Cosx 3 решение. Элементы тригонометрии и офисные информационные технологии

Мы знаем, что значения косинуса заключены в промежутке [-1; 1], т.е. -1 ≤ cos α ≤ 1. Поэтому если |а| > 1, то уравнение cos x = а не имеет корней. Например, уравнение cos x = -1,5 корней не имеет.

Рассмотрим несколько задач.

Решить уравнение cos x = 1/2.

Решение.

Вспомним, что cos x – это абсцисса точки окружности с радиусом, равным 1, полученной в результате поворота точки Р (1; 0) на угол х вокруг начала координат.

Абсцисса 1/2 есть у двух точек окружности М 1 и М 2 . Так как 1/2 = cos π/3, то точку М 1 мы можем получить из точки Р (1; 0) путем поворота на угол х 1 = π/3, а также на углы х = π/3 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, …

Точка М 2 получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол х 2 = -π/3, а также на углы -π/3 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, …

Итак, все корни уравнения cos x = 1/2 можно найти по формулам
х = π/3 + 2πk
х = -π/3 + 2πk,

Две представленные формулы можно объединить в одну:

х = +/-π/3 + 2πk, k € Z.

Решить уравнение cos x = -1/2 .

Решение.

Абсциссу, равную – 1/2 , имеют две точки окружности М 1 и М 2 . Так как -1/2 = cos 2π/3, то угол х 1 = 2π/3, а потому угол х 2 = -2π/3.

Следовательно, все корни уравнения cos x = -1/2 можно найти по формуле: х = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.

Таким образом, каждое из уравнений cos x = 1/2 и cos x = -1/2 имеет бесконечное множество корней. На отрезке 0 ≤ х ≤ π каждое из этих уравнений имеет только один корень: х 1 = π/3 – корень уравнения cos x = 1/2 и х 1 = 2π/3 – корень уравнения cos x = -1/2.

Число π/3 называют арккосинусом числа 1/2 и записывают: arccos 1/2 = π/3, а число 2π/3 – арккосинусом числа (-1/2) и записывают: arccos (-1/2) = 2π/3.

Вообще уравнение cos x = а, где -1 ≤ а ≤ 1, имеет на отрезке 0 ≤ х ≤ π только один корень. Если а ≥ 0, то корень заключен в промежутке ; если а < 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.

Таким образом, арккосинусом числа а € [-1; 1 ] называется такое число а € , косинус которого равен а:

arccos а = α, если cos α = а и 0 ≤ а ≤ π (1).

Например, arccos √3/2 = π/6, так как cos π/6 = √3/2 и 0 ≤ π/6 ≤ π;
arccos (-√3/2) = 5π/6, так как cos 5π/6 = -√3/2 и 0 ≤ 5π/6 ≤ π.

Аналогично тому, как это сделано в процессе решения задач 1 и 2, можно показать, что все корни уравнения cos x = а, где |а| ≤ 1, выражаются формулой

х = +/-arccos а + 2 πn, n € Z (2).

Решить уравнение cos x = -0,75.

Решение.

По формуле (2) находим, х = +/-arccos (-0,75) + 2 πn, n € Z.

Значение arcos (-0,75) можно приближенно найти на рисунке, измерив угол при помощи транспортира. Приближенные значения арккосинуса также можно находить с помощью специальных таблиц (таблицы Брадиса) или микрокалькулятора. Например, значение arccos (-0,75) можно вычислить на микрокалькуляторе, получив приблизительное значение 2,4188583. Итак, arccos (-0,75) ≈ 2,42. Следовательно, arccos (-0,75) ≈ 139°.

Ответ: arccos (-0,75) ≈ 139°.

Решить уравнение (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0.

Решение.

1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, х = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.

2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2х = +/-2π/3 + 2 πn, х = +/-π/3 + πn, n € Z.

Ответ. х = +/-arcos 1/4 + 2 πn, х = +/-π/3 + πn.

Можно доказать, что для любого а € [-1; 1] справедлива формула arccos (-а) = π – arccos а (3).

Эта формула позволяет выражать значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел. Например:

arccos (-1/2) = π – arccos 1/2 = π – π/3 = 2π/3;

arccos (-√2/2) = π – arсcos √2/2 = π – π/4 = 3π/4

из формулы (2) следует, что корни уравнения, cos x = а при а = 0, а = 1 и а = -1 можно находить по более простым формулам:

cos х = 0 х = π/2 + πn, n € Z (4)

cos х = 1 х = 2πn, n € Z (5)

cos х = -1 х = π + 2πn, n € Z (6).

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Доброй ночи!Вы задали очень интересный вопрос:cos x = 3 решение. Это самое обычное задание. И да, всегда в первую очередь, учитывая всё, что вы знаете, Вы можете сразу приняться решать. И да, даже то, что arccos 3 вы не найдёте в таблице, то это тоже не препятствие.Итак, открою Вам страшную тайну. Такие функции как sin и cos не могут равняться какому-либо число, которое равняется больше единицы.То есть логично предположить, что решения у данного уравнения нет. Это нужно запомнить, чтоб не совершать глупых ошибок в дальнейшем.Давайте попробуем решить что-то похожее, но то, что имеет решение. А не как это задание. Например:

Теперь приступим к решению.Для этого есть определённое правило решения подобных уравнений, которое всегда надо использовать и примет такой общий вид:

Как только мы разобрались с общим решением, то теперь можем преступить к решению именно Вашего уравнения:

Значение мы найдём при помощи таблицы. И исходя из этого получаем, что Так как с основным разобрались, то теперь можем и решить до конца Ваше уравнение.