Намерете производната на корена от x. Намерете производната: алгоритъм и примери за решения

Инструкции

Преди да намерите производната на корена, обърнете внимание на другите функции, присъстващи в решавания пример. Ако проблемът има много радикални изрази, използвайте следното правило за намиране на производната на квадратния корен:

(√x)" = 1 / 2√x.

И за да намерите производната на кубичния корен, използвайте формулата:

(³√x)" = 1 / 3(³√x)²,

където ³√x означава кубичен корен от x.

Ако, предназначена за диференциране, има променлива във fractional, тогава преобразувайте корена в степенна функция с подходящия показател. За квадратен корен това ще бъде степен на ½, а за кубичен корен ще бъде ⅓:

√x = x^½,
³√х = x ^ ⅓,

където ^ означава степенуване.

За да намерите производната на степенна функция като цяло и x^1, x^⅓ в частност, използвайте следното правило:

(x^n)" = n * x^(n-1).

За производната на корен тази връзка предполага:

(x^½)" = ½ x ^ (-½) и
(x^⅓)" = ⅓ x ^ (-⅔).

След като разграничите всичко, разгледайте внимателно останалата част от примера. Ако имате много тромав израз в отговора си, тогава вероятно можете да го опростите. Повечето училищни примери са структурирани по такъв начин, че крайният резултат е малко число или компактен израз.

В много задачи с производни корените (квадрат и куб) се намират заедно с други функции. За да намерите производната на корена в този случай, използвайте следните правила:
производната на константа (константно число, C) е равна на нула: C" = 0;
постоянният фактор се изважда от знака за производна: (k*f)" = k * (f)" (f е произволна функция);
производната на сумата от няколко функции е равна на сумата от производните: (f + g)" = (f)" + (g)";
производната на произведението на две функции е равна на... не, не произведението на производните, а следния израз: (fg)" = (f)"g + f (g)";
производната на частното също не е равна на частното на производните, а се намира съгласно следното правило: (f/g)" = ((f)"g – f(g)") / g².

Забележка

На тази страница можете да изчислите производната на функция онлайн и да получите подробно решение на проблема. Решаването на производните на функция се извършва с помощта на правилата за диференциране, които студентите изучават в курса на математическия анализ в института. За да намерите производната на функция, трябва да въведете функцията за диференциране в полето "Функция" съгласно правилата за въвеждане на данни.

Полезен съвет

Производната на функция е границата на отношението на нарастването на функция към нарастването на аргумента, когато нарастването на аргумента клони към нула: Математическото значение на това определение не е много лесно за разбиране, тъй като в училище курс по алгебра понятието граница на функция или не се изучава изобщо или се изучава много повърхностно. Но за да се научите как да намирате производни на различни функции, това не е необходимо.

източници:

• производен корен на x

1. Общ случай на формулата за производна на корен от произволна степен- дроб, в числителя на която има единица, а в знаменателя число, равно на степента на корена, за който е изчислена производната, умножена по корена на същата степен, чийто радикален израз е променлива в степента на корена, за която е изчислена производната, намалена с единица
2. Производна на квадратен корен- е частен случай на предишната формула. Производна на корен квадратен от xе дроб, чийто числител е едно, а знаменателят е два пъти корен квадратен от x
3. Производно на кубичен корен, също частен случай на общата формула. Производната на кубичен корен е единица, разделена на три кубични корена от x на квадрат.

По-долу са дадени трансформации, които обясняват защо формулите за намиране на производните на квадратни и кубични корени са точно същите, както е показано на фигурата.

Разбира се, изобщо не е нужно да помните тези формули, ако вземете предвид, че извличането на корен от производна степен е същото като повдигането на дроб, чийто знаменател е равен на същата степен. Тогава намирането на производната на корена се свежда до прилагане на формулата за намиране на производната на степента на съответната дроб.

Производна на променлива под корен квадратен

Обяснение:
(√x)" = (x 1/2)"

Квадратният корен е точно същата операция като повдигането на степен 1/2,Това означава, че за да намерите производната на корен, можете да приложите формулата от правилото за намиране на производната на променлива към произволна степен:

(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

Производна на кубичен корен (производна на трети корен)

Нека си представим кубичния корен като степен на 1/3 и намерим производната, използвайки общите правила за диференциране. Кратката формула може да се види на снимката по-горе, а по-долу има обяснение защо това е така.

Степента -2/3 се получава чрез изваждане на 1 от 1/3

Извеждане на формулата за производна на степенна функция (x на степен a). Разглеждат се производни от корени на x. Формула за производната на степенна функция от по-висок порядък. Примери за изчисляване на производни.

Вижте също: Степенна функция и корени, формули и графика
Графики на степенна функция

Основни формули

Производната на x на степен a е равна на a по x на степен минус едно:
(1) .

Производната на n-тия корен от x на m-та степен е:
(2) .

Извеждане на формулата за производна на степенна функция

Случай x > 0

Да разгледаме степенна функция на променливата x с експонента a:
(3) .
Тук a е произволно реално число. Нека първо разгледаме случая.

За да намерим производната на функция (3), използваме свойствата на степенна функция и я трансформираме в следната форма:
.

Сега намираме производната, използвайки:
;
.
Тук .

Формула (1) е доказана.

Извеждане на формулата за производна на корен от степен n от x на степен m

Сега разгледайте функция, която е корен на следната форма:
(4) .

За да намерим производната, трансформираме корена в степенна функция:
.
Сравнявайки с формула (3), виждаме, че
.
Тогава
.

Използвайки формула (1), намираме производната:
(1) ;
;
(2) .

На практика не е необходимо да запомняте формула (2). Много по-удобно е първо да трансформирате корените в степенни функции и след това да намерите техните производни, като използвате формула (1) (вижте примерите в края на страницата).

Случай x = 0

Ако , тогава степенната функция е дефинирана за стойността на променливата x = 0 . Нека намерим производната на функция (3) при x = 0 . За да направим това, използваме определението за производно:
.

Нека заместим x = 0 :
.
В този случай под производна имаме предвид дясната граница, за която .

Така открихме:
.
От това става ясно, че за , .
В , .
В , .
Този резултат се получава и от формула (1):
(1) .
Следователно формула (1) е валидна и за x = 0 .

Случай x< 0

Разгледайте отново функция (3):
(3) .
За определени стойности на константата a се определя и за отрицателни стойности на променливата x. А именно, нека a е рационално число. Тогава тя може да бъде представена като несъкратима дроб:
,
където m и n са цели числа, които нямат общ делител.

Ако n е нечетно, тогава степенната функция също е дефинирана за отрицателни стойности на променливата x. Например, когато n = 3 и m = 1 имаме кубичен корен от x:
.
Дефинира се и за отрицателни стойности на променливата x.

Нека намерим производната на степенната функция (3) за и за рационални стойности на константата a, за която е дефинирана. За да направите това, нека представим x в следната форма:
.
Тогава ,
.
Намираме производната, като поставим константата извън знака на производната и приложим правилото за диференциране на сложна функция:

.
Тук . Но
.
От тогава
.
Тогава
.
Тоест формула (1) е валидна и за:
(1) .

Производни от по-висок порядък

Сега нека намерим производни от по-висок порядък на степенната функция
(3) .
Вече намерихме производната от първи ред:
.

Като вземем константата a извън знака на производната, намираме производната от втори ред:
.
По същия начин намираме производни от трети и четвърти ред:
;

.

От това става ясно, че производна от произволен n-ти редима следната форма:
.

забележи това ако a е естествено число, тогава n-тата производна е константа:
.
Тогава всички следващи производни са равни на нула:
,
при .

Примери за изчисляване на производни

Пример

Намерете производната на функцията:
.

Нека преобразуваме корените в степени:
;
.
Тогава оригиналната функция приема формата:
.

Намиране на производни на степени:
;
.
Производната на константата е нула:
.

Операцията за намиране на производната се нарича диференциране.

В резултат на решаването на задачи за намиране на производни на най-простите (и не много прости) функции чрез дефиниране на производната като граница на съотношението на увеличението към увеличението на аргумента, се появи таблица с производни и точно определени правила за диференциране . Първите, които работят в областта на намирането на производни, са Исак Нютон (1643-1727) и Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716).

Следователно, в наше време, за да намерите производната на която и да е функция, не е необходимо да изчислявате горепосочената граница на съотношението на увеличението на функцията към увеличението на аргумента, а трябва само да използвате таблицата на производни и правилата за диференциране. Следният алгоритъм е подходящ за намиране на производната.

За намиране на производната, имате нужда от израз под главния знак разделят прости функции на компонентии определя какви действия (продукт, сбор, частно)тези функции са свързани. След това намираме производните на елементарни функции в таблицата с производни, а формулите за производните на произведението, сумата и частното - в правилата за диференциране. Таблицата за производни и правилата за диференциране са дадени след първите два примера.

Пример 1.Намерете производната на функция

Решение. От правилата за диференциране откриваме, че производната на сума от функции е сумата от производните на функциите, т.е.

От таблицата на производните откриваме, че производната на "х" е равна на единица, а производната на синус е равна на косинус. Ние заместваме тези стойности в сумата от производните и намираме производната, изисквана от условието на проблема:

Пример 2.Намерете производната на функция

Решение. Ние диференцираме като производна на сума, в която вторият член има постоянен фактор; той може да бъде изваден от знака на производната:

Ако все пак възникнат въпроси за това откъде идва нещо, те обикновено се изясняват след запознаване с таблицата на производните и най-простите правила за диференциране. В момента преминаваме към тях.

Таблица с производни на прости функции

1. Производна на константа (число). Всяко число (1, 2, 5, 200...), което е в израза на функцията. Винаги равно на нула. Това е много важно да запомните, тъй като се изисква много често
2. Производна на независимата променлива. Най-често "Х". Винаги равно на едно. Това също е важно да запомните за дълго време
3. Производна на степен. Когато решавате задачи, трябва да преобразувате неквадратни корени в степени.
4. Производна на променлива на степен -1
5. Производна на квадратен корен
6. Производна на синус
7. Производна на косинус
8. Производна на тангенс
9. Производна на котангенс
10. Производна на арксинус
11. Производна на аркосинус
12. Производна на арктангенс
13. Производна на аркотангенс
14. Производна на натурален логаритъм
15. Производна на логаритмична функция
16. Производна на показателя
17. Производна на експоненциална функция

Правила за диференциране

1. Производна на сбор или разлика
2. Производна на продукта
2а. Производна на израз, умножен по постоянен множител
3. Производна на частното
4. Производна на сложна функция

Правило 1.Ако функциите

са диференцируеми в дадена точка, тогава функциите са диференцируеми в същата точка

и

тези. производната на алгебрична сума от функции е равна на алгебричната сума на производните на тези функции.

Последица. Ако две диференцируеми функции се различават с постоянен член, тогава техните производни са равни, т.е.

Правило 2.Ако функциите

са диференцируеми в дадена точка, тогава техният продукт е диференцируем в същата точка

и

тези. Производната на произведението на две функции е равна на сумата от произведенията на всяка от тези функции и производната на другата.

Следствие 1. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на производната:

Следствие 2. Производната на произведението на няколко диференцируеми функции е равна на сумата от произведенията на производната на всеки фактор и всички останали.

Например за три множителя:

Правило 3.Ако функциите

диференцируеми в даден момент И , тогава в този момент тяхното частно също е диференцируемоu/v и

тези. производната на частното на две функции е равна на дроб, чийто числител е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя и производната на знаменателя, а знаменателят е квадратът на бившият числител.

Къде да търсите неща на други страници

При намиране на производната на произведение и частно в реални задачи винаги е необходимо да се прилагат няколко правила за диференциране наведнъж, така че в статията има повече примери за тези производни"Производна на произведение и частно на функции".

Коментирайте.Не трябва да бъркате константа (т.е. число) като член в сума и като постоянен фактор! При член производната му е равна на нула, а при постоянен множител се изважда от знака на производните. Това е типична грешка, която се случва в началния етап на изучаване на производни, но когато средностатистическият ученик реши няколко примера от една и две части, той вече не допуска тази грешка.

И ако, когато диференцирате продукт или коефициент, имате член u"v, в който u- число, например 2 или 5, тоест константа, тогава производната на това число ще бъде равна на нула и следователно целият термин ще бъде равен на нула (този случай е разгледан в пример 10).

Друга често срещана грешка е механичното решаване на производната на сложна функция като производна на проста функция. Ето защо производна на сложна функцияе посветена отделна статия. Но първо ще се научим да намираме производни на прости функции.

По пътя не можете да правите без трансформиране на изрази. За да направите това, може да се наложи да отворите ръководството в нови прозорци. Действия със сили и корениИ Действия с дроби .

Ако търсите решения за производни на дроби със степени и корени, т.е. когато функцията изглежда като , след това следвайте урока „Производна на суми от дроби със степени и корени.“

Ако имате задача като , тогава ще вземете урока „Производни на прости тригонометрични функции“.

Примери стъпка по стъпка - как да намерим производната

Пример 3.Намерете производната на функция

Решение. Дефинираме частите на израза на функцията: целият израз представлява продукт, а неговите множители са суми, във втория от които един от членовете съдържа постоянен множител. Прилагаме правилото за диференциране на продукта: производната на произведението на две функции е равна на сумата от произведенията на всяка от тези функции по производната на другата:

След това прилагаме правилото за диференциране на сумата: производната на алгебричната сума от функции е равна на алгебричната сума на производните на тези функции. В нашия случай във всяка сума вторият член има знак минус. Във всяка сума виждаме както независима променлива, чиято производна е равна на единица, така и константа (число), чиято производна е равна на нула. И така, "X" се превръща в едно, а минус 5 се превръща в нула. Във втория израз "x" се умножава по 2, така че умножаваме две по същата единица като производната на "x". Получаваме следните производни стойности:

Заместваме намерените производни в сумата от продуктите и получаваме производната на цялата функция, изисквана от условието на проблема:

И можете да проверите решението на проблема с производната на.

Пример 4.Намерете производната на функция

Решение. От нас се изисква да намерим производната на частното. Прилагаме формулата за диференциране на частното: производната на частното на две функции е равна на дроб, чийто числител е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя и производната на знаменател, а знаменателят е квадрат на предишния числител. Получаваме:

Вече намерихме производната на множителите в числителя в пример 2. Нека също така не забравяме, че произведението, което е вторият множител в числителя в настоящия пример, се приема със знак минус:

Ако търсите решения на задачи, в които трябва да намерите производната на функция, където има непрекъсната купчина корени и степени, като например , тогава добре дошли в класа "Производна на суми от дроби със степени и корени" .

Ако трябва да научите повече за производните на синусите, косинусите, тангенсите и други тригонометрични функции, т.е. когато функцията изглежда като , тогава урок за вас "Производни на прости тригонометрични функции" .

Пример 5.Намерете производната на функция

Решение. В тази функция виждаме произведение, един от множителите на което е корен квадратен от независимата променлива, с чиято производна се запознахме в таблицата с производни. Използвайки правилото за диференциране на произведението и табличната стойност на производната на корен квадратен, получаваме:

Можете да проверите решението на проблема с производната на онлайн калкулатор на деривати .

Пример 6.Намерете производната на функция

Решение. В тази функция виждаме частно, чийто дивидент е корен квадратен от независимата променлива. Използвайки правилото за диференциране на частните, което повторихме и приложихме в пример 4, и табличната стойност на производната на корен квадратен, получаваме:

За да се отървете от дроб в числителя, умножете числителя и знаменателя по .

Функциите от сложен тип не винаги отговарят на определението за сложна функция. Ако има функция от вида y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, тогава тя не може да се счита за сложна, за разлика от y = sin 2 x.

Тази статия ще покаже концепцията за сложна функция и нейната идентификация. Нека работим с формули за намиране на производната с примери за решения в заключението. Използването на таблицата за производни и правилата за диференциране значително намалява времето за намиране на производната.

Основни определения

Сложна функция е тази, чийто аргумент също е функция.

Означава се така: f (g (x)). Имаме, че функцията g (x) се счита за аргумент f (g (x)).

Определение 2

Ако има функция f и тя е функция котангенс, тогава g(x) = ln x е функцията натурален логаритъм. Откриваме, че комплексната функция f (g (x)) ще бъде записана като arctg(lnx). Или функция f, която е функция, повдигната на 4-та степен, където g (x) = x 2 + 2 x - 3 се счита за цяла рационална функция, получаваме, че f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Очевидно g(x) може да бъде комплексно. От примера y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 става ясно, че стойността на g има корен кубичен от дробта. Този израз може да се означи като y = f (f 1 (f 2 (x))). Откъдето имаме, че f е синусова функция и f 1 е функция, разположена под корен квадратен, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 е дробна рационална функция.

Определение 3

Степента на вложеност се определя от всяко естествено число и се записва като y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Определение 4

Концепцията за композиция на функции се отнася до броя на вложените функции според условията на проблема. За да решите, използвайте формулата за намиране на производната на сложна функция от формата

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Примери

Намерете производната на сложна функция от вида y = (2 x + 1) 2.

Решение

Условието показва, че f е квадратна функция и g(x) = 2 x + 1 се счита за линейна функция.

Нека приложим формулата за производна за сложна функция и напишем:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Необходимо е да се намери производната с опростена оригинална форма на функцията. Получаваме:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Оттук нататък имаме това

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Резултатите бяха същите.

При решаването на задачи от този тип е важно да се разбере къде ще се намира функцията на формата f и g (x).

Пример 2

Трябва да намерите производните на сложни функции във формата y = sin 2 x и y = sin x 2.

Решение

Първата нотация на функцията казва, че f е функцията за повдигане на квадрат, а g(x) е функцията синус. Тогава разбираме това

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Вторият запис показва, че f е синусова функция, а g(x) = x 2 означава степенна функция. От това следва, че записваме произведението на сложна функция като

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Формулата за производната y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) ще бъде записана като y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) ))) )) · . . . fn "(x)

Пример 3

Намерете производната на функцията y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Решение

Този пример показва трудността при писане и определяне на местоположението на функциите. Тогава y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) означава, където f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) е синусовата функция, функцията за повишаване до 3 степен, функция с логаритъм и основа e, арктангенс и линейна функция.

От формулата за дефиниране на сложна функция имаме това

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Получаваме това, което трябва да намерим

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) като производна на синуса според таблицата с производни, след това f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) като производна на степенна функция, тогава f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) като логаритмична производна, тогава f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) като производна на арктангенса, тогава f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Когато намирате производната f 4 (x) = 2 x, премахнете 2 от знака на производната, като използвате формулата за производна на степенна функция с показател, равен на 1, след което f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Комбинираме междинните резултати и получаваме това

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Анализът на такива функции напомня на кукли за гнездене. Правилата за диференциране не винаги могат да се прилагат изрично с помощта на производна таблица. Често трябва да използвате формула за намиране на производни на сложни функции.

Има някои разлики между сложния външен вид и сложните функции. С ясна способност да разграничите това, намирането на производни ще бъде особено лесно.

Пример 4

Необходимо е да се обмисли даването на такъв пример. Ако има функция от формата y = t g 2 x + 3 t g x + 1, тогава тя може да се разглежда като сложна функция от формата g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Очевидно е необходимо да се използва формулата за сложна производна:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Функция под формата y = t g x 2 + 3 t g x + 1 не се счита за сложна, тъй като има сумата от t g x 2, 3 t g x и 1. Обаче t g x 2 се счита за сложна функция, тогава получаваме степенна функция от вида g (x) = x 2 и f, която е допирателна функция. За да направите това, диференцирайте по количество. Разбираме това

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Нека да преминем към намиране на производната на сложна функция (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Получаваме, че y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Функциите от сложен тип могат да бъдат включени в сложни функции, а самите сложни функции могат да бъдат компоненти на функции от сложен тип.

Пример 5

Например, разгледайте сложна функция от формата y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Тази функция може да бъде представена като y = f (g (x)), където стойността на f е функция на логаритъм с основа 3, а g (x) се счита за сумата от две функции във формата h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 и k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Очевидно y = f (h (x) + k (x)).

Да разгледаме функцията h(x). Това е отношението l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 към m (x) = e x 2 + 3 3

Имаме, че l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) е сумата от две функции n (x) = x 2 + 7 и p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , където p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) е комплексна функция с числов коефициент 3, а p 1 е кубична функция, p 2 чрез косинусова функция, p 3 (x) = 2 x + 1 чрез линейна функция.

Открихме, че m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) е сумата от две функции q (x) = e x 2 и r (x) = 3 3, където q (x) = q 1 (q 2 (x)) е сложна функция, q 1 е експоненциална функция, q 2 (x) = x 2 е степенна функция.

Това показва, че h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Когато се премине към израз на формата k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), е ясно, че функцията е представена под формата на комплекс s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) с цяло рационално число t (x) = x 2 + 1, където s 1 е квадратна функция, а s 2 (x) = ln x е логаритмична с база e.

От това следва, че изразът ще приеме формата k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Тогава разбираме това

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Въз основа на структурите на функцията стана ясно как и какви формули трябва да се използват за опростяване на израза при диференцирането му. За да се запознаете с такива проблеми и за концепцията за тяхното решение, е необходимо да се обърнете към точката на диференциране на функция, тоест намиране на нейната производна.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter