Презентация на тема "логаритмични уравнения". Презентация за урок по математика "решаване на логаритмични уравнения" корени на изходното уравнение

"Логаритмични уравнения."

Слайд 2

Защо са измислени логаритмите?За да се ускорят изчисленията.За да се опростят изчисленията.За решаване на астрономически задачи.

В съвременното училище основната форма на обучение по математика, основната връзка в интегрирането на различни организационни форми на обучение, все още е урокът. По време на учебния процес математическият материал се осъзнава и усвоява главно в процеса на решаване на задачи, следователно в часовете по математика теорията не се изучава изолирано от практиката. За да решавате успешно логаритмични уравнения, за които в учебната програма са отделени само 3 часа, трябва да имате уверени познания за формулите за логаритми и свойствата на логаритмичната функция. Темата „Логаритмични уравнения” в учебната програма следва логаритмичните функции и свойствата на логаритмите. Ситуацията е донякъде сложна в сравнение с експоненциалните уравнения поради наличието на ограничения върху областта на дефиниране на логаритмични функции. Използването на формули за логаритъм на произведение, частно и други без допълнителни резерви може да доведе както до придобиване на външни корени, така и до загуба на корени. Следователно е необходимо внимателно да се следи еквивалентността на извършваните трансформации.

Слайд 3

„Изобретяването на логаритмите, макар и да намалява работата на астронома, удължава живота му.“

Тема: “Логаритмични уравнения.” Цели: Образователни: 1. Да се ​​запознаят и затвърдят основните методи за решаване на логаритмични уравнения, за да се предотврати появата на типични грешки. 2. Осигурете на всеки учител възможност да провери знанията си и да повиши нивото си. 3. Активизирайте работата на класа чрез различни форми на работа. Развитие: 1. Развийте умения за самоконтрол. Възпитателни: 1. Възпитаване на отговорно отношение към работата. 2. Култивирайте воля и постоянство за постигане на крайни резултати.

Слайд 4

Урок № 1. Тема на урока: „Методи за решаване на логаритмични уравнения” Тип урок: Урок за въвеждане на нов материал Оборудване: Мултимедия.

По време на часовете. 1 Организационен момент: 2.Актуализиране на основни знания; Опростете:

Слайд 5

Определение: Уравнение, съдържащо променлива под логаритмичен знак, се нарича логаритмично. Най-простият пример за логаритмично уравнение е уравнението logax = b (a > 0, a≠ 1, b>0) Методи за решаване Решаване на уравнения въз основа на дефиницията на логаритъм, например уравнението logax = b (a > 0, a≠ 1, b>0) има решение x = ab. Метод на потенциране. Под потенциране разбираме прехода от равенство, съдържащо логаритми, към равенство, което не ги съдържа: ако logaf(x) = logag(x), тогава f(x) = g(x), f(x)>0, g (x )>0, a>0, a≠ 1. Метод за въвеждане на нова променлива. Метод за логаритмиране на двете страни на уравнение. Метод за редуциране на логаритми до една и съща основа. Функционално – графичен метод.

Слайд 6

1 метод:

Въз основа на дефиницията на логаритъма се решават уравнения, в които логаритъма се определя от дадените основи и число, числото се определя от даден логаритъм и основа, а основата се определя от дадено число и логаритъм. Log2 4√2= x, log3√3 x = - 2, logx 64= 3, 2x= 4√2, x =3√3 – 2, x3 =64, 2x = 25/2, x =3- 3, x3 = 43, x =5/2. х = 1/27. х =4.

Слайд 7

2 метод:

Решете уравненията: lg(x2-6x+9) - 2lg(x - 7) = log9. Условието за проверка винаги се прави с помощта на оригиналното уравнение. (x2-6x+9) >0, x≠ 3, X-7 >0; х >7; х >7. Първо, трябва да преобразувате уравнението във формата log ((x-3)/(x-7))2 = log9, като използвате логаритъма на частното формула. ((x-3)/(x-7))2 = 9, (x-3)/(x-7) = 3, (x-3)/(x-7)= - 3, x- 3 = 3x -21, x -3 = - 3x +21, x =9. х=6. външен корен. Проверката показва 9-ия корен на уравнението. Отговор: 9

Слайд 8

Метод 3:

Решете уравненията: log62 x + log6 x +14 = (√16 – x2)2 + x2, 16 – x2 ≥0 ; - 4≤ x ≤ 4; x >0, x >0, O.D.Z. [0,4). log62 x + log6 x +14 = 16 – x2 + x2, log62 x + log6 x -2 = 0 замени log6 x = t t 2 + t -2 =0 ; D = 9; t1 =1, t2 = -2. log6 x = 1, x = 6 външен корен. log6 x = -2, x = 1/36, проверката показва, че 1/36 е коренът. Отговор: 1/36.

Слайд 9

4 метод:

Решете уравнението = ZX, вземете логаритъм с основа 3 от двете страни на уравнението. Въпрос: 1. Това еквивалентна трансформация ли е? 2.Ако е така, защо? Получаваме log3=log3(3x) . Като вземем предвид теорема 3, получаваме: log3 x2 log3x = log3 3x, 2log3x log3x = log3 3+ log3x, 2 log32x = log3x +1, 2 log32x - log3x -1=0, заместваме log3x = t, x >0 2 t2 + t - 2 =0; D = 9; t1 =1, t2 = -1/2 log3х = 1, x=3, log3х = -1/2, x= 1/√3. Отговор: (3; 1/√3. ).

Слайд 10

Метод 5:

Решете уравненията: log9(37-12x) log7-2x 3 = 1, 37-12x >0, x0, x

Слайд 11

6 метод

Решете уравненията: log3 x = 12. Тъй като функцията y = log3 x нараства, а функцията y = 12 намалява върху (0; + ∞), то даденото уравнение на този интервал има един корен. Което лесно може да се намери. Когато x=10, даденото уравнение се превръща в правилно числово равенство 1=1. Отговорът е x=10.

Слайд 12

Обобщение на урока. Какви методи за решаване на логаритмични уравнения научихме в клас? Домашна работа: Определете метода на решение и решете № 1547 (а, б), № 1549 (а, б), № 1554 (а, б) Преработете целия теоретичен материал и анализирайте примери §52.

Слайд 13

Урок 2. Тема на урока: „Приложение на различни методи за решаване на логаритмични уравнения.“ Вид на урока: Урок за затвърдяване на наученото Ход на урока. 1. Организационен момент: 2. „Изпробвайте себе си“ 1)log-3 ((x-1)/5)=? 2) log5 (121 – x2), (121 – x2) ≥ 0, x

Слайд 14

3. Изпълнение на упражнения: № 1563 (b)

Как можете да решите това уравнение? (метод за въвеждане на нова променлива) log3 2x +3 log3x +9 = 37/ log3 (x/27); x>0 Нека означим log3x = t ; t 2 -3 t +9 =37/(t-3) ; t ≠ 3, (t-3) (t 2 -3 t +9) = 37, t3-27 = 37; t3= 64; t=4. log3x = 4; x = 81. Чрез проверка се убеждаваме, че x = 81 е коренът на уравнението.

Слайд 15

№ 1564 (a); (логаритмичен метод)

log3 x X = 81, вземете логаритъм при основа 3 от двете страни на уравнението; log3 x log3 X = log3 81; log3x log3x = log381; log3 2x =4; log3x =2, x=9; log3 x = -2, x = 1/9. Чрез проверка се убеждаваме, че x=9 и x=1/9 са корените на уравнението.

Слайд 16

4. Физкултурна минута (на чиновете, седнало).

1 Областта на дефиниране на логаритмичната функция y = log3 X е множеството от положителни числа. 2 Функцията y = log3 X нараства монотонно. 3. Диапазонът на стойностите на логаритмичната функция е от 0 до безкрайност. 4 logас/в = logа с - logа в. 5 Вярно е, че log8 8-3 =1.

Слайд 17

№ 1704.(a)

1-√x =In x Тъй като функцията y=In x нараства, а функцията y =1-√x намалява върху (0; + ∞), то даденото уравнение на този интервал има един корен. Което лесно може да се намери. Когато x=1, даденото уравнение се превръща в правилно числово равенство 1=1. Отговор: x=1.

Слайд 18

№ 1574(b)

log3 (x + 2y) -2log3 4 =1- log3 (x - 2y), log3 (x 2 - 4y 2) = log3 48, log1/4 (x -2y) = -1; log1/4 (x -2y) = -1; x 2 - 4y 2 – 48 =0, x =4 +2y, x =8, x -2y = 4; 16у = 32; y =2. Чрез проверка се уверяваме, че намерените стойности са решения на системата.

Слайд 19

5. Какво удоволствие Логаритмична „комедия 2 > 3“

1/4 > 1/8 несъмнено е правилно. (1/2)2 > (1/2)3, което също не буди съмнение. По-голямо число съответства на по-голям логаритъм, което означава log(1/2)2 > log(1/2)3; 2lg(1/2) > 3lg(1/2). След намаляване с lg(1/2) имаме 2 > 3. - Къде е грешката?

Слайд 20

6. Изпълнете теста:

1 Намерете домейна на дефиниция: y = log0,3 (6x –x2). 1(-∞ ;0) Ư(6 ; + ∞); 2. (-∞ ; -6) Ư(0 ; + ∞); 3.(-6; 0). 4. (0; 6). 2. Намерете диапазона от стойности: y = 2,5 + log1,7 x. 1(2,5 ; + ∞); 2. (-∞; 2,5); 3 (- ∞ ; + ∞); 4. (0 ; + ∞). 3. Сравнете: log0.5 7 и log0.5 5. 1.>. 2.<. :="" log5x="х" .="" log4="">

Слайд 21

Отговор: 4; 3;2;1;2.

Обобщение на урока: За да решавате добре логаритмични уравнения, трябва да подобрите уменията си за решаване на практически задачи, тъй като те са основното съдържание на изпита и живота. Домашна работа: № 1563 (а, б), № 1464 (б, в), № 1567 (б).

Слайд 22

Урок 3. Тема на урока: „Решаване на логаритмични уравнения" Тип урок: урок за обобщение, систематизиране на знания. Ход на урока. 1. Актуализиране на основните знания:

No1 Кои от числата са -1; 0; 1; 2; 4; 8 са корените на уравнението log2 x=x-2? No2 Решете уравненията: а) log16x= 2; в) log2 (2x-x2) -=0; г) log3 (x-1)=log3 (2x+1) No3 Решете неравенствата: а) log3x> log3 5; б) log0,4x0. № 4 Намерете областта на дефиниция на функцията: y = log2 (x + 4) № 5 Сравнете числата: log3 6/5 и log3 5/6; log0.2 5 и. Log0.2 17. № 6 Определете броя на корените на уравнението: log3 X= =-2x+4.

Преглед:

https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Логаритми Решаване на логаритмични уравнения и неравенства

Концепцията за логаритъм За всяка и степен с произволен реален показател е дефинирана и равна на някакво положително реално число: Показателят 𝑝 на степента се нарича логаритъм на тази степен с основата.

Логаритъмът на положително число към положителна и неравна основа: е показателят, до който се получава числото, когато се повдигне. или тогава

СВОЙСТВА НА ЛОГАРИТМИТЕ 1) Ако тогава. Ако тогава. 2) Ако тогава. Ако тогава.

Във всички равенства. 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; ;

10) , ; единадесет), ; 12) ако; 13), ако е четно число, ако е нечетно число.

Десетичен логаритъм и натурален логаритъм Десетичният логаритъм е логаритъм, ако основата му е 10. Десетичен логаритъм: . Логаритъмът се нарича натурален логаритъм, ако основата му е равна на число. Нотация за натурален логаритъм: .

Примери с логаритми Намерете значението на израза: No 1. ; № 2. ; № 3. ; № 4. ; № 5. ; № 6. ; № 7. ; № 8. ; № 9. ;

№ 10. ; № 11. ; № 12. ; № 13. ; № 14. ; № 15. ; № 16. ; № 17. ; № 18. ; № 19. ; № 20. ; № 21. ;

№ 22. ; № 23. ; № 24. ; № 25. ; № 26. Намерете стойността на израза if; № 27. Намерете стойността на израза if; № 28. Намерете стойността на израза if.

Решаване на примери с логаритми № 1. . Отговор. . № 2. . Отговор. . № 3. . Отговор. . № 4. . Отговор. . № 5. . Отговор. .

№ 6. . Отговор. . № 7. . Отговор. . № 8. . Отговор. . № 9. . Отговор. . № 10. . Отговор. .

No 11. Отговор. . № 12. . Отговор. . № 13. . Отговор. № 14. . Отговор. .

№ 15. . Отговор. № 16. . Отговор. № 17. . Отговор. . № 18. . Отговор. . номер 19. . Отговор. .

№ 20. . Отговор. . № 21. . Отговор. . № 22. . Отговор. . № 23. . № 24. . Отговор. . № 25. . Отговор. .

№ 26. . E ако, тогава. Отговор. . № 27. . E ако, тогава. Отговор. . № 28. . Ако. Отговор. .

Най-простите логаритмични уравнения Най-простото логаритмично уравнение е уравнение от вида: ; , където и са реални числа, са изрази, съдържащи.

Методи за решаване на най-простите логаритмични уравнения 1. По определение на логаритъма. A) Ако, тогава уравнението е еквивалентно на Eq. Б) Уравнението е еквивалентно на системата

2. Метод на потенциране. A) Ако това уравнение е еквивалентно на системата B) Уравнението е еквивалентно на системата

Решаване на най-простите логаритмични уравнения № 1. Решете уравнението. Решение. ; ; ; ; . Отговор. . #2: Решете уравнението. Решение. ; ; ; . Отговор. .

#3: Решете уравнението. Решение. . Отговор. .

#4: Решете уравнението. Решение. . Отговор. .

Методи за решаване на логаритмични уравнения 1. Метод на потенциране. 2. Функционално-графичен метод. 3. Метод на факторизиране. 4. Метод на променлива замяна. 5. Логаритмичен метод.

Характеристики на решаването на логаритмични уравнения Приложете най-простите свойства на логаритмите. Разпределете членове, съдържащи неизвестни, като използвате най-простите свойства на логаритмите, по такъв начин, че да не възникват логаритми от съотношения. Прилагане на вериги от логаритми: веригата се разширява въз основа на дефиницията на логаритъм. Прилагане на свойствата на логаритмичната функция.

номер 1. Решете уравнението. Решение. Нека преобразуваме това уравнение, използвайки свойствата на логаритъма. Това уравнение е еквивалентно на системата:

Нека решим първото уравнение на системата: . Имайки предвид това и получаваме. Отговор. .

#2: Решете уравнението. Решение. . Използвайки определението за логаритъм, получаваме: Нека проверим, като заместим намерените стойности на променливата в квадратния трином, получаваме, следователно, стойностите са корените на това уравнение. Отговор. .

#3: Решете уравнението. Решение. Намираме областта на дефиниция на уравнението: . Нека трансформираме това уравнение

Като вземем предвид областта на дефиниране на уравнението, получаваме. Отговор. .

#4: Решете уравнението. Решение. Област на уравнение: . Нека трансформираме това уравнение: . Решете с помощта на метода на заместване на променливи. Нека тогава уравнението приеме формата:

Имайки предвид това, получаваме уравнението Обратно заместване: Отговор.

#5: Решете уравнението. Решение. Можете да познаете корена на това уравнение: . Проверяваме: ; ; . Следователно истинското равенство е коренът на това уравнение. И сега: LOGARIFTH HARD! Нека вземем логаритъма на двете страни на уравнението към основата. Получаваме еквивалентно уравнение: .

Получихме квадратно уравнение, за което е известен един корен. Използвайки теоремата на Виета, намираме сумата от корените: , следователно намираме втория корен: . Отговор. .

Преглед:

За да използвате визуализации на презентации, създайте акаунт в Google и влезте в него: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Логаритмични неравенства Логаритмичните неравенства са неравенства от вида, където са изразите, съдържащи. Ако в неравенствата неизвестното е под знака на логаритъм, тогава неравенствата се класифицират като логаритмични неравенства.

Свойства на логаритмите, изразени с неравенства 1. Сравнение на логаритми: А) Ако, то; Б) Ако, тогава. 2. Сравнение на логаритъм с число: А) Ако, то; Б) Ако, тогава.

Свойства на монотонността на логаритмите 1) Ако, тогава и. 2) Ако, тогава и 3) Ако, тогава. 4) Ако, тогава 5) Ако, тогава и

6) Ако, тогава и 7) Ако основата на логаритъма е променлива, тогава

Методи за решаване на логаритмични неравенства 1. Метод на потенциране. 2. Приложение на най-простите свойства на логаритмите. 3. Метод на факторизиране. 4. Метод на променлива замяна. 5. Приложение на свойствата на логаритмичната функция.

Решаване на логаритмични неравенства #1: Решете неравенството. Решение. 1) Намерете областта на дефиниция на това неравенство. 2) Нека преобразуваме това неравенство, следователно, .

3) Имайки предвид това, получаваме. Отговор. . #2: Решете неравенството. Решение. 1) Намерете областта на дефиниция на това неравенство

От първите две неравенства: . Нека преценим. Нека разгледаме неравенството. Трябва да бъде изпълнено следното условие: . Ако, тогава, тогава.

2) Нека преобразуваме това неравенство, следователно Решете уравнението. Следователно сумата от коефициентите е един от корените. Разделяме четиричлена на бинома, получаваме.

Тогава, следователно, решавайки това неравенство по метода на интервалите, ние определяме. Имайки предвид това, намираме стойностите на неизвестното количество. Отговор. .

#3: Решете неравенството. Решение. 1) Да се ​​трансформираме. 2) Това неравенство има формата: и

Отговор. . номер 4. Решете неравенството. Решение. 1) Трансформирайте това уравнение. 2) Неравенството е еквивалентно на система от неравенства:

3) Решете неравенството. 4) Разгледайте системата и я решете. 5) Решаване на неравенство. а) Ако, тогава, следователно,

Решение на неравенство. б) Ако, тогава, следователно, . Като вземем предвид разгледаното, получаваме решение на неравенството. 6) Разбрахме. Отговор. .

номер 5. Решете неравенството. Решение. 1) Трансформирайте това неравенство 2) Неравенството е еквивалентно на система от неравенства:

Отговор. . номер 6. Решете неравенството. Решение. 1) Трансформирайте това неравенство. 2) Като се вземат предвид трансформациите на неравенството, това неравенство е еквивалентно на системата от неравенства:

номер 7. Решете неравенството. Решение. 1) Намерете областта на дефиниция на това неравенство: .

2) Трансформирайте това неравенство. 3) Използваме метода на заместване на променливи. Нека, тогава неравенството може да бъде представено като: . 4) Нека извършим обратната замяна:

5) Решаване на неравенство.

6) Решаване на неравенство

7) Получаваме система от неравенства. Отговор. .

Темата на моята методическа работа през учебната 2013–2014 г., а по-късно и през учебната 2015–2016 г. „Логаритми. Решаване на логаритмични уравнения и неравенства.” Тази работа е представена под формата на презентация за уроци.

ИЗПОЛЗВАНИ РЕСУРСИ И ЛИТЕРАТУРА 1. Алгебра и принципи на математическия анализ. 10 11 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции (основно ниво) / A.G. Мордкович. М.: Мнемозина, 2012. 2. Алгебра и началото на анализа. 10 11 клас. Модулен триактивен курс / A.R. Рязановски, S.A. Шестаков, И.В. Ященко. М.: Издателство „Народно образование“, 2014 г. 3. Единен държавен изпит. Математика: стандартни изпитни варианти: 36 варианта / изд. И. В. Ященко. М.: Издателство „Народно образование“, 2015 г.

4. Единен държавен изпит 2015 г. Математика. 30 варианта на стандартни тестови задачи и 800 задачи от част 2 / И.Р. Висоцки, П.И. Захаров, В.С. Панферов, С.Е. Позицелски, А.В. Семенов, М.А. Семьонова, И.Н. Сергеев, В.А. Смирнов, С.А. Шестаков, Д.Е. Шнол, И.В. Ященко; редактиран от И.В. Ященко. М.: Издателство „Изпит“, издателство МЦНМО, 2015. 5. Единен държавен изпит-2016: Математика: 30 варианта на изпитни работи за подготовка за единния държавен изпит: ниво на профил / изд. И.В. Ященко. М.: AST: Астрел, 2016. 6. mathege.ru. Отворена банка със задачи по математика.

Броенето и изчисленията са в основата на реда в главата

Йохан Хайнрих Песталоци

Открийте грешки:

• log 3 24 – log 3 8 = 16
• log 3 15 + log 3 3 = log 3 5
• log 5 5 3 = 2
• log 2 16 2 = 8
• 3log 2 4 = log 2 (4*3)
• 3log 2 3 = log 2 27
• log 3 27 = 4
• log 2 2 3 = 8

Изчисли:

• дневник 2 11 – дневник 2 44
• log 1/6 4 + log 1/6 9
• 2log 5 25 +3log 2 64

Намерете x:

• log 3 x = 4
• log 3 (7x-9) = log 3 x

Партньорска проверка

Истински равенства

Изчисли

-2

-2

22

Намерете x

Резултати от устната работа:

“5” - 12-13 верни отговора

“4” - 10-11 верни отговора

“3” - 8-9 верни отговора

“2” - 7 или по-малко

Намерете x:

• log 3 x = 4
• log 3 (7x-9) = log 3 x

Определение

• Уравнение, съдържащо променлива под знака на логаритъма или в основата на логаритъма, се нарича логаритмичен

Например, или

• Ако едно уравнение съдържа променлива, която не е под логаритмичния знак, тогава то няма да бъде логаритмично.

Например,

Не са логаритмични

Са логаритмични

1. По дефиниция на логаритъм

Решението на най-простото логаритмично уравнение се основава на прилагане на определението за логаритъм и решаване на еквивалентното уравнение

Пример 1

2. Потенциране

Под потенциране имаме предвид прехода от равенство, съдържащо логаритми, към равенство, което не ги съдържа:

След като решите полученото равенство, трябва да проверите корените,

тъй като се разширява използването на формули за потенциране

област на уравнение

Пример 2

Решете уравнението

Потенцирайки, получаваме:

Преглед:

Ако

Отговор

Пример 2

Решете уравнението

Потенцирайки, получаваме:

е коренът на първоначалното уравнение.

ПОМНЯ!

Логаритъм и ОДЗ

заедно

работят

навсякъде!

Сладка двойка!

Две еднакви!

ТОЙ

- ЛОГАРИТЪМ !

ТЯ

-

ODZ!

Две в едно!

Два бряга на една река!

Не можем да живеем

приятел без

приятел!

Близки и неразделни!

3. Приложение на свойствата на логаритмите

Пример 3

Решете уравнението

4. Въвеждане на нова променлива

Пример 4

Решете уравнението

Преминавайки към променливата x, получаваме:

; х = 4 отговарят на условието x 0 следователно

корени на първоначалното уравнение.

Определете метода за решаване на уравненията:

Прилагане

светая на логаритмите

А-приори

Въведение

нова променлива

Потенциране

Орехът на знанието е много твърд,

Но не смей да отстъпиш.

„Orbit“ ще ви помогне да го пробиете,

И издържайте изпита за знания.

№ 1 Намерете произведението на корените на уравнението

4) 1,21

3) 0 , 81

2) - 0,9

1) - 1,21

№ 2 Посочете интервала, до който корен на уравнението

1) (- ∞;-2]

3)

2) [ - 2;1]

4) }