Изследване на функцията y 4x x 2. Задачи от сборника на Кузнецов Л

Решател Кузнецов.
III Графики

Задача 7. Проведете пълно изследване на функцията и построете нейната графика.

        Преди да започнете да изтегляте вашите опции, опитайте да разрешите проблема според примера, даден по-долу за опция 3. Някои от опциите са архивирани във формат .rar

        7.3 Извършете пълно изследване на функцията и я начертайте

Решение.

        1) Обхват на дефиницията:         или        , тоест        .
.
Така:         .

        2) Няма пресечни точки с оста Ox. Наистина, уравнението         няма решения.
Няма пресечни точки с оста Oy, тъй като        .

        3) Функцията не е нито четна, нито нечетна. Няма симетрия спрямо ординатната ос. Няма и симетрия относно произхода. защото
.
Виждаме, че         и        .

        4) Функцията е непрекъсната в областта на дефиницията
.

; .

; .
Следователно точката         е точка на прекъсване от втори род (безкрайно прекъсване).

5) Вертикални асимптоти:       

Нека намерим наклонената асимптота        . Тук

;
.
Следователно имаме хоризонтална асимптота: y=0. Няма наклонени асимптоти.

        6) Нека намерим първата производна. Първа производна:
.
И ето защо
.
Нека намерим стационарни точки, където производната е равна на нула, т.е
.

        7) Нека намерим втората производна. Втора производна:
.
И това е лесно да се провери, тъй като

Как да изследваме функция и да изградим нейната графика?

Като че ли започвам да разбирам духовно проницателния лик на вожда на световния пролетариат, автор на събрани съчинения в 55 тома... Дългото пътуване започна с основна информация за функции и графики, а сега работата по трудоемка тема завършва с логичен резултат – статия за цялостно изследване на функцията. Дългоочакваната задача е формулирана по следния начин:

Изучете функция с помощта на методи на диференциално смятане и изградете нейната графика въз основа на резултатите от изследването

Или накратко: разгледайте функцията и изградете графика.

Защо да изследваме?В прости случаи няма да ни е трудно да разберем елементарните функции, да начертаем графика, получена с помощта елементарни геометрични трансформациии така нататък. Свойствата и графичните представяния на по-сложни функции обаче далеч не са очевидни, поради което е необходимо цялостно изследване.

Основните стъпки на решението са обобщени в референтния материал Схема за изследване на функцията, това е вашето ръководство за раздела. Манекените се нуждаят от стъпка по стъпка обяснение на дадена тема, някои читатели не знаят откъде да започнат или как да организират своето изследване, а напредналите студенти може да се интересуват само от няколко точки. Но който и да сте, скъпи посетителю, предложеното резюме с указатели към различни уроци бързо ще ви ориентира и насочи в посоката, която ви интересува. Роботите ронят сълзи =) Ръководството беше представено като pdf файл и зае полагащото му се място на страницата Математически формули и таблици.

Свикнал съм да разделям изследването на функция на 5-6 точки:

6) Допълнителни точки и графика въз основа на резултатите от изследването.

Що се отнася до крайното действие, мисля, че всичко е ясно за всички - ще бъде много разочароващо, ако след няколко секунди то бъде задраскано и задачата бъде върната за преработка. ПРАВИЛЕН И ТОЧЕН ЧЕРТЕЖ е основният резултат от решението! Има вероятност да „прикрие“ аналитичните грешки, докато неправилният и/или невнимателен график ще създаде проблеми дори при перфектно проведено изследване.

Трябва да се отбележи, че в други източници броят на изследователските точки, редът на тяхното изпълнение и стилът на проектиране може да се различават значително от предложената от мен схема, но в повечето случаи това е напълно достатъчно. Най-простата версия на проблема се състои само от 2-3 етапа и е формулирана по следния начин: „изследване на функцията с помощта на производната и изграждане на графика“ или „изследване на функцията с помощта на 1-ви и 2-ри производни, изграждане на графика“.

Естествено, ако вашето ръководство описва подробно друг алгоритъм или вашият учител стриктно изисква да се придържате към неговите лекции, тогава ще трябва да направите някои корекции в решението. Не по-трудно от замяната на вилицата на резачката с лъжица.

Нека проверим функцията за четно/нечетно:

Това е последвано от шаблонен отговор:
, което означава, че тази функция не е четна или нечетна.

Тъй като функцията е непрекъсната на , няма вертикални асимптоти.

Няма и наклонени асимптоти.

Забележка : Напомням ви, че по-високото ред на растеж, отколкото , следователно крайната граница е точно „ плюсбезкрайност."

Нека разберем как се държи функцията в безкрайност:

С други думи, ако отидем надясно, тогава графиката отива безкрайно нагоре, ако отидем наляво, тя отива безкрайно надолу. Да, има и два лимита за един запис. Ако имате затруднения с дешифрирането на знаците, моля, посетете урока за безкрайно малки функции.

Така че функцията не се ограничава отгореИ не се ограничава отдолу. Като се има предвид, че нямаме точки на прекъсване, става ясно функционален диапазон: – също всяко реално число.

ПОЛЕЗНА ТЕХНИЧЕСКА ТЕХНИКА

Всеки етап от задачата носи нова информация за графиката на функцията, следователно, по време на решението е удобно да се използва вид LAYOUT. Нека начертаем декартова координатна система върху чернова. Какво вече се знае със сигурност? Първо, графиката няма асимптоти, следователно няма нужда да рисувате прави линии. Второ, знаем как се държи функцията в безкрайност. Според анализа правим първо приближение:

Моля, имайте предвид, че поради приемствености факта, че графиката трябва да пресича оста поне веднъж. Или може би има няколко пресечни точки?

3) Нули на функцията и интервали с постоянен знак.

Първо, нека намерим пресечната точка на графиката с ординатната ос. Просто е. Необходимо е да се изчисли стойността на функцията при:

Един и половина надморска височина.

За да намерим точките на пресичане с оста (нули на функцията), трябва да решим уравнението и тук ни очаква неприятна изненада:

Има свободен член, който дебне в края, което прави задачата много по-трудна.

Такова уравнение има поне един реален корен и най-често този корен е ирационален. В най-лошата приказка ни очакват трите прасенца. Уравнението е разрешимо с помощта на т.нар Кардано формули, но увреждането на хартията е сравнимо с почти цялото изследване. В това отношение е по-разумно да се опитате да изберете поне един, устно или на чернова. цялокорен. Нека проверим дали тези числа са:
- неподходящ;
- Има!

Късметлия тук. В случай на неуспех можете също да тествате и ако тези числа не пасват, страхувам се, че има много малък шанс за печелившо решение на уравнението. Тогава е по-добре да пропуснете напълно изследователската точка - може би нещо ще стане по-ясно на последната стъпка, когато ще бъдат пробити допълнителни точки. И ако коренът (ите) е очевидно „лош“, тогава е по-добре да останете скромно мълчаливи за интервалите на постоянство на знаците и да рисувате по-внимателно.

Въпреки това имаме красив корен, така че разделяме полинома без остатък:

Алгоритъмът за деление на полином на полином е разгледан подробно в първия пример от урока Комплексни граници.

В резултат на това лявата страна на първоначалното уравнение се разлага на продукта:

А сега малко за здравословния начин на живот. Разбира се, разбирам това квадратни уравнениятрябва да се решава всеки ден, но днес ще направим изключение: уравнението има два реални корена.

Нека начертаем намерените стойности на числовата ос И интервален методНека дефинираме признаците на функцията:


og По този начин, на интервалите графикът се намира
под оста x и на интервалите – над тази ос.

Констатациите ни позволяват да прецизираме нашето оформление и второто приближение на графиката изглежда така:

Моля, обърнете внимание, че една функция трябва да има поне един максимум на интервал и поне един минимум на интервал. Но все още не знаем колко пъти, къде и кога графикът ще се завърти. Между другото, една функция може да има безкрайно много крайности.

4) Нарастване, намаляване и екстремуми на функцията.

Нека намерим критичните точки:

Това уравнение има два реални корена. Нека ги поставим на числовата ос и определим знаците на производната:


Следователно функцията се увеличава с и намалява с .
В момента функцията достига своя максимум: .
В момента функцията достига минимум: .

Установените факти поставят нашия шаблон в доста твърда рамка:

Излишно е да казвам, че диференциалното смятане е мощно нещо. Нека най-накрая разберем формата на графиката:

5) Изпъкналост, вдлъбнатост и точки на инфлексия.

Нека намерим критичните точки на втората производна:

Нека дефинираме знаците:


Графиката на функцията е изпъкнала на и вдлъбната на . Нека изчислим ординатата на инфлексната точка: .

Почти всичко стана ясно.

6) Остава да намерите допълнителни точки, които ще ви помогнат по-точно да изградите графика и да извършите самопроверка. В този случай те са малко, но няма да ги пренебрегнем:

Да направим чертежа:

Точката на инфлексия е маркирана в зелено, допълнителни точки са маркирани с кръстове. Графиката на кубична функция е симетрична спрямо нейната инфлексна точка, която винаги е разположена точно в средата между максимума и минимума.

С напредването на задачата предоставих три хипотетични междинни чертежа. На практика е достатъчно да начертаете координатна система, да маркирате намерените точки и след всяка точка на изследване мислено да прецените как може да изглежда графиката на функцията. За студентите с добро ниво на подготовка няма да е трудно да извършат такъв анализ само в главите си, без да включват чернова.

За да го решите сами:

Пример 2

Разгледайте функцията и изградете графика.

Тук всичко е по-бързо и по-забавно, приблизителен пример за окончателния дизайн в края на урока.

Изследването на дробни рационални функции разкрива много тайни:

Пример 3

Използвайте методите на диференциалното смятане, за да изследвате функция и въз основа на резултатите от изследването да построите нейната графика.

Решение: първият етап от изследването не се отличава с нищо забележително, с изключение на дупка в областта на дефиницията:

1) Функцията е дефинирана и непрекъсната на цялата числова ос с изключение на точката, домейн: .

, което означава, че тази функция не е четна или нечетна.

Очевидно е, че функцията е непериодична.

Графиката на функцията представлява два непрекъснати клона, разположени в лявата и дясната полуравнина - това е може би най-важният извод от точка 1.

2) Асимптоти, поведението на функция в безкрайност.

а) Използвайки едностранни граници, изследваме поведението на функцията близо до подозрителна точка, където трябва ясно да има вертикална асимптота:

Действително функциите издържат безкрайна празнинав точката
а правата линия (ос) е вертикална асимптотаграфични изкуства.

б) Да проверим дали съществуват наклонени асимптоти:

Да, прав е наклонена асимптотаграфики, ако.

Няма смисъл да анализираме границите, тъй като вече е ясно, че функцията обхваща своята наклонена асимптота не се ограничава отгореИ не се ограничава отдолу.

Втората изследователска точка даде много важна информация за функцията. Нека направим груба скица:

Извод № 1 се отнася до интервали с постоянен знак. При „минус безкрайност“ графиката на функцията е ясно разположена под оста x, а при „плюс безкрайност“ е над тази ос. В допълнение, едностранните граници ни казаха, че и отляво, и отдясно на точката функцията също е по-голяма от нула. Моля, имайте предвид, че в лявата полуравнина графиката трябва да пресича оста x поне веднъж. Може да няма никакви нули на функцията в дясната полуравнина.

Извод № 2 е, че функцията нараства от и вляво от точката (върви „отдолу нагоре“). Вдясно от тази точка функцията намалява (отива „отгоре надолу“). Десният клон на графиката със сигурност трябва да има поне един минимум. Отляво крайностите не са гарантирани.

Заключение № 3 дава надеждна информация за вдлъбнатината на графиката в близост до точката. Все още не можем да кажем нищо за изпъкналост/вдлъбнатост в безкрайности, тъй като една линия може да бъде притисната към своята асимптота както отгоре, така и отдолу. Най-общо казано, има аналитичен начин да разберете това точно сега, но формата на графиката ще стане по-ясна на по-късен етап.

Защо толкова много думи? За да контролирате следващите изследователски точки и да избегнете грешки! Допълнителните изчисления не трябва да противоречат на направените заключения.

3) Точки на пресичане на графиката с координатните оси, интервали с постоянен знак на функцията.

Графиката на функцията не пресича оста.

Използвайки интервалния метод, ние определяме знаците:

, Ако ;
, Ако .

Резултатите от тази точка са в пълно съответствие със Заключение №1. След всеки етап погледнете черновата, мислено проверете изследването и попълнете графиката на функцията.

В разглеждания пример числителят се разделя термин по термин от знаменателя, което е много полезно за диференциация:

Всъщност това вече е направено при намирането на асимптоти.

- критична точка.

Нека дефинираме знаците:

се увеличава с и намалява с

В момента функцията достига минимум: .

Нямаше и несъответствия със заключение № 2 и най-вероятно сме на прав път.

Това означава, че графиката на функцията е вдлъбната по цялата област на дефиниция.

Страхотно - и не е нужно да рисувате нищо.

Няма инфлексни точки.

Вдлъбнатостта е в съответствие с извод № 3, освен това показва, че в безкрайността (и там, и там) графиката на функцията се намира по-високнеговата наклонена асимптота.

6) Добросъвестно ще фиксираме задачата с допълнителни точки. Това е мястото, където ще трябва да работим усилено, тъй като знаем само две точки от изследването.

И една картина, която много хора вероятно са си представяли преди много време:

По време на изпълнението на задачата трябва внимателно да се уверите, че няма противоречия между етапите на изследването, но понякога ситуацията е спешна или дори отчаяно задънена. Анализите „не се събират“ - това е всичко. В този случай препоръчвам спешна техника: намираме възможно най-много точки, които принадлежат на графиката (колкото търпение имаме), и ги маркираме в координатната равнина. Графичният анализ на намерените стойности в повечето случаи ще ви каже къде е истината и къде е лъжата. В допълнение, графиката може да бъде предварително изградена с помощта на някаква програма, например в Excel (разбира се, това изисква умения).

Пример 4

Използвайте методи на диференциално смятане, за да изследвате функция и да построите нейната графика.

Това е пример, който можете да решите сами. При него самоконтролът се засилва от четността на функцията - графиката е симетрична спрямо оста и ако в изследването ви нещо противоречи на този факт, потърсете грешка.

Четна или нечетна функция може да се изучава само при и след това да се използва симетрията на графиката. Това решение е оптимално, но според мен изглежда много необичайно. Лично аз гледам цялата числова линия, но все още намирам допълнителни точки само вдясно:

Пример 5

Проведете пълно изследване на функцията и постройте нейната графика.

Решение: нещата станаха трудни:

1) Функцията е дефинирана и непрекъсната на цялата числова ос: .

Това означава, че тази функция е нечетна, нейната графика е симетрична спрямо началото.

Очевидно е, че функцията е непериодична.

2) Асимптоти, поведението на функция в безкрайност.

Тъй като функцията е непрекъсната на , няма вертикални асимптоти

За функция, съдържаща експонента, е типично отделноизучаване на „плюс“ и „минус на безкрайността“, но животът ни е улеснен от симетрията на графиката - или има асимптота и отляво, и отдясно, или няма. Следователно и двете безкрайни граници могат да бъдат записани под един запис. По време на разтвора, който използваме Правилото на L'Hopital:

Правата линия (ос) е хоризонталната асимптота на графиката при .

Моля, обърнете внимание как хитро избегнах пълния алгоритъм за намиране на наклонената асимптота: границата е напълно законна и изяснява поведението на функцията в безкрайност, а хоризонталната асимптота беше открита „като че ли по едно и също време“.

От непрекъснатостта на и наличието на хоризонтална асимптота следва, че функцията ограничен отгореИ ограничен отдолу.

3) Точки на пресичане на графиката с координатните оси, интервали с постоянен знак.

Тук също съкращаваме решението:
Графиката минава през началото.

Няма други точки на пресичане с координатните оси. Освен това интервалите на постоянство на знака са очевидни и не е необходимо да се чертае оста: , което означава, че знакът на функцията зависи само от "x":
, Ако ;
, Ако .

4) Нарастване, намаляване, екстремуми на функцията.


– критични точки.

Точките са симетрични спрямо нулата, както трябва да бъде.

Нека определим знаците на производната:


Функцията расте на интервал и намалява на интервали

В момента функцията достига своя максимум: .

Заради имота (странността на функцията) минимумът не трябва да се изчислява:

Тъй като функцията намалява през интервала, тогава, очевидно, графиката се намира на „минус безкрайност“ поднеговата асимптота. В интервала функцията също намалява, но тук е обратното - след преминаване през максималната точка правата се доближава до оста отгоре.

От горното също следва, че графиката на функцията е изпъкнала при „минус безкрайност“ и вдлъбната при „плюс безкрайност“.

След тази точка на изследване беше изчертан диапазонът от стойности на функцията:

Ако имате някакви неразбирания по някакви точки, отново ви призовавам да начертаете координатни оси в тетрадката си и с молив в ръцете си анализирайте отново всяко заключение от задачата.

5) Изпъкналост, вдлъбнатост, прегъвания на графиката.

– критични точки.

Симетрията на точките е запазена и най-вероятно не грешим.

Нека дефинираме знаците:


Графиката на функцията е изпъкнала на и вдлъбнат на .

Изпъкналостта/вдлъбнатостта в екстремните интервали беше потвърдена.

Във всички критични точки има пречупвания в графиката. Нека намерим ординатите на точките на инфлексия и отново намалим броя на изчисленията, използвайки странността на функцията:

Ако задачата изисква пълно изследване на функцията f (x) = x 2 4 x 2 - 1 с изграждането на нейната графика, тогава ще разгледаме този принцип подробно.

За да решите задача от този тип, трябва да използвате свойствата и графиките на основните елементарни функции. Алгоритъмът на изследване включва следните стъпки:

Намиране на областта на дефиницията

Тъй като се провеждат изследвания в областта на дефиниране на функцията, е необходимо да се започне с тази стъпка.

Пример 1

Даденият пример включва намиране на нулите на знаменателя, за да бъдат изключени от ОДЗ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

В резултат на това можете да получите корени, логаритми и т.н. Тогава ODZ може да се търси за корен от четна степен от тип g (x) 4 по неравенството g (x) ≥ 0, за логаритъм log a g (x) по неравенството g (x) > 0.

Изследване на границите на ODZ и намиране на вертикални асимптоти

На границите на функцията има вертикални асимптоти, когато едностранните граници в такива точки са безкрайни.

Пример 2

Например, разгледайте граничните точки, равни на x = ± 1 2.

След това е необходимо да се изследва функцията за намиране на едностранната граница. Тогава получаваме, че: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Това показва, че едностранните граници са безкрайни, което означава, че правите линии x = ± 1 2 са вертикалните асимптоти на графиката.

Изследване на функция и дали тя е четна или нечетна

Когато условието y (- x) = y (x) е изпълнено, функцията се счита за четна. Това предполага, че графиката е разположена симетрично по отношение на Oy. Когато условието y (- x) = - y (x) е изпълнено, функцията се счита за нечетна. Това означава, че симетрията е относителна към началото на координатите. Ако поне едно неравенство не е изпълнено, получаваме функция от общ вид.

Равенството y (- x) = y (x) показва, че функцията е четна. При конструирането е необходимо да се вземе предвид, че ще има симетрия по отношение на Oy.

За решаване на неравенството се използват интервали на нарастване и намаляване с условията f " (x) ≥ 0 и f " (x) ≤ 0, съответно.

Определение 1

Стационарни точки- това са точките, които превръщат производната в нула.

Критични точки- това са вътрешни точки от областта на дефиниране, където производната на функцията е равна на нула или не съществува.

При вземане на решение трябва да се вземат предвид следните бележки:

• за съществуващи интервали на нарастващи и намаляващи неравенства от вида f " (x) > 0, критичните точки не са включени в решението;
• точките, в които функцията е дефинирана без крайна производна, трябва да бъдат включени в интервалите на нарастване и намаляване (например y = x 3, където точката x = 0 прави функцията дефинирана, производната има стойност на безкрайност в този момент точка, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 е включен в нарастващия интервал);
• За да се избегнат разногласия, се препоръчва използването на математическа литература, препоръчана от Министерството на образованието.

Включване на критични точки в интервали на нарастване и намаляване, ако те удовлетворяват областта на дефиниране на функцията.

Определение 2

За определяне на интервалите на нарастване и намаляване на функция, е необходимо да се намери:

• производно;
• критични точки;
• разделяне на дефиниционната област на интервали, като се използват критични точки;
• определете знака на производната на всеки от интервалите, където + е увеличение, а - е намаление.

Пример 3

Намерете производната в областта на дефиницията f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Решение

За да решите трябва:

• намерете стационарни точки, този пример има x = 0;
• намерете нулите на знаменателя, примерът приема стойност нула при x = ± 1 2.

Поставяме точки върху числовата ос, за да определим производната на всеки интервал. За да направите това, достатъчно е да вземете всяка точка от интервала и да извършите изчисление. Ако резултатът е положителен, изобразяваме + на графиката, което означава, че функцията нараства, а - означава, че намалява.

Например f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, което означава, че първият интервал отляво има знак +. Помислете върху числовата ос.

Отговор:

• функцията нараства на интервала - ∞; - 1 2 и (- 1 2 ; 0 ] ;
• има намаляване на интервала [ 0 ; 1 2) и 1 2 ; + ∞ .

На диаграмата с помощта на + и - са изобразени положителността и отрицателността на функцията, а стрелките показват намаляване и нарастване.

Точките на екстремум на функция са точките, в които функцията е дефинирана и през които производната променя знака.

Пример 4

Ако разгледаме пример, където x = 0, тогава стойността на функцията в него е равна на f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Когато знакът на производната се промени от + на - и минава през точката x = 0, тогава точката с координати (0; 0) се счита за максимална точка. Когато знакът се промени от - на +, получаваме минимална точка.

Изпъкналостта и вдлъбнатостта се определят чрез решаване на неравенства от формата f "" (x) ≥ 0 и f "" (x) ≤ 0. По-рядко се използва името изпъкналост надолу вместо вдлъбнатина и изпъкналост нагоре вместо изпъкналост.

Определение 3

За определяне на интервалите на вдлъбнатост и изпъкналостнеобходимо:

• намерете втората производна;
• намерете нулите на втората производна на функцията;
• разделете дефиниционната област на интервали с появяващите се точки;
• определяне на знака на интервала.

Пример 5

Намерете втората производна от областта на дефиницията.

Решение

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Намираме нулите на числителя и знаменателя, където в нашия пример имаме, че нулите на знаменателя x = ± 1 2

Сега трябва да начертаете точките на числовата права и да определите знака на втората производна от всеки интервал. Разбираме това

Отговор:

• функцията е изпъкнала от интервала - 1 2 ; 12 ;
• функцията е вдлъбната от интервалите - ∞ ; - 1 2 и 1 2; + ∞ .

Определение 4

Инфлексна точка– това е точка от вида x 0 ; f (x 0) . Когато има допирателна към графиката на функцията, тогава когато премине през x 0, функцията променя знака на противоположния.

С други думи, това е точка, през която преминава втората производна и сменя знака, като в самите точки тя е равна на нула или не съществува. Всички точки се считат за домейн на функцията.

В примера беше ясно, че няма точки на инфлексия, тъй като втората производна променя знака, докато преминава през точките x = ± 1 2. Те от своя страна не влизат в обхвата на определението.

Намиране на хоризонтални и наклонени асимптоти

Когато дефинирате функция в безкрайност, трябва да търсите хоризонтални и наклонени асимптоти.

Определение 5

Наклонени асимптотиса изобразени с помощта на прави линии, дадени от уравнението y = k x + b, където k = lim x → ∞ f (x) x и b = lim x → ∞ f (x) - k x.

За k = 0 и b, което не е равно на безкрайност, откриваме, че наклонената асимптота става хоризонтална.

С други думи, асимптотите се считат за линии, към които графиката на функция се приближава в безкрайност. Това улеснява бързото изграждане на функционална графика.

Ако няма асимптоти, но функцията е дефинирана и при двете безкрайности, е необходимо да се изчисли границата на функцията при тези безкрайности, за да се разбере как ще се държи графиката на функцията.

Пример 6

Да разгледаме като пример това

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

е хоризонтална асимптота. След като разгледате функцията, можете да започнете да я конструирате.

Изчисляване на стойността на функция в междинни точки

За да направите графиката по-точна, се препоръчва да намерите няколко функционални стойности в междинни точки.

Пример 7

От примера, който разгледахме, е необходимо да се намерят стойностите на функцията в точките x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Тъй като функцията е четна, получаваме, че стойностите съвпадат със стойностите в тези точки, т.е. получаваме x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Нека напишем и решим:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

За да се определят максимумите и минимумите на функцията, точките на инфлексия и междинните точки, е необходимо да се построят асимптоти. За удобно обозначаване се записват интервали на нарастване, намаляване, изпъкналост и вдлъбнатина. Нека погледнем снимката по-долу.

Необходимо е да начертаете линии на графиката през маркираните точки, което ще ви позволи да се приближите до асимптотите, като следвате стрелките.

Това приключва пълното изследване на функцията. Има случаи на конструиране на някои елементарни функции, за които се използват геометрични трансформации.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

От известно време насам вградената база данни със сертификати за SSL на TheBat спря да работи коректно (не е ясно по каква причина).

При проверка на публикацията се появява грешка:

Неизвестен CA сертификат
Сървърът не е представил основен сертификат в сесията и съответният основен сертификат не е намерен в адресната книга.
Тази връзка не може да бъде тайна. Моля те
свържете се с вашия администратор на сървъра.

И ви се предлага избор от отговори - ДА / НЕ. И така всеки път, когато премахвате поща.

Решение

В този случай трябва да замените стандарта за внедряване на S/MIME и TLS с Microsoft CryptoAPI в настройките на TheBat!

Тъй като трябваше да комбинирам всички файлове в един, първо конвертирах всички doc файлове в един pdf файл (с помощта на програмата Acrobat) и след това го прехвърлих във fb2 чрез онлайн конвертор. Можете също да конвертирате файлове поотделно. Форматите могат да бъдат абсолютно всякакви (източник) - doc, jpg и дори zip архив!

Името на сайта отговаря на същността :) Онлайн фотошоп.

Актуализация май 2015 г

Намерих още един страхотен сайт! Още по-удобен и функционален за създаване на изцяло персонализиран колаж! Това е сайтът http://www.fotor.com/ru/collage/. Насладете му се за ваше здраве. И сам ще го използвам.

В живота си се натъкнах на проблема с ремонта на електрическа печка. Вече направих много неща, научих много, но някак си имах малко общо с плочките. Наложи се подмяна на контактите на регулаторите и горелките. Възникна въпросът - как да се определи диаметърът на горелката на електрическа печка?

Отговорът се оказа лесен. Не е необходимо да измервате нищо, лесно можете да определите на око какъв размер ви трябва.

Най-малката горелка- това е 145 милиметра (14,5 сантиметра)

Средна горелка- това е 180 милиметра (18 сантиметра).

И накрая най голяма горелка- това е 225 милиметра (22,5 сантиметра).

Достатъчно е да определите размера на око и да разберете какъв диаметър имате нужда от горелката. Когато не знаех това, се притеснявах за тези размери, не знаех как да измервам, кой ръб да навигирам и т.н. Сега съм помъдряла :) Дано съм помогнала и на вас!

В живота си се сблъсках с такъв проблем. Мисля, че не съм единственият.