارمین تعداد بود، خود را اولین می دانست - این مضحک بود. ظاهر ساده قضیه بزرگ به قدری طعمه های آسان را به یاد فرمیست ها می اندازد که اصلاً از اینکه حتی اویلر و گاوس هم نمی توانند با آن کنار بیایند، خجالت نمی کشند.

(فرمیست ها، به طرز عجیبی، امروزه هنوز هم وجود دارند. اگرچه یکی از آنها معتقد نبود که او این قضیه را مانند یک فرمیست کلاسیک اثبات کرده است، اما تا همین اواخر تلاش هایی انجام داد - وقتی به او گفتم که قضیه فرما قبلاً وجود داشت، از باور من امتناع کرد. ثابت).

قدرتمندترین ریاضیدانان، شاید در خلوت دفاترشان، نیز سعی کردند با احتیاط به این هالتر سنگین نزدیک شوند، اما با صدای بلند در مورد آن صحبت نکردند تا به عنوان فرمیست نامیده نشوند و در نتیجه به اقتدار بالای آنها آسیبی وارد نشود.

در آن زمان، اثبات قضیه برای توان n ظاهر شد<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

فرضیه عجیب

تا اواسط قرن بیستم، هیچ پیشرفت عمده ای در تاریخ قضیه بزرگ مشاهده نشد. اما به زودی یک اتفاق جالب در زندگی ریاضی رخ داد. در سال 1955، یوتاکا تانیاما، ریاضیدان 28 ساله ژاپنی، بیانیه ای از حوزه کاملاً متفاوتی از ریاضیات، به نام فرضیه تانیاما (معروف به فرضیه تانیاما-شیمورا-ویل) ارائه کرد که بر خلاف قضیه دیرهنگام فرما، جلوتر از آن بود. وقتشه.

حدس تانیاما می گوید: "به هر منحنی بیضی شکل مدولار خاصی مطابقت دارد." این جمله برای ریاضیدانان آن زمان به همان اندازه پوچ به نظر می رسید که این جمله برای ما به نظر می رسد: "فلز خاصی با هر درخت مطابقت دارد." حدس زدن اینکه چگونه یک فرد عادی می تواند با چنین جمله ای ارتباط برقرار کند دشوار نیست - او به سادگی آن را جدی نمی گیرد، که اتفاق افتاد: ریاضیدانان به اتفاق آرا این فرضیه را نادیده گرفتند.

یه توضیح کوچولو منحنی های بیضوی، که برای مدت طولانی شناخته شده اند، دارای فرم دو بعدی (واقع در یک هواپیما) هستند. توابع مدولار، که در قرن نوزدهم کشف شد، شکلی چهار بعدی دارند، بنابراین ما حتی نمی توانیم آنها را با مغز سه بعدی خود تصور کنیم، اما می توانیم آنها را به صورت ریاضی توصیف کنیم. علاوه بر این، فرم‌های مدولار از این جهت شگفت‌انگیز هستند که حداکثر تقارن ممکن را دارند - می‌توان آنها را به هر جهتی ترجمه کرد (تغییر داد)، آینه کرد، قطعات را می‌توان تعویض کرد، به روش‌های بی‌نهایتی چرخش داد - و ظاهر آنها تغییر نمی‌کند. همانطور که می بینید، منحنی های بیضوی و فرم های مدولار اشتراکات کمی دارند. فرضیه تانیاما بیان می کند که معادلات توصیفی این دو شیء ریاضی کاملاً متفاوت متناظر با یکدیگر را می توان در یک سری ریاضی بسط داد.

فرضیه تانیاما بسیار متناقض بود: مفاهیم کاملاً متفاوت را با هم ترکیب می کرد - منحنی های نسبتاً مسطح ساده و اشکال چهار بعدی غیرقابل تصور. این هرگز به ذهن کسی نمی رسید. هنگامی که در یک سمپوزیوم بین‌المللی ریاضی در توکیو در سپتامبر 1955، تانیاما چندین تناظر بین منحنی‌های بیضوی و اشکال مدولار را نشان داد، همه این را چیزی جز یک تصادف خنده‌دار نمی‌دانستند. به سؤال ساده تانیاما: آیا می توان تابع مدولار مربوطه را برای هر منحنی بیضوی پیدا کرد، آندره ویل فرانسوی که در آن زمان یکی از بهترین متخصصان نظریه اعداد جهان بود، پاسخ کاملاً دیپلماتیک داد. اگر تانیاما کنجکاو شور و شوق را ترک نکند، شاید او خوش شانس باشد و فرضیه باورنکردنی او تایید شود، اما این اتفاق نباید به زودی رخ دهد. به طور کلی، مانند بسیاری از اکتشافات برجسته دیگر، در ابتدا فرضیه تانیاما نادیده گرفته شد، زیرا آنها هنوز به آن رشد نکرده بودند - تقریباً هیچ کس آن را درک نکرد. تنها یکی از همکاران تانیاما، گورو شیمورا، که دوست بسیار با استعداد خود را به خوبی می شناخت، به طور شهودی احساس کرد که فرضیه او درست است.

سه سال بعد (1958)، یوتاکا تانیاما خودکشی کرد (با این حال، سنت های سامورایی در ژاپن قوی است). از نقطه نظر عقل سلیم - یک عمل غیر قابل درک است، به خصوص زمانی که شما در نظر بگیرید که خیلی زود او قرار است ازدواج کند. رهبر ریاضیدانان جوان ژاپنی یادداشت خودکشی خود را اینگونه آغاز کرد: "دیروز به خودکشی فکر نمی کردم. اخیراً بارها از دیگران شنیدم که از نظر روحی و جسمی خسته هستم. در واقع هنوز نمی فهمم چرا این کار را انجام می دهم. این ...» و به همین ترتیب در سه صفحه. البته حیف که این سرنوشت یک فرد جالب بود، اما همه نابغه ها کمی عجیب هستند - به همین دلیل است که آنها نابغه هستند (به دلایلی، سخنان آرتور شوپنهاور به ذهن متبادر شد: "در زندگی عادی، یک استفاده از نبوغ به اندازه تلسکوپ در تئاتر است.» فرضیه رها شده است. هیچ کس نمی دانست چگونه آن را ثابت کند.

به مدت ده سال، فرضیه تانیاما به سختی ذکر شد. اما در اوایل دهه 70 محبوبیت پیدا کرد - به طور مرتب توسط همه کسانی که می توانستند آن را بفهمند بررسی می شد - و همیشه تأیید می شد (در واقع قضیه فرما) اما مانند قبل هیچ کس نتوانست آن را ثابت کند.

ارتباط شگفت انگیز بین این دو فرضیه

15 سال دیگر گذشت. در سال 1984، یک رویداد کلیدی در زندگی ریاضیات رخ داد که حدسیات عجیب ژاپنی را با آخرین قضیه فرما ترکیب کرد. گرهارد فری آلمانی بیانیه عجیبی شبیه به یک قضیه مطرح کرد: "اگر حدس تانیاما ثابت شود، در نتیجه، آخرین قضیه فرما ثابت خواهد شد." به عبارت دیگر، قضیه فرما نتیجه حدس تانیاما است. (فری با استفاده از تبدیل های ریاضی مبتکرانه معادله فرما را به شکل یک معادله منحنی بیضوی تقلیل داد (همان معادله ای که در فرضیه تانیاما آمده است) فرض خود را کم و بیش ثابت کرد، اما نتوانست آن را ثابت کند). و تنها یک سال و نیم بعد (1986)، استاد دانشگاه کالیفرنیا، کنت ریبت، به وضوح قضیه فری را اثبات کرد.

الان چه اتفاقی افتاد؟ اکنون معلوم شد که، از آنجایی که قضیه فرما دقیقاً نتیجه حدس تانیاما است، تنها چیزی که لازم است اثبات دومی است تا غافلگیری های فاتح قضیه افسانه ای فرما را بشکند. اما این فرضیه دشوار بود. علاوه بر این، در طول قرن ها، ریاضیدانان به قضیه فرما حساسیت پیدا کردند و بسیاری از آنها به این نتیجه رسیدند که کنار آمدن با حدس تانیاما نیز تقریبا غیرممکن است.

مرگ فرضیه فرما. تولد یک قضیه

8 سال دیگر گذشت. اندرو وایلز، یک استاد انگلیسی مترقی ریاضیات از دانشگاه پرینستون (نیوجرسی، ایالات متحده آمریکا)، فکر می‌کرد که دلیلی برای حدس تانیاما یافته است. اگر نابغه طاس نباشد، معمولاً ژولیده است. وایلز ژولیده است، بنابراین مانند یک نابغه به نظر می رسد. البته ورود به تاریخ وسوسه‌انگیز و بسیار مطلوب است، اما وایلز، مانند یک دانشمند واقعی، خود را تملق نکرد و متوجه شد که هزاران فرمیست قبل از او نیز رویای شواهد شبح‌آلود را دیده‌اند. بنابراین، قبل از ارائه مدرک خود به دنیا، خودش آن را به دقت بررسی می کرد، اما متوجه می شد که می تواند سوگیری ذهنی داشته باشد، دیگران را نیز درگیر بررسی ها می کرد، مثلاً در پوشش کارهای معمولی ریاضی، گاهی اوقات تکه های مختلفی را می انداخت. اثبات خود را به دانشجویان تحصیلات تکمیلی هوشمند. وایلز بعداً اعتراف کرد که هیچکس جز همسرش نمی‌دانست که او روی اثبات قضیه بزرگ کار می‌کند.

و به این ترتیب، پس از بررسی های طولانی و تأملات دردناک، سرانجام ویلز جسارت کرد و شاید همانطور که خودش فکر می کرد، غرور کرد و در 23 ژوئن 1993 در کنفرانس ریاضی نظریه اعداد در کمبریج، دستاورد بزرگ خود را اعلام کرد.

البته این یک احساس بود. هیچ کس انتظار چنین چابکی را از یک ریاضیدان کمتر شناخته شده نداشت. سپس مطبوعات آمدند. همه در عذاب علاقه سوزان بودند. فرمول های ظریف مانند ضربات یک عکس زیبا در برابر چشمان کنجکاو حاضران ظاهر می شد. ریاضیدانان واقعی، به هر حال، آنها چنین هستند - آنها به انواع معادلات نگاه می کنند و در آنها اعداد، ثابت ها و متغیرها را نمی بینند، بلکه موسیقی می شنوند، مانند موتزارت که به یک گروه موسیقی نگاه می کند. درست مانند زمانی که کتابی را می خوانیم، به حروف نگاه می کنیم، اما به نظر نمی رسد که متوجه آنها شویم، اما بلافاصله معنای متن را درک می کنیم.

ارائه اثبات موفقیت آمیز به نظر می رسید - هیچ خطایی در آن یافت نشد - هیچ کس حتی یک یادداشت نادرست را نشنید (اگرچه بیشتر ریاضیدانان به سادگی مانند دانش آموزان کلاس اولی به یک انتگرال به او خیره شده بودند و چیزی نمی فهمیدند). همه به این نتیجه رسیدند که یک رویداد بزرگ رخ داده است: فرضیه تانیاما و در نتیجه آخرین قضیه فرما ثابت شد. اما حدود دو ماه بعد، چند روز قبل از اینکه نسخه خطی اثبات وایلز به گردش درآید، مشخص شد که متناقض است (کاتز، یکی از همکاران وایلز، خاطرنشان کرد که یک بخش از استدلال متکی بر «سیستم اویلر» است، اما آنچه ساخته شده توسط Wiles، چنین سیستمی نبود)، اگرچه، به طور کلی، تکنیک های Wiles جالب، ظریف و نوآورانه در نظر گرفته می شد.

وایلز وضعیت را تجزیه و تحلیل کرد و به این نتیجه رسید که شکست خورده است. می توان تصور کرد که با تمام وجود چه احساسی داشته است که معنی آن "از بزرگ تا مسخره یک قدم" چیست. "من می خواستم وارد تاریخ شوم، اما در عوض به تیم دلقک ها و کمدین ها - کشاورزان مغرور " پیوستم - تقریباً چنین افکاری او را در آن دوره دردناک زندگی اش خسته کرد. برای او، یک ریاضیدان جدی، این یک تراژدی بود، و او مدرک خود را در پشت مشعل انداخت.

اما کمی بیش از یک سال بعد، در سپتامبر 1994، در حالی که به همراه همکارش تیلور از آکسفورد به آن گلوگاه اثبات فکر می‌کردند، تیلور ناگهان به این فکر افتاد که «سیستم اویلر» را می‌توان به نظریه ایواساوا تغییر داد (بخش نظریه اعداد). سپس آنها سعی کردند از نظریه Iwasawa استفاده کنند، بدون "سیستم اویلر"، و همه آنها گرد هم آمدند. نسخه تصحیح شده اثبات برای تأیید ارائه شد و یک سال بعد اعلام شد که همه چیز در آن کاملاً واضح است، بدون یک اشتباه. در تابستان 1995، در یکی از مجلات ریاضی برجسته - "Annals of Mathematics" - اثبات کامل حدس تانیاما (از این رو، قضیه بزرگ (بزرگ) فرما) منتشر شد که کل شماره را اشغال کرد - بیش از صد برگ. این اثبات آنقدر پیچیده است که تنها چند ده نفر در سراسر جهان می توانند آن را به طور کامل درک کنند.

بنابراین، در پایان قرن بیستم، تمام جهان دریافتند که در سیصد و شصتمین سال زندگی خود، آخرین قضیه فرما، که در واقع در تمام این مدت یک فرضیه بود، به یک قضیه اثبات شده تبدیل شده بود. اندرو وایلز قضیه بزرگ (بزرگ) فرما را اثبات کرد و وارد تاریخ شد.

فکر کن یه قضیه رو ثابت کردی...

خوشبختی کاشف همیشه به تنهایی نصیب کسی می شود - اوست که با آخرین ضربه چکش مهره سخت دانش را می شکافد. اما نمی توان ضربات متعدد قبلی را نادیده گرفت که قرن ها شکافی را در قضیه بزرگ ایجاد کرده است: اویلر و گاوس (پادشاهان ریاضیات زمان خود)، اواریست گالوا (که توانست نظریه گروه ها و میدان ها را در کوتاه 21 خود ایجاد کند. -زندگی سالی که آثارش تنها پس از مرگش درخشان شناخته شد، هانری پوانکاره (بنیانگذار نه تنها اشکال مدولار عجیب، بلکه قراردادگرایی - یک گرایش فلسفی)، دیوید گیلبرت (یکی از قوی ترین ریاضیدانان قرن بیستم) ، یوتاکو تانیاما، گورو شیمورا، موردل، فالتینگز، ارنست کومر، بری مازور، گرهارد فری، کن ریبت، ریچارد تیلور و دیگران دانشمندان واقعی(از این حرف ها نمی ترسم).

اثبات آخرین قضیه فرما را می توان با دستاوردهای قرن بیستم مانند اختراع کامپیوتر، بمب هسته ای و پرواز فضایی همتراز کرد. اگرچه آنقدرها در مورد آن شناخته شده نیست، اما به دلیل اینکه به منطقه علایق لحظه ای ما، مانند تلویزیون یا لامپ برق، حمله نمی کند، فلاش یک ابرنواختر بود که مانند همه حقایق تغییر ناپذیر، همیشه بر آن خواهد درخشید. بشریت.

می توانید بگویید: "فقط فکر کن، نوعی قضیه را ثابت کردی، چه کسی به آن نیاز دارد". یک سوال منصفانه. پاسخ دیوید گیلبرت دقیقاً در اینجا مناسب است. چه زمانی در پاسخ به این سوال: "اکنون مهمترین وظیفه علم چیست؟"، او پاسخ داد: "مگس گرفتن در سمت دور ماه". منطقی از او پرسیده شد: «اما چه کسی به آن نیاز دارداو چنین پاسخ داد: هیچکس به آن نیاز ندارد. اما به این فکر کنید که برای دستیابی به این مهم چند مسئله مهم و دشوار باید حل شود. "به این فکر کنید که بشر در 360 سال قبل از اثبات قضیه فرما، چند مشکل را حل کرده است. تقریباً نیمی از ریاضیات مدرن در جستجوی اثبات آن هستند. ما باید این را نیز در نظر بگیریم که ریاضیات آوانگارد علم است (و اتفاقاً تنها علومی است که بدون یک اشتباه ساخته شده است) و هرگونه دستاورد و اختراع علمی از اینجا شروع می شود. .

* * *

و حالا بیایید به ابتدای داستان خود برگردیم، مدخل پیر فرما را در حاشیه کتاب درسی دیوفانتوس به خاطر بیاوریم و یک بار دیگر این سوال را از خود بپرسیم: آیا فرما واقعا قضیه خود را ثابت کرده است؟ البته، ما نمی توانیم این را به طور قطع بدانیم، و مانند هر صورت، نسخه های مختلفی در اینجا به وجود می آیند:

نسخه 1:فرما قضیه خود را ثابت کرد. (در پاسخ به این سوال: "آیا فرما دقیقاً همان اثبات قضیه خود را داشت؟" ، اندرو وایلز گفت: "فرمت نمی توانست داشته باشد". بنابرایناثبات این اثبات قرن بیستم است. «ما می‌دانیم که در قرن هفدهم ریاضیات، البته مانند پایان قرن بیستم نبود - در آن دوره، آرتاگنان، ملکه علوم، چنین نبود. با این حال، آن اکتشافات (اشکال مدولار، قضایای تانیاما، فریا، و غیره) را دارد که فقط اثبات قضیه آخر فرما را ممکن می‌سازد. این نسخه، اگرچه محتمل است، اما از نظر اکثر ریاضیدانان عملا غیرممکن است).
نسخه 2:به نظر پیر دو فرما می رسید که قضیه خود را ثابت کرده است، اما در اثبات او اشتباهاتی وجود داشت. (یعنی خود فرما نیز اولین فرمائیست بوده است);
نسخه 3:فرما قضیه خود را اثبات نکرد، بلکه به سادگی در حاشیه دروغ گفت.

اگر یکی از دو نسخه آخر درست باشد، که به احتمال زیاد، یک نتیجه ساده می توان گرفت: افراد بزرگ، اگرچه عالی هستند، اما ممکن است اشتباه کنند یا گاهی اوقات بدشان نمی آید که دروغ بگویند(اساساً این نتیجه گیری برای کسانی که تمایل به اعتماد کامل به بت های خود و سایر حاکمان افکار دارند مفید خواهد بود). بنابراین، هنگام خواندن آثار فرزندان معتبر بشر یا گوش دادن به سخنان رقت انگیز آنها، حق دارید در اظهارات آنها تردید کنید. (لطفا توجه داشته باشید که شک کردن یعنی رد نکردن).

چاپ مجدد مطالب مقاله فقط با لینک های اجباری به سایت امکان پذیر است (در اینترنت - هایپرلینک) و به نویسنده

اخبار علم و فناوری

UDC 51:37; 517.958

A.V. کونوکو، دکتری.

آکادمی خدمات آتش نشانی ایالتی EMERCOM روسیه مزرعه قضیه بزرگ اثبات شده است. یا نه؟

برای چندین قرن، نمی توان ثابت کرد که معادله xn+yn=zn برای n>2 در اعداد گویا و در نتیجه اعداد صحیح غیرقابل حل است. این مشکل تحت نویسندگی وکیل فرانسوی پیر فرما، که در همان زمان به طور حرفه ای در ریاضیات مشغول بود، متولد شد. راه حل او به معلم ریاضی آمریکایی اندرو وایلز نسبت داده شده است. این شناخت از سال 1993 تا 1995 ادامه داشت.

قضیه فرمای بزرگ اثبات شده است یا خیر؟

تاریخچه نمایشی اثبات آخرین قضیه فرما در نظر گرفته شده است. تقریباً چهارصد سال طول کشید. پیر فرما کمی نوشت. او به سبک فشرده نوشت. علاوه بر این او تحقیقات خود را منتشر نکرد. این جمله که معادله xn+yn=zn بر روی مجموعه ها غیرقابل حل است. اعداد گویا و اعداد صحیح اگر n>2 با تفسیر فرما همراه بود که او واقعاً اثبات قابل توجهی برای این جمله یافته است. با این اثبات به اولاد نمی رسید. بعداً این بیانیه آخرین قضیه فرما نامیده شد.بهترین ریاضیدانان جهان این قضیه را بدون نتیجه شکستند.در دهه هفتاد ریاضیدان فرانسوی عضو آکادمی علوم پاریس آندره ویل رویکردهای جدیدی برای حل ارائه کرد.در 23 ژوئن 1993. در کنفرانس تئوری اعداد در کمبریج، ریاضیدان دانشگاه پرینستون، اندرو درحالیکه اعلام کرد که آخرین قضیه فرما اثبات شده است. با این حال، برای پیروزی زود بود.

در سال 1621، کلود گاسپارد باشه دو مزیریاک، نویسنده و ریاضیدان فرانسوی، رساله یونانی حساب دیوفانتوس را با ترجمه و تفسیر لاتین منتشر کرد. مجلل، با حاشیه های غیرمعمول گسترده، «حساب» به دست فرما بیست ساله افتاد و سال ها کتاب مرجع او شد. در حاشیه آن، او 48 اظهار نظر حاوی حقایق کشف شده توسط او در مورد خواص اعداد به جای گذاشت. در اینجا، در حاشیه حساب، قضیه بزرگ فرما فرموله شد: «تجزیه یک مکعب به دو مکعب، یا یک دوتایی به دو دوتایی، یا به طور کلی توانی بیشتر از دو، به دو توان با یک توان غیرممکن است. من این را یک مدرک واقعاً شگفت انگیز یافتم که به دلیل کمبود فضا نمی تواند در این زمینه ها جای بگیرد. به هر حال، در لاتین به این صورت است: «Cubum autem in duos cubos, auto-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

ریاضیدان بزرگ فرانسوی پیر فرما (1601-1665) روشی را برای تعیین مساحت ها و حجم ها ایجاد کرد و روش جدیدی از مماس ها و مادون ها ایجاد کرد. او همراه با دکارت خالق هندسه تحلیلی شد، همراه با پاسکال در مبدأ نظریه احتمال ایستاد، در زمینه روش بینهایت کوچک یک قاعده کلی برای تمایز ارائه کرد و به طور کلی قاعده ادغام یک تابع توان را ثابت کرد. ... اما، مهمتر از همه، یکی از مهم ترین داستان های اسرارآمیز و دراماتیک که ریاضیات را شوکه کرد - داستان اثبات آخرین قضیه فرما. حال این قضیه به شکل یک جمله ساده بیان می‌شود: معادله xn + yn = zn برای n>2 در گویا و بنابراین در اعداد صحیح غیرقابل حل است. به هر حال، برای مورد n = 3، ریاضیدان آسیای مرکزی الخجندی سعی کرد این قضیه را در قرن دهم ثابت کند، اما اثبات او حفظ نشده است.

پیر فرما که اهل جنوب فرانسه بود، مدرک حقوق گرفت و از سال 1631 مشاور پارلمان شهر تولوز (یعنی بالاترین دادگاه) بود. پس از یک روز کار در دیوارهای مجلس، او ریاضیات را در پیش گرفت و بلافاصله در دنیایی کاملاً متفاوت فرو رفت. پول، اعتبار، شناخت عمومی - همه اینها برای او مهم نبود. علم هرگز برای او درآمدی نداشت، به یک هنر تبدیل نشد، همیشه فقط یک بازی هیجان انگیز ذهن باقی ماند که فقط برای عده کمی قابل درک است. با آنها مکاتبات خود را ادامه داد.

فرما هرگز مقالات علمی به معنای معمول ما ننوشت. و در مکاتبات او با دوستان همیشه چالشی وجود دارد، حتی نوعی تحریک، و به هیچ وجه ارائه آکادمیک مشکل و راه حل آن نیست. بنابراین، بسیاری از نامه های او متعاقباً به عنوان: یک چالش شناخته شد.

شاید به همین دلیل است که او هرگز به قصد خود برای نوشتن مقاله ای خاص در مورد نظریه اعداد پی نبرد. و در عین حال این رشته مورد علاقه او در ریاضیات بود. فرما الهام‌بخش‌ترین خطوط نامه‌هایش را به او اختصاص داد. او نوشت: «حساب حوزه خاص خود را دارد، نظریه اعداد کامل. اقلیدس این نظریه را اندکی لمس کرد و به اندازه کافی توسط پیروان او توسعه نیافته بود (مگر اینکه در آن آثار دیوفانتوس که ما داریم وجود داشته باشد. در اثر تلفات زمان از آن محروم شده است).

چرا خود فرما از گزند زمان نمی ترسید؟ او کم و همیشه بسیار مختصر می نوشت. اما مهمتر از همه، او کار خود را منتشر نکرد. در طول زندگی او، آنها فقط به صورت دستنوشته منتشر می شدند. بنابراین، جای تعجب نیست که نتایج فرما در مورد نظریه اعداد به صورت تکه تکه به دست ما رسیده است. اما احتمالاً بولگاکف درست می گفت: دست نوشته های بزرگ نمی سوزند! کار فرما ماند. آنها در نامه های او به دوستانش باقی ماندند: معلم ریاضیات لیون، ژاک دو بیلی، کارمند ضرابخانه برنارد فرنیکل د بسی، مارسنیس، دکارت، بلز پاسکال... "حساب" دیوفانتوس با اظهارات او در حاشیه باقی ماند، که پس از مرگ فرما، پس از مرگ فرما، ، همراه با نظرات باشه در ویرایش جدید دیوفانتوس که توسط پسر ارشد ساموئل در سال 1670 منتشر شد وارد شد. فقط خود مدرک حفظ نشده است.

فرما دو سال قبل از مرگش وصیت نامه ای برای دوستش کرکاوی فرستاد که با عنوان «خلاصه نتایج جدید در علم اعداد» وارد تاریخ ریاضیات شد. در این نامه، فرما اظهار معروف خود را برای مورد n=4 ثابت کرد. اما پس از آن به احتمال زیاد نه به خود بیانیه، بلکه به روش اثبات کشف شده توسط خود، که توسط خود فرما به نام تبار نامحدود یا نامعین نامیده می شود، علاقه مند بود.

دست نوشته ها نمی سوزند. اما اگر وقف ساموئل نبود که پس از مرگ پدرش تمام طرح‌های ریاضی و رساله‌های کوچک خود را جمع‌آوری کرد و سپس آنها را در سال 1679 تحت عنوان «آثار ریاضی متفرقه» منتشر کرد، ریاضی‌دانان فرهیخته باید کشف می‌کردند. و خیلی چیزها را دوباره کشف کنید اما حتی پس از انتشار آنها، مشکلات مطرح شده توسط ریاضیدان بزرگ برای بیش از هفتاد سال خاموش بود. و این تعجب آور نیست. نتایج نظری اعداد پی. فرما به شکلی که در مطبوعات ظاهر شد، به شکل مشکلات جدی در برابر متخصصان ظاهر شد که برای معاصران همیشه روشن نبود، تقریباً هیچ مدرکی نداشت، و نشانه هایی از ارتباطات منطقی داخلی بین آنها وجود داشت. شاید در غیاب یک تئوری منسجم و سنجیده، پاسخ این سوال نهفته باشد که چرا خود فرما قصد نداشت کتابی در باب نظریه اعداد منتشر کند. هفتاد سال بعد ال اویلر به این آثار علاقه مند شد و این واقعا دومین تولد آنها بود...

ریاضیات هزینه های گزافی را برای شیوه عجیب فرما در ارائه نتایج خود پرداخته است، گویی به عمد از اثبات آنها حذف شده است. اما، اگر فرما ادعا می کرد که این یا آن قضیه را ثابت کرده است، بعداً این قضیه لزوماً ثابت شد. با این حال، مشکلی با قضیه بزرگ وجود داشت.

رمز و راز همیشه تخیل را تحریک می کند. تمام قاره ها توسط لبخند مرموز مونالیزا فتح شدند. نظریه نسبیت، به عنوان کلید معمای ارتباطات فضا-زمان، به محبوب ترین نظریه فیزیکی قرن تبدیل شده است. و به جرات می توان گفت که هیچ مشکل ریاضی دیگری وجود نداشت که به اندازه آنها محبوب باشد __93

مشکلات علمی و آموزشی حفاظت مدنی

که قضیه فرما. تلاش ها برای اثبات آن منجر به ایجاد شاخه گسترده ای از ریاضیات - نظریه اعداد جبری شد، اما (افسوس!) خود این قضیه اثبات نشده باقی ماند. در سال 1908، ولفسکل، ریاضیدان آلمانی، 100000 مارک به هر کسی که بتواند قضیه فرما را اثبات کند، وصیت کرد. برای آن زمان ها مبلغ هنگفتی بود! در یک لحظه می توان نه تنها مشهور، بلکه به طرز شگفت انگیزی ثروتمند شد! بنابراین تعجب آور نیست که دانش آموزان حتی روسیه، دور از آلمان، در حال رقابت با یکدیگر برای اثبات قضیه بزرگ عجله کردند. در مورد ریاضیدانان حرفه ای چه بگوییم! اما بیهوده! پس از جنگ جهانی اول، ارزش پول کاهش یافت و جریان نامه ها با شواهد شبه شروع به خشک شدن کرد، هرچند که البته هرگز به طور کامل متوقف نشد. گفته می شود که ادموند لاندو، ریاضیدان معروف آلمانی، فرم های چاپی را برای توزیع به نویسندگان اثبات قضیه فرما آماده کرد: "در صفحه ...، در خط ... یک خطا وجود دارد." (پیدا کردن خطا به دانشیار سپرده شد.) آنقدر کنجکاوها و حکایات مربوط به اثبات این قضیه بود که می شد از آنها کتاب ساخت. آخرین حکایت شبیه "تصادف" کارآگاه A. Marinina است که در ژانویه 2000 فیلمبرداری شده و از صفحه تلویزیون کشور پخش شد. در آن، هموطن ما قضیه ای را ثابت می کند که همه پیشینیان بزرگ آن را اثبات نکرده اند و برای آن مدعی جایزه نوبل می شود. همانطور که می دانید، مخترع دینامیت ریاضیدانان را در وصیت نامه خود نادیده گرفت، بنابراین نویسنده مدرک تنها توانست مدال طلای فیلدز، بالاترین جایزه بین المللی را که توسط خود ریاضیدانان در سال 1936 تایید شده بود، دریافت کند.

در کار کلاسیک ریاضیدان برجسته روسی A.Ya. خینچین با اختصاص به قضیه بزرگ فرما، اطلاعاتی در مورد تاریخچه این مسئله ارائه شده و به روشی که فرما می تواند در اثبات قضیه خود استفاده کند، توجه شده است. اثباتی برای مورد n = 4 و بررسی مختصری از نتایج مهم دیگر ارائه شده است.

اما زمانی که داستان کارآگاهی نوشته شد، و حتی بیشتر از آن، در زمان فیلمبرداری آن، اثبات کلی قضیه قبلاً پیدا شده بود. در 23 ژوئن 1993، در کنفرانسی در مورد نظریه اعداد در کمبریج، اندرو وایلز ریاضیدان پرینستون اعلام کرد که اثبات آخرین قضیه فرما به دست آمده است. اما نه آنطور که خود فرما «قول داده بود». مسیری که اندرو وایلز طی کرد به هیچ وجه مبتنی بر روش های ریاضیات ابتدایی نبود. او در به اصطلاح نظریه منحنی های بیضوی مشغول بود.

برای درک منحنی های بیضوی، لازم است منحنی صفحه ای را در نظر بگیریم که با معادله درجه سوم به دست می آید.

Y(x، y) = a30X + a21x2y + ... + a1x + a2y + a0 = 0. (1)

تمام این منحنی ها به دو دسته تقسیم می شوند. دسته اول شامل آن دسته از منحنی هایی است که دارای کاسه هستند (مثلاً سهمی نیمه مکعبی y2 = a2-X با نقطه اوج (0; 0))، نقاط خود تقاطع (به عنوان ورق دکارتی x3 + y3-3axy = 0). ، در نقطه (0; 0))، و همچنین منحنی هایی که چند جمله ای Ax، y) به شکل نشان داده شده است.

f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),

که در آن ^(x، y) و ^(x، y) چند جمله ای با درجات کوچکتر هستند. منحنی های این طبقه را منحنی های منحط درجه سوم می نامند. دسته دوم منحنی ها توسط منحنی های غیر انحطاط تشکیل می شوند. ما آنها را بیضوی می نامیم. اینها شامل، برای مثال، Curl Agnesi (x2 + a2)y - a3 = 0 است. اگر ضرایب چند جمله ای (1) اعداد گویا باشند، منحنی بیضوی را می توان به شکل به اصطلاح متعارف تبدیل کرد.

y2 = x3 + تبر + b. (2)

در سال 1955، ریاضیدان ژاپنی Y.Taniyama (1927-1958)، در چارچوب نظریه منحنی های بیضوی، موفق شد حدسی را بیان کند که راه را برای اثبات قضیه فرما هموار کند. اما پس از آن نه تانیاما و نه همکارانش به این موضوع مشکوک نشدند. تقریباً برای بیست سال این فرضیه توجه جدی را به خود جلب نکرد و تنها در اواسط دهه 1970 رایج شد. طبق حدس تانیاما، هر بیضوی

منحنی با ضرایب منطقی مدولار است. با این حال، تا کنون، فرمول بندی فرضیه چیز کمی برای خواننده دقیق توضیح می دهد. بنابراین، تعاریفی لازم است.

هر منحنی بیضی را می توان با یک مشخصه عددی مهم مرتبط دانست - متمایز کننده آن. برای یک منحنی که به شکل متعارف (2) داده شده است، متمایز A با فرمول تعیین می شود

A \u003d - (4a + 27b2).

فرض کنید E مقداری منحنی بیضوی باشد که با معادله (2)، که در آن a و b اعداد صحیح هستند.

برای عدد اول p، مقایسه را در نظر بگیرید

y2 = x3 + تبر + b(mod p)، (3)

که در آن a و b باقیمانده های پس از تقسیم اعداد صحیح a و b بر p هستند و تعداد راه حل های این همخوانی را با np نشان می دهند. اعداد pr در بررسی مسئله حل پذیری معادلات شکل (2) در اعداد صحیح بسیار مفید هستند: اگر مقداری pr برابر با صفر باشد، معادله (2) هیچ جواب عدد صحیحی ندارد. با این حال، محاسبه اعداد pr فقط در موارد نادر امکان پذیر است. (در عین حال مشخص است که p-n|< 2Vp (теоремаХассе)).

آن اعداد اول p را در نظر بگیرید که A ممیز منحنی بیضی (2) را تقسیم می کنند. می توان ثابت کرد که برای چنین p چند جمله ای x3 + ax + b را می توان به یکی از دو روش نوشت:

x3 + تبر + b = (x + a)2 (x + ß) (mod P)

x3 + ax + b = (x + y)3 (mod p)،

که در آن a، ß، y تعدادی باقیمانده پس از تقسیم بر p هستند. اگر برای تمام p های اول که تفکیک کننده منحنی را تقسیم می کنند، اولین مورد از دو احتمال مشخص شده محقق شود، منحنی بیضوی را نیمه مستحکم می گویند.

اعداد اول تقسیم کننده تفکیک کننده را می توان در یک هادی منحنی بیضوی ترکیب کرد. اگر E یک منحنی نیمه پایدار باشد، رسانای آن N با فرمول داده می شود

که در آن برای تمام اعداد اول p > 5 تقسیم A، توان eP برابر با 1 است. توان 82 و 83 با استفاده از یک الگوریتم خاص محاسبه می شوند.

در اصل، این تنها چیزی است که برای درک اصل برهان لازم است. با این حال، حدس تانیاما حاوی مفهوم دشوار و، در مورد ما، کلیدی مدولار بودن است. بنابراین، بیایید برای مدتی منحنی های بیضوی را فراموش کنیم و یک تابع تحلیلی f (یعنی تابعی که می تواند با یک سری توانی نمایش داده شود) از یک آرگومان مختلط z که در نیم صفحه فوقانی داده شده است را در نظر بگیریم.

نیم صفحه مختلط بالایی را با H نشان دهید. فرض کنید N یک عدد طبیعی و k یک عدد صحیح باشد. یک شکل سهمی مدولار وزن k سطح N یک تابع تحلیلی f(z) است که در نیمه صفحه بالایی تعریف شده و رابطه را برآورده می کند.

f = (cz + d)kf (z) (5)

برای هر اعداد صحیح a، b، c، d به طوری که ae - bc = 1 و c بر N بخش پذیر باشد. علاوه بر این، فرض می شود که

lim f (r + it) = 0،

که در آن r یک عدد گویا است، و آن

فضای شکل های کاسپ مدولار وزن k سطح N با Sk(N) نشان داده می شود. می توان نشان داد که دارای یک بعد محدود است.

در ادامه، ما به‌ویژه به شکل‌های کاسپ مدولار وزن 2 علاقه مند خواهیم بود. برای N کوچک، بعد فضای S2(N) در جدول 1 ارائه شده است. 1. به طور خاص،

ابعاد فضای S2(N)

میز 1

ن<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2

از شرط (5) نتیجه می شود که % + 1) = برای هر شکل f ∈ S2(N). بنابراین، f تابع تناوبی است. چنین تابعی را می توان به صورت نمایش داد

اگر ضرایب آن اعداد صحیحی باشند که روابط را برآورده می کنند، یک فرم کاسپ مدولار را A^) در S2(N) مناسب می نامیم:

a r ■ a = a r+1 ■ p ■ c r_1 برای p ساده ای که عدد N را تقسیم نمی کند. (هشت)

(ap) برای p اول تقسیم N.

atp = در یک if (m, n) = 1.

اکنون تعریفی را تدوین می کنیم که نقشی کلیدی در اثبات قضیه فرما دارد. منحنی بیضوی با ضرایب گویا و هادی N در صورت وجود چنین شکل ویژه ای مدولار نامیده می شود.

f(z) = ^anq" g S2(N)،

که ap = p - pr تقریباً برای همه اعداد اول p. در اینجا np تعداد راه حل های مقایسه است (3).

باور به وجود حداقل یکی از این منحنی ها دشوار است. تصور اینکه تابع A(r) وجود داشته باشد که محدودیت‌های سخت (5) و (8) را برآورده می‌کند، که به یک سری (7) گسترش می‌یابد، که ضرایب آن با اعداد عملا غیرقابل محاسبه Pr مرتبط است، بسیار دشوار است. بسیار دشوار است اما فرضیه جسورانه تانیاما به هیچ وجه واقعیت وجود آنها را زیر سؤال نمی برد و مطالب تجربی انباشته شده توسط زمان به طرز درخشانی اعتبار آن را تأیید می کرد. پس از دو دهه فراموشی تقریباً کامل، فرضیه تانیاما باد دومی را در آثار ریاضیدان فرانسوی، عضو آکادمی علوم پاریس، آندره ویل، دریافت کرد.

A. Weyl در سال 1906 متولد شد و سرانجام یکی از بنیانگذاران گروهی از ریاضیدانان شد که با نام مستعار N. Bourbaki فعالیت می کردند. از سال 1958، A. Weil استاد موسسه مطالعات پیشرفته پرینستون است. و پیدایش علاقه او به هندسه جبری انتزاعی متعلق به همین دوره است. در دهه هفتاد به توابع بیضوی و حدس تانیاما روی آورد. تک نگاری اختصاص داده شده به توابع بیضوی در اینجا در روسیه ترجمه شد. او در اشتیاق خود تنها نیست. در سال 1985، گرهارد فری، ریاضیدان آلمانی پیشنهاد کرد که اگر قضیه فرما نادرست است، یعنی اگر چنین سه گانه از اعداد صحیح a، b، c وجود داشته باشد که "+ bn = c" (n > 3) وجود داشته باشد، منحنی بیضوی

y2 \u003d x (x - a") - (x - cn)

نمی تواند مدولار باشد، که با حدس تانیاما در تضاد است. خود فری نتوانست این گفته را ثابت کند، اما این مدرک به زودی توسط ریاضیدان آمریکایی کنت ریبت به دست آمد. به عبارت دیگر، ریبت نشان داد که قضیه فرما نتیجه حدس تانیاما است.

او قضیه زیر را فرموله و اثبات کرد:

قضیه 1 (Ribet). فرض کنید E یک منحنی بیضوی با ضرایب گویا دارای ممیز باشد

و هادی

فرض کنید E مدولار است و اجازه دهید

/ (r) = q + 2 aAn e ^ (N)

شکل ویژه سطح مربوطه N است. یک عدد اول £ را ثابت می کنیم و

p: eP \u003d 1؛ - "8 p

سپس یک فرم سهموی وجود دارد

/(r) = 2 dnqn e N)

با ضرایب صحیح که تفاوت های an - dn بر I برای همه 1 بخش پذیر است< п<ад.

واضح است که اگر این قضیه برای برخی از توان‌ها ثابت شود، آنگاه برای همه توان‌هایی که مضرب n هستند ثابت می‌شود. از آنجایی که هر عدد صحیح n > 2 بر 4 یا بر عدد اول فرد بخش پذیر است، بنابراین می‌توانیم خود را به عدد محدود کنیم. حالتی که توان 4 یا یک عدد اول فرد باشد. برای n = 4، یک اثبات ابتدایی قضیه فرما ابتدا توسط خود فرما و سپس توسط اویلر به دست آمد. بنابراین، مطالعه معادله کافی است

a1 + b1 = c1، (12)

که در آن توان I یک عدد اول فرد است.

حال با محاسبات ساده می توان قضیه فرما را به دست آورد (2).

قضیه 2. از حدس تانیاما برای منحنی های بیضوی نیمه پایدار آخرین قضیه فرما پیروی می کند.

اثبات فرض کنید قضیه فرما نادرست است، و اجازه دهید یک مثال متضاد وجود داشته باشد (مانند بالا، در اینجا I یک عدد اول فرد است). اجازه دهید قضیه 1 را برای منحنی بیضوی اعمال کنیم

y2 = x (x - ae) (x - c1).

محاسبات ساده نشان می دهد که هادی این منحنی با فرمول به دست می آید

با مقایسه فرمول های (11) و (13)، می بینیم که N = 2. بنابراین، با قضیه 1، یک شکل سهمی وجود دارد.

خوابیده در فضای 82 (2). اما به دلیل رابطه (6) این فاصله صفر است. بنابراین، dn = 0 برای همه n. در عین حال، a^ = 1. بنابراین، تفاوت ar - dl = 1 بر I قابل تقسیم نیست و به یک تضاد می رسیم. بنابراین، قضیه ثابت می شود.

این قضیه کلید اثبات آخرین قضیه فرما را ارائه کرد. و با این حال خود این فرضیه هنوز اثبات نشده باقی مانده است.

اندرو وایلز پس از اعلام در 23 ژوئن 1993، اثبات حدس تانیاما برای منحنی های بیضوی نیمه مستقر که شامل منحنی های شکل (8) است، عجله کرد. برای ریاضیدانان خیلی زود بود که پیروزی را جشن بگیرند.

تابستان گرم به سرعت به پایان رسید، پاییز بارانی پشت سر گذاشت، زمستان آمد. وایلز نسخه نهایی اثبات خود را نوشت و بازنویسی کرد، اما همکاران دقیق‌تر نادرستی‌های بیشتری در کار او یافتند. و به این ترتیب، در اوایل دسامبر 1993، چند روز قبل از انتشار نسخه خطی وایلز، باز هم شکاف های جدی در اثبات او پیدا شد. و سپس وایلز متوجه شد که در یک یا دو روز دیگر نمی تواند چیزی را اصلاح کند. این نیاز به یک بازنگری اساسی داشت. انتشار اثر باید به تعویق می افتاد. وایلز برای کمک به تیلور مراجعه کرد. "کار بر روی اشکالات" بیش از یک سال طول کشید. نسخه نهایی اثبات حدس تانیاما که توسط وایلز با همکاری تیلور نوشته شده بود، تا تابستان 1995 ظاهر نشد.

برخلاف قهرمان A. Marinina، وایلز مدعی جایزه نوبل نبود، اما، با این وجود ... باید با نوعی جایزه مورد توجه قرار می گرفت. این فقط چیه؟ وایلز در آن زمان در پنجاه سالگی خود بود و مدال های طلای فیلدز به شدت تا سن چهل سالگی اعطا می شود، در حالی که اوج فعالیت خلاقانه هنوز سپری نشده است. و سپس آنها تصمیم گرفتند یک جایزه ویژه برای Wiles ایجاد کنند - نشان نقره ای کمیته فیلدز. این نشان در کنگره بعدی ریاضیات در برلین به او ارائه شد.

از بین تمام مشکلاتی که کم و بیش احتمال دارد جای آخرین قضیه فرما را بگیرد، مشکل نزدیکترین بسته بندی توپ ها بیشترین شانس را دارد. مشکل نزدیک‌ترین بسته‌بندی توپ‌ها را می‌توان به‌عنوان مشکل چگونگی چیدمان اقتصادی هرم پرتقال‌ها در نظر گرفت. ریاضیدانان جوان این مسئله را از یوهانس کپلر به ارث برده اند. این مشکل در سال 1611 متولد شد، زمانی که کپلر مقاله کوتاهی با عنوان "درباره دانه های برف شش ضلعی" نوشت. علاقه کپلر به ترتیب و خود سازماندهی ذرات ماده، او را به بحث در مورد موضوع دیگری سوق داد - متراکم ترین بسته بندی ذرات، که در آن کمترین حجم را اشغال می کنند. اگر فرض کنیم که ذرات به شکل کره باشند، واضح است که هر طور که در فضا قرار گیرند، به ناچار شکاف هایی بین آنها باقی می ماند و سوال این است که حجم شکاف ها را به حداقل برسانیم. به عنوان مثال، در کار بیان شده است (اما ثابت نشده است) که چنین شکلی یک چهار وجهی است، محورهای مختصاتی که در داخل آن زاویه تعامد پایه 109o28" را تعیین می کند و نه 90o. این مشکل برای ذرات بنیادی اهمیت زیادی دارد. فیزیک، کریستالوگرافی و سایر بخش های علوم طبیعی.

ادبیات

1. Weil A. توابع بیضوی طبق آیزنشتاین و کرونکر. - م.، 1978.

2. Solovyov Yu.P. حدس تانیاما و آخرین قضیه فرما // مجله آموزشی سوروس. - شماره 2. - 1998. - S. 78-95.

3. آخرین قضیه سینگ اس فرما. تاریخچه معمایی که 358 سال بهترین ذهن های جهان را به خود مشغول کرده است / پر. از انگلیسی. یو.آ. دانیلوا. مسکو: MTsNMO. 2000. - 260 ص.

4. Mirmovich E.G., Usacheva T.V. جبر کواترنیون ها و چرخش های سه بعدی // مجله حاضر شماره 1(1)، 2008. - ص 75-80.