Тема на урока: „Взаимното разположение на две окръжности. Взаимно разположение на две окръжности върху равнина Взаимно разположение на две окръжности

Нека окръжностите са дадени от вектор от началото до центъра и радиуса на тази окръжност.

Да разгледаме окръжности A и B с радиуси Ra и Rb и радиус вектори (вектор към центъра) a и b. Освен това Оа и Об са техни центрове. Без загуба на общност ще приемем, че Ra > Rb.

Тогава са изпълнени следните условия:

Пресечни точки на две окръжности

Да предположим, че A и B се пресичат в две точки. Нека намерим тези пресечни точки.

За да направите това, векторът от a до точката P, който лежи на окръжността A и лежи на OaOb. За да направите това, трябва да вземете вектора b - a, който ще бъде векторът между двата центъра, да нормализирате (замените със съпосочен единичен вектор) и да умножите по Ra. Полученият вектор ще бъде означен като p. Можете да видите тази конфигурация на фиг. 6

Ориз. 6. Вектори a,b,p и къде живеят.

Означим i1 и i2 като вектори от a до пресечните точки I1 и I2 на две окръжности. Става очевидно, че i1 и i2 се получават чрез завъртане от p. защото знаем всички страни на триъгълниците OaI1Ob и OaI2Ob (Радиус и разстояние между центровете), можем да получим този ъгъл fi, завъртането на вектора p в една посока ще даде I1, а в другата I2.

Според закона за косинусите той е равен на:

Ако завъртите p с fi, тогава получавате i1 или i2, в зависимост от посоката на завъртане. След това векторът i1 или i2 трябва да се добави към a, за да се получи пресечната точка

Този метод ще работи дори ако центърът на единия кръг е вътре в другия. Но там точно векторът p ще трябва да бъде зададен в посока от a към b, което направихме. Ако изградите p въз основа на друг кръг, тогава нищо няма да излезе от това

Е, в заключение, един факт трябва да се спомене за всичко: ако кръговете се допират, тогава е лесно да се уверите, че P е точката на контакт (това важи както за вътрешното, така и за външното докосване).
Тук можете да видите визуализацията (щракнете, за да стартирате).

Този метод работи, но вместо ъгъла на завъртане можете да изчислите неговия косинус, а през него и синуса, и след това да ги използвате, когато въртите вектора. Това значително ще опрости изчисленията, спестявайки кода от тригонометрични функции.

Клас 7G, ​​Z

Тема на урока: "Относителното положение на две окръжности"
Цел: да познава възможните случаи на взаимно разположение на две окръжности; прилагайте знания за решаване на проблеми.

Цели: Образователни: за да помогнат на учениците да създадат и консолидират визуално представяне на възможните случаи на местоположението на два кръга, учениците ще могат да:

Установява връзка между взаимното разположение на окръжностите, техните радиуси и разстоянието между центровете им;

Анализирайте геометричния дизайн и мислено го модифицирайте,

Развийте планиметрично въображение.

Студентите ще могат да прилагат теоретичните знания за решаване на проблеми.

Вид на урока: урок за въвеждане и затвърждаване на нови знания за материала.

Оборудване: презентация към урока; пергел, линийка, молив и учебник за всеки ученик.

Урок: . "Геометрия 7 клас", Алмати "Атамура" 2012 г

По време на часовете.

Организиране на времето. Проверка на домашните.

3. Актуализиране на опорни знания.

Повторете определенията за окръжност, кръг, радиус, диаметър, хорда, разстояние от точка до права.

1) 1) Какви случаи на местоположението на права линия и окръжност знаете?

2) Коя права се нарича допирателна?

3) Коя права се нарича секанс?

4) Теоремата за диаметъра, перпендикулярен на хордата?

5) Как минава допирателната спрямо радиуса на окръжността?

6) Попълнете таблицата (на карти).

Учениците под ръководството на учител решават и анализират задачи.

1) Правата a е допирателна към окръжност с център O. На права a е дадена точка A. Ъгълът между допирателната и отсечката OA е 300. Намерете дължината на отсечката OA, ако радиусът е 2,5 m.

2) Определете относителната позиция на правата и окръжността, ако:

1. R=16cm, d=12cm 2. R=5cm, d=4.2cm 3. R=7.2cm, d=3.7cm 4. R=8cm, d=1.2cm 5. R=5 cm, d=50mm

а) права и окръжност нямат общи точки;

б) правата е допирателна към окръжността;

в) права пресича окръжност.

d е разстоянието от центъра на окръжността до правата линия, R е радиусът на окръжността.

3) Какво може да се каже за относителното положение на правата и окръжността, ако диаметърът на окръжността е 10,3 cm, а разстоянието от центъра на окръжността до правата е 4,15 cm; 2 dm; 103 mm; 5,15 см, 1 дм 3 см.

4) Дадена е окръжност с център O и точка A. Къде е точка A, ако радиусът на окръжността е 7 cm, а дължината на отсечката OA е: а) 4 cm; б) 10 cm; в) 70 мм.

4. Заедно с учениците разберете темата на урока, формулирайте целите на урока.

5. Въвеждане на нов материал.

Практическа работа в групи.

Изградете 3 кръга. За всяка окръжност изградете още една окръжност, така че 1) 2 окръжности да не се пресичат, 2) 2 окръжности да се докосват, 3) две окръжности да се пресичат. Намерете радиуса на всяка окръжност и разстоянието между центровете на окръжностите, сравнете резултатите. Какъв може да бъде изводът?
2) Обобщете и запишете в тетрадка случаи на взаимно подреждане на два кръга.

Взаимно разположение на две окръжности в равнина.

Окръжностите нямат общи точки (не се пресичат). (R1 и R2 са радиуси на окръжност)

Ако R1 + R2< d,

d - Разстоянието между центровете на окръжностите.

в) Окръжностите имат две общи точки. (пресичат се).

Ако R1 + R2 > d,

Въпрос. Могат ли две окръжности да имат три общи точки?

6. Затвърдяване на изучения материал.

Намерете грешка в данните или в твърдението и я коригирайте, като мотивирате мнението си:
а) Две окръжности се докосват. Техните радиуси са R = 8 cm и r = 2 cm, разстоянието между центровете е d = 6.
Б) Две окръжности имат поне две общи точки.
В) R = 4, r = 3, d = 5. Окръжностите нямат общи точки.
D) R \u003d 8, r \u003d 6, d \u003d 4. По-малкият кръг се намира в по-големия.
Д) Две окръжности не могат да бъдат разположени така, че едната да е вътре в другата.

7. Резултатите от урока. Какво научихте в урока? Какво правило е установено?

Как могат да бъдат разположени два кръга? Кога окръжностите имат една обща точка? Как се нарича общата точка на две окръжности? Какви щрихи познавате? Кога се пресичат кръговете? Какви окръжности се наричат ​​концентрични?

Тема на урока: " Взаимно разположение на две окръжности в равнина.

Цел :

образователен - усвояване на нови знания за взаимното разположение на две окръжности, подготовка за контролна работа

Образователни - развитие на изчислителни умения, развитие на логическо и структурно мислене; формиране на умения за намиране на рационални решения и постигане на крайни резултати; развитие на познавателната активност и творческото мислене.

Образователни – формиране на отговорност, последователност на учениците; развитие на познавателни и естетически качества; формиране на информационна култура на учениците.

Поправителен - развиват пространствено мислене, памет, двигателни умения на ръцете.

Тип урок:изучаване на нов учебен материал, консолидация.

Тип урок:смесен урок.

Метод на обучение:словесно, визуално, практично.

Форма на обучение:колективен.

Средства за обучение:дъска

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА:

1. Организационен етап

- поздравления;

- проверка на готовността за урока;

2. Актуализиране на основни знания.
Какви теми разгледахме в предишните уроци?

Общ изглед на уравнението на кръга?

Изпълнете устно:

Блиц анкета

3. Въвеждане на нов материал.

Какво мислите и каква цифра ще разгледаме днес .... Ами ако са две?

Как могат да бъдат локализирани???

Децата показват с ръце (съседи) как могат да бъдат разположени кръгове ( физическо възпитание)

Е, какво мислите, че трябва да разгледаме днес?? Днес трябва да разгледаме относителното положение на двете окръжности. И разберете какво е разстоянието между центровете в зависимост от местоположението.

Тема на урока:« Взаимно разположение на два кръга. Разрешаване на проблем.»

1. Концентрични кръгове

2. Непресичащи се окръжности

3.Външен допир

4. Пресичащи се окръжности

5. Вътрешен допир

И така, нека заключим

4. Формиране на умения и способности

Намерете грешка в данните или в твърдението и я коригирайте, като мотивирате мнението си:

а) Две окръжности се докосват. Техните радиуси са R = 8 cm и r = 2 cm, разстоянието между центровете е d = 6.
Б) Две окръжности имат поне две общи точки.

В) R = 4, r = 3, d = 5. Окръжностите нямат общи точки.

D) R \u003d 8, r \u003d 6, d \u003d 4. По-малкият кръг се намира в по-големия.

Д) Две окръжности не могат да бъдат разположени така, че едната да е вътре в другата.

5. Затвърдяване на умения и способности.

Кръговете се допират външно. Радиусът на по-малкия кръг е 3 см, радиусът на по-големия е 5 см. Какво е разстоянието между центровете?

Решение: 3+5=8(cm)

Кръговете се допират вътрешно. Радиусът на по-малката окръжност е 3 см. Радиусът на по-голямата окръжност е 5 см. Какво е разстоянието между центровете на окръжностите?

Решение: 5-3=2(cm)

Кръговете се допират вътрешно. Разстоянието между центровете на окръжностите е 2,5 см. Какви са радиусите на окръжностите?

отговор: (5,5 см и 3 см), (6,5 см и 4 см) и т.н.

ПРОВЕРКА НА РАЗБИРАНЕ

1) Как могат да бъдат разположени два кръга?

2) Кога окръжностите имат една обща точка?

3) Как се нарича общата точка на две окръжности?

4) Какви докосвания знаете?

5) Кога се пресичат кръговете?

6) Какви окръжности се наричат ​​концентрични?

Допълнителни задачи по темата: Вектори. Координатен метод'(ако има време)

1)E(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Намерете:

а) координати на векторите EF,GH

б) дължината на вектора FG

в) координати на точка O - средата на EF

координати на точка W - средна точка GH

г) уравнение на окръжност с диаметър FG

д) уравнение на правата FH

6. Домашна работа

& 96 #1000. Кои от тези уравнения са кръгови уравнения. Намерете център и радиус

7. Обобщаване на урока(3 мин.)

(дайте качествена оценка на работата на класа и отделните ученици).

8. Етап на размисъл(2 минути.)

(инициирайте размисъл на учениците върху тяхното емоционално състояние, техните дейности, взаимодействие с учителя и съучениците с помощта на рисунки)

Министерство на образованието и науката на Руската федерация

Общинско бюджетно учебно заведение

град Новосибирск "Гимназия № 4"

Секция: математика

ИЗСЛЕДОВАТЕЛСКА РАБОТА

по тази тема:

СВОЙСТВА НА ДВА ДОПИРАНИ ОКРУГА

Ученици от 10 клас:

Хазиахметов Радик Илдарович

Зубарев Евгений Владимирович

Ръководител:

Л.Л. Баринова

Учител по математика

Висша квалификационна категория

§ 1. Въведение………..………………………….……………………………………………………3

§ 1.1 Взаимно разположение на два кръга…………………………………………………3

§ 2 Свойства и техните доказателства………………………………………..…………….....….…4

§ 2.1 Свойство 1………………………………………………………..…………………...….…4

§ 2.2 Имот 2…………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………

§ 2.3 Свойство 3…………………………………………………………………………………………6

§ 2.4 Свойство 4……………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………….

§ 2.5 Свойство 5…………………………………..…………………………………………………8

§ 2.6 Свойство 6……………………………………………………………………………………………9

§ 3 Задачи……………………………………………………..……………………………………..…11

Препратки…………………………………………………………………….………….13

§ едно. Въведение

Много задачи, включващи две допирателни окръжности, могат да бъдат решени по-кратко и просто чрез познаване на някои от свойствата, които ще бъдат представени по-късно.

Взаимно разположение на два кръга

Като начало ще обсъдим възможното взаимно разположение на двата кръга. Може да има 4 различни случая.

1. Кръговете не трябва да се пресичат.

2. Кръст.

3. Докоснете в една точка отвън.

4. Докоснете в една точка вътре.

§ 2. Свойства и техните доказателства

Нека преминем директно към доказателството на свойствата.

§ 2.1 Свойство 1

Отсечките между пресечните точки на допирателните с окръжностите са равни една на друга и са равни на два средногеометрични радиуса на тези окръжности.

Доказателство 1. O 1 A 1 и O 2 V 1 - радиуси, изтеглени към точките на контакт.

2. O 1 A 1 ┴ A 1 V 1, O2V1 ┴ A 1 V 1 → O 1 A 1 ║ O 2 V 1. (съгласно параграф 1)

1. ▲O 1 O 2 D - правоъгълна, т.к O 2 D ┴ O 2 V 1
2. O 1 O 2 \u003d R + r, O 2 D \u003d R - r

1. По теоремата на Питагор А 1 В 1 = 2√Rr

(O 1 D 2 =(R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R 2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (доказано по подобен начин)

1) Начертайте радиусите до пресечните точки на допирателните с окръжностите.

2) Тези радиуси ще бъдат перпендикулярни на допирателните и успоредни един на друг.

3) Пуснете перпендикуляра от центъра на по-малкия кръг към радиуса на по-големия кръг.

4) Хипотенузата на получения правоъгълен триъгълник е равна на сбора от радиусите на окръжностите. Кракът е равен на тяхната разлика.

5) По теоремата на Питагор получаваме желаната връзка.

§ 2.2 Свойство 2

Пресечните точки на права, която пресича точката на допиране на окръжностите и не лежи в нито една от тях, с допирателни разполовяват сегментите на външните допирателни, ограничени от точките на допиране, на части, всяка от които е равна на средно геометрично на радиусите на тези окръжности.

Доказателство 1.ГОСПОЖИЦА= MA 1 (като сегменти от допирателни)

2.MS = MV 1 (като сегменти от допирателни)

3.A 1 M \u003d MV 1 \u003d √Rr, A 2 N = NB 2 \u003d √Rr (съгласно параграфи 1 и 2 )

Изявления, използвани в доказателството Отсечките на допирателните, прекарани от една точка към дадена окръжност, са равни. Използваме това свойство и за двете дадени окръжности.

§ 2.3 Свойство 3

Дължината на отсечката от вътрешната допирателна, затворена между външните допирателни, е равна на дължината на отсечката от външната допирателна между точките на контакт и е равна на два средногеометрични радиуса на тези окръжности.

Доказателство Това заключение следва от предишното свойство.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

§ 2.4 Свойство 4

Триъгълникът, образуван от центровете на допирателните окръжности и средата на допирателната отсечка между радиусите, начертани към точките на допиране, е правоъгълен. Съотношението на краката му е равно на частното от корените на радиусите на тези окръжности.

Доказателство 1.MO 1 е ъглополовяща на ъгъл A 1 MC, MO 2 е ъглополовяща на ъгъл B 1 MC, т.к. Центърът на окръжност, вписана в ъгъл, лежи върху ъглополовящата на този ъгъл.

2. Съгласно параграф 1 РО 1 МС + РСМО 2 = 0,5 (РА1МС + РСМВ 1) = 0,5p = p/2

3.РО 1 MO 2 - прав. MS - височината на триъгълника O 1 MO 2, т.к допирателната MN е перпендикулярна на радиусите, прекарани към точките на допир → триъгълниците О 1 МС и MO 2 С са подобни.

4.O 1 M / MO 2 \u003d O 1 C / MS \u003d r / √Rr \u003d √r / R (по сходство)

Изявления, използвани в доказателството 1) Центърът на окръжност, вписана в ъгъл, лежи върху ъглополовящата на този ъгъл. Краката на триъгълника са ъглополовящи на ъглите.

2) Използвайки факта, че така образуваните ъгли са равни, получаваме, че търсеният ъгъл е прав. Заключаваме, че този триъгълник наистина е правоъгълен триъгълник.

3) Доказваме сходството на триъгълниците, на които височината (тъй като допирателната е перпендикулярна на радиусите, начертани в точките на контакт) разделя правоъгълния триъгълник, и чрез сходство получаваме желаното съотношение.

§ 2.5 Свойство 5

Триъгълникът, образуван от точката на контакт на окръжностите една с друга и точките на пресичане на окръжностите с допирателната, е правоъгълен триъгълник. Съотношението на краката му е равно на частното от корените на радиусите на тези окръжности.

Доказателство

1. ▲А 1 МС и ▲СМВ 1 са равнобедрени → РМА 1 С = РМСА 1 = α, РМВ 1 С = РМСВ 1 = β.

1. 2α + 2β + РА 1 MS + РСМВ 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (РА 1 МС + РСМВ 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. Но RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 - директно → РВ 1 CO 2 = РSV 1 О 2 = p/2 - β = α

1. ▲A 1 MS и ▲CO 2 B 1 са подобни → A 1 C / SV 1 = MS / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

Изявления, използвани в доказателството 1) Рисуваме сумата от ъглите на триъгълниците, използвайки факта, че те са равнобедрени. Равнобедрените триъгълници се доказват с помощта на свойството за равенството на допирателните отсечки.

2) След като нарисуваме сумата от ъглите по този начин, получаваме, че в разглеждания триъгълник има прав ъгъл, следователно той е правоъгълен. Първата част от твърдението е доказана.

3) По подобието на триъгълниците (когато го обосноваваме, използваме знака за подобие на два ъгъла) намираме съотношението на катетите на правоъгълен триъгълник.

§ 2.6 Свойство 6

Четириъгълникът, образуван от пресечните точки на окръжностите с допирателната, е трапец, в който окръжността може да бъде вписана.

Доказателство 1.▲A 1 RA 2 и ▲B 1 RV 2 са равнобедрени, защото A 1 P \u003d RA 2 и B 1 P \u003d PB 2 като сегменти от допирателни → ▲A 1 RA 2 и ▲B 1 PB 2 са подобни.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, защото съответните ъгли, образувани при пресичането на секанса A 1 B 1, са равни.

1. MN - средна линия по свойство 2 → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

1. A 1 B 1 + A 2 B 2 \u003d 2 √ Rr + 2 √ Rr \u003d 4 √ Rr = A 1 A 2 + B 1 B 2 → в трапец A 2 A 1 B 1 B 2 сумата от основи е равен на сбора от страните, а това е необходимо и достатъчно условие за съществуването на вписана окръжност.

Изявления, използвани в доказателството 1) Нека отново използваме свойството на допирателните отсечки. С негова помощ ще докажем равнобедрените триъгълници, образувани от пресечната точка на допирателните и допирните точки.

2) От това следва сходството на тези триъгълници и успоредността на техните основи. На тази основа заключаваме, че този четириъгълник е трапец.

3) Съгласно свойството (2), което доказахме по-рано, намираме средната линия на трапеца. Равно е на два средни геометрични радиуса на окръжности. В получения трапец сборът от основите е равен на сбора от страните, а това е необходимо и достатъчно условие за съществуването на вписана окръжност.

§ 3. Задачи

Помислете, използвайки практически пример, как може да се опрости решението на проблема, като се използват горните свойства.

Задача 1

В триъгълник ABC страна AC = 15 см. В триъгълника е вписана окръжност. Втората окръжност се допира до първата и страните AB и BC. Точка F е избрана от страна AB, а точка M е избрана от страна BC, така че отсечката FM е обща допирателна към окръжностите. Намерете съотношението на повърхнините на триъгълника BFM и четириъгълника AFMC, ако FM е 4 cm, а точка M е два пъти по-далеч от центъра на една окръжност, отколкото е от центъра на другата.

дадени: FM обща допирателна AC=15cm FM=4cm O 2 M=2O 1 M

Намерете S BFM /S AFMC

Решение:

1)FM=2√Rr,O 1 M/O 2 M=√r/R

2)2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1,R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P и ▲BO 2 Q са подобни → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP = 4/3

4)FM+BP=16/3, S FBM=r*P FBM=1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5) S ABC = R * R ABC = 4 * (61/3) = 244/3 → S BFM / S AFMC = (16/3): (244/3) = 4/61

Задача 2

В равнобедрен триъгълник ABC са вписани две допирателни окръжности с обща точка D и обща допирателна FK, минаваща през тази точка. Намерете разстоянието между центровете на тези окръжности, ако основата на триъгълника AC = 9 cm, а отсечката от страничната страна на триъгълника, оградена между допирните точки на окръжностите, е 4 cm.

дадени: ABC е равнобедрен триъгълник; FK е общата допирателна на вписаните окръжности. AC = 9 cm; NE = 4 см

Решение:

Нека правите AB и CD се пресичат в точка O. Тогава OA = OD, OB = OC, така че CD = AB = 2√Rr

Точките O 1 и O 2 лежат на ъглополовящата на ъгъл AOD. Симетралата на равнобедрен триъгълник AOD е неговата височина, така че AD ┴ O 1 O 2 и BC ┴ O 1 O 2, така че

AD ║ BC и ABCD е равнобедрен трапец.

Отсечката MN е нейната средна линия, така че AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Следователно в този трапец може да се впише окръжност.

Нека AP е височината на трапеца, правоъгълните триъгълници АРВ и О 1 FO 2 са подобни, следователно АР/О 1 F = АВ/О 1 О 2 .

От тук намираме това

Библиография

• Приложение към вестник "Първи септември" "Математика" бр.43 2003 г.
• USE 2010. Математика. Задача C4. Гордин Р.К.