Разстоянието от точка до права линия е кратко. Разстояние от точка до права линия в равнина и в пространството: определение и примери за намиране

В тази статия ще започнем обсъждане на една „магическа пръчка“, която ще ви позволи да намалите много геометрични проблеми до проста аритметика. Тази „пръчка“ може да направи живота ви много по -лесен, особено в случая, когато се чувствате несигурни при изграждането на пространствени фигури, разрези и пр. Всичко това изисква определено въображение и практически умения. Методът, който ще започнем да разглеждаме тук, ще ви позволи да се абстрахирате почти напълно от всякакви геометрични конструкции и разсъждения. Методът се нарича "Метод на координатите"... В тази статия ще разгледаме следните въпроси:

1. Координатна равнина
2. Точки и вектори в равнината
3. Конструиране на вектор от две точки
4. Дължина на вектора (разстояние между две точки)
5. Координати на средната точка
6. Точково произведение на вектори
7. Ъгъл между два вектора

Мисля, че вече се досещате защо методът на координатите се нарича така? Вярно е, че е получил такова име, тъй като работи не с геометрични обекти, а с техните числени характеристики (координати). А самата трансформация, която дава възможност да се премине от геометрия към алгебра, се състои във въвеждане на координатна система. Ако първоначалната фигура е плоска, координатите са двуизмерни, а ако фигурата е триизмерна, координатите са триизмерни. В тази статия ще разгледаме само двуизмерния случай. И основната цел на статията е да ви научи как да използвате някои основни техники на метода на координатите (те понякога се оказват полезни при решаването на задачи по планиметрията в част Б на изпита). Следващите два раздела по тази тема са посветени на обсъждането на методи за решаване на задачи С2 (проблемът със стереометрията).

Къде би било логично да започнем да обсъждаме метода на координатите? Вероятно от концепцията за координатна система. Спомнете си кога за първи път я срещнахте. Струва ми се, че в 7 клас, когато научихте за съществуването на линейна функция, например. Нека ви напомня, че сте го изградили точка по точка. Помниш ли? Избрахте произволно число, заместихте го във формулата и така изчислихте. Например, ако, тогава, ако, тогава и т.н. Какво получихте в крайна сметка? И получихте точки с координати: и. След това нарисувахте „кръст“ (координатна система), избрахте скала върху него (колко клетки ще имате като единичен сегмент) и маркирате върху него получените точки, които след това свържете с права линия, получената линия е графиката на функцията.

Тук има няколко точки, които трябва да ви бъдат обяснени малко по -подробно:

1. Избирате един сегмент от съображения за удобство, така че всичко да пасва добре и компактно на картината.

2. Предполага се, че оста върви отляво надясно, а оста върви отдолу нагоре.

3. Те се пресичат под прав ъгъл, а точката на тяхното пресичане се нарича начало. Той е обозначен с буква.

4. При писане на координатите на точка, например, вляво в скоби е координатата на точката по оста, а вдясно, по оста. По -специално, това просто означава, че в точката

5. За да зададете която и да е точка на координатната ос, трябва да посочите нейните координати (2 числа)

6. За всяка точка от оста,

7. За всяка точка от оста,

8. Оста се нарича ос на абсцисата.

9. Оста се нарича ос y.

Сега нека направим следващата стъпка с вас: отбележете две точки. Нека свържем тези две точки със сегмент. И ние ще поставим стрелката така, сякаш чертаем сегмент от точка до точка: тоест ще направим нашия сегмент насочен!

Не забравяйте, как още се нарича насочена линия? Точно така, нарича се вектор!

По този начин, ако свържем точка с точка, освен това началото ще бъде точка А, а краят ще бъде точка В,тогава получаваме вектор. Вие също направихте тази формация в 8 -ми клас, помните ли?

Оказва се, че векторите, както и точките, могат да бъдат обозначени с две числа: тези числа се наричат ​​координатите на вектора. Въпросът е: мислите ли, че е достатъчно да знаем координатите на началото и края на вектора, за да намерим неговите координати? Оказва се, че да! И това се прави много просто:

По този начин, тъй като точката във вектора е началото, а а е краят, векторът има следните координати:

Например, ако, тогава координатите на вектора

Сега нека направим обратното, да намерим координатите на вектора. Какво трябва да променим за това? Да, трябва да размените началото и края: сега началото на вектора ще бъде в точката, а краят ще бъде в точката. Тогава:

Погледнете внимателно, как са векторите и? Единствената им разлика са знаците в координатите. Те са противоположни. Обичайно е да се пише този факт така:

Понякога, ако не е посочено конкретно коя точка е началото на вектора и коя е краят, тогава векторите се означават не с две главни букви, а с една малка буква, например: и т.н.

Сега малко практикасебе си и намерете координатите на следните вектори:

Преглед:

Сега решете проблема малко по -трудно:

Вектор с na-cha-lom в точката има co-or-di-na-ty. Най-ди-тези точки абс-цис-су.

Все пак е доста прозаично: Нека бъдат координатите на точка. Тогава

Изградих системата по дефиниция за това какви са координатите на вектор. Тогава точката има координати. Интересуваме се от абсцисата. Тогава

Отговор:

Какво друго можете да направите с вектори? Да, почти всичко е същото като с обикновените числа (с изключение на това, че не можете да делите, но можете да умножите по два начина, единият от които ще обсъдим тук малко по -късно)

1. Векторите могат да се добавят един към друг
2. Векторите могат да се изваждат един от друг
3. Векторите могат да бъдат умножени (или разделени) с произволно ненулево число
4. Векторите могат да се умножават помежду си

Всички тези операции имат много ясно геометрично представяне. Например правилото за триъгълник (или паралелограм) за събиране и изваждане:

Векторът се разширява или свива или променя посоката, когато се умножи или раздели на число:

Тук обаче ще ни заинтересува въпросът какво се случва с координатите.

1. При добавяне (изваждане) на два вектора, ние добавяме (изваждаме) техните координати елемент по елемент. Това е:

2. При умножаване (разделяне) на вектор, всички негови координати се умножават (делят) на това число:

Например:

· Най-ди-те сума от ко-или-ди-нат век-то-ра.

Нека първо намерим координатите на всеки от векторите. И двамата имат един и същ произход - началната точка. Краищата им са различни. Тогава, . Сега нека изчислим координатите на вектора Тогава сумата от координатите на получения вектор е.

Отговор:

Сега решете следния проблем сами:

Намерете сумата от координатите на вектор

Проверяваме:

Нека сега разгледаме следния проблем: имаме две точки на координатната равнина. Как да намерите разстоянието между тях? Нека първата точка е, а втората. Нека обозначим разстоянието между тях. Нека направим следния чертеж за по -голяма яснота:

Какво направих? Първо свързах точките и също така от точката начертах линия, успоредна на оста, а от точката начертах линия, успоредна на оста. Дали са се пресичали в една точка, образувайки по този начин прекрасна фигура? За какво е забележително? Да, вие и аз знаем почти всичко за правоъгълен триъгълник. Е, питагорейската теорема - със сигурност. Търсеният сегмент е хипотенузата на този триъгълник, а сегментите са катетите. Какви са координатите на точка? Да, те са лесни за намиране от картината: Тъй като сегментите са успоредни на осите и съответно дължините им са лесни за намиране: ако обозначите дължините на сегментите съответно с, тогава

Сега нека използваме Питагоровата теорема. Знаем дължините на краката, ще намерим хипотенузата:

По този начин разстоянието между две точки е коренът от сумата от квадратите на разликите от координатите. Или - разстоянието между две точки е дължината на линията, която ги свързва. Лесно е да се види, че разстоянието между точките не зависи от посоката. Тогава:

Оттук правим три извода:

Нека направим малко практика да изчислим разстоянието между две точки:

Например, ако, тогава разстоянието между и е равно на

Или да отидем по друг начин: намерете координатите на вектора

И намерете дължината на вектора:

Както виждате, едно и също нещо!

Сега направете малко практика сами:

Задача: намерете разстоянието между посочените точки:

Проверяваме:

Ето още няколко проблема за същата формула, въпреки че звучат малко по -различно:

1. Най-ди-те квадрат с дължината на века-ра.

2. Най-ди-те квадратен плъх от дължината на века до ра

Мисля, че лесно се справихте с тях? Проверяваме:

1. И това е за внимание) Вече намерихме координатите на векторите и по -рано :. Тогава векторът има координати. Квадратът на дължината му ще бъде равен на:

2. Намерете координатите на вектора

Тогава квадратът на дължината му е

Нищо сложно, нали? Проста аритметика, нищо повече.

Следните задачи не могат да бъдат категоризирани недвусмислено, те са по -склонни към обща ерудиция и възможност за рисуване на прости картини.

1. Най-ди-те синус на ъгъл на изрязване, ко-уни-ня-ю-щ-та точка, с оста на абсцисата.

и

Какво ще правим тук? Трябва да намерите синуса на ъгъла между и оста. И откъде знаем как да търсим синус? Точно така, в правоъгълен триъгълник. И така, какво трябва да направим? Изградете този триъгълник!

Тъй като координатите на точката са и, сегментът е равен, а сегментът. Трябва да намерим синуса на ъгъла. Нека ви напомня, че тогава синусът е отношението на противоположния крак към хипотенузата

Какво ни остава да направим? Намерете хипотенузата. Можете да го направите по два начина: чрез питагорейската теорема (краката са известни!) Или чрез формулата за разстоянието между две точки (всъщност същото като първия начин!). Ще отида по втория път:

Отговор:

Следващата задача ще ви се стори още по -лесна. Тя - върху координатите на точката.

Цел 2. Per-pen-di-ku-lar се спуска от точката до оста abs-ciss. Nay-di-te abs-cis-su os-no-va-nia per-pen-di-ku-la-ra.

Нека направим чертеж:

Основата на перпендикуляра е точката, в която той пресича оста на абсцисата (оста), за мен това е точката. Фигурата показва, че има координати :. Интересуваме се от абсцисата - тоест компонента "x". Равен е.

Отговор: .

Цел 3.При условията на предишния проблем намерете сумата от разстоянията от точка до координатните оси.

Задачата като цяло е елементарна, ако знаете какво е разстоянието от точка до осите. Ти знаеш? Надявам се, но все пак ви напомням:

И така, на моята снимка, разположена малко по -високо, вече съм нарисувал един такъв перпендикуляр? За коя ос става въпрос? Към оста. И тогава каква е дължината му? Равен е. Сега нарисувайте перпендикуляра на оста сами и намерете дължината му. Ще бъде равно, нали? Тогава тяхната сума е равна.

Отговор: .

Задача 4.В условията на задача 2 намерете ординатата на точката, симетрична на точката спрямо оста на абсцисата.

Мисля, че интуитивно разбирате какво е симетрия? Много обекти го имат: много сгради, маси, самолети, много геометрични фигури: топка, цилиндър, квадрат, ромб и т. Н. Грубо казано, симетрията може да се разбира по следния начин: фигура се състои от две (или повече) еднакви половини. Тази симетрия се нарича аксиална. Какво тогава е ос? Това е точно линията, по която една фигура може, относително казано, да бъде „нарязана“ на еднакви половини (на тази картина оста на симетрия е права линия):

Сега да се върнем на нашия проблем. Знаем, че търсим точка, която е симетрична спрямо оста. Тогава тази ос е оста на симетрия. Това означава, че трябва да маркираме точка, така че оста да разреже сегмента на две равни части. Опитайте се сами да отбележите такава точка. Сега сравнете с моето решение:

Направихте ли същото? ДОБРЕ! В открития момент се интересуваме от ордината. Тя е равна

Отговор:

Кажете ми сега, след като помислим за секунди, каква ще бъде абсцисата на точка, симетрична на точка А по отношение на ординатата? Какъв е отговора ти? Правилен отговор:.

Като цяло правилото може да бъде написано така:

Точка, симетрична на точка спрямо оста на абсцисата, има координати:

Точка, симетрична на точка около оста на ординатите, има координати:

Е, сега е напълно страшно задача: намерете координатите на точката, симетрична на точката, спрямо началната точка. Първо мисли за себе си, а после погледни моята рисунка!

Отговор:

Сега проблем с паралелограма:

Задача 5: Точките са ver-shi-na-mi paral-le-lo-gram-ma. Най-ди-те или-ди-на-ту точки.

Можете да решите този проблем по два начина: логика и метод на координатите. Първо ще приложа метода на координатите, а след това ще ви кажа как можете да го разрешите по различен начин.

Съвсем ясно е, че абсцисата на точката е равна на. (той лежи върху перпендикуляра, изтеглен от точка към оста на абсцисата). Трябва да намерим ординатата. Нека се възползваме от факта, че нашата фигура е успоредник, което означава, че. Намерете дължината на сегмента, като използвате формулата за разстоянието между две точки:

Спускаме перпендикуляра, свързващ точката с оста. Точката на пресичане ще бъде маркирана с буква.

Дължината на сегмента е. (намерете самия проблем, където обсъждахме тази точка), след това намираме дължината на сегмента по Питагоровата теорема:

Дължината на линията е точно същата като нейната ордината.

Отговор: .

Друго решение (просто ще дам снимка, която го илюстрира)

Напредък на решението:

1. Поведение

2. Намерете координатите на точката и дължината

3. Докажете това.

Друг пъзел с дължина на сегмента:

Точките се появяват-ла-са-Ся вер-ши-на-ми тре-въглища-ни-ка. Най-ди-те е дължината на средната му линия, паралелно-ной.

Помните ли каква е средната линия на триъгълник? Тогава тази задача е елементарна за вас. Ако не си спомняте, тогава ще ви напомня: средната линия на триъгълник е линията, която свързва средните точки на противоположните страни. Той е успореден на основата и е равен на половината от нея.

Основата е сегмент на линия. Трябваше да потърсим дължината му по -рано, тя е равна. Тогава дължината на средната линия е наполовина и равна.

Отговор: .

Коментар: този проблем може да бъде решен по друг начин, към който ще се обърнем малко по -късно.

Междувременно - ето няколко задачи за вас, практикувайте ги, те са доста прости, но ви помагат да „хванете ръката си“ по метода на координатите!

1. Точките са вер-ши-на-ми тра-пеции. Най-ди-те е дължината на средната му линия.

2. Точки и are-la-are-Xia ver-shi-na-mi pa-ra-le-lo-gram-ma. Най-ди-те или-ди-на-ту точки.

3. Най-ди-те дължина от изрязана, съвместна-няя-ю-щ-го точка и

4. Област Най-ди-те на красивата фи-гу-ри в равнината ко-или-ди-нат-ной.

5. Кръгът с център при na-cha-le ko-or-di-nat преминава през точката. Най-ди-те й ра-ди-нас.

6. Nay-di-te ra-di-us на кръга, описано-san-noy близо до rect-въглен-ni-ka, върховете на ko-to-ro-go имат кооперация -di-na -съвместен ветеринар-но

Решения:

1. Известно е, че средната линия на трапец е равна на половината сума на неговите основи. Основата е равна и основата е. Тогава

Отговор:

2. Най -лесният начин за решаване на този проблем е да забележите това (правилото за паралелограма). Изчислете координатите на векторите и не е трудно :. Когато се добавят вектори, се добавят координатите. След това има координати. Точката също има същите координати, тъй като произходът на вектора е точката с координати. Интересуваме се от ордината. Равен е.

Отговор:

3. Действаме незабавно по формулата за разстоянието между две точки:

Отговор:

4. Погледнете картината и ми кажете, между кои две форми засенчената зона е „запечатана“? Той е притиснат между два квадрата. Тогава площта на необходимата фигура е равна на площта на големия квадрат минус площта на малкия. Страната на малкия квадрат е отсечка, свързваща точките и дължината му е

Тогава площта на малкия квадрат е

Правим същото с голям квадрат: неговата страна е сегмент, свързващ точките, а дължината му е

Тогава площта на големия квадрат е

Намираме площта на необходимата фигура по формулата:

Отговор:

5. Ако окръжността има началото на координатите като център и преминава през точка, тогава радиусът й ще бъде точно равен на дължината на сегмента (нарисувайте картина и ще разберете защо това е очевидно). Нека да намерим дължината на този сегмент:

Отговор:

6. Известно е, че радиусът на окръжност, описана около правоъгълник, е равен на половината от диагонала му. Нека да намерим дължината на всеки от двата диагонала (в края на краищата в правоъгълник те са равни!)

Отговор:

Е, справихте ли се с всичко? Не беше много трудно да го разбера, нали? Правилото тук е едно - да можете да направите визуална картина и просто да "прочетете" всички данни от нея.

Остана ни много малко. Има буквално още две точки, които бих искал да обсъдим.

Нека се опитаме да разрешим този прост проблем. Нека бъдат дадени две точки и. Намерете координатите на средната точка на сегмента. Решението на този проблем е следното: нека точката е желаната средна точка, тогава тя има координатите:

Това е: координати на средната точка = средна аритметична стойност на съответните координати на краищата на сегмента.

Това правило е много просто и обикновено не създава трудности на учениците. Нека да видим какви задачи и как се използва:

1. Nay-di-te или-di-na-tu-re-di-us от cut, co-uni-nya-yu-shch-go точка и

2. Точките са топ-ши-на-ми-ти-рех-въглища-но-ка. Най-ди-те или-ди-на-ту точки на пе-ре-се-ч-ния неговия диа-го-на-лей.

3. Най-ди-тези абс-цис-су център-тра на кръга, описан-сан-ной около въглищата-ник-ка, върховете на ко-то-ро-го имат кооператив na-you co-vet-but.

Решения:

1. Първият проблем е просто класически. Действаме незабавно, за да определим средата на сегмента. Има координати. Ордината е.

Отговор:

2. Лесно е да се види, че даденият четириъгълник е успоредник (дори ромб!). Вие сами можете да докажете това, като изчислите дължините на страните и ги сравните помежду си. Какво знам за паралелограма? Диагоналите му се намаляват наполовина от точката на пресичане! Аха! Какво е точката на пресичане на диагоналите? Това е средата на всеки от диагоналите! Ще избера по -специално диагонала. Тогава точката има координати Ордината на точката е равна на.

Отговор:

3. С какво е центърът на окръжността, описана около правоъгълника? Той съвпада с точката на пресичане на неговите диагонали. Какво знаете за диагоналите на правоъгълник? Те са равни и точката на пресичане е наполовина. Задачата беше сведена до предишната. Вземете например диагонала. Тогава ако е центърът на описаната окръжност, тогава е средата. Търся координати: Абсцисата е равна.

Отговор:

Сега попрактикувайте малко сами, аз просто ще дам отговорите на всеки проблем, за да можете да се тествате.

1. Най-ди-те ра-ди-нас на кръга, описано-сан-ной около триъгълника, върховете на ко-то-ро-го имат ко-или-ди -но господа

2. Най-ди-те или-ди-на-ту център-тра на кръга, опишете-сан-ной около триъгълника-ник, върховете на ко-то-ро-го имат координати

3. Как да-ра-ди-у-са трябва да има кръг с център в точката, така че да докосва оста на абс-циса?

4. Най-ди-те или-ди-на-ту точки на повторно засяване на оста и точка на изрязване, ко-уни-ня-ю-щ-го и

Отговори:

Успяхте ли? Наистина се надявам на това! Сега - последният тласък. Бъдете особено внимателни сега. Материалът, който сега ще обясня, е пряко свързан не само с прости задачи за метода на координатите от част В, но също така се среща навсякъде в проблема С2.

Кое от обещанията си още не съм изпълнил? Спомнете си какви операции над вектори обещах да въведа и какви в крайна сметка въведох? Сигурен ли съм, че не съм забравил нищо? Забравено! Забравих да обясня какво означава умножение на вектори.

Има два начина за умножаване на вектор по вектор. В зависимост от избрания метод ще получим обекти от различно естество:

Кръстосаният продукт е доста сложен. Как да го направите и за какво е, ще обсъдим с вас в следващата статия. И в този ще се съсредоточим върху точков продукт.

Има два начина, по които можем да го изчислим:

Както се досещате, резултатът трябва да е същият! Нека първо разгледаме първия начин:

Точкови продукт по отношение на координатите

Намерете: - обозначение на продукт с обща точка

Формулата за изчисление е следната:

Тоест, точковото произведение = сумата от произведенията на координатите на векторите!

Пример:

Най ди те

Решение:

Нека да намерим координатите на всеки от векторите:

Ние изчисляваме точков продукт по формулата:

Отговор:

Вижте, абсолютно нищо сложно!

Е, сега опитайте сами:

Nay-di-te scalar-noe pro-iz-ve-de-vek-to-row и

Успяхте ли? Може би сте забелязали малък улов? Да проверим:

Координатите на векторите са същите като в предишната задача! Отговор: .

В допълнение към координатата има и друг начин за изчисляване на точковото произведение, а именно чрез дължините на векторите и косинуса на ъгъла между тях:

Показва ъгъла между векторите и.

Тоест, точковото произведение е равно на произведението на дължините на векторите и косинуса на ъгъла между тях.

Защо имаме нужда от тази втора формула, ако имаме първата, която е много по -проста, поне в нея няма косинуси. И е необходимо, за да можем да изведем от първата и втората формули как да намерим ъгъла между векторите!

Нека Тогава запомнете формулата за дължината на вектора!

Тогава, ако заместя тези данни във формулата на точков продукт, получавам:

Но от другата страна:

И така, какво получихме ти и аз? Сега имаме формула за изчисляване на ъгъла между два вектора! Понякога за краткост се пише и така:

Тоест алгоритъмът за изчисляване на ъгъла между векторите е следният:

1. Изчислете точков продукт по отношение на координатите
2. Намерете дължините на векторите и ги умножете
3. Разделете резултата от точка 1 на резултата от точка 2

Нека практикуваме с примери:

1. Най-ди-те е ъгълът между века до ра-ми и. Дайте отговора на gra-du-sakh.

2. При условията на предишния проблем намерете косинуса между векторите

Нека направим това: ще ви помогна да разрешите първия проблем, а вторият ще се опитате да направите сами! Съгласен? Тогава нека започнем!

1. Тези вектори са наши стари познати. Вече сме преброили техния точков продукт и той беше равен. Техните координати са:,. След това откриваме дължините им:

Тогава търсим косинуса между векторите:

Какъв е косинусът на ъгъла? Това е ъгълът.

Отговор:

Сега решете втория проблем сами и тогава ще сравним! Ще ви дам само много кратко решение:

2. има координати, има координати.

Нека е ъгълът между векторите и, след това

Отговор:

Трябва да се отбележи, че проблемите директно върху векторите и метода на координатите в част Б от изпитната работа са доста редки. Въпреки това, по -голямата част от проблемите на C2 могат лесно да бъдат решени чрез въвеждане на координатна система. Така че можете да разглеждате тази статия като основа, въз основа на която ще направим доста хитри конструкции, които ще са ни необходими за решаване на сложни проблеми.

КООРДИНАТИ И ВЕКТОРИ. СРЕДНО РОВЕН

Ние с теб продължаваме да изучаваме метода на координатите. В последната част изведохме редица важни формули, които позволяват:

1. Намерете векторни координати
2. Намерете дължината на вектор (алтернативно: разстоянието между две точки)
3. Добавяне, изваждане на вектори. Умножете ги по реално число
4. Намерете средната точка на отсечката
5. Изчислете точково произведение на векторите
6. Намерете ъгъла между векторите

Разбира се, целият метод на координатите не се вписва в тези 6 точки. Той лежи в основата на такава наука като аналитичната геометрия, с която ще се запознаете в университета. Просто искам да изградя основа, която да ви позволи да решавате проблеми в едно състояние. изпит. Разбрахме задачите на част Б в Сега е време да преминем на качествено ново ниво! Тази статия ще бъде посветена на метода за решаване на тези задачи C2, при който би било разумно да се премине към метода на координатите. Тази рационалност се определя от това, което е необходимо да се намери в проблема, и каква цифра е дадена. Така че, бих използвал метода на координатите, ако въпросите са:

1. Намерете ъгъла между две равнини
2. Намерете ъгъла между права и равнина
3. Намерете ъгъла между две прави линии
4. Намерете разстоянието от точка до равнина
5. Намерете разстоянието от точка до права линия
6. Намерете разстоянието от права линия до равнина
7. Намерете разстоянието между две прави линии

Ако фигурата, дадена в постановката на задачата, е тяло на въртене (топка, цилиндър, конус ...)

Подходящи форми за метода на координатите са:

1. Правоъгълен паралелепипед
2. Пирамида (триъгълна, четириъгълна, шестоъгълна)

Също в моя опит не е подходящо да се използва методът на координатите за:

1. Намиране на областите на напречното сечение
2. Изчисляване на обема на телата

Трябва обаче веднага да се отбележи, че три ситуации, „неблагоприятни“ за метода на координатите, са доста редки на практика. В повечето задачи обаче той може да стане ваш спасител, особено ако не сте много силни в триизмерните конструкции (които понякога са доста сложни).

Какви са всички цифри, които изброих по -горе? Те вече не са плоски, като например квадрат, триъгълник, кръг, а триизмерни! Съответно трябва да разгледаме не двумерна, а триизмерна координатна система. Изгражда се доста лесно: само в допълнение към осите на абсцисата и ординатата, ще въведем още една ос, оста на кандидата. Фигурата схематично показва тяхното взаимно положение:

Всички те са взаимно перпендикулярни, пресичат се в една точка, която ще наречем начало. Оста на абсцисата, както и преди, ще бъде обозначена, оста на ординатите -и въведената ос на кандидата -.

Ако по -рано всяка точка на равнината се характеризираше с две числа - абсцисата и ордината, то всяка точка в пространството вече е описана с три числа - абсцисата, ордината, кандидатът. Например:

Съответно абсцисата на точката е равна, ординатата е и кандидатът е.

Понякога абсцисата на точка също се нарича проекция на точката върху оста на абсцисата, ординатата е проекцията на точката върху оста на ординатите, а кандидатът е проекцията на точката върху оста на кандидата. Съответно, ако е посочена точка, тогава точка с координати:

се нарича проекция на точка върху равнина

се нарича проекция на точка върху равнина

Възниква естествен въпрос: всички формули, получени за двуизмерния случай, са валидни в пространството? Отговорът е да, те са честни и изглеждат абсолютно еднакви. За малко подробности. Мисля, че вече се досещате за коя. Ще трябва да добавим още един термин към всички формули, който отговаря за оста на кандидата. А именно.

1. Ако са дадени две точки :, тогава:

• Векторни координати:
• Разстояние между две точки (или дължина на вектора)
• В средата на сегмента има координати

2. Ако са дадени два вектора: и, тогава:

• Техният точков продукт е:
• Косинусът на ъгъла между векторите е:

Космосът обаче не е толкова прост. Както можете да си представите, добавянето на още една координата въвежда значително разнообразие в спектъра на фигурите, „живеещи“ в това пространство. И за по -нататъшно разказване трябва да въведа някакво, грубо казано, „обобщение“ на правата линия. Това "обобщение" е равнината. Какво знаете за самолет? Опитайте се да отговорите на въпроса, какво е самолет? Много е трудно да се каже. Всички обаче имаме интуитивна представа как изглежда:

Грубо казано, това е един вид безкраен "лист", изтласкан в космоса. "Безкрайност" трябва да се разбира, че равнината се простира във всички посоки, тоест нейната площ е равна на безкрайността. Това обяснение "на пръсти" обаче не дава и най -малка представа за структурата на самолета. И ние ще се интересуваме от това.

Нека си припомним една от основните аксиоми на геометрията:

• права линия преминава през две различни точки на равнината, освен това само една:

Или неговият аналог в космоса:

Разбира се, помните как да извлечете уравнението на права линия от две дадени точки, това изобщо не е трудно: ако първата точка има координати: а втората, тогава уравнението на права линия ще бъде както следва:

Преминахте през това в 7 клас. В пространството уравнението на права линия изглежда така: нека имаме две точки с координати :, тогава уравнението на права линия, преминаваща през тях, има вида:

Например права линия преминава през точките:

Как трябва да се разбира това? Трябва да се разбира по следния начин: точка лежи на права линия, ако нейните координати отговарят на следната система:

Няма да се интересуваме много от уравнението на права линия, но трябва да обърнем внимание на много важна концепция за насочващия вектор на права линия. - всеки ненулев вектор, лежащ на дадената права или успореден на нея.

Например и двата вектора са посоки на права линия. Нека е точка, лежаща на права линия, и нейният вектор на посоката. Тогава уравнението на права линия може да бъде записано в следната форма:

За пореден път няма да се интересувам много от уравнението на права линия, но наистина имам нужда да запомните какво представлява векторът на посоката! Отново: това е ВСИЧКИ ненулев вектор, лежащ на права линия или успореден на нея.

Оттегляне уравнение на равнина в три дадени точкивече не е толкова тривиално и обикновено този въпрос не се разглежда в курс в гимназията. Но напразно! Тази техника е жизненоважна, когато използваме метода на координатите за решаване на сложни проблеми. Предполагам обаче, че сте нетърпеливи да научите нещо ново? Освен това ще можете да впечатлите своя преподавател в университета, когато се окаже, че вече знаете как с методологията, която обикновено се изучава в хода на аналитичната геометрия. Така че нека започнем.

Уравнението на равнина не е твърде различно от уравнението на права линия на равнина, а именно, има формата:

някои числа (не всички са равни на нула), но променливи, например: и т.н. Както можете да видите, уравнението на равнината не се различава много от уравнението на права линия (линейна функция). Помниш ли обаче какво казахме ти и аз? Казахме, че ако имаме три точки, които не лежат на една права линия, тогава уравнението на равнината се реконструира еднозначно от тях. Но как? Ще се опитам да ви обясня.

Тъй като уравнението на равнината има вида:

И точките принадлежат на тази равнина, тогава, когато заместваме координатите на всяка точка в уравнението на равнината, трябва да получим правилната идентичност:

По този начин става необходимо да се решат три уравнения дори с неизвестни! Дилема! Винаги обаче можете да приемете, че (за това трябва да разделите на). По този начин получаваме три уравнения с три неизвестни:

Ние обаче няма да разрешим такава система, а ще изпишем мистериозен израз, който следва от нея:

Уравнение на равнина, преминаваща през три дадени точки

\ [\ вляво | (\ begin (масив) (* (20) (c)) (x - (x_0)) & ((x_1) - (x_0)) & ((x_2) - (x_0)) \\ (y - (y_0) ) & ((y_1) - (y_0)) & ((y_2) - (y_0)) \\ (z - (z_0)) & ((z_1) - (z_0)) & ((z_2) - (z_0)) \ end (масив)) \ вдясно | = 0 \]

Спри се! Какво е това? Някакъв много необичаен модул! Обектът, който виждате пред себе си, обаче няма нищо общо с модула. Този обект се нарича детерминанта от трети ред. Отсега нататък, когато се занимавате с метода на координатите в равнина, много често ще попадате на същите тези детерминанти. Какво е детерминанта от трети ред? Колкото и да е странно, това е само число. Остава да разберем какво конкретно число ще сравним с детерминантата.

Нека първо запишем детерминанта от трети ред в по-общ вид:

Къде са някои числа. Освен това под първия индекс имаме предвид номера на реда, а под индекса - номера на колоната. Например, това означава, че даденото число е в пресечната точка на втория ред и третата колона. Нека поставим следния въпрос: как точно ще изчислим такава детерминанта? Тоест какво конкретно число ще съпоставим с него? За детерминанта от трети ред има евристично (визуално) правило на триъгълника, което изглежда по следния начин:

1. Продуктът на елементите на основния диагонал (от горния ляв ъгъл до долния десен ъгъл) продуктът на елементите, образуващи първия триъгълник „перпендикулярен“ на основния диагонален продукт на елементите, образуващи втория триъгълник „перпендикулярно“ на главния диагонал
2. Продуктът на елементите на страничния диагонал (от горния десен ъгъл до долния ляв ъгъл) продуктът на елементите, образуващи първия триъгълник „перпендикулярен“ на страничния диагонален продукт на елементите, образуващи втория триъгълник „перпендикулярно“ на страната диагонал
3. Тогава детерминантата е равна на разликата между стойностите, получени в стъпка и

Ако запишем всичко това в цифри, получаваме следния израз:

Независимо от това, не е нужно да запомняте метода на изчисление в тази форма, достатъчно е просто да запазите триъгълниците в главата си и самата идея какво добавя към какво и какво след това се изважда от какво).

Нека илюстрираме метода на триъгълника с пример:

1. Изчислете детерминантата:

Нека да разберем какво добавяме и какво изваждаме:

Условията, които идват с „плюс“:

Това е основният диагонал: продуктът на елементите е

Първият триъгълник, "перпендикулярен на основния диагонал: произведението на елементите е

Вторият триъгълник, "перпендикулярен на основния диагонал: произведението на елементите е

Добавете три числа:

Условия, които идват с „минус“

Това е страничен диагонал: продуктът на елементите е

Първият триъгълник, "перпендикулярен на страничния диагонал: произведението на елементите е

Втори триъгълник, "перпендикулярен на страничния диагонал: произведението на елементите е

Добавете три числа:

Остава само да се извади от сумата на плюс условията сумата на минус термините:

Поради това,

Както можете да видите, няма нищо сложно и свръхестествено в изчисляването на детерминанти от трети ред. Важно е само да запомните за триъгълниците и да не допускате аритметични грешки. Сега се опитайте да го изчислите сами:

Проверяваме:

1. Първият триъгълник, перпендикулярен на основния диагонал:
2. Втори триъгълник, перпендикулярен на основния диагонал:
3. Сума от термини с плюс:
4. Първият триъгълник, перпендикулярен на страничния диагонал:
5. Втори триъгълник, перпендикулярен на страничния диагонал:
6. Сума от термини с минус:
7. Сумата от членове с плюс минус сумата от термини с минус:

Ето още няколко детерминанти, изчислете сами стойностите им и ги сравнете с отговорите:

Отговори:

Е, съвпадна ли всичко? Чудесно, тогава можете да продължите! Ако има трудности, моят съвет е следният: в интернет има куп програми за изчисляване на детерминантата онлайн. Всичко, от което се нуждаете, е да измислите свой собствен детерминант, да го изчислите сами и след това да го сравните с това, което програмата ще изчисли. И така, докато резултатите не започнат да съвпадат. Сигурен съм, че този момент няма да закъснее!

Сега нека се върнем към детерминантата, която написах, когато говорих за уравнението на равнина, преминаваща през три дадени точки:

Всичко, от което се нуждаете, е да изчислите стойността му директно (използвайки метода на триъгълниците) и да зададете резултата на нула. Естествено, тъй като те са променливи, ще получите някакъв израз, който зависи от тях. Именно този израз ще бъде уравнението на равнината, преминаваща през три дадени точки, които не лежат на една права линия!

Нека илюстрираме това с прост пример:

1. Постройте уравнението на равнината, преминаваща през точките

Ние съставяме детерминантата за тези три точки:

Опростяване:

Сега го изчисляваме директно по правилото на триъгълниците:

\ [(\ left | (\ begin (array) (* (20) (c)) (x + 3) & 2 & 6 \\ (y - 2) & 0 & 1 \\ (z + 1) & 5 & 0 \ end (масив)) \ вдясно | = \ вляво ((x + 3) \ вдясно) \ cdot 0 \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 \ cdot \ вляво ((z + 1) \ вдясно) + \ вляво ((y - 2) \ вдясно) \ cdot 5 \ cdot 6 -) \]

По този начин уравнението на равнината, преминаваща през точките, има вида:

Сега се опитайте сами да разрешите един проблем и тогава ще го обсъдим:

2. Намерете уравнението на равнината, преминаваща през точките

Е, нека сега обсъдим решението:

Съставяме детерминантата:

И изчисляваме стойността му:

Тогава уравнението на равнината има вида:

Или, като намалим с, получаваме:

Сега две задачи за самоконтрол:

1. Постройте уравнението на равнина, преминаваща през три точки:

Отговори:

Дали всичко съвпадна? Отново, ако има определени трудности, тогава моят съвет е следният: вземате три точки от главата си (с голяма степен на вероятност те няма да лежат на една и съща права линия), изграждате равнина по тях. И тогава се проверявайте онлайн. Например на сайта:

С помощта на детерминанти обаче ще конструираме не само уравнението на равнината. Не забравяйте, казах ви, че не само точков продукт е дефиниран за вектори. Има и векторен продукт, както и смесен продукт. И ако точковото произведение на два вектора е число, тогава векторното произведение на два вектора ще бъде вектор и този вектор ще бъде перпендикулярен на дадените:

Освен това неговият модул ще бъде равен на площта на паралелограма, построен върху векторите и. Този вектор ще ни е необходим за изчисляване на разстоянието от точка до права линия. Как да изчислим кръстосаното произведение на вектори и ако са дадени техните координати? Определителят на третия ред отново ни идва на помощ. Въпреки това, преди да премина към алгоритъма за изчисляване на векторния продукт, трябва да направя малко лирично отклонение.

Това отклонение се отнася до базисни вектори.

Те са показани схематично на фигурата:

Защо според вас те се наричат ​​основни? Факт е, че:

Или на снимката:

Валидността на тази формула е очевидна, защото:

Вектор продукт

Сега мога да започна да представя кръстосания продукт:

Векторното произведение на два вектора е вектор, който се изчислява съгласно следното правило:

Сега нека да дадем няколко примера за изчисляване на кръстосан продукт:

Пример 1: Намерете кръстосаното произведение на вектори:

Решение: Съставям детерминанта:

И го изчислявам:

Сега, от писане по отношение на базисни вектори, ще се върна към обичайната нотация на вектор:

Поради това:

Сега опитайте.

Готов? Проверяваме:

И традиционно две задачи за контрол:

1. Намерете кръстосания продукт на следните вектори:
2. Намерете кръстосания продукт на следните вектори:

Отговори:

Смесен продукт от три вектора

Последната конструкция, от която се нуждая, е смесен продукт от три вектора. Той, подобно на скаларен, е число. Има два начина да го изчислите. - чрез детерминанта, - чрез смесен продукт.

А именно, нека имаме три вектора:

Тогава смесеният продукт от три вектора, означен с, може да се изчисли като:

1. - тоест смесеният продукт е точков продукт на вектор от кръстосаното произведение на два други вектора

Например, смесеният продукт от три вектора е:

Опитайте се сами да го изчислите чрез кръстосания продукт и се уверете, че резултатите съвпадат!

И отново - два примера за независимо решение:

Отговори:

Избор на координатна система

Е, сега имаме всички необходими основи на знания за решаване на сложни стереометрични задачи в геометрията. Въпреки това, преди да преминем директно към примерите и алгоритмите за тяхното решение, мисля, че ще бъде полезно да се спра на друг въпрос: как точно изберете координатна система за определена фигура.В крайна сметка изборът на относителното положение на координатната система и фигурата в пространството в крайна сметка ще определи колко тромави ще бъдат изчисленията.

Нека ви напомня, че в този раздел разглеждаме следните форми:

1. Правоъгълен паралелепипед
2. Права призма (триъгълна, шестоъгълна ...)
3. Пирамида (триъгълна, четириъгълна)
4. Тетраедър (същото като триъгълна пирамида)

За правоъгълна кутия или куб ви препоръчвам следната конструкция:

Тоест ще поставя фигурата „в ъгъла“. Кубът и паралелепипедът са с много хубави форми. За тях винаги можете лесно да намерите координатите на върховете му. Например, ако (както е показано на снимката)

тогава координатите на върховете са следните:

Разбира се, не е нужно да помните това, но е желателно да запомните как най -добре да поставите куб или правоъгълен паралелепипед.

Права призма

Призмата е по -вредна фигура. Тя може да бъде позиционирана в пространството по различни начини. Следният вариант обаче ми се струва най -приемлив:

Триъгълна призма:

Тоест, поставяме една от страните на триъгълника изцяло върху оста, а един от върховете съвпада с началото.

Шестоъгълна призма:

Тоест, един от върховете съвпада с началото, а една от страните лежи по оста.

Четириъгълна и шестоъгълна пирамида:

Ситуация, подобна на куб: подравнете двете страни на основата с координатните оси, подравнете един от върховете с началото. Единствената малка трудност ще бъде изчисляването на координатите на точката.

За шестоъгълна пирамида - същото като за шестоъгълна призма. Основната задача отново ще бъде намирането на координатите на върха.

Тетраедър (триъгълна пирамида)

Ситуацията е много подобна на тази, която дадох за триъгълна призма: един връх съвпада с началото, едната страна лежи върху координатната ос.

Е, сега вие и аз най -накрая сме близо до решаването на проблеми. От това, което казах в самото начало на статията, бихте могли да направите следното заключение: повечето задачи на C2 са разделени на 2 категории: проблеми с ъглите и проблеми с разстоянието. Първо ще разгледаме проблема с намирането на ъгъл. Те от своя страна са разделени на следните категории (с увеличаване на трудността):

Намиране на ъгли

1. Намиране на ъгъла между две прави линии
2. Намиране на ъгъла между две равнини

Нека разгледаме тези задачи последователно: започнете с намиране на ъгъла между две прави линии. Е, помнете, не сте ли решавали аз и вие подобни примери преди? Не забравяйте, че вече имахме нещо подобно ... Търсихме ъгъл между два вектора. Ще ви напомня, ако са дадени два вектора: и тогава ъгълът между тях се намира от съотношението:

Сега имаме цел - да намерим ъгъла между две прави линии. Нека се обърнем към „плоската картина“:

Колко ъгъла получихме, когато се пресичат две прави линии? Толкова много неща. Вярно е, че само две от тях не са равни, докато други са вертикални спрямо тях (и следователно съвпадат с тях). И така, какъв ъгъл трябва да считаме за ъгъла между две прави линии: или? Тук правилото е: ъгълът между две прави линии винаги е не повече от градуси... Тоест от два ъгъла винаги ще избираме ъгъла с най -малката степенна степен. Тоест, на тази снимка ъгълът между двете прави линии е равен. За да не се притеснявате всеки път да намирате най -малкия от два ъгъла, хитри математици предложиха да използвате модула. По този начин ъгълът между две прави линии се определя по формулата:

Като внимателен читател трябваше да имате въпрос: откъде всъщност получаваме точно тези числа, от които се нуждаем, за да изчислим косинуса на ъгъл? Отговор: ще ги вземем от векторите на посоките на правите линии! По този начин алгоритъмът за намиране на ъгъла между две прави линии е следният:

1. Прилагаме формула 1.

Или по -подробно:

1. Търсим координатите на вектора на посоката на първата права линия
2. Търсим координатите на вектора на посоката на втората права линия
3. Изчислете модула на техния точков продукт
4. Търсим дължината на първия вектор
5. Търсим дължината на втория вектор
6. Умножаване на резултатите от точка 4 с резултатите от точка 5
7. Разделете резултата от точка 3 на резултата от точка 6. Получаваме косинуса на ъгъла между линиите
8. Ако този резултат ви позволява да изчислите точно ъгъла, потърсете го
9. В противен случай пишем чрез обратния косинус

Е, сега е моментът да преминем към проблемите: ще демонстрирам подробно решението на първите два, ще представя решението на друго в кратка форма, а за последните два проблема ще дам само отговори, трябва да извършите всички изчисления за тях сами.

Задачи:

1. В правилния tet-ra-ed-re, naj-di-те са ъгълът между you-so-that tet-ra-ed-ra и med-di-a-noy на лицето bo-kov.

2. В дясната шест-въглища-no-pi-ra-mi-de, страните на os-no-va-nia са равни, а ребрата са равни, намерете ъгъла между правите линии и.

3. Дължините на всички ребра на правилните четири-you-rekh-въглища pi-ra-mi-dy са равни помежду си. Най-ди-тези ъгъл между правите линии и ако изрезката е вие-съ-тази на дадената пи-ра-ми-ди, точката е се-ре-ди-на нейното бо-ко-второ ребро

4. На ръба на куба от точка-me-che-na, така че Nay-di-te е ъгълът между правите линии и

5. Точка-се-ре-ди-по ръбовете на куба Най-ди-те ъгъл между прави линии и.

Неслучайно съм подредил задачите в този ред. Докато все още нямате време да започнете да навигирате по метода на координатите, аз самият ще анализирам най -„проблемните“ фигури и ще ви оставя да се справите с най -простия куб! Постепенно ще трябва да се научите как да работите с всички фигури; аз ще увеличавам сложността на задачите от тема на тема.

Нека започнем да решаваме проблеми:

1. Начертайте тетраедър, поставете го в координатната система, както предложих по -рано. Тъй като тетраедърът е правилен, всичките му страни (включително основата) са правилни триъгълници. Тъй като не ни е дадена дължината на страната, мога да я приема като равна. Мисля, че разбирате, че ъгълът всъщност няма да зависи от това колко ще бъде "разтегнат" нашият тетраедър?. Ще нарисувам и височината и медианата в тетраедра. По пътя ще нарисувам неговата основа (тя също ще ни бъде полезна).

Трябва да намеря ъгъла между и. Какво знаем? Ние знаем само координатите на точката. Това означава, че все още трябва да намерим координатите на точките. Сега мислим: точка е точката на пресичане на височините (или бисектриси или медиани) на триъгълника. Точката е повдигната точка. Точката е средата на сегмента. След това най -накрая трябва да намерим: координати на точки :.

Нека започнем с най -простото: координати на точки. Погледнете картината: Ясно е, че кандидатът на точката е нула (точката лежи на равнината). Неговата ордината е (тъй като - медиана). По -трудно е да се намери неговата абсциса. Това обаче лесно се прави въз основа на питагорейската теорема: Помислете за триъгълник. Неговата хипотенуза е равна, а един от краката е равен Тогава:

И накрая, имаме :.

Сега нека намерим координатите на точката. Ясно е, че неговият кандидат отново е равен на нула, а неговата ордината е същата като тази на точка, т.е. Нека намерим неговата абсциса. Това се прави доста тривиално, ако си спомните това височините на равностранен триъгълник се делят на точката на пресичане пропорционалноброене отгоре. Тъй като :, тогава необходимата абсциса на точката, равна на дължината на сегмента, е равна на :. По този начин координатите на точката са равни:

Нека намерим координатите на точката. Ясно е, че нейната абсциса и ордината съвпадат с абсцисата и ординатата на точката. И кандидатът е равен на дължината на сегмента. - това е един от краката на триъгълника. Хипотенузата на триъгълник е сегмент - крак. Търси се от съображенията, които съм подчертал с удебелен шрифт:

Точката е средната точка на отсечката. След това трябва да запомним формулата за координатите на средната точка на сегмента:

Добре, сега можем да търсим координатите на векторите на посоката:

Е, всичко е готово: заместваме всички данни във формулата:

Поради това,

Отговор:

Не бива да се плашите от такива „страшни“ отговори: за проблемите на С2 това е обичайна практика. По -скоро бих се изненадал от „хубавия“ отговор в тази част. Също така, както забелязахте, на практика не прибягвах до нищо друго освен Питагоровата теорема и свойството на височините на равностранен триъгълник. Тоест, за да реша стереометричния проблем, използвах самия минимум стереометрия. Печалбата от това е частично "погасена" чрез доста тромави изчисления. Но те са доста алгоритмични!

2. Нека нарисуваме правилна шестоъгълна пирамида заедно с координатна система, както и нейната основа:

Трябва да намерим ъгъла между линиите и. По този начин нашата задача се свежда до намиране на координатите на точки :. От малката картинка ще намерим координатите на последните три и ще намерим координатата на върха през координатата на точката. Работете масово, но трябва да започнете!

а) Координат: ясно е, че неговият кандидат и ордината са равни на нула. Нека намерим абсцисата. За да направите това, помислете за правоъгълен триъгълник. Уви, в него познаваме само хипотенузата, която е равна на. Ще се опитаме да намерим крака (защото е ясно, че удвоената дължина на крака ще ни даде абсцисата на точката). Как да я намерим? Нека си припомним каква фигура имаме в основата на пирамидата? Това е правилен шестоъгълник. Какво означава? Това означава, че той има всички страни и всички ъгли. Трябва да намеря едно такова кътче. Някакви идеи? Има много идеи, но има формула:

Сумата от ъглите на правилен n -ъгълник е .

По този начин сумата от ъглите на правилен шестоъгълник е равна на градуси. Тогава всеки от ъглите е равен на:

Отново разглеждаме снимката. Ясно е, че сегментът е бисектрисата на ъгъла. Тогава ъгълът е равен на градуси. Тогава:

Тогава къде.

По този начин тя има координати

б) Сега лесно можем да намерим координатата на точката :.

в) Намерете координатите на точката. Тъй като неговата абсциса съвпада с дължината на сегмента, тя е равна на. Намирането на ордината също не е много трудно: ако свържем точките и обозначим точката на пресичане на правата линия, да речем, с. (Направи си сам конструкция). Тогава Така ординатата на точка В е равна на сумата от дължините на отсечките. Нека отново погледнем триъгълника. Тогава

Тогава от тогава Точката има координати

г) Сега намираме координатите на точката. Помислете за правоъгълник и докажете, че по този начин координатите на точката са:

д) Остава да намерим координатите на върха. Ясно е, че нейната абсциса и ордината съвпадат с абсцисата и ординатата на точката. Нека намерим апликатора. От тогава. Помислете за правоъгълен триъгълник. Съгласно условието на проблема, страничният ръб. Това е хипотенузата на моя триъгълник. Тогава височината на пирамидата е кракът.

Тогава точката има координати:

Добре, имам координатите на всички интересни за мен точки. Търсите координатите на векторите на посоките на прави линии:

Търсим ъгъла между тези вектори:

Отговор:

Отново, когато решавах този проблем, не използвах никакви сложни трикове, с изключение на формулата за сумата от ъглите на правилен n -ъгълник, както и за определяне на косинуса и синуса на правоъгълен триъгълник.

3. Тъй като отново не са ни дадени дължините на ребрата в пирамидата, ще ги считам равни на единица. По този начин, тъй като ВСИЧКИ ръбове, а не само страничните, са равни помежду си, то в основата на пирамидата и мен лежи квадрат, а страничните страни са правилни триъгълници. Нека нарисуваме такава пирамида, както и нейната основа на равнина, маркирайки всички данни, дадени в текста на задачата:

Търсим ъгъла между и. Ще правя много кратки изчисления, когато търся координатите на точките. Ще трябва да ги "дешифрирате":

б) - средата на сегмента. Неговите координати:

в) Ще намеря дължината на сегмента според Питагоровата теорема в триъгълник. Ще го намеря в триъгълник според питагорейската теорема.

Координати:

г) - средата на сегмента. Координатите му са равни

д) Векторни координати

е) Векторни координати

ж) Търсите ъгъл:

Кубът е най -простата фигура. Сигурен съм, че можеш сам да се справиш с нея. Отговорите на задачи 4 и 5 са ​​следните:

Намиране на ъгъла между права линия и равнина

Е, времето за прости задачи свърши! Сега примерите ще бъдат още по -сложни. За да намерим ъгъла между права линия и равнина, ще продължим по следния начин:

1. От три точки изграждаме уравнението на равнината
   ,
   използвайки детерминанта от трети ред.
2. Търсим координатите на насочващия вектор на правата линия от две точки:
3. Прилагаме формулата за изчисляване на ъгъла между права линия и равнина:

Както можете да видите, тази формула е много подобна на тази, която използвахме за намиране на ъглите между две прави линии. Структурата на дясната страна е точно същата, а вляво сега търсим синуса, а не косинуса, както преди. Е, беше добавено едно гадно действие - търсенето на уравнението на равнината.

Нека не отлагаме решение на примери:

1. Os-no-va-no-em директна награда-ние сме-la-et-sy равни-бедни-wen-ny триъгълен-прякор You-co-че награди-ние сме равни. Най ъгъл между прави и плоски

2. В правоъгълен pa-ra-le-le-pi-pe-de от ъгъла West Nay-di-te между права линия и равнина

3. В правилната призма с шест въглища всички ръбове са равни. Най-ди-тези ъгъл между права линия и равнина.

4. В дясната триъгълна pi-ra-mi-de с os-no-va-ni-тя е известна от ребрата Nay-di-te ъгъл, ob-ra-zo-van-тази плоскост на os- но-ва-ния и прав, про-хо-дя-ши през се-ре-ди-нас на ребрата и

5. Дължините на всички ребра на правилната четириъгълна пирамида с връх са равни една на друга. Най-ди-те е ъгълът между права линия и равнина, ако точката е се-ре-ди-на бо-ко-ти ребра пи-ра-ми-ди.

Отново ще реша подробно първите два проблема, третият - накратко, а последните два оставям на вас да решите сами. Освен това вече сте се занимавали с триъгълни и четириъгълни пирамиди, но все още не с призми.

Решения:

1. Нека изобразим призмата, както и нейната основа. Нека го комбинираме с координатната система и маркираме всички данни, дадени в постановката на проблема:

Извинявам се за известно неспазване на пропорциите, но за решаването на проблема това всъщност не е толкова важно. Самолетът е просто "задната стена" на моята призма. Достатъчно лесно е да се досетите, че уравнението на такава равнина има вида:

Това обаче може да се покаже директно:

Нека изберем произволни три точки на тази равнина: например ,.

Нека съставим уравнението на равнината:

Упражнение за вас: изчислете сами този детерминант. Направи ли го? Тогава уравнението на равнината има вида:

Или просто

Поради това,

За да реша примера, трябва да намеря координатите на вектора на посоката на права линия. Тъй като точката е съвпаднала с началото, координатите на вектора просто ще съвпадат с координатите на точката.За да направите това, първо намираме координатите на точката.

За да направите това, помислете за триъгълник. Нека начертаем височината (тя е медианата и бисектрисата) от върха. Тъй като тогава ординатата на точката е равна на. За да намерим абсцисата на тази точка, трябва да изчислим дължината на сегмента. Според Питагоровата теорема имаме:

Тогава точката има координати:

Точка се "повдига" с точка:

Тогава координатите на вектора:

Отговор:

Както можете да видите, няма нищо фундаментално трудно в решаването на такива проблеми. Всъщност процесът допълнително опростява „правотата“ на фигура като призма. Сега нека преминем към следващия пример:

2. Начертайте паралелепипед, начертайте в него равнина и права линия, а също така отделно нарисувайте долната му основа:

Първо откриваме уравнението на равнината: Координати на три точки, лежащи в нея:

(Първите две координати са получени по очевиден начин и можете лесно да намерите последната координата от картината от точката). След това съставяме уравнението на равнината:

Изчисляваме:

Търсим координатите на вектора на посоката: Ясно е, че координатите му съвпадат с координатите на точката, нали? Как да намеря координатите? Това са координатите на точката, повдигнати по оста на апликата с едно! ... След това търсим необходимия ъгъл:

Отговор:

3. Начертайте правилна шестоъгълна пирамида и след това нарисувайте равнина и права линия в нея.

Тук дори рисуването на равнина е проблематично, да не говорим за решението на този проблем, но методът на координатите не се интересува! Основното му предимство е в неговата универсалност!

Самолетът преминава през три точки :. Търсим техните координати:

1). Начертайте сами координатите за последните две точки. Решението на проблема с шестоъгълна пирамида ще бъде полезно за това!

2) Изграждаме уравнението на равнината:

Търсим координатите на вектора :. (вижте отново проблема с триъгълната пирамида!)

3) Търсите ъгъл:

Отговор:

Както можете да видите, няма нищо свръхестествено трудно в тези задачи. Просто трябва да бъдете много внимателни с корените. За последните два проблема ще дам само отговори:

Както можете да видите, техниката за решаване на задачи е една и съща навсякъде: основната задача е да намерите координатите на върховете и да ги замените в някои формули. Остава да разгледаме още един клас задачи за изчисляване на ъгли, а именно:

Изчисляване на ъгли между две равнини

Алгоритъмът на решението ще бъде следният:

1. По три точки търсим уравнението на първата равнина:
2. За останалите три точки търсим уравнението на втората равнина:
3. Прилагаме формулата:

Както можете да видите, формулата е много подобна на двете предишни, с помощта на които търсихме ъглите между прави линии и между права линия и равнина. Така че запомнянето на това няма да ви затрудни. Нека да преминем направо към анализа на задачите:

1. Сто-ро-на от ос-но-ва-ния на дясната триъгълна призма е равно, а диагоналът на голямото лице е равен. Най-ди-тези ъгъл между равнината и равнината на призмата.

2. В правилните четири-ти-рех-въглища-ной пи-ра-ми-де, всички ръбове на които са равни, намерете синуса на ъгъла между равнината и равнината към-сту, про-хо- dya-shchey през точката per-pen-di-ku-lar-but прав.

3. В правилната призма с четири рех-въглища страните на оста са равни, а страните са равни. На ръба от-ме-че-до точка, така че. Намерете ъгъла между равнината към sti-mi и

4. В дясната четириъгълна призма страните са равни, а страните са равни. На ръба от-me-che-до точка, така че Nay-di-te е ъгълът между равнината към-st-mi и.

5. В куба най-ди-те ко-си-нус на ъгъла между равнината-ко-сти-ми и

Решения на проблеми:

1. Начертавам правилна (в основата - равностранен триъгълник) триъгълна призма и маркирам върху нея равнините, които се появяват в постановката на задачата:

Трябва да намерим уравненията на две равнини: Уравнението на основата е тривиално: можете да съставите съответната детерминанта от три точки, но аз ще съставя уравнението наведнъж:

Сега ще намерим уравнението Точка има координати Точка - Тъй като е медианата и височината на триъгълника, е лесно да се намери в триъгълника по Питагоровата теорема. Тогава точката има координати: Намерете кандидата на точката За да направите това, помислете за правоъгълен триъгълник

Тогава получаваме следните координати: Ние правим уравнението на равнината.

Изчисляваме ъгъла между равнините:

Отговор:

2. Изготвяне на чертеж:

Най -трудното е да се разбере какво представлява тази мистериозна равнина, преминаваща през точка перпендикулярно. Е, основното е какво е това? Основното е вниманието! Всъщност линията е перпендикулярна. Правата линия също е перпендикулярна. Тогава равнината, преминаваща през тези две прави линии, ще бъде перпендикулярна на правата линия и между другото ще премине през точката. Тази равнина също минава през върха на пирамидата. Тогава търсеният самолет - И самолетът вече ни е даден. Търсим координатите на точките.

Намерете координатата на точката през точката. От малката фигура е лесно да се заключи, че координатите на точката ще бъдат следните: Какво остава да се намери, за да се намерят координатите на върха на пирамидата? Трябва също да изчислите височината му. Това става с помощта на същата Питагорова теорема: първо, докажете това (тривиално от малки триъгълници, образуващи квадрат в основата). Тъй като по условие имаме:

Сега всичко е готово: координатите на върха:

Съставяме уравнението на равнината:

Вече сте специални при изчисляването на детерминанти. Без затруднения ще получите:

Или иначе (ако умножим двете части с корена на две)

Сега намираме уравнението на равнината:

(Не сте забравили как получаваме уравнението на равнината, нали? Ако не разбирате откъде е дошло това минус едно, тогава се върнете към дефиницията на уравнението на равнината! Просто винаги преди това се оказваше, че произходът на координатите принадлежеше на моя самолет!)

Изчисляваме детерминантата:

(Можете да видите, че уравнението на равнината съвпада с уравнението на права линия, преминаваща през точките и! Помислете защо!)

Сега изчисляваме ъгъла:

Трябва да намерим синуса:

Отговор:

3. Труден въпрос: какво мислите, че е правоъгълна призма? Това е просто паралелепипед, който добре познавате! Направете чертеж веднага! Възможно е дори да не се изобразява базата отделно, тук има малка полза от нея:

Самолетът, както отбелязахме по -рано, е написан под формата на уравнение:

Сега съставяме самолета

Веднага съставяме уравнението на равнината:

Търсите ъгъл:

Сега отговорите на последните два проблема:

Е, сега е моментът да си починете, защото вие и аз сме страхотни и свършихме чудесна работа!

Координати и вектори. Напреднало ниво

В тази статия ще обсъдим с вас друг клас проблеми, които могат да бъдат решени с помощта на координатния метод: проблеми с разстоянието. А именно, ще разгледаме следните случаи:

1. Изчисляване на разстоянието между кръстосани линии.

Поръчах тези задачи, тъй като сложността им нараства. Оказва се, че е най -лесно да се намери разстояние от точка до равнина, и най -трудното нещо е да се намери разстоянието между пресичащите се линии... Въпреки че, разбира се, нищо не е невъзможно! Нека не отлагаме и веднага пристъпваме към разглеждането на първия клас проблеми:

Изчисляване на разстоянието от точка до равнина

Какво ни е необходимо, за да разрешим този проблем?

1. Точки координати

Така че, веднага щом получим всички необходими данни, прилагаме формулата:

Вече трябва да знаете как изграждаме уравнението на равнината от предишните проблеми, които обсъдих в последната част. Нека веднага да се заемем със задачите. Схемата е следната: 1, 2, аз ви помагам да решите и в някои подробности, 3, 4 - само отговорът, вие вземате решението сами и сравнявате. Да започваме!

Задачи:

1. Даден куб. Дължината на ръба на куба е. Nay-di-te разстояние-i-ni от se-re-di-us от-cut до flat-to-sti

2. Като се има предвид право-вил-ная четири-вие-рех-въглища-най пи-ра-ми-да Бо-к-тият ръб на страничната ро-он на ос-но-ва-нията е равен. Най-ди-тези разстояния от точка до равнина до сти, където-се-ре-ди-он ребра.

3. В дясната триъгълна pi-ra-mi-de с os-no-va-ni ръбът bo-kov е равен, а страничната-ro-na е-no-va- е равна на. Най-ди-те разстояние-и-ние от върха до равнината.

4. В правилната призма с шест въглища всички ръбове са равни. Nay-di-te разстояние-i-nie от точка до равнина.

Решения:

1. Начертайте куб с единични ръбове, изградете сегмент и равнина, означете средата на сегмента с буквата

.

Първо, нека започнем с един лесен: намерете координатите на точка. Оттогава (запомнете координатите на средната точка на сегмента!)

Сега съставяме уравнението на равнината от три точки

\ [\ вляво | (\ begin (масив) (* (20) (c)) x & 0 & 1 \\ y & 1 & 0 \\ z & 1 & 1 \ end (масив)) \ вдясно | = 0 \]

Сега мога да започна да търся разстояние:

2. Започнете отново с чертежа, на който маркираме всички данни!

За пирамидата би било полезно да нарисувате основата й отделно.

Дори фактът, че рисувам като пиле с лапа, не ни пречи лесно да решим този проблем!

Сега е лесно да намерите координатите на точка

Тъй като координатите на точката, тогава

2. Тъй като координатите на точка а са средната точка на отсечката, тогава

Безпроблемно можем да намерим и координатите на още две точки на равнината. Съставяме уравнението на равнината и го опростяваме:

\ [\ вляво | (\ left | (\ begin (array) (* (20) (c)) x & 1 & (\ frac (3) (2)) \\ y & 0 & (\ frac (3) (2)) \ \ z & 0 & (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) \ end (масив)) \ вдясно |) \ вдясно | = 0 \]

Тъй като точката има координати :, тогава изчисляваме разстоянието:

Отговор (много рядко!):

Е, разбра ли? Струва ми се, че всичко тук е толкова техническо, колкото в примерите, които разгледахме с вас в предишната част. Така че съм сигурен, че ако сте усвоили този материал, тогава няма да ви е трудно да разрешите останалите два проблема. Ще дам само отговорите:

Изчисляване на разстоянието от права линия до равнина

Всъщност тук няма нищо ново. Как могат да се разположат права и равнина една спрямо друга? Те имат всички възможности: пресичат се или права линия е успоредна на равнината. Какво според вас е разстоянието от права линия до равнината, с която тази права се пресича? Струва ми се, че тук е ясно, че такова разстояние е равно на нула. Неинтересен случай.

Вторият случай е по -сложен: тук разстоянието вече е ненулево. Въпреки това, тъй като линията е успоредна на равнината, тогава всяка точка на линията е на равно разстояние от тази равнина:

Поради това:

И това означава, че задачата ми е сведена до предишната: търсим координатите на всяка точка по права линия, търсим уравнението на равнината, изчисляваме разстоянието от точка до равнината. Всъщност такива задачи са изключително редки при изпита. Успях да намеря само един проблем и данните в него бяха такива, че методът на координатите не беше много приложим за него!

Сега нека преминем към друг, много по -важен клас проблеми:

Изчисляване на разстоянието на точка до права линия

Какво ни трябва?

1. Координати на точката, от която търсим разстоянието:

2. Координати на всяка точка, лежаща на права линия

3. Координати на насочващия вектор на правата линия

Каква формула използваме?

Какво означава знаменателят на тази дроб за вас и затова трябва да е ясно: това е дължината на насочващия вектор на права линия. Тук има много сложен числител! Изразът означава модула (дължината) на векторното произведение на векторите и Как да изчислим кръстосаното произведение, изследвахме в предишната част на работата. Обновете знанията си, те ще ни бъдат много полезни сега!

По този начин алгоритъмът за решаване на проблеми ще бъде следният:

1. Търсим координатите на точката, от която търсим разстоянието:

2. Търсим координатите на всяка точка от правата линия, до която търсим разстоянието:

3. Постройте вектор

4. Изградете вектора на посоката на правата линия

5. Изчислете кръстосаното произведение

6. Търсим дължината на получения вектор:

7. Изчислете разстоянието:

Имаме много работа и примерите ще бъдат доста сложни! Така че сега съсредоточете цялото си внимание!

1. На Дана се дава право-вил-ная триъгълна пи-ра-ми-да с връх. Сто-ро-на ос-но-ва-ниа пи-ра-ми-ди е равно, ти-така-това е равно. Най-ди-тези разстояния-i-nye от se-re-di-ny на bo-ko-in-th ръба до правата линия, където точките и са se-re-di-ny на ребрата и така-от- vet-но.

2. Дължините на ребрата и правоъгълната pa-ral-le-le-pi-pe-da са равни съответно и Nay-di-тези разстояния отгоре до право

3. В дясната призма с шест въглища всички ръбове на роя са равни на разстоянието find-di-ones от точка до права линия

Решения:

1. Ние правим чист чертеж, на който маркираме всички данни:

Имаме много работа с вас! Първо бих искал да опиша с думи какво ще търсим и в какъв ред:

1. Координати на точки и

2. Точки координати

3. Координати на точки и

4. Координати на вектори и

5. Техният кръстосан продукт

6. Дължината на вектора

7. Дължината на векторното произведение

8. Разстояние от до

Е, имаме много работа! Пристъпваме към това, запретвайки ръкави!

1. За да намерим координатите на височината на пирамидата, трябва да знаем координатите на точката. Нейното приложение е нула, а ординатата е равна на Абсцисата, тя е равна на дължината на отсечката. Тъй като е височина на равностранен триъгълник, той се разделя във връзка, като се брои от върха, занапред. Накрая получихме координатите:

Координати на точки

2. - средата на сегмента

3. - средата на сегмента

Средна точка на сегмента

4. Координати

Векторни координати

5. Изчислете кръстосания продукт:

6. Дължината на вектора: най -лесният начин е да замените, че сегментът е средната линия на триъгълника, което означава, че е равен на половината от основата. Така.

7. Разглеждаме дължината на векторното произведение:

8. Накрая намираме разстоянието:

Фу, това е! Честно казано, решението на този проблем с помощта на традиционни методи (чрез конструкции) би било много по -бързо. Но тук сведох всичко до готов алгоритъм! Мисля, че алгоритъмът на решението ви е ясен? Затова ще ви помоля да разрешите останалите два проблема сами. Да сравним отговорите?

Отново повтарям: по -лесно (по -бързо) е да се решат тези проблеми чрез конструкции и да не се прибягва до метода на координатите. Демонстрирах това решение само за да ви покажа универсален метод, който ви позволява да „не завършите нищо“.

И накрая, помислете за последния клас проблеми:

Изчисляване на разстоянието между кръстосани линии

Тук алгоритъмът за решаване на проблеми ще бъде подобен на предишния. Какво имаме:

3. Всеки вектор, свързващ точки на първата и втората прави линии:

Как да намерим разстоянието между правите линии?

Формулата е следната:

Числителят е модулът на смесения продукт (въведохме го в предишната част), а знаменателят е същият като в предишната формула (модулът на векторното произведение на векторите на посоките на правите линии, разстоянието между които търсим).

Ще ви припомня това

тогава формулата за разстоянието може да се препише като:

Един вид детерминанта, разделена на детерминанта! Въпреки че, честно казано, нямам време за шеги тук! Тази формула всъщност е много тромава и води до доста сложни изчисления. На твое място бих го използвал само в краен случай!

Нека се опитаме да разрешим няколко проблема, използвайки горния метод:

1. В правилната триъгълна призма всички ръбове са равни, намерете разстоянието между правите и.

2. Като се има предвид дясна триъгълна призма, всички ръбове на ос-но-ва-цията на роя са равни ребра и се-ре-ди-ям ребра яв-ла-ет-ся квадрат-ра-том. Най разстоянието между правите ние и

Аз решавам първото и въз основа на него вие решавате второто!

1. Начертайте призма и маркирайте правите линии и

Координати на точка С: тогава

Координати на точки

Векторни координати

Координати на точки

Векторни координати

Векторни координати

\ [\ наляво ((B, \ overrightarrow (A (A_1)) \ \ overrightarrow (B (C_1))) \ вдясно) = \ наляво | (\ begin (масив) (* (20) (l)) (\ begin (масив) (* (20) (c)) 0 & 1 & 0 \ end (масив)) \\ (\ begin (масив) ( * (20) (в)) 0 & 0 & 1 \ end (масив)) \\ (\ begin (масив) (* (20) (в)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (масив)) \ end (масив)) \ вдясно | = \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \]

Ние разглеждаме кръстосаното произведение между вектори и

\ [\ overrightarrow (A (A_1)) \ cdot \ overrightarrow (B (C_1)) = \ наляво | \ begin (масив) (l) \ begin (масив) (* (20) (c)) (\ overrightarrow i) & (\ overrightarrow j) & (\ overrightarrow k) \ end (масив) \\\ begin (масив ) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (масив) \\\ begin (масив) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (масив) \ end (масив) \ вдясно | - \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \ overrightarrow k + \ frac (1) (2) \ overrightarrow i \]

Сега изчисляваме дължината му:

Отговор:

Сега се опитайте внимателно да изпълните втората задача. Отговорът на него ще бъде :.

Координати и вектори. Кратко описание и основни формули

Вектор е насочен отрязък. - началото на вектора, - края на вектора.
Векторът се обозначава с или.

Абсолютна стойност vector - дължината на сегмента, представляващ вектора. Посочено е като.

Векторни координати:

,
къде са краищата на вектора \ displaystyle a.

Сума от вектори :.

Продукт от вектори:

Точково произведение на вектори:

Скаларното произведение на векторите е равно на произведението на техните абсолютни стойности от косинуса на ъгъла между тях:

ОСТАВЯЩИТЕ 2/3 СТАТИИ СА НАЛИЧНИ САМО ЗА УЧЕНИЦИТЕ, КОИТО НЕ МАГАТ!

Станете студент на YouClever,

Подгответе се за ИЗПОЛЗВАНЕ или ИЗПОЛЗВАНЕ по математика на цената на "чаша кафе на месец",

И също така получете неограничен достъп до учебника „YouClever“, учебната програма „100gia“ (reshebnik), неограничен пробен период USE и OGE, 6000 проблема с анализ на решения и до други услуги на YouClever и 100gia.

Нека правоъгълна координатна система е фиксирана в триизмерно пространство Оксиз, се дава точка, права линия аи е необходимо да се намери разстоянието от точката Анаправо а.

Ще покажем два начина за изчисляване на разстоянието от точка до права линия в пространството. В първия случай намиране на разстоянието от точката М 1 направо асе свежда до намиране на разстоянието от точка М 1 към основния въпрос З 1 , където З 1 - основата на перпендикуляра падна от точката М 1 по права линия а... Във втория случай разстоянието от точката до равнината ще се намери като височина на паралелограма.

Така че нека започнем.

Първият начин да намерите разстоянието от точка до права линия a в пространството.

Тъй като по дефиниция разстоянието от точката М 1 направо аЕ дължината на перпендикуляра М 1 З 1 , след това, след като е определил координатите на точката З 1 , ще можем да изчислим необходимото разстояние като разстоянието между точките и по формулата.

По този начин проблемът се свежда до намиране на координатите на основата на перпендикуляра, построен от точката М 1 направо а... Това е достатъчно лесно: точка З 1 Е точката на пресичане на права линия ас равнина, преминаваща през точката М 1 перпендикулярна на права линия а.

Следователно, алгоритъм, който ви позволява да определите разстоянието от дадена точка направоа в космоса, това ли е:

Вторият метод ви позволява да намерите разстоянието от точка до права линия a в пространството.

Тъй като в постановката на задачата ни е дадена права линия а, тогава можем да определим неговия вектор на посоката и координати на някаква точка М 3 лежи на права линия а... Тогава координатите на точките и можем да изчислим координатите на вектор: (ако е необходимо, вижте координатите на вектора на статията чрез координатите на началната и крайната му точка).

Оставете настрана векторите и от точка М 3 и изгради паралелограм върху тях. В този паралелограм изчертаваме височината М 1 З 1 .

Очевидно височината М 1 З 1 на конструирания паралелограм е равно на необходимото разстояние от точката М 1 направо а... Ще го намерим.

От една страна, площта на паралелограма (ние го обозначаваме С) могат да бъдат намерени от гледна точка на векторното произведение на вектори и по формулата ... От друга страна, площта на паралелограма е равна на произведението на дължината на неговата страна на височината, т.е. , където - дължина на вектора равна на дължината на страната на разглеждания паралелограм. Следователно разстоянието от дадена точка М 1 към дадена права линия аможе да се намери от равенството как .

Така, за да намерите разстоянието от точка направоа в космоса, от който се нуждаете

Решаване на задачи за намиране на разстоянието от дадена точка до дадена права в пространството.

Нека разгледаме решението на един пример.

Пример.

Намерете разстоянието от точката направо .

Решение.

Първият начин.

Нека напишем уравнението на равнината, преминаваща през точката М 1 перпендикулярна на дадена права линия:

Намерете координатите на точката З 1 - точки на пресичане на равнината и дадена права линия. За да направим това, правим преход от каноничните уравнения на права линия към уравненията на две пресичащи се равнини

след което решаваме системата от линейни уравнения по метода на Cramer:

Поради това, .

Остава да се изчисли необходимото разстояние от точка до права линия като разстоянието между точките и : .

Втори начин.

Числата в знаменателите на дроби в каноничните уравнения на права линия представляват съответните координати на вектора на посоката на тази права линия, т.е. - насочващ вектор на права линия ... Нека изчислим дължината му: .

Очевидно права линия преминава през точката , след това вектора с начало в точката и завършва в точка има ... Намерете векторното произведение на вектори и :
тогава дължината на този кръстосан продукт е .

Сега имаме всички данни, за да използваме формулата за изчисляване на разстоянието от дадена точка до дадена равнина: .

Отговор:

Взаимно подреждане на прави линии в пространството

Помислете за прилагането на анализираните методи, за да намерите разстоянието от дадена точка до дадена права линия в равнина, когато решавате пример.

Намерете разстоянието от точка до права линия:

Първо, нека решим проблема по първия начин.

В условието на задачата ни е дадено общо уравнение на правата линия a от вида:

Нека намерим общото уравнение на правата линия b, която преминава през дадена точка, перпендикулярна на правата:

Тъй като линията b е перпендикулярна на линия a, векторът на посоката на линия b е нормалният вектор на дадена линия:

тоест векторът на посоката на правата линия b има координати. Сега можем да напишем каноничното уравнение на правата линия b на равнината, тъй като знаем координатите на точката M 1, през която минава правата линия b, и координатите на вектора на посоката на правата линия b:

От полученото канонично уравнение на правата линия b преминаваме към общото уравнение на правата линия:

Сега ще намерим координатите на точката на пресичане на прави линии a и b (нека го обозначим с H 1), като решим системата от уравнения, съставена от общите уравнения на прави линии a и b (ако е необходимо, вижте системите за решаване на линейни уравнения в статията):

По този начин точката H 1 има координати.

Остава да се изчисли необходимото разстояние от точка М 1 до линия а като разстоянието между точките и:

Вторият начин за решаване на проблема.

Получаваме нормалното уравнение на дадена права линия. За да направите това, изчисляваме стойността на нормализиращия коефициент и умножаваме по него двете страни на първоначалното общо уравнение на правата линия:

(говорихме за това в раздела за редуциране на общото уравнение на права линия до нормална форма).

Нормализиращият фактор е

тогава нормалното уравнение на права линия има вида:

Сега вземаме израза от лявата страна на полученото нормално уравнение на права линия и изчисляваме неговата стойност при:

Необходимото разстояние от дадена точка до дадена права линия:

е равна на абсолютната стойност на получената стойност, тоест пет ().

разстояние от точка до линия:

Очевидно предимството на метода за намиране на разстоянието от точка до права линия в равнина, основано на използването на нормалното уравнение на права линия, е относително по -малко количество изчислителна работа. На свой ред първият метод за намиране на разстоянието от точка до права линия е интуитивен и се отличава с последователност и последователност.

Правоъгълна координатна система Oxy е фиксирана на равнината, посочени са точка и права линия:

Намерете разстоянието от дадена точка до дадена права линия.

Първият начин.

Можете да преминете от дадено уравнение на права линия с наклон към общото уравнение на тази права линия и да действате по същия начин, както в примера, обсъден по -горе.

Но можете да го направите по различен начин.

Знаем, че произведението на наклоните на перпендикулярни линии е 1 (вижте статията перпендикулярни линии, перпендикулярност на линии). Следователно наклонът на права линия, перпендикулярна на дадена права линия:

е равен на 2. Тогава уравнението на права линия, перпендикулярна на дадена права линия и преминаваща през точка, има вида:

Сега намираме координатите на точката H 1 - пресечните точки на линиите:

По този начин необходимото разстояние от точка до права линия:

е равно на разстоянието между точките и:

Втори начин.

Нека преминем от даденото уравнение на права линия с наклон към нормалното уравнение на тази права линия:

нормализиращият фактор е:

следователно нормалното уравнение на дадена линия има вида:

Сега изчисляваме необходимото разстояние от точка до линия:

Изчислете разстоянието от точка до права линия:

и по права линия:

Получаваме нормалното уравнение на права линия:

Сега нека изчислим разстоянието от точка до права линия:

Нормализиращ коефициент за праволинейно уравнение:

е равно на 1. Тогава нормалното уравнение на тази линия има вида:

Сега можем да изчислим разстоянието от точка до линия:

той е равен.

Отговор: и 5.

В заключение, ние отделно разглеждаме как се намира разстоянието от дадена точка на равнината до координатните линии Ox и Oy.

В правоъгълната координатна система Oxy координатната линия Oy е дадена от непълното общо уравнение на правата x = 0, а координатната линия Ox е дадена от уравнението y = 0. Тези уравнения са нормални уравнения на линиите Oy и Ox, следователно разстоянието от точка до тези линии се изчислява по формулите:

съответно.

Фигура 5

На равнината се въвежда правоъгълна координатна система Oxy. Намерете разстоянията от точката до координатните линии.

Разстоянието от дадена точка М 1 до координатната линия Ox (дадено е от уравнението y = 0) е равно на модула на ординатата на точка М 1, т.е.

Разстоянието от дадена точка M 1 до координатната линия Oy (съответства на уравнението x = 0) е равно на абсолютната стойност на абсцисата на точка M 1 :.

Отговор: разстоянието от точката М 1 до правата Ox е 6, а разстоянието от дадената точка до координатната линия Oy е равно на.

Метод на координатите (разстояние между точка и равнина, между прави линии)

Разстояние между точка и равнина.

Разстояние между точка и линия.

Разстояние между две прави линии.

Първото нещо, което е полезно да знаете, е как да намерите разстоянието от точка до равнина:

Стойности A, B, C, D - равнинни коефициенти

x, y, z - координати на точки

Задача. Намерете разстоянието между точката A = (3; 7; −2) и равнината 4x + 3y + 13z - 20 = 0.

Всичко е дадено, можете веднага да замените стойностите в уравнението:

Задача. Намерете разстоянието от точката K = (1; −2; 7) до правата линия, преминаваща през точките V = (8; 6; −13) и T = (−1; −6; 7).

1. Намерете вектора на права линия.
2. Ние изчисляваме вектора, преминаващ през желаната точка и всяка точка по права линия.
   
3. Задаваме матрицата и намираме детерминантата за двата получени вектора в 1 -ва и 2 -ра точки.
4. Получаваме разстоянието, когато разделим квадратния корен от сумата от квадратите на матричните коефициенти по дължината на вектора, който определя правата линия(Мисля, че не е ясно, затова нека преминем към конкретен пример).

1) TV = (8 - ( - 1); 6 - ( - 6); -13-7) = (9; 12; −20)

2) Векторът се намира през точките K и T, въпреки че може да бъде и през K и V или всяка друга точка на тази права.

TK = (1- (- 1); −2- (- 6); 7-7) = (2; 4; 0)

3) Получаваме m матрица без коефициент D (тук не е необходимо за решението):

4) Равнината се оказа с коефициентите A = 80, B = 40, C = 12,

x, y, z са координатите на линейния вектор, в този случай векторният телевизор има координати (9; 12; −20)

Задача. Намерете разстоянието между правата линия, преминаваща през точките E = (1; 0; −2), G = (2; 2; −1), и правата линия, преминаваща през точките M = (4; −1; 4 ), L = (−2; 3; 0).

1. Задаваме векторите на двете линии.
2. Намерете вектора, като вземете по една точка от всеки ред.
3. Записваме матрица от 3 вектора (два реда от първия елемент, един ред от втория) и намираме неговата числена детерминанта.
4. Задаваме матрица на първите два вектора (в стъпка 1). Първият ред е зададен като x, y, z.
5. Получаваме разстоянието, когато разделим получената стойност от точка 3 по модул на квадратния корен от сумата от квадрати на точка 4.

Да преминем към цифрите.

Разстоянието от точка до права линия е дължината на перпендикуляра, паднал от точка към права линия. В описателната геометрия тя се определя графично, като се използва алгоритъмът по -долу.

Алгоритъм

1. Правата линия се прехвърля в положение, в което тя ще бъде успоредна на всяка проекционна равнина. За това се използват методи за трансформиране на ортогонални проекции.
2. От точка перпендикуляр се изчертава на права линия. Тази конструкция се основава на теоремата за проекция на прав ъгъл.
3. Дължината на перпендикуляра се определя чрез трансформиране на неговите проекции или използване на метода на правоъгълния триъгълник.

Следващата фигура показва сложен чертеж на точка М и линия b, дефинирани от сегмент CD. Необходимо е да се намери разстоянието между тях.

Според нашия алгоритъм първото нещо, което трябва да направите, е да преместите линията в позиция, успоредна на проекционната равнина. Важно е да се разбере, че след трансформациите действителното разстояние между точката и линията не трябва да се променя. Ето защо тук е удобно да се използва методът за подмяна на равнини, който не предполага движението на фигури в пространството.

Резултатите от първия етап на строителството са показани по -долу. Фигурата показва как допълнителна челна равнина P 4 се въвежда успоредно на b. В новата система (P 1, P 4) точки C "" 1, D "" 1, M "" 1 са на същото разстояние от оста X 1 като C "", D "", M "" от оста X.

Изпълнявайки втората част на алгоритъма, от M "" 1 спускаме перпендикуляра M "" 1 N "" 1 до правата b "" 1, тъй като десният ъгъл MND между b и MN се проектира върху равнината P 4 в пълен размер. На комуникационната линия определяме позицията на точката N "и извършваме проекцията M" N "на сегмента MN.

На последния етап трябва да определите стойността на сегмента MN чрез неговите проекции M "N" и M "" 1 N "" 1. За да направим това, изграждаме правоъгълен триъгълник M "" 1 N "" 1 N 0, чийто крак N "" 1 N 0 е равен на разликата (YM 1 - YN 1) на разстоянието на точки M "и N "от оста X 1. Дължината на хипотенузата M "" 1 N 0 на триъгълника M "" 1 N "" 1 N 0 съответства на желаното разстояние от M до b.

Второ решение

• Успоредно на CD въвеждаме нова челна равнина P 4. Той пресича П 1 по оста X 1, и X 1 ∥C "D". В съответствие с метода за подмяна на равнини, ние определяме изпъкналостите на точки C "" 1, D "" 1 и M "" 1, както е показано на фигурата.
• Перпендикулярно на C "" 1 D "" 1 изграждаме допълнителна хоризонтална равнина P 5, върху която правата b е проектирана към точката C "2 = b" 2.
• Разстоянието между точка M и линия b се определя от дължината на сегмента M "2 C" 2, маркиран в червено.

Подобни задачи: