Опростете тригонометричните изрази онлайн. Идентични трансформации на тригонометрични изрази

V идентични трансформации тригонометрични изразимогат да се използват следните алгебрични техники: събиране и изваждане на едни и същи термини; изваждане на общия фактор от скобите; умножение и деление на една и съща сума; прилагане на съкратени формули за умножение; избор на пълен квадрат; факторизация на квадратен трином; въвеждане на нови променливи с цел опростяване на трансформациите.

Когато преобразувате тригонометрични изрази, които съдържат дроби, можете да използвате свойствата на пропорция, намаляване на дроби или преобразуване на дроби в общ знаменател. Освен това можете да използвате избора на целочислената част на дробата, като умножите числителя и знаменателя на дробата със същото количество, както и, ако е възможно, да вземете предвид хомогенността на числителя или знаменателя. Ако е необходимо, можете да представите дроб като сума или разлика от няколко по -прости дроби.

Освен това, когато се прилагат всички необходими методи за преобразуване на тригонометрични изрази, е необходимо постоянно да се отчита обхватът на допустимите стойности на преобразуваните изрази.

Нека разгледаме няколко примера.

Пример 1.

Изчислете А = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π / 2) cos (x + π / 2)) 2 + (cos (x - π / 2) cos (2x - 7π / 2) +
+ sin (3π / 2 - x) sin (2x -5π / 2)) 2

Решение.

От формулите за редукция следва:

sin (2x - π) = -sin 2x; cos (3π - x) = -cos x;

sin (2x - 9π / 2) = -cos 2x; cos (x + π / 2) = -sin x;

cos (x - π / 2) = sin x; cos (2x - 7π / 2) = -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) = -cos x; sin (2x - 5π / 2) = -cos 2x.

Оттук, по силата на формулите за добавяне на аргументи и основната тригонометрична идентичност, получаваме

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Отговор: 1.

Пример 2.

Преобразувайте израза М = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β - sin (α + β) sin γ + cos γ в продукт.

Решение.

От формулите за добавяне на аргументи и формулите за трансформиране на сумата от тригонометрични функции в продукт след съответното групиране имаме

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + 2cos (α + (β + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2)) =

2cos ((β + γ) / 2) (cos ((β - γ) / 2) + cos (α + (β + γ) / 2)) =

2cos ((β + γ) / 2) 2cos ((β - γ) / 2 + α + (β + γ) / 2) / 2) cos ((β - γ) / 2) - (α + (β + γ) / 2) / 2) =

4cos ((β + γ) / 2) cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2).

Отговор: М = 4cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2).

Пример 3.

Покажете, че изразът A = cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) има едно и също значение. Намерете тази стойност.

Решение.

Ето два начина за решаване на този проблем. Прилагайки първия метод, като изберем пълен квадрат и използваме съответните основни тригонометрични формули, получаваме

А = (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) =

4sin 2 x sin 2 π / 6 + 1/2 (cos 2x + cos π / 3) =

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

Решавайки задачата по втория начин, помислете за A като функция на x от R и изчислете нейната производна. След трансформациите получаваме

A´ = -2cos (x + π / 6) sin (x + π / 6) + (sin (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos (x + π / 6) sin (x + π / 6)) - 2cos (x - π / 6) sin (x - π / 6) =

Sin 2 (x + π / 6) + sin ((x + π / 6) + (x - π / 6)) - sin 2 (x - π / 6) =

Sin 2x - (sin (2x + π / 3) + sin (2x - π / 3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π / 3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Следователно, по силата на критерия за постоянство на функция, диференцируема на интервал, заключаваме, че

A (x) ≡ (0) = cos 2 π / 6 - cos 2 π / 6 + cos 2 π / 6 = (√3 / 2) 2 = 3/4, x € R.

Отговор: A = 3/4 за x € R.

Основните методи за доказване на тригонометрични идентичности са:

а)намаляване на лявата страна на идентичността вдясно чрез подходящи трансформации;
б)намаляване на дясната страна на идентичността вляво;
v)редукция на дясната и лявата страна на идентичността до същия вид;
Ж)намаляване до нула на разликата между лявата и дясната страна на доказваната идентичност.

Пример 4.

Проверете дали cos 3x = -4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3).

Решение.

Преобразувайки дясната страна на тази идентичност според съответните тригонометрични формули, имаме

4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3) =

2cos x (cos ((x + π / 3) + (x + 2π / 3)) + cos ((x + π / 3) - (x + 2π / 3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π / 3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

Дясната страна на самоличността е намалена вляво.

Пример 5.

Докажете, че sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α cos β cos γ = 2, ако α, β, γ са вътрешни ъгли на някакъв триъгълник.

Решение.

Като се има предвид, че α, β, γ са вътрешни ъгли на някакъв триъгълник, получаваме това

α + β + γ = π и следователно γ = π - α - β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 - cos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Първоначалното равенство е доказано.

Пример 6.

За да се докаже, че за един от ъглите α, β, γ на триъгълника да бъде равен на 60 °, е необходимо и достатъчно, че sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Решение.

Условието на този проблем предполага доказателство както за необходимостта, така и за достатъчността.

Първо, нека докажем трябва.

Може да се покаже, че

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2).

Следователно, като се вземе предвид, че cos (3/2 60 °) = cos 90 ° = 0, получаваме, че ако един от ъглите α, β или γ е равен на 60 °, тогава

cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) = 0 и следователно sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Нека сега докажем адекватностпосоченото условие.

Ако sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, тогава cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) = 0 и следователно

или cos (3α / 2) = 0, или cos (3β / 2) = 0, или cos (3γ / 2) = 0.

Следователно,

или 3α / 2 = π / 2 + πk, т.е. α = π / 3 + 2πk / 3,

или 3β / 2 = π / 2 + πk, т.е. β = π / 3 + 2πk / 3,

или 3γ / 2 = π / 2 + πk,

тези. γ = π / 3 + 2πk / 3, където k ϵ Z.

Тъй като α, β, γ са ъглите на триъгълника, имаме

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Следователно, за α = π / 3 + 2πk / 3 или β = π / 3 + 2πk / 3 или

γ = π / 3 + 2πk / 3 от всички kϵZ, само k = 0 отговаря.

Оттук следва, че или α = π / 3 = 60 °, или β = π / 3 = 60 °, или γ = π / 3 = 60 °.

Твърдението е доказано.

Все още имате въпроси? Не сте сигурни как да опростите тригонометричните изрази?
За да получите помощ от учител - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, е необходима връзка към източника.

Секции: Математика

Клас: 11

Урок 1

Тема: 11 клас (подготовка за изпита)

Опростяване на тригонометрични изрази.

Решаване на най -простите тригонометрични уравнения. (2 часа)

Цели:

Да се систематизират, обобщават, разширяват знанията и уменията на учениците, свързани с използването на тригонометрични формули и решаването на най -простите тригонометрични уравнения.

Оборудване за урока:

Структура на урока:

Организационен момент
Тестване на лаптопи. Обсъждане на резултатите.
Опростяване на тригонометрични изрази
Решаване на най -простите тригонометрични уравнения
Независима работа.
Обобщение на урока. Обяснение на домашното задание.

1. Организационен момент. (2 минути.)

Учителят поздравява публиката, обявява темата на урока, напомня им за задачата, дадена по -рано да повтори формулите за тригонометрия, и настройва учениците за тестване.

2. Тестване. (15 минути + 3 минути дискусия)

Целта е да се проверят знанията за тригонометричните формули и способността да се прилагат. Всеки ученик има лаптоп на бюрото с тестова версия.

Опциите могат да бъдат колкото искате, ще дам пример за една от тях:

Вариант I.

Опростете изразите:

а) основни тригонометрични идентичности

1.sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) формули за добавяне

3.sin5x - sin3x;

в) преобразуване на продукта в сума

6.2sin8y уютен;

г) формули с двоен ъгъл

7.2sin5x cos5x;

д) формули за половин ъгъл

е) формули за тройни ъгли

ж) универсално заместване

з) понижаване на степента

16.cos 2 (3x / 7);

Учениците на лаптоп виждат отговорите си срещу всяка формула.

Работата се проверява незабавно от компютъра. Резултатите се показват на голям екран, за да могат всички да го видят.

Също така след края на работата правилните отговори се показват на лаптопите на учениците. Всеки ученик вижда къде е допусната грешката и какви формули трябва да повтори.

3. Опростяване на тригонометричните изрази. (25 мин.)

Целта е да се прегледа, практикува и консолидира прилагането на основните формули за тригонометрия. Решаване на задачи В7 от изпита.

На този етап е препоръчително да разделите класа на групи от силни (работете независимо с последваща проверка) и слаби ученици, които работят с учителя.

Задание за силни ученици (подготвено предварително на печатна основа). Основният акцент е върху формулите за намаляване и двоен ъгъл, според USE 2011.

Опростете изразите (за силни учащи):

Успоредно с това учителят работи със слаби ученици, обсъжда и решава задачи на екрана под диктовката на учениците.

Изчисли:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

Опростете:

Дойде ред на обсъждането на резултатите от работата на силната група.

Отговорите се появяват на екрана, а също с помощта на видеокамера се показват произведенията на 5 различни ученици (по една задача за всеки).

Слабата група вижда състоянието и метода на решение. Обсъждането и анализът са в ход. С използването на технически средства това става бързо.

4. Решение на най -простите тригонометрични уравнения. (30 минути.)

Целта е да се повтори, систематизира и обобщи решението на най -простите тригонометрични уравнения, като се запишат техните корени. Решение на проблем В3.

Всяко тригонометрично уравнение, независимо как го решаваме, води до най -простото.

Когато изпълняват задачата, учениците трябва да бъдат привлечени към записването на корените на уравненията на конкретни случаи и общата форма и към избора на корените в последното уравнение.

Решаване на уравнения:

Запишете най -малкия положителен корен в отговор.

5. Самостоятелна работа (10 мин.)

Целта е да се тестват придобитите умения, да се идентифицират проблеми, грешки и начини за тяхното отстраняване.

Предлага се работа на различно ниво по избор на студента.

Опция за "3"

1) Намерете стойността на израз

2) Опростете израза 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Решете уравнението

Опция за "4"

1) Намерете стойността на израз

2) Решете уравнението Запишете най -малкия положителен корен в отговора.

Опция за "5"

1) Намерете tgα, ако

2) Намерете корена на уравнението Запишете най -малкия положителен корен във вашия отговор.

6. Обобщение на урока (5 мин.)

Учителят обобщава факта, че в урока тригонометричните формули бяха повторени и фиксирани, решението на най -простите тригонометрични уравнения.

Домашна задача (подготвена предварително на печатна основа) с проверки на място в следващия урок.

Решаване на уравнения:

10) Посочете най -малкия положителен корен във вашия отговор.

Сесия 2

Тема: 11 клас (подготовка за изпита)

Методи за решаване на тригонометрични уравнения. Избор на корени. (2 часа)

Цели:

Да обобщи и систематизира знанията за решаване на тригонометрични уравнения от различен тип.
Да насърчава развитието на математическото мислене на учениците, способността да наблюдават, сравняват, обобщават, класифицират.
Насърчавайте учениците за преодоляване на трудностите в процеса на умствена дейност, за самоконтрол, самоанализ на своите дейности.

Оборудване за урока: KRMu, лаптопи за всеки ученик.

Структура на урока:

Организационен момент
Дискусия д / ч и самот. произведения от последния урок
Повторение на методи за решаване на тригонометрични уравнения.
Решаване на тригонометрични уравнения
Избор на корени в тригонометрични уравнения.
Независима работа.
Обобщение на урока. Домашна работа.

1. Организационен момент (2 мин.)

Учителят поздравява публиката, обявява темата на урока и работния план.

2. а) Преглед на домашните (5 мин.)

Целта е да се провери изпълнението. Една работа с помощта на видеокамера се показва на екрана, останалите се събират избирателно за проверка на учителя.

б) Анализ на самостоятелна работа (3 минути)

Целта е да се анализират грешките, да се посочат начините за тяхното преодоляване.

На екрана, отговорите и решенията, учениците имат предварително зададена работа. Анализът напредва бързо.

3. Повторение на методи за решаване на тригонометрични уравнения (5 мин.)

Целта е да се припомнят методите за решаване на тригонометрични уравнения.

Попитайте учениците какви методи знаят за решаване на тригонометрични уравнения. Подчертайте, че има т. Нар. Основни (често използвани) методи:

променлива подмяна,
факторизация,
хомогенни уравнения,

и има приложими методи:

чрез формулите за превръщане на сума в продукт и продукт в сума,
чрез формулите за намаляване на степента,
универсално тригонометрично заместване
въвеждане на спомагателен ъгъл,
умножение по някаква тригонометрична функция.

Трябва също така да се помни, че едно уравнение може да бъде решено по различни начини.

4. Решаване на тригонометрични уравнения (30 мин.)

Целта е да обобщим и затвърдим знанията и уменията по тази тема, да се подготвим за решението на C1 от изпита.

Считам за целесъобразно да решаваме уравненията за всеки метод заедно с учениците.

Ученикът диктува решението, учителят го записва на таблета, целият процес се показва на екрана. Това ще ви позволи бързо и ефективно да си припомните предишния материал.

Решаване на уравнения:

1) промяна на променлива 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) факторинг 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) = 0

3) хомогенни уравнения sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) преобразуване на сумата в произведението cos5x + cos7x = cos (π + 6x)

5) преобразуване на продукта в сумата 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) понижаване на мощността sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) универсално тригонометрично заместване sinx + 5cosx + 5 = 0.

Решавайки това уравнение, трябва да се отбележи, че използването на този метод води до стесняване на областта на дефиниция, тъй като синусът и косинусът се заменят с tg (x / 2). Следователно, преди да напишете отговора, трябва да проверите дали числата от множеството π + 2πn, n Z са коне на това уравнение.

8) въвеждане на спомагателен ъгъл √3sinx + cosx - √2 = 0

9) умножение по някаква тригонометрична функция cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Избор на корени на тригонометрични уравнения (20 мин.)

Тъй като в условията на жестока конкуренция при постъпване в университети решаването на една първа част от изпита не е достатъчно, повечето студенти трябва да обърнат внимание на задачите от втората част (C1, C2, C3).

Следователно, целта на този етап от урока е да припомни предварително изучения материал, да се подготви за решаване на проблема С1 от Единния държавен изпит през 2011 г.

Има тригонометрични уравнения, в които трябва да изберете корени, когато пишете отговор. Това се дължи на някои ограничения, например: знаменателят на дробата не е нула, изразът под корена на четна степен е неотрицателен, изразът под знака на логаритъма е положителен и т.н.

Такива уравнения се считат за уравнения с повишена сложност и във версията на изпита са във втората част, а именно C1.

Решете уравнението:

Дробът е нула, ако тогава използвайки единичния кръг, избираме корените (виж Фигура 1)

Снимка 1.

получаваме x = π + 2πn, n Z

Отговор: π + 2πn, n Z

На екрана изборът на корени се показва върху кръг в цветно изображение.

Продуктът е равен на нула, когато поне един от множителите е равен на нула, а дъгата в този случай не губи значението си. Тогава

Използвайки единичния кръг, изберете корените (вижте Фигура 2)

Видео урокът „Опростяване на тригонометричните изрази“ е предназначен да развие уменията на учениците за решаване на тригонометрични задачи, използвайки основни тригонометрични идентичности. В хода на видео урока се разглеждат типовете тригонометрични идентичности, примери за решаване на задачи с тяхната употреба. Използвайки визуалното помагало, учителят е по -лесно да постигне целите на урока. Яркото представяне на материала помага да се запомнят важни моменти. Използването на анимационни ефекти и дублиране правят възможно напълно да се замени учителя на етапа на обясняване на материала. По този начин, използвайки тази визуална помощ в уроците по математика, учителят може да увеличи ефективността на преподаването.

В началото на видео урока се обявява неговата тема. След това се припомнят тригонометричните идентичности, проучени по -рано. Екранът показва равенствата sin 2 t + cos 2 t = 1, tg t = sin t / cos t, където t ≠ π / 2 + πk за kϵZ, ctg t = cos t / sin t, валидно за t ≠ πk, където kϵZ, tg t · ctg t = 1, за t ≠ πk / 2, където kϵZ, наречени основните тригонометрични идентичности. Отбелязва се, че тези идентичности често се използват при решаване на проблеми, където е необходимо да се докаже равенството или да се опрости израз.

Освен това се разглеждат примери за прилагане на тези идентичности при решаване на проблеми. Първо, предлага се да се обмисли решението на проблемите, за да се опростят изразите. В пример 1 е необходимо да се опрости израза cos 2 t- cos 4 t + sin 4 t. За да разрешите примера, първо поставете общия фактор cos 2 t извън скобите. В резултат на такова преобразуване в скоби се получава изразът 1- cos 2 t, чиято стойност от основната идентичност на тригонометрията е равна на sin 2 t. След трансформиране на израза е очевидно, че още един общ фактор sin 2 t може да бъде поставен в скоби, след което изразът приема формата sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). От същата основна идентичност извличаме стойността на израза в скоби, равна на 1. В резултат на опростяването получаваме cos 2 t- cos 4 t + sin 4 t = sin 2 t.

Пример 2 също трябва да опрости израза cost / (1- sint) + cost / (1+ sint). Тъй като цената на израза е в числителите на двете дроби, тя може да бъде поставена в скоби като общ фактор. Тогава дробите в скоби се редуцират до общ знаменател чрез умножаване (1-sint) (1+ sint). След въвеждането на такива термини в числителя остава 2, а в знаменателя 1 - sin 2 t. От дясната страна на екрана се напомня основната тригонометрична идентичност sin 2 t + cos 2 t = 1. Използвайки го, намираме знаменателя на дробата cos 2 t. След като намалим фракцията, получаваме опростена форма на израза cost / (1- sint) + cost / (1+ sint) = 2 / cost.

Освен това се разглеждат примери за доказателства за идентичност, в които се прилагат придобитите знания за основните идентичности на тригонометрията. В пример 3 е необходимо да се докаже идентичността (tg 2 t-sin 2 t) · ctg 2 t = sin 2 t. От дясната страна на екрана се показват три идентичности, които ще са необходими за доказателството - tg t · ctg t = 1, ctg t = cos t / sin t и tan t = sin t / cos t с ограничения. За да се докаже идентичността, първо се разширяват скобите, след което се формира продукт, който отразява израза на основната тригонометрична идентичност tg t · ctg t = 1. След това, според идентичността от дефиницията на котангенса, ctg 2 t се трансформира. В резултат на трансформациите се получава изразът 1-cos 2 t. Използвайки основната идентичност, откриваме значението на израза. По този начин е доказано, че (tg 2 t-sin 2 t) ctg 2 t = sin 2 t.

В пример 4 трябва да намерите стойността на израза tg 2 t + ctg 2 t, ако tg t + ctg t = 6. За да се изчисли израза, дясната и лявата страна на равенството (tg t + ctg t) 2 = 6 2 са първо на квадрат. Съкратената формула за умножение прилича на дясната страна на екрана. След отваряне на скобите от лявата страна на израза се образува сумата tg 2 t + 2 · tg t · ctg t + ctg 2 t, за преобразуването на която една от тригонометричните идентичности tg t · ctg t = 1 може да бъдат приложени, чиято форма е напомнена от дясната страна на екрана. След преобразуването се получава равенството tg 2 t + ctg 2 t = 34. Лявата страна на равенството съвпада с условието на задачата, така че отговорът е 34. Проблемът е решен.

Видео урокът "Опростяване на тригонометричните изрази" се препоръчва за използване в традиционен училищен урок по математика. Също така материалът ще бъде полезен за учител, провеждащ дистанционно обучение. За да се развият умения за решаване на тригонометрични задачи.

ТЕКСТОВ КОД:

"Опростяване на тригонометричните изрази."

Равенство

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (синус на квадрат te плюс косинус на квадрат te е равен на един)

2) tgt =, за t ≠ + πk, kϵZ (тангенсата te е равна на отношението на синуса te към косинуса te, когато te не е равно на pi с две плюс pi, ka принадлежи на z)

3) ctgt =, за t ≠ πk, kϵZ (котангенсът te е равен на отношението на косинуса te към синуса te, когато te не е равно на пика, ka принадлежи на z).

4) tgt ∙ ctgt = 1 за t ≠, kϵZ (произведението на допирателната te и котангенсната те е равна на единица, ако te не е равна на пика, разделена на две, ka принадлежи на z)

се наричат основни тригонометрични идентичности.

Те често се използват за опростяване и доказване на тригонометрични изрази.

Нека разгледаме примери за използване на тези формули за опростяване на тригонометричните изрази.

ПРИМЕР 1: Опростете израза: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (изразът е косинус на квадрат te минус косинус te на четвърта степен плюс синус te на четвърта степен).

Решение. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t ∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1 = sin 2 t

(изваждаме общия коефициент косинус на квадрат te, в скоби получаваме разликата между единството и квадрата на косинуса te, който е равен по първата идентичност на квадрата на синуса te. Получаваме сумата от синуса на четвъртата степен te на произведението косинус на квадрат te и синус квадрат te. в скоби, в скоби получаваме сумата от квадратите на косинуса и синуса, които по основната тригонометрична идентичност са равни на 1. В резултат получаваме квадратът на sine te).

ПРИМЕР 2: Опростете израза: +.

(изразът ba е сумата от две дроби в числителя на първия косинус te в знаменателя един минус синус te, в числителя на втория косинус te в знаменателя втората единица плюс синус te).

(Нека извадим общия коефициент косинус te от скобите и в скоби го довеждаме до общия знаменател, който е продукт на един минус синус те и един плюс синус те.

В числителя получаваме: един плюс синус te плюс един минус синус te, даваме подобни, числителят е равен на два след подобни.

В знаменателя можете да приложите формулата за намалено умножение (разлика в квадратите) и да получите разликата между единицата и квадрата на синуса te, който според основната тригонометрична идентичност

е равен на квадрата на косинуса te. След анулиране чрез косинус te получаваме окончателния отговор: два, разделени на косинус te).

Нека разгледаме примери за използване на тези формули при доказване на тригонометрични изрази.

ПРИМЕР 3. Докажете идентичността (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (произведението на разликата между квадратите на допирателната te и синус te и квадрата на котангенсата te е равна на квадрат на синуса te).

Доказателство.

Нека трансформираме лявата страна на равенството:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = sin 2 t

(Нека отворим скобите, от полученото по -рано съотношение е известно, че произведението на квадратите на тангенсата te и котангенса te е равно на единица. Припомнете, че котангенсът te е равен на отношението на косинуса te към синуса te, което означава, че квадратът на котангенса е отношението на квадрата на косинуса te и квадрата на синуса te.

След като отменим квадрата te по синус, получаваме разликата между единицата и косинуса на квадрата te, която е равна на синуса на квадрата te). Q.E.D.

ПРИМЕР 4 Намерете стойността на израза tg 2 t + ctg 2 t, ако tgt + ctgt = 6.

(сумата от квадратите на допирателната te и котангенсата te, ако сумата от допирателната и котангенсата е шест).

Решение. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Нека поставим на квадрат двете страни на първоначалното равенство:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (квадратът на сумата от допирателната te и котангенсната те е шест на квадрат). Припомнете си формулата за съкратено умножение: Квадратът на сумата от две величини е равен на квадрата на първото плюс два пъти произведението на първото на второто плюс квадрата на второто. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Получаваме tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t = 36 (допирателен квадрат te плюс двоен продукт на допирателната te и котангенс te плюс котангенс на квадрат te е равен на тридесет -шест) ...

Тъй като произведението на допирателната te и котангенсата te е равно на единица, тогава tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (сумата от квадратите на допирателната te и котангенсата te и две е тридесет и шест),