Защо живеем в триизмерно пространство. Триизмерно пространство: вектори, координати Къде се използва триизмерно пространство

Стартира проекта Въпрос към учения, в който експерти ще отговарят на интересни, наивни или практически въпроси. В този брой кандидатът на физико-математическите науки Иля Шчуров говори за 4D и дали е възможно да се влезе в четвъртото измерение.

Какво е четириизмерно пространство ("4D")?

Иля Щуров

Кандидат на физико-математическите науки, доцент в катедра „Висша математика“, Национален изследователски университет „Висше училище по икономика“

Да започнем с най-простия геометричен обект - точка. Точката е нулевомерна. Тя няма нито дължина, нито ширина, нито височина.

Сега нека преместим точката по права линия на известно разстояние. Да кажем, че нашата точка е върха на молив; когато го преместихме, той начерта линия. Отсечката има дължина и няма повече измерения - тя е едномерна. Сегментът "живее" на права линия; линията е едномерно пространство.

Сега нека вземем сегмент и се опитаме да го преместим, както преди точка. (Можете да си представите, че нашият сегмент е основата на широка и много тънка четка.) Ако излезем от линията и се движим в перпендикулярна посока, получаваме правоъгълник. Правоъгълникът има две измерения - ширина и височина. Правоъгълникът лежи в някаква равнина. Равнината е двумерно пространство (2D), върху нея можете да въведете двумерна координатна система - всяка точка ще съответства на двойка числа. (Например, декартова координатна система на черна дъска или географска ширина и дължина на географска карта.)

Ако преместите правоъгълник в посока, перпендикулярна на равнината, в която лежи, получавате "тухла" (правоъгълен паралелепипед) - триизмерен обект, който има дължина, ширина и височина; намира се в триизмерното пространство – в това, в което живеем. Следователно имаме добра представа как изглеждат триизмерните обекти. Но ако живеехме в двуизмерно пространство - в равнина - ще трябва доста да напрегнем въображението си, за да си представим как можем да преместим правоъгълника така, че да излезе извън равнината, в която живеем.

Също така ни е доста трудно да си представим четириизмерно пространство, въпреки че е много лесно да се опише математически. Триизмерното пространство е пространство, в което позицията на точка е дадена с три числа (например позицията на самолет е дадена с дължина, ширина и надморска височина). В четиримерното пространство една точка съответства на четири числа-координати. „Четириизмерна тухла“ се получава чрез преместване на обикновена тухла в някаква посока, която не лежи в нашето триизмерно пространство; има четири измерения.

Всъщност ние се сблъскваме с четириизмерното пространство всеки ден: например, когато определяме дата, ние посочваме не само мястото на срещата (може да бъде зададено с тройка числа), но и часа (може да бъде зададено с едно число - например броят секунди, изминали от определена дата). Ако погледнете истинската тухла, тя има не само дължина, ширина и височина, но и дължина във времето - от момента на създаването до момента на унищожението.

Физикът ще каже, че ние живеем не просто в пространството, а в пространство-времето; математикът ще добави, че е четириизмерен. Така че четвъртото измерение е по-близо, отколкото изглежда.

Задачи:

Дайте друг пример за прилагането на четириизмерното пространство в реалния живот.

Определете какво е петизмерно пространство (5D). Как трябва да изглежда един 5D филм?

Моля, изпращайте отговорите по имейл: [имейл защитен]

Дори от училищния курс по алгебра и геометрия знаем за концепцията за триизмерно пространство. Ако погледнете, самият термин "триизмерно пространство" се определя като координатна система с три измерения (всеки знае това). Всъщност всеки обемен обект може да бъде описан с дължина, ширина и височина в класическия смисъл. Нека обаче, както се казва, задълбаем малко.

Какво е 3D пространство

Както вече стана ясно, разбирането за триизмерното пространство и обектите, които могат да съществуват в него, се определя от три основни понятия. Вярно е, че в случай на точка това са точно три стойности, а в случай на прави линии, криви, начупени линии или обемни обекти, може да има повече съответстващи координати.

В този случай всичко зависи от вида на обекта и използваната координатна система. Днес най-често срещаната (класическа) система се счита за декартова система, която понякога се нарича и правоъгълна. Тя и някои други сортове ще бъдат обсъдени малко по-късно.

Освен всичко друго, тук е необходимо да се прави разлика между абстрактни понятия (ако мога така да се изразя, безформени) като точки, линии или равнини и фигури, които имат крайни размери или дори обем. Всяка от тези дефиниции има свои собствени уравнения, описващи възможната им позиция в триизмерното пространство. Но сега не става въпрос за това.

Концепцията за точка в триизмерното пространство

Първо, нека дефинираме какво е точка в триизмерното пространство. Като цяло може да се нарече определена основна единица, която определя всяка плоска или триизмерна фигура, права линия, сегмент, вектор, равнина и т.н.

Самата точка се характеризира с три основни координати. За тях в правоъгълна система се използват специални водачи, наречени оси X, Y и Z, като първите две оси се използват за изразяване на хоризонталното положение на обекта, а третата се отнася за вертикалната настройка на координатите. Естествено, за удобство на изразяване на позицията на обект спрямо нулеви координати, в системата се вземат положителни и отрицателни стойности. Днес обаче могат да се намерят и други системи.

Разновидности на координатни системи

Както вече споменахме, правоъгълната координатна система, създадена от Декарт, е основната днес. Въпреки това, в някои методи за определяне на местоположението на обект в триизмерното пространство се използват и други разновидности.

Най-известните са цилиндрични и сферични системи. Разликата от класическата е, че при задаване на същите три стойности, които определят местоположението на точка в триизмерното пространство, една от стойностите е ъглова. С други думи, такива системи използват кръг, съответстващ на ъгъл от 360 градуса. Оттук и специфичното присвояване на координати, включително елементи като радиус, ъгъл и генератор. Координатите в триизмерно пространство (система) от този тип се подчиняват на малко по-различни закони. Тяхната задача в този случай се контролира от правилото на дясната ръка: ако подравните палеца и показалеца си съответно с осите X и Y, останалите пръсти в свито положение ще сочат по посока на оста Z.

Концепцията за права линия в триизмерното пространство

Сега няколко думи за това какво е права линия в триизмерното пространство. Въз основа на основната концепция за права линия, това е вид безкрайна линия, начертана през точка или две, без да се брои множеството точки, разположени в последователност, която не променя директното преминаване на линията през тях.

Ако погледнете права линия, начертана през две точки в триизмерното пространство, ще трябва да вземете предвид три координати на двете точки. Същото важи и за сегментите и векторите. Последните определят основата на тримерното пространство и неговото измерение.

Дефиниция на вектори и базис на тримерното пространство

Имайте предвид, че това могат да бъдат само три вектора, но можете да дефинирате колкото искате тройки вектори. Размерността на пространството се определя от броя на линейно независимите вектори (в нашия случай три). А пространство, в което има краен брой такива вектори, се нарича крайномерно.

Зависими и независими вектори

По отношение на дефиницията на зависими и независими вектори е обичайно да се разглеждат вектори, които са проекции, линейно независими (например вектори на оста X, проектирани върху оста Y).

Както вече стана ясно, всеки четвърти вектор е зависим (теорията на линейните пространства). Но три независими вектора в триизмерното пространство не трябва непременно да лежат в една и съща равнина. Освен това, ако в триизмерното пространство са дефинирани независими вектори, те не могат да бъдат, така да се каже, едно продължение на другото. Както вече стана ясно, в случая, който разглеждаме с три измерения, според общата теория е възможно да се конструират изключително само тройки от линейно независими вектори в определена координатна система (без значение какъв тип).

Самолет в 3D пространство

Ако разгледаме концепцията за равнина, без да навлизаме в математически определения, за по-просто разбиране на този термин, такъв обект може да се разглежда изключително като двуизмерен. С други думи, това е безкраен набор от точки, за които една от координатите е постоянна (постоянна).

Например равнина може да се нарече произволен брой точки с различни координати X и Y, но еднакви координати Z. Във всеки случай една от триизмерните координати остава непроменена. Това обаче е така да се каже масовият случай. В някои ситуации триизмерното пространство може да бъде пресечено от равнина по всички оси.

Има ли повече от три измерения

Въпросът колко измерения могат да съществуват е доста интересен. Смята се, че не живеем в триизмерно пространство от класическа гледна точка, а в четириизмерно. В допълнение към дължината, ширината и височината, известни на всички, такова пространство включва и живота на обекта, а времето и пространството са взаимосвързани доста силно. Това е доказано от Айнщайн в неговата теория на относителността, въпреки че това се отнася повече за физиката, отколкото за алгебрата и геометрията.

Интересно е също, че днес учените вече са доказали съществуването на поне дванадесет измерения. Разбира се, не всеки ще може да разбере какви са те, тъй като това се отнася по-скоро за определена абстрактна област, която е извън човешкото възприемане на света. Въпреки това фактът остава. И не напразно много антрополози и историци твърдят, че нашите предци биха могли да имат някои специфични развити сетивни органи като трето око, което им е помогнало да възприемат многоизмерната реалност, а не изключително триизмерното пространство.

Между другото, днес има доста мнения относно факта, че екстрасензорното възприятие също е едно от проявленията на възприемането на многоизмерен свят и могат да бъдат намерени доста доказателства за това.

Имайте предвид, че не винаги е възможно да се опишат многомерни пространства, които се различават от нашия четириизмерен свят със съвременни основни уравнения и теореми. Да, и науката в тази област се отнася повече до областта на теориите и предположенията, отколкото до това, което може да бъде ясно усетено или, така да се каже, докоснато или видяно със собствените си очи. Независимо от това косвените доказателства за съществуването на многоизмерни светове, в които могат да съществуват четири или повече измерения, днес са извън съмнение.

Заключение

Като цяло направихме много кратък преглед на основните понятия, свързани с триизмерното пространство и основните дефиниции. Естествено, има много специални случаи, свързани с различни координатни системи. Освен това се опитахме да не навлизаме твърде далеч в математическата джунгла, за да обясним основните термини само така, че въпросът, свързан с тях, да е разбираем за всеки ученик (така да се каже, обяснението е „на пръсти“).

Въпреки това изглежда, че дори от такива прости интерпретации може да се направи заключение за математическия аспект на всички компоненти, включени в основния училищен курс по алгебра и геометрия.

В който молим нашите учени да отговорят на доста прости, на пръв поглед, но противоречиви въпроси на читателите. За вас сме избрали най-интересните отговори от експертите на PostNauka.

Всеки е запознат със съкращението 3D, което означава "триизмерен" (буквата D - от думата dimension - измерване). Например, когато избирате филм с надпис 3D в киносалон, знаем със сигурност, че ще трябва да носите специални очила, за да го гледате, но картината няма да е плоска, а триизмерна. Какво е 4D? Съществува ли в действителност „четириизмерното пространство“? Възможно ли е да се влезе в "четвъртото измерение"?

За да отговорим на тези въпроси, нека започнем с най-простия геометричен обект - точка. Точката е нулева. Тя няма нито дължина, нито ширина, нито височина.

// 8-клетъчен прост

Сега нека преместим точката по права линия на известно разстояние. Да кажем, че нашата точка е върха на молив; когато го преместихме, той начерта линия. Един сегмент има дължина и няма повече измерения: той е едномерен. Сегментът "живее" на права линия; линията е едномерно пространство.

Сега нека вземем сегмент и се опитаме да го преместим както преди точка. Можете да си представите, че нашият сегмент е основата на широка и много тънка четка. Ако излезем извън линията и се движим в перпендикулярна посока, получаваме правоъгълник. Правоъгълникът има две измерения - ширина и височина. Правоъгълникът лежи в някаква равнина. Равнината е двумерно пространство (2D), върху нея можете да въведете двумерна координатна система - всяка точка ще съответства на двойка числа. (Например, декартова координатна система на черна дъска или географска ширина и дължина на географска карта.)

Ако преместите правоъгълник в посока, перпендикулярна на равнината, в която лежи, получавате "тухла" (правоъгълен паралелепипед) - триизмерен обект, който има дължина, ширина и височина; намира се в триизмерно пространство, в същото, в което живеем. Следователно имаме добра представа как изглеждат триизмерните обекти. Но ако живеехме в двуизмерно пространство - в равнина - ще трябва доста да напрегнем въображението си, за да си представим как можем да преместим правоъгълника така, че да излезе извън равнината, в която живеем.

Всъщност ние се сблъскваме с четириизмерното пространство всеки ден: например, когато определяме дата, ние посочваме не само мястото на срещата (може да бъде зададено с тройка числа), но и часа (може да бъде зададено с едно число, например броя секунди, изминали от определена дата). Ако погледнете истинската тухла, тя има не само дължина, ширина и височина, но и дължина във времето - от момента на създаването до момента на унищожението.

Триизмерно пространство - има три хомогенни измерения: височина, ширина и дължина. Това е геометричен модел на нашия материален свят.

За да се разбере природата на физическото пространство, първо трябва да се отговори на въпроса за произхода на неговото измерение. Следователно стойността на измерението, както може да се види, е най-значимата характеристика на физическото пространство.

Измерение на пространството

Измерението е най-общото количествено измеримо свойство на пространство-времето. Понастоящем физическа теория, която претендира да бъде пространствено-времево описание на реалността, приема стойността на измерението като първоначален постулат. Концепцията за броя на измеренията или измерението на пространството е една от най-фундаменталните концепции на математиката и физиката.

Съвременната физика се доближи до отговора на метафизичния въпрос, който беше поставен в трудовете на австрийския физик и философ Ернст Мах: „Защо пространството е триизмерно?“. Смята се, че фактът на триизмерността на пространството е свързан с основните свойства на материалния свят.

Развитието на процес от точка генерира пространство, т.е. мястото, където трябва да се осъществи изпълнението на програмата за развитие. „Генерираното пространство“ е за нас формата на Вселената или формата на материята във Вселената.

Така се вярваше в древни времена ...

Дори Птолемей пише по темата за измерението на пространството, където твърди, че в природата не може да има повече от три пространствени измерения. В книгата си „За небето“ друг гръцки мислител, Аристотел, пише, че само наличието на три измерения осигурява съвършенството и пълнотата на света. Едно измерение, разсъждава Аристотел, образува линия. Ако добавим друго измерение към линията, получаваме повърхност. Добавянето на повърхност с още едно измерение образува триизмерно тяло.

Оказва се, че „вече не е възможно да се премине отвъд границите на едно обемно тяло до нещо друго, тъй като всяка промяна възниква поради някакъв недостатък, а тук няма такъв. Даденият начин на мислене на Аристотел страда от една съществена слабост: остава неясно по каква причина точно едно триизмерно триизмерно тяло притежава завършеност и съвършенство. По едно време Галилей правилно се присмиваше на мнението, че "числото "3" е съвършено число и че е надарено със способността да съобщава съвършенство на всичко, което има триединство."

Какво определя размерността на пространството

Пространството е безкрайно във всички посоки. В същото време обаче може да се измерва само в три независими една от друга посоки: по дължина, ширина и височина; ние наричаме тези посоки измерения на пространството и казваме, че нашето пространство има три измерения, че е триизмерно. В този случай „в този случай ние наричаме независима посока линия, лежаща под прав ъгъл спрямо друга. Такива линии, т.е. лежащи едновременно под прав ъгъл един спрямо друг, а не успоредни един на друг, нашата геометрия познава само три. Тоест размерът на нашето пространство се определя от броя на възможните линии в него, лежащи под прав ъгъл една спрямо друга. Не може да има друга линия на линия - това е едномерно пространство. На повърхността са възможни два перпендикуляра - това е двумерно пространство. В "пространството" три перпендикуляра са триизмерно пространство.

Защо пространството е триизмерно?

Рядко срещано в земните условия преживяване на материализация на хора често има физическо въздействие върху очевидци ...

Но в идеите за пространството и времето все още има много неясноти, което поражда продължаващи дискусии на учените. Защо нашето пространство има три измерения? Могат ли да съществуват многоизмерни светове? Възможно ли е материалните обекти да съществуват извън пространството и времето?

Твърдението, че физическото пространство има три измерения, е също толкова обективно, колкото и твърдението например, че има три агрегатни състояния на материята: твърдо, течно и газообразно; той описва фундаментален факт от обективния свят. И. Кант подчерта, че причината за триизмерността на нашето пространство все още е неизвестна. П. Еренфест и Дж. Уитроу показаха, че ако броят на пространствените измерения е повече от три, тогава съществуването на планетни системи би било невъзможно - само в триизмерния свят може да има стабилни орбити на планети в планетни системи. Тоест, триизмерният ред на материята е единственият стабилен ред.

Но триизмерността на пространството не може да се твърди като някаква абсолютна необходимост. Това е физически факт като всеки друг и, като следствие, подлежи на същия вид обяснение.

Въпросът защо нашето пространство е триизмерно може да бъде решен или от гледна точка на телеологията, въз основа на ненаучното твърдение, че „триизмерният свят е най-съвършеният от всички възможни светове“, или от научно материалистични позиции, основани на фундаментални физични закони.

Мнение на съвременниците

Съвременната физика казва, че характеристиката на триизмерността е, че тя и само тя прави възможно формулирането на непрекъснати причинно-следствени закони за физическата реалност. Но „съвременните концепции не отразяват истинското състояние на физическата картина на света. В наше време учените разглеждат пространството като вид структура, състояща се от много нива, които също са неопределени. И затова неслучайно съвременната наука не може да отговори на въпроса защо нашето пространство, в което живеем и което наблюдаваме, е триизмерно.

Теория на свързаните пространства

В паралелните светове събитията се случват по свой собствен начин, те могат ...

„Опитите да се търси отговор на този въпрос, оставайки само в рамките на математиката, са обречени на провал. Отговорът може да се крие в нова, недостатъчно развита област на физиката. Нека се опитаме да намерим отговор на този въпрос въз основа на разпоредбите на разглежданата физика на свързаните пространства.

Според теорията на свързаните пространства развитието на един обект протича на три етапа, като всеки етап се развива в избраната от него посока, т.е. по оста си на развитие.

На първия етап развитието на обекта върви по първоначално избраната посока, т.е. има една ос на развитие. На втория етап образуваната на първия етап система се завърта на 90°, т.е. има промяна в посоката на пространствената ос и развитието на системата започва да върви по втората избрана посока, перпендикулярна на първоначалната. На третия етап развитието на системата отново се завърта на 90° и тя започва да се развива по третото избрано направление, перпендикулярно на първите две. В резултат на това се образуват три вложени сфери на пространството, всяка от които съответства на една от осите на развитие. Освен това и трите тези пространства са свързани в едно стабилно образувание чрез физически процес.

И тъй като този процес се прилага на всички мащабни нива на нашия свят, тогава всички системи, включително самите координати, са изградени според триадичния (трикоординатен) принцип. От това следва, че в резултат на преминаване през трите етапа на развитие на процеса естествено се формира триизмерно пространство, образувано в резултат на физическия процес на развитие от три координатни оси на три взаимно перпендикулярни посоки на развитие!

Тези интелигентни същества са възникнали в самата зора на съществуването на Вселената ...

Нищо чудно, че Питагор, който очевидно би могъл да има това знание, притежава израза: "Всички неща се състоят от три." Същото казва и Н.К. Рьорих: „Символът на Троицата е от голяма древност и се среща по целия свят, следователно не може да бъде ограничен до никоя секта, организация, религия или традиция, както и лични или групови интереси, тъй като представлява еволюцията на съзнанието във всичките му фази ... Знакът на троицата се оказа разпръснат по целия свят ... Ако съберете всички отпечатъци на един и същи знак, тогава може би той ще се окаже най-често срещаният и най-старият сред човешки символи. Никой не може да твърди, че този знак принадлежи само на едно вярване или се основава на един фолклор.

Ненапразно още в древността нашият свят е представян като триединно божество (три слети в едно): нещо едно, цяло и неделимо, по своето сакрално значение далеч надхвърлящо първоначалните ценности.

Ние проследихме пространствената специализация (разпределение по координатните посоки на пространството) в рамките на една система, но можем да видим точно същото разпределение във всяко общество от атом до галактики. Тези три разновидности на пространството не са нищо друго освен трите координатни състояния на геометричното пространство.

Колко измерения има пространството на света, в който живеем?

Какъв въпрос! Разбира се, обикновен човек ще каже три и ще бъде прав. Но все още има специална порода хора, които имат придобито имущество, за да се съмняват в очевидни неща. Тези хора се наричат „учени“, защото са специално научени да го правят. За тях нашият въпрос не е толкова прост: измерването на пространството е неуловимо нещо, те не могат просто да бъдат преброени с посочване на пръст: едно, две, три. Невъзможно е да се измери техният брой с какъвто и да е инструмент като линийка или амперметър: пространството има 2,97 плюс или минус 0,04 измервания. Трябва да помислим по-дълбоко върху този въпрос и да търсим косвени начини. Подобни търсения се оказаха плодотворни: съвременната физика вярва, че броят на измеренията на реалния свят е тясно свързан с най-дълбоките свойства на материята. Но пътят към тези идеи започна с преразглеждане на ежедневния ни опит.

Обикновено се казва, че светът, както всяко тяло, има три измерения, които съответстват на три различни посоки, да речем "височина", "ширина" и "дълбочина". Изглежда ясно, че "дълбочината", изобразена на равнината на чертежа, се свежда до "височина" и "широчина", в известен смисъл е комбинация от тях. Също така е ясно, че в реално триизмерно пространство всички мислими посоки се свеждат до някакви три предварително избрани. Но какво означава „намалено“, „са комбинация“? Къде ще са тези "широчина" и "дълбочина", ако се окажем не в правоъгълна стая, а в безтегловност някъде между Венера и Марс? И накрая, кой може да гарантира, че "ръстът", да речем, в Москва и Ню Йорк е едно и също "измерване"?

Проблемът е, че вече знаем отговора на проблема, който се опитваме да разрешим, а това далеч не винаги е полезно. Сега, ако можете да се озовете в свят, чийто брой измерения не е известен предварително, и да ги търсите едно по едно или поне да се откажете от наличното познание за реалността, за да разгледате нейните първоначални свойства в напълно нов начин.

Инструмент на математика Cobblestone

През 1915 г. френският математик Анри Лебег измисля как да определи броя на измеренията на пространството, без да използва понятията височина, ширина и дълбочина. За да разберете идеята му, достатъчно е да се вгледате внимателно в калдъръмената настилка. На него можете лесно да намерите места, където камъните се събират по три и четири. Можете да павирате улицата с квадратни плочки, които ще се прилепят една към друга на две или четири; ако вземете същите триъгълни плочки, те ще граничат с две или шест. Но нито един майстор не може да асфалтира улицата, така че калдъръмът навсякъде да се прилепва един към друг само две по две. Това е толкова очевидно, че е смешно да се предполага друго.

Математиците се различават от обикновените хора именно по това, че забелязват възможността за подобни абсурдни предположения и могат да направят изводи от тях. В нашия случай Лебег разсъждава по следния начин: повърхността на настилката, разбира се, е двуизмерна. В същото време той неизбежно има точки, където се събират поне три камъка. Нека се опитаме да обобщим това наблюдение: да кажем, че размерът на някаква област е равен на N, ако по време на нейното облицоване не е възможно да се избегне контактът на N + 1 или повече "калдъръма". Сега всеки зидар ще потвърди триизмерността на пространството: в крайна сметка, когато полагате дебела стена на няколко слоя, определено ще има точки, където ще се докоснат поне четири тухли!

Въпреки това, на пръв поглед изглежда, че може да се намери, както се изразяват математиците, "контрапример" на дефиницията на Лебег за измерение. Това е дъсчен под, при който дъските се допират точно две по две. Защо не облицовка? Следователно Лебег също изисква "камъчетата", използвани в дефиницията на измерението, да бъдат малки. Това е важна идея и ще се върнем към нея накрая от неочаквана гледна точка. И сега е ясно, че условието за малък размер на "калдъръма" спестява дефиницията на Лебег: да речем, късите паркети, за разлика от дългите дъски, в някои точки задължително ще влязат в контакт по три. Това означава, че трите измерения на пространството не са само възможността произволно да се избират някакви три „различни“ посоки в него. Трите измерения са истинско ограничение на нашите възможности, което лесно се усеща, след като си поиграете малко с кубчета или тухли.

Измерението на пространството през очите на Щирлиц

Друго ограничение, свързано с триизмерността на пространството, се усеща добре от затворник, заключен в затворническа килия (например Щирлиц в мазето на Мюлер). Как изглежда тази камера от негова гледна точка? Груби бетонни стени, плътно затворена стоманена врата - с една дума, една двуизмерна повърхност без пукнатини и дупки, обхващаща затвореното пространство, където се намира от всички страни. Наистина няма къде да отидете от такава черупка. Възможно ли е да заключите човек в едномерна верига? Представете си как Мюлер рисува кръг около Щирлиц с тебешир на пода и се прибира вкъщи: това дори не изглежда като шега.

От тези съображения се извлича още един начин за определяне на броя на измеренията на нашето пространство. Нека го формулираме по следния начин: възможно е да оградим област от N-мерно пространство от всички страни само с (N-1)-мерна "повърхност". В двумерното пространство „повърхността“ ще бъде едномерен контур, в едномерното пространство ще бъдат две нулеви точки. Това определение е измислено през 1913 г. от холандския математик Брауер, но става известно едва осем години по-късно, когато е преоткрито независимо от нашия Павел Урисон и австриеца Карл Менгер.

Тук нашите пътища с Lebeggue, Brouwer и техните колеги се разделят. Те се нуждаеха от нова дефиниция на измерението, за да изградят абстрактна математическа теория на пространства от всяко измерение до безкрайно. Това е чисто математическа конструкция, игра на човешкия ум, който е достатъчно силен дори да познае такива странни обекти като безкрайното пространство. Математиците не се опитват да открият дали наистина има неща с такава структура: това не е тяхната професия. Напротив, интересът ни към броя на измеренията на света, в който живеем, е физически: искаме да знаем колко са те в действителност и как да усетим техния брой „на собствената си кожа“. Имаме нужда от феномени, а не от чисти идеи.

Характерно е, че всички посочени примери са заимствани повече или по-малко от архитектурата. Именно тази област на човешката дейност е най-тясно свързана с космоса, както ни се струва в обикновения живот. За да се напредне по-нататък в търсенето на измеренията на физическия свят, ще е необходим изход към други нива на реалността. Те са достъпни за човека благодарение на съвременните технологии, а оттам и на физиката.

Каква е скоростта на светлината тук?

Да се върнем за кратко на Щирлиц, който беше оставен в килията. За да излезе от черупката, която надеждно го отдели от останалия триизмерен свят, той се възползва от четвъртото измерение, което не се страхува от двуизмерни бариери. А именно той помисли малко и си намери подходящо алиби. С други думи, новото мистериозно измерение, което Щирлиц използва, е времето.

Трудно е да се каже кой пръв е забелязал аналогията между времето и измеренията на пространството. Те са знаели за това още преди два века. Джоузеф Лагранж, един от създателите на класическата механика, науката за движенията на телата, я сравнява с геометрията на четириизмерния свят: сравнението му звучи като цитат от съвременна книга за общата теория на относителността.

Мисълта на Лагранж обаче е лесна за разбиране. По негово време вече са били известни графики на зависимостта на променливите от времето, като текущите кардиограми или графики на месечния ход на температурата. Такива графики се изчертават в двумерна равнина: по ординатната ос се нанася пътят, изминат от променливата, а по абсцисната ос - изминалото време. В същото време времето наистина се превръща в „още едно“ геометрично измерение. По същия начин можете да го добавите към триизмерното пространство на нашия свят.

Но наистина ли времето е като пространствени измерения? На равнината с начертаната графика има две избрани "смислени" посоки. И посоки, които не съвпадат с нито една от осите, нямат смисъл, те не изобразяват нищо. В обичайната геометрична двуизмерна равнина всички посоки са равни, няма разграничени оси.

Времето наистина може да се счита за четвърта координата само ако не се разграничава от другите посоки в четириизмерното "пространство-време". Необходимо е да се намери начин да се "завърти" пространство-времето, така че времевите и пространствените измерения да се "смесят" и да могат в определен смисъл да преминават едно в друго.

Този метод е открит от Алберт Айнщайн, който създава теорията на относителността, и Херман Минковски, който му придава строга математическа форма. Те се възползваха от факта, че в природата съществува универсална скорост скоростта на светлината.

Нека вземем две точки в пространството, всяка в свой собствен момент във времето, или две „събития“ на жаргона на теорията на относителността. Ако умножим интервала от време между тях, измерен в секунди, по скоростта на светлината, получаваме определено разстояние в метри. Ще приемем, че този въображаем сегмент е „перпендикулярен“ на пространственото разстояние между събитията и заедно те образуват „крачетата“ на някакъв правоъгълен триъгълник, чиято „хипотенуза“ е сегмент в пространство-времето, свързващ избраните събития. Минковски предложи: за да намерим квадрата на дължината на "хипотенузата" на този триъгълник, няма да добавим квадрата на дължината на "пространствения" крак към квадрата на дължината на "времевия", а да го извадим. Разбира се, това може да доведе до отрицателен резултат: тогава те считат, че "хипотенузата" има въображаема дължина! Но какъв е смисълът?

Когато една равнина се завърти, дължината на всеки сегмент, начертан върху нея, се запазва. Минковски разбра, че е необходимо да се разглеждат такива "завъртания" на пространство-времето, които запазват предложената от него "дължина" на сегментите между събитията. Ето как можете да постигнете, че скоростта на светлината в изградената теория е универсална. Ако две събития са свързани със светлинен сигнал, тогава „разстоянието на Минковски“ между тях е нула: пространственото разстояние съвпада с интервала от време, умножен по скоростта на светлината. „Въртенето“, предложено от Минковски, запазва това „разстояние“ нула, без значение колко пространство и време се смесват по време на „въртенето“.

Това не е единствената причина "дистанцията" на Минковски да има реален физически смисъл, въпреки определението, което е изключително странно за неподготвен човек. „Разстоянието“ на Минковски предоставя начин за конструиране на „геометрията“ на пространство-времето по такъв начин, че както пространствените, така и времевите интервали между събитията да могат да бъдат направени равни. Може би това е основната идея на теорията на относителността.

И така, времето и пространството на нашия свят са толкова тясно свързани помежду си, че е трудно да се разбере къде свършва едното и къде започва другото. Заедно те образуват нещо като сцена, на която се играе пиесата „Историята на Вселената”. Актьори частици материя, атоми и молекули, от които се сглобяват галактики, мъглявини, звезди, планети, а на някои планети дори живи интелигентни организми (читателят трябва да е наясно с поне една такава планета).

Въз основа на откритията на своите предшественици Айнщайн създава нова физическа картина на света, в която пространството и времето се оказват неделими едно от друго, а реалността става наистина четириизмерна. И в тази четириизмерна реалност едно от двете „фундаментални взаимодействия“, известни на науката по онова време, се „разтваря“: законът за всемирното притегляне се свежда до геометричната структура на четириизмерния свят. Но Айнщайн не може да направи нищо с друго фундаментално електромагнитно взаимодействие.

Пространство-времето придобива нови измерения

Общата теория на относителността е толкова красива и убедителна, че веднага след като стана известна, други учени се опитаха да следват същия път по-нататък. Айнщайн редуцира гравитацията до геометрия? Така че на последователите му остава да геометризират електромагнитните сили!

Тъй като Айнщайн изчерпва възможностите на четириизмерната пространствена метрика, неговите последователи започват да се опитват по някакъв начин да разширят набора от геометрични обекти, от които може да се изгради такава теория. Съвсем естествено е, че те искаха да увеличат броя на измеренията.

Но докато теоретиците се занимаваха с геометризирането на електромагнитните сили, бяха открити още две фундаментални взаимодействия - така наречените силни и слаби. Сега беше необходимо да се комбинират вече четири взаимодействия. В същото време възникнаха много неочаквани трудности, за преодоляването на които бяха измислени нови идеи, отвеждащи учените все по-далеч от визуалната физика на миналия век. Те започнаха да разглеждат модели на светове, които имат десетки и дори стотици измерения, и безкрайното пространство им беше полезно. За да се разкаже за тези търсения, ще е необходимо да се напише цяла книга. Друг въпрос е важен за нас: къде се намират всички тези нови измерения? Можем ли да ги почувстваме по същия начин, по който усещаме времето и триизмерното пространство?

Представете си дълга и много тънка тръба например, пожарен маркуч празен отвътре, намален хиляди пъти. Това е двуизмерна повърхност, но двете й измерения са неравни. Едно от тях, дължината, е лесно забележимо, това е "макроскопично" измерване. Периметърът обаче, „напречният“ размер, може да се види само под микроскоп. Съвременните многомерни модели на света са подобни на тази тръба, но имат не едно, а четири макроскопични измерения - три пространствени и едно времево. Останалите измервания в тези модели не могат да се видят дори под електронен микроскоп. За да открият техните прояви, физиците използват ускорители, много скъпи, но груби „микроскопи“ за субатомния свят.

Докато някои учени усъвършенстваха тази впечатляваща картина, преодолявайки брилянтно едно препятствие след друго, други имаха труден въпрос:

Може ли измерението да е дробно?

Защо не? За да направите това, е необходимо „просто“ да намерите ново свойство на размерност, което да го свърже с нецели числа и геометрични обекти, които имат това свойство и имат дробно измерение. Ако искаме да намерим, например, геометрична фигура, която има едно и половина измерения, тогава имаме два начина. Можете или да опитате да извадите половин измерение от 2D повърхност, или да добавите половин измерение към 1D линия. За да направите това, нека първо се упражним да добавяме или изваждаме цяло измерение.

Има такъв известен детски трик. Магьосникът взема триъгълен лист хартия, прави разрез върху него с ножица, сгъва листа по линията на разреза наполовина, прави нов разрез, сгъва отново, реже за последен път и ап! в ръцете му има гирлянд от осем триъгълника, всеки от които е напълно подобен на оригиналния, но осем пъти по-малък от него по площ (и корен квадратен осем пъти по размер). Може би този трик е бил показан през 1890 г. на италианския математик Джузепе Пеано (или може би той самият е обичал да го показва), във всеки случай, тогава той е забелязал това. Да вземем перфектна хартия, перфектна ножица и да повторим последователността на рязане и сгъване безкраен брой пъти. Тогава размерите на отделните триъгълници, получени на всяка стъпка от този процес, ще клонят към нула, а самите триъгълници ще се свиват в точки. Следователно ще получим едномерна линия от двуизмерен триъгълник, без да загубим нито един лист хартия! Ако не разтегнете тази линия в гирлянда, а я оставите като „намачкана“, както направихме при рязане, тогава тя ще запълни целия триъгълник. Освен това, без значение под какъв силен микроскоп разглеждаме този триъгълник, увеличавайки неговите фрагменти произволен брой пъти, получената картина ще изглежда абсолютно същата като неувеличена: научно казано, кривата на Пеано има една и съща структура при всички мащаби на увеличение, или е „ мащабиран инвариант".

Така че, след като се огъва безброй пъти, едномерната крива може, така да се каже, да придобие измерение две. Това означава, че има надежда, че една по-малко "намачкана" крива ще има "размер", да речем, един и половина. Но как да намерите начин за измерване на частични размери?

В дефиницията на измерението "калдъръм", както си спомня читателят, беше необходимо да се използват достатъчно малки "калдъръма", в противен случай резултатът можеше да се окаже грешен. Но ще са необходими много малки "калдъръмени камъни": колкото повече, толкова по-малък е техният размер. Оказва се, че за да се определи размерът, не е необходимо да се изследва как „калдъръмът“ се прилепва един към друг, а е достатъчно просто да се разбере как броят им нараства с намаляване на размера.

Вземете сегмент от права линия с дължина 1 дециметър и две криви на Пеано, заедно запълващи квадрат с размери дециметър по дециметър. Ще ги покрием с малки квадратни "калдъръмчета" с дължина на страната 1 сантиметър, 1 милиметър, 0,1 милиметър и така нататък до микрон. Ако изразим размера на „калдъръма“ в дециметри, тогава за сегмента се изисква броят на „калдъръма“, равен на техния размер на степен минус едно, а за кривите на Пеано на размер на степен минус две . Освен това сегментът определено има едно измерение, а кривата на Пеано, както видяхме, има две. Това не е просто съвпадение. Показателят в съотношението, свързващо броя на "калдъръмчетата" с техния размер, наистина е равен (със знак минус) на размера на фигурата, която е покрита с тях. Особено важно е показателят да може да бъде дробно число. Например, за крива, която е междинна в своята „намачканост“ между обикновена линия и понякога плътно запълваща квадрата на кривите на Пеано, стойността на експонентата ще бъде по-голяма от 1 и по-малка от 2. Това отваря пътя, по който трябва да определим дробната размери.

По този начин, например, беше определено измерението на бреговата линия на Норвегия, страна, която има много разчленена (или „намачкана“, както искате) брегова линия. Разбира се, павирането на брега на Норвегия с калдъръмени камъни не е станало на земята, а на карта от географски атлас. Резултатът (не абсолютно точен поради невъзможността на практика да се достигнат до безкрайно малки „калдъръма”) беше 1,52 плюс-минус една стотна. Ясно е, че измерението не може да бъде по-малко от едно, тъй като все пак говорим за "едномерна" линия, и повече от две, тъй като бреговата линия на Норвегия е "начертана" върху двумерната повърхност на земното кълбо .

Човекът като мярка на всички неща

Дробните измерения са добре, може да каже читателят тук, но какво общо имат те с въпроса за броя на измеренията на света, в който живеем? Може ли да се случи размерността на света да е дробна, а не точно равна на три?

Примерите с кривата на Пеано и крайбрежието на Норвегия показват, че дробно измерение се получава, ако кривата линия е силно „намачкана“, вградена в безкрайно малки гънки. Процесът на определяне на дробната размерност включва и използването на безкрайно намаляващи "калдъръма", с които покриваме изследваната крива. Следователно фракционното измерение, научно казано, може да се прояви само „в достатъчно малки мащаби“, тоест показателят в съотношението, свързващо броя на „калдъръма“ с техния размер, може да достигне своята дробна стойност само в границата. Напротив, един огромен камък може да покрие фрактал, обект с дробни размери с крайни размери е неразличим от точка.

За нас светът, в който живеем, е преди всичко мащабът, в който е достъпен за нас в ежедневната реалност. Въпреки удивителните постижения на технологията, нейните характерни размери все още се определят от остротата на нашето зрение и обхвата на нашите походки, характерните периоди от време от скоростта на нашата реакция и дълбочината на нашата памет, характерните количества енергия от силата на тези взаимодействия, в които нашето тяло влиза с околните неща. Не сме надминали много древните и струва ли си да се стремим към това? Природните и технологичните бедствия донякъде разширяват мащаба на „нашата“ реалност, но не ги правят космически. Микросветът е още по-недостъпен в нашето ежедневие. Светът, открит пред нас, е триизмерен, „гладък“ и „плосък“, той е перфектно описан от геометрията на древните гърци; постиженията на науката в крайна сметка трябва да служат не толкова за разширяване, колкото за защита на нейните граници.

И така, какъв е отговорът на хората, които чакат откриването на скритите измерения на нашия свят? Уви, единственото достъпно за нас измерение, което светът има извън трите пространствени, е времето. Малко ли е или много, старо или ново, прекрасно или обикновено? Времето е просто четвъртата степен на свобода и може да се използва по много различни начини. Нека си припомним отново същия Щирлиц, между другото, физик по образование: всеки момент има своя причина

Андрей Соболевски