Arcsin графика и свойства. Обратни тригонометрични функции, техните графики и формули

Обратни тригонометрични функции(кръгови функции, дъгови функции) - математически функции, които са обратни на тригонометричните функции.

арксинус(обозначава се като arcsin x; arcsin x- това е ъгълът гряхнегови равни х).

арксинус (y = arcsin x) - обратна тригонометрична функция към грях (x = sin y), който има домейн и набор от стойности . С други думи, връща ъгъла по неговата стойност грях.

функция y=sin xе непрекъсната и ограничена по цялата си числова ос. функция y=arcsin x- строго се увеличава.

Свойства на функцията arcsin.

График по арксинус.

Получаване на функцията arcsin.

Има функция y = sinx. В цялата си област на дефиниция то е монотонно на части, следователно обратното съответствие y = arcsin xне е функция. Следователно, ние разглеждаме сегмента, на който той само се увеличава и приема всяка стойност от диапазона от стойности - . защото за функция y = sinxна интервала всички стойности на функцията се получават само с една стойност на аргумента, което означава, че на този интервал има обратна функция y = arcsin x, чиято графика е симетрична на графиката на функцията y = sinxна относително прав сегмент y = x.

Задачи, свързани с обратни тригонометрични функции, често се предлагат на зрелостни изпити в училище и на кандидатстудентски изпити в някои университети. Подробно изучаване на тази тема може да се постигне само в избираемите часове или избираемите дисциплини. Предлаганият курс е предназначен да развие възможно най-пълно способностите на всеки ученик и да подобри математическата му подготовка.

Курсът е с продължителност 10 часа:

1. Функции arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 часа).

2.Действия върху обратни тригонометрични функции (4 часа).

3. Обратни тригонометрични операции върху тригонометрични функции (2 часа).

Урок 1 (2 часа) Тема: Функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

Цел: пълно отразяване на проблема.

1. Функция y = arcsin x.

а) За функцията y = sin x на отсечката има обратна (еднозначна) функция, която се разбрахме да наричаме арксинус и да я обозначим по следния начин: y = arcsin x. Графиката на обратната функция е симетрична на графиката на главната функция спрямо ъглополовящата на I - III координатни ъгли.

Свойства на функцията y = arcsin x.

1) Област на дефиниция: сегмент [-1; 1];

2) Област на промяна: сегмент;

3) Функция y = arcsin x нечетен: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Функцията y = arcsin x е монотонно нарастваща;

5) Графиката пресича осите Ox, Oy в началото.

Пример 1. Намерете a = arcsin. Този пример може да бъде формулиран подробно по следния начин: намерете аргумент a, лежащ в диапазона от до, чийто синус е равен на.

Решение. Има безброй аргументи, чийто синус е равен на, например: и т.н. Но ние се интересуваме само от аргумента, който е на сегмента. Това би бил аргументът. Така, .

Пример 2. Намерете .Решение.Като се аргументираме по същия начин, както в пример 1, получаваме .

б) устни упражнения. Намерете: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Примерен отговор: , защото . Имат ли смисъл изразите: ; arcsin 1,5; ?

в) Подредете във възходящ ред: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Функции y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (подобни).

Урок 2 (2 часа) Тема: Обратни тригонометрични функции, техните графики.

Цел: в този урок е необходимо да се развият умения за определяне на стойностите на тригонометрични функции, за конструиране на графики на обратни тригонометрични функции с помощта на D (y), E (y) и необходимите трансформации.

В този урок изпълнете упражнения, които включват намиране на област на дефиниция, област на стойност на функции от типа: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.

Трябва да се построят графики на функциите: а) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; в) y = arcsin;

d) y = arcsin; д) y = arcsin; д) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Пример.Нека начертаем y = arccos

Можете да включите следните упражнения в домашното си: построяване на графики на функции: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Графики на обратни функции

Цел: разширяване на математическите познания (това е важно за постъпващите в специалности с повишени изисквания към математическата подготовка) чрез въвеждане на основни съотношения за обратни тригонометрични функции.

Материал за урока.

Някои прости тригонометрични операции върху обратни тригонометрични функции: sin (arcsin x) = x, i xi? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x, x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Упражнения.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

б) cos (+ arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Нека arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;

cos (arcsin x) = ; sin (arccos x) = .

Забележка: ние поставяме знака „+“ пред корена, защото a = arcsin x удовлетворява .

в) sin (1,5 + arcsin) Отговор: ;

г) ctg ( + arctg 3). Отговор: ;

д) tg ( – arcctg 4). Отговор: .

д) cos (0,5 + arccos). Отговор: .

Изчисли:

а) грях (2 арктан 5) .

Нека arctan 5 = a, тогава sin 2 a = или грях (2 арктан 5) = ;

б) cos ( + 2 arcsin 0,8) Отговор: 0,28.

в) arctg + arctg.

Нека a = arctg, b = arctg,

тогава tg(a + b) = .

г) sin (arcsin + arcsin).

д) Докажете, че за всички x I [-1; 1] истински arcsin x + arccos x = .

Доказателство:

arcsin x = – arccos x

sin (arcsin x) = sin (– arccos x)

x = cos (arccos x)

За да го решите сами: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

За домашно решение: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 – arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.

Цел: В този урок демонстрирайте използването на съотношения при трансформиране на по-сложни изрази.

Материал за урока.

УСТНО:

а) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

б) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);

в) sin (arctg -3), cos (arcсtg());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

ПИСМЕНО:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg (- arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Самостоятелната работа ще помогне да се определи нивото на овладяване на материала.

За домашна работа можете да предложите:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) sin(2 arctg); 5) tg ( (arcsin ))

Цел: да се формира разбирането на учениците за обратните тригонометрични операции върху тригонометрични функции, като се фокусира върху повишаване на разбирането на изучаваната теория.

При изучаването на тази тема се предполага, че обемът на теоретичния материал, който трябва да се запомни, е ограничен.

Материал на урока:

Можете да започнете да изучавате нов материал, като изучавате функцията y = arcsin (sin x) и начертаете нейната графика.

3. Всеки x I R е свързан с y I, т.е.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Функцията е нечетна: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Графика y = arcsin (sin x) върху:

а) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

б)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin ( – x) = sin x , 0<= - x <= .

Така,

След като построихме y = arcsin (sin x) на , продължаваме симетрично относно началото на [- ; 0], предвид странността на тази функция. Използвайки периодичността, продължаваме по цялата числова ос.

След това запишете някои връзки: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos а ) = a ако е 0<= a <= ; arctg (tg a) = a ако< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

И направете следните упражнения: а) arccos(sin 2). Отговор: 2 - ; б) arcsin (cos 0,6) Отговор: - 0,1; в) arctg (tg 2).Отговор: 2 - ;

г) arcctg(tg 0,6).Отговор: 0,9; д) arccos (cos ( - 2)).Отговор: 2 - ; д) arcsin (sin (- 0,6)). Отговор: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Отговор: 2 - ; з) аrcctg (tg 0,6). Отговор: - 0,6; - арктан х; д) arccos + arccos

Определение и означение

Арксинус понякога се означава по следния начин:
.

Графика на функцията арксинус

Графика на функцията y = arcsin x

Графиката на арксинус се получава от графиката на синус, ако абсцисната и ординатната ос се разменят. За да се елиминира неяснотата, диапазонът от стойности е ограничен до интервала, в който функцията е монотонна. Това определение се нарича главна стойност на арксинуса.

Аркосинус, аркосус

Определение и означение

Аркосинусът понякога се означава по следния начин:
.

Графика на арккосинус функция

Графика на функцията y = arccos x

Арккосинусовата графика се получава от косинусовата графика, ако абсцисната и ординатната оси се разменят. За да се елиминира неяснотата, диапазонът от стойности е ограничен до интервала, в който функцията е монотонна. Това определение се нарича главна стойност на аркосинуса.

Паритет

Функцията арксинус е странна:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Функцията арккосинус не е четна или нечетна:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Свойства - екстремуми, увеличение, намаление

Функциите арксинус и аркосинус са непрекъснати в своята област на дефиниция (вижте доказателство за непрекъснатост). Основните свойства на арксинуса и аркосинуса са представени в таблицата.

Таблица на арксинуси и арккосинуси

Тази таблица представя стойностите на аркусинуси и аркосинуси, в градуси и радиани, за определени стойности на аргумента.

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Формули

Формули за сбор и разлика

при или

при и

при и

при или

при и

при и

при

при

при

при

Изрази чрез логаритми, комплексни числа

Изразяване чрез хиперболични функции

Деривати

;
.
Вижте Извеждане на арксинус и аркосинус производни > > >

Производни от по-висок порядък:
,
където е полином от степен . Определя се по формулите:
;
;
.

Вижте Извеждане на производни от по-висок порядък на аркуссинус и аркосинус > > >

Интеграли

Правим замяната x = синт. Интегрираме по части, като вземем предвид, че -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, cos t ≥ 0:
.

Нека изразим арк косинус чрез арк синус:
.

Разширяване на серията

Когато |x|< 1 се извършва следното разлагане:
;
.

Обратни функции

Обратните на арксинуса и аркосинуса са съответно синус и косинус.

Следните формули са валидни в цялата област на дефиниране:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Следните формули са валидни само за набор от стойности на аркусинус и аркосинус:
arcsin(sin x) = xпри
arccos(cos x) = xпри .

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.