Деление на цели числа с остатък, правила, примери. Деление с остатък
Признаци за делимост на числата- това са правила, които ви позволяват сравнително бързо да разберете, без да разделяте, дали това число се дели на дадено число без остатък.
Някои от признаци на делимостдоста прости, някои по-сложни. На тази страница ще намерите както признаци за делимост на прости числа, като например 2, 3, 5, 7, 11, така и признаци за делимост на съставни числа, като 6 или 12.
Надявам се, че тази информация ще ви бъде полезна.
Приятно учене!
Тест за делимост на 2
Това е един от най-простите признаци за делимост. Звучи така: ако записът на естествено число завършва с четна цифра, то е четен (дели се без остатък на 2), а ако записът на естествено число завършва с нечетна цифра, тогава това число е нечетно .
С други думи, ако последната цифра на числото е 2
, 4
, 6
, 8
или 0
- числото се дели на 2, ако не, значи не се дели
Например числата: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
се делят на 2, защото са четни.
А числа: 23 5
, 137
, 2303
Те не се делят на 2, защото са нечетни.
Тест за делимост на 3
Този знак за делимост има съвсем други правила: ако сумата от цифрите на едно число се дели на 3, то числото се дели на 3; Ако сумата от цифрите на едно число не се дели на 3, то числото не се дели на 3.
Това означава, че за да разберете дали едно число се дели на 3, трябва просто да съберете числата, които го съставляват.
Изглежда така: 3987 и 141 се делят на 3, защото в първия случай 3+9+8+7= 27
(27:3=9 - дели се на 3), а във втория 1+4+1= 6
(6:3=2 - също се дели на 3).
Но числата: 235 и 566 не се делят на 3, защото 2+3+5= 10
и 5+6+6= 17
(и знаем, че нито 10, нито 17 се делят на 3 без остатък).
Тест за делимост на 4
Този знак за делимост ще бъде по-сложен. Ако последните 2 цифри на едно число образуват число, делящо се на 4 или то е 00, то числото се дели на 4, в противен случай даденото число не се дели на 4 без остатък.
Например: 1 00
и 3 64
се делят на 4, защото в първия случай числото завършва на 00
, а във втория на 64
, което от своя страна се дели на 4 без остатък (64:4=16)
Числа 3 57
и 8 86
не се делят на 4, защото нито едно от двете 57
нито едно 86
не се делят на 4, което означава, че не отговарят на този критерий за делимост.
Тест за делимост на 5
И отново, имаме доста прост знак за делимост: ако записът на едно естествено число завършва с числото 0 или 5, то това число се дели без остатък на 5. Ако записът на число завършва с друга цифра, тогава числото не се дели на 5 без остатък.
Това означава, че всички числа, завършващи на цифри 0
И 5
, например 1235 5
и 43 0
, попадат в правилото и се делят на 5.
И например 1549г 3
и 56 4
не завършват с числото 5 или 0, което означава, че не могат да бъдат разделени на 5 без остатък.
Тест за делимост на 6
Пред нас е съставното число 6, което е произведение на числата 2 и 3. Следователно знакът за делимост на 6 също е съставен: за да се дели едно число на 6, то трябва да отговаря на два знака на делимост едновременно: знакът за делимост на 2 и знакът за делимост на 3. Моля, имайте предвид, че такова съставно число като 4 има индивидуален признак за делимост, тъй като е произведение на числото 2 само по себе си. Но да се върнем към теста за делимост на 6.
Числата 138 и 474 са четни и отговарят на критериите за делимост на 3 (1+3+8=12, 12:3=4 и 4+7+4=15, 15:3=5), което означава, че се делят с 6. Но 123 и 447, въпреки че се делят на 3 (1+2+3=6, 6:3=2 и 4+4+7=15, 15:3=5), но са нечетни, което означава, че не отговарят на критерия за делимост на 2 и следователно не отговарят на критерия за делимост на 6.
Тест за делимост на 7
Този тест за делимост е по-сложен: едно число се дели на 7, ако резултатът от двойното изваждане на последната цифра от броя на десетките на това число се дели на 7 или е равен на 0.
Звучи доста объркващо, но на практика е просто. Вижте сами: броят 95
9 се дели на 7, защото 95
-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 се дели на 7 без остатък). Освен това, ако възникнат трудности с числото, получено по време на трансформацията (поради размера му е трудно да се разбере дали се дели на 7 или не, тогава тази процедура може да продължи толкова пъти, колкото сметнете за необходимо).
Например, 45
5 и 4580
1 имат свойствата на делимост на 7. В първия случай всичко е съвсем просто: 45
-2*5=45-10=35, 35:7=5. Във втория случай ще направим следното: 4580
-2*1=4580-2=4578. Трудно ни е да разберем дали 457
8 на 7, така че нека повторим процеса: 457
-2*8=457-16=441. И отново ще използваме теста за делимост, тъй като все още имаме трицифрено число пред нас 44
1. И така, 44
-2*1=44-2=42, 42:7=6, т.е. 42 се дели на 7 без остатък, което означава, че 45801 се дели на 7.
Ето и числата 11
1 и 34
5 не се дели на 7, защото 11
-2*1=11-2=9 (9 не се дели на 7) и 34
-2*5=34-10=24 (24 не се дели на 7 без остатък).
Тест за делимост на 8
Тестът за делимост на 8 звучи така: ако последните 3 цифри образуват число, делящо се на 8, или то е 000, то даденото число се дели на 8.
Числа 1 000
или 1 088
делимо на 8: първото завършва на 000
, секундата 88
:8=11 (дели се на 8 без остатък).
И ето ги числата 1 100
или 4 757
не се делят на 8, защото числата 100
И 757
не се делят на 8 без остатък.
Тест за делимост на 9
Този знак за делимост е подобен на знака за делимост на 3: ако сумата от цифрите на едно число се дели на 9, то числото се дели на 9; Ако сумата от цифрите на едно число не се дели на 9, то числото не се дели на 9.
Например: 3987 и 144 се делят на 9, защото в първия случай 3+9+8+7= 27
(27:9=3 - дели се на 9 без остатък), а във втората 1+4+4= 9
(9:9=1 - също се дели на 9).
Но числата: 235 и 141 не се делят на 9, защото 2+3+5= 10
и 1+4+1= 6
(и знаем, че нито 10, нито 6 се делят на 9 без остатък).
Признаци за делимост на 10, 100, 1000 и други разрядни единици
Комбинирах тези знаци за делимост, защото те могат да бъдат описани по същия начин: едно число се дели на цифрова единица, ако броят на нулите в края на числото е по-голям или равен на броя на нулите в дадена цифрова единица .
С други думи, например, имаме следните числа: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. от които всички се делят на 1 0
; 46400
и 867 000
също се делят на 1 00
; и само един от тях е 867 000
делимо на 1 000
.
Всички числа, които имат по-малко нули в края от цифровата единица, не се делят на тази цифрова единица, например 600 30
и 7 93
не се дели 1 00
.
Тест за делимост на 11
За да разберете дали едно число се дели на 11, трябва да получите разликата между сумите на четните и нечетните цифри на това число. Ако тази разлика е равна на 0 или се дели на 11 без остатък, то самото число се дели на 11 без остатък.
За да стане по-ясно, предлагам да разгледаме примери: 2
35
4 се дели на 11, защото ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 също се дели на 11, тъй като ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
Ето 1 1
1 или 4
35
4 не се дели на 11, тъй като в първия случай получаваме (1+1)- 1
=1, а във втория ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
Тест за делимост на 12
Числото 12 е съставно. Неговият признак за делимост е съответствието на признаците за делимост на 3 и 4 едновременно.
Например 300 и 636 отговарят както на знаците за делимост на 4 (последните 2 цифри са нули или се делят на 4), така и на знаците за делимост на 3 (сумата от цифрите както на първото, така и на третото число се делят на 3), но накрая те се делят на 12 без остатък.
Но 200 или 630 не се делят на 12, защото в първия случай числото отговаря само на критерия за делимост на 4, а във втория - само на критерия за делимост на 3. но не и на двата критерия едновременно.
Тест за делимост на 13
Знак за делимост на 13 е, че ако броят на десетките от дадено число, добавен към единиците на това число, умножено по 4, е кратно на 13 или равно на 0, то самото число се дели на 13.
Да вземем за пример 70
2. И така, 70
+4*2=78, 78:13=6 (78 се дели на 13 без остатък), което означава 70
2 се дели на 13 без остатък. Друг пример е число 114
4. 114
+4*4=130, 130:13=10. Числото 130 се дели на 13 без остатък, което означава, че даденото число отговаря на критерия за делимост на 13.
Ако вземем числата 12
5 или 21
2, тогава получаваме 12
+4*5=32 и 21
+4*2=29, съответно, и нито 32, нито 29 се делят на 13 без остатък, което означава, че дадените числа не се делят на 13 без остатък.
Делимост на числата
Както се вижда от горното, може да се приеме, че за всяко от естествените числа можете да изберете свой индивидуален знак за делимост или „съставен“ знак, ако числото е кратно на няколко различни числа. Но както показва практиката, обикновено колкото по-голямо е числото, толкова по-сложен е неговият знак. Възможно е времето, изразходвано за проверка на критерия за делимост, да бъде равно или по-голямо от самото деление. Затова обикновено използваме най-простите знаци за делимост.
Нека да разгледаме един прост пример:
15:5=3
В този пример разделихме естественото число 15 напълнос 3, без остатък.
Понякога едно естествено число не може да бъде напълно разделено. Например, разгледайте проблема:
В шкафа имаше 16 играчки. В групата бяха пет деца. Всяко дете взе еднакъв брой играчки. Колко играчки има всяко дете?
Решение:
Разделяме числото 16 на 5 с помощта на колона и получаваме:
Знаем, че 16 не може да се дели на 5. Най-близкото по-малко число, което се дели на 5, е 15 с остатък 1. Можем да запишем числото 15 като 5⋅3. В резултат (16 – дивидент, 5 – делител, 3 – непълно частно, 1 – остатък). Има формула деление с остатъккоето може да се направи проверка на решението.
а=
b⋅
° С+
д
а – делим,
b - разделител,
° С – непълно частно,
д - остатък.
Отговор: всяко дете ще вземе 3 играчки и ще остане една играчка.
Остатък от делението
Остатъкът винаги трябва да е по-малък от делителя.
Ако по време на разделянето остатъкът е нула, това означава, че дивидентът е разделен напълноили без остатък върху делителя.
Ако при деление остатъкът е по-голям от делителя, това означава, че намереното число не е най-голямото. Има по-голямо число, което ще раздели дивидента, а остатъкът ще бъде по-малък от делителя.
Въпроси по темата „Деление с остатък“:
Може ли остатъкът да е по-голям от делителя?
Отговор: не.
Може ли остатъкът да бъде равен на делителя?
Отговор: не.
Как да намерим дивидента с помощта на непълното частно, делител и остатък?
Отговор: Заместваме стойностите на частичното частно, делителя и остатъка във формулата и намираме дивидента. Формула:
a=b⋅c+d
Пример #1:
Извършете деление с остатък и проверете: а) 258:7 б) 1873:8
Решение:
а) Разделете по колона: 
258 – дивидент,
7 – разделител,
36 – непълно частно,
6 – остатък. Остатъкът е по-малък от делителя 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
б) Разделете по колона: 
1873 – делима,
8 – делител,
234 – непълно частно,
1 – остатък. Остатъкът е по-малък от делителя 1<8.
Нека го заместим във формулата и да проверим дали сме решили правилно примера:
8⋅234+1=1872+1=1873
Пример #2:
Какви остатъци се получават при деление на естествените числа: а) 3 б) 8?
Отговор:
а) Остатъкът е по-малък от делителя, следователно по-малък от 3. В нашия случай остатъкът може да бъде 0, 1 или 2.
б) Остатъкът е по-малък от делителя, следователно по-малък от 8. В нашия случай остатъкът може да бъде 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7.
Пример #3:
Какъв е най-големият остатък, който може да се получи при деление на естествени числа: а) 9 б) 15?
Отговор:
а) Остатъкът е по-малък от делителя, следователно по-малък от 9. Но трябва да посочим най-големия остатък. Тоест числото, което е най-близо до делителя. Това е числото 8.
б) Остатъкът е по-малък от делителя, следователно по-малък от 15. Но трябва да посочим най-големия остатък. Тоест числото, което е най-близо до делителя. Това число е 14.
Пример #4:
Намерете дивидента: a) a:6=3(rest.4) b) c:24=4(rest.11)
Решение:
а) Решете по формулата:
a=b⋅c+d
(a – дивидент, b – делител, c – частично частно, d – остатък.)
a:6=3(ост.4)
(a – дивидент, 6 – делител, 3 – частично частно, 4 – остатък.) Нека заместим числата във формулата:
а=6⋅3+4=22
Отговор: a=22
б) Решете по формулата:
a=b⋅c+d
(a – дивидент, b – делител, c – частично частно, d – остатък.)
s:24=4(ост.11)
(c – дивидент, 24 – делител, 4 – частично частно, 11 – остатък.) Нека заместим числата във формулата:
с=24⋅4+11=107
Отговор: c=107
Задача:
Тел 4м. трябва да се нареже на парчета от 13 см. Колко такива парчета ще има?
Решение:
Първо трябва да преобразувате метри в сантиметри.
4м.=400см.
Можем да разделим по колона или наум да получим:
400:13=30 (оставащи 10)
Да проверим:
13⋅30+10=390+10=400
Отговор: Ще получите 30 парчета и ще остане 10 см тел.
Статията разглежда концепцията за деление на цели числа с остатък. Нека докажем теоремата за делимостта на целите числа с остатък и да разгледаме връзките между дивиденти и делители, непълни частни и остатъци. Нека да разгледаме правилата при деление на цели числа с остатъци, като ги разгледаме подробно с примери. В края на решението ще извършим проверка.
Общо разбиране за деление на цели числа с остатъци
Делението на цели числа с остатък се разглежда като обобщено деление с остатък на естествени числа. Това се прави, защото естествените числа са компонент на целите числа.
Деление с остатък от произволно число казва, че цялото число a е разделено на число b, различно от нула. Ако b = 0, тогава не делете с остатък.
Точно както при деленето на естествени числа с остатък, целите числа a и b се делят, като b не е нула, на c и d. В този случай a и b се наричат дивидент и делител, а d е остатъкът от делението, c е цяло число или непълно частно.
Ако приемем, че остатъкът е неотрицателно цяло число, то неговата стойност не е по-голяма от модула на числото b. Нека го запишем по следния начин: 0 ≤ d ≤ b. Тази верига от неравенства се използва при сравняване на 3 или повече числа.
Ако c е непълно частно, тогава d е остатъкът от деленето на цялото число a на b, което може да се изрази накратко: a: b = c (остатък d).
Остатъкът при деление на числата a на b може да бъде нула, тогава казват, че a се дели на b напълно, тоест без остатък. Делението без остатък се счита за специален случай на деление.
Ако разделим нулата на някакво число, резултатът е нула. Остатъкът от делението също ще бъде нула. Това може да се проследи от теорията за разделянето на нулата на цяло число.
Сега нека да разгледаме значението на деленето на цели числа с остатък.
Известно е, че положителните цели числа са естествени числа, тогава при деление с остатък ще се получи същото значение, както при деление на естествени числа с остатък.
Разделянето на цяло отрицателно число a на цяло положително b има смисъл. Нека разгледаме един пример. Представете си ситуация, в която имаме дълг от артикули в размер на a, който трябва да бъде изплатен от b лице. За да се постигне това, всеки трябва да даде равен принос. За да определите размера на дълга за всеки, трябва да обърнете внимание на стойността на частните s. Остатъкът d показва, че броят на елементите след изплащане на дълговете е известен.
Нека да разгледаме примера с ябълките. Ако 2 души дължат 7 ябълки. Ако изчислим, че всеки трябва да върне 4 ябълки, след пълното изчисление ще му остане 1 ябълка. Нека запишем това като равенство: (− 7) : 2 = − 4 (от т. 1) .
Делението на което и да е число a на цяло число няма смисъл, но е възможно като опция.
Теорема за делимостта на целите числа с остатък
Идентифицирахме, че a е дивидент, след това b е делител, c е частично частно и d е остатък. Те са свързани помежду си. Ще покажем тази връзка с помощта на равенството a = b · c + d. Връзката между тях се характеризира с теоремата за делимост с остатък.
Теорема
Всяко цяло число може да бъде представено само чрез цяло число и ненулево число b по следния начин: a = b · q + r, където q и r са някои цели числа. Тук имаме 0 ≤ r ≤ b.
Нека докажем възможността за съществуването на a = b · q + r.
Доказателство
Ако има две числа a и b и a се дели на b без остатък, то от определението следва, че има число q и равенството a = b · q ще бъде вярно. Тогава равенството може да се счита за вярно: a = b · q + r за r = 0.
Тогава е необходимо да вземем q такова, че дадено от неравенството b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
Имаме, че стойността на израза a − b · q е по-голяма от нула и не е по-голяма от стойността на числото b, от което следва, че r = a − b · q. Откриваме, че числото a може да бъде представено във формата a = b · q + r.
Сега трябва да разгледаме представянето на a = b · q + r за отрицателни стойности на b.
Модулът на числото се оказва положителен, тогава получаваме a = b · q 1 + r, където стойността q 1 е някакво цяло число, r е цяло число, което отговаря на условието 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
Доказателство за уникалност
Да приемем, че a = b q + r, q и r са цели числа с условието 0 ≤ r вярно< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где р 1И r 1са някои числа, където q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .
Когато неравенството се извади от лявата и дясната страна, тогава получаваме 0 = b · (q − q 1) + r − r 1, което е еквивалентно на r - r 1 = b · q 1 - q. Тъй като се използва модулът, получаваме равенството r - r 1 = b · q 1 - q.
Даденото условие казва, че 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что рИ р 1- цяло и q ≠ q 1, тогава q 1 - q ≥ 1. От тук имаме, че b · q 1 - q ≥ b. Получените неравенства r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
От това следва, че числото a не може да бъде представено по никакъв друг начин, освен като се напише a = b · q + r.
Връзка между дивидент, делител, частично частно и остатък
Като използвате равенството a = b · c + d, можете да намерите неизвестния дивидент a, когато е известен делителя b с непълното частно c и остатъка d.
Пример 1
Определете дивидента, ако при деление се получи - 21, частичното частно е 5, а остатъкът е 12.
Решение
Необходимо е да се изчисли дивидент a с известен делител b = − 21, непълно частно c = 5 и остатък d = 12. Трябва да се обърнем към равенството a = b · c + d, от тук получаваме a = (− 21) · 5 + 12. Ако следваме реда на действията, умножаваме - 21 по 5, след което получаваме (− 21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93.
Отговор: - 93 .
Връзката между делителя и частичното частно и остатъка може да се изрази с помощта на равенствата: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b и d = a − b · c . С тяхна помощ можем да изчислим делителя, частичното частно и остатъка. Това се свежда до постоянно намиране на остатъка при деление на цяло число от цели числа a на b с известен дивидент, делител и частично частно. Прилага се формулата d = a − b · c. Нека разгледаме подробно решението.
Пример 2
Намерете остатъка при деление на цяло число - 19 на цяло число 3 с известно непълно частно, равно на - 7.
Решение
За да изчислим остатъка от делението, прилагаме формула от вида d = a − b · c. По условие всички данни са налични: a = − 19, b = 3, c = − 7. От тук получаваме d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (разлика − 19 − (− 21). Този пример е изчислен използвайки правилото за изваждане отрицателно цяло число.
Отговор: 2 .
Всички положителни цели числа са естествени числа. От това следва, че делението се извършва по всички правила за деление с остатък от естествени числа. Скоростта на разделяне с остатъка от естествени числа е важна, тъй като на нея се основава не само разделянето на положителни числа, но и правилата за разделяне на произволни цели числа.
Най-удобният метод за деление е колона, тъй като е по-лесно и по-бързо да получите непълно или просто частно с остатък. Нека разгледаме решението по-подробно.
Пример 3
Разделете 14671 на 54.
Решение
Това разделяне трябва да се извърши в колона:
Тоест частичният коефициент е равен на 271, а остатъкът е 37.
Отговор: 14 671: 54 = 271. (останали 37)
Правилото за деление с остатък на цяло положително число на цяло отрицателно число, примери
За да се извърши деление с остатък от положително число на цяло отрицателно число, е необходимо да се формулира правило.
Определение 1
Непълното частно от деленето на положителното цяло число a на отрицателното цяло b дава число, което е противоположно на непълното частно от деленето на модулите на числата a на b. Тогава остатъкът е равен на остатъка, когато a се дели на b.
Следователно имаме, че непълното частно от деленето на положително цяло число на отрицателно цяло число се счита за неположително цяло число.
Получаваме алгоритъма:
- разделяме модула на дивидента на модула на делителя, тогава получаваме непълно частно и
- остатък;
- Нека запишем обратното число на полученото.
Нека да разгледаме примера на алгоритъма за деление на цяло положително число на цяло отрицателно число.
Пример 4
Разделете с остатък 17 на - 5.
Решение
Нека приложим алгоритъма за деление с остатък цяло положително число на цяло отрицателно число. Необходимо е да разделим 17 на - 5 по модул. От тук получаваме, че частичното частно е равно на 3, а остатъкът е равен на 2.
Получаваме необходимото число от разделянето на 17 на - 5 = - 3 с остатък, равен на 2.
Отговор: 17: (− 5) = − 3 (оставащи 2).
Пример 5
Трябва да разделите 45 на - 15.
Решение
Необходимо е числата да се разделят по модул. Разделяме числото 45 на 15, получаваме частното 3 без остатък. Това означава, че числото 45 се дели на 15 без остатък. Отговорът е - 3, тъй като делението е извършено по модул.
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
Отговор: 45: (− 15) = − 3 .
Формулировката на правилото за деление с остатък е следната.
Определение 2
За да получите непълно частно c при деление на отрицателно цяло число a на положително b, трябва да приложите противоположното на даденото число и да извадите 1 от него, след което остатъкът d ще бъде изчислен по формулата: d = a − b · c.
Въз основа на правилото можем да заключим, че при делене получаваме неотрицателно цяло число. За да гарантирате точността на решението, използвайте алгоритъма за деление на a на b с остатък:
- намерете модулите на дивидент и делител;
- разделяне по модул;
- запишете обратното на даденото число и извадете 1;
- използвайте формулата за остатъка d = a − b · c.
Нека да разгледаме пример за решение, при което се използва този алгоритъм.
Пример 6
Намерете частичното частно и остатъка от деленето - 17 на 5.
Решение
Разделяме дадените числа по модул. Откриваме, че при деление частното е 3, а остатъкът е 2. Тъй като имаме 3, обратното е 3. Трябва да извадите 1.
− 3 − 1 = − 4 .
Желаната стойност е равна на -4.
За да изчислите остатъка, имате нужда от a = − 17, b = 5, c = − 4, след това d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .
Това означава, че непълното частно от делението е числото - 4 с остатък, равен на 3.
Отговор:(− 17) : 5 = − 4 (оставащи 3).
Пример 7
Разделете отрицателното цяло число - 1404 на положителното 26.
Решение
Необходимо е да се раздели по колона и модул.
Получихме разделянето на модулите на числата без остатък. Това означава, че делението се извършва без остатък, а желаното частно = - 54.
Отговор: (− 1 404) : 26 = − 54 .
Правило за деление с остатък за цели отрицателни числа, примери
Необходимо е да се формулира правило за деление с остатък от цели отрицателни числа.
Определение 3
За да се получи непълно частно c от разделянето на отрицателно цяло число a на отрицателно цяло b, е необходимо да се извършат модулни изчисления, след това да се добави 1, след което можем да извършим изчисления по формулата d = a − b · c.
От това следва, че непълното частно от деленето на отрицателни цели числа ще бъде положително число.
Нека формулираме това правило под формата на алгоритъм:
- намерете модулите на дивидент и делител;
- разделете модула на дивидента на модула на делителя, за да получите непълно частно с
- остатък;
- добавяне на 1 към непълното частно;
- изчисляване на остатъка по формулата d = a − b · c.
Нека да разгледаме този алгоритъм с пример.
Пример 8
Намерете частичното частно и остатъка при деление - 17 на - 5.
Решение
За коректност на решението прилагаме алгоритъма за деление с остатък. Първо, разделете числата по модул. От това получаваме, че частичният коефициент е 3, а остатъкът е 2. Според правилото трябва да добавите непълното частно и 1. Получаваме, че 3 + 1 = 4. От тук получаваме, че частното частно от деленето на дадените числа е равно на 4.
За изчисляване на остатъка ще използваме формулата. По условие имаме, че a = − 17, b = − 5, c = 4, тогава, използвайки формулата, получаваме d = a − b c = − 17 − (− 5) 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . Търсеният отговор, тоест остатъкът, е равен на 3, а частичното частно е равно на 4.
Отговор:(− 17) : (− 5) = 4 (оставащи 3).
Проверка на резултата от деление на цели числа с остатък
След разделяне на числата с остатък трябва да извършите проверка. Тази проверка включва 2 етапа. Първо, остатъкът d се проверява за неотрицателност, условието 0 ≤ d е изпълнено< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Нека да разгледаме примерите.
Пример 9
Разделението е направено - 521 по - 12. Частното е 44, остатъкът е 7. Извършете проверка.
Решение
Тъй като остатъкът е положително число, неговата стойност е по-малка от модула на делителя. Делителят е - 12, което означава, че неговият модул е 12. Можете да преминете към следващата контролна точка.
По условие имаме, че a = − 521, b = − 12, c = 44, d = 7. От тук изчисляваме b · c + d, където b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521. От това следва, че равенството е вярно. Проверката премина.
Пример 10
Извършете проверка с деление (− 17): 5 = − 3 (оставащи − 2). Вярно ли е равенството?
Решение
Смисълът на първия етап е, че е необходимо да се провери делението на цели числа с остатък. От това става ясно, че действието е извършено неправилно, тъй като е даден остатък, равен на - 2. Остатъкът не е отрицателно число.
Имаме, че второто условие е изпълнено, но не е достатъчно за този случай.
Отговор:Не.
Пример 11
Числото - 19 беше разделено на - 3. Частичното частно е 7, а остатъкът е 1. Проверете дали това изчисление е извършено правилно.
Решение
Даден е остатък, равен на 1. Той е позитивен. Стойността е по-малка от разделителния модул, което означава, че първият етап е завършен. Да преминем към втория етап.
Нека изчислим стойността на израза b · c + d. По условие имаме, че b = − 3, c = 7, d = 1, което означава, че замествайки числовите стойности, получаваме b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20. От това следва, че a = b · c + d равенството не е в сила, тъй като условието дава a = - 19.
От това следва, че делбата е извършена с грешка.
Отговор:Не.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
В тази статия ще разгледаме деление на цели числа с остатък. Нека започнем с общия принцип за деление на цели числа с остатък, формулираме и докажем теоремата за делимостта на целите числа с остатък и проследим връзките между делителя, делителя, непълното частно и остатъка. След това ще очертаем правилата, по които целите числа се делят с остатък, и ще разгледаме приложението на тези правила при решаване на примери. След това ще научим как да проверяваме резултата от деление на цели числа с остатък.
Навигация в страницата.
Общо разбиране за деление на цели числа с остатък
Делението на цели числа с остатък ще разглеждаме като обобщение на деленето с остатък на естествени числа. Това се дължи на факта, че естествените числа са компонент на целите числа.
Нека започнем с термините и обозначенията, които се използват в описанието.
По аналогия с деленето на естествени числа с остатък ще приемем, че резултатът от деление с остатък на две цели a и b (b не е равно на нула) е две цели c и d. Наричат се числата a и b делимаИ разделителсъответно числото d – остатъкътот разделяне на a на b и се извиква цяло число c непълна частна(или просто частен, ако остатъкът е нула).
Нека се съгласим да приемем, че остатъкът е неотрицателно цяло число и неговата стойност не превишава b, тоест (срещнахме подобни вериги от неравенства, когато говорихме за сравняване на три или повече цели числа).
Ако числото c е непълно частно, а числото d е остатъкът от деленето на цялото число a на цялото b, тогава ще запишем накратко този факт като равенство във формата a:b=c (оставащо d).
Имайте предвид, че при деление на цяло число a на цяло b, остатъкът може да бъде нула. В този случай казваме, че a се дели на b без следа(или напълно). По този начин деленето на цели числа без остатък е частен случай на деление на цели числа с остатък.
Също така си струва да се каже, че когато разделяме нула на някакво цяло число, ние винаги имаме работа с деление без остатък, тъй като в този случай частното ще бъде равно на нула (вижте теоретичния раздел за деление на нула на цяло число), а остатъкът също ще бъде равно на нула.
Взехме решение относно терминологията и нотацията, сега нека разберем значението на деленето на цели числа с остатък.
Разделянето на цяло отрицателно число a на цяло положително число b също може да бъде осмислено. За да направите това, считайте отрицателно цяло число за дълг. Нека си представим тази ситуация. Дългът, който представлява артикулите, трябва да бъде изплатен от b души, като направят равен принос. Абсолютната стойност на непълния коефициент c в този случай ще определи размера на дълга на всеки от тези хора, а остатъкът d ще покаже колко артикула ще останат след изплащането на дълга. Да дадем пример. Да кажем, че 2-ма души дължат 7 ябълки. Ако приемем, че всеки от тях дължи по 4 ябълки, то след плащане на дълга ще му остане 1 ябълка. Тази ситуация съответства на равенство (−7):2=−4 (остава 1).
Ние няма да придаваме никакво значение на деленето с остатък на произволно цяло число a на цяло отрицателно число, но ще си запазим правото да съществува.
Теорема за делимостта на целите числа с остатък
Когато говорихме за деление на естествени числа с остатък, открихме, че делимото a, делителя b, частичното частно c и остатъка d са свързани с равенството a=b·c+d. Целите числа a, b, c и d имат същата връзка. Тази връзка се потвърждава по следния начин теорема за делимост с остатък.
Теорема.
Всяко цяло число a може да бъде уникално представено чрез цяло число и ненулево число b във формата a=b·q+r, където q и r са някои цели числа и .
Доказателство.
Първо, доказваме възможността за представяне на a=b·q+r.
Ако целите числа a и b са такива, че a се дели на b, тогава по дефиниция има цяло число q такова, че a=b·q. В този случай е в сила равенството a=b·q+r при r=0.
Сега ще приемем, че b е положително цяло число. Нека изберем цяло число q, така че произведението b·q да не превишава числото a, а произведението b·(q+1) вече да е по-голямо от a. Тоест, вземаме q така, че неравенствата b q Остава да се докаже възможността за представяне на a=b·q+r за минус b. Тъй като модулът на числото b в този случай е положително число, тогава за има представяне, където q 1 е някакво цяло число, а r е цяло число, което отговаря на условията. След това, приемайки q=−q 1, получаваме представянето, от което се нуждаем a=b·q+r за минус b. Да преминем към доказателството за уникалност. Да предположим, че в допълнение към представянето a=b·q+r, q и r са цели числа и , има друго представяне a=b·q 1 +r 1, където q 1 и r 1 са някои цели числа и q 1 ≠ q и . След изваждане на лявата и дясната страна на второто равенство съответно от лявата и дясната страна на първото равенство, получаваме 0=b·(q−q 1)+r−r 1, което е еквивалентно на равенството r− r 1 =b·(q 1 −q) . След това равенство на формата От условията можем да заключим, че. Тъй като q и q 1 са цели числа и q≠q 1, тогава заключаваме, че Равенството a=b·c+d ви позволява да намерите неизвестния дивидент a, ако делителя b, частичното частно c и остатъка d са известни. Нека разгледаме един пример. Пример. Каква е стойността на дивидента, ако, когато се раздели на цяло число −21, резултатът е непълно частно 5 и остатък 12? Решение. Трябва да изчислим дивидент a, когато делителя b=−21, частичното частно c=5 и остатъка d=12 са известни. Обръщайки се към равенството a=b·c+d, получаваме a=(−21)·5+12. Наблюдавайки, първо умножаваме целите числа −21 и 5 по правилото за умножение на цели числа с различни знаци, след което извършваме събиране на цели числа с различни знаци: (−21)·5+12=−105+12=−93 . Отговор: −93
.
Връзките между делителя, делителя, частичното частно и остатъка също се изразяват чрез равенства от вида b=(a−d):c, c=(a−d):b и d=a−b·c. Тези равенства ви позволяват да изчислите съответно делителя, частичното частно и остатъка. Често ще трябва да намираме остатъка при деление на цяло число a на цяло b, когато делимото, делителя и частичното частно са известни, като използваме формулата d=a−b·c. За да избегнем допълнителни въпроси, нека да разгледаме пример за изчисляване на остатъка. Пример. Намерете остатъка при деление на цяло число −19 на цяло число 3, ако знаете, че частичното частно е равно на −7. Решение. За да изчислим остатъка от делението, използваме формула от вида d=a−b·c. От условието имаме всички необходими данни a=−19, b=3, c=−7. Получаваме d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (изчислихме разликата −19−(−21), използвайки правилото на изваждане на цяло отрицателно число). Отговор: Както отбелязахме повече от веднъж, положителните цели числа са естествени числа. Следователно деленето с остатък от цели положителни числа се извършва по всички правила за деление с остатък от естествени числа. Много е важно да можете лесно да извършвате деление с остатък от естествени числа, тъй като именно той е в основата на деленето не само на положителни цели числа, но и в основата на всички правила за деление с остатък на произволни цели числа. От наша гледна точка е най-удобно да се извърши колонно деление; този метод ви позволява да получите както непълно частно (или просто частно), така и остатък. Нека разгледаме пример за деление с остатък от положителни цели числа. Пример. Разделете с остатък 14 671 на 54. Решение. Нека разделим тези положителни числа с колона: Частичното частно се оказа равно на 271, а остатъкът е равен на 37. Отговор: 14 671:54=271 (ост. 37) . Нека формулираме правило, което ни позволява да извършим деление с остатък от цяло положително число на цяло отрицателно число. Частното частно при деление на цяло положително число a на цяло отрицателно число b е обратното на частното частно при деление на a на модула на b, а остатъкът от деление на a на b е равен на остатъка от деление на. От това правило следва, че частичното частно от деленето на цяло положително число на цяло отрицателно число е цяло неположително число. Нека трансформираме посоченото правило в алгоритъм за деление с остатък на цяло положително число на цяло отрицателно число: Нека дадем пример за използване на алгоритъма за деление на цяло положително число на цяло отрицателно число. Пример. Разделете с остатък от положителното цяло число 17 на отрицателното цяло число −5. Решение. Нека използваме алгоритъма за деление с остатък на цяло положително число на цяло отрицателно число. Чрез разделяне Обратното число на 3 е −3. По този начин изискваното частично частно при деление на 17 на −5 е −3, а остатъкът е 2. Отговор: 17 :(−5)=−3 (оставащи 2). Пример. Разделям 45 на −15. Решение. Модулите на дивидент и делител са съответно 45 и 15. Числото 45 се дели на 15 без остатък, а частното е 3. Следователно цяло положително число 45 се дели на цяло отрицателно число −15 без остатък и частното е равно на числото срещу 3, тоест −3. Наистина, според правилото за деление на цели числа с различни знаци, имаме . Отговор: 45:(−15)=−3
.
Нека дадем формулировката на правилото за деление с остатък на цяло отрицателно число на цяло положително число. За да получите непълно частно c от разделяне на отрицателно цяло число a на положително цяло b, трябва да вземете числото, противоположно на непълното частно от разделянето на модулите на оригиналните числа и да извадите едно от него, след което се изчислява остатъкът d използвайки формулата d=a−b·c. От това правило за деление с остатък следва, че частичното частно при деление на отрицателно цяло число на положително цяло число е отрицателно цяло число. От посоченото правило следва алгоритъм за деление с остатък на цяло отрицателно число a на цяло положително число b: Нека анализираме решението на примера, в който използваме алгоритъма за писмено деление с остатък. Пример. Намерете частичното частно и остатъка при деление на цяло отрицателно число −17 на цяло положително число 5. Решение. Модулът на делителя −17 е равен на 17, а модулът на делителя 5 е равен на 5. Чрез разделяне 17 по 5, получаваме частичното частно 3 и остатъка 2. Обратното на 3 е −3. Извадете едно от −3: −3−1=−4. И така, изискваното частично частно е равно на −4. Остава само да изчислим остатъка. В нашия пример a=−17 , b=5 , c=−4 , тогава d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 . По този начин, частичното частно от деленето на отрицателното цяло число −17 на положителното цяло число 5 е −4, а остатъкът е 3. Отговор: (−17):5=−4 (оставащи 3) . Пример. Разделете отрицателното цяло число −1404 на положителното цяло число 26. Решение. Модулът на дивидента е 1404, модулът на делителя е 26. Разделете 1404 на 26 с помощта на колона: Тъй като модулът на дивидента се дели на модула на делителя без остатък, първоначалните цели числа се делят без остатък и желаното частно е равно на числото срещу 54, тоест −54. Отговор: (−1 404):26=−54
.
Нека формулираме правилото за деление с остатък от цели отрицателни числа. За да получите непълно частно c от разделянето на отрицателно цяло число a на отрицателно цяло b, трябва да изчислите непълното частно от разделянето на модулите на оригиналните числа и да добавите едно към него, след което остатъкът d се изчислява по формулата d =a−b·c. От това правило следва, че частичният коефициент на делене на отрицателни цели числа е положително цяло число. Нека пренапишем посоченото правило под формата на алгоритъм за деление на отрицателни цели числа: Нека разгледаме използването на алгоритъма за деление на цели отрицателни числа при решаване на пример. Пример. Намерете частичното частно и остатъка при деление на цяло отрицателно число −17 на цяло отрицателно число −5. Решение. Нека използваме подходящия алгоритъм за деление с остатък. Модулът на дивидента е 17, модулът на делителя е 5. дивизия 17 върху 5 дава частичния коефициент 3 и остатъка 2. Към непълното частно 3 добавяме единица: 3+1=4. Следователно изискваното частично частно при деление на −17 на −5 е равно на 4. Остава само да изчислим остатъка. В този пример a=−17 , b=−5 , c=4 , тогава d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 . И така, частичното частно от деленето на отрицателно цяло число −17 на отрицателно цяло число −5 е 4, а остатъкът е 3. Отговор: (−17):(−5)=4 (оставащи 3) . След разделяне на цели числа с остатък е полезно да проверите резултата. Проверката се извършва на два етапа. На първия етап се проверява дали остатъкът d е неотрицателно число и също така се проверява дали условието е изпълнено. Ако всички условия на първия етап на проверка са изпълнени, тогава можете да преминете към втория етап на проверка, в противен случай може да се твърди, че е направена грешка някъде при разделяне с остатък. На втория етап се проверява валидността на равенството a=b·c+d. Ако това равенство е вярно, тогава делението с остатък е извършено правилно, в противен случай някъде е допусната грешка. Нека да разгледаме решенията на примери, в които се проверява резултатът от деление на цели числа с остатък. Пример. При разделяне на числото −521 на −12 частичният коефициент е 44, а остатъкът е 7, проверете резултата. Решение. −2 за b=−3, c=7, d=1. Ние имаме b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Следователно равенството a=b·c+d е неправилно (в нашия пример a=−19). Следователно делението с остатък е извършено неправилно.
, и поради свойствата на модула на числата, равенството 
.
. От получените неравенства и следва, че равенство на формата невъзможно според нашето предположение. Следователно няма друго представяне на числото a, различно от a=b·q+r.Връзки между дивидент, делител, частично частно и остатък
Деление с остатък от цели числа, примери
Правилото за деление с остатък на цяло положително число на цяло отрицателно число, примери
Деление с остатък на цяло отрицателно число на цяло положително число, примери
Правило за деление с остатък за цели отрицателни числа, примери
Проверка на резултата от деление на цели числа с остатък
