Видео урок „Кръг. Конструкция на компас и линийка

Кръгът е затворена крива линия, всяка точка на която се намира на същото разстояние от една точка О, наречена център.

Прави линии, свързващи всяка точка от окръжността с нейния център, се наричат радиусиР.

Нарича се правата AB, свързваща две точки от окръжността и минаваща през центъра му O диаметърД.

Частите на кръговете се наричат дъги.

Нарича се правата CD, свързваща две точки в окръжност акорд.

Правата МN, която има само една обща точка с окръжността, се нарича допирателна.

Нарича се частта от окръжността, ограничена от хордата CD и дъгата сегмент.

Нарича се частта от окръжност, ограничена от два радиуса и дъга сектор.

Наричат ​​се две взаимно перпендикулярни хоризонтална и вертикална линии, пресичащи се в центъра на окръжността оси на кръг.

Ъгълът, образуван от двата радиуса на KOA, се нарича централен ъгъл.

две взаимно перпендикулярен радиусобразуват ъгъл от 90 0 и ограничават 1/4 от окръжността.

Начертайте кръг с хоризонтални и вертикални оси, които го разделят на 4 равни части. Начертани с помощта на пергел или квадрат на 45 0, две взаимно перпендикулярни линии разделят кръга на 8 равни части.

Разделяне на кръг на 3 и 6 равни части (кратно на 3 по три)

За да разделим окръжност на 3, 6 и кратно на тях, начертаваме кръг с даден радиус и съответните оси. Делението може да започне от точката на пресичане на хоризонталната или вертикалната ос с окръжността. Посоченият радиус на окръжността се депозира последователно 6 пъти. След това получените точки от окръжността се свързват последователно с прави линии и образуват правилен вписан шестоъгълник. Свързването на точките през една дава равностранен триъгълник и разделянето на окръжността на три равни части.

Изграждането на правилен петоъгълник се извършва по следния начин. Начертаваме две взаимно перпендикулярни оси на окръжността, равни на диаметъра на окръжността. Разделете дясната половина на хоризонталния диаметър наполовина, като използвате дъгата R1. От получената точка "a" в средата на този сегмент с радиус R2 начертайте кръгова дъга, докато се пресече с хоризонталния диаметър в точка "b". С радиус R3 от точка "1" начертайте дъга на окръжност, докато се пресече с дадена окръжност (точка 5) и вземете страната на правилен петоъгълник. Разстоянието "b-O" дава страната на обикновен десетоъгълник.

Разделяне на кръг на N-ти брой еднакви части (изграждане на правилен многоъгълник от N страни)

Извършва се по следния начин. Начертаваме хоризонтално и вертикално взаимно перпендикулярно на оста на кръга. От горната точка "1" на кръга начертайте права линия под произволен ъгъл спрямо вертикалната ос. Върху него полагаме равни сегменти с произволна дължина, чийто брой е равен на броя на частите, на които разделяме дадения кръг, например 9. Свързваме края на последния сегмент с долната точка на вертикалния диаметър . Начертаваме линии, успоредни на получената, от краищата на отложените сегменти до пресечната точка с вертикалния диаметър, като по този начин разделяме вертикалния диаметър на даден кръг на определен брой части. С радиус, равен на диаметъра на окръжността, от долната точка на вертикалната ос начертайте дъга MN, докато се пресече с продължението на хоризонталната ос на окръжността. От точки M и N изчертаваме лъчи през четните (или нечетните) точки на разделяне на вертикалния диаметър, докато се пресичат с окръжността. Получените сегменти от кръга ще бъдат изискваните, тъй като точки 1, 2,... 9 разделете кръга на 9 (N) равни части.

Нарича се изречение, което обяснява значението на конкретен израз или име определящи... Вече се срещнахме с дефиниции, например с определението на ъгъл, съседни ъгли, равнобедрен триъгълник и т. н. Нека дадем определение на друга геометрична фигура - кръг.

Определение

Тази точка се нарича центъра на кръга, а отсечката, свързваща центъра с която и да е точка от окръжността, е радиус на окръжност(фиг. 77). От определението за окръжност следва, че всички радиуси имат еднаква дължина.

Ориз. 77

Отсечка, свързваща две точки от окръжност, се нарича нейна хорда. Хордата, преминаваща през центъра на окръжността, се нарича тя диаметър.

На фигура 78 отсечките AB и EF са хордите на окръжността, сегментът CD е диаметърът на окръжността. Очевидно диаметърът на кръга е два пъти неговия радиус. Центърът на окръжност е средата на всеки диаметър.

Ориз. 78

Всякакви две точки от окръжността го разделят на две части. Всяка от тези части се нарича кръгова дъга. На фигура 79 ALB и AMB са дъги, ограничени от точки A и B.

Ориз. 79

За да изобразите кръг в чертежа, използвайте компас(фиг. 80).

Ориз. 80

За да нарисувате кръг на земята, можете да използвате въже (фиг. 81).

Ориз. 81

Частта от равнината, ограничена от окръжност, се нарича окръжност (фиг. 82).

Ориз. 82

Конструкция на компас и линийка

Вече се занимавахме с геометрични конструкции: начертахме прави линии, изложихме сегменти, равни на данните, нарисувахме ъгли, триъгълници и други фигури. При това използвахме линийка, пергел, транспортир, квадрат за чертане.

Оказва се, че много конструкции могат да се извършат с помощта само на пергел и линийка без деления на мащаба. Следователно в геометрията са специално разграничени онези строителни задачи, които се решават само с тези два инструмента.

Какво можеш да направиш с тях? Ясно е, че линийката ви позволява да начертаете произволна права линия, както и да изградите права линия, минаваща през две дадени точки. С помощта на компас можете да начертаете кръг с произволен радиус, както и кръг с център в дадена точка и радиус, равен на даден сегмент. Извършвайки тези прости операции, ще можем да решим много интересни строителни проблеми:

построете ъгъл, равен на дадения;
начертайте права линия през тази точка, перпендикулярна на тази права линия;
разделете този сегмент наполовина и други задачи.

Нека започнем с една проста задача.

Задача

На даден лъч от началото му да се отложи сегмент, равен на дадения.

Решение

Нека изобразим фигурите, дадени в условието на задачата: лъч OS и сегмент AB (фиг. 83, а). След това с пергел изграждаме окръжност с радиус AB с център O (фиг. 83, б). Тази окръжност ще пресече OS лъча в някаква точка D. Отсечката OD е необходимата.

Ориз. 83

Примери за строителни задачи

Начертаване на ъгъл, равен на даден

Задача

Отделете от дадения лъч ъгъла, равен на дадения.

Решение

Този ъгъл с върха A и лъча ОМ са показани на фигура 84. Необходимо е да се построи ъгъл, равен на ъгъла А, така че едната му страна да съвпада с лъча ОМ.

Ориз. 84

Нека начертаем окръжност с произволен радиус с център във върха A на дадения ъгъл. Тази окръжност пресича страните на ъгъла в точки B и C (фиг. 85, а). След това начертаваме кръг със същия радиус с център на дадения лъч OM. Той пресича лъча в точка D (фиг. 85, б). След това ще построим окръжност с център D, чийто радиус е равен на BC. Кръговете с центрове O и D се пресичат в две точки. Обозначаваме една от тези точки с буквата E. Нека докажем, че ъгълът MOE е желаният.

Ориз. 85

Помислете за триъгълници ABC и ODE. Сегментите AB и AC са радиусите на окръжността с център A, а отсечките OD и OE са радиусите на окръжността с център O (виж фиг. 85, б). Тъй като по конструкция тези окръжности имат равни радиуси, тогава AB = OD, AC = OE. Също по конструкция ВС = DE.

Следователно Δ ABC = Δ ODE от три страни. Следователно ∠DOE = ∠BAC, т.е. конструираният ъгъл MOE е равен на дадения ъгъл A.

Същата конструкция може да се извърши и на земята, ако използвате въже вместо компас.

Начертаване на бисектриса на ъгъл

Задача

Построете ъглополовящата на дадения ъгъл.

Решение

Този ъгъл BAC е показан на фигура 86. Начертайте окръжност с произволен радиус, центрирана във връх A. Той ще пресича страните на ъгъла в точки B и C.

Ориз. 86

След това начертаваме две окръжности с един и същ радиус BC с центрове в точки B и C (на фигурата са показани само части от тези кръгове). Те ще се пресичат в две точки, от които поне една лежи в ъгъла. Нека го обозначим с буквата E. Нека докажем, че лъчът AE е ъглополовяща на дадения ъгъл BAC.

Да разгледаме триъгълниците ACE и ABE. Те са равни от три страни. Наистина, AE е обща страна; AC и AB са равни като радиусите на същата окръжност; CE = BE по конструкция.

От равенството на триъгълниците ACE и ABE следва, че ∠CAE = ∠BAE, тоест лъчът AE е ъглополовящата на даден ъгъл BAC.

Коментирайте

Възможно ли е да разделим даден ъгъл на два равни ъгъла с помощта на пергел и линийка? Ясно е, че е възможно - за това трябва да начертаете ъглополовящата на този ъгъл.

Този ъгъл също може да бъде разделен на четири равни ъгъла. За да направите това, трябва да го разделите наполовина и след това отново да разделите всяка половина наполовина.

Възможно ли е да разделим този ъгъл на три равни ъгъла с помощта на пергел и линийка? Тази задача, озаглавена проблеми с трисекционния ъгъл, привлича вниманието на математиците от векове. Едва през 19 век е доказано, че такава конструкция е невъзможна за произволен ъгъл.

Чертане на перпендикулярни линии

Задача

Дадени са права линия и точка върху нея. Построете права, минаваща през дадена точка и перпендикулярна на тази права.

Решение

Тази права а и дадена точка M, принадлежащи на тази права, са показани на фигура 87.

Ориз. 87

Върху лъчите на правата a, излизаща от точка M, отлагаме равни отсечки MA и MB. Тогава ще построим две окръжности с центрове A и B с радиус AB. Те се пресичат в две точки: P и Q.

Нека начертаем права линия през точка M и една от тези точки, например правата MP (виж фиг. 87), и докажем, че тази права е търсената, тоест че е перпендикулярна на дадената права а.

Всъщност, тъй като медианата PM на равнобедрения триъгълник PAB е и височината, PM ⊥ a.

Начертайте средата на отсечка от линия

Задача

Конструирайте средата на този сегмент.

Решение

Нека AB е даден сегмент. Нека построим две окръжности с центрове A и B с радиус AB. Те се пресичат в точки P и Q. Начертайте линия PQ. Точката O на пресечната точка на тази права с отсечката AB е желаната средна точка на отсечката AB.

Наистина триъгълниците APQ и BPQ са равни от трите страни, така че ∠1 = ∠2 (фиг. 89).

Ориз. 89

Следователно отсечката PO е ъглополовящата на равнобедрения триъгълник APB и следователно медианата, тоест точката O е средата на отсечката AB.

Задачи

143. Кои от отсечките, показани на фигура 90, са: а) хорди на окръжността; б) диаметрите на окръжността; в) радиусите на окръжността?

Ориз. 90

144. Отсечки AB и CD - диаметри на окръжност. Докажете, че: а) хордите BD и AC са равни; б) хордите AD и BC са равни; в) ∠BAD = ∠BCD.

145. Отсечка MK - диаметърът на окръжност с център O, а MP и PK - равни хорди на тази окръжност. Намерете ∠POM.

146. Отсечки AB и CD - диаметри на окръжност с център O. Намерете периметъра на триъгълник AOD, ако е известно, че CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. Точки A и B са отбелязани върху окръжност с център O, така че ъгълът AOB е права линия. Сегмент BC - диаметърът на окръжността. Докажете, че хордите AB и AC са равни.

148. На правата линия са дадени две точки A и B. Върху продължението на лъч B A отделете отсечката BC, така че BC = 2AB.

149. Дадени са права линия a, точка B, която не лежи върху нея, и отсечка PQ. Конструирайте точка M на правата a, така че BM = PQ. Винаги ли проблемът има решение?

150. Дадена е окръжност, точка A, която не лежи върху нея, и отсечка PQ. Конструирайте точка M върху окръжността, така че AM = PQ. Винаги ли проблемът има решение?

151. Дадени са остър ъгъл BAC и лъч XY. Конструирайте ъгъла YXZ така, че ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Даден е тъп ъгъл AOB. Конструирайте лъч OX така, че ъглите XOA и XOB да са равни тъпи ъгли.

153. Дадени са ви права линия a и точка M, която не лежи върху нея. Построете права, минаваща през точка M и перпендикулярна на права а.

Решение

Построете окръжност с център в дадена точка М, пресичаща дадена права а в две точки, които обозначаваме с буквите А и В (фиг. 91). След това изграждаме две окръжности с центрове A и B, преминаващи през точка M. Тези окръжности се пресичат в точка M и в още една точка, която обозначаваме с буквата N. Начертаваме права MN и доказваме, че тази права е търсената, тоест е перпендикулярна на права a.

Ориз. 91

Всъщност триъгълниците AMN и BMN са равни от три страни, така че ∠1 = ∠2. От това следва, че отсечката MC (C е пресечната точка на правите a и MN) е ъглополовящата на равнобедрения триъгълник AMB, а оттам и височината. Така MN ⊥ AB, тоест MN ⊥ a.

154. Даден е триъгълник ABC. Конструирайте: а) ъглополовяща AK; б) медианата на VM; в) височината на триъгълника CH. 155. С помощта на пергел и линийка постройте ъгъл, равен на: а) 45 °; б) 22 ° 30 ".

Отговори на проблеми

152. Индикация. Първо, построете ъглополовящата на ъгъла AOB.

§ 1 Обиколка. Основни понятия

В математиката има изречения, които обясняват значението на определено име или израз. Такива изречения се наричат ​​дефиниции.

Нека да дефинираме понятието кръг. Кръгът е геометрична фигура, състояща се от всички точки от равнината, разположени на определено разстояние от дадена точка.

Тази точка, да я наречем точка О, се нарича център на окръжността.

Сегментът, свързващ центъра с която и да е точка от окръжността, се нарича радиус на окръжността. Можете да нарисувате много такива сегменти, например OA, OV, OS. Всички те ще бъдат с еднаква дължина.

Отсечка, свързваща две точки от окръжност, се нарича хорда. MN е хордата на окръжността.

Хордата, преминаваща през центъра на окръжността, се нарича диаметър. AB е диаметърът на окръжността. Диаметърът се състои от два радиуса, което означава, че дължината на диаметъра е два пъти по-голяма от радиуса. Центърът на окръжност е средата на всеки диаметър.

Всякакви две точки от окръжността го разделят на две части. Тези части се наричат ​​кръгови дъги.

ANВ и АМВ са кръгови дъги.

Частта от равнината, която е ограничена от окръжност, се нарича окръжност.

За да изобразите кръг в чертежа, използвайте компас. Кръгът може да се начертае и на земята. За да направите това, просто използвайте въже. Прикрепете единия край на въжето към колче, забито в земята, и начертайте кръг с другия край.

§ 2 Конструкции с пергел и линийка

В геометрията много конструкции могат да се изпълняват само с пергел и линийка без деления на мащаба.

Използвайки само линийка, можете да начертаете произволна права линия, както и произволна права линия, минаваща през дадена точка, или права линия, минаваща през две дадени точки.

Компасът ви позволява да начертаете кръг с произволен радиус, също и кръг с център в дадена точка и радиус, равен на даден сегмент.

Отделно всеки от тези инструменти дава възможност да се правят най-простите конструкции, но с помощта на тези два инструмента вече можете да извършвате по-сложни операции, напр.

решаване на строителни проблеми като напр

Построете ъгъл, равен на дадения,

Конструирайте триъгълник с дадените страни,

Разделете сегмента наполовина,

През тази точка начертайте права линия, перпендикулярна на тази права линия и т.н.

Нека разгледаме проблема.

Задача: Върху даден лъч от началото му поставете отсечка, равни на дадения.

Дадени са лъч OS и сегмент AB. Необходимо е да се построи отсечка OD, равно на отсечка AB.

С помощта на компас построете окръжност с радиус, равен на дължината на отсечката AB, с център в точка O. Тази окръжност ще пресича този лъч OS в някаква точка D. Отсечката OD е необходимият отсечка.

Списък на използваната литература:

1. Геометрия. 7-9 клас: учеб. за общо образование. организации / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - М .: Образование, 2013 .-- 383 с .: ил.
2. Гаврилова Н.Ф. Разработка на урока по геометрия 7 клас. - М .: "ВАКО", 2004. - 288с. - (За да помогне на учителя).
3. О. Белицкая Геометрия. 7-ми клас. Част 1. Тестове. - Саратов: Лицей, 2014 .-- 64 с.

При производството или обработката на дървени части в някои случаи се изисква да се определи къде е геометричният им център. Ако частта има квадратна или правоъгълна форма, това не е трудно да се направи. Достатъчно е да свържете противоположните ъгли с диагонали, които ще се пресичат точно в центъра на нашата фигура.
За продукти, които имат формата на кръг, това решение няма да работи, тъй като те нямат ъгли и следователно нямат диагонали. В този случай се нуждаете от друг подход, основан на различни принципи.

И те съществуват, и то в много вариации. Някои от тях са доста сложни и изискват няколко инструмента, други са лесни за изпълнение и не се нуждаят от цял ​​набор от инструменти за прилагането им.
Сега ще разгледаме един от най-лесните начини за намиране на центъра на кръг с помощта на обикновена линийка и молив.

Последователността за намиране на центъра на окръжността: