Решаване на тригонометрични уравнения. Тригонометрични уравнения Решете тригонометричното уравнение sinx 1 2

Видеокурсът „Вземи А“ включва всички теми, необходими за успешно полагане на изпита по математика на 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профилния единен държавен изпит по математика. Подходящ и за полагане на Основен изпит по математика. Ако искате да положите изпита за 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за изпита за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от изпита по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). А това са повече от 70 точки на изпита и нито студент със сто точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

Цялата теория, от която се нуждаете. Бързи решения, капани и тайни на изпита. Разглобява всички съответни задачи на част 1 от Банката на задачите на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на изпита-2018.

Курсът съдържа 5 големи теми, по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, проста и ясна.

Стотици задачи на USE. Словни проблеми и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочен материал, анализ на всички видове задания за използване. Стереометрия. Хитри решения, полезни измамници, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата до проблем 13. Разбиране вместо натъпкване. Визуално обяснение на сложни понятия. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основата за решаване на сложни задачи от втората част на изпита.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Декларация за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или контакт с него.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По -долу са дадени някои примери за типовете лична информация, които можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато оставите заявка на сайта, ние можем да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и т.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да докладваме уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време можем да използваме вашата лична информация за изпращане на важни известия и съобщения.
• Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, състезание или подобно промоционално събитие, ние можем да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

Изключения:

• Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебно разпореждане, в съдебни производства и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Можем също така да разкрием информация за вас, ако установим, че такова разкриване е необходимо или подходящо от сигурност, правоприлагане или други социално важни причини.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на подходяща трета страна - правоприемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки - включително административни, технически и физически - за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Уважение към вашата поверителност на ниво компания

За да сме сигурни, че вашата лична информация е в безопасност, ние въвеждаме правилата за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно следим изпълнението на мерките за поверителност.

Веднъж станах свидетел на разговор между двама кандидати:

- Кога трябва да добавя 2πn и кога - πn? Просто не мога да си спомня!

- И аз имам същия проблем.

Затова исках да им кажа: "Не е нужно да запомняте, но разберете!"

Тази статия е адресирана предимно до ученици от гимназията и се надявам да им помогне с „разбиране“ за решаването на най -простите тригонометрични уравнения:

Номерен кръг

Наред с концепцията за числова линия, съществува и концепцията за числова окръжност. Както знаем, в правоъгълна координатна система кръг с център в точката (0; 0) и радиус 1 се нарича единична окръжност.Представете си числова права линия с тънка нишка и я навийте около тази окръжност: начало (точка 0), прикрепяме към "дясната" точка на единичната окръжност, навиваме положителната полуос обратно на часовниковата стрелка, а отрицателната - в посоката (Фиг. 1). Тази единична окръжност се нарича числова окръжност.

Свойства на числовия кръг

• Всяко реално число се намира в една точка от числовия кръг.
• Във всяка точка на числовия кръг има безкрайно много реални числа. Тъй като дължината на единичната окръжност е 2π, разликата между всякакви две числа в една точка на окръжността е равна на едно от числата ± 2π; ± 4π; ± 6π; ...

Нека заключим: познавайки един от номерата на точка А, можем да намерим всички числа на точка А.

Нека начертаем диаметъра на високоговорителя (фиг. 2). Тъй като x_0 е един от номерата на точка A, числата x_0 ± π; x_0 ± 3π; x_0 ± 5π; ... И само те ще бъдат номера на точка C. Нека да изберем едно от тези числа, да речем, x_0 + π, и да запишем с него всички числа на точка C: x_C = x_0 + π + 2πk, k∈Z. Обърнете внимание, че числата в точки A и C могат да бъдат комбинирани в една формула: x_ (A; C) = x_0 + πk, k∈Z (за k = 0; ± 2; ± 4; ... получаваме числата на точка А и за k = ± 1; ± 3; ± 5;… - номера на точка В).

Нека заключим: познавайки едно от числата в една от точките A или C на диаметъра на AC, можем да намерим всички числа в тези точки.

• Две противоположни числа са разположени в точки на окръжност, симетрична около оста на абсцисата.

Нека нарисуваме вертикална хорда AB (фиг. 2). Тъй като точки A и B са симетрични спрямо оста Ox, числото -x_0 се намира в точка B и следователно всички номера на точка B се дават по формулата: x_B = -x_0 + 2πk, k∈Z. Пишем числата в точките A и B, използвайки същата формула: x_ (A; B) = ± x_0 + 2πk, k∈Z. Нека заключим: познавайки едно от числата в една от точките A или B на вертикалната хорда AB, можем да намерим всички числа в тези точки. Помислете за хоризонталната хорда AD и намерете числата на точката D (фиг. 2). Тъй като BD е диаметърът и числото -x_0 принадлежи на точка B, тогава -x_0 + π е един от номерата на точка D и следователно всички числа на тази точка са дадени с формулата x_D = -x_0 + π + 2πk , k∈Z. Числата в точките A и D могат да бъдат записани по една формула: x_ (A; D) = (- 1) ^ k ∙ x_0 + πk, k∈Z. (за k = 0; ± 2; ± 4; ... получаваме числата на точката A, а за k = ± 1; ± 3; ± 5;… - номерата на точката D).

Нека заключим: познавайки едно от числата в една от точките A или D на хоризонталната хорда AD, можем да намерим всички числа в тези точки.

Шестнадесет основни точки от числовия кръг

На практика решението на повечето от най -простите тригонометрични уравнения е свързано с шестнадесет точки от окръжността (фиг. 3). Какви са тези точки? Червените, сините и зелените точки разделят кръга на 12 равни части. Тъй като дължината на полукръга е π, дължината на дъгата A1A2 е π / 2, дължината на дъгата A1B1 е π / 6, а дължината на дъгата A1C1 е π / 3.

Сега можем да посочим едно число в точките:

π / 3 на C1 и

Върховете на оранжевия квадрат са средните точки на дъгите на всяка четвърт, следователно дължината на дъгата A1D1 е равна на π / 4 и следователно π / 4 е едно от числата на точката D1. Използвайки свойствата на числовия кръг, можем да запишем всички числа във всички маркирани точки на нашия кръг, използвайки формули. Фигурата показва и координатите на тези точки (ще пропуснем описанието как са получени).

След като усвоихме горното, сега имаме достатъчна подготовка за решаване на специални случаи (за девет стойности на числото а)най -простите уравнения.

Решаване на уравнения

1)sinx = 1⁄2 (2).

- Какво се изисква от нас?

– Намерете всички числа x, чийто синус е 1/2.

Нека си припомним определението за синус: sinx - ординатата на точката от числовия кръг, на който се намира числото x... Имаме две точки на окръжността, чиято ордината е 1/2. Това са краищата на хоризонталната струна B1B2. Това означава, че изискването „да се реши уравнението sinx = 1⁄2“ е еквивалентно на изискването „да се намерят всички числа в точката B1 и всички числа в точката B2“.

2)sinx = -√3⁄2 .

Трябва да намерим всички числа в точки C4 и C3.

3) sinx = 1... На окръжността имаме само една точка с ордината 1 - точка A2 и следователно трябва да намерим само всички числа на тази точка.

Отговор: x = π / 2 + 2πk, k∈Z.

4)sinx = -1 .

Само точка А_4 има ордината -1. Всички числа на тази точка ще бъдат рицарите на уравнението.

Отговор: x = -π / 2 + 2πk, k∈Z.

5) sinx = 0 .

На окръжността имаме две точки с ордината 0 - точки A1 и A3. Можете да посочите числата във всяка от точките поотделно, но като се има предвид, че тези точки са диаметрално противоположни, по -добре е да ги комбинирате в една формула: x = πk, k∈Z.

Отговор: x = πk, k∈Z .

6)cosx = √2⁄2 .

Нека си припомним определението за косинус: cosx - абсциса на точката на числовия кръг, на който се намира числото x.На окръжността имаме две точки с абсциса √2⁄2 - краищата на хоризонталната хорда D1D4. Трябва да намерим всички числа в тези точки. Нека ги запишем, като ги комбинираме в една формула.

Отговор: x = ± π / 4 + 2πk, k∈Z.

7) cosx = -1⁄2 .

Необходимо е да намерите числата в точки C_2 и C_3.

Отговор: x = ± 2π / 3 + 2πk, k∈Z .

10) cosx = 0 .

Само точки A2 и A4 имат абсциса 0, което означава, че всички числа във всяка от тези точки ще бъдат решения на уравнението.
.

Решенията на уравнението на системата са числата в точките B_3 и B_4. Неравенство cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Отговор: x = -5π / 6 + 2πk, k∈Z.

Имайте предвид, че за всяка допустима стойност на x, вторият фактор е положителен и следователно уравнението е еквивалентно на системата

Решенията на уравнението на системата са броят на точките D_2 и D_3. Номерата на точката D_2 не отговарят на неравенството sinx≤0,5, а номерата на точката D_3 отговарят.

blog.сайт, с пълно или частично копиране на материала, е необходима връзка към източника.

Основните методи за решаване на тригонометрични уравнения са: редукция на уравнения до най -простите (с помощта на тригонометрични формули), въвеждане на нови променливи, факторизация. Нека разгледаме приложението им с примери. Обърнете внимание на дизайна на запис на решения на тригонометрични уравнения.

Предпоставка за успешното решаване на тригонометрични уравнения е познаването на тригонометрични формули (тема 13 от работа 6).

Примери.

1. Уравнения, които се свеждат до най -простите.

1) Решете уравнението

Решение:

Отговор:

2) Намерете корените на уравнението

(sinx + cosx) 2 = 1 - sinxcosx, принадлежащ към сегмента.

Решение:

Отговор:

2. Уравнения, които се свеждат до квадрат.

1) Решете уравнението 2 sin 2 x - cosx –1 = 0.

Решение:Използвайки формулата sin 2 x = 1 - cos 2 x, получаваме

Отговор:

2) Решете уравнението cos 2x = 1 + 4 cosx.

Решение:Използвайки формулата cos 2x = 2 cos 2 x - 1, получаваме

Отговор:

3) Решете уравнението tgx - 2ctgx + 1 = 0

Решение:

Отговор:

3. Хомогенни уравнения

1) Решете уравнението 2sinx - 3cosx = 0

Решение: Нека cosx = 0, след това 2sinx = 0 и sinx = 0 - противоречие с факта, че sin 2 x + cos 2 x = 1. Така че cosx ≠ 0 и можете да разделите уравнението на cosx. Получаваме

Отговор:

2) Решете уравнението 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Решение:

Използвайки формулите 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, получаваме

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x - 6sinxcosx + 8cos 2 x = 0

Нека cosx = 0, тогава sin 2 x = 0 и sinx = 0 - противоречие с факта, че sin 2 x + cos 2 x = 1.
Следователно cosx ≠ 0 и уравнението може да бъде разделено на cos 2 x . Получаваме

tg 2 x - 6 tgx + 8 = 0
Обозначаваме tgx = y
y 2 - 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y 2 = 2
а) tgx = 4, x = arctg4 + 2 к, к
б) tgx = 2, x = arctg2 + 2 к, к .

Отговор: arctg4 + 2 к, arctg2 + 2 к, к

4. Уравнения на формата а sinx + б cosx = s, s≠ 0.

1) Решете уравнението.

Решение:

Отговор:

5. Уравнения, решени чрез факторизация.

1) Решете уравнението sin2x - sinx = 0.

Коренът на уравнението е (NS) = φ ( NS), може да служи само числото 0. Нека проверим това:

cos 0 = 0 + 1 - равенството е вярно.

Числото 0 е единственият корен на това уравнение.

Отговор: 0.