Proučavanje funkcije y 4x x 2. Zadaci iz zbirke Kuznjecova L

Solver Kuznetsov.
III grafikoni

Zadatak 7. Izvršiti potpunu studiju funkcije i konstruirati njen graf.

        Pre nego što počnete da preuzimate svoje opcije, pokušajte da rešite problem prema dole navedenom primeru za opciju 3. Neke od opcija su arhivirane u .rar formatu

        7.3 Provesti potpunu studiju funkcije i nacrtati je

Rješenje.

        1) Opseg definicije:         ili        , odnosno        .
.
Dakle:         .

        2) Nema tačaka preseka sa osom Ox. Zaista, jednačina         nema rješenja.
Ne postoje tačke preseka sa Oy osom, jer        .

        3) Funkcija nije ni parna ni neparna. Ne postoji simetrija oko ordinatne ose. Takođe nema simetrije oko porekla. Jer
.
Vidimo da         i        .

        4) Funkcija je kontinuirana u domeni definicije
.

; .

; .
Prema tome, tačka         je tačka diskontinuiteta druge vrste (beskonačni diskontinuitet).

5) Vertikalne asimptote:       

Nađimo kosu asimptotu        . Evo

;
.
Prema tome, imamo horizontalnu asimptotu: y=0. Nema kosih asimptota.

        6) Nađimo prvi izvod. Prva izvedenica:
.
I zato
.
Nađimo stacionarne tačke u kojima je derivacija jednaka nuli, tj
.

        7) Nađimo drugi izvod. Drugi derivat:
.
A to je lako provjeriti, jer

Kako proučavati funkciju i izgraditi njen graf?

Čini se da počinjem da shvatam duhovno pronicljivo lice vođe svetskog proletarijata, autora sabranih dela u 55 tomova... Dugo putovanje počelo je sa osnovnim informacijama o funkcije i grafovi, a sada se rad na radno intenzivnoj temi završava logičnim rezultatom - člankom o potpunom proučavanju funkcije. Dugo očekivani zadatak formuliran je na sljedeći način:

Proučite funkciju koristeći metode diferencijalnog računa i izgradite njen graf na osnovu rezultata studije

Ili ukratko: ispitajte funkciju i napravite graf.

Zašto istraživati? U jednostavnim slučajevima, neće nam biti teško razumjeti elementarne funkcije i nacrtati graf dobiven korištenjem elementarne geometrijske transformacije i tako dalje. Međutim, svojstva i grafički prikazi složenijih funkcija daleko su od očiglednih, zbog čega je potrebna cijela studija.

Glavni koraci rješenja su sažeti u referentnom materijalu Shema proučavanja funkcija, ovo je vaš vodič za sekciju. Dumkama je potrebno objašnjenje teme korak po korak, neki čitaoci ne znaju odakle da počnu ili kako da organizuju svoje istraživanje, a napredne studente može zanimati samo nekoliko tačaka. Ali ko god da ste, dragi posjetitelju, predloženi sažetak sa uputama za razne lekcije brzo će vas orijentirati i voditi u smjeru interesovanja. Roboti su lili suze =) Priručnik je postavljen kao pdf fajl i zauzeo je zasluženo mesto na stranici Matematičke formule i tabele.

Navikao sam da raščlanim istraživanje funkcije na 5-6 tačaka:

6) Dodatne tačke i grafikon na osnovu rezultata istraživanja.

Što se tiče završne akcije, mislim da je svima sve jasno - bit će jako razočaravajuće ako se za nekoliko sekundi precrta i zadatak vrati na doradu. ISPRAVAN I TAČAN CRTEŽ je glavni rezultat rješenja! Vjerovatno će "prikriti" analitičke greške, dok će netačan i/ili nemaran raspored uzrokovati probleme čak i sa savršeno provedenom studijom.

Treba napomenuti da se u drugim izvorima broj istraživačkih točaka, redoslijed njihove implementacije i stil dizajna mogu značajno razlikovati od sheme koju sam predložio, ali je u većini slučajeva sasvim dovoljan. Najjednostavnija verzija problema sastoji se od samo 2-3 faze i formulisana je otprilike ovako: “istraži funkciju koristeći derivaciju i napravi graf” ili “istraži funkciju koristeći 1. i 2. izvode, napravi graf”.

Naravno, ako vaš priručnik detaljno opisuje neki drugi algoritam ili vaš nastavnik striktno zahtijeva da se pridržavate njegovih predavanja, tada ćete morati izvršiti neke prilagodbe rješenja. Ništa teže nego zamijeniti viljušku motorne pile kašikom.

Provjerimo funkciju parno/neparno:

Nakon toga slijedi obrazac odgovora:
, što znači da ova funkcija nije parna ili neparna.

Budući da je funkcija kontinuirana na , ne postoje vertikalne asimptote.

Nema ni kosih asimptota.

Bilješka : Podsjećam da je viši redosled rasta, nego , stoga je konačna granica tačno “ plus beskonačnost."

Hajde da saznamo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti:

Drugim riječima, ako idemo desno, onda graf ide beskonačno daleko gore, ako idemo lijevo, ide beskonačno daleko dolje. Da, postoje i dva ograničenja pod jednim unosom. Ako imate poteškoća s dešifriranjem znakova, posjetite lekciju o beskonačno male funkcije.

Dakle, funkcija nije ograničeno odozgo I nije ograničeno odozdo. S obzirom da nemamo graničnih tačaka, postaje jasno opseg funkcija: – također bilo koji realni broj.

KORISNA TEHNIČKA TEHNIKA

Svaka faza zadatka donosi nove informacije o grafu funkcije, stoga je tokom rješavanja zgodno koristiti neku vrstu LAYOUT-a. Nacrtajmo kartezijanski koordinatni sistem na nacrtu. Šta se već sigurno zna? Prvo, graf nema asimptote, stoga nema potrebe za crtanjem pravih linija. Drugo, znamo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti. Prema analizi, pravimo prvu aproksimaciju:

Imajte na umu da zbog kontinuitet funkcija uključena i činjenica da graf mora prijeći os barem jednom. Ili možda postoji nekoliko tačaka ukrštanja?

3) Nule funkcije i intervali predznaka konstante.

Prvo, pronađimo tačku preseka grafa sa ordinatnom osom. To je jednostavno. Potrebno je izračunati vrijednost funkcije na:

Jedan i pol iznad nivoa mora.

Da bismo pronašli točke presjeka s osom (nule funkcije), moramo riješiti jednačinu i tu nas čeka neugodno iznenađenje:

Na kraju vreba slobodan član, što znatno otežava zadatak.

Takva jednadžba ima barem jedan pravi korijen, a najčešće je iracionalan. U najgoroj bajci čekaju nas tri praščića. Jednačina je rješiva ​​pomoću tzv Cardano formule, ali šteta na papiru je uporediva sa gotovo cijelom studijom. U tom smislu, mudrije je pokušati odabrati barem jedan, bilo usmeno ili u nacrtu. cijeli root. Provjerimo da li su ovi brojevi:
– nije prikladno;
- Tu je!

Lucky here. U slučaju neuspjeha, možete i testirati, a ako se ovi brojevi ne uklapaju, bojim se da su vrlo male šanse za isplativo rješenje jednadžbe. Tada je bolje potpuno preskočiti tačku istraživanja - možda će nešto postati jasnije u završnom koraku, kada će se probiti dodatne točke. A ako su korijen(i) očito "loši", onda je bolje skromno šutjeti o intervalima postojanosti znakova i pažljivije crtati.

Međutim, imamo lijep korijen, pa dijelimo polinom bez ostatka:

Algoritam za dijeljenje polinoma polinomom detaljno je razmotren u prvom primjeru lekcije Kompleksne granice.

Kao rezultat, lijeva strana originalne jednadžbe razgrađuje se u proizvod:

A sada malo o zdravom načinu života. Ja to, naravno, razumem kvadratne jednačine treba rješavati svaki dan, ali danas ćemo napraviti izuzetak: jednadžbu ima dva prava korena.

Iscrtajmo pronađene vrijednosti na brojevnoj liniji I intervalna metoda Definirajmo znakove funkcije:


og Dakle, na intervalima raspored se nalazi
ispod x-ose i u intervalima – iznad ove ose.

Nalazi nam omogućavaju da preciziramo naš izgled, a druga aproksimacija grafa izgleda ovako:

Imajte na umu da funkcija mora imati najmanje jedan maksimum u intervalu i najmanje jedan minimum u intervalu. Ali još ne znamo koliko puta, gdje i kada će se raspored petljati. Usput, funkcija može imati beskonačno mnogo ekstremi.

4) Povećanje, smanjenje i ekstremi funkcije.

Nađimo kritične tačke:

Ova jednadžba ima dva realna korijena. Stavimo ih na brojevnu pravu i odredimo predznake derivacije:


Stoga se funkcija povećava za i smanjuje se za .
U trenutku kada funkcija dostigne svoj maksimum: .
U trenutku kada funkcija dosegne minimum: .

Utvrđene činjenice dovode naš predložak u prilično krut okvir:

Nepotrebno je reći da je diferencijalni račun moćna stvar. Hajde da konačno shvatimo oblik grafa:

5) Konveksnost, konkavnost i pregibne tačke.

Nađimo kritične tačke drugog izvoda:

Hajde da definišemo znakove:


Graf funkcije je konveksan na i konkavan na . Izračunajmo ordinatu prevojne tačke: .

Gotovo sve je postalo jasno.

6) Ostaje pronaći dodatne točke koje će vam pomoći da preciznije konstruirate graf i izvršite samotestiranje. U ovom slučaju ih je malo, ali ih nećemo zanemariti:

Napravimo crtež:

Prevojna tačka je označena zelenom bojom, dodatne tačke su označene krstićima. Graf kubične funkcije je simetričan u odnosu na njenu prevojnu tačku, koja se uvijek nalazi striktno u sredini između maksimuma i minimuma.

Kako je zadatak napredovao, dao sam tri hipotetička privremena crteža. U praksi je dovoljno nacrtati koordinatni sistem, označiti pronađene tačke i nakon svake tačke istraživanja mentalno procijeniti kako bi grafik funkcije mogao izgledati. Studentima sa dobrim nivoom pripremljenosti neće biti teško izvršiti takvu analizu samo u svojim glavama, bez uključivanja nacrta.

Da to sami riješite:

Primjer 2

Istražite funkciju i napravite graf.

Ovdje je sve brže i zabavnije, približni primjer konačnog dizajna na kraju lekcije.

Proučavanje frakcionih racionalnih funkcija otkriva mnoge tajne:

Primjer 3

Koristite metode diferencijalnog računa za proučavanje funkcije i, na osnovu rezultata studije, konstruirajte njen graf.

Rješenje: prva faza studije ne odlikuje se ničim izvanrednim, izuzev rupe u području definicije:

1) Funkcija je definirana i kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj osim tačke, domena: .

, što znači da ova funkcija nije parna ili neparna.

Očigledno je da je funkcija neperiodična.

Graf funkcije predstavlja dvije kontinuirane grane koje se nalaze u lijevoj i desnoj poluravni - ovo je možda najvažniji zaključak točke 1.

2) Asimptote, ponašanje funkcije u beskonačnosti.

a) Koristeći jednostrane granice, ispitujemo ponašanje funkcije u blizini sumnjive tačke, gdje bi jasno trebala postojati vertikalna asimptota:

Zaista, funkcije traju beskrajni jaz u tački
a prava linija (osa) je vertikalna asimptota grafike.

b) Provjerimo da li postoje kose asimptote:

Da, pravo je kosa asimptota grafika , ako .

Nema smisla analizirati granice, jer je već jasno da funkcija obuhvata svoju kosu asimptotu nije ograničeno odozgo I nije ograničeno odozdo.

Druga tačka istraživanja dala je mnogo važnih informacija o funkciji. Hajde da napravimo grubu skicu:

Zaključak br. 1 odnosi se na intervale konstantnog predznaka. Na “minus beskonačnosti” graf funkcije se jasno nalazi ispod x-ose, a na “plus beskonačnosti” je iznad ove ose. Osim toga, jednostrane granice nam govore da je i lijevo i desno od tačke funkcija također veća od nule. Imajte na umu da u lijevoj poluravni graf mora barem jednom preći x-osu. Ne može biti nula funkcije u desnoj poluravni.

Zaključak broj 2 je da se funkcija povećava na i lijevo od tačke (ide “odozdo prema gore”). Desno od ove tačke, funkcija se smanjuje (ide „od vrha do dna“). Desna grana grafa svakako mora imati barem jedan minimum. Na lijevoj strani, ekstremi nisu zagarantovani.

Zaključak br. 3 daje pouzdane informacije o konkavnosti grafa u blizini tačke. Još ne možemo ništa reći o konveksnosti/konkavnosti u beskonačnosti, jer se prava može pritisnuti prema svojoj asimptoti i odozgo i odozdo. Uopšteno govoreći, postoji analitički način da se ovo otkrije upravo sada, ali će oblik grafikona postati jasniji u kasnijoj fazi.

Zašto toliko riječi? Za kontrolu narednih tačaka istraživanja i izbjegavanje grešaka! Dalji proračuni ne bi trebali biti u suprotnosti sa izvedenim zaključcima.

3) Tačke preseka grafika sa koordinatnim osama, intervali konstantnog predznaka funkcije.

Grafikon funkcije ne siječe os.

Metodom intervala određujemo znakove:

, Ako ;
, Ako .

Rezultati ove tačke su u potpunosti u skladu sa Zaključkom br. 1. Nakon svake faze pogledajte nacrt, mentalno provjerite istraživanje i dovršite graf funkcije.

U primjeru koji se razmatra, brojilac je pojam po član podijeljen nazivnikom, što je vrlo korisno za diferencijaciju:

Zapravo, to je već učinjeno prilikom pronalaženja asimptota.

- kritična tačka.

Hajde da definišemo znakove:

povećava za i smanjuje se za

U trenutku kada funkcija dosegne minimum: .

Takođe nije bilo odstupanja sa Zaključkom br. 2 i, najvjerovatnije, na dobrom smo putu.

To znači da je graf funkcije konkavan u cijeloj domeni definicije.

Odlično - i ne morate ništa crtati.

Nema prevojnih tačaka.

Konkavnost je u skladu sa Zaključkom br. 3, štoviše, ukazuje da se u beskonačnosti (i tamo i tamo) nalazi graf funkcije viši njena kosa asimptota.

6) Zadatak ćemo savjesno zakačiti dodatnim bodovima. Tu ćemo se morati potruditi, jer znamo samo dvije tačke iz istraživanja.

I slika koju su mnogi ljudi vjerovatno davno zamislili:

Tokom izvršavanja zadatka, morate pažljivo osigurati da nema kontradikcija između faza istraživanja, ali ponekad je situacija hitna ili čak očajnički ćorsokak. Analitika se "ne sabira" - to je sve. U ovom slučaju preporučujem hitnu tehniku: pronađemo što više tačaka koje pripadaju grafu (koliko imamo strpljenja) i označimo ih na koordinatnoj ravni. Grafička analiza pronađenih vrijednosti će vam u većini slučajeva reći gdje je istina, a gdje laž. Osim toga, graf se može unaprijed izraditi pomoću nekog programa, na primjer, u Excelu (naravno, to zahtijeva vještine).

Primjer 4

Koristite metode diferencijalnog računa da proučavate funkciju i konstruišete njen graf.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. U njemu je samokontrola pojačana paritetom funkcije - graf je simetričan u odnosu na os, i ako u vašem istraživanju nešto protivreči ovoj činjenici, potražite grešku.

Parna ili neparna funkcija se može proučavati samo na , a zatim koristiti simetriju grafa. Ovo rješenje je optimalno, ali, po mom mišljenju, izgleda vrlo neobično. Lično gledam cijelu brojevnu pravu, ali još uvijek nalazim dodatne točke samo na desnoj strani:

Primjer 5

Izvršite potpunu studiju funkcije i konstruirajte njen graf.

Rješenje: stvari su postale teške:

1) Funkcija je definirana i kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj: .

To znači da je ova funkcija neparna, njen graf je simetričan u odnosu na ishodište.

Očigledno je da je funkcija neperiodična.

2) Asimptote, ponašanje funkcije u beskonačnosti.

Budući da je funkcija kontinuirana na , ne postoje vertikalne asimptote

Za funkciju koja sadrži eksponent, to je tipično odvojeno proučavanje "plusa" i "minusa beskonačnosti", međutim, naš život olakšava simetrija grafa - ili postoji asimptota i lijevo i desno, ili je nema. Stoga se oba beskonačna ograničenja mogu napisati pod jednim unosom. Tokom rješenja koje koristimo L'Hopitalovo pravilo:

Prava linija (osa) je horizontalna asimptota grafa na .

Imajte na umu kako sam lukavo izbjegao cijeli algoritam za pronalaženje kose asimptote: granica je potpuno legalna i pojašnjava ponašanje funkcije u beskonačnosti, a horizontalna asimptota je otkrivena „kao u isto vrijeme“.

Iz kontinuiteta nadalje i postojanja horizontalne asimptote slijedi da je funkcija omeđen iznad I ograničen ispod.

3) Tačke preseka grafika sa koordinatnim osama, intervali konstantnog predznaka.

Ovdje također skraćujemo rješenje:
Graf prolazi kroz ishodište.

Nema drugih tačaka preseka sa koordinatnim osama. Štaviše, intervali konstantnosti predznaka su očigledni, a os ne treba crtati: , što znači da predznak funkcije zavisi samo od “x”:
, Ako ;
, Ako .

4) Povećanje, smanjenje, ekstremi funkcije.


– kritične tačke.

Tačke su simetrične oko nule, kako i treba da bude.

Odredimo predznake derivacije:


Funkcija se povećava u intervalu i smanjuje na intervalima

U trenutku kada funkcija dostigne svoj maksimum: .

Zbog imovine (neobičnost funkcije) minimum se ne mora izračunati:

Pošto funkcija opada u intervalu, onda se, očito, graf nalazi na "minus beskonačnost" ispod njegova asimptota. Tokom intervala, funkcija se također smanjuje, ali ovdje je obrnuto - nakon što prođe kroz maksimalnu tačku, prava se približava osi odozgo.

Iz gore navedenog također slijedi da je graf funkcije konveksan na “minus beskonačnost” i konkavan na “plus beskonačnost”.

Nakon ove tačke proučavanja, nacrtan je raspon vrijednosti funkcije:

Ako imate bilo kakvo nesporazume u nekoj tački, još jednom vas pozivam da nacrtate koordinatne ose u svojoj svesci i sa olovkom u rukama ponovo analizirate svaki zaključak zadatka.

5) Konveksnost, konkavnost, nagibi grafa.

– kritične tačke.

Simetrija tačaka je očuvana i, najvjerovatnije, ne griješimo.

Hajde da definišemo znakove:


Graf funkcije je konveksan na i konkavno na .

Potvrđena je konveksnost/konkavnost u ekstremnim intervalima.

Na svim kritičnim tačkama postoje pregibi na grafikonu. Nađimo ordinate prevojnih tačaka i opet smanjimo broj izračuna koristeći neparnost funkcije:

Ako problem zahtijeva potpuno proučavanje funkcije f (x) = x 2 4 x 2 - 1 sa konstrukcijom njenog grafa, onda ćemo ovaj princip detaljno razmotriti.

Da biste riješili problem ovog tipa, trebali biste koristiti svojstva i grafove osnovnih elementarnih funkcija. Algoritam istraživanja uključuje sljedeće korake:

Pronalaženje domene definicije

S obzirom da se istraživanje provodi u domenu definicije funkcije, potrebno je krenuti s ovim korakom.

Primjer 1

Navedeni primjer uključuje pronalaženje nula nazivnika kako bi ih isključili iz ODZ-a.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Kao rezultat, možete dobiti korijene, logaritme i tako dalje. Tada se ODZ može tražiti za korijen parnog stepena tipa g (x) 4 po nejednakosti g (x) ≥ 0, za logaritam log a g (x) po nejednakosti g (x) > 0.

Proučavanje granica ODZ-a i pronalaženje vertikalnih asimptota

Postoje vertikalne asimptote na granicama funkcije, kada su jednostrane granice u takvim tačkama beskonačne.

Primjer 2

Na primjer, razmotrite granične točke jednake x = ± 1 2.

Zatim je potrebno proučiti funkciju da bi se pronašla jednostrana granica. Tada dobijamo: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Ovo pokazuje da su jednostrane granice beskonačne, što znači da su prave linije x = ± 1 2 vertikalne asimptote grafa.

Proučavanje funkcije i da li je parna ili neparna

Kada je uslov y (- x) = y (x) zadovoljen, funkcija se smatra parnom. Ovo sugerira da se graf nalazi simetrično u odnosu na Oy. Kada je uslov y (- x) = - y (x) zadovoljen, funkcija se smatra neparnom. To znači da je simetrija relativna u odnosu na ishodište koordinata. Ako barem jedna nejednakost nije zadovoljena, dobijamo funkciju općeg oblika.

Jednakost y (- x) = y (x) ukazuje da je funkcija parna. Prilikom konstruisanja potrebno je uzeti u obzir da će postojati simetrija u odnosu na Oy.

Za rješavanje nejednakosti koriste se intervali povećanja i opadanja sa uslovima f " (x) ≥ 0 i f " (x) ≤ 0, respektivno.

Definicija 1

Stacionarne tačke- to su tačke koje pretvaraju izvod na nulu.

Kritične tačke- to su unutrašnje tačke iz domena definicije u kojima je derivacija funkcije jednaka nuli ili ne postoji.

Prilikom donošenja odluke potrebno je uzeti u obzir sljedeće napomene:

• za postojeće intervale rastućih i opadajućih nejednačina oblika f" (x) > 0, kritične tačke nisu uključene u rješenje;
• tačke u kojima je funkcija definisana bez konačnog izvoda moraju biti uključene u intervale povećanja i smanjenja (na primer, y = x 3, gde tačka x = 0 čini funkciju definisanom, izvod ima vrednost beskonačnosti u ovom tačka, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 je uključeno u rastući interval);
• Kako bi se izbjegle nesuglasice, preporučuje se korištenje matematičke literature koju preporučuje Ministarstvo prosvjete.

Uključivanje kritičnih tačaka u intervale rasta i opadanja ako zadovoljavaju domen definicije funkcije.

Definicija 2

Za određivanje intervala povećanja i smanjenja funkcije, potrebno je pronaći:

• derivat;
• kritične tačke;
• podijeliti domenu definicije na intervale koristeći kritične tačke;
• odrediti predznak izvoda na svakom od intervala, gdje je + povećanje, a - smanjenje.

Primjer 3

Pronađite izvod na domeni definicije f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Rješenje

Za rješavanje potrebno je:

• pronađite stacionarne tačke, ovaj primjer ima x = 0;
• pronađite nule nazivnika, primjer uzima vrijednost nula na x = ± 1 2.

Postavljamo tačke na brojevnu osu da bismo odredili izvod na svakom intervalu. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koju tačku iz intervala i izvršiti proračun. Ako je rezultat pozitivan, na grafu prikazujemo +, što znači da funkcija raste, a - znači da je opadajuća.

Na primjer, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, što znači da prvi interval lijevo ima znak +. Razmotrite brojevnu pravu.

odgovor:

• funkcija raste na intervalu - ∞; - 1 2 i (- 1 2 ; 0 ] ;
• dolazi do smanjenja intervala [ 0 ; 1 2) i 1 2 ; + ∞ .

Na dijagramu, koristeći + i -, prikazani su pozitivnost i negativnost funkcije, a strelice pokazuju smanjenje i povećanje.

Ekstremne tačke funkcije su tačke u kojima je funkcija definisana i kroz koje derivacija menja predznak.

Primjer 4

Ako uzmemo u obzir primjer gdje je x = 0, tada je vrijednost funkcije u njemu jednaka f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Kada se predznak derivacije promijeni sa + na - i prođe kroz tačku x = 0, tada se tačka s koordinatama (0; 0) smatra maksimalnom tačkom. Kada se predznak promijeni sa - na +, dobijamo minimalnu tačku.

Konveksnost i konkavnost se određuju rješavanjem nejednačina oblika f "" (x) ≥ 0 i f "" (x) ≤ 0. Manje se koristi naziv konveksnost prema dolje umjesto konkavnost i konveksnost prema gore umjesto konveksnost.

Definicija 3

Za određivanje intervala konkavnosti i konveksnosti potrebno:

• naći drugi izvod;
• naći nule druge derivacijske funkcije;
• podijeliti područje definicije na intervale sa tačkama koje se pojavljuju;
• odrediti predznak intervala.

Primjer 5

Nađite drugi izvod iz domena definicije.

Rješenje

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Pronalazimo nule brojioca i nazivnika, pri čemu u našem primjeru imamo da su nule nazivnika x = ± 1 2

Sada trebate nacrtati tačke na brojevnoj pravoj i odrediti predznak drugog izvoda iz svakog intervala. Shvatili smo to

odgovor:

• funkcija je konveksna iz intervala - 1 2 ; 12 ;
• funkcija je konkavna iz intervala - ∞ ; - 1 2 i 1 2; + ∞ .

Definicija 4

Prevojna tačka– ovo je tačka oblika x 0 ; f (x 0) . Kada ima tangentu na graf funkcije, onda kada prođe kroz x 0, funkcija mijenja predznak u suprotan.

Drugim riječima, ovo je tačka kroz koju prolazi drugi izvod i mijenja predznak, a u samim tačkama jednak je nuli ili ne postoji. Sve tačke se smatraju domenom funkcije.

U primjeru je bilo jasno da nema pregibnih tačaka, jer drugi izvod mijenja predznak prolazeći kroz tačke x = ± 1 2. Oni, pak, nisu uključeni u opseg definicije.

Pronalaženje horizontalnih i kosih asimptota

Kada definišete funkciju u beskonačnosti, morate tražiti horizontalne i kose asimptote.

Definicija 5

Kose asimptote su prikazane pomoću pravih linija datih jednadžbom y = k x + b, gdje je k = lim x → ∞ f (x) x i b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Za k = 0 i b nije jednako beskonačnosti, nalazimo da kosa asimptota postaje horizontalno.

Drugim riječima, asimptote se smatraju linijama kojima se graf funkcije približava beskonačno. Ovo olakšava brzu konstrukciju grafa funkcije.

Ako nema asimptota, ali je funkcija definirana na obje beskonačnosti, potrebno je izračunati granicu funkcije na tim beskonačnostima kako bi se razumjelo kako će se ponašati graf funkcije.

Primjer 6

Razmotrimo kao primjer to

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

je horizontalna asimptota. Nakon pregleda funkcije, možete početi da je konstruišete.

Izračunavanje vrijednosti funkcije u međutočkama

Da bi graf bio precizniji, preporučuje se pronaći nekoliko vrijednosti funkcije u srednjim točkama.

Primjer 7

Iz primjera koji smo razmatrali potrebno je pronaći vrijednosti funkcije u tačkama x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Pošto je funkcija parna, dobijamo da se vrednosti poklapaju sa vrednostima u ovim tačkama, odnosno dobijamo x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Hajde da napišemo i rešimo:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Da bi se odredili maksimumi i minimumi funkcije, tačke pregiba i međutačke, potrebno je konstruisati asimptote. Radi lakšeg označavanja, bilježe se intervali povećanja, smanjenja, konveksnosti i konkavnosti. Pogledajmo sliku ispod.

Kroz označene tačke potrebno je povući linije grafa, što će vam omogućiti da pristupite asimptoti prateći strelice.

Ovim se završava potpuno istraživanje funkcije. Postoje slučajevi konstruisanja nekih elementarnih funkcija za koje se koriste geometrijske transformacije.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Već neko vrijeme, TheBat-ova ugrađena baza certifikata za SSL prestala je ispravno raditi (nije jasno iz kojeg razloga).

Prilikom provjere objave pojavljuje se greška:

Nepoznati CA certifikat
Server nije predstavio root certifikat u sesiji i odgovarajući root certifikat nije pronađen u adresaru.
Ova veza ne može biti tajna. Molim te
obratite se administratoru vašeg servera.

I nudi vam se izbor odgovora - DA/NE. I tako svaki put kada uklonite poštu.

Rješenje

U ovom slučaju, morate zamijeniti standard implementacije S/MIME i TLS sa Microsoft CryptoAPI u TheBat postavkama!

Pošto sam morao da spojim sve fajlove u jedan, prvo sam konvertovao sve doc fajlove u jedan pdf fajl (pomoću programa Acrobat), a zatim ga prebacio u fb2 preko onlajn konvertera. Također možete konvertirati datoteke pojedinačno. Formati mogu biti apsolutno bilo koji (izvorni) - doc, jpg, pa čak i zip arhiva!

Naziv stranice odgovara suštini :) Online Photoshop.

Ažuriranje maja 2015

Našao sam još jednu sjajnu stranicu! Još praktičniji i funkcionalniji za kreiranje potpuno prilagođenog kolaža! Ovo je stranica http://www.fotor.com/ru/collage/. Uživajte za svoje zdravlje. I sam ću ga koristiti.

U životu sam se susreo sa problemom popravke električne peći. Već sam uradio mnogo stvari, naučio mnogo, ali nekako nisam imao veze sa pločicama. Bilo je potrebno zamijeniti kontakte na regulatorima i gorionicima. Postavilo se pitanje - kako odrediti promjer plamenika na električnoj peći?

Ispostavilo se da je odgovor jednostavan. Ne morate ništa mjeriti, lako možete na oko odrediti koja vam je veličina potrebna.

Najmanji gorionik- ovo je 145 milimetara (14,5 centimetara)

Srednji gorionik- ovo je 180 milimetara (18 centimetara).

I na kraju, najviše veliki gorionik- ovo je 225 milimetara (22,5 centimetara).

Dovoljno je odrediti veličinu na oko i razumjeti koji promjer vam je potreban za plamenik. Kada ovo nisam znao, brinule su me ove dimenzije, nisam znao kako da izmjerim, kojom ivicom da se krećem itd. Sad sam mudar :) Nadam se da sam i tebi pomogao!

U životu sam se suočio sa takvim problemom. Mislim da nisam jedini.