Dijeljenje cijelih brojeva s ostatkom, pravila, primjeri. Podjela s ostatkom
Znakovi djeljivosti brojeva- ovo su pravila koja vam omogućavaju da relativno brzo, bez dijeljenja, saznate da li je ovaj broj djeljiv datim brojem bez ostatka.
Neki od znakove djeljivosti prilično jednostavno, nešto komplikovanije. Na ovoj stranici ćete pronaći i znake djeljivosti prostih brojeva, kao što su, na primjer, 2, 3, 5, 7, 11, i znakove djeljivosti složenih brojeva, kao što su 6 ili 12.
Nadam se da će vam ove informacije biti korisne.
Sretno učenje!
Test djeljivosti sa 2
Ovo je jedan od najjednostavnijih znakova djeljivosti. Zvuči ovako: ako se zapis prirodnog broja završava parnom znamenkom, onda je paran (djeljiv bez ostatka sa 2), a ako se zapis prirodnog broja završava neparnom cifrom, onda je ovaj broj neparan .
Drugim riječima, ako je zadnja cifra broja 2
, 4
, 6
, 8
ili 0
- broj je djeljiv sa 2, ako nije, onda nije djeljiv
Na primjer, brojevi: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
su djeljive sa 2 jer su parne.
Brojevi: 23 5
, 137
, 2303
Oni nisu djeljivi sa 2 jer su neparni.
Test djeljivosti sa 3
Ovaj znak djeljivosti ima potpuno drugačija pravila: ako je zbir cifara broja djeljiv sa 3, tada je broj djeljiv sa 3; Ako zbir cifara broja nije djeljiv sa 3, tada broj nije djeljiv sa 3.
To znači da da biste razumjeli da li je broj djeljiv sa 3, trebate samo sabrati brojeve koji ga čine.
To izgleda ovako: 3987 i 141 su djeljivi sa 3, jer je u prvom slučaju 3+9+8+7= 27
(27:3=9 - deljivo sa 3), au drugom 1+4+1= 6
(6:3=2 - takođe deljivo sa 3).
Ali brojevi: 235 i 566 nisu djeljivi sa 3, jer je 2+3+5= 10
i 5+6+6= 17
(a znamo da ni 10 ni 17 nisu deljivi sa 3 bez ostatka).
Test djeljivosti sa 4
Ovaj znak djeljivosti bit će složeniji. Ako posljednje 2 cifre broja čine broj djeljiv sa 4 ili je 00, tada je broj djeljiv sa 4, u suprotnom dati broj nije djeljiv sa 4 bez ostatka.
Na primjer: 1 00
i 3 64
su djeljive sa 4 jer se u prvom slučaju broj završava na 00
, au drugom na 64
, što je zauzvrat djeljivo sa 4 bez ostatka (64:4=16)
Brojevi 3 57
i 8 86
nisu djeljive sa 4 jer nijedno 57
ni jedno ni drugo 86
nisu djeljive sa 4, što znači da ne odgovaraju ovom kriteriju djeljivosti.
Test djeljivosti sa 5
I opet imamo prilično jednostavan znak djeljivosti: ako se zapis prirodnog broja završava brojem 0 ili 5, onda je ovaj broj bez ostatka djeljiv sa 5. Ako se zapis broja završava drugom cifrom, tada broj nije djeljiv sa 5 bez ostatka.
To znači da su svi brojevi koji se završavaju ciframa 0
I 5
, na primjer 1235 5
i 43 0
, potpadaju pod pravilo i djeljive su sa 5.
I, na primjer, 1549 3
i 56 4
ne završavaju brojem 5 ili 0, što znači da se ne mogu podijeliti sa 5 bez ostatka.
Test djeljivosti sa 6
Pred nama je složeni broj 6, koji je proizvod brojeva 2 i 3. Dakle, znak djeljivosti sa 6 je također složen: da bi broj bio djeljiv sa 6, mora odgovarati dvama znakom djeljivost istovremeno: znak djeljivosti sa 2 i znak djeljivosti sa 3. Imajte na umu da takav složeni broj kao što je 4 ima individualni znak djeljivosti, jer je sam po sebi proizvod broja 2. No, vratimo se na test djeljivosti sa 6.
Brojevi 138 i 474 su parni i ispunjavaju kriterijume djeljivosti sa 3 (1+3+8=12, 12:3=4 i 4+7+4=15, 15:3=5), što znači da su djeljivi sa 6. Ali 123 i 447, iako su djeljivi sa 3 (1+2+3=6, 6:3=2 i 4+4+7=15, 15:3=5), ali su neparni, što znači da ne odgovaraju kriteriju djeljivosti sa 2, pa stoga ne odgovaraju kriteriju djeljivosti sa 6.
Test djeljivosti sa 7
Ovaj test djeljivosti je složeniji: broj je djeljiv sa 7 ako je rezultat dvostrukog oduzimanja zadnje cifre od broja desetica ovog broja djeljiv sa 7 ili jednak 0.
Zvuči prilično zbunjujuće, ali u praksi je jednostavno. Uvjerite se sami: broj 95
9 je djeljivo sa 7 jer 95
-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 je podijeljeno sa 7 bez ostatka). Štoviše, ako se pojave poteškoće s brojem dobivenim tijekom transformacije (zbog njegove veličine teško je razumjeti da li je djeljiv sa 7 ili ne, onda se ovaj postupak može nastaviti onoliko puta koliko smatrate potrebnim).
Na primjer, 45
5 i 4580
1 imaju svojstva djeljivosti sa 7. U prvom slučaju, sve je prilično jednostavno: 45
-2*5=45-10=35, 35:7=5. U drugom slučaju ćemo uraditi sledeće: 4580
-2*1=4580-2=4578. Teško nam je da shvatimo da li 457
8 sa 7, pa hajde da ponovimo postupak: 457
-2*8=457-16=441. I opet ćemo se poslužiti testom djeljivosti, jer još uvijek imamo trocifreni broj ispred sebe 44
1. Dakle, 44
-2*1=44-2=42, 42:7=6, tj. 42 je djeljivo sa 7 bez ostatka, što znači da je 45801 djeljivo sa 7.
Evo brojeva 11
1 i 34
5 nije djeljivo sa 7 jer 11
-2*1=11-2=9 (9 nije deljivo sa 7) i 34
-2*5=34-10=24 (24 nije deljivo sa 7 bez ostatka).
Test djeljivosti sa 8
Test djeljivosti sa 8 zvuči ovako: ako posljednje 3 znamenke čine broj djeljiv sa 8, ili je 000, tada je dati broj djeljiv sa 8.
Brojevi 1 000
ili 1 088
djeljivo sa 8: prva se završava na 000
, drugi 88
:8=11 (djeljivo sa 8 bez ostatka).
A evo i brojeva 1 100
ili 4 757
nisu djeljive sa 8 jer su brojevi 100
I 757
nisu djeljive sa 8 bez ostatka.
Test djeljivosti sa 9
Ovaj znak djeljivosti je sličan znaku djeljivosti sa 3: ako je zbir cifara broja djeljiv sa 9, tada je broj djeljiv sa 9; Ako zbir cifara broja nije djeljiv sa 9, tada broj nije djeljiv sa 9.
Na primjer: 3987 i 144 su djeljivi sa 9, jer je u prvom slučaju 3+9+8+7= 27
(27:9=3 - djeljivo sa 9 bez ostatka), au drugom 1+4+4= 9
(9:9=1 - takođe deljivo sa 9).
Ali brojevi: 235 i 141 nisu djeljivi sa 9, jer 2+3+5= 10
i 1+4+1= 6
(a znamo da ni 10 ni 6 nisu deljivi sa 9 bez ostatka).
Znakovi djeljivosti sa 10, 100, 1000 i druge cifrene jedinice
Kombinirao sam ove znakove djeljivosti jer se mogu opisati na isti način: broj se dijeli cifrenom jedinicom ako je broj nula na kraju broja veći ili jednak broju nula na datoj cifrenoj jedinici .
Drugim riječima, na primjer, imamo sljedeće brojeve: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. od kojih su svi djeljivi sa 1 0
; 46400
i 867 000
takođe su deljive sa 1 00
; a samo jedan od njih je 867 000
djeljivo sa 1 000
.
Bilo koji brojevi koji imaju manje nula na kraju od cifarske jedinice nisu djeljivi s tom cifrenom jedinicom, na primjer 600 30
i 7 93
nije djeljivo 1 00
.
Test djeljivosti sa 11
Da biste saznali da li je broj djeljiv sa 11, morate dobiti razliku između zbira parnih i neparnih cifara ovog broja. Ako je ova razlika jednaka 0 ili je djeljiva sa 11 bez ostatka, tada je sam broj djeljiv sa 11 bez ostatka.
Da bi bilo jasnije, predlažem da pogledate primjere: 2
35
4 je deljivo sa 11 jer ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 je takođe deljivo sa 11, pošto ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
Evo 1 1
1 ili 4
35
4 nije deljivo sa 11, jer u prvom slučaju dobijamo (1+1)- 1
=1, au drugom ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
Test djeljivosti sa 12
Broj 12 je složen. Njegov znak djeljivosti je usklađenost sa znakovima djeljivosti sa 3 i 4 u isto vrijeme.
Na primjer, 300 i 636 odgovaraju i predznacima djeljivosti sa 4 (zadnje 2 cifre su nule ili su djeljive sa 4) i predznacima djeljivosti sa 3 (zbir cifara i prvog i trećeg broja je djeljiv sa 3), ali na kraju su djeljivi sa 12 bez ostatka.
Ali 200 ili 630 nije djeljivo sa 12, jer u prvom slučaju broj ispunjava samo kriterij djeljivosti sa 4, a u drugom - samo kriterij djeljivosti sa 3. ali ne i oba kriterija istovremeno.
Test djeljivosti sa 13
Znak djeljivosti sa 13 je da ako je broj desetica broja koji se dodaje jedinicama ovog broja pomnožen sa 4 višekratnik 13 ili jednak 0, tada je sam broj djeljiv sa 13.
Uzmimo za primjer 70
2. Dakle, 70
+4*2=78, 78:13=6 (78 je deljivo sa 13 bez ostatka), što znači 70
2 je djeljivo sa 13 bez ostatka. Drugi primjer je broj 114
4. 114
+4*4=130, 130:13=10. Broj 130 je djeljiv sa 13 bez ostatka, što znači da dati broj odgovara kriteriju djeljivosti sa 13.
Ako uzmemo brojeve 12
5 ili 21
2, onda dobijamo 12
+4*5=32 i 21
+4*2=29, respektivno, a ni 32 ni 29 nisu deljivi sa 13 bez ostatka, što znači da dati brojevi nisu deljivi sa 13 bez ostatka.
Deljivost brojeva
Kao što se može vidjeti iz gore navedenog, može se pretpostaviti da za bilo koji od prirodnih brojeva možete odabrati svoj individualni znak djeljivosti ili "kompozitni" znak ako je broj višekratnik nekoliko različitih brojeva. Ali, kako praksa pokazuje, općenito što je broj veći, to je njegov znak složeniji. Moguće je da vrijeme utrošeno na provjeru kriterija djeljivosti može biti jednako ili veće od samog dijeljenja. Zato obično koristimo najjednostavnije znakove djeljivosti.
Pogledajmo jednostavan primjer:
15:5=3
U ovom primjeru podijelili smo prirodni broj 15 potpuno sa 3, bez ostatka.
Ponekad se prirodni broj ne može u potpunosti podijeliti. Na primjer, razmotrite problem:
U ormaru je bilo 16 igračaka. U grupi je bilo petoro djece. Svako dijete je uzelo isti broj igračaka. Koliko igračaka ima svako dijete?
Rješenje:
Podelite broj 16 sa 5 pomoću kolone i dobijamo:
Znamo da se 16 ne može podijeliti sa 5. Najbliži manji broj koji je djeljiv sa 5 je 15 sa ostatkom od 1. Broj 15 možemo zapisati kao 5⋅3. Kao rezultat (16 – dividenda, 5 – djelitelj, 3 – nepotpuni količnik, 1 – ostatak). Got formula podjela sa ostatkomšto se može uraditi provjera rješenja.
a=
b⋅
c+
d
a – djeljivo,
b - razdjelnik,
c – nepotpuni količnik,
d - ostatak.
Odgovor: svako dijete će uzeti 3 igračke i jedna igračka će ostati.
Ostatak divizije
Ostatak uvijek mora biti manji od djelitelja.
Ako je tokom dijeljenja ostatak nula, to znači da je dividenda podijeljena potpuno ili bez ostatka na djelitelju.
Ako je pri dijeljenju ostatak veći od djelitelja, to znači da pronađeni broj nije najveći. Postoji veći broj koji će podijeliti dividendu, a ostatak će biti manji od djelitelja.
Pitanja na temu “Djeljenje s ostatkom”:
Može li ostatak biti veći od djelitelja?
Odgovor: ne.
Može li ostatak biti jednak djelitelju?
Odgovor: ne.
Kako pronaći dividendu koristeći nepotpuni količnik, djelitelj i ostatak?
Odgovor: Zamjenjujemo vrijednosti parcijalnog kvocijenta, djelitelja i ostatka u formulu i nalazimo dividendu. Formula:
a=b⋅c+d
Primjer #1:
Izvršite dijeljenje s ostatkom i provjerite: a) 258:7 b) 1873:8
Rješenje:
a) Podijelite po koloni: 
258 – dividenda,
7 – razdjelnik,
36 – nepotpuni količnik,
6 – ostatak. Ostatak je manji od djelitelja 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
b) Podijeliti po koloni: 
1873 – djeljiv,
8 – djelitelj,
234 – nepotpuni količnik,
1 – ostatak. Ostatak je manji od djelitelja 1<8.
Zamijenimo ga u formulu i provjerimo jesmo li ispravno riješili primjer:
8⋅234+1=1872+1=1873
Primjer #2:
Koji se ostaci dobijaju dijeljenjem prirodnih brojeva: a) 3 b) 8?
odgovor:
a) Ostatak je manji od djelitelja, dakle manji od 3. U našem slučaju, ostatak može biti 0, 1 ili 2.
b) Ostatak je manji od djelitelja, dakle manji od 8. U našem slučaju, ostatak može biti 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ili 7.
Primjer #3:
Koji je najveći ostatak koji se može dobiti dijeljenjem prirodnih brojeva: a) 9 b) 15?
odgovor:
a) Ostatak je manji od djelitelja, dakle manji od 9. Ali moramo naznačiti najveći ostatak. To jest, broj najbliži djelitelju. Ovo je broj 8.
b) Ostatak je manji od djelitelja, dakle manji od 15. Ali moramo naznačiti najveći ostatak. To jest, broj najbliži djelitelju. Ovaj broj je 14.
Primjer #4:
Nađite dividendu: a) a:6=3(ost.4) b) c:24=4(ost.11)
Rješenje:
a) Riješite koristeći formulu:
a=b⋅c+d
(a – dividenda, b – djelitelj, c – parcijalni količnik, d – ostatak.)
a:6=3(odmor.4)
(a – dividenda, 6 – delilac, 3 – delimični količnik, 4 – ostatak.) Zamenimo brojeve u formulu:
a=6⋅3+4=22
Odgovor: a=22
b) Riješite koristeći formulu:
a=b⋅c+d
(a – dividenda, b – djelitelj, c – parcijalni količnik, d – ostatak.)
s:24=4(odmor.11)
(c – dividenda, 24 – delilac, 4 – delimični količnik, 11 – ostatak.) Zamenimo brojeve u formulu:
s=24⋅4+11=107
Odgovor: c=107
zadatak:
Žica 4m. potrebno je iseći na komade od 13 cm. Koliko će biti takvih komada?
Rješenje:
Prvo morate pretvoriti metre u centimetre.
4m.=400cm.
Možemo podijeliti po stupcu ili u mislima dobijemo:
400:13=30 (preostalih 10)
provjerimo:
13⋅30+10=390+10=400
Odgovor: Dobićete 30 komada i ostaje 10 cm žice.
U članku se ispituje koncept dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom. Dokažimo teoremu o djeljivosti cijelih brojeva s ostatkom i pogledajmo veze između dividendi i djelitelja, nepotpunih količnika i ostataka. Pogledajmo pravila dijeljenja cijelih brojeva s ostacima, detaljno ih pogledajmo koristeći primjere. Na kraju rješenja izvršit ćemo provjeru.
Opće razumijevanje dijeljenja cijelih brojeva s ostacima
Dijeljenje cijelih brojeva s ostatkom smatra se generaliziranim dijeljenjem s ostatkom prirodnih brojeva. Ovo se radi zato što su prirodni brojevi komponenta cijelih brojeva.
Podjela sa ostatkom proizvoljnog broja govori da je cijeli broj a podijeljen brojem b koji nije nula. Ako je b = 0, onda nemojte dijeliti s ostatkom.
Baš kao dijeljenje prirodnih brojeva s ostatkom, cijeli brojevi a i b se dijele, pri čemu b nije nula, sa c i d. U ovom slučaju, a i b se nazivaju dividenda i djelitelj, a d je ostatak dijeljenja, c je cijeli broj ili nepotpuni količnik.
Ako pretpostavimo da je ostatak nenegativan cijeli broj, tada njegova vrijednost nije veća od modula broja b. Zapišimo to ovako: 0 ≤ d ≤ b. Ovaj lanac nejednakosti se koristi kada se porede 3 ili više brojeva.
Ako je c nepotpun količnik, onda je d ostatak dijeljenja cijelog broja a sa b, što se može ukratko reći: a: b = c (ostatak d).
Ostatak pri dijeljenju brojeva a sa b može biti nula, tada kažu da je a potpuno djeljiv sa b, odnosno bez ostatka. Dijeljenje bez ostatka smatra se posebnim slučajem dijeljenja.
Ako nulu podijelimo nekim brojem, rezultat je nula. Ostatak podjele će također biti nula. Ovo se može pratiti iz teorije dijeljenja nule cijelim brojem.
Pogledajmo sada značenje dijeljenja cijelih brojeva ostatkom.
Poznato je da su pozitivni cijeli brojevi prirodni brojevi, pa će se pri dijeljenju s ostatkom dobiti isto značenje kao i pri dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom.
Dijeljenje negativnog cijelog broja a pozitivnim cijelim brojem b ima smisla. Pogledajmo primjer. Zamislite situaciju da imamo dug za stavke u iznosu od a koji treba da vrati b osoba. Da bi se to postiglo, svi moraju podjednako doprinijeti. Da biste odredili iznos duga za svaki, morate obratiti pažnju na vrijednost privatnog s. Ostatak d označava da je poznat broj stavki nakon otplate dugova.
Pogledajmo primjer jabuka. Ako 2 osobe duguju 7 jabuka. Ako izračunamo da svako mora vratiti 4 jabuke, nakon potpunog obračuna ostat će mu 1 jabuka. Zapišimo ovo kao jednakost: (− 7) : 2 = − 4 (iz t. 1) .
Dijeljenje bilo kojeg broja a cijelim brojem nema smisla, ali je moguće kao opcija.
Teorema o djeljivosti cijelih brojeva sa ostatkom
Identificirali smo da je a dividenda, zatim b djelitelj, c je parcijalni količnik, a d je ostatak. One su međusobno povezane. Ovu vezu ćemo prikazati koristeći jednakost a = b · c + d. Veza između njih karakterizira teorema djeljivosti s ostatkom.
Teorema
Bilo koji cijeli broj se može predstaviti samo kroz cijeli i različit od nule broj b na ovaj način: a = b · q + r, gdje su q i r neki cijeli brojevi. Ovdje imamo 0 ≤ r ≤ b.
Dokažimo mogućnost postojanja a = b · q + r.
Dokaz
Ako postoje dva broja a i b, a a je djeljivo sa b bez ostatka, onda iz definicije proizlazi da postoji broj q i jednakost a = b · q će biti tačna. Tada se jednakost može smatrati istinitom: a = b · q + r za r = 0.
Tada je potrebno uzeti q tako da je dato nejednakosti b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
Imamo da je vrijednost izraza a − b · q veća od nule i da nije veća od vrijednosti broja b, slijedi da je r = a − b · q. Nalazimo da se broj a može predstaviti u obliku a = b · q + r.
Sada moramo razmotriti predstavljanje a = b · q + r za negativne vrijednosti b.
Modul broja se ispostavi da je pozitivan, tada dobijamo a = b · q 1 + r, gdje je vrijednost q 1 neki cijeli broj, r je cijeli broj koji ispunjava uvjet 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
Dokaz jedinstvenosti
Pretpostavimo da su a = b q + r, q i r cijeli brojevi sa uvjetom 0 ≤ r istinito< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 I r 1 su neki brojevi gdje q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .
Kada se nejednakost oduzme od lijeve i desne strane, dobijamo 0 = b · (q − q 1) + r − r 1, što je ekvivalentno r - r 1 = b · q 1 - q. Pošto se koristi modul, dobijamo jednakost r - r 1 = b · q 1 - q.
Dati uslov kaže da je 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q I q 1- cijeli, i q ≠ q 1, tada je q 1 - q ≥ 1. Odavde imamo da je b · q 1 - q ≥ b. Rezultirajuće nejednakosti r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
Iz toga slijedi da se broj a ne može predstaviti na bilo koji drugi način osim pisanjem a = b · q + r.
Odnos između dividende, djelitelja, parcijalnog količnika i ostatka
Koristeći jednakost a = b · c + d, možete pronaći nepoznatu dividendu a kada je poznat djelitelj b s nepotpunim količnikom c i ostatkom d.
Primjer 1
Odredite dividendu ako nakon dijeljenja dobijemo - 21, parcijalni količnik je 5, a ostatak 12.
Rješenje
Potrebno je izračunati dividendu a sa poznatim djeliteljem b = − 21, nepotpunim količnikom c = 5 i ostatkom d = 12. Moramo se okrenuti jednakosti a = b · c + d, odavde dobijamo a = (− 21) · 5 + 12. Ako slijedimo redoslijed radnji, množimo - 21 sa 5, nakon čega dobijamo (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93.
odgovor: - 93 .
Veza između djelitelja i parcijalnog kvocijenta i ostatka može se izraziti pomoću jednakosti: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b i d = a − b · c . Uz njihovu pomoć možemo izračunati djelitelj, parcijalni količnik i ostatak. Ovo se svodi na stalno pronalaženje ostatka pri dijeljenju cijelog broja cijelih brojeva a sa b s poznatom dividendom, djeliteljem i parcijalnim količnikom. Primjenjuje se formula d = a − b · c. Razmotrimo rješenje detaljno.
Primjer 2
Pronađite ostatak kada podijelite cijeli broj - 19 sa cijelim brojem 3 sa poznatim nepotpunim količnikom jednakim - 7.
Rješenje
Da bismo izračunali ostatak dijeljenja, primjenjujemo formulu oblika d = a − b · c. Po uslovu, svi podaci su dostupni: a = − 19, b = 3, c = − 7. Odavde dobijamo d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (razlika − 19 − (− 21). Ovaj primer je izračunat koristeći pravilo oduzimanja negativan cijeli broj.
odgovor: 2 .
Svi pozitivni cijeli brojevi su prirodni brojevi. Iz toga slijedi da se dijeljenje vrši po svim pravilima dijeljenja sa ostatkom prirodnih brojeva. Brzina dijeljenja s ostatkom prirodnih brojeva je važna, jer se na njoj ne zasniva samo dijeljenje pozitivnih brojeva, već i pravila za dijeljenje proizvoljnih cijelih brojeva.
Najprikladniji način dijeljenja je stupac, jer je lakše i brže dobiti nepotpun ili jednostavno količnik s ostatkom. Pogledajmo rješenje detaljnije.
Primjer 3
Podijelite 14671 sa 54.
Rješenje
Ova podjela se mora izvršiti u koloni:
To jest, parcijalni količnik je jednak 271, a ostatak je 37.
odgovor: 14.671: 54 = 271. (ostatak 37)
Pravilo za dijeljenje s ostatkom pozitivnog cijelog broja negativnim cijelim brojem, primjeri
Da biste izvršili dijeljenje ostatka pozitivnog broja negativnim cijelim brojem, potrebno je formulirati pravilo.
Definicija 1
Nepotpuni količnik dijeljenja pozitivnog cijelog broja a negativnim cijelim brojem b daje broj koji je suprotan nepotpunom kvocijentu dijeljenja modula brojeva a sa b. Tada je ostatak jednak ostatku kada se a podijeli sa b.
Otuda imamo da se nepotpuni količnik dijeljenja pozitivnog cijelog broja negativnim cijelim brojem smatra nepozitivnim cijelim brojem.
Dobijamo algoritam:
- podijelimo modul dividende sa modulom djelitelja, onda dobijemo nepotpuni kvocijent i
- ostatak;
- Zapišimo broj suprotan onome što smo dobili.
Pogledajmo primjer algoritma za dijeljenje pozitivnog cijelog broja negativnim cijelim brojem.
Primjer 4
Podijelite s ostatkom 17 sa - 5.
Rješenje
Primijenimo algoritam za dijeljenje s ostatkom pozitivnog cijelog broja negativnim cijelim brojem. Potrebno je podijeliti 17 sa - 5 po modulu. Odavde dobijamo da je parcijalni količnik jednak 3, a ostatak jednak 2.
Dobijamo da je traženi broj dijeljenjem 17 sa - 5 = - 3 sa ostatkom jednakim 2.
odgovor: 17: (− 5) = − 3 (preostalo 2).
Primjer 5
Trebate podijeliti 45 sa - 15.
Rješenje
Brojeve je potrebno podijeliti po modulu. Podelite broj 45 sa 15, dobijamo količnik 3 bez ostatka. To znači da je broj 45 djeljiv sa 15 bez ostatka. Odgovor je - 3, pošto je podjela izvršena po modulu.
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
odgovor: 45: (− 15) = − 3 .
Formulacija pravila za dijeljenje s ostatkom je sljedeća.
Definicija 2
Da biste dobili nepotpuni količnik c pri dijeljenju negativnog cijelog broja a pozitivnim b, potrebno je primijeniti suprotno od datog broja i od njega oduzeti 1, tada će se ostatak d izračunati po formuli: d = a − b · c.
Na osnovu pravila možemo zaključiti da pri dijeljenju dobijemo nenegativan cijeli broj. Da biste osigurali tačnost rješenja, koristite algoritam za dijeljenje a sa b s ostatkom:
- pronaći module dividende i djelitelja;
- divide modulo;
- zapiši suprotno od datog broja i oduzmi 1;
- koristite formulu za ostatak d = a − b · c.
Pogledajmo primjer rješenja gdje se koristi ovaj algoritam.
Primjer 6
Pronađite parcijalni količnik i ostatak dijeljenja - 17 sa 5.
Rješenje
Zadate brojeve dijelimo po modulu. Otkrivamo da je pri dijeljenju količnik 3, a ostatak 2. Pošto smo dobili 3, suprotno je 3. Trebate oduzeti 1.
− 3 − 1 = − 4 .
Željena vrijednost je jednaka -4.
Da biste izračunali ostatak, trebate a = − 17, b = 5, c = − 4, zatim d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .
To znači da je nepotpuni količnik dijeljenja broj - 4 sa ostatkom jednakim 3.
odgovor:(− 17) : 5 = − 4 (preostalo 3).
Primjer 7
Podijelite negativni cijeli broj - 1404 sa pozitivnim 26.
Rješenje
Potrebno je podijeliti po stupcu i modulu.
Dobili smo podjelu modula brojeva bez ostatka. To znači da se dijeljenje vrši bez ostatka, a željeni količnik = - 54.
odgovor: (− 1 404) : 26 = − 54 .
Pravilo dijeljenja s ostatkom za negativne cijele brojeve, primjeri
Potrebno je formulisati pravilo za dijeljenje s ostatkom negativnih cijelih brojeva.
Definicija 3
Da bismo dobili nepotpuni kvocijent c dijeljenjem negativnog cijelog broja a negativnim cijelim brojem b, potrebno je izvršiti modulo proračune, zatim dodati 1, tada možemo izvršiti proračune koristeći formulu d = a − b · c.
Iz toga slijedi da će nepotpuni količnik dijeljenja negativnih cijelih brojeva biti pozitivan broj.
Formulirajmo ovo pravilo u obliku algoritma:
- pronaći module dividende i djelitelja;
- podijelite modul dividende sa modulom djelitelja da dobijete nepotpun kvocijent sa
- ostatak;
- dodavanje 1 nepotpunom količniku;
- izračunavanje ostatka na osnovu formule d = a − b · c.
Pogledajmo ovaj algoritam koristeći primjer.
Primjer 8
Pronađite parcijalni količnik i ostatak kada dijelite - 17 sa - 5.
Rješenje
Za ispravnost rješenja primjenjujemo algoritam dijeljenja s ostatkom. Prvo podijelite brojeve po modulu. Iz ovoga dobijamo da je nepotpuni količnik = 3, a ostatak je 2. Prema pravilu, morate dodati nepotpuni količnik i 1. Dobijamo da je 3 + 1 = 4. Odavde dobijamo da je parcijalni količnik dijeljenja datih brojeva jednak 4.
Za izračunavanje ostatka koristićemo formulu. Pod uslovom imamo da je a = − 17, b = − 5, c = 4, onda, koristeći formulu, dobijamo d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . Traženi odgovor, odnosno ostatak, jednak je 3, a parcijalni količnik je jednak 4.
odgovor:(− 17) : (− 5) = 4 (preostalo 3).
Provjera rezultata dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom
Nakon dijeljenja brojeva s ostatkom, morate izvršiti provjeru. Ova provjera uključuje 2 faze. Prvo, ostatak d se provjerava da nije negativan, uslov 0 ≤ d je zadovoljen< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Pogledajmo primjere.
Primjer 9
Podjela je napravljena - 521 sa - 12. Količnik je 44, ostatak je 7. Izvršite provjeru.
Rješenje
Pošto je ostatak pozitivan broj, njegova vrijednost je manja od modula djelitelja. Delitelj je - 12, što znači da mu je modul 12. Možete prijeći na sljedeću kontrolnu tačku.
Po uslovu imamo da je a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7. Odavde izračunavamo b · c + d, gdje je b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521. Iz toga slijedi da je jednakost tačna. Verifikacija je prošla.
Primjer 10
Izvršite provjeru dijeljenja (− 17): 5 = − 3 (preostalo − 2). Je li jednakost istinita?
Rješenje
Poenta prve faze je da je potrebno provjeriti dijeljenje cijelih brojeva sa ostatkom. Iz ovoga je jasno da je radnja izvedena pogrešno, jer je dat ostatak jednak -2. Ostatak nije negativan broj.
Imamo da je drugi uslov ispunjen, ali nije dovoljan za ovaj slučaj.
odgovor: br.
Primjer 11
Broj - 19 podijeljen je sa - 3. Parcijalni količnik je 7, a ostatak je 1. Provjerite da li je ovaj proračun ispravno obavljen.
Rješenje
Dat je ostatak jednak 1. On je pozitivan. Vrijednost je manja od modula razdjelnika, što znači da je prva faza završena. Pređimo na drugu fazu.
Izračunajmo vrijednost izraza b · c + d. Pod uslovom imamo da je b = − 3, c = 7, d = 1, što znači, zamjenom numeričkih vrijednosti, dobijamo b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20. Iz toga slijedi da a = b · c + d jednakost ne vrijedi, jer uvjet daje a = - 19.
Iz ovoga proizilazi da je podjela izvršena greškom.
odgovor: br.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
U ovom članku ćemo pogledati dijeljenje cijelih brojeva sa ostatkom. Počnimo s općim principom dijeljenja cijelih brojeva ostatkom, formulirajmo i dokažimo teoremu o djeljivosti cijelih brojeva s ostatkom, te pratimo veze između dividende, djelitelja, nepotpunog količnika i ostatka. Zatim ćemo opisati pravila po kojima se cijeli brojevi dijele s ostatkom i razmotriti primjenu ovih pravila prilikom rješavanja primjera. Nakon toga ćemo naučiti kako provjeriti rezultat dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom.
Navigacija po stranici.
Opće razumijevanje dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom
Mi ćemo dijeljenje cijelih brojeva s ostatkom smatrati generalizacijom dijeljenja ostatkom prirodnih brojeva. To je zbog činjenice da su prirodni brojevi sastavni dio cijelih brojeva.
Počnimo s terminima i oznakama koje se koriste u opisu.
Analogno dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom, pretpostavit ćemo da su rezultat dijeljenja sa ostatkom dva cijela broja a i b (b nije jednako nuli) dva cijela broja c i d. Zovu se brojevi a i b djeljiv I razdjelnik shodno tome, broj d – podsjetnik od dijeljenja a sa b, i cijeli broj c se poziva nepotpuno privatno(ili jednostavno privatni, ako je ostatak nula).
Složimo se da pretpostavimo da je ostatak nenegativan cijeli broj, a njegova vrijednost ne prelazi b, odnosno (slične lance nejednakosti smo naišli kada smo govorili o upoređivanju tri ili više cijelih brojeva).
Ako je broj c nepotpuni količnik, a broj d je ostatak dijeljenja cijelog broja a cijelim brojem b, onda ćemo ovu činjenicu ukratko zapisati kao jednakost oblika a:b=c (preostalo d).
Imajte na umu da kada se cijeli broj a dijeli cijelim brojem b, ostatak može biti nula. U ovom slučaju kažemo da je a djeljivo sa b bez traga(ili potpuno). Dakle, dijeljenje cijelih brojeva bez ostatka je poseban slučaj dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom.
Također je vrijedno reći da kada dijelimo nulu nekim cijelim brojem, uvijek imamo posla s dijeljenjem bez ostatka, jer će u ovom slučaju količnik biti jednak nuli (pogledajte dio teorije o dijeljenju nule cijelim brojem), a ostatak takođe će biti jednak nuli.
Odlučili smo se za terminologiju i notaciju, sada shvatimo značenje dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom.
Dijeljenje negativnog cijelog broja a pozitivnim cijelim brojem b također se može dati značenje. Da biste to učinili, uzmite negativan cijeli broj kao dug. Zamislimo ovu situaciju. Dug koji čine stvari moraju da otplate b ljudi davanjem jednakog doprinosa. Apsolutna vrijednost nepotpunog količnika c u ovom slučaju će odrediti iznos duga svakog od ovih ljudi, a ostatak d će pokazati koliko će stavki ostati nakon plaćanja duga. Dajemo primjer. Recimo da 2 osobe duguju 7 jabuka. Ako pretpostavimo da svaki od njih duguje 4 jabuke, onda će im nakon plaćanja duga ostati 1 jabuka. Ova situacija odgovara jednakosti (−7):2=−4 (preostalo 1).
Nećemo pridavati nikakvo značenje dijeljenju s ostatkom proizvoljnog cijelog broja a negativnim cijelim brojem, ali ćemo zadržati njegovo pravo na postojanje.
Teorema o djeljivosti cijelih brojeva sa ostatkom
Kada smo govorili o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom, saznali smo da su dividenda a, djelitelj b, parcijalni količnik c i ostatak d povezani jednakošću a=b·c+d. Cijeli brojevi a, b, c i d imaju isti odnos. Ova veza se potvrđuje na sljedeći način teorema djeljivosti sa ostatkom.
Teorema.
Bilo koji cijeli broj a može se jedinstveno predstaviti kroz cijeli i različit od nule broj b u obliku a=b·q+r, gdje su q i r neki cijeli brojevi, i .
Dokaz.
Prvo, dokazujemo mogućnost predstavljanja a=b·q+r.
Ako su cijeli brojevi a i b takvi da je a djeljivo sa b, onda po definiciji postoji cijeli broj q takav da je a=b·q. U ovom slučaju vrijedi jednakost a=b·q+r na r=0.
Sada ćemo pretpostaviti da je b pozitivan cijeli broj. Odaberimo cijeli broj q tako da proizvod b·q ne prelazi broj a, a proizvod b·(q+1) je već veći od a. Odnosno, uzimamo q tako da su nejednakosti b q Ostaje dokazati mogućnost predstavljanja a=b·q+r za negativan b. Pošto je modul broja b u ovom slučaju pozitivan broj, onda za postoji reprezentacija u kojoj je q 1 neki cijeli broj, a r cijeli broj koji zadovoljava uvjete. Zatim, uzimajući q=−q 1, dobijamo reprezentaciju koja nam je potrebna a=b·q+r za negativan b. Pređimo na dokaz jedinstvenosti. Pretpostavimo da pored reprezentacije a=b·q+r, q i r su cijeli brojevi i , postoji još jedan prikaz a=b·q 1 +r 1, gdje su q 1 i r 1 neki cijeli brojevi, a q 1 ≠ q i . Nakon što oduzmemo levu i desnu stranu druge jednakosti od leve i desne strane prve jednakosti, respektivno, dobijamo 0=b·(q−q 1)+r−r 1, što je ekvivalentno jednakosti r− r 1 =b·(q 1 −q) . Zatim jednakost oblika Iz uslova možemo zaključiti da. Kako su q i q 1 cijeli brojevi i q≠q 1, onda zaključujemo da Jednakost a=b·c+d vam omogućava da pronađete nepoznatu dividendu a ako su poznati djelitelj b, parcijalni količnik c i ostatak d. Pogledajmo primjer. Primjer. Kolika je vrijednost dividende ako je, kada se podijeli cijelim brojem −21, rezultat nepotpuni količnik 5 i ostatak od 12? Rješenje. Trebamo izračunati dividendu a kada su poznati djelitelj b=−21, parcijalni količnik c=5 i ostatak d=12. Prelazeći na jednakost a=b·c+d, dobijamo a=(−21)·5+12. Posmatrajući, prvo množimo cijele brojeve −21 i 5 po pravilu množenja cijelih brojeva sa različitim predznacima, nakon čega vršimo sabiranje cijelih brojeva različitih predznaka: (−21)·5+12=−105+12=−93 . odgovor: −93
.
Veze između dividende, djelitelja, parcijalnog količnika i ostatka također se izražavaju jednakostima oblika b=(a−d):c, c=(a−d):b i d=a−b·c. Ove jednakosti vam omogućavaju da izračunate djelitelj, parcijalni količnik i ostatak, respektivno. Često ćemo morati pronaći ostatak kada dijelimo cijeli broj a cijelim brojem b kada su poznati dionica, djelitelj i parcijalni količnik, koristeći formulu d=a−b·c. Kako bismo izbjegli bilo kakva daljnja pitanja, pogledajmo primjer izračunavanja ostatka. Primjer. Pronađite ostatak kada dijelite cijeli broj −19 sa cijelim brojem 3 ako znate da je parcijalni količnik jednak −7. Rješenje. Za izračunavanje ostatka dijeljenja koristimo formulu oblika d=a−b·c. Iz uslova imamo sve potrebne podatke a=−19, b=3, c=−7. Dobijamo d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (razliku −19−(−21) smo izračunali koristeći pravilo oduzimanje negativnog cijelog broja). odgovor: Kao što smo primijetili više puta, pozitivni cijeli brojevi su prirodni brojevi. Dakle, dijeljenje s ostatkom pozitivnih cijelih brojeva provodi se prema svim pravilima za dijeljenje ostatkom prirodnih brojeva. Vrlo je važno moći lako izvršiti dijeljenje s ostatkom prirodnih brojeva, jer je to ono što leži u osnovi dijeljenja ne samo pozitivnih cijelih brojeva, već i osnova svih pravila za dijeljenje s ostatkom proizvoljnih cijelih brojeva. Sa naše tačke gledišta, najpogodnije je izvršiti podjelu stupaca; ova metoda vam omogućava da dobijete i nepotpuni količnik (ili jednostavno količnik) i ostatak. Pogledajmo primjer dijeljenja s ostatkom pozitivnih cijelih brojeva. Primjer. Podijelite s ostatkom 14,671 sa 54. Rješenje. Podijelimo ove pozitivne cijele brojeve stupcem: Ispostavilo se da je parcijalni količnik jednak 271, a ostatak jednak 37. odgovor: 14 671:54=271 (odmor 37) . Formulirajmo pravilo koje nam omogućava da izvršimo dijeljenje s ostatkom pozitivnog cijelog broja negativnim cijelim brojem. Djelomični količnik dijeljenja pozitivnog cijelog broja a negativnim cijelim brojem b je suprotan djelomičnom kvocijentu dijeljenja a sa modulom od b, a ostatak dijeljenja a sa b jednak je ostatku dijeljenja sa. Iz ovog pravila slijedi da je parcijalni količnik dijeljenja pozitivnog cijelog broja negativnim cijelim brojem nepozitivan cijeli broj. Pretvorimo navedeno pravilo u algoritam za dijeljenje s ostatkom pozitivnog cijelog broja negativnim cijelim brojem: Dajemo primjer korištenja algoritma za dijeljenje pozitivnog cijelog broja negativnim cijelim brojem. Primjer. Podijelite s ostatkom pozitivnog cijelog broja 17 negativnim cijelim brojem -5. Rješenje. Koristimo algoritam za dijeljenje s ostatkom pozitivnog cijelog broja negativnim cijelim brojem. Dijeljenjem Suprotan broj od 3 je −3. Dakle, traženi parcijalni količnik dijeljenja 17 sa −5 je −3, a ostatak je 2. odgovor: 17 :(−5)=−3 (preostalo 2). Primjer. Podijelite 45 sa −15. Rješenje. Moduli dividende i djelitelja su 45 i 15, respektivno. Broj 45 je djeljiv sa 15 bez ostatka, a količnik je 3. Dakle, pozitivni cijeli broj 45 podijeljen je negativnim cijelim brojem −15 bez ostatka, a količnik je jednak broju nasuprot 3, odnosno −3. Doista, prema pravilu za dijeljenje cijelih brojeva s različitim predznacima, imamo . odgovor: 45:(−15)=−3
.
Dajmo formulaciju pravila za dijeljenje s ostatkom negativnog cijelog broja pozitivnim cijelim brojem. Da biste dobili nepotpuni količnik c dijeljenjem negativnog cijelog broja a pozitivnim cijelim brojem b, trebate uzeti broj suprotan nepotpunom kvocijentu iz dijeljenja modula originalnih brojeva i od njega oduzeti jedan, nakon čega se izračuna ostatak d koristeći formulu d=a−b·c. Iz ovog pravila dijeljenja s ostatkom slijedi da je parcijalni količnik dijeljenja negativnog cijelog broja pozitivnim cijelim negativnim cijelim brojem. Iz navedenog pravila slijedi algoritam za dijeljenje s ostatkom negativnog cijelog broja a pozitivnim cijelim brojem b: Analizirajmo rješenje primjera u kojem koristimo pisani algoritam dijeljenja s ostatkom. Primjer. Pronađite parcijalni količnik i ostatak kada dijelite negativni cijeli broj -17 pozitivnim cijelim brojem 5. Rješenje. Modul dividende −17 jednak je 17, a modul djelitelja 5 jednak je 5. Dijeljenjem 17 sa 5, dobijamo parcijalni količnik 3 i ostatak 2. Suprotnost od 3 je −3. Oduzmite jedan od −3: −3−1=−4. Dakle, traženi parcijalni količnik je jednak −4. Ostaje samo izračunati ostatak. U našem primjeru a=−17 , b=5 , c=−4 , zatim d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 . Dakle, parcijalni količnik dijeljenja negativnog cijelog broja −17 pozitivnim cijelim brojem 5 je −4, a ostatak je 3. odgovor: (−17):5=−4 (preostalo 3) . Primjer. Podijelite negativni cijeli broj -1,404 pozitivnim cijelim brojem 26. Rješenje. Modul dividende je 1404, modul djelitelja je 26. Podijelite 1,404 sa 26 koristeći kolonu: Budući da je modul dividende podijeljen sa modulom djelitelja bez ostatka, originalni cijeli brojevi se dijele bez ostatka, a željeni količnik je jednak broju nasuprot 54, odnosno −54. odgovor: (−1 404):26=−54
.
Formulirajmo pravilo za dijeljenje s ostatkom negativnih cijelih brojeva. Da biste dobili nepotpuni količnik c dijeljenjem negativnog cijelog broja a negativnim cijelim brojem b, morate izračunati nepotpuni količnik iz dijeljenja modula originalnih brojeva i dodati mu jedan, nakon čega se ostatak d izračunava pomoću formule d =a−b·c. Iz ovog pravila slijedi da je parcijalni količnik dijeljenja negativnih cijelih brojeva pozitivan cijeli broj. Prepišimo navedeno pravilo u obliku algoritma za dijeljenje negativnih cijelih brojeva: Razmotrimo upotrebu algoritma za dijeljenje negativnih cijelih brojeva prilikom rješavanja primjera. Primjer. Pronađite djelomični količnik i ostatak kada dijelite negativni cijeli broj −17 negativnim cijelim brojem −5. Rješenje. Koristimo odgovarajući algoritam dijeljenja s ostatkom. Modul dividende je 17, modul delioca je 5. Division 17 preko 5 daje parcijalni količnik 3, a ostatak 2. Nepotpunom količniku 3 dodajemo jedan: 3+1=4. Stoga je traženi parcijalni količnik dijeljenja −17 sa −5 jednak 4. Ostaje samo izračunati ostatak. U ovom primjeru a=−17 , b=−5 , c=4 , zatim d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 . Dakle, parcijalni količnik dijeljenja negativnog cijelog broja −17 negativnim cijelim brojem −5 je 4, a ostatak je 3. odgovor: (−17):(−5)=4 (preostalo 3) . Nakon dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom, korisno je provjeriti rezultat. Verifikacija se vrši u dvije faze. U prvoj fazi se provjerava da li je ostatak d nenegativan broj, a također se provjerava da li je uvjet zadovoljen. Ako su ispunjeni svi uvjeti prve faze provjere, onda možete prijeći na drugu fazu provjere, inače se može tvrditi da je negdje napravljena greška prilikom dijeljenja s ostatkom. U drugoj fazi provjerava se valjanost jednakosti a=b·c+d. Ako je ova jednakost tačna, onda je podjela s ostatkom obavljena ispravno, inače je negdje napravljena greška. Pogledajmo rješenja primjera u kojima se provjerava rezultat dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom. Primjer. Prilikom dijeljenja broja −521 sa −12, parcijalni količnik je bio 44, a ostatak 7, provjerite rezultat. Rješenje. −2 za b=−3, c=7, d=1. Imamo b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Dakle, jednakost a=b·c+d je netačna (u našem primjeru a=−19). Stoga je podjela s ostatkom izvršena pogrešno.
, a zbog svojstava modula brojeva, jednakost 
.
. Iz dobijenih nejednakosti i slijedi da je jednakost oblika nemoguće po našoj pretpostavci. Prema tome, ne postoji drugi prikaz broja a osim a=b·q+r.Odnosi između dividende, djelitelja, parcijalnog količnika i ostatka
Dijeljenje s ostatkom pozitivnih cijelih brojeva, primjeri
Pravilo za dijeljenje s ostatkom pozitivnog cijelog broja negativnim cijelim brojem, primjeri
Dijeljenje s ostatkom negativnog cijelog broja pozitivnim cijelim brojem, primjeri
Pravilo dijeljenja s ostatkom za negativne cijele brojeve, primjeri
Provjera rezultata dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom
