е непрекъсната случайна променлива. Непрекъсната случайна променлива

§ 3. СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ

3. Непрекъснати случайни променливи.

В допълнение към дискретните случайни променливи, чиито възможни стойности образуват крайна или безкрайна последователност от числа, които не запълват напълно нито един интервал, често има случайни променливи, чиито възможни стойности образуват определен интервал. Пример за такава случайна величина е отклонението от номиналната стойност на определен размер на детайл с правилно установен технологичен процес. Този вид случайни променливи не могат да бъдат определени с помощта на закона за разпределение на вероятностите p(x). Те обаче могат да бъдат определени с помощта на функцията за разпределение на вероятностите F(x). Тази функция се дефинира точно по същия начин, както в случай на дискретна случайна променлива:

Така и тук функцията F(x)дефинирана на цялата числова ос, и нейната стойност в точката хе равна на вероятността случайната променлива да приеме стойност, по-малка от х.
Формула () и свойства 1° и 2° са валидни за функцията на разпределение на всяка случайна променлива. Доказателството се извършва подобно на случая на дискретно количество.
Случайната променлива се извиква непрекъснато, ако за него съществува неотрицателна частично-непрекъсната функция*, която удовлетворява за всякакви стойности хравенство
Въз основа на геометричния смисъл на интеграла като площ, можем да кажем, че вероятността за изпълнение на неравенствата е равна на площта на криволинейния трапец с основа ограничена отгоре с крива (фиг. 6).
Тъй като и въз основа на формулата ()
, тогава
Имайте предвид, че за непрекъсната случайна променлива функцията на разпределение F(x)непрекъснато във всяка точка х, където функцията е непрекъсната. Това следва от факта, че F(x)е диференцируем в тези точки.
Въз основа на формулата (), като се приеме х 1 = х, , ние имаме

Поради непрекъснатостта на функцията F(x)разбираме това

Следователно

По този начин, вероятността една непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност на x е нула.
От това следва, че събитията, състоящи се в изпълнението на всяко от неравенствата
, , ,
Те имат еднаква вероятност, т.е.

Наистина, напр.

защото

Коментирайте.Както знаем, ако дадено събитие е невъзможно, тогава вероятността то да се случи е нула. В класическата дефиниция на вероятността, когато броят на резултатите от теста е краен, има и обратното твърдение: ако вероятността за събитие е нула, тогава събитието е невъзможно, тъй като в този случай нито един от резултатите от теста не го благоприятства. В случай на непрекъсната случайна променлива, броят на възможните й стойности е безкраен. Вероятността тази стойност да приеме някаква конкретна стойност х 1както видяхме, е равно на нула. От това обаче не следва, че това събитие е невъзможно, тъй като в резултат на теста случайната променлива може по-специално да приеме стойността х 1. Следователно, в случай на непрекъсната случайна променлива, има смисъл да се говори за вероятността случайната променлива да попадне в интервала, а не за вероятността тя да приеме определена стойност.
Така например при производството на ролка не се интересуваме от вероятността нейният диаметър да бъде равен на номиналната стойност. За нас е важна вероятността диаметърът на ролката да не излезе извън допустимите граници.

Плътност на разпространение вероятности хизвикайте функцията f(x)е първата производна на функцията на разпределение F(x):

Концепцията за плътността на вероятностното разпределение на случайна променлива хза дискретно количество не е приложимо.

Плътност на вероятността f(x)се нарича диференциална функция на разпределение:

Имот 1.Плътността на разпределение е неотрицателна стойност:

Имот 2.Неправилният интеграл на плътността на разпределението в диапазона от до е равен на единица:

Пример 1.25.Дадена е функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива Х:

f(x).

Решение:Плътността на разпределение е равна на първата производна на функцията на разпределение:

1. Дадена е функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива Х:

Намерете плътността на разпределение.

2. Дадена е функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива Х:

Намерете плътността на разпределение f(x).

1.3. Числени характеристики на непрекъсната случайност

количества

Очаквана стойностнепрекъсната случайна променлива х, чиито възможни стойности принадлежат на цялата ос о, се определя от равенството:

Приема се, че интегралът се сближава абсолютно.

а,б), тогава:

f(x)е плътността на разпределение на случайната променлива.

дисперсия непрекъсната случайна променлива х, чиито възможни стойности принадлежат на цялата ос, се определя от равенството:

Специален случай. Ако стойностите на случайната променлива принадлежат на интервала ( а,б), тогава:

Вероятността, че хще приема стойности, принадлежащи на интервала ( а,б), се определя от равенството:

Пример 1.26.Непрекъсната случайна променлива х

Намерете математическото очакване, дисперсията и вероятността за попадение на случайна променлива хв интервала (0; 0,7).

Решение:Случайната променлива се разпределя в интервала (0,1). Нека дефинираме плътността на разпределение на непрекъсната случайна променлива х:

а) Математическо очакване :

б) Дисперсия

в)

Задачи за самостоятелна работа:

1. Случайна променлива хдадено от функцията на разпределение:

M(x);

б) дисперсия D(x);

хв интервала (2,3).

2. Случайна променлива х

Намерете: а) математическо очакване M(x);

б) дисперсия D(x);

в) определяне на вероятността за попадение на случайна променлива хв интервала (1; 1,5).

3. Случайна стойност хсе дава от интегралната функция на разпределение:

Намерете: а) математическо очакване M(x);

б) дисперсия D(x);

в) определяне на вероятността за попадение на случайна променлива хв интервала.

1.4. Закони за разпределение на непрекъсната случайна величина

1.4.1. Равномерно разпределение

Непрекъсната случайна променлива хима равномерно разпределение на интервала [ а,б], ако на този сегмент плътността на вероятностното разпределение на случайна променлива е постоянна, а извън него е равна на нула, т.е.

Ориз. четири.

; ; .

Пример 1.27.Автобус по някакъв маршрут се движи равномерно с интервал от 5 минути. Намерете вероятността една равномерно разпределена случайна променлива х– времето за изчакване на автобуса ще бъде по-малко от 3 минути.

Решение:Случайна стойност х- равномерно разпределени в интервала.

Плътност на вероятността: .

За да не бъде времето за изчакване повече от 3 минути, пътникът трябва да пристигне на спирката в рамките на 2 до 5 минути след тръгването на предишния автобус, т.е. произволна стойност хтрябва да попада в интервала (2;5). Че. желана вероятност:

Задачи за самостоятелна работа:

1. а) Намерете математическото очакване на случайна променлива хразпределени равномерно в интервала (2; 8);

б) намерете дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива Х,разпределени равномерно в интервала (2;8).

2. Минутната стрелка на електрически часовник скача в края на всяка минута. Намерете вероятността в даден момент часовникът да покаже времето, което се различава от истинското време с не повече от 20 секунди.

1.4.2. Експоненциалното (експоненциално) разпределение

Непрекъсната случайна променлива хе експоненциално разпределен, ако неговата плътност на вероятността има формата:

където е параметърът на експоненциалното разпределение.

По този начин

Ориз. 5.

Числени характеристики:

Пример 1.28.Случайна стойност х- времето на работа на електрическата крушка - има експоненциално разпределение. Определете вероятността лампата да издържи поне 600 часа, ако средният живот на лампата е 400 часа.

Решение:Според условието на задачата, математическото очакване на случайна променлива хсе равнява на 400 часа, така че:

;

Желаната вероятност , където

Накрая:

Задачи за самостоятелна работа:

1. Напишете функцията на плътност и разпределение на експоненциалния закон, ако параметърът .

2. Случайна променлива х

Намерете математическото очакване и дисперсията на дадено количество х.

3. Случайна стойност хдадено от функцията на разпределение на вероятностите:

Намерете математическото очакване и стандартното отклонение на случайна променлива.

1.4.3. Нормална дистрибуция

нормалносе нарича вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива х, чиято плътност има формата:

където а– математическо очакване, – стандартно отклонение х.

Вероятността, че хще приеме стойност, принадлежаща на интервала:

, където

е функцията на Лаплас.

Разпределение, което има ; , т.е. с плътност на вероятността наречен стандартен.

Ориз. 6.

Вероятността абсолютната стойност на отклонението да е по-малка от положително число:

По-специално, когато а= 0 равенството е вярно:

Пример 1.29.Случайна стойност хразпределени нормално. Стандартно отклонение . Намерете вероятността отклонението на случайна променлива от нейното математическо очакване по абсолютна стойност да бъде по-малко от 0,3.

Решение: .

Задачи за самостоятелна работа:

1. Напишете плътността на вероятността за нормалното разпределение на случайна променлива х, знаейки това M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Математическо очакване и стандартно отклонение на нормално разпределена случайна променлива хса съответно 20 и 5. Намерете вероятността в резултат на теста хще приеме стойността, съдържаща се в интервала (15;20).

3. Случайните грешки при измерване са предмет на нормалния закон със стандартно отклонение mm и математическо очакване а= 0. Намерете вероятността грешката на поне едно от 3 независими измервания да не надвишава 4 mm по абсолютна стойност.

4. Някои вещества се претеглят без систематични грешки. Случайните грешки при претеглянето се подчиняват на нормалния закон със стандартно отклонение r. Намерете вероятността претеглянето да се извърши с грешка, която не надвишава 10 g по абсолютна стойност.

Функцията на разпределение в този случай, съгласно (5.7), ще приеме формата:

където: m е математическото очакване, s е стандартното отклонение.

Нормалното разпределение се нарича още гаусово на името на немския математик Гаус. Фактът, че една случайна променлива има нормално разпределение с параметри: m,, се означава по следния начин: N (m, s), където: m =a =M ;

Доста често във формулите математическото очакване се означава с а . Ако една случайна променлива е разпределена по закона N(0,1), тогава тя се нарича нормализирана или стандартизирана нормална стойност. Функцията на разпределение за него има формата:

Графиката на плътността на нормалното разпределение, която се нарича нормална крива или крива на Гаус, е показана на фиг. 5.4.

Ориз. 5.4. Нормална плътност на разпределение

На пример се разглежда определянето на числените характеристики на случайна променлива по нейната плътност.

Пример 6.

Непрекъсната случайна променлива се дава от плътността на разпределение: .

Определете вида на разпределението, намерете математическото очакване M(X) и дисперсията D(X).

Сравнявайки дадената плътност на разпределение с (5.16), можем да заключим, че е даден нормалният закон на разпределение с m =4. Следователно, математическо очакване M(X)=4, дисперсия D(X)=9.

Стандартно отклонение s=3.

Функцията на Лаплас, която има формата:

е свързано с функцията на нормалното разпределение (5.17) чрез връзката:

F 0 (x) \u003d F (x) + 0,5.

Функцията на Лаплас е странна.

Ф(-x)=-Ф(x).

Стойностите на функцията на Лаплас Ф(х) са таблични и взети от таблицата според стойността на x (вижте Приложение 1).

Нормалното разпределение на непрекъсната случайна променлива играе важна роля в теорията на вероятностите и в описанието на реалността, то е широко разпространено в случайните природни явления. На практика много често има случайни величини, които се формират именно в резултат на сумирането на много случайни членове. По-специално, анализът на грешките при измерване показва, че те са сбор от различни видове грешки. Практиката показва, че вероятностното разпределение на грешките при измерване е близко до нормалния закон.

С помощта на функцията на Лаплас могат да се решават задачи за изчисляване на вероятността за попадане в даден интервал и дадено отклонение на нормална случайна променлива.

СЛУЧАЙНИ СТОЙНОСТИ

Пример 2.1.Случайна стойност хдаден от функцията на разпределение

Намерете вероятността, че в резултат на теста хще приема стойности между (2,5; 3,6).

Решение: хв интервала (2.5; 3.6) може да се определи по два начина:

Пример 2.2.При какви стойности на параметрите НОи ATфункция Е(х) = A + Be - xможе да бъде функция на разпределение за неотрицателни стойности на случайна променлива х.

Решение:Тъй като всички възможни стойности на случайната променлива хпринадлежат на интервала , тогава за да може функцията да бъде функция на разпределение за х, имотът трябва да съдържа:

Отговор: .

Пример 2.3.Случайната променлива X е дадена от функцията на разпределение

Намерете вероятността, че в резултат на четири независими опита стойността хточно 3 пъти ще приеме стойност, принадлежаща на интервала (0,25; 0,75).

Решение:Вероятност за достигане на стойност хв интервала (0,25; 0,75) намираме по формулата:

Пример 2.4.Вероятността топката да удари коша при едно хвърляне е 0,3. Начертайте закона за разпределение на броя на ударите в три хвърляния.

Решение:Случайна стойност х- броят на ударите в коша с три хвърляния - може да приема стойности: 0, 1, 2, 3. Вероятностите, че х

х:

Пример 2.5.Двама стрелци правят един изстрел в целта. Вероятността да го уцелите от първия стрелец е 0,5, втория - 0,4. Запишете закона за разпределение на броя на попаденията в целта.

Решение:Намерете закона за разпределение на дискретна случайна променлива х- броят на попаденията в целта. Нека събитието е попадение в целта от първия стрелец, и - попадение от втория стрелец, и - съответно техните пропуски.

Нека съставим закона за разпределение на вероятностите на SV х:

Пример 2.6.Тестват се 3 елемента, работещи независимо един от друг. Продължителностите на време (в часове) на безотказна работа на елементите имат функции на плътност на разпределение: за първия: Е 1 (T) =1-д- 0,1 T, за второто: Е 2 (T) = 1-д- 0,2 T, за третото: Е 3 (T) =1-д- 0,3 T. Намерете вероятността, че в интервала от 0 до 5 часа: само един елемент ще се повреди; само два елемента ще се повредят; и трите елемента се провалят.

Решение:Нека използваме дефиницията на генериращата функция на вероятностите:

Вероятността, че в независими опити, в първия от които вероятността за настъпване на събитие НОе равно на , във второто и т.н., събитието НОсе появява точно веднъж, е равен на коефициента при в разлагането на генериращата функция по степени на . Да намерим вероятностите за повреда и неповреда съответно на първия, втория и третия елемент в интервала от 0 до 5 часа:

Нека създадем генерираща функция:

Коефициентът при е равен на вероятността събитието НОще се появи точно три пъти, тоест вероятността от повреда и на трите елемента; коефициентът при е равен на вероятността точно два елемента да се повредят; коефициентът при е равен на вероятността само един елемент да се повреди.

Пример 2.7.Като се има предвид плътност на вероятността f(х) случайна величина х:

Намерете функцията на разпределение F(x).

Решение:Използваме формулата:

Така функцията на разпределение има формата:

Пример 2.8.Устройството се състои от три независимо работещи елемента. Вероятността за повреда на всеки елемент в един експеримент е 0,1. Съставете закона за разпределение на броя на неуспешните елементи в един експеримент.

Решение:Случайна стойност х- броят на елементите, които са се провалили в един експеримент - може да приеме стойностите: 0, 1, 2, 3. Вероятности, че хприема тези стойности, намираме по формулата на Бернули:

По този начин получаваме следния закон за разпределение на вероятността на случайна променлива х:

Пример 2.9.Има 4 стандартни части в партида от 6 части. 3 елемента бяха избрани на случаен принцип. Съставете закона за разпределение на броя на стандартните части между избраните.

Решение:Случайна стойност х- броя на стандартните части сред избраните - може да приема стойности: 1, 2, 3 и има хипергеометрично разпределение. Вероятностите, че х

където -- броя на частите в партидата;

-- броя на стандартните части в партидата;

– брой избрани части;

-- броя на стандартните части сред избраните.

Пример 2.10.Случайната променлива има плътност на разпределение

където и не са известни, но , a и . Намерете и.

Решение:В този случай случайната променлива хима триъгълно разпределение (разпределение на Симпсън) на интервала [ а, б]. Числени характеристики х:

Следователно, . Решавайки тази система, получаваме две двойки стойности: . Тъй като, според условието на проблема, накрая имаме: .

Отговор: .

Пример 2.11.Средно при 10% от договорите застрахователната компания изплаща застрахователните суми във връзка с настъпването на застрахователно събитие. Изчислете математическото очакване и дисперсията на броя на такива договори сред четири произволно избрани.

Решение:Математическото очакване и дисперсията могат да бъдат намерени с помощта на формулите:

Възможни стойности на SV (брой договори (от четири) с настъпване на застрахователно събитие): 0, 1, 2, 3, 4.

Използваме формулата на Бернули, за да изчислим вероятностите за различен брой договори (от четири), за които са изплатени застрахователните суми:

Серията за разпределение на CV (броят на договорите с настъпване на застрахователно събитие) има формата:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Отговор: , .

Пример 2.12.От петте рози две са бели. Напишете закон за разпределение на случайна променлива, изразяваща броя на белите рози сред две, взети едновременно.

Решение:В проба от две рози може или да няма бяла роза, или да има една или две бели рози. Следователно, случайната променлива хможе да приема стойности: 0, 1, 2. Вероятностите, че хприема тези стойности, намираме по формулата:

където -- брой рози;

-- брой бели рози;

– броят на едновременно взетите рози;

-- броя на белите рози сред взетите.

Тогава законът за разпределение на случайна променлива ще бъде както следва:

Пример 2.13.От 15-те сглобени единици 6 се нуждаят от допълнително смазване. Начертайте закона за разпределение на броя на единиците, нуждаещи се от допълнително смазване, между пет произволно избрани от общия брой.

Решение:Случайна стойност х- брой звена, които се нуждаят от допълнително смазване сред петте избрани - може да приема стойности: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и има хипергеометрично разпределение. Вероятностите, че хприема тези стойности, намираме по формулата:

където -- броя на сглобените единици;

-- брой единици, изискващи допълнително смазване;

– броя на избраните агрегати;

-- броя на единиците, които се нуждаят от допълнително смазване сред избраните.

Тогава законът за разпределение на случайна променлива ще бъде както следва:

Пример 2.14.От постъпилите за ремонт 10 часовника 7 имат нужда от генерално почистване на механизма. Часовниците не са сортирани по вид ремонт. Майсторът, който иска да намери часовник, който се нуждае от почистване, ги преглежда един по един и след като намери такъв часовник, спира по-нататъшното гледане. Намерете математическото очакване и дисперсията на броя гледани часове.

Решение:Случайна стойност х- броя на единиците, които се нуждаят от допълнително смазване сред петте избрани - може да приеме следните стойности: 1, 2, 3, 4. Вероятностите, че хприема тези стойности, намираме по формулата:

Тогава законът за разпределение на случайна променлива ще бъде както следва:

Сега нека изчислим числените характеристики на количеството:

Отговор: , .

Пример 2.15.Абонатът е забравил последната цифра от телефонния номер, от който се нуждае, но помни, че е нечетен. Намерете математическото очакване и дисперсията на броя набирания, които е направил, преди да удари желаното число, ако набере последната цифра на случаен принцип и не набере набраната цифра в бъдеще.

Решение:Случайната променлива може да приема стойности: . Тъй като абонатът не набира набраната цифра в бъдеще, вероятностите за тези стойности са равни.

Нека съставим серия на разпределение на случайна променлива:


	0,2

Нека изчислим математическото очакване и дисперсията на броя опити за набиране:

Отговор: , .

Пример 2.16.Вероятността от повреда по време на тестовете за надеждност за всяко устройство от серията е равна на стр. Определете математическото очакване на броя устройства, които са се повредили, ако са тествани нуреди.

Решение:Дискретната случайна променлива X е броят на повредените устройства ннезависими тестове, при всеки от които вероятността за провал е равна на п,разпределени по биномния закон. Математическото очакване на биномното разпределение е равно на произведението от броя опити и вероятността събитие да се случи в едно изпитване:

Пример 2.17.Дискретна случайна променлива хприема 3 възможни стойности: с вероятност ; с вероятност и с вероятност . Намерете и знаейки, че M( х) = 8.

Решение:Ние използваме дефинициите на математическото очакване и закона за разпределение на дискретна случайна променлива:

Намираме: .

Пример 2.18.Отделът за технически контрол проверява продуктите за стандартност. Вероятността артикулът да е стандартен е 0,9. Всяка партида съдържа 5 елемента. Намерете математическото очакване на случайна променлива х- броя на партидите, всяка от които съдържа точно 4 стандартни продукта, ако 50 партиди подлежат на проверка.

Решение:В този случай всички проведени експерименти са независими и вероятностите всяка партида да съдържа точно 4 стандартни продукта са еднакви, следователно математическото очакване може да се определи по формулата:

къде е броят на партиите;

Вероятността една партида да съдържа точно 4 стандартни елемента.

Намираме вероятността с помощта на формулата на Бернули:

Отговор: .

Пример 2.19.Намерете дисперсията на случайна променлива х– брой появявания на събитието Ав две независими изпитвания, ако вероятностите за настъпване на събитие в тези изпитвания са еднакви и е известно, че М(х) = 0,9.

Решение:Проблемът може да се реши по два начина.

1) Възможни стойности на CB х: 0, 1, 2. Използвайки формулата на Бернули, ние определяме вероятностите за тези събития:

, , .

След това законът за разпределение хизглежда като:

От дефиницията на математическото очакване определяме вероятността:

Нека намерим дисперсията на SW х:

2) Можете да използвате формулата:

Отговор: .

Пример 2.20.Математическо очакване и стандартно отклонение на нормално разпределена случайна променлива хса съответно 20 и 5. Намерете вероятността в резултат на теста хще приеме стойността, съдържаща се в интервала (15; 25).

Решение:Вероятност за попадение на нормална случайна променлива хна участъка от до се изразява чрез функцията на Лаплас:

Пример 2.21.Дадена функция:

При каква стойност на параметъра ° Стази функция е плътността на разпределение на някаква непрекъсната случайна променлива х? Намерете математическото очакване и дисперсията на случайна променлива х.

Решение:За да бъде функцията плътност на разпределение на някаква случайна променлива, тя трябва да е неотрицателна и трябва да отговаря на свойството:

Следователно:

Изчислете математическото очакване по формулата:

Изчислете дисперсията по формулата:

Т е стр. Необходимо е да се намери математическото очакване и дисперсията на тази случайна променлива.

Решение:Законът за разпределение на дискретна случайна променлива X - броят на случаите на събитие в независими опити, при всяко от които вероятността за възникване на събитие е , се нарича бином. Математическото очакване на биномното разпределение е равно на произведението от броя опити и вероятността за настъпване на събитие А в едно изпитване:

Пример 2.25.Произвеждат се три независими изстрела по целта. Вероятността за уцелване на всеки удар е 0,25. Определете стандартното отклонение на броя на попаденията с три изстрела.

Решение:Тъй като се извършват три независими опита и вероятността за възникване на събитието A (попадение) във всяко изпитание е една и съща, ще приемем, че дискретната случайна променлива X - броят на попаденията в целта - е разпределена според бинома закон.

Дисперсията на биномното разпределение е равна на произведението на броя опити и вероятностите за настъпване и ненастъпване на събитие в едно изпитване:

Пример 2.26.Средният брой клиенти, посещаващи застрахователната компания за 10 минути, е трима. Намерете вероятността поне един клиент да пристигне през следващите 5 минути.

Среден брой клиенти, пристигащи за 5 минути: . .

Пример 2.29.Времето за изчакване на приложение в опашката на процесора се подчинява на експоненциален закон на разпределение със средна стойност 20 секунди. Намерете вероятността следващата (произволна) заявка да изчака процесора повече от 35 секунди.

Решение:В този пример очакването , а степента на отказ е .

Тогава желаната вероятност е:

Пример 2.30.Група от 15 студенти провежда среща в зала с 20 реда по 10 места. Всеки ученик заема произволно място в залата. Каква е вероятността не повече от трима души да са на седмо място в редицата?

Решение:

Пример 2.31.

Тогава според класическата дефиниция на вероятността:

където -- броя на частите в партидата;

-- броя на нестандартните части в партидата;

– брой избрани части;

-- броя на нестандартните части сред избраните.

Тогава законът за разпределение на случайната променлива ще бъде както следва.

Непрекъснатите случайни променливи имат безкраен брой възможни стойности. Поради това е невъзможно да се въведе серия за разпространение за тях.

Вместо вероятността случайната променлива X да приеме стойност, равна на x, т.е. p(X = x), помислете за вероятността X да приеме стойност, по-малка от x, т.е. P(X< х).

Въвеждаме нова характеристика на случайните променливи - функцията на разпределение и разглеждаме нейните свойства.

Функцията на разпределение е най-универсалната характеристика на случайна променлива. Може да се дефинира както за дискретни, така и за непрекъснати случайни променливи:

F(x) = p(X< x).

Свойства на функцията на разпределение.

Функцията на разпределение е ненамаляваща функция на своя аргумент, т.е. ако:

При минус безкрайност функцията на разпределение е нула:

При плюс безкрайност функцията на разпределение е равна на едно:

Вероятността случайна променлива да попадне в даден интервал се определя по формулата:

Функцията f(x), която е равна на производната на функцията на разпределение, се нарича плътност на вероятността на случайна променлива X или плътност на разпределение:

Нека изразим вероятността за уцелване на участъка b до c чрез f(x). Тя е равна на сумата от вероятностните елементи в този раздел, т.е. интеграл:

От тук можем да изразим функцията на разпределение по отношение на плътността на вероятността:

Свойства на плътността на вероятността.

Плътността на вероятността е неотрицателна функция (тъй като функцията на разпределение е ненамаляваща функция):

Плътност вероятно

sti е непрекъсната функция.

Интегралът в безкрайни граници на плътността на вероятността е равен на 1:

Плътността на вероятността има размерността на случайна променлива.

Математическо очакване и дисперсия на непрекъсната случайна променлива

Значението на математическото очакване и дисперсията остава същото, както в случая на дискретни случайни променливи. Формата на формулите за намирането им се променя чрез замяна:

След това получаваме формули за изчисляване на математическото очакване и дисперсията на непрекъсната случайна променлива:

Пример. Функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива се дава от:

Намерете стойността на a, плътността на вероятността, вероятността за попадане на сайта (0,25-0,5), математическото очакване и дисперсията.

Тъй като функцията на разпределение F(x) е непрекъсната, тогава за x = 1 ax2 = 1, следователно a = 1.

Плътността на вероятността се намира като производна на функцията на разпределение:

Изчисляването на вероятността за попадение в дадена област може да се извърши по два начина: с помощта на функцията на разпределение и с помощта на плътността на вероятността.

1-ви начин. Използваме формулата за намиране на вероятността чрез функцията на разпределение:
2-ри начин. Използваме формулата за намиране на вероятността чрез плътността на вероятността:

Намиране на математическото очакване:

Намиране на дисперсията:

Равномерно разпределение

Помислете за непрекъсната случайна променлива X, чиито възможни стойности лежат в определен интервал и са еднакво вероятни.

Плътността на вероятността на такава случайна променлива ще бъде:

където c е някаква константа.

Графиката на плътността на вероятността ще се покаже, както следва:

Изразяваме параметъра c чрез b и c. За да направим това, използваме факта, че интегралът на плътността на вероятността за целия регион трябва да бъде равен на 1:

Плътност на разпределение на равномерно разпределена случайна променлива

Намерете функцията на разпределение:

Функция на разпределение на равномерно разпределена случайна променлива

Нека начертаем функцията на разпределение:

Нека изчислим математическото очакване и дисперсията на случайна променлива, подчиняваща се на равномерно разпределение.

Тогава стандартното отклонение ще изглежда така:

Нормално (гаусово) разпределение

Непрекъсната случайна променлива X се нарича нормално разпределена с параметри a, y > 0, ако има плътност на вероятността:

Кривата на разпределение на случайна променлива има формата:

Тест 2

Задача 1. Съставете закона за разпределение на дискретна случайна променлива X, изчислете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива.

Опция 1

QCD проверява продуктите за стандартизация. Вероятността артикулът да е стандартен е 0,7. 20 тествани артикула. Намерете закона за разпределение на случайната величина X - броя на стандартните продукти сред тестваните. Изчислете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива.

Вариант 2

В урната има 4 топки, на които са посочени точки 2; четири; 5; 5. На случаен принцип се тегли топка. Намерете закона за разпределение на случайна величина X - броя на точките върху нея. Изчислете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива.

Вариант 3

Ловецът стреля по дивеча, докато уцели, но не може да стреля повече от три изстрела. Вероятността за уцелване на всеки удар е 0,6. Съставете закона за разпределение на случайната величина X - броят на изстрелите на стрелеца. Изчислете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива.

Вариант 4

Вероятността за превишаване на зададената точност на измерването е 0,4. Съставете закона за разпределение на случайна величина X - броя на грешките при 10 измервания. Изчислете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива.

Вариант 5

Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,45. Произведени са 20 изстрела. Съставете закона за разпределение на случайна величина Х - броят на попаденията. Изчислете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива.

Вариант 6

Продуктите на определена фабрика съдържат 5% от брака. Направете закон за разпределение на случайна променлива X - броят на дефектните продукти сред пет, взети за късмет. Изчислете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива.

Вариант 7

Необходимите на монтажника части са в три от петте кутии. Монтажникът отваря кутиите, докато намери правилните части. Съставете закона за разпределение на случайна величина X - броят на отворените кутии. Изчислете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива.

Вариант 8

Една урна съдържа 3 черни и 2 бели топки. Последователно извличане на топки без връщане се извършва, докато се появи черно. Съставете закона за разпределение на случайна величина Х - броя на извадените топчета. Изчислете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива.

Вариант 9

Ученикът знае 15 въпроса от 20. В билета има 3 въпроса. Съставете закона за разпределение на случайна величина X - броя на въпросите, познати на ученика в билета. Изчислете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива.

Вариант 10

Има 3 електрически крушки, всяка от които има дефект с вероятност 0,4. При включване дефектиралата крушка изгаря и се заменя с друга. Направете закон за разпределение за случайна променлива X - броят на тестваните лампи. Изчислете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива.

Задача 2. Случайната величина X е зададена от функцията на разпределение F(X). Намерете плътността на разпределението, математическото очакване, дисперсията, а също и вероятността случайна променлива да попадне в интервала (b, c). Построете графики на функциите F(X) и f(X).

Опция 1