Pronađite pouzdane i nemoguće događaje među AI događajima. Tema lekcije: “Pouzdani, nemogući i slučajni događaji”

Samo ne u online prevodiocu.

Zlatna vrata su simbol Kijeva, jedan od najstarijih primjera arhitekture koji je preživio do danas. Zlatna kapija Kijeva sagrađena su za vreme slavnog kijevskog kneza Jaroslava Mudrog 1164. godine. U početku su se zvali južni i bili su dio sistema odbrambenih utvrđenja grada, praktički se ne razlikuju od ostalih stražarskih vrata grada. Bila su to Južna vrata koju je prvi ruski mitropolit Ilarion nazvao „Velikim“ u svojoj „Besedi o zakonu i blagodati“. Nakon što je sagrađena veličanstvena crkva Aja Sofije, „Velika“ kapija postala je glavni kopneni ulaz u Kijev sa jugozapadne strane. Shvativši njihov značaj, Jaroslav Mudri je naredio izgradnju male crkve Blagovijesti iznad kapija kako bi odao počast dominantnoj kršćanskoj vjeri u gradu i Rusiji. Od tog vremena svi ruski hroničarski izvori počeli su da nazivaju južnu kapiju Kijeva Zlatnim vratima. Širina kapije je bila 7,5 m, visina prolaza 12 m, a dužina oko 25 m.

le sport ce n"est pas seulement des cours de gym. C"est aussi sauter toujours plus haut nager jouer au ballon danser. le sport développé ton corps et aussi ton cerveau. Quand tu prends l"escalier et non pas l"ascenseur tu fais du sport. Quand tu fais une cabane dans un arbre tu fais du sport. Quand tu te bats avec ton frere tu fais du sport. Quand tu cours, parce que tu es en retard a l"ecole, tu fais du sport.

Događaj je rezultat testa. Šta je događaj? Jedna lopta se nasumično uzima iz urne. Vađenje lopte iz urne je test. Pojava lopte određene boje je događaj. U teoriji vjerovatnoće, događaj se razumije kao nešto o čemu se, nakon određenog trenutka, može reći jedna i samo jedna od dvije stvari. Da, desilo se. Ne, nije se desilo. Mogući ishod eksperimenta naziva se elementarni događaj, a skup takvih ishoda jednostavno se naziva događaj.

Nepredvidivi događaji se nazivaju slučajni. Događaj se naziva slučajnim ako se pod istim uslovima može dogoditi ili ne mora. Prilikom bacanja kocke, rezultat će biti šestica. Imam srećku. Nakon objavljivanja rezultata lutrije, događaj koji me zanima - osvajanje hiljadu rubalja - ili se dogodi ili se ne dogodi. Primjer.

Dva događaja koja se pod datim uslovima mogu desiti istovremeno nazivaju se zajedničkim, a oni koji se ne mogu desiti istovremeno nazivaju se nekompatibilnim. Baca se novčić. Izgled “grba” isključuje izgled natpisa. Događaji “pojavio se grb” i “pojavio se natpis” su nespojivi. Primjer.

Događaj koji se uvijek događa naziva se pouzdanim. Događaj koji se ne može dogoditi naziva se nemogućim. Na primjer, pretpostavimo da je lopta izvučena iz urne koja sadrži samo crne kuglice. Tada je pojava crne lopte pouzdan događaj; pojava bele lopte je nemoguć događaj. Primjeri. Snijega neće biti sljedeće godine. Kada bacate kockice, rezultat će biti sedam. Ovo su nemogući događaji. Sledeće godine biće snega. Kada bacite kocku, dobit ćete broj manji od sedam. Dnevni izlazak sunca. Ovo su pouzdani događaji.

Rješavanje problema Za svaki od opisanih događaja odredite šta je: nemoguće, pouzdano ili slučajno. 1. Od 25 učenika u razredu, dvoje slave rođendan a) 30. januara; b) 30. februara. 2. Udžbenik književnosti se nasumično otvara i druga riječ se nalazi na lijevoj strani. Ova riječ počinje: a) slovom “K”; b) počinje slovom “ʺ̱”.

3. Danas u Sočiju barometar pokazuje normalan atmosferski pritisak. U ovom slučaju: a) voda u tiganju prokuvana na temperaturi od 80ºC; b) kada je temperatura pala na -5ºC, voda u lokvi se smrzla. 4. Bacaju se dvije kocke: a) prva kocka pokazuje 3 boda, a druga - 5 bodova; b) zbir bodova bačenih na dvije kocke je 1; c) zbir bodova bačenih na dvije kocke je 13; d) obje kocke su dobile 3 boda; e) zbir bodova na dvije kockice manji je od 15. Rješavanje zadataka

5. Otvorili ste knjigu na bilo kojoj stranici i pročitali prvu imenicu na koju ste naišli. Ispostavilo se da: a) pravopis odabrane riječi sadrži samoglasnik; b) slovo “O” sadrži odabranu riječ; c) u pisanju odabrane riječi nema samoglasnika; d) postoji meki znak u pisanju odabrane riječi. Rješavanje problema

5. razred. Uvod u vjerovatnoću (4 sata)

(izrada 4 lekcije na ovu temu)

Ciljevi učenja : - uvesti definiciju slučajnog, pouzdanog i nemogućeg događaja;

Dajte prve ideje o rješavanju kombinatornih problema: korištenje stabla opcija i korištenje pravila množenja.

Obrazovni cilj: razvoj svjetonazora učenika.

Razvojni cilj : razvoj prostorne mašte, usavršavanje veštine rada sa lenjirom.

Pouzdani, nemogući i nasumični događaji (2 sata)

Kombinatorski problemi (2 sata)

Pouzdani, nemogući i slučajni događaji.

Prva lekcija

Oprema za nastavu: kockice, novčić, backgammon.

Naš život se uglavnom sastoji od nezgoda. Postoji takva nauka kao "teorija vjerovatnoće". Koristeći njegov jezik, možete opisati mnoge pojave i situacije.

Čak je i primitivni vođa shvatio da desetak lovaca ima veću "vjerovatnost" da pogodi bizona kopljem nego jedan. Zato su tada kolektivno lovili.

Takvi drevni zapovjednici poput Aleksandra Velikog ili Dmitrija Donskog, pripremajući se za bitku, oslanjali su se ne samo na hrabrost i umijeće ratnika, već i na slučaj.

Mnogi ljudi vole matematiku zbog vječnih istina: dvaput dva je uvijek četiri, zbir parnih brojeva je paran, površina pravokutnika jednaka je proizvodu njegovih susjednih stranica, itd. U bilo kojem zadatku koji riješite, svi dobija isti odgovor - samo trebate ne pogriješiti u odluci.

Stvarni život nije tako jednostavan i jasan. Ishod mnogih događaja ne može se unaprijed predvidjeti. Nemoguće je, na primjer, sa sigurnošću reći na koju će stranu pasti izbačeni novčić, kada će pasti prvi snijeg sljedeće godine ili koliko će ljudi u gradu htjeti telefonirati u narednih sat vremena. Takvi nepredvidivi događaji se nazivaju nasumično .

Međutim, slučaj ima i svoje zakone, koji se počinju manifestirati kada se slučajni fenomeni ponavljaju mnogo puta. Ako bacite novčić 1000 puta, on će iskrsnuti oko pola puta, što nije slučaj sa dva ili čak deset bacanja. "Približno" ne znači pola. Ovo generalno može, ali i ne mora biti slučaj. Zakon ne navodi ništa sa sigurnošću, ali daje određeni stepen sigurnosti da će se dogoditi neki slučajni događaj. Takve obrasce proučava posebna grana matematike - Teorija vjerovatnoće . Uz njegovu pomoć možete s većim stepenom pouzdanosti (ali još uvijek ne sa sigurnošću) predvidjeti i datum prve snježne padavine i broj telefonskih poziva.

Teorija vjerojatnosti je neraskidivo povezana s našim svakodnevnim životom. Ovo nam daje divnu priliku da eksperimentalno ustanovimo mnoge vjerojatnostne zakone, ponavljajući nasumične eksperimente mnogo puta. Materijali za ove eksperimente najčešće će biti običan novčić, kocka, set domina, backgammon, rulet ili čak špil karata. Svaka od ovih stavki je na ovaj ili onaj način povezana s igrama. Činjenica je da se slučaj ovdje pojavljuje u svom najčešćem obliku. A prvi probabilistički zadaci odnosili su se na procjenu šansi igrača za pobjedu.

Moderna teorija vjerovatnoće se udaljila od kockanja, ali njeni rekviziti i dalje ostaju najjednostavniji i najpouzdaniji izvor šanse. Nakon vježbanja s ruletom i kockom, naučit ćete izračunati vjerovatnoću slučajnih događaja u stvarnim životnim situacijama, što će vam omogućiti da procijenite svoje šanse za uspjeh, testirate hipoteze i donosite optimalne odluke ne samo u igrama i lutriji.

Kada rješavate probabilističke probleme, budite vrlo oprezni, pokušajte opravdati svaki korak koji napravite, jer nijedna druga oblast matematike ne sadrži toliko paradoksa. Kao teorija verovatnoće. A možda je glavno objašnjenje za to njegova povezanost sa stvarnim svijetom u kojem živimo.

Mnoge igre koriste kockicu s različitim brojem tačaka označenim na svakoj strani od 1 do 6. Igrač baca kocku, gleda koliko se tačaka pojavljuje (na strani koja se nalazi na vrhu) i čini odgovarajući broj poteza : 1,2,3,4,5 ili 6. Bacanje kockice se može smatrati iskustvom, eksperimentom, testom, a dobijeni rezultat može se smatrati događajem. Ljudi su obično veoma zainteresovani da pogode pojavu ovog ili onog događaja i predvide njegov ishod. Koja predviđanja mogu napraviti kada bace kockice? Prvo predviđanje: pojaviće se jedan od brojeva 1,2,3,4,5 ili 6. Mislite li da će se predviđeni događaj dogoditi ili ne? Naravno, sigurno će doći. Događaj koji će se sigurno dogoditi u datom iskustvu naziva se pouzdan događaj.

Drugo predviđanje : pojaviće se broj 7. Da li mislite da će se desiti predviđeni događaj ili ne? Naravno da se to neće desiti, jednostavno je nemoguće. Događaj koji se ne može dogoditi u datom iskustvu naziva se nemogući događaj.

Treće predviđanje : pojaviće se broj 1. Mislite li da se predviđeni događaj dogodio ili ne? Ne možemo sa potpunom sigurnošću odgovoriti na ovo pitanje, budući da se predviđeni događaj može dogoditi, ali i ne mora. Događaj koji se može ili ne mora dogoditi u datom iskustvu naziva se slučajni događaj.

Vježbajte : Opišite događaje o kojima se govori u zadacima u nastavku. Kao izvjesno, nemoguće ili slučajno.

Hajde da bacimo novčić. Pojavio se grb. (slučajno)

Lovac je pucao na vuka i pogodio ga. (slučajno)

Učenik ide u šetnju svako veče. Šetajući u ponedjeljak, sreo je tri poznanika. (slučajno)

Provedimo mentalno sljedeći eksperiment: okrenite čašu vode naopako. Ako se ovaj eksperiment ne provodi u svemiru, već kod kuće ili u učionici, voda će se izliti. (pouzdan)

Ispaljena su tri hica u metu.” Bilo je pet pogodaka" (nemoguće)

Baci kamen gore. Kamen ostaje da visi u vazduhu. (nemoguće)

Nasumično preuređujemo slova riječi "antagonizam". Rezultat je riječ "anakroizam". (nemoguće)

№959. Petya je pomislio na prirodan broj. Događaj je sljedeći:

a) predviđen je paran broj; (slučajno) b) predviđen je neparan broj; (slučajno)

c) zamišljen je broj koji nije ni paran ni neparan; (nemoguće)

d) zamišljen je broj koji je paran ili neparan. (pouzdan)

№ 961. Petya i Tolya upoređuju svoje rođendane. Događaj je sljedeći:

a) da im se rođendani ne poklapaju; (slučajno) b) njihovi rođendani su isti; (slučajno)

d) obojici rođendana padaju na praznike - Novu godinu (1. januar) i Dan nezavisnosti Rusije (12. jun). (slučajno)

№ 962. Prilikom igranja backgammona koriste se dvije kockice. Broj poteza koje povuče učesnik u igri određuje se zbrajanjem brojeva na dvije strane kocke koje ispadnu, a ako se otkotrlja "dvojka" (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6 ), tada se broj poteza udvostručuje. Bacate kockice i shvatite koliko poteza morate napraviti. Događaj je sljedeći:

a) morate napraviti jedan potez; b) morate napraviti 7 poteza;

c) morate napraviti 24 poteza; d) morate napraviti 13 poteza.

a) – nemoguće (može se napraviti 1 potez ako se baci kombinacija 1 + 0, ali na kocki nema broja 0).

b) – nasumično (ako se baca 1 + 6 ili 2 + 5).

c) – nasumično (ako se pojavi kombinacija 6 +6).

d) – nemoguće (ne postoje kombinacije brojeva od 1 do 6, čiji je zbir 13; ovaj broj se ne može dobiti ni kada se baci „dvojka“, jer je neparna).

Provjerite sami. (matematički diktat)

1) Navedite koji od sljedećih događaja su nemogući, koji su pouzdani, a koji su slučajni:

Fudbalska utakmica "Spartak" - "Dinamo" završiće se remijem. (slučajno)

Osvojit ćete učešćem u win-win lutriji (pouzdano)

Snijeg će padati u ponoć, a sunce će zasjati 24 sata kasnije. (nemoguće)

Sutra će biti test iz matematike. (slučajno)

Bićete izabrani za predsednika Sjedinjenih Država. (nemoguće)

Bićete izabrani za predsednika Rusije. (slučajno)

2) Kupili ste televizor u prodavnici, za koji proizvođač daje dvogodišnju garanciju. Koji od sljedećih događaja su nemogući, koji su slučajni, koji su pouzdani:

Televizor se neće pokvariti godinu dana. (slučajno)

TV se neće pokvariti dvije godine. (slučajno)

Nećete morati da plaćate popravke televizora dve godine. (pouzdan)

Televizor će se pokvariti u trećoj godini. (slučajno)

3) Autobus koji prevozi 15 putnika mora napraviti 10 zaustavljanja. Koji od sljedećih događaja su nemogući, koji su slučajni, koji su pouzdani:

Svi putnici će izaći iz autobusa na različitim stanicama. (nemoguće)

Svi putnici će izaći na istom stajalištu. (slučajno)

Na svakoj stanici će bar neko sići. (slučajno)

Biće stajalište gde niko neće sići. (slučajno)

Paran broj putnika će sići na svim stajalištima. (nemoguće)

Neparan broj putnika će sići na svim stajalištima. (nemoguće)

Zadaća : str. 53 br. 960, 963, 965 (sami smislite dva pouzdana, slučajna i nemoguća događaja).

Druga lekcija.

Provjera domaćeg. (usmeno)

a) Objasnite šta su sigurni, slučajni i nemogući događaji.

b) Navedite koji od sljedećih događaja je pouzdan, koji je nemoguć, koji je slučajan:

Neće biti letnjih praznika. (nemoguće)

Sendvič će pasti puterom nadole. (slučajno)

Školska godina će se jednom završiti. (pouzdan)

Pitat će me sutra na času. (slučajno)

Danas ću upoznati crnu mačku. (slučajno)

№ 960. Otvorili ste ovaj udžbenik na bilo kojoj stranici i odabrali prvu imenicu koja se pojavila. Događaj je sljedeći:

a) u pisanju odabrane riječi postoji samoglasnik. ((pouzdan)

b) pravopis odabrane riječi sadrži slovo “o”. (slučajno)

c) u pisanju odabrane riječi nema samoglasnika. (nemoguće)

d) postoji meki znak u pisanju odabrane riječi. (slučajno)

№ 963. Opet igraš backgammon. Opišite sljedeći događaj:

a) igrač ne smije napraviti više od dva poteza. (nemoguće - kombinacijom najmanjih brojeva 1 + 1 igrač čini 4 poteza; kombinacija 1 + 2 daje 3 poteza; sve ostale kombinacije daju više od 3 poteza)

b) igrač mora napraviti više od dva poteza. (pouzdano - bilo koja kombinacija daje 3 ili više poteza)

c) igrač ne smije napraviti više od 24 poteza. (pouzdano - kombinacija najvećih brojeva 6 + 6 daje 24 poteza, a svi ostali daju manje od 24 poteza)

d) igrač mora napraviti dvocifreni broj poteza. (slučajno – na primjer, kombinacija 2 + 3 daje jednocifreni broj poteza: 5, a prevrtanje dvije četvorke daje dvocifreni broj poteza)

2. Rješavanje problema.

№ 964. U vrećici se nalazi 10 loptica: 3 plave, 3 bijele i 4 crvene. Opišite sljedeći događaj:

a) iz vreće su izvađene 4 loptice i sve su plave boje; (nemoguće)

b) iz vreće su izvađene 4 loptice i sve su crvene; (slučajno)

c) 4 loptice su izvađene iz vreće i sve su se pokazale različite boje; (nemoguće)

d) Iz vreće su izvađene 4 lopte, a među njima nije bilo crne lopte. (pouzdan)

Zadatak 1. Kutija sadrži 10 crvenih, 1 zelenu i 2 plave olovke. Dva predmeta se nasumično izvlače iz kutije. Koji od sljedećih događaja su nemogući, koji su slučajni, koji su sigurni:

a) dvije crvene olovke se vade (nasumično)

b) vade se dvije zelene ručke; (nemoguće)

c) dva plava olovka se vade; (slučajno)

d) vade se ručke dvije različite boje; (slučajno)

e) dvije ručke su uklonjene; (pouzdan)

f) dvije olovke su izvađene. (nemoguće)

Zadatak 2. Winnie the Pooh, Prase i svi - svi - svi sjedaju za okrugli sto da proslave svoj rođendan. Na koji broj od svih - svih - svih je događaj „Winnie the Pooh i Prase koji sjede jedno do drugog” pouzdan, a na kojem broju je slučajan?

(ako postoji samo 1 od svih - svih - svih, onda je događaj pouzdan, ako ih ima više od 1, onda je slučajan).

Zadatak 3. Među 100 dobrotvornih lutrijskih listića, dobitnih je 20. Koliko tiketa treba kupiti da bi događaj „nećete osvojiti ništa“ bio nemoguć?

Zadatak 4. U razredu ima 10 dječaka i 20 djevojčica. Koji od sljedećih događaja su nemogući za ovu klasu, koji su slučajni, koji su pouzdani

U razredu su dvije osobe koje su rođene u različitim mjesecima. (slučajno)

U razredu su dvije osobe koje su rođene u istom mjesecu. (pouzdan)

U razredu su dva dječaka koji su rođeni u istom mjesecu. (slučajno)

U razredu su dvije djevojčice koje su rođene u istom mjesecu. (pouzdan)

Svi dječaci su rođeni u različitim mjesecima. (pouzdan)

Sve djevojčice su rođene u različitim mjesecima. (slučajno)

U istom mjesecu su rođeni dječak i djevojčica. (slučajno)

Tu su dječak i djevojčica rođeni u različitim mjesecima. (slučajno)

Zadatak 5. U kutiji se nalaze 3 crvene, 3 žute i 3 zelene lopte. Nasumce izvlačimo 4 loptice. Razmotrite događaj „Među izvučenim kuglicama bit će loptice tačno M boja.“ Za svako M od 1 do 4 odredite o kakvom se događaju radi - nemogućom, pouzdanom ili slučajnom i popunite tabelu:

Samostalan rad.

Iopcija

a) rođendan vašeg prijatelja je manji od 32;

c) sutra će biti test iz matematike;

d) Sledeće godine prvi sneg u Moskvi pada u nedelju.

Bacanje kocke. Opišite događaj:

a) kocka će, nakon što je pala, stajati na svojoj ivici;

b) pojaviće se jedan od brojeva: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

c) pojaviće se broj 6;

d) broj koji je višestruki od 7 će biti bačen.

Kutija sadrži 3 crvene, 3 žute i 3 zelene kuglice. Opišite događaj:

a) sve izvučene loptice su iste boje;

b) sve izvučene lopte su različitih boja;

c) među izvučenim loptama ima loptica različitih boja;

c) među izvučenim kuglicama nalazi se crvena, žuta i zelena kugla.

IIopcija

Opišite dotični događaj kao pouzdan, nemoguć ili slučajan:

a) sendvič koji padne sa stola će pasti licem na pod;

b) snijeg će padati u Moskvi u ponoć, a nakon 24 sata će zasjati sunce;

c) dobit ćete učešćem u dobitnoj lutriji;

d) iduće godine u maju će se začuti prva proljetna grmljavina.

Svi dvocifreni brojevi su ispisani na karticama. Jedna karta se bira nasumično. Opišite događaj:

a) na kartici je bila nula;

b) na kartici je bio broj koji je bio višekratnik 5;

c) na kartici je bio broj koji je bio višestruki od 100;

d) na kartici je bio broj veći od 9 i manji od 100.

Kutija sadrži 10 crvenih, 1 zelenu i 2 plave olovke. Dva predmeta se nasumično izvlače iz kutije. Opišite događaj:

a) dva plava olovka se vade;

b) izvade se dvije crvene olovke;

c) vade se dvije zelene ručke;

d) zelena i crna ručka se vade.

Zadaća: 1). Smislite dva pouzdana, slučajna i nemoguća događaja.

2). Zadatak . U kutiji se nalaze 3 crvene, 3 žute i 3 zelene lopte. Nasumce izvlačimo N loptica. Uzmite u obzir događaj „među izvučenim kuglicama biće loptice tačno tri boje“. Za svako N od 1 do 9 odredite o kakvom se događaju radi - nemogućom, pouzdanom ili slučajnom i popunite tabelu:

Kombinatorni problemi.

Prva lekcija

Provjera domaćeg. (usmeno)

a) provjeravamo probleme na koje su učenici došli.

b) dodatni zadatak.

Čitam odlomak iz knjige V. Levšina „Tri dana u Karlikaniji“.

„Najpre su, uz zvuke glatkog valcera, brojevi formirali grupu: 1 + 3 + 4 + 2 = 10. Zatim su mladi klizači počeli da se menjaju, formirajući sve više novih grupa: 2 + 3 + 4 + 1 = 10

3 + 1 + 2 + 4 = 10

4 + 1 + 3 + 2 = 10

1 + 4 + 2 + 3 = 10, itd.

To se nastavilo sve dok se klizači nisu vratili na početnu poziciju.”

Koliko puta su mijenjali mjesta?

Danas ćemo na času naučiti kako riješiti takve probleme. Zovu se kombinatorski.

3. Proučavanje novog gradiva.

Zadatak 1. Koliko se dvocifrenih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 2, 3?

Rješenje: 11, 12, 13

31, 32, 33. Ukupno 9 brojeva.

Prilikom rješavanja ovog problema pretražili smo sve moguće opcije ili, kako se obično kaže u ovim slučajevima. Sve moguće kombinacije. Stoga se takvi problemi nazivaju kombinatorski. Moguće (ili nemoguće) opcije u životu morate često računati, pa je korisno upoznati se s kombinatornim problemima.

№ 967. Nekoliko zemalja odlučilo je koristiti simbole za svoju nacionalnu zastavu u obliku tri horizontalne pruge iste širine u različitim bojama - bijeloj, plavoj, crvenoj. Koliko zemalja može koristiti takve simbole, pod uslovom da svaka država ima svoju zastavu?

Rješenje. Pretpostavimo da je prva pruga bijela. Tada druga traka može biti plava ili crvena, a treća traka, redom, crvena ili plava. Imamo dvije opcije: bijela, plava, crvena ili bijela, crvena, plava.

Neka sada prva pruga bude plava, onda opet imamo dvije opcije: bijela, crvena, plava ili plava, crvena, bijela.

Neka prva pruga bude crvena, onda postoje još dvije opcije: crvena, bijela, plava ili crvena, plava, bijela.

Bilo je ukupno 6 mogućih opcija. Ovu zastavu može koristiti 6 zemalja.

Dakle, prilikom rješavanja ovog problema tražili smo način da nabrojimo moguće opcije. U mnogim slučajevima, ispostavilo se da je korisno sastaviti sliku - dijagram nabrajanja opcija. Ovo je, prvo, jasno, a drugo, omogućava nam da sve uzmemo u obzir i da ništa ne propustimo.

Ovaj dijagram se također naziva stablo mogućih opcija.

Naslovna strana

Druga pruga

Treća traka

Dobivena kombinacija

№ 968. Koliko se dvocifrenih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 2, 4, 6, 8?

Rješenje. Za dvocifrene brojeve koji nas zanimaju prvo mjesto može biti bilo koja od zadatih cifara, osim 0. Ako na prvo mjesto stavimo broj 2, onda bilo koja od datih cifara može biti na drugom mjestu. Dobićete pet dvocifrenih brojeva: 2.,22, 24, 26, 28. Isto tako, biće pet dvocifrenih brojeva sa prvom cifrom 4, pet dvocifrenih brojeva sa prvom cifrom 6 i pet dvocifrenih brojeva. cifre sa prvom cifrom 8.

Odgovor: Biće ukupno 20 brojeva.

Hajde da napravimo stablo mogućih opcija za rešavanje ovog problema.

Dvostruke brojke

Prva cifra

Druga cifra

Primljeni brojevi

20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,

40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.

Riješite sljedeće probleme konstruiranjem stabla mogućih opcija.

№ 971. Rukovodstvo određene zemlje odlučilo je da njena nacionalna zastava izgleda ovako: na jednobojnoj pravokutnoj pozadini, u jednom od uglova postavljen je krug različite boje. Odlučeno je da se odaberu boje između tri moguće: crvena, žuta, zelena. Koliko varijanti ove zastave?

postoji? Na slici su prikazane neke od mogućih opcija.

Odgovor: 24 opcije.

№ 973. a) Koliko se trocifrenih brojeva može sastaviti od brojeva 1,3,5,? (27 brojeva)

b) Koliko se trocifrenih brojeva može sastaviti od brojeva 1,3, 5, s tim da se brojevi ne ponavljaju? (6 brojeva)

№ 979. Savremeni petobojci učestvuju u takmičenjima u pet sportova tokom dva dana: preskakanje, mačevanje, plivanje, streljaštvo i trčanje.

a) Koliko postoji opcija za redosled popunjavanja vrsta takmičenja? (120 opcija)

b) Koliko postoji opcija za redosled događaja takmičenja, ako se zna da bi trebalo da se održi poslednji događaj? (24 opcije)

c) Koliko postoji opcija za redosled takmičarskih disciplina ako se zna da poslednja disciplina treba da bude trčanje, a prva preskakanje? (6 opcija)

№ 981. Dvije urne sadrže po pet kuglica u pet različitih boja: bijeloj, plavoj, crvenoj, žutoj, zelenoj. Iz svake urne se izvlači po jedna kugla.

a) koliko različitih kombinacija izvučenih lopti postoji (kombinacije poput “bijelo - crveno” i “crveno-bijelo” se smatraju istim)?

(15 kombinacija)

b) Koliko ima kombinacija u kojima su izvučene kuglice iste boje?

(5 kombinacija)

c) koliko kombinacija ima u kojima su izvučene kuglice različitih boja?

(15 – 5 = 10 kombinacija)

Zadaća: 54, br. 969, 972, sami smislite kombinatorni problem.

№ 969. Nekoliko zemalja odlučilo je koristiti simbole za svoju nacionalnu zastavu u obliku tri okomite pruge iste širine u različitim bojama: zelenoj, crnoj, žutoj. Koliko zemalja može koristiti takve simbole, pod uslovom da svaka država ima svoju zastavu?

№ 972. a) Koliko se dvocifrenih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 3, 5, 7, 9?

b) Koliko se dvocifrenih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 3, 5, 7, 9, s tim da se brojevi ne ponavljaju?

Druga lekcija

Provjera domaćeg. a) br. 969 i br. 972a) i br. 972b) - napravite stablo mogućih opcija na ploči.

b) usmeno provjeravamo obavljene zadatke.

Rješavanje problema.

Dakle, prije ovoga smo naučili kako riješiti kombinatorne probleme koristeći stablo opcija. Je li ovo dobar način? Vjerovatno da, ali vrlo glomazno. Pokušajmo drugačije riješiti zadatak za domaći zadatak br. 972. Ko može pretpostaviti kako se to može učiniti?

odgovor: Za svaku od pet boja majica postoje 4 boje gaćica. Ukupno: 4 * 5 = 20 opcija.

№ 980. Urne sadrže po pet kuglica u pet različitih boja: bijeloj, plavoj, crvenoj, žutoj, zelenoj. Iz svake urne se izvlači po jedna kugla. Opišite sljedeći događaj kao siguran, slučajan ili nemoguć:

a) izvađene lopte različitih boja; (slučajno)

b) izvađene loptice iste boje; (slučajno)

c) crne i bijele kuglice se izvlače; (nemoguće)

d) izvlače se dvije loptice koje su obojene u jednu od sljedećih boja: bijela, plava, crvena, žuta, zelena. (pouzdan)

№ 982. Grupa turista planira da pešači rutom Antonovo - Borisovo - Vlasovo - Gribovo. Od Antonova do Borisova možete splavariti rijekom ili prošetati. Od Borisova do Vlasova možete hodati ili voziti bicikl. Od Vlasova do Gribova možete plivati ​​uz reku, voziti bicikl ili šetati. Od koliko opcija za planinarenje turisti mogu birati? Koliko planinarskih opcija turisti mogu izabrati, pod uslovom da moraju koristiti bicikle na barem jednom dijelu rute?

(12 opcija ruta, od kojih 8 biciklima)

Samostalan rad.

1 opcija

a) Koliko se trocifrenih brojeva može sastaviti od cifara: 0, 1, 3, 5, 7?

b) Koliko se trocifrenih brojeva može sastaviti od cifara: 0, 1, 3, 5, 7, s tim da se brojevi ne ponavljaju?

Atos, Porthos i Aramis imaju samo mač, bodež i pištolj.

a) Na koliko načina se mušketiri mogu naoružati?

b) Koliko opcija oružja postoji ako Aramis mora da rukuje mačem?

c) Koliko opcija oružja postoji ako Aramis mora da rukuje mačem, a Portos pištoljem?

Negdje je Bog Gavranu poslao komad sira, kao i feta sir, kobasicu, bijeli i crni hljeb. Sjedajući na smreku, vrana je bila spremna za doručak, ali je počela razmišljati: na koliko načina se mogu napraviti sendviči od ovih proizvoda?

Opcija 2

a) Koliko se trocifrenih brojeva može sastaviti od cifara: 0, 2, 4, 6, 8?

b) Koliko se trocifrenih brojeva može sastaviti od cifara: 0, 2, 4, 6, 8, s tim da se cifre ne ponavljaju?

Grof Monte Cristo je odlučio da princezi Hayde pokloni minđuše, ogrlicu i narukvicu. Svaki komad nakita mora sadržavati jednu od sljedećih vrsta dragog kamenja: dijamante, rubine ili granate.

a) Koliko postoji opcija za kombinovanje nakita od dragog kamena?

b) Koliko opcija nakita postoji ako bi minđuše trebale biti dijamantske?

c) Koliko opcija nakita postoji ako naušnice budu dijamantske, a narukvica od granata?

Za doručak možete odabrati lepinju, sendvič ili medenjake sa kafom ili kefirom. Koliko opcija za doručak možete kreirati?

Zadaća : br. 974, 975. (sastavljanjem stabla opcija i korištenjem pravila množenja)

№ 974 . a) Koliko se trocifrenih brojeva može sastaviti od brojeva 0, 2, 4?

b) Koliko se trocifrenih brojeva može sastaviti od brojeva 0, 2, 4, s tim da se brojevi ne ponavljaju?

№ 975 . a) Koliko se trocifrenih brojeva može sastaviti od brojeva 1,3, 5,7?

b) Koliko se trocifrenih brojeva može sastaviti od brojeva 1,3, 5,7 pod uslovom. Koje brojeve ne treba ponavljati?

Brojevi zadataka preuzeti iz udžbenika

"Matematika-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich, 2004.

1.1. Neke informacije iz kombinatorike

1.1.1. Placements

Razmotrimo najjednostavnije koncepte povezane s odabirom i rasporedom određenog skupa objekata.
Brojanje načina na koje se ove radnje mogu izvesti često se radi prilikom rješavanja vjerojatnosnih problema.
Definicija. Smještaj od n elementi po k (k ≤n) je bilo koji uređeni podskup k elemenata skupa koji se sastoji od n razni elementi.
Primjer. Sljedeći nizovi brojeva su položaji 2 elementa iz 3 elementa skupa (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Imajte na umu da se položaji razlikuju po redoslijedu elemenata koji su u njih uključeni i njihovom sastavu. Plasmani 12 i 21 sadrže iste brojeve, ali njihov redoslijed je drugačiji. Stoga se ovi plasmani smatraju različitim.
Broj različitih plasmana od n elementi po k se označava i izračunava po formuli:
,
Gdje n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(čita " n- faktorijal").
Broj dvocifrenih brojeva koji se mogu napraviti od cifara 1, 2, 3, pod uslovom da se nijedna cifra ne ponavlja jednaka: .

1.1.2. Preuređenje

Definicija. Permutacije iz n elementi se nazivaju takvim položajima n elementi koji se razlikuju samo po lokaciji elemenata.
Broj permutacija od n elementi P n izračunato po formuli: P n=n!
Primjer. Na koliko načina se 5 ljudi može postaviti u red? Broj načina je jednak broju permutacija 5 elemenata, tj.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Definicija. Ako među n elementi k identične, a zatim preuređenje ovih n elemenata naziva se permutacija s ponavljanjima.
Primjer. Neka 2 od 6 knjiga budu identične. Svaki raspored svih knjiga na polici je preuređenje s ponavljanjem.
Broj različitih permutacija s ponavljanjima (od n elemente, uključujući k identičan) se izračunava pomoću formule: .
U našem primjeru, broj načina na koje se knjige mogu rasporediti na policu je: .

1.1.3. Kombinacije

Definicija. Kombinacije od n elementi po k takvi plasmani se nazivaju n elementi po k, koji se međusobno razlikuju u najmanje jednom elementu.
Broj različitih kombinacija n elementi po k se označava i izračunava po formuli: .
Po definiciji, 0!=1.
Sljedeća svojstva se primjenjuju na kombinacije:
1.
2.
3.
4.
Primjer. Ima 5 cvjetova različitih boja. Za buket su odabrana 3 cvijeta. Broj različitih buketa od 3 od 5 cvijeća jednak je: .

1.2. Slučajni događaji

1.2.1. Događaji

Poznavanje stvarnosti u prirodnim naukama nastaje kao rezultat testova (eksperimenta, zapažanja, iskustva).
Test ili iskustvo je implementacija određenog skupa uslova koji se može reprodukovati proizvoljno veliki broj puta.
Slučajno je događaj koji se može ili ne mora dogoditi kao rezultat nekog testa (iskustva).
Dakle, događaj se smatra rezultatom testa.
Primjer. Bacanje novčića je test. Pojava orla tokom bacanja je događaj.
Događaji koje posmatramo razlikuju se po stepenu mogućnosti njihovog nastanka i po prirodi međusobne povezanosti.
Događaj se zove pouzdan , ako je sigurno da će se pojaviti kao rezultat ovog testa.
Primjer. Student koji na ispitu dobije pozitivnu ili negativnu ocjenu je pouzdan događaj ako se ispit odvija po uobičajenim pravilima.
Događaj se zove nemoguće , ako se ne može dogoditi kao rezultat ovog testa.
Primjer. Uklanjanje bijele kugle iz urne koja sadrži samo obojene (nebijele) kuglice je nemoguć događaj. Imajte na umu da pod drugim eksperimentalnim uvjetima nije isključena pojava bijele kuglice; dakle, ovaj događaj je nemoguć samo pod uslovima našeg iskustva.
U nastavku ćemo slučajne događaje označavati velikim latiničnim slovima A, B, C... Pouzdani događaj ćemo označiti slovom Ω, a nemoguć događaj Ø.
Pozivaju se dva ili više događaja podjednako moguće u datom testu ako postoji razlog za vjerovanje da nijedan od ovih događaja nije više ili manje moguć od ostalih.
Primjer. Sa jednim bacanjem kocke, pojavljivanje 1, 2, 3, 4, 5 i 6 bodova su podjednako mogući događaji. Pretpostavlja se, naravno, da su kockice napravljene od homogenog materijala i pravilnog oblika.
Dva događaja se zovu nekompatibilno u datom testu, ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugog, i joint inače.
Primjer. Kutija sadrži standardne i nestandardne dijelove. Uzmimo jedan detalj za sreću. Pojava standardnog dijela eliminira izgled nestandardnog dijela. Ovi događaji su nekompatibilni.
Formira se nekoliko događaja kompletna grupa događaja u datom testu, ako se barem jedan od njih sigurno javlja kao rezultat ovog testa.
Primjer. Događaji iz primjera čine potpunu grupu jednako mogućih i parno nekompatibilnih događaja.
Zovu se dva nekompatibilna događaja koji čine kompletnu grupu događaja u datom ispitivanju suprotnih događaja.
Ako je jedan od njih označen od A, onda se drugi obično označava sa (čitaj „ne A»).
Primjer. Pogodak i promašaj sa jednim udarcem u metu su suprotni događaji.

1.2.2. Klasična definicija vjerovatnoće

Vjerovatnoća događaja – brojčana mjera mogućnosti njenog nastanka.
Događaj A pozvao povoljno događaj IN ako kad god dođe do nekog događaja A, događaj dolazi IN.
Događaji A 1 , A 2 , ..., An formu dijagram slučaja , ako oni:
1) podjednako moguće;
2) parno nekompatibilni;
3) formirati kompletnu grupu.
U shemi slučajeva (i samo u ovoj shemi) odvija se klasična definicija vjerovatnoće P(A) događaji A. Ovdje je slučaj svaki od događaja koji pripada odabranoj kompletnoj grupi jednako mogućih i po parovima nekompatibilnih događaja.
Ako n je broj svih slučajeva u šemi, i m– broj slučajeva koji pogoduju događaju A, To vjerovatnoća događaja A određuje se jednakošću:

Sljedeća svojstva proizlaze iz definicije vjerovatnoće:
1. Vjerovatnoća pouzdanog događaja jednaka je jedan.
Zaista, ako je događaj siguran, onda svaki slučaj u shemi slučajeva favorizira događaj. U ovom slučaju m = n i zbog toga

2. Vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula.
Zaista, ako je događaj nemoguć, onda nijedan slučaj u obrascu slučajeva ne favorizira događaj. Zbog toga m=0 i stoga

Vjerovatnoća slučajnog događaja je pozitivan broj između nule i jedan.
Zaista, samo dio ukupnog broja slučajeva u obrascu slučajeva favorizira slučajni događaj. Stoga 0<m<n, što znači 0<m/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Dakle, vjerovatnoća bilo kog događaja zadovoljava nejednakosti
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Trenutno su svojstva vjerovatnoće definirana u obliku aksioma koje je formulirao A.N. Kolmogorov.
Jedna od glavnih prednosti klasične definicije vjerovatnoće je mogućnost direktnog izračunavanja vjerovatnoće događaja, tj. bez pribjegavanja eksperimentima, koji su zamijenjeni logičkim zaključivanjem.

Problemi direktnog izračunavanja vjerovatnoća

Problem 1.1. Kolika je vjerovatnoća parnog broja poena (događaj A) kada se baci kocka?
Rješenje. Razmotrite događaje Ai- odustao i naočale, i= 1, 2, …, 6. Očigledno je da ovi događaji čine obrazac slučajeva. Zatim broj svih slučajeva n= 6. Slučajevi pogoduju bacanju parnog broja bodova A 2 , A 4 , A 6, tj. m= 3. Onda .
Problem 1.2. U urni se nalazi 5 bijelih i 10 crnih kuglica. Kuglice se dobro izmiješaju, a zatim se 1 loptica vadi nasumično. Kolika je vjerovatnoća da će izvučena lopta biti bijela?
Rješenje. Postoji ukupno 15 slučajeva koji čine obrazac slučajeva. Štaviše, očekivani događaj A– izgled bele lopte favorizuje njih 5, dakle .
Problem 1.3. Dete se igra sa šest slova abecede: A, A, E, K, R, T. Nađite verovatnoću da će uspeti da nasumično formira reč KOČIJA (događaj A).
Rješenje. Rješenje je komplicirano činjenicom da među slovima postoje identična - dva slova "A". Dakle, broj svih mogućih slučajeva u datom testu jednak je broju permutacija sa ponavljanjem od 6 slova:
.
Ovi slučajevi su podjednako mogući, parno nedosledni i čine kompletnu grupu događaja, tj. formira dijagram slučajeva. Samo jedna šansa ide u prilog događaju A. Zbog toga
.
Problem 1.4. Tanja i Vanja su se dogovorili da Novu godinu dočekaju u društvu od 10 ljudi. Oboje su zaista želeli da sede jedno pored drugog. Kolika je vjerovatnoća da će im se želja ispuniti ako je uobičajeno da se mjesta među prijateljima dijele žrijebom?
Rješenje. Označimo sa A događaj "ispunjenje Tanjinih i Vanjinih želja." 10 ljudi može sjediti za stolom od 10! Različiti putevi. Koliko ovih n= 10! jednako mogući načini su povoljni za Tanju i Vanju? Tanja i Vanja, sjedeći jedno pored drugog, mogu zauzeti 20 različitih pozicija. U isto vrijeme, osam njihovih prijatelja može sjediti za stolom od 8! na različite načine, dakle m= 20∙8!. dakle,
.
Problem 1.5. Grupa od 5 žena i 20 muškaraca bira tri delegata. Uz pretpostavku da svaka prisutna osoba može biti izabrana sa jednakom vjerovatnoćom, pronađite vjerovatnoću da će biti izabrane dvije žene i jedan muškarac.
Rješenje. Ukupan broj jednako mogućih ishoda testa jednak je broju načina na koji se mogu izabrati tri delegata od 25 osoba, tj. . Izbrojimo sada broj povoljnih slučajeva, tj. broj slučajeva u kojima se dešava interesni događaj. Muški delegat se može izabrati na dvadeset načina. Istovremeno, preostala dva delegata moraju biti žene, a možete izabrati dvije žene od pet. Dakle, . Zbog toga
.
Problem 1.6.Četiri loptice su nasumično razbacane po četiri rupe, svaka loptica upadne u jednu ili drugu rupu sa jednakom vjerovatnoćom i nezavisno od ostalih (nema prepreka da više loptica upadne u istu rupu). Nađite vjerovatnoću da će u jednoj od rupa biti tri lopte, jedna u drugoj, a da u druge dvije rupe neće biti loptice.
Rješenje. Ukupan broj slučajeva n=4 4 . Broj načina na koji se može izabrati jedna rupa u kojoj će biti tri loptice, . Broj načina na koji možete odabrati rupu u kojoj će biti jedna lopta, . Broj načina na koji se tri od četiri loptice mogu odabrati za postavljanje u prvu rupu je . Ukupan broj povoljnih slučajeva. Vjerovatnoća događaja:
Problem 1.7. U kutiji se nalazi 10 identičnih loptica, označenih brojevima 1, 2, ..., 10. Šest loptica se izvlači za sreću. Odrediti vjerovatnoću da će među izvađenim kuglicama biti: a) kugla br. 1; b) lopte br. 1 i br. 2.
Rješenje. a) Ukupan broj mogućih elementarnih ishoda testa jednak je broju načina na koje se šest loptica može izdvojiti iz deset, tj.
Pronađimo broj ishoda koji favorizuju događaj koji nas zanima: među odabranih šest lopti nalazi se kuglica broj 1, pa prema tome preostalih pet lopti imaju različite brojeve. Broj takvih ishoda je očito jednak broju načina na koje se pet loptica može odabrati od preostalih devet, tj.
Tražena vjerovatnoća jednaka je omjeru broja ishoda povoljnih za dotični događaj i ukupnog broja mogućih elementarnih ishoda:
b) Broj ishoda koji pogoduju događaju koji nas zanima (među odabranim kuglicama su kuglice br. 1 i br. 2, dakle četiri lopte imaju različite brojeve) jednak je broju načina na koje četiri lopte mogu biti izvučen iz preostalih osam, tj. Potrebna vjerovatnoća

1.2.3. Statistička vjerovatnoća

Statistička definicija vjerovatnoće se koristi kada ishodi eksperimenta nisu jednako mogući.
Relativna učestalost događaja A određuje se jednakošću:
,
Gdje m– broj ispitivanja u kojima je događaj A stiglo je n– ukupan broj izvršenih testova.
J. Bernoulli je dokazao da će se s neograničenim povećanjem broja eksperimenata relativna učestalost pojavljivanja događaja gotovo proizvoljno malo razlikovati od nekog konstantnog broja. Ispostavilo se da je ovaj konstantni broj vjerovatnoća da će se događaj dogoditi. Stoga je prirodno relativnu učestalost pojave događaja sa dovoljno velikim brojem pokušaja nazvati statističkom vjerovatnoćom, za razliku od ranije uvedene vjerovatnoće.
Primjer 1.8. Kako približno odrediti broj riba u jezeru?
Pustite u jezero X riba Bacimo mrežu i, recimo, nađemo u njoj n riba Svaku od njih obilježavamo i puštamo nazad. Nekoliko dana kasnije, po istom vremenu i na istom mjestu, bacili smo istu mrežu. Pretpostavimo da u njemu nalazimo m riba, među kojima k tagged. Neka događaj A- “ulovljena riba je označena.” Zatim po definiciji relativne frekvencije.
Ali ako je u jezeru X ribu i pustili smo je u nju n označeno, zatim .
Jer R * (A) » R(A), To .

1.2.4. Operacije na događajima. Teorema sabiranja vjerovatnoće

Iznos, ili unija više događaja, je događaj koji se sastoji od pojave najmanje jednog od ovih događaja (u istom ispitivanju).
Suma A 1 + A 2 + … + An označeno kako slijedi:
ili .
Primjer. Bacaju se dvije kockice. Neka događaj A sastoji se od bacanja 4 poena na 1 kocku i događaja IN– kada se 5 poena baci na drugu kockicu. Događaji A I IN joint. Stoga događaj A +IN sastoji se od bacanja 4 boda na prvom kocku, ili 5 bodova na drugom kocku, ili 4 boda na prvom kocku i 5 bodova na drugom u isto vrijeme.
Primjer. Događaj A– dobitak za 1 pozajmicu, događaj IN– dobitak na 2. pozajmici. Onda događaj A+B– osvajanje najmanje jednog kredita (eventualno dva odjednom).
Posao ili ukrštanje nekoliko događaja je događaj koji se sastoji od zajedničke pojave svih ovih događaja (u istom ispitivanju).
Posao IN događaji A 1 , A 2 , …, An označeno kako slijedi:
.
Primjer. Događaji A I IN sastoji se od uspješnog prolaska prvog, odnosno drugog kruga po prijemu na institut. Onda događaj A×B sastoji se od uspješnog završetka oba kruga.
Koncepti zbira i proizvoda događaja imaju jasnu geometrijsku interpretaciju. Neka događaj A postoji tačka koja ulazi u to područje A, i događaj IN– tačka ulaska u područje IN. Onda događaj A+B postoji tačka koja ulazi u zajednicu ovih oblasti (slika 2.1) i događaj AIN postoji tačka koja pogađa presek ovih oblasti (slika 2.2).

Rice. 2.1 Sl. 2.2
Teorema. Ako događaji A i(i = 1, 2, …, n) su parno nedosljedni, tada je vjerovatnoća zbira događaja jednaka zbroju vjerovatnoća ovih događaja:
.
Neka A I Ā – suprotni događaji, tj. A + Ā= Ω, gdje je Ω pouzdan događaj. Iz teoreme sabiranja slijedi da
R(Ω) = R(A) + R(Ā ) = 1, dakle
R(Ā ) = 1 – R(A).
Ako događaji A 1 i A 2 su kompatibilni, tada je vjerovatnoća zbira dva istovremena događaja jednaka:
R(A 1 + A 2) = R(A 1) + R(A 2) – P( A 1× A 2).
Teoreme sabiranja vjerovatnoće nam omogućavaju da pređemo sa direktnog izračunavanja vjerovatnoća na određivanje vjerovatnoća nastanka složenih događaja.
Problem 1.8. Strijelac ispaljuje jedan hitac u metu. Verovatnoća za postizanje 10 poena (događaj A), 9 bodova (događaj IN) i 8 bodova (događaj WITH) jednaki su 0,11, respektivno; 0,23; 0.17. Pronađite vjerovatnoću da će strijelac jednim udarcem postići manje od 8 poena (događaj D).
Rješenje. Pređimo na suprotan događaj - jednim udarcem strijelac će postići najmanje 8 poena. Događaj se dešava ako se dogodi A ili IN, ili WITH, tj. . Od događaja A, B, WITH su parno nekonzistentni, onda, prema teoremi sabiranja,
, gdje .
Problem 1.9. Iz ekipe brigade, koju čini 6 muškaraca i 4 žene, biraju se dvije osobe za sindikalnu konferenciju. Kolika je vjerovatnoća da će među odabranima barem jedna žena (događaj A).
Rješenje. Ako dođe do nekog događaja A, tada će se definitivno dogoditi jedan od sljedećih nekompatibilnih događaja: IN– “muškarac i žena su izabrani”; WITH- “Odabrane su dvije žene.” Stoga možemo napisati: A=B+C. Nađimo vjerovatnoću događaja IN I WITH. Dvije od 10 osoba mogu se izabrati na različite načine. Dvije od 4 žene mogu biti odabrane na različite načine. Muškarac i žena se mogu odabrati na 6 × 4 načina. Onda . Od događaja IN I WITH su nedosljedni, dakle, prema teoremi sabiranja,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Problem 1.10. Na polici biblioteke nasumično je raspoređeno 15 udžbenika, od kojih pet ukoričeno. Bibliotekar nasumce uzima tri udžbenika. Naći vjerovatnoću da će barem jedan od preuzetih udžbenika biti uvezan (događaj A).
Rješenje. Prvi način. Zahtjev - barem jedan od tri ukoričena udžbenika - bit će ispunjen ako se dogodi bilo koji od sljedeća tri nekompatibilna događaja: IN– jedan ukoričeni udžbenik, WITH– dva ukoričena udžbenika, D– tri ukoričena udžbenika.
Događaj od interesa za nas A može se predstaviti kao zbir događaja: A=B+C+D. Prema teoremi sabiranja,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Nađimo vjerovatnoću događaja B, C I D(vidi kombinatorne šeme):

Predstavljajući ove vjerovatnoće u jednakosti (2.1), konačno dobijamo
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Drugi način. Događaj A(najmanje jedan od tri uzeta udžbenika je ukoričen) i Ā (nijedan od preuzetih udžbenika nije ukoričen) – suprotno, dakle P(A) + P(Ā) = 1 (zbir vjerovatnoća dva suprotna događaja je jednak 1). Odavde P(A) = 1 – P(Ā). Vjerovatnoća nastanka događaja Ā (nijedan od preuzetih udžbenika nije ukoričen)
Potrebna vjerovatnoća
P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Uslovna vjerovatnoća. Teorema množenja vjerovatnoće

Uslovna vjerovatnoća P(B/A) je vjerovatnoća događaja B, izračunata pod pretpostavkom da se događaj A već dogodio.
Teorema. Verovatnoća zajedničkog nastupa dva događaja jednaka je umnošku verovatnoće jednog od njih i uslovne verovatnoće drugog, izračunato pod pretpostavkom da se prvi događaj već dogodio:
P(A∙B) = P(A)∙P( IN/A). (2.2)
Dva događaja se nazivaju nezavisnim ako pojava jednog od njih ne mijenja vjerovatnoću pojave drugog, tj.
P(A) = P(A/B) ili P(B) = P(B/A). (2.3)
Ako događaji A I IN su nezavisni, onda iz formula (2.2) i (2.3) slijedi
P(A∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
Tačna je i suprotna izjava, tj. ako jednakost (2.4) vrijedi za dva događaja, onda su ti događaji nezavisni. Zaista, iz formula (2.4) i (2.2) slijedi
P(A∙B) = P(A)∙P(B) = P(A) × P(B/A), gdje P(A) = P(B/A).
Formula (2.2) se može generalizirati na slučaj konačnog broja događaja A 1 , A 2 ,…,A n:
P(A 1 ∙A 2 ∙…∙A n)=P(A 1)∙P(A 2 /A 1)∙P(A 3 /A 1 A 2)∙…∙P(A n/A 1 A 2 …A n -1).
Problem 1.11. Iz urne koja sadrži 5 bijelih i 10 crnih loptica izvlače se dvije kugle u nizu. Pronađite vjerovatnoću da su obje lopte bijele (događaj A).
Rješenje. Pogledajmo događaje: IN– prva izvučena loptica je bijela; WITH– druga izvučena lopta je bijela. Onda A = BC.
Eksperiment se može izvesti na dva načina:
1) sa povratkom: izvađena lopta se nakon fiksiranja boje vraća u urnu. U ovom slučaju događaji IN I WITH nezavisni:
P(A) = P(B)∙R(S) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) bez vraćanja: uklonjena lopta se stavlja u stranu. U ovom slučaju događaji IN I WITH zavisan:
P(A) = P(B)∙R(S/IN).
Za događaj IN uslovi su isti, i za WITH situacija se promenila. Desilo se IN, dakle u urni je ostalo 14 kuglica, uključujući 4 bijele.
Dakle, .
Problem 1.12. Od 50 sijalica, 3 su nestandardne. Pronađite vjerovatnoću da su dvije sijalice snimljene u isto vrijeme nestandardne.
Rješenje. Pogledajmo događaje: A– prva sijalica je nestandardna, IN– druga sijalica je nestandardna, WITH– obe sijalice su nestandardne. To je jasno C = A∙IN. Događaj A 3 slučaja od 50 mogućih su povoljna, tj. P(A) = 3/50. Ako je događaj A je već stigao, onda događaj IN dva slučaja od 49 mogućih su povoljna, tj. P(B/A) = 2/49. dakle,
.
Problem 1.13. Dva sportista nezavisno jedan od drugog gađaju istu metu. Verovatnoća da prvi sportista pogodi metu je 0,7, a drugi 0,8. Kolika je vjerovatnoća da će cilj biti pogođen?
Rješenje. Meta će biti pogođena ako je pogodi ili prvi strijelac, ili drugi, ili oboje, tj. desiće se događaj A+B, gdje je događaj A sastoji se od prvog sportaša koji pogodi metu i događaja IN- sekunda. Onda
P(A+IN)=P(A)+P(B)–P(A∙IN)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Problem 1.14.Čitaonica ima šest udžbenika iz teorije vjerovatnoće, od kojih su tri ukoričena. Bibliotekarka je nasumce uzela dva udžbenika. Naći vjerovatnoću da će dva udžbenika biti povezana.
Rješenje. Hajde da uvedemo oznake događaja : A– prvi uzeti udžbenik je ukoričen, IN– drugi udžbenik je ukoričen. Vjerovatnoća da je prvi udžbenik uvezan je
P(A) = 3/6 = 1/2.
Vjerovatnoća da je drugi udžbenik uvezan, pod uslovom da je prvi uzet udžbenik bio uvezan, tj. uslovna verovatnoća događaja IN, je ovako: P(B/A) = 2/5.
Željena vjerovatnoća da su oba udžbenika vezana, prema teoremi množenja vjerovatnoća događaja, jednaka je
P(AB) = P(A) ∙ P(B/A)= 1/2 · ∙ 2/5 = 0,2.
Problem 1.15. U radionici radi 7 muškaraca i 3 žene. Tri osobe su odabrane nasumično koristeći njihove brojeve osoblja. Pronađite vjerovatnoću da će sve odabrane osobe biti muškarci.
Rješenje. Hajde da predstavimo oznake događaja: A– prvi se bira muškarac, IN– drugi izabrani je muškarac, SA - Treći izabrani bio je muškarac. Verovatnoća da će muškarac biti prvi izabran je P(A) = 7/10.
Verovatnoća da je muškarac izabran drugi, pod uslovom da je muškarac već izabran prvi, tj. uslovna verovatnoća događaja IN sljedeći : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Verovatnoća da će muškarac biti izabran treći, s obzirom na to da su dva muškarca već izabrana, tj. uslovna verovatnoća događaja WITH je li ovo: P(C/AB) = 5/8.
Željena vjerovatnoća da će sve tri odabrane osobe biti muškarci P(ABC) = P(A) P(B/A) P(C/AB) = 7/10 · 2/3 · 5/8 = 7/24.

1.2.6. Formula ukupne vjerovatnoće i Bayesova formula

Neka B 1 , B 2 ,…, Bn– parno nekompatibilni događaji (hipoteze) i A– događaj koji se može dogoditi samo zajedno sa jednim od njih.
Obavijestite nas također P(B i) I P(A/B i) (i = 1, 2, …, n).
Pod ovim uslovima važe formule:
(2.5)
(2.6)
Formula (2.5) se zove formula ukupne vjerovatnoće . Izračunava vjerovatnoću događaja A(totalna vjerovatnoća).
Formula (2.6) se zove Bayesova formula . Omogućava vam da ponovo izračunate vjerovatnoće hipoteza ako je događaj A dogodilo.
Prilikom sastavljanja primjera zgodno je pretpostaviti da hipoteze čine potpunu grupu.
Problem 1.16. Korpa sadrži jabuke sa četiri stabla iste sorte. Od prve - 15% svih jabuka, od druge - 35%, od treće - 20%, od četvrte - 30%. Zrele jabuke su 99%, 97%, 98%, 95%.
a) Kolika je vjerovatnoća da će nasumično uzeta jabuka biti zrela (događaj A).
b) S obzirom da se slučajno uzeta jabuka pokaže zrelom, izračunajte vjerovatnoću da je sa prvog stabla.
Rješenje. a) Imamo 4 hipoteze:
B 1 – nasumično uzeta jabuka uzima se sa 1. drveta;
B 2 – nasumično uzeta jabuka uzima se sa 2. drveta;
B 3 – nasumično uzeta jabuka uzima se sa 3. drveta;
B 4 – nasumično uzeta jabuka se uzima sa 4. drveta.
Njihove vjerovatnoće prema uslovu: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Uslovne vjerovatnoće događaja A:
P(A/B 1) = 0,99; P(A/B 2) = 0,97; P(A/B 3) = 0,98; P(A/B 4) = 0,95.
Vjerovatnoća da će nasumično uzeta jabuka biti zrela nalazi se pomoću formule ukupne vjerovatnoće:
P(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)+P(B 4)∙P(A/B 4)=0,969.
b) Bayesova formula za naš slučaj izgleda ovako:
.
Problem 1.17. Bijela kugla se baci u urnu u kojoj se nalaze dvije kuglice, nakon čega se jedna kuglica nasumično izvlači. Nađite vjerovatnoću da će izvučena lopta biti bijela ako su sve moguće pretpostavke o početnom sastavu loptica (na osnovu boje) jednako moguće.
Rješenje. Označimo sa A događaj – izvučena je bijela lopta. Moguće su sljedeće pretpostavke (hipoteze) o početnom sastavu loptica: B 1– nema bijelih kuglica, U 2– jedna bela lopta, U 3- dve bele lopte.
Pošto postoje ukupno tri hipoteze, a zbir vjerovatnoća hipoteza je 1 (pošto čine kompletnu grupu događaja), onda je vjerovatnoća svake od hipoteza 1/3, tj.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Uslovna vjerovatnoća da će bela kugla biti izvučena, s obzirom da u urni u početku nije bilo bijelih loptica, P(A/B 1)=1/3. Uslovna vjerovatnoća da će bela kugla biti izvučena, s obzirom da je u urni u početku bila jedna bela kugla, P(A/B 2)=2/3. Uslovna vjerovatnoća da će bela kugla biti izvučena s obzirom da su u urni u početku bile dvije bijele lopte P(A/B 3)=3/ 3=1.
Pronalazimo potrebnu vjerovatnoću da će bela kugla biti izvučena koristeći formulu ukupne vjerovatnoće:
R(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Problem 1.18. Dvije mašine proizvode identične dijelove koji idu na zajednički transporter. Produktivnost prve mašine je dvostruko veća od druge. Prva mašina proizvodi u prosjeku 60% dijelova odličnog kvaliteta, a druga - 84%. Nasumično uzet dio sa montažne trake pokazao se odličnog kvaliteta. Nađite vjerovatnoću da je ovaj dio proizvela prva mašina.
Rješenje. Označimo sa A događaj - detalj odličnog kvaliteta. Mogu se napraviti dvije pretpostavke: B 1– dio je proizvela prva mašina, i (pošto prva mašina proizvodi dvostruko više dijelova od druge) P(A/B 1) = 2/3; B 2 – dio je proizveden drugom mašinom, i P(B 2) = 1/3.
Uslovna vjerovatnoća da će dio biti odličnog kvaliteta ako ga proizvede prva mašina, P(A/B 1)=0,6.
Uslovna vjerovatnoća da će dio biti odličnog kvaliteta ako ga proizvede druga mašina je P(A/B 1)=0,84.
Vjerovatnoća da će nasumično uzet dio biti odličnog kvaliteta, prema formuli ukupne vjerovatnoće, jednaka je
P(A)=P(B 1) ∙P(A/B 1)+P(B 2) ∙P(A/B 2)=2/3·0,6+1/3·0,84 = 0,68.
Potrebna vjerovatnoća da je odabrani odličan dio proizveden na prvoj mašini, prema Bayesovoj formuli, jednaka je

Problem 1.19. Postoje tri serije delova, od kojih svaka sadrži 20 delova. Broj standardnih dijelova u prvoj, drugoj i trećoj seriji je 20, 15, 10. Dio koji se pokazao kao standardni je nasumično uklonjen iz odabrane serije. Dijelovi se vraćaju u seriju, a dio se nasumično uklanja iz iste serije, što se također ispostavlja kao standard. Pronađite vjerovatnoću da su dijelovi uklonjeni iz treće serije.
Rješenje. Označimo sa A događaj - u svakom od dva pokušaja (sa povratkom) preuzet je standardni dio. Mogu se postaviti tri pretpostavke (hipoteze): B 1 – dijelovi se uklanjaju iz prve serije, IN 2 – dijelovi se uklanjaju iz druge serije, IN 3 – dijelovi se uklanjaju iz treće serije.
Dijelovi su izvađeni nasumično iz date serije, tako da su vjerovatnoće hipoteza iste: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Nađimo uslovnu vjerovatnoću P(A/B 1), tj. vjerovatnoća da će dva standardna dijela biti uzastopno uklonjena iz prve serije. Ovaj događaj je pouzdan, jer u prvoj seriji svi dijelovi su standardni, dakle P(A/B 1) = 1.
Nađimo uslovnu vjerovatnoću P(A/B 2), tj. vjerovatnoća da će dva standardna dijela biti uzastopno uklonjena (i vraćena) iz druge serije: P(A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Nađimo uslovnu vjerovatnoću P(A/B 3), tj. vjerovatnoća da će dva standardna dijela biti uzastopno uklonjena (i vraćena) iz treće serije: P(A/B 3) = 10/20 · 10/20 = 1/4.
Željena vjerovatnoća da su oba ekstrahirana standardna dijela uzeta iz treće serije, prema Bayesovoj formuli, jednaka je

1.2.7. Ponovljeni testovi

Ako se izvrši nekoliko testova, i vjerovatnoća događaja A u svakom testu ne zavisi od ishoda drugih testova, onda se takvi testovi nazivaju nezavisno u odnosu na događaj A. U različitim nezavisnim suđenjima događaj A mogu imati ili različite vjerovatnoće ili istu vjerovatnoću. Dalje ćemo razmotriti samo takve nezavisne testove u kojima je događaj A ima istu vjerovatnoću.
Neka se proizvede P nezavisnih suđenja, u svakom od kojih događaj A može se pojaviti ili ne mora. Složimo se da pretpostavimo da je vjerovatnoća događaja A u svakom ogledu je isti, odnosno jednak R. Dakle, vjerovatnoća da se događaj ne dogodi A u svakom ogledu je takođe konstantan i jednak 1– R. Ova probabilistička šema se zove Bernoullijeva šema. Postavimo sebi zadatak da izračunamo vjerovatnoću da kada P Bernoulli test događaj Aće se ostvariti k jednom ( k– broj uspjeha) i stoga se neće ostvariti P- jednom. Važno je naglasiti da nije obavezan događaj A tačno ponovljeno k puta u određenom nizu. Označavamo željenu vjerovatnoću R p (k). Na primjer, simbol R 5(3) znači vjerovatnoću da će se u pet pokušaja događaj pojaviti tačno 3 puta i stoga se neće dogoditi 2 puta.
Postavljeni problem može se riješiti korištenjem tzv Bernoullijeve formule, koji izgleda ovako:
.
Problem 1.20. Jednaka je vjerovatnoća da potrošnja električne energije u toku jednog dana neće premašiti utvrđenu normu R=0,75. Pronađite vjerovatnoću da u narednih 6 dana potrošnja električne energije za 4 dana neće premašiti normu.
Rješenje. Vjerovatnoća normalne potrošnje energije tokom svakog od 6 dana je konstantna i jednaka R=0,75. Shodno tome, vjerovatnoća prekomjerne potrošnje energije svakog dana je također konstantna i jednaka q= 1–R=1–0,75=0,25.
Tražena vjerovatnoća prema Bernoullijevoj formuli je jednaka
.
Problem 1.21. Dva jednaka šahista igraju šah. Šta je vjerovatnije: pobijediti u dvije utakmice od četiri ili tri utakmice od šest (remi se ne uzimaju u obzir)?
Rješenje. Igraju jednaki šahisti, pa je vjerovatnoća pobjede R= 1/2, dakle, verovatnoća gubitka q je takođe jednako 1/2. Jer u svim partijama je vjerovatnoća pobjede konstantna i nije bitno kojim redoslijedom se dobivaju partije, tada je primjenjiva Bernoullijeva formula.
Nađimo vjerovatnoću da će dvije od četiri utakmice biti dobijene:

Pronađimo vjerovatnoću da će tri utakmice od šest biti dobijene:

Jer P 4 (2) > P 6 (3), tada je veća vjerovatnoća da će pobijediti dvije utakmice od četiri nego tri od šest.
Međutim, može se vidjeti da korištenje Bernoullijeve formule za velike vrijednosti n prilično teško, jer formula zahtijeva operacije na ogromnim brojevima i stoga se greške nakupljaju tokom procesa izračunavanja; Kao rezultat toga, konačni rezultat može se značajno razlikovati od pravog.
Za rješavanje ovog problema postoji nekoliko graničnih teorema koje se koriste za slučaj velikog broja testova.
1. Poissonova teorema
Prilikom provođenja velikog broja testova korištenjem Bernoullijeve sheme (s n=> ∞) i sa malim brojem povoljnih ishoda k(pretpostavlja se da je vjerovatnoća uspjeha str mala), Bernulijeva formula se približava Poissonovoj formuli
.
Primjer 1.22. Vjerovatnoća kvarova kada preduzeće proizvede jedinicu proizvoda jednaka je str=0,001. Kolika je vjerovatnoća da će pri proizvodnji 5000 jedinica proizvoda manje od 4 od njih biti neispravne (događaj A Rješenje. Jer n je velika, koristimo Laplaceov lokalni teorem:

Hajde da izračunamo x:
Funkcija – parno, pa je φ(–1,67) = φ(1,67).
Koristeći tabelu u Dodatku A.1, nalazimo φ(1,67) = 0,0989.
Potrebna vjerovatnoća P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Laplasova integralna teorema
Ako je vjerovatnoća R pojava događaja A u svakom ogledu prema Bernoullijevoj shemi je konstantan i različit od nule i jedan, zatim sa velikim brojem pokušaja n, vjerovatnoća R p (k 1 , k 2) nastanak događaja A u ovim testovima od k 1 to k 2 puta približno jednako
R p(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ ( x"), Gdje
– Laplaceova funkcija,

Definitivni integral u Laplaceovoj funkciji ne može se izračunati na klasi analitičkih funkcija, pa se za izračunavanje koristi tabela. Tačka 2, data u dodatku.
Primjer 1.24. Vjerovatnoća da se događaj dogodi u svakom od sto nezavisnih ispitivanja je konstantna i jednaka str= 0,8. Pronađite vjerovatnoću da će se događaj pojaviti: a) najmanje 75 puta i ne više od 90 puta; b) najmanje 75 puta; c) ne više od 74 puta.
Rješenje. Koristimo Laplaceovu integralnu teoremu:
R p(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ( x"), gdje je F( x) – Laplaceova funkcija,

a) Prema uslovu, n = 100, str = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Izračunajmo x"" I x" :


S obzirom da je Laplaceova funkcija neparna, tj. F(- x) = – F( x), dobijamo
P 100 (75;90) = F (2,5) – F(–1,25) = F(2,5) + F(1,25).
Prema tabeli P.2. naći ćemo aplikacije:
F(2,5) = 0,4938; F(1,25) = 0,3944.
Potrebna vjerovatnoća
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) Zahtjev da se događaj pojavi najmanje 75 puta znači da broj pojavljivanja događaja može biti 75, ili 76, ..., ili 100. Dakle, u slučaju koji se razmatra, treba ga prihvatiti k 1 = 75, k 2 = 100. Onda

.
Prema tabeli P.2. primjenom nalazimo F(1.25) = 0.3944; F(5) = 0,5.
Potrebna vjerovatnoća
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Događaj –“ A pojavio najmanje 75 puta" i " A pojavio ne više od 74 puta" su suprotni, pa je zbir vjerovatnoća ovih događaja jednak 1. Dakle, željena vjerovatnoća
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

Teorija vjerojatnosti, kao i svaka grana matematike, djeluje s određenim rasponom koncepata. Većini koncepata teorije vjerovatnoće data je definicija, ali neki se uzimaju kao primarni, nedefinisani, poput tačke, prave linije, ravni u geometriji. Primarni koncept teorije vjerovatnoće je događaj. Događaj se shvata kao nešto o čemu se, nakon određenog vremena, može reći samo jedna od dve stvari:

• · Da, desilo se.
• · Ne, nije se dogodilo.

Na primjer, imam srećku. Nakon objavljivanja rezultata lutrije, događaj koji me zanima - osvajanje hiljadu rubalja - ili se dogodi ili se ne dogodi. Bilo koji događaj nastaje kao rezultat testa (ili iskustva). Test (ili iskustvo) se odnosi na one uslove zbog kojih se događaj javlja. Na primjer, bacanje novčića je test, a pojava "grba" na njemu je događaj. Događaj se obično označava velikim latiničnim slovima: A,B,C,…. Događaji u materijalnom svijetu mogu se podijeliti u tri kategorije - pouzdani, nemogući i slučajni.

Određeni događaj je događaj za koji se unaprijed zna da će se dogoditi. Označava se slovom W. Dakle, pouzdano je da se pri bacanju obične kocke ne pojavljuje više od šest poena, izgled bijele kuglice kada se izvadi iz urne koja sadrži samo bijele kuglice, itd.

Nemogući događaj je događaj za koji je unaprijed poznato da se neće dogoditi. Označava se slovom E. Primjeri nemogućih događaja su izvlačenje više od četiri asa iz regularnog špila karata, izvlačenje crvene kuglice iz urne koja sadrži samo bijele i crne kugle, itd.

Slučajni događaj je događaj koji se može ili ne mora dogoditi kao rezultat testa. Događaji A i B nazivaju se nespojivim ako pojava jednog od njih isključuje mogućnost pojave drugog. Dakle, pojavljivanje bilo kojeg mogućeg broja poena prilikom bacanja kocke (događaj A) nije kompatibilno sa pojavom drugog broja (događaj B). Bacanje parnog broja poena nije u skladu sa bacanjem neparnog broja. Naprotiv, bacanje parnog broja poena (događaj A) i broja poena koji je višekratnik tri (događaj B) neće biti nespojivo, jer bacanje šest poena znači nastup i događaja A i događaja B, pa pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog. Možete izvoditi operacije nad događajima. Unija dva događaja C=AUB je događaj C koji se javlja ako i samo ako se dogodi barem jedan od ovih događaja A i B. Presjek dva događaja D=A?? B je događaj koji se događa ako i samo ako se događaju A i B.