Относителното положение на два кръга. теория

Клас 7Ж, З

Тема на урока: "Относителното положение на два кръга"
Цел: познаване на възможните случаи на взаимно подреждане на два кръга; прилага знания при решаване на проблеми.

Задачи: Образователни: за насърчаване на създаването и консолидирането на визуално представяне на учениците за възможните случаи на разположение на два кръга, учениците ще могат да:

Установете връзка между относителното положение на окръжностите, техните радиуси и разстоянието между центровете им;

Анализирайте геометричната структура и мислено я модифицирайте,

Развийте планиметрично въображение.

Студентите ще могат да прилагат теоретичните знания при решаване на проблеми.

Тип урок: въвеждане на урок и затвърждаване на нови знания за материала.

Оборудване: презентация за урока; пергел, линийка, молив и учебник за всеки ученик.

Урок: . „Геометрия 7 клас“, Алмати „Атамура“ 2012 г

По време на занятията.

Организиране на времето. Проверка на домашната работа.

3. Актуализиране на основни знания.

Повторете определения за кръг, кръг, радиус, диаметър, хорда, разстояние от точка до права.

1) 1) Какви случаи на права и окръжност са ви известни?

2) Коя права се нарича допирателна?

3) Коя права се нарича секанс?

4) Теоремата за диаметъра, перпендикулярен на хордата?

5) Как върви допирателната спрямо радиуса на окръжността?

6) Попълнете таблицата (на карти).

Учениците под ръководството на учител решават и анализират проблеми.

1) Права a - допирателна към окръжност с център O. На права а е дадена точка A. Ъгълът между допирателната и отсечката OA е 300. Намерете дължината на отсечката OA, ако радиусът е 2,5 m.

2) Определете относителното положение на правата линия и окръжността, ако:

1.R = 16 см, d = 12 см 2.R = 5 см, d = 4,2 см 3.R = 7,2 dm, d = 3,7 dm 4. R = 8 см, d = 1,2 dm 5. R = 5 см, d = 50 мм

а) правата и окръжността нямат общи точки;

б) правата линия е допирателна към окръжността;

в) правата пресича окръжността.

d е разстоянието от центъра на окръжността до правата линия, R е радиусът на окръжността.

3) Какво може да се каже за относителното положение на правата и окръжността, ако диаметърът на окръжността е 10,3 cm, а разстоянието от центъра на окръжността до правата е 4,15 cm; 2 dm; 103 мм; 5,15 см, 1 дм 3 см.

4) Дадена е окръжност с център О и точка А. Къде е точка А, ако радиусът на окръжността е 7 см, а дължината на отсечката ОА е равна на: а) 4 см; б) 10 см; в) 70 мм.

4. Заедно с учениците разберете темата на урока, формулирайте целите на урока.

5. Въвеждане на нов материал.

Практическа работа в групи.

Изградете 3 кръга. Към всяка окръжност постройте още един кръг, така че 1) 2 окръжности да не се пресичат, 2) 2 окръжности да се докосват, 3) две окръжности да се пресичат. Намерете радиуса на всяка окръжност и разстоянието между центровете на кръговете, сравнете резултатите. Какъв извод може да се направи?
2) Обобщете и запишете в тетрадка случаи на взаимно подреждане на два кръга.

Относителното положение на две окръжности в равнината.

Кръговете нямат общи точки (не се пресичат). (R1 и R2 са радиусите на окръжностите)

Ако R1 + R2< d,

d - Разстояние между центровете на окръжностите.

в) Кръговете имат две общи точки. (пресичат се).

Ако R1 + R2> d,

Въпрос. Могат ли две окръжности да имат три общи точки?

6. Затвърдяване на изучавания материал.

Потърсете грешка в данните или в изявлението и я коригирайте въз основа на вашето мнение:
А) Два кръга се допират. Техните радиуси са равни на R = 8 cm и r = 2 cm, разстоянието между центровете е d = 6.
Б) Две окръжности имат поне две общи точки.
Б) R = 4, r = 3, d = 5. Кръговете нямат общи точки.
Г) R = 8, r = 6, d = 4. По-малкият кръг се намира вътре в по-големия.
Д) Два кръга не могат да бъдат разположени така, че единият да е вътре в другия.

7. Резюме на урока. Какво научихте в урока? Каква закономерност сте установили?

Как могат да бъдат разположени два кръга? Кога кръговете имат една обща точка? Как се нарича общата точка на две окръжности? Какви докосвания познавате? Кога се пресичат кръговете? Кои кръгове се наричат ​​концентрични?

Тема на урока: " Взаимно подреждане на два кръга в равнина”.

Цел :

Образователни - усвояване на нови знания за взаимното разположение на два кръга, подготовка за теста

Развиващи се - развитие на изчислителни умения, развитие на логико-структурно мислене; развиване на умения за намиране на рационални решения и постигане на крайни резултати; развитие на познавателната активност и творческото мислене .

Образователни – формиране на отговорност, последователност на учениците; развитие на познавателни и естетически качества; формирането на информационната култура на учениците.

Поправителен - развиват пространствено мислене, памет, двигателни умения на ръцете.

Тип урок: изучаване на нов учебен материал, затвърждаване.

Тип урок: смесен урок.

Метод на преподаване: словесно, визуално, практично.

Форма на обучение: колективен.

Средства за обучение: дъска

ПО ВРЕМЕ НА УРОКИТЕ:

1. Организационен етап

- поздравления;

- проверка на готовността за урока;

2. Актуализиране на основни знания.
Какви теми засегнахме в предишните уроци?

Общ изглед на уравнението на окръжността?

Изпълнявайте устно:

Блиц анкета

3. Въвеждане на нов материал.

Какво мислите и каква цифра ще разгледаме днес... И ако са двама??

Как могат да бъдат локализирани???

Децата показват с ръцете си (съседи) как могат да бъдат разположени кръгове (физическо възпитание)

Е, какво мислите, че трябва да разгледаме днес?? Днес трябва да разгледаме относителното положение на два кръга. И разберете какво е разстоянието между центровете в зависимост от местоположението.

Тема на урока: « Относителното положение на два кръга. Разрешаване на проблеми. »

1. Концентрични кръгове

2. Непреходни кръгове

3.Външно докосване

4. Пресичащи се кръгове

5. Вътрешно докосване

Така че нека приключим

4. Формиране на умения и способности

Потърсете грешка в данните или в изявлението и я коригирайте въз основа на вашето мнение:

А) Два кръга се допират. Техните радиуси са равни на R = 8 cm и r = 2 cm, разстоянието между центровете е d = 6.
Б) Две окръжности имат поне две общи точки.

Б) R = 4, r = 3, d = 5. Кръговете нямат общи точки.

Г) R = 8, r = 6, d = 4. По-малкият кръг се намира вътре в по-големия.

Д) Два кръга не могат да бъдат разположени така, че единият да е вътре в другия.

5. Консолидиране на умения и способности.

Кръговете са допирателни отвън. Радиусът на по-малкия кръг е 3 см. Радиусът на по-големия е 5 см. Какво е разстоянието между центровете?

Решение: 3 + 5 = 8 (см)

Кръговете са допирателни навътре. Радиусът на по-малкия кръг е 3 см. Радиусът на по-големия кръг е 5 см. Какво е разстоянието между центровете на окръжностите?

Решение: 5-3 = 2 (см)

Кръговете са допирателни навътре. Разстоянието между центровете на окръжностите е 2,5 см. Какви са радиусите на окръжностите?

отговор: (5,5 см и 3 см), (6,5 см и 4 см) и т.н.

ПРОВЕРКА НА РАЗБИРАНЕТО

1) Как могат да бъдат разположени два кръга?

2) В какъв случай окръжностите имат една обща точка?

3) Как се нарича общата точка на две окръжности?

4) Какви докосвания познавате?

5) Кога окръжностите се пресичат?

6) Какви кръгове се наричат ​​концентрични?

Допълнителни задачи по темата: Вектори. Координатен метод "(Ако остане време)

1) E (4; 12),Ф(-4;-10), Г(-2;6), Х(4; -2) Намерете:

а) координати на векториEF, Gh

б) векторна дължинаFG

в) координати на точка О - средна точкаEF

координати на точкатаУ- среденGh

г) уравнението на окръжност с диаметърFG

д) уравнението на правата линияFH

6. Домашна работа

& 96 # 1000. Кои от тези уравнения са уравнения на окръжността. Намерете център и радиус

7. Резюме на урока (3 мин.)

(дават качествена оценка на работата на класа и отделните ученици).

8. Етап на размисъл (2 минути.)

Нека кръговете са дадени от вектор от началото до центъра и радиуса на тази окръжност.

Да разгледаме окръжности A и B с радиуси Ra и Rb и радиус вектори (вектор към центъра) a и b. Освен това Оа и Об са техни центрове. Без да губим общността на разсъжденията, ще приемем, че Ra> Rb.

Тогава са изпълнени следните условия:

Пресечни точки на две окръжности

Да предположим, че A и B се срещат в две точки. Нека намерим тези пресечни точки.

За да направите това, векторът от a към точка P, който лежи върху окръжността A и лежи върху OaOb. За да направите това, трябва да вземете вектора b - a, който ще бъде векторът между двата центъра, да нормализирате (заменете с ко-посочен единичен вектор) и да умножите по Ra. Полученият вектор ще бъде обозначен като p. Можете да видите тази конфигурация на фиг. 6

Ориз. 6. Вектори a, b, p и къде живеят.

Нека означим i1 и i2 като вектори от a към пресечните точки I1 и I2 на две окръжности. Става очевидно, че i1 и i2 се получават чрез завъртане от p. Защото знаем всички страни на триъгълници OaI1Ob и OaI2Ob (Радиуси и разстояние между центровете), можем да получим този ъгъл fi, завъртането на който вектор p в едната посока ще даде I1, а в другата I2.

По косинусовата теорема е равно на:

Ако завъртите p към fi, получавате i1 или i2, в зависимост от посоката, в която завивате. Освен това векторът i1 или i2 трябва да се добави към a, за да се получи пресечната точка

Този метод ще работи дори ако центърът на един кръг е вътре в другия. Но там точно векторът p ще трябва да бъде зададен в посока от a към b, което направихме. Ако изградите p въз основа на друг кръг, тогава нищо няма да излезе от това

Е, в заключение, за всичко трябва да се спомене един факт: ако кръговете се докосват, тогава е лесно да се уверите, че P е точката на допиране (това важи както за вътрешни, така и за външни допирни точки).
Тук можете да видите визуализацията (щракнете за стартиране).

Този метод работи, но вместо ъгъла на въртене, можете да изчислите неговия косинус, а чрез него и синуса и след това да ги използвате, когато завъртите вектора. Това значително ще опрости изчисленията, като елиминира тригонометричните функции във вашия код.

Министерство на образованието и науката на Руската федерация

Общинска бюджетна образователна институция

град Новосибирск "Гимназия № 4"

Раздел: математика

ИЗСЛЕДВАНЕ

по тази тема:

СВОЙСТВА НА ДВЕ КОНТАКТНИ ВЕРИГИ

Ученици от 10 клас:

Хазиахметова Радик Илдарович

Зубарев Евгений Владимирович

Ръководител:

L.L. Баринова

Учител по математика

Най-висока квалификационна категория

§ 1. Въведение ……… .. ……………………………. …………………………………………………………… 3

§ 1.1 Взаимно подреждане на два кръга ……………………… … ………… … ……… 3

§ 2 Свойства и техните доказателства ……………………………………… .. …………… .....….… 4

§ 2.1 Свойство 1 ……………… ... ……………………………………………… .. ………………… ...….… 4

§ 2.2 Свойство 2 …………………………………………………………… .. ………………… ... ……… 5

§ 2.3 Свойство 3 …………………………………………………………… .. ………………… ... ……… 6

§ 2.4 Свойство 4 …………………………………………………………… .. ………………… ... ……… 6

§ 2.5 Свойство 5 …………………………………………… .. …………………………………… ... ……… 8

§ 2.6 Свойство 6 ………………………………………………………… .. ……………………… ... ……… 9

§ 3 Задачи ………………………………………………………… .. ………………… ...… ... ... ……… ..… 11

Литература ……………………………………………………………………………………………… .13

§ 1. Въведение

Много проблеми, включващи две допирателни окръжности, могат да бъдат решени по по-кратък и опростен начин, като се знаят някои от свойствата, които ще бъдат представени по-късно.

Относителното положение на два кръга

За начало нека обсъдим възможното взаимно положение на двата кръга. Може да има 4 различни случая.

1. Кръговете може да не се пресичат.

2. Припокриване.

3. Докоснете в една точка отвън.

4. Докоснете в една точка вътре.

§ 2. Свойства и техните доказателства

Нека преминем директно към доказването на свойствата.

§ 2.1 Свойство 1

Сегментите между точките на пресичане на допирателни с окръжности са равни една на друга и равни на два средни геометрични радиуса на тези окръжности.

Доказателство 1. О 1 А 1 и О 2 В 1 - радиуси, изтеглени към точките на допир.

2. О 1 А 1 ┴ А 1 В 1, О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1. (Съгласно т. 1)

1. ▲ О 1 О 2 D - правоъгълна, т.к О 2 D ┴ О 2 В 1
2. О 1 О 2 = R + r, О 2 D = R - r

1. По теоремата на Питагор A 1 B 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 = (R + r) 2 - (R-r) 2 = R 2 + 2Rr + r2-R 2 + 2Rr-r 2 = √4Rr = 2√Rr)

А 2 В 2 = 2√Rr (доказва се по подобен начин)

1) Начертайте радиусите в пресечните точки на допирателните с окръжностите.

2) Тези радиуси ще бъдат перпендикулярни на допирателните и успоредни един на друг.

3) Пуснете перпендикуляра от центъра на по-малкия кръг към радиуса на по-големия кръг.

4) Хипотенузата на получения правоъгълен триъгълник е равна на сумата от радиусите на окръжностите. Кракът е равен на тяхната разлика.

5) По теоремата на Питагор получаваме изискваното отношение.

§ 2.2 Свойство 2

Пресечните точки на права линия, пресичаща допирателната точка на окръжностите и не лежаща в нито една от тях с допирателни, разделят отсечките на външните допирателни, ограничени от точките на допиране, наполовина, на части, всяка от които е равна на средно геометрично на радиусите на тези окръжности.

Доказателство 1.MC= MA 1 (като сегменти от допирателни)

2.MC = MV 1 (като допирателни отсечки)

3.A 1 M = MV 1 = √Rr, A 2 N = NB 2 = √Rr (съгласно параграфи 1 и 2 )

Изявления, използвани в доказателството Отсечките на допирателните, изтеглени от една точка към определен кръг, са равни. Нека използваме това свойство и за двата дадени кръга.

§ 2.3 Свойство 3

Дължината на отсечката на вътрешната допирателна, затворена между външните допирателни, е равна на дължината на отсечката на външната допирателна между точките на допиране и е равна на два средни геометрични радиуса на тези окръжности.

Доказателство Този извод следва от предишното свойство.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Свойство 4

Триъгълникът, образуван от центровете на допирателните окръжности и средата на допирателния сегмент между радиусите, изтеглени към точките на допиране, е правоъгълен. Съотношението на неговите крака е равно на частното от корените на радиусите на тези окръжности.

Доказателство 1.MO 1 е ъглополовящата на ъгъл A 1 MC, MO 2 е ъглополовящата на ъгъл B 1 MC, тъй като центърът на окръжност, вписана в ъгъл, лежи върху ъглополовящата на този ъгъл.

2.Съгласно точка 1 РО 1 МС + РСМО 2 = 0.5 (РА1МС + РСМВ 1) = 0.5p = p / 2

3. PO 1 MO 2 - права линия. MS - височината на триъгълника O 1 MO 2, т.к допирателната МN е перпендикулярна на радиусите, проведени в точките на допиране → триъгълници О 1 МС и МО 2 С са подобни.

4.O 1 M / MO 2 = O 1 S / MS = r / √Rr = √r / R (по прилика)

Изявления, използвани в доказателството 1) Центърът на окръжност, вписана в ъгъл, лежи върху ъглополовящата на този ъгъл. Катетата на триъгълника са ъглите на ъглите.

2) Използвайки факта, че образуваните по този начин ъгли са равни, откриваме, че желаният ъгъл, който разглеждаме, е права линия. Заключаваме, че този триъгълник наистина е правоъгълен.

3) Доказваме сходството на триъгълници, на които височината (тъй като допирателната е перпендикулярна на радиусите, начертани в точките на допиране) разделя правоъгълен триъгълник и в подобието получаваме желаното съотношение.

§ 2.5 Свойство 5

Триъгълникът, образуван от точката на допиране на окръжностите един с друг и точките на пресичане на окръжностите с допирателната, е правоъгълен. Съотношението на неговите крака е равно на частното от корените на радиусите на тези окръжности.

Доказателство

1. ▲ А 1 МС и ▲ СМВ 1 - равнобедрен → РМА 1 С = РМСА 1 = α, РМВ 1 С = РМСВ 1 = β.

1. 2α + 2β + РА 1 МС + РСМВ 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (РА 1 МС + РСМВ 1) = 2p - p = p, α + β = p / 2

1. Но lA 1 CW 1 = α + β → lA 1 CW 1 - права линия → lB 1 CO 2 = lCB 1 O 2 = p / 2 - β = α

1. ▲ А 1 МС и ▲ СО 2 В 1 - подобни → А 1 С / CB 1 = МС / О 2 В 1 = √Rr / R = √r / R

Изявления, използвани в доказателството 1) Рисуваме сумата от ъглите на триъгълниците, като се възползваме от факта, че те са равнобедрени. Равнобедреността на триъгълниците се доказва с помощта на свойството на равенството на отсечките на допирателните.

2) След като запишем сумата от ъглите по този начин, откриваме, че в разглеждания триъгълник има прав ъгъл, следователно той е правоъгълен. Първата част от твърдението е доказана.

3) Чрез сходството на триъгълниците (когато го обосноваваме, използваме знака за сходство в два ъгъла), намираме съотношението на краката на правоъгълен триъгълник.

§ 2.6 Свойство 6

Четириъгълникът, образуван от точките на пресичане на окръжностите с допирателната, е трапец, в който може да бъде вписана окръжност.

Доказателство 1. ▲ А 1 RA 2 и ▲ В 1 РВ 2 - равнобедрен, т.к. А 1 Р = РВ 2 и В 1 Р = РВ 2 като отсечки от допирателни → ▲ А 1 РВ 2 и ▲ В 1 РВ 2 са сходни.

2.А 1 А 2 ║ В 1 В 2, защото са равни на съответните ъгли, образувани в пресечната точка на секущата A 1 B 1.

1. MN - средна линия по свойство 2 → А 1 А 2 + В 1 В 2 = 2MN = 4√Rr

1. А 1 В 1 + А 2 В 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = А 1 А 2 + В 1 В 2 → в трапеца А 2 А 1 В 1 В 2 сумата от основи е равна на сумата от страните, а това е необходимо и достатъчно условие за съществуването на вписан кръг.

Изявления, използвани в доказателството 1) Отново използваме свойството на допирателни отсечки. С негова помощ ще докажем равнобедрените триъгълници, образувани от пресечната точка на допирателните и точките на допиране.

2) От това следва сходството на тези триъгълници и успоредността на техните основи. На тази основа заключаваме, че този четириъгълник е трапец.

3) Използвайки свойството (2), което доказахме по-рано, намираме средната линия на трапеца. То е равно на два средни геометрични радиуса на окръжностите. В получения трапец сборът от основите е равен на сбора от страните и това е необходимо и достатъчно условие за съществуването на вписан кръг.

§ 3 Цели

Нека разгледаме, използвайки практически пример, как можете да опростите решението на проблема, използвайки горните свойства.

Проблем 1

В триъгълника ABC страната AC = 15 см. В триъгълника е вписан кръг. Вторият кръг докосва първия и страните AB и BC. От страната AB се избира точка F, а от страната BC - точка M, така че отсечката FM да е обща допирателна към окръжностите. Намерете съотношението на площите на триъгълник BFM и четириъгълник AFMC, ако FM е 4 cm и точка M е отдалечена от центъра на една окръжност на разстояние два пъти по-голямо от центъра на друг.

дадено: FM обща допирателна AC = 15 cm FM = 4 cm O 2 M = 2O 1 M

Намерете S BFM / S AFMC

Решение:

1) FM = 2√Rr, ​​O 1 M / O 2 M = √r / R

2) 2√Rr = 4, √r / R = 0,5 → r = 1, R = 4; PQ = FM = 4

3) ▲ BO 1 P и ▲ BO 2 Q са подобни → BP / BQ = O 1 P / O 2 Q, BP / (BP + PQ) = r / R, BP / (BP + 4) = 0,25; BP = 4/3

4) FM + BP = 16/3, S FBM = r * P FBM = 1 * (16/3) = 16/3; AC + BQ = 15 + 4/3 + 4 = 61/3

5) S ABC = R * P ABC = 4 * (61/3) = 244/3 → S BFM / S AFMC = (16/3) :( 244/3) = 4/61

Задача 2

В равнобедрен триъгълник ABC две допирателни окръжности са вписани с тяхната обща точка D и обща допирателна FK, минаваща през тази точка. Намерете разстоянието между центровете на тези окръжности, ако основата на триъгълника AC = 9 cm, а отсечката на страната на триъгълника между точките на допир на окръжностите е 4 cm.

дадено: ABC - равнобедрен триъгълник; FK е общата допирателна на вписаните окръжности. AC = 9 см; NE = 4 см

Решение:

Нека правите AB и CD се пресичат в точка O. Тогава ОА = ОД, ОВ = OC, следователно CD = = AB = 2√Rr

Точките O 1 и O 2 лежат върху ъглополовящата на ъгъла AOD. Симетралата на равнобедрен триъгълник AOD е неговата височина, следователно AD ┴ O 1 O 2 и BC ┴ O 1 O 2, следователно,

AD ║ BC и ABCD е равнобедрен трапец.

Отсечката MN е средната му линия, следователно AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Следователно в този трапец може да бъде вписан кръг.

Нека AP е височината на трапеца, правоъгълните триъгълници APB и O 1 FO 2 са подобни, следователно AP / O 1 F = AB / O 1 O 2.

От това откриваме, че

Библиография

• Приложение към в. "Първи септември" "Математика" No43, 2003г.
• Единен държавен изпит 2010 г. Математика. Проблем C4. Гордин Р.К.