Pronađite matematičko očekivanje vrijednosti slučajne varijable. Prosjek i očekivanje u EXCEL-u

Tu će biti i zadaci za samostalno rješenje na koje možete vidjeti odgovore.

Matematičko očekivanje i varijansa su najčešće korištene numeričke karakteristike slučajne varijable. Oni karakterišu najvažnije karakteristike distribucije: njen položaj i stepen disperzije. Matematičko očekivanje se često naziva jednostavno srednja vrijednost. slučajna varijabla. Disperzija slučajne varijable - karakteristika disperzije, disperzija slučajne varijable oko svog matematičkog očekivanja.

U mnogim problemima prakse, potpun, iscrpan opis slučajne varijable - zakona raspodjele - ili se ne može dobiti, ili uopće nije potreban. U ovim slučajevima, oni su ograničeni na približan opis slučajne varijable koristeći numeričke karakteristike.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable

Hajdemo do koncepta matematičkog očekivanja. Neka je masa neke supstance raspoređena između tačaka x-ose x1 , x 2 , ..., x n. Štaviše, svaka materijalna tačka ima masu koja joj odgovara sa verovatnoćom od str1 , str 2 , ..., str n. Potrebno je izabrati jednu tačku na x-osi, koja karakteriše položaj čitavog sistema materijalnih tačaka, uzimajući u obzir njihove mase. Prirodno je kao takvu tačku uzeti centar mase sistema materijalnih tačaka. Ovo je ponderisani prosjek slučajne varijable X, u kojoj je apscisa svake tačke xi ulazi sa "težinom" jednakom odgovarajućoj vjerovatnoći. Srednja vrijednost tako dobijene slučajne varijable X naziva se njeno matematičko očekivanje.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti i vjerovatnoća ovih vrijednosti:

Primjer 1 Organizirana je dobitna lutrija. Ima 1000 dobitaka, od kojih je 400 po 10 rubalja. 300 - 20 rubalja svaki 200 - 100 rubalja svaki. i po 100 - 200 rubalja. Koliki je prosječan dobitak za osobu koja kupi jednu kartu?

Rješenje. Prosječan dobitak ćemo pronaći ako se ukupan iznos dobitaka, koji je jednak 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rubalja, podijeli sa 1000 (ukupni iznos dobitka). Tada dobijamo 50000/1000 = 50 rubalja. Ali izraz za izračunavanje prosječnog dobitka također se može predstaviti u sljedećem obliku:

S druge strane, pod ovim uvjetima, iznos dobitka je slučajna varijabla koja može poprimiti vrijednosti od 10, 20, 100 i 200 rubalja. sa vjerovatnoćama jednakim 0,4, respektivno; 0,3; 0,2; 0.1. Dakle, očekivana prosječna isplata jednaka je zbiru proizvoda veličine isplata i vjerovatnoće njihovog primanja.

Primjer 2 Izdavač je odlučio da objavi novu knjigu. Knjigu će prodati za 280 rubalja, od čega će 200 dobiti njemu, 50 knjižari, a 30 autoru. Tabela daje informacije o cijeni izdavanja knjige i vjerovatnoći prodaje određenog broja primjeraka knjige.

Pronađite očekivani profit izdavača.

Rješenje. Slučajna varijabla "profit" jednaka je razlici između prihoda od prodaje i troška troškova. Na primjer, ako se proda 500 primjeraka knjige, tada je prihod od prodaje 200 * 500 = 100 000, a trošak izdavanja 225 000 rubalja. Tako se izdavač suočava sa gubitkom od 125.000 rubalja. Sljedeća tabela sumira očekivane vrijednosti slučajne varijable - profit:

Tako dobijamo matematičko očekivanje profita izdavača:

.

Primjer 3Šansa za pogodak jednim udarcem str= 0,2. Odredite potrošnju školjki koje daju matematičko očekivanje broja pogodaka jednakog 5.

Rješenje. Iz iste formule očekivanja koju smo do sada koristili izražavamo x- potrošnja školjki:

.

Primjer 4 Odredite matematičko očekivanje slučajne varijable x broj pogodaka sa tri hica, ako je vjerovatnoća pogađanja sa svakim udarcem str = 0,4 .

Savjet: pronađite vjerovatnoću vrijednosti slučajne varijable po Bernulijeva formula .

Expectation Properties

Razmotrite svojstva matematičkog očekivanja.

Nekretnina 1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je ovoj konstanti:

Nekretnina 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka očekivanja:

Nekretnina 3. Matematičko očekivanje sume (razlike) slučajnih varijabli jednako je zbiru (razlici) njihovih matematičkih očekivanja:

Nekretnina 4. Matematičko očekivanje proizvoda slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja:

Svojstvo 5. Ako su sve vrijednosti slučajne varijable X smanjiti (povećati) za isti broj OD, tada će se njegovo matematičko očekivanje smanjiti (povećati) za isti broj:

Kada ne možete biti ograničeni samo na matematička očekivanja

U većini slučajeva, samo matematičko očekivanje ne može adekvatno okarakterizirati slučajnu varijablu.

Neka slučajne varijable X i Y dati su sljedećim zakonima o distribuciji:

Matematička očekivanja ovih veličina su ista - jednaka nuli:

Međutim, njihova distribucija je drugačija. Slučajna vrijednost X može uzeti samo vrijednosti koje se malo razlikuju od matematičkog očekivanja i slučajne varijable Y može uzeti vrijednosti koje značajno odstupaju od matematičkog očekivanja. Sličan primjer: prosječna plata ne omogućava procjenu omjera visoko i nisko plaćenih radnika. Drugim riječima, prema matematičkom očekivanju ne može se suditi kakva su odstupanja od njega, barem u prosjeku, moguća. Da biste to učinili, morate pronaći varijansu slučajne varijable.

Disperzija diskretne slučajne varijable

disperzija diskretna slučajna varijabla X naziva se matematičko očekivanje kvadrata njegovog odstupanja od matematičkog očekivanja:

Standardna devijacija slučajne varijable X je aritmetička vrijednost kvadratnog korijena njegove varijanse:

.

Primjer 5 Izračunajte varijanse i standardne devijacije slučajnih varijabli X i Y, čiji su zakoni distribucije dati u gornjim tabelama.

Rješenje. Matematička očekivanja slučajnih varijabli X i Y, kao što je gore utvrđeno, jednake su nuli. Prema formuli disperzije za E(X)=E(y)=0 dobijamo:

Zatim standardne devijacije slučajnih varijabli X i Y konstituisati

.

Dakle, sa istim matematičkim očekivanjima, varijansa slučajne varijable X veoma mali i nasumični Y- značajno. To je posljedica razlike u njihovoj distribuciji.

Primjer 6 Investitor ima 4 alternativna investiciona projekta. U tabeli su sumirani podaci o očekivanoj dobiti u ovim projektima sa odgovarajućom vjerovatnoćom.

Pronađite za svaku alternativu matematičko očekivanje, varijansu i standardnu ​​devijaciju.

Rješenje. Hajde da pokažemo kako se ove količine izračunavaju za 3. alternativu:

Tabela sažima pronađene vrijednosti za sve alternative.

Sve alternative imaju ista matematička očekivanja. To znači da na duge staze svi imaju ista primanja. Standardna devijacija se može tumačiti kao mjera rizika – što je veća, veći je rizik ulaganja. Investitor koji ne želi mnogo rizika će izabrati projekat 1 jer ima najmanju standardnu ​​devijaciju (0). Ako investitor preferira rizik i visoke prinose u kratkom periodu, tada će izabrati projekat sa najvećom standardnom devijacijom - projekat 4.

Svojstva disperzije

Hajde da predstavimo svojstva disperzije.

Nekretnina 1. Disperzija konstantne vrijednosti je nula:

Nekretnina 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz znaka disperzije kvadriranjem:

.

Nekretnina 3. Varijanca slučajne varijable jednaka je matematičkom očekivanju kvadrata ove vrijednosti, od čega se oduzima kvadrat matematičkog očekivanja same vrijednosti:

,

gdje .

Nekretnina 4. Varijanca sume (razlike) slučajnih varijabli jednaka je zbroju (razlici) njihovih varijansi:

Primjer 7 Poznato je da je diskretna slučajna varijabla X uzima samo dvije vrijednosti: −3 i 7. Osim toga, poznato je matematičko očekivanje: E(X) = 4 . Pronađite varijansu diskretne slučajne varijable.

Rješenje. Označiti sa str vjerovatnoća sa kojom slučajna varijabla poprima vrijednost x1 = −3 . Zatim vjerovatnoća vrijednosti x2 = 7 bit će 1 − str. Izvedemo jednačinu za matematičko očekivanje:

E(X) = x 1 str + x 2 (1 − str) = −3str + 7(1 − str) = 4 ,

odakle dobijamo verovatnoce: str= 0,3 i 1 − str = 0,7 .

Zakon distribucije slučajne varijable:

Izračunavamo varijansu ove slučajne varijable koristeći formulu iz svojstva 3 varijanse:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Pronađite sami matematičko očekivanje slučajne varijable, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 8 Diskretna slučajna varijabla X uzima samo dvije vrijednosti. Uzima veću vrijednost od 3 sa vjerovatnoćom od 0,4. Osim toga, poznata je varijansa slučajne varijable D(X) = 6 . Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable.

Primjer 9 Urna sadrži 6 bijelih i 4 crne kuglice. Iz urne se uzimaju 3 kuglice. Broj bijelih loptica među izvučenim kuglicama je diskretna slučajna varijabla X. Pronađite matematičko očekivanje i varijansu ove slučajne varijable.

Rješenje. Slučajna vrijednost X može uzeti vrijednosti 0, 1, 2, 3. Odgovarajuće vjerovatnoće se mogu izračunati iz pravilo množenja vjerovatnoća. Zakon distribucije slučajne varijable:

Otuda matematičko očekivanje ove slučajne varijable:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Varijanca date slučajne varijable je:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Matematičko očekivanje i disperzija kontinuirane slučajne varijable

Za kontinuiranu slučajnu varijablu, mehanička interpretacija matematičkog očekivanja zadržat će isto značenje: centar mase za jediničnu masu raspoređenu kontinuirano na x-osu s gustinom f(x). Za razliku od diskretne slučajne varijable, za koju je argument funkcije xi mijenja se naglo, za kontinuiranu slučajnu varijablu, argument se kontinuirano mijenja. Ali matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable također je povezano s njenom srednjom vrijednošću.

Da biste pronašli matematičko očekivanje i varijansu kontinuirane slučajne varijable, morate pronaći određene integrale . Ako je data funkcija gustoće kontinuirane slučajne varijable, ona ulazi direktno u integrand. Ako je data funkcija distribucije vjerovatnoće, onda je diferenciranjem potrebno pronaći funkciju gustoće.

Aritmetički prosjek svih mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable naziva se njegova matematičko očekivanje, označeno sa ili .

Matematičko očekivanje je distribucija vjerovatnoće slučajne varijable

Matematičko očekivanje, definicija, matematičko očekivanje diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli, selektivno, uslovno očekivanje, proračun, svojstva, zadaci, procjena očekivanja, varijansa, funkcija distribucije, formule, primjeri proračuna

Proširite sadržaj

Sažmi sadržaj

Matematičko očekivanje je definicija

Jedan od najvažnijih koncepata u matematičkoj statistici i teoriji vjerojatnosti, koji karakterizira distribuciju vrijednosti ili vjerovatnoće slučajne varijable. Obično se izražava kao ponderisani prosek svih mogućih parametara slučajne varijable. Široko se koristi u tehničkoj analizi, proučavanju nizova brojeva, proučavanju kontinuiranih i dugotrajnih procesa. Važan je u procjeni rizika, predviđanju indikatora cijena pri trgovanju na finansijskim tržištima, a koristi se u razvoju strategija i metoda taktike igre u teoriji kockanja.

Matematičko očekivanje je srednja vrijednost slučajne varijable, distribucija vjerovatnoće slučajne varijable se razmatra u teoriji vjerovatnoće.

Matematičko očekivanje je mjera srednje vrijednosti slučajne varijable u teoriji vjerovatnoće. Matematičko očekivanje slučajne varijable x označeno M(x).

Matematičko očekivanje je

Matematičko očekivanje je u teoriji vjerovatnoće, ponderisani prosjek svih mogućih vrijednosti koje ova slučajna varijabla može uzeti.

Matematičko očekivanje je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable sa vjerovatnoćama ovih vrijednosti.

Matematičko očekivanje je prosječna korist od određene odluke, pod uslovom da se takva odluka može razmatrati u okviru teorije velikih brojeva i velike udaljenosti.

Matematičko očekivanje je u teoriji kockanja, iznos dobitka koji igrač može zaraditi ili izgubiti, u prosjeku, za svaku opkladu. Na jeziku kockara, ovo se ponekad naziva "ivica igrača" (ako je pozitivna za igrača) ili "kućna ivica" (ako je negativna za igrača).

Matematičko očekivanje je Procenat profita po pobjedi pomnožen prosječnim profitom minus vjerovatnoća gubitka pomnožen prosječnim gubitkom.

Matematičko očekivanje slučajne varijable u matematičkoj teoriji

Jedna od važnih numeričkih karakteristika slučajne varijable je matematičko očekivanje. Hajde da uvedemo koncept sistema slučajnih varijabli. Razmotrite skup slučajnih varijabli koje su rezultati istog slučajnog eksperimenta. Ako je jedna od mogućih vrijednosti sistema, onda događaj odgovara određenoj vjerovatnoći koja zadovoljava Kolmogorovljeve aksiome. Funkcija definirana za sve moguće vrijednosti slučajnih varijabli naziva se zajednički zakon distribucije. Ova funkcija vam omogućava da izračunate vjerovatnoće bilo kojeg događaja iz. Konkretno, zajednički zakon raspodjele slučajnih varijabli i, koji uzimaju vrijednosti iz skupa i, zadan je vjerovatnoćama.

Termin "očekivanje" uveo je Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) i nastao je iz koncepta "očekivana vrijednost isplate", koji se prvi put pojavio u 17. stoljeću u teoriji kockanja u djelima Blaisea Pascala i Christiana Huygensa. . Međutim, prvo potpuno teorijsko razumijevanje i ocjenu ovog koncepta dao je Pafnuty Lvovich Chebyshev (sredina 19. stoljeća).

Zakon distribucije slučajnih numeričkih varijabli (funkcija distribucije i red raspodjele ili gustina vjerovatnoće) u potpunosti opisuje ponašanje slučajne varijable. Ali u nizu problema dovoljno je poznavati neke numeričke karakteristike veličine koja se proučava (na primjer, njena prosječna vrijednost i moguće odstupanje od nje) da bi se odgovorilo na postavljeno pitanje. Glavne numeričke karakteristike slučajnih varijabli su matematičko očekivanje, varijansa, mod i medijan.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda njenih mogućih vrijednosti i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti. Ponekad se matematičko očekivanje naziva ponderisanim prosjekom, jer je približno jednako aritmetičkoj sredini promatranih vrijednosti slučajne varijable u velikom broju eksperimenata. Iz definicije matematičkog očekivanja proizilazi da njegova vrijednost nije manja od najmanje moguće vrijednosti slučajne varijable i ne veća od najveće. Matematičko očekivanje slučajne varijable je neslučajna (konstantna) varijabla.

Matematičko očekivanje ima jednostavno fizičko značenje: ako je jedinična masa postavljena na ravnu liniju, stavljajući neku masu u neke tačke (za diskretnu distribuciju) ili je "razmazujući" određenom gustinom (za apsolutno kontinuiranu distribuciju), tada će tačka koja odgovara matematičkom očekivanju biti koordinatni "centar gravitacije" ravna.

Prosječna vrijednost slučajne varijable je određeni broj, koji je takoreći njen „predstavnik“ i zamjenjuje ga u grubim približnim proračunima. Kada kažemo: “prosječno vrijeme rada lampe je 100 sati” ili “prosječna tačka udara je pomjerena u odnosu na metu za 2 m udesno”, time označavamo određenu numeričku karakteristiku slučajne varijable koja opisuje njenu lokacija na numeričkoj osi, tj. opis pozicije.

Od karakteristika pozicije u teoriji vjerovatnoće, najvažniju ulogu igra matematičko očekivanje slučajne varijable, koje se ponekad naziva jednostavno prosječnom vrijednošću slučajne varijable.

Uzmite u obzir slučajnu varijablu X, koji ima moguće vrijednosti x1, x2, …, xn sa vjerovatnoćama p1, p2, …, pn. Moramo nekim brojem okarakterizirati položaj vrijednosti slučajne varijable na x-osi, uzimajući u obzir činjenicu da te vrijednosti imaju različite vjerovatnoće. U tu svrhu prirodno je koristiti takozvani "ponderisani prosek" vrednosti xi, a svaku vrijednost xi tokom usrednjavanja treba uzeti u obzir sa “težinom” proporcionalnom vjerovatnoći ove vrijednosti. Stoga ćemo izračunati srednju vrijednost slučajne varijable X, koje ćemo označiti M|X|:

Ovaj ponderisani prosjek naziva se matematičko očekivanje slučajne varijable. Stoga smo u razmatranje uveli jedan od najvažnijih koncepata teorije vjerovatnoće – koncept matematičkog očekivanja. Matematičko očekivanje slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i vjerovatnoća tih vrijednosti.

Neka se proizvede N nezavisni eksperimenti, u svakom od kojih vrijednost X poprima određenu vrijednost. Pretpostavimo vrijednost x1 pojavio m1 vremena, vrijednost x2 pojavio m2 vremena, opšte značenje xi pojavio mi se puta. Izračunajmo aritmetičku sredinu posmatranih vrijednosti X, što je, za razliku od matematičkog očekivanja M|X| označićemo M*|X|:

Sa povećanjem broja eksperimenata N frekvencije piće se približiti (konvergirati u vjerovatnoći) odgovarajućim vjerovatnoćama. Dakle, aritmetička sredina posmatranih vrednosti slučajne varijable M|X| sa povećanjem broja eksperimenata, on će se približiti (konvergirati u vjerovatnoći) svom matematičkom očekivanju. Veza između aritmetičke sredine i gore formulisanog matematičkog očekivanja čini sadržaj jednog od oblika zakona velikih brojeva.

Već znamo da svi oblici zakona velikih brojeva navode činjenicu da su određeni prosjeci stabilni u velikom broju eksperimenata. Ovdje je riječ o stabilnosti aritmetičke sredine iz niza opservacija iste vrijednosti. Uz mali broj eksperimenata, aritmetička sredina njihovih rezultata je slučajna; s dovoljnim povećanjem broja eksperimenata, postaje "gotovo ne slučajan" i, stabilizirajući se, približava se konstantnoj vrijednosti - matematičkom očekivanju.

Svojstvo stabilnosti prosjeka za veliki broj eksperimenata je lako eksperimentalno provjeriti. Na primjer, vaganje bilo kojeg tijela u laboratoriju na tačnim vagama, kao rezultat vaganja svaki put dobijamo novu vrijednost; da bismo smanjili grešku opažanja, tijelo izmjerimo nekoliko puta i koristimo aritmetičku sredinu dobijenih vrijednosti. Lako je uočiti da daljim povećanjem broja eksperimenata (vaganja) aritmetička sredina sve manje reaguje na to povećanje, a sa dovoljno velikim brojem eksperimenata praktički prestaje da se menja.

Treba napomenuti da najvažnija karakteristika položaja slučajne varijable - matematičko očekivanje - ne postoji za sve slučajne varijable. Moguće je napraviti primjere takvih slučajnih varijabli za koje matematičko očekivanje ne postoji, jer se odgovarajući zbir ili integral divergiraju. Međutim, za praksu takvi slučajevi nisu od većeg interesa. Obično slučajne varijable s kojima imamo posla imaju ograničen raspon mogućih vrijednosti i, naravno, imaju očekivanje.

Pored najvažnije od karakteristika položaja slučajne varijable - matematičkog očekivanja, u praksi se ponekad koriste i druge karakteristike položaja, posebno mod i medijan slučajne varijable.

Mod slučajne varijable je njena najvjerovatnija vrijednost. Termin "najvjerovatnija vrijednost", striktno govoreći, primjenjuje se samo na diskontinuirane količine; za kontinuiranu količinu, mod je vrijednost pri kojoj je gustina vjerovatnoće maksimalna. Slike pokazuju način rada za diskontinuirane i kontinuirane slučajne varijable, respektivno.

Ako poligon distribucije (kriva distribucije) ima više od jednog maksimuma, kaže se da je distribucija "polimodalna".

Ponekad postoje distribucije koje u sredini imaju ne maksimum, već minimum. Takve distribucije se nazivaju "antimodalne".

U opštem slučaju, mod i matematičko očekivanje slučajne varijable se ne poklapaju. U konkretnom slučaju, kada je distribucija simetrična i modalna (tj. ima mod) i postoji matematičko očekivanje, onda se ona poklapa sa modom i centrom simetrije distribucije.

Često se koristi još jedna karakteristika pozicije - takozvani medijan slučajne varijable. Ova karakteristika se obično koristi samo za kontinuirane slučajne varijable, iako se može formalno definirati i za diskontinuiranu varijablu. Geometrijski, medijana je apscisa tačke u kojoj je područje ograničeno krivom raspodjele podijeljeno na pola.

U slučaju simetrične modalne distribucije, medijana se poklapa sa srednjom i modom.

Matematičko očekivanje je prosječna vrijednost slučajne varijable - numerička karakteristika distribucije vjerovatnoće slučajne varijable. Na najopštiji način, matematičko očekivanje slučajne varijable X(w) je definisan kao Lebesgueov integral u odnosu na mjeru vjerovatnoće R u izvornom prostoru vjerovatnoće:

Matematičko očekivanje se takođe može izračunati kao Lebesgueov integral od X po distribuciji vjerovatnoće px količine X:

Na prirodan način, može se definirati koncept slučajne varijable s beskonačnim matematičkim očekivanjem. Tipičan primjer su vremena povratka u nekim slučajnim šetnjama.

Uz pomoć matematičkog očekivanja određuju se mnoge numeričke i funkcionalne karakteristike distribucije (kao matematičko očekivanje odgovarajućih funkcija slučajne varijable), na primjer, generirajuća funkcija, karakteristična funkcija, momenti bilo kojeg reda, posebno disperzija , kovarijansa.

Matematičko očekivanje je karakteristika lokacije vrijednosti slučajne varijable (prosječne vrijednosti njene distribucije). U tom svojstvu, matematičko očekivanje služi kao neki "tipični" parametar distribucije i njegova uloga je slična ulozi statičkog momenta - koordinate težišta distribucije mase - u mehanici. Od ostalih lokacijskih karakteristika, uz pomoć kojih se distribucija opisuje općenito - medijana, modova, matematičko očekivanje se razlikuje po većoj vrijednosti koju ono i odgovarajuća karakteristika raspršenja - disperzija - imaju u graničnim teoremama teorije vjerovatnoće. S najvećom potpunošću, značenje matematičkog očekivanja otkriva zakon velikih brojeva (Čebiševljeva nejednakost) i pojačani zakon velikih brojeva.

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable

Neka postoji neka slučajna varijabla koja može uzeti jednu od nekoliko numeričkih vrijednosti (na primjer, broj bodova u bacanju kockice može biti 1, 2, 3, 4, 5 ili 6). Često se u praksi za takvu vrijednost postavlja pitanje: koju vrijednost uzima "u prosjeku" s velikim brojem testova? Koliki će biti naš prosječni prinos (ili gubitak) iz svake od rizičnih transakcija?

Recimo da postoji neka vrsta lutrije. Želimo da shvatimo da li je isplativo ili ne učestvovati u tome (ili čak učestvovati više puta, redovno). Recimo da svaki četvrti tiket dobije, nagrada će biti 300 rubalja, a cena bilo koje karte će biti 100 rubalja. Uz beskonačan broj učešća, evo šta se dešava. U tri četvrtine slučajeva ćemo izgubiti, svaka tri gubitka koštaće 300 rubalja. U svakom četvrtom slučaju dobit ćemo 200 rubalja. (nagrada minus trošak), odnosno za četiri učešća gubimo u prosjeku 100 rubalja, za jedno - u prosjeku 25 rubalja. Ukupno, prosječna cijena naše ruševine bit će 25 rubalja po karti.

Bacamo kocku. Ako nije varanje (bez pomeranja centra gravitacije, itd.), koliko ćemo onda poena u proseku imati u jednom trenutku? Pošto je svaka opcija podjednako verovatna, uzimamo glupu aritmetičku sredinu i dobijamo 3,5. Pošto je ovo PROSEK, nema potrebe da se ljutite što nijedno određeno bacanje neće dati 3,5 poena - pa ova kocka nema lice sa takvim brojem!

Sada da sumiramo naše primjere:

Hajde da pogledamo sliku iznad. Na lijevoj strani je tabela distribucije slučajne varijable. Vrijednost X može uzeti jednu od n mogućih vrijednosti (datih u gornjem redu). Druge vrijednosti ne mogu postojati. Ispod svake moguće vrijednosti, njena vjerovatnoća je potpisana ispod. Desno je formula, gdje se M(X) naziva matematičko očekivanje. Značenje ove vrijednosti je da će s velikim brojem pokušaja (sa velikim uzorkom) prosječna vrijednost težiti upravo ovom matematičkom očekivanju.

Vratimo se na istu kocku za igranje. Matematičko očekivanje broja poena u bacanju je 3,5 (izračunajte sami koristeći formulu ako ne vjerujete). Recimo da ste ga bacili nekoliko puta. Ispalo je 4 i 6. U prosjeku je ispalo 5, odnosno daleko od 3,5. Ponovo su ga bacili, ispalo je 3, odnosno u prosjeku (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Nekako daleko od matematičkog očekivanja. Sada napravite ludi eksperiment - okrenite kocku 1000 puta! A ako prosek nije tačno 3,5, onda će biti blizu tome.

Izračunajmo matematičko očekivanje za gore opisanu lutriju. Tabela će izgledati ovako:

Tada će matematičko očekivanje biti, kao što smo prethodno utvrdili:

Druga stvar je što je i to "na prstima", bez formule, teško bi bilo da ima više opcija. Pa, recimo da je bilo 75% izgubljenih tiketa, 20% dobitnih tiketa i 5% dobitnih tiketa.

Sada neka svojstva matematičkog očekivanja.

Lako je to dokazati:

Konstantni množitelj se može izvaditi iz predznaka očekivanja, to jest:

Ovo je poseban slučaj svojstva linearnosti matematičkog očekivanja.

Još jedna posljedica linearnosti matematičkog očekivanja:

odnosno matematičko očekivanje zbira slučajnih varijabli jednako je zbiru matematičkih očekivanja slučajnih varijabli.

Neka su X, Y nezavisne slučajne varijable, zatim:

Ovo je takođe lako dokazati) XY sama po sebi je slučajna varijabla, dok bi početne vrijednosti mogle poprimiti n i m vrijednosti, respektivno, onda XY može uzeti nm vrijednosti. Vjerovatnoća svake od vrijednosti izračunava se na osnovu činjenice da se vjerovatnoće nezavisnih događaja množe. Kao rezultat, dobijamo ovo:

Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable

Kontinuirane slučajne varijable imaju takvu karakteristiku kao što je gustina distribucije (gustina vjerovatnoće). To, zapravo, karakterizira situaciju da slučajna varijabla češće uzima neke vrijednosti iz skupa realnih brojeva, neke - rjeđe. Na primjer, razmotrite ovaj grafikon:

Evo X- zapravo slučajna varijabla, f(x)- gustina distribucije. Sudeći po ovom grafikonu, tokom eksperimenata, vrijednost Xčesto će biti broj blizu nule. šanse za prevazilaženje 3 ili biti manje -3 prilično čisto teorijski.

Neka, na primjer, postoji uniformna raspodjela:

Ovo je sasvim u skladu s intuitivnim razumijevanjem. Recimo ako dobijemo mnogo slučajnih realnih brojeva sa uniformnom distribucijom, svaki segment |0; 1| , tada bi aritmetička sredina trebala biti oko 0,5.

Svojstva matematičkog očekivanja - linearnost itd., primenljiva za diskretne slučajne varijable, takođe su primenljiva i ovde.

Odnos matematičkog očekivanja sa drugim statističkim pokazateljima

U statističkoj analizi, uz matematičko očekivanje, postoji sistem međuzavisnih indikatora koji odražavaju homogenost pojava i stabilnost procesa. Često indikatori varijacije nemaju nezavisno značenje i koriste se za dalju analizu podataka. Izuzetak je koeficijent varijacije, koji karakteriše homogenost podataka, što je vrijedna statistička karakteristika.

Stepen varijabilnosti ili stabilnosti procesa u statističkoj nauci može se mjeriti korištenjem nekoliko indikatora.

Najvažniji indikator koji karakteriše varijabilnost slučajne varijable je Disperzija, što je najbliže i direktno povezano sa matematičkim očekivanjem. Ovaj parametar se aktivno koristi u drugim vrstama statističkih analiza (testiranje hipoteza, analiza uzročno-posljedičnih veza, itd.). Poput srednjeg linearnog odstupanja, varijansa također odražava obim do kojeg se podaci šire oko srednje vrijednosti.

Korisno je prevesti jezik znakova u jezik riječi. Ispada da je varijansa prosječan kvadrat odstupanja. Odnosno, prvo se izračunava prosječna vrijednost, zatim se uzima razlika između svake originalne i prosječne vrijednosti, kvadrira, zbraja i zatim dijeli sa brojem vrijednosti u ovoj populaciji. Razlika između pojedinačne vrijednosti i srednje vrijednosti odražava mjeru odstupanja. On se kvadrira kako bi se osiguralo da sva odstupanja postanu isključivo pozitivni brojevi i kako bi se izbjeglo međusobno poništavanje pozitivnih i negativnih odstupanja kada se sabiraju. Zatim, s obzirom na kvadratna odstupanja, jednostavno izračunamo aritmetičku sredinu. Prosjek - kvadrat - odstupanja. Odstupanja se kvadriraju i uzima se u obzir prosjek. Odgovor na magičnu reč "disperzija" su samo tri reči.

Međutim, u svom čistom obliku, kao što je, na primjer, aritmetička sredina ili indeks, disperzija se ne koristi. To je prije pomoćni i srednji indikator koji se koristi za druge vrste statističkih analiza. Ona čak nema ni normalnu jedinicu mjere. Sudeći po formuli, ovo je kvadrat izvorne jedinice podataka.

Izmjerimo slučajnu varijablu N puta, na primjer, mjerimo brzinu vjetra deset puta i želimo pronaći prosječnu vrijednost. Kako je srednja vrijednost povezana s funkcijom distribucije?

Ili ćemo baciti kockice veliki broj puta. Broj bodova koji će pasti na kockicu tokom svakog bacanja je slučajna varijabla i može uzeti bilo koju prirodnu vrijednost od 1 do 6. N teži vrlo specifičnom broju – matematičkom očekivanju Mx. U ovom slučaju, Mx = 3,5.

Kako je nastala ova vrijednost? Pusti unutra N suđenja n1 kada padne 1 bod, n2 puta - 2 boda i tako dalje. Zatim broj ishoda u koji je pao jedan bod:

Slično i za ishode kada je ispalo 2, 3, 4, 5 i 6 bodova.

Pretpostavimo sada da znamo zakon raspodjele slučajne varijable x, odnosno znamo da slučajna varijabla x može poprimiti vrijednosti x1, x2, ..., xk sa vjerovatnoćama p1, p2, ... , pk.

Matematičko očekivanje Mx slučajne varijable x je:

Matematičko očekivanje nije uvijek razumna procjena neke slučajne varijable. Dakle, za procjenu prosječne plate razumnije je koristiti koncept medijane, odnosno takve vrijednosti da je broj ljudi koji primaju manje od medijalne plate i više, isti.

Vjerovatnoća p1 da je slučajna varijabla x manja od x1/2 i vjerovatnoća p2 da je slučajna varijabla x veća od x1/2 su iste i jednake su 1/2. Medijan nije jednoznačno određen za sve distribucije.

Standardna ili standardna devijacija u statistici se naziva stepen odstupanja opservacijskih podataka ili skupova od PROSJEČNE vrijednosti. Označava se slovima s ili s. Mala standardna devijacija ukazuje da su podaci grupirani oko srednje vrednosti, a velika standardna devijacija ukazuje da su početni podaci daleko od nje. Standardna devijacija jednaka je kvadratnom korijenu veličine koja se zove varijansa. To je prosjek zbira kvadrata razlika početnih podataka koji odstupaju od srednje vrijednosti. Standardna devijacija slučajne varijable je kvadratni korijen varijanse:

Primjer. U uslovima testiranja kada pucate na metu, izračunajte varijansu i standardnu ​​devijaciju slučajne varijable:

Varijacija- fluktuacija, varijabilnost vrijednosti atributa u jedinicama populacije. Odvojene numeričke vrijednosti neke karakteristike koje se javljaju u proučavanoj populaciji nazivaju se varijantama vrijednosti. Nedovoljnost prosječne vrijednosti za potpunu karakterizaciju populacije čini potrebnim da se prosječne vrijednosti dopune indikatorima koji omogućavaju procjenu tipičnosti ovih prosjeka mjerenjem fluktuacije (varijacije) osobine koja se proučava. Koeficijent varijacije se izračunava po formuli:

Varijacija raspona(R) je razlika između maksimalne i minimalne vrijednosti osobine u proučavanoj populaciji. Ovaj pokazatelj daje najopćenitiju ideju o fluktuaciji osobine koja se proučava, jer pokazuje razliku samo između ekstremnih vrijednosti opcija. Ovisnost o ekstremnim vrijednostima atributa daje rasponu varijacije nestabilan, nasumičan karakter.

Prosječna linearna devijacija je aritmetička sredina apsolutnih (modulo) odstupanja svih vrijednosti analizirane populacije od njihove prosječne vrijednosti:

Matematička očekivanja u teoriji kockanja

Matematičko očekivanje je prosječan iznos novca koji kockar može dobiti ili izgubiti na datu opkladu. Ovo je vrlo značajan koncept za igrača, jer je fundamentalan za procjenu većine situacija u igri. Matematičko očekivanje je takođe najbolji alat za analizu osnovnih rasporeda kartica i situacija u igri.

Recimo da igrate novčić sa prijateljem, svaki put dajući jednaku opkladu od 1$, bez obzira na to šta se pojavi. Repovi - pobjeđujete, glave - gubite. Šanse da dođe do pada su jedan prema jedan i kladite se od 1 do 1 dolara. Dakle, vaša matematička očekivanja su nula, jer matematički gledano, ne možeš znati da li ćeš voditi ili izgubiti nakon dva bacanja ili nakon 200.

Vaš dobitak po satu je nula. Isplata po satu je iznos novca koji očekujete da ćete osvojiti za sat vremena. Možete baciti novčić 500 puta u roku od sat vremena, ali nećete pobijediti ili izgubiti jer vaše šanse nisu ni pozitivne ni negativne. Ako pogledate, iz ugla ozbiljnog igrača, ovakav sistem klađenja nije loš. Ali to je samo gubljenje vremena.

Ali pretpostavimo da neko želi da se kladi $2 protiv vašeg $1 u istoj igri. Tada odmah imate pozitivno očekivanje od 50 centi od svake opklade. Zašto 50 centi? U prosjeku dobijete jednu opkladu i izgubite drugu. Kladite se na prvi dolar i izgubite 1$, uložite drugi i osvojite 2$. Kladili ste se na $1 dvaput i ispred ste za $1. Dakle, svaka vaša opklada na jedan dolar dala vam je 50 centi.

Ako novčić padne 500 puta u jednom satu, vaš dobitak po satu će biti već 250$, jer. u prosjeku ste izgubili $1 250 puta i osvojili $2 250 puta. 500$ minus 250$ je 250$, što je ukupan dobitak. Imajte na umu da je očekivana vrijednost, što je iznos koji u prosjeku dobijete na jednoj opkladi, 50 centi. Osvojili ste 250 dolara kladeći se na dolar 500 puta, što je jednako 50 centi vaše opklade.

Matematička očekivanja nemaju nikakve veze sa kratkoročnim rezultatima. Vaš protivnik, koji je odlučio da kladi 2$ protiv vas, mogao bi vas pobijediti u prvih deset bacanja u nizu, ali vi, sa prednošću klađenja 2-na-1, pod svim ostalim jednakim uvjetima, zarađujete 50 centi na svaku opkladu od 1$ pod bilo kojim okolnosti. Nije bitno da li dobijete ili izgubite jednu ili više opklada, ali samo pod uslovom da imate dovoljno novca da lako nadoknadite troškove. Ako nastavite da se kladite na isti način, tada će tokom dužeg vremenskog perioda vaši dobici dostići zbir očekivanih vrijednosti u pojedinačnim bacanjima.

Svaki put kada napravite bolju opkladu (okladu koja može biti isplativa na duge staze) kada su kvote u vašu korist, sigurno ćete nešto osvojiti na tome, bilo da izgubite ili ne u datoj ruci. Suprotno tome, ako ste se kladili sa lošijim ishodom (opklada koja je dugoročno neisplativa) kada kvote nisu u vašu korist, gubite nešto, bez obzira da li ste dobili ili izgubili u ovoj ruci.

Kladite se na najbolji ishod ako su vaša očekivanja pozitivna, a pozitivna je ako su šanse u vašu korist. Klađenjem sa najgorim ishodom, imate negativna očekivanja, što se dešava kada su kvote protiv vas. Ozbiljni igrači se klade samo sa najboljim ishodom, sa najgorim - odustaju. Šta znače šanse u vašu korist? Možda ćete na kraju osvojiti više nego što donose stvarne kvote. Pravi izgledi za postizanje repova su 1 prema 1, ali dobijate 2 prema 1 zbog omjera klađenja. U ovom slučaju, šanse su u vašu korist. Definitivno ćete dobiti najbolji ishod uz pozitivno očekivanje od 50 centi po opkladi.

Evo složenijeg primjera matematičkog očekivanja. Prijatelj zapisuje brojeve od jedan do pet i kladi se $5 protiv vašeg $1 da nećete izabrati broj. Da li pristajete na takvu opkladu? Šta se tu očekuje?

U prosjeku ćete pogriješiti četiri puta. Na osnovu toga, izgledi da ćete pogoditi broj će biti 4 prema 1. Šanse su da ćete izgubiti dolar u jednom pokušaju. Međutim, dobijate 5 prema 1, uz mogućnost gubitka 4 prema 1. Dakle, kvote su u vašu korist, možete uzeti opkladu i nadati se najboljem ishodu. Ako napravite ovu opkladu pet puta, u prosjeku ćete izgubiti četiri puta po $1 i jednom dobiti $5. Na osnovu toga, za svih pet pokušaja ćete zaraditi 1 dolar uz pozitivno matematičko očekivanje od 20 centi po opkladi.

Igrač koji će dobiti više nego što se kladi, kao u gornjem primjeru, hvata kvote. S druge strane, on uništava šanse kada očekuje da će dobiti manje nego što se kladi. Kladilac može imati pozitivna ili negativna očekivanja u zavisnosti od toga da li hvata ili uništava kvote.

Ako se kladite na 50 dolara da osvojite 10 dolara sa šansom za pobjedu 4 prema 1, dobit ćete negativno očekivanje od 2 dolara, jer u prosjeku ćete dobiti četiri puta po 10 dolara i jednom izgubiti 50 dolara, što pokazuje da će gubitak po opkladi biti 10 dolara. Ali ako se kladite na 30 dolara da dobijete 10 dolara, sa istim izgledima za pobjedu 4 prema 1, tada u ovom slučaju imate pozitivno očekivanje od 2 dolara, jer ponovo dobijate četiri puta po 10$ i gubite 30$ jednom, za profit od 10$. Ovi primjeri pokazuju da je prva opklada loša, a druga dobra.

Matematičko očekivanje je centar svake situacije u igri. Kada kladionica ohrabruje ljubitelje fudbala da se klade na 11 dolara da dobiju 10 dolara, oni imaju pozitivno očekivanje od 50 centi za svakih 10 dolara. Ako kazino isplati čak i novac iz Craps pass linije, tada je pozitivna očekivanja kuće otprilike 1,40 dolara za svakih 100 dolara; ova igra je strukturirana tako da svi koji se klade na ovu liniju gube u prosjeku 50,7% i dobiju 49,3% vremena. Bez sumnje, upravo ovo naizgled minimalno pozitivno očekivanje donosi ogroman profit vlasnicima kazina širom svijeta. Kao što je primijetio vlasnik kazina Vegas World Bob Stupak: “Negativna vjerovatnoća od hiljadu procenta na dovoljno dugoj udaljenosti dovest će do bankrota najbogatijeg čovjeka na svijetu.”

Matematička očekivanja pri igranju pokera

Poker je najilustrativniji i najilustrativniji primjer u smislu korištenja teorije i svojstava matematičkog očekivanja.

Očekivana vrijednost u pokeru je prosječna korist od određene odluke, pod uslovom da se takva odluka može razmatrati u okviru teorije velikih brojeva i velike udaljenosti. Uspešan poker podrazumeva uvek prihvatanje poteza sa pozitivnim matematičkim očekivanjima.

Matematičko značenje matematičkog očekivanja pri igranju pokera leži u činjenici da se često susrećemo sa slučajnim varijablama prilikom donošenja odluke (ne znamo koje karte protivnik ima u ruci, koje će karte doći u narednim rundama klađenja). Svako od rješenja moramo razmotriti sa stanovišta teorije velikih brojeva, koja kaže da će s dovoljno velikim uzorkom prosječna vrijednost slučajne varijable težiti njenom matematičkom očekivanju.

Među posebnim formulama za izračunavanje matematičkog očekivanja, u pokeru je najprikladnije sljedeće:

Kada igrate poker, matematičko očekivanje se može izračunati i za opklade i za pozive. U prvom slučaju, fold equity treba uzeti u obzir, u drugom, sopstvene šanse pota. Kada procjenjujemo matematičko očekivanje određenog poteza, treba imati na umu da fold uvijek ima nulto matematičko očekivanje. Stoga će odbacivanje karata uvijek biti isplativija odluka od bilo kojeg negativnog poteza.

Očekivanja vam govore šta možete očekivati ​​(profit ili gubitak) za svaki dolar koji rizikujete. Kazina zarađuju jer matematičko očekivanje svih igara koje se u njima praktikuju ide u prilog kazinu. Uz dovoljno dugu seriju igara, može se očekivati ​​da će klijent izgubiti novac, jer je “vjerovatnoća” u korist kazina. Međutim, profesionalni kazino igrači ograničavaju svoje igre na kratke periode, čime povećavaju šanse u svoju korist. Isto važi i za investiranje. Ako su vaša očekivanja pozitivna, možete zaraditi više novca tako što ćete napraviti mnogo trgovina u kratkom vremenskom periodu. Očekivanje je vaš procenat profita po pobjedi pomnožen vaš prosječni profit minus vaša vjerovatnoća gubitka puta vaš prosječan gubitak.

Poker se takođe može razmatrati u smislu matematičkih očekivanja. Možete pretpostaviti da je određeni potez isplativ, ali u nekim slučajevima možda neće biti najbolji, jer je drugi potez isplativiji. Recimo da ste pogodili punu kuću u pokeru sa pet karata. Vaš protivnik se kladi. Znaš da će on zvati, ako podigneš prodajnu poziciju. Dakle, podizanje izgleda kao najbolja taktika. Ali ako podignete, preostala dva igrača će sigurno odustati. Ali ako platite opkladu, bićete potpuno sigurni da će druga dva igrača nakon vas učiniti isto. Kada podignete opkladu, dobijate jednu jedinicu, a jednostavnim callom dobijate dve. Dakle, pozivanje vam daje veću pozitivnu očekivanu vrijednost i najbolja je taktika.

Matematička očekivanja takođe mogu dati ideju o tome koje poker taktike su manje isplative, a koje isplativije. Na primjer, ako igrate određenu ruku i mislite da je vaš prosječan gubitak 75 centi uključujući ante, onda biste trebali odigrati tu ruku jer ovo je bolje nego odustati kada je ante $1.

Još jedan važan razlog za razumijevanje očekivane vrijednosti je taj što vam daje osjećaj mira bez obzira na to da li dobijete opkladu ili ne: ako napravite dobru opkladu ili prođete na vrijeme, znat ćete da ste zaradili ili uštedjeli određenu količinu novac, koji slabiji igrač nije mogao uštedjeti. Mnogo je teže odustati ako ste frustrirani što vaš protivnik ima bolju ruku na izvlačenju. Uz to, novac koji uštedite neigranjem, umjesto klađenja, dodaje se vašem noćnom ili mjesečnom dobitku.

Samo zapamtite da ako promijenite ruke, vaš protivnik će vas zvati, a kao što ćete vidjeti u članku Fundamental Theorem of Poker, ovo je samo jedna od vaših prednosti. Trebali biste se radovati kada se to dogodi. Možete čak naučiti da uživate u gubitku ruke, jer znate da bi drugi igrači na vašoj koži izgubili mnogo više.

Kao što je objašnjeno u primjeru igre s novčićima na početku, stopa povrata po satu povezana je s matematičkim očekivanjem, a ovaj koncept je posebno važan za profesionalne igrače. Kada ćete igrati poker, morate mentalno procijeniti koliko možete osvojiti za sat vremena igre. U većini slučajeva morat ćete se osloniti na svoju intuiciju i iskustvo, ali možete koristiti i neke matematičke proračune. Na primjer, ako igrate draw lowball i vidite da tri igrača ulažu 10$, a zatim izvlače dvije karte, što je vrlo loša taktika, sami možete izračunati da svaki put kada ulože 10$ gube oko 2$. Svaki od njih to radi osam puta na sat, što znači da sva trojica gube oko 48 dolara po satu. Vi ste jedan od preostala četiri igrača, koji su približno jednaki, tako da ova četiri igrača (i vi među njima) moraju podijeliti 48 dolara i svaki će ostvariti profit od 12 dolara po satu. Vaša satnica u ovom slučaju je jednostavno vaš udio u iznosu novca koji su izgubila tri loša igrača po satu.

Tokom dugog vremenskog perioda, ukupan dobitak igrača je zbir njegovih matematičkih očekivanja u odvojenim distribucijama. Što više igrate sa pozitivnim očekivanjima, više dobijate, i obrnuto, što više ruku igrate sa negativnim očekivanjima, više gubite. Kao rezultat toga, trebali biste dati prednost igri koja može maksimizirati vaša pozitivna očekivanja ili negirati vaša negativna očekivanja kako biste mogli maksimizirati svoj dobitak po satu.

Pozitivna matematička očekivanja u strategiji igre

Ako znate brojati karte, možda ćete imati prednost u odnosu na kasino ako vas ne primjete i izbace. Kazina vole pijane kockare i ne podnose brojanje karata. Prednost će vam omogućiti da pobijedite više puta nego što izgubite tokom vremena. Dobro upravljanje novcem koristeći kalkulacije očekivanja može vam pomoći da iskoristite svoju prednost i smanjite gubitke. Bez prednosti, bolje je dati novac u dobrotvorne svrhe. U igri na berzi prednost daje sistem igre koji stvara više profita nego gubitaka, razlika u ceni i provizija. Nikakvo upravljanje novcem neće spasiti loš sistem igara.

Pozitivno očekivanje je definirano vrijednošću većom od nule. Što je ovaj broj veći, to je statističko očekivanje jače. Ako je vrijednost manja od nule, tada će i matematičko očekivanje biti negativno. Što je veći modul negativne vrijednosti, to je situacija gora. Ako je rezultat nula, onda je očekivanje neisplativo. Možete pobijediti samo kada imate pozitivna matematička očekivanja, razuman sistem igre. Igranje na intuiciji vodi do katastrofe.

Matematička očekivanja i trgovanje dionicama

Matematičko očekivanje je prilično tražen i popularan statistički indikator u berzanskom trgovanju na finansijskim tržištima. Prije svega, ovaj parametar se koristi za analizu uspješnosti trgovanja. Nije teško pretpostaviti da što je ova vrijednost veća, to je više razloga da se proučavana trgovina smatra uspješnom. Naravno, analiza rada trgovca ne može se izvršiti samo uz pomoć ovog parametra. Međutim, izračunata vrijednost, u kombinaciji s drugim metodama procjene kvaliteta rada, može značajno povećati tačnost analize.

Matematičko očekivanje se često izračunava u uslugama praćenja trgovačkih računa, što vam omogućava da brzo procijenite rad na depozitu. Kao izuzetke, možemo navesti strategije koje koriste „prestajanje“ gubitnih trgovina. Trgovac može imati sreće neko vrijeme, pa stoga u njegovom radu možda neće biti nikakvih gubitaka. U tom slučaju neće se moći kretati samo očekivanjem, jer se rizici koji se koriste u radu neće uzeti u obzir.

U trgovanju na tržištu, matematičko očekivanje se najčešće koristi kada se predviđa profitabilnost strategije trgovanja ili kada se predviđa prihod trgovca na osnovu statistike njegovih prethodnih trgovina.

Što se tiče upravljanja novcem, vrlo je važno shvatiti da kada se sklapaju trgovine sa negativnim očekivanjima, ne postoji šema upravljanja novcem koja definitivno može donijeti visok profit. Ako nastavite da igrate razmjenu pod ovim uvjetima, onda bez obzira na to kako upravljate svojim novcem, izgubit ćete cijeli račun, bez obzira koliko je bio na početku.

Ovaj aksiom nije istinit samo za igre sa negativnim očekivanjima ili trgovine, već je istinit i za igre parnih kvota. Stoga, jedini slučaj u kojem imate šansu da dugoročno profitirate je kada sklapate poslove s pozitivnim matematičkim očekivanjima.

Razlika između negativnih i pozitivnih očekivanja je razlika između života i smrti. Nije važno koliko su očekivanja pozitivna ili negativna; bitno je da li je pozitivan ili negativan. Stoga, prije nego što razmislite o upravljanju novcem, morate pronaći igru ​​s pozitivnim očekivanjima.

Ako nemate tu igru, onda vas neće spasiti nikakvo upravljanje novcem na svijetu. S druge strane, ako imate pozitivna očekivanja, onda je moguće, kroz pravilno upravljanje novcem, pretvoriti to u funkciju eksponencijalnog rasta. Nije važno koliko su pozitivna očekivanja mala! Drugim riječima, nije važno koliko je profitabilan sistem trgovanja zasnovan na jednom ugovoru. Ako imate sistem koji osvaja 10 USD po ugovoru u jednoj trgovini (nakon naknada i klizanja), možete koristiti tehnike upravljanja novcem da biste ga učinili profitabilnijim od sistema koji pokazuje prosječan profit od 1000 USD po trgovini (nakon odbitka provizija i klizanje).

Nije bitno koliko je sistem bio profitabilan, već koliko se sigurno može reći da će sistem u budućnosti iskazati barem minimalan profit. Stoga je najvažnija priprema koju trgovac može napraviti je osigurati da sistem pokazuje pozitivnu očekivanu vrijednost u budućnosti.

Da biste imali pozitivnu očekivanu vrijednost u budućnosti, veoma je važno da ne ograničavate stepene slobode vašeg sistema. Ovo se postiže ne samo eliminacijom ili smanjenjem broja parametara koji se optimizuju, već i smanjenjem što većeg broja sistemskih pravila. Svaki parametar koji dodate, svako pravilo koje napravite, svaka mala promjena koju napravite u sistemu smanjuje broj stupnjeva slobode. U idealnom slučaju, želite da izgradite prilično primitivan i jednostavan sistem koji će konstantno donositi mali profit na gotovo svakom tržištu. Opet, važno je da shvatite da nije važno koliko je sistem profitabilan, sve dok je profitabilan. Novac koji zaradite u trgovanju biće zarađen kroz efikasno upravljanje novcem.

Sistem trgovanja je jednostavno alat koji vam daje pozitivna matematička očekivanja tako da se može koristiti upravljanje novcem. Sistemi koji rade (pokazuju barem minimalni profit) na samo jednom ili nekoliko tržišta, ili imaju različita pravila ili parametre za različita tržišta, najvjerovatnije neće dugo raditi u realnom vremenu. Problem kod većine tehnički orijentisanih trgovaca je što troše previše vremena i truda na optimizaciju različitih pravila i parametara sistema trgovanja. Ovo daje potpuno suprotne rezultate. Umjesto da trošite energiju i kompjutersko vrijeme na povećanje profita trgovačkog sistema, svoju energiju usmjerite na povećanje nivoa pouzdanosti ostvarivanja minimalnog profita.

Znajući da je upravljanje novcem samo igra brojeva koja zahtijeva korištenje pozitivnih očekivanja, trgovac može prestati tražiti "sveti gral" trgovanja dionicama. Umjesto toga, može početi testirati svoju metodu trgovanja, saznati koliko je ova metoda logično opravdana, daje li pozitivna očekivanja. Ispravne metode upravljanja novcem primijenjene na bilo koju, čak i vrlo osrednju metodu trgovanja, obavit će ostatak posla.

Svaki trgovac za uspjeh u svom radu treba riješiti tri najvažnija zadatka: . Da bi se osiguralo da broj uspješnih transakcija premašuje neizbježne greške i pogrešne proračune; Postavite svoj sistem trgovanja tako da vam je prilika za zaradu što je moguće češće; Ostvarite stabilan pozitivan rezultat svog poslovanja.

I ovdje, nama, trgovcima koji rade, matematičko očekivanje može biti dobra pomoć. Ovaj pojam u teoriji vjerovatnoće je jedan od ključnih. Pomoću njega možete dati prosječnu procjenu neke slučajne vrijednosti. Matematičko očekivanje slučajne varijable je kao centar gravitacije, ako zamislimo sve moguće vjerovatnoće kao tačke sa različitim masama.

U odnosu na strategiju trgovanja, za procenu njene efikasnosti, najčešće se koristi matematičko očekivanje dobiti (ili gubitka). Ovaj parametar se definiše kao zbir proizvoda datih nivoa dobiti i gubitka i verovatnoće njihovog nastanka. Na primjer, razvijena strategija trgovanja pretpostavlja da će 37% svih operacija donijeti profit, a preostali dio - 63% - biti neprofitabilan. Istovremeno, prosječan prihod od uspješne transakcije će biti 7 dolara, a prosječan gubitak 1,4 dolara. Izračunajmo matematičko očekivanje trgovanja koristeći sljedeći sistem:

Šta znači ovaj broj? Kaže da ćemo, po pravilima ovog sistema, u prosjeku dobiti 1.708 dolara od svake zaključene transakcije. Pošto je rezultat efikasnosti veći od nule, takav sistem se može koristiti za pravi rad. Ako se, kao rezultat izračuna, matematičko očekivanje pokaže negativnim, onda to već ukazuje na prosječan gubitak i takvo trgovanje će dovesti do propasti.

Iznos profita po trgovini se takođe može izraziti kao relativna vrijednost u obliku %. Na primjer:

– procenat prihoda po 1 transakciji - 5%;

– procenat uspješnog trgovanja - 62%;

– procenat gubitka po 1 trgovini - 3%;

- procenat neuspješnih transakcija - 38%;

Odnosno, prosječna transakcija će donijeti 1,96%.

Moguće je razviti sistem koji će, uprkos dominaciji gubitnih poslova, dati pozitivan rezultat, budući da je MO>0.

Međutim, samo čekanje nije dovoljno. Teško je zaraditi novac ako sistem daje vrlo malo trgovačkih signala. U ovom slučaju, njegova profitabilnost će biti uporediva sa bankarskim kamatama. Neka svaka operacija u prosjeku donosi samo 0,5 dolara, ali šta ako sistem pretpostavi 1000 transakcija godišnje? Ovo će biti veoma ozbiljan iznos u relativno kratkom vremenu. Iz ovoga logično sledi da se još jednim obeležjem dobrog sistema trgovanja može smatrati kratak period držanja.

Izvori i linkovi

dic.academic.ru - akademski online rječnik

mathematics.ru - obrazovna stranica o matematici

nsu.ru – obrazovna web stranica Novosibirskog državnog univerziteta

webmath.ru je obrazovni portal za studente, kandidate i školarce.

exponenta.ru obrazovna matematička web stranica

ru.tradimo.com - besplatna škola za online trgovanje

crypto.hut2.ru - multidisciplinarni informativni resurs

poker-wiki.ru - besplatna enciklopedija pokera

sernam.ru - Naučna biblioteka izabranih publikacija prirodnih nauka

reshim.su - web stranica RJEŠAVANJE zadataka kontrola kurseva

unfx.ru – Forex na UNFX: obrazovanje, trgovački signali, upravljanje povjerenjem

slovopedia.com - Veliki enciklopedijski rječnik

pokermansion.3dn.ru - Vaš vodič u svijet pokera

statanaliz.info - informativni blog "Statistička analiza podataka"

forex-trader.rf - portal Forex-Trader

megafx.ru - ažurna Forex analitika

fx-by.com - sve za trgovca

U teoriji vjerovatnoće iu mnogim njenim primjenama, različite numeričke karakteristike slučajnih varijabli su od velike važnosti. Glavni su matematičko očekivanje i varijansa.

1. Matematičko očekivanje slučajne varijable i njena svojstva.

Razmotrite prvo sljedeći primjer. Neka fabrika dobije seriju koja se sastoji od N ležajevi. pri čemu:

m 1 x 1,
m2- broj ležajeva sa spoljnim prečnikom x 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n- broj ležajeva sa spoljnim prečnikom x n,

Evo m 1 +m 2 +...+m n =N. Pronađite aritmetičku sredinu x cf vanjski prečnik ležaja. Očigledno,
Vanjski prečnik ležaja koji se nasumično vadi može se smatrati slučajnom varijablom koja uzima vrijednosti x 1, x 2, ..., x n, sa odgovarajućim vjerovatnoćama p 1 \u003d m 1 / N, p 2 \u003d m 2 /N, ..., p n =m n /N, jer je vjerovatnoća pi izgled ležaja sa spoljnim prečnikom x i je jednako m i /N. Dakle, aritmetička sredina x cf vanjski prečnik ležaja može se odrediti pomoću odnosa
Neka je diskretna slučajna varijabla sa datim zakonom raspodjele vjerovatnoće

matematičko očekivanje diskretna slučajna varijabla naziva se zbir parnih proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih odgovarajućih vjerovatnoća, tj. *
Pretpostavlja se da nepravilan integral na desnoj strani jednakosti (40) postoji.

Razmotrite svojstva matematičkog očekivanja. Pritom se ograničavamo na dokazivanje samo prva dva svojstva, koje ćemo provesti za diskretne slučajne varijable.

1°. Matematičko očekivanje konstante C je jednako ovoj konstanti.
Dokaz. Trajno C može se posmatrati kao slučajna varijabla koja može poprimiti samo jednu vrijednost C sa vjerovatnoćom jednakom jedan. Zbog toga

2°. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka očekivanja, tj.
Dokaz. Koristeći relaciju (39), imamo

3°. Matematičko očekivanje sume nekoliko slučajnih varijabli jednako je zbroju matematičkih očekivanja ovih varijabli:

Disperzija kontinuirana slučajna varijabla X, čije moguće vrijednosti pripadaju cijeloj osi Ox, određena je jednakošću:

Servisni zadatak. Online kalkulator je dizajniran za rješavanje problema u kojima bilo gustina distribucije f(x) ili funkcija distribucije F(x) (vidi primjer). Obično je u takvim zadacima potrebno pronaći matematičko očekivanje, standardna devijacija, nacrtajte funkcije f(x) i F(x).

Uputstvo. Odaberite tip ulaznih podataka: gustina distribucije f(x) ili funkcija distribucije F(x) .

Gustina distribucije f(x) je data:

Funkcija distribucije F(x) je data:

Kontinuirana slučajna varijabla je definirana gustinom vjerovatnoće
(Rayleighov zakon distribucije - koristi se u radiotehnici). Pronađite M(x) , D(x) .

Poziva se slučajna varijabla X kontinuirano , ako je njegova funkcija distribucije F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable koristi se za izračunavanje vjerovatnoće da slučajna varijabla padne u dati interval:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
štaviše, za kontinuiranu slučajnu varijablu, nije bitno da li su njene granice uključene u ovaj interval ili ne:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Gustina distribucije kontinuirana slučajna varijabla naziva se funkcija
f(x)=F'(x) , derivacija funkcije distribucije.

Svojstva gustine distribucije