Модулни дефиниции. Какъв е модулът на числото в математиката

Инструкции

Ако един модул е ​​представен като непрекъсната функция, тогава стойността на неговия аргумент може да бъде положителна или отрицателна: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Модулът е нула, а модулът на всяко положително число е . Ако аргументът е отрицателен, тогава след отваряне на скобите знакът му се променя от минус на плюс. Въз основа на това следва заключението, че модулите на противоположностите са равни: |-x| = |x| = х.

Модулът на комплексно число се намира по формулата: |a| = √b ² + c ² и |a + b| ≤ |a| + |b|. Ако аргументът съдържа положително число като множител, то може да бъде извадено от знака в скоба, например: |4*b| = 4*|b|.

Ако аргументът е представен като комплексно число, тогава за удобство на изчисленията е разрешен редът на членовете на израза, оградени в правоъгълни скоби: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, защото (2-3) е по-малко от нула.

Аргументът, повдигнат на степен, е едновременно под знака на корен от същия ред - решава се с помощта на: √a² = |a| = ±a.

Ако имате задача, в която условието за разширяване на модулните скоби не е посочено, тогава няма нужда да се отървете от тях - това ще бъде крайният резултат. И ако трябва да ги отворите, трябва да посочите знака ±. Например, трябва да намерите стойността на израза √(2 * (4-b))². Неговото решение изглежда така: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Тъй като знакът на израз 4-b е неизвестен, той трябва да бъде оставен в скоби. Ако добавите допълнително условие, например |4-b| >

Модулът на нула е равен на нула, а модулът на всяко положително число е равен на себе си. Ако аргументът е отрицателен, тогава след отваряне на скобите знакът му се променя от минус на плюс. Въз основа на това следва заключението, че модулите на противоположните числа са равни: |-x| = |x| = х.

Модулът на комплексно число се намира по формулата: |a| = √b ² + c ² и |a + b| ≤ |a| + |b|. Ако аргументът съдържа положително цяло число като фактор, тогава той може да бъде изваден от знака в скоба, например: |4*b| = 4*|b|.

Модулът не може да бъде отрицателен, така че всяко отрицателно число се преобразува в положително: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Ако аргументът е представен под формата на комплексно число, тогава за удобство на изчисленията е разрешено да се промени редът на членовете на израза, ограден в правоъгълни скоби: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, защото (2-3) е по-малко от нула.

Ако имате задача, в която условието за разширяване на модулните скоби не е посочено, тогава няма нужда да се отървете от тях - това ще бъде крайният резултат. И ако трябва да ги отворите, трябва да посочите знака ±. Например, трябва да намерите стойността на израза √(2 * (4-b))². Неговото решение изглежда така: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Тъй като знакът на израз 4-b е неизвестен, той трябва да бъде оставен в скоби. Ако добавите допълнително условие, например |4-b| > 0, тогава резултатът ще бъде 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). Неизвестният елемент също може да бъде зададен на определено число, което трябва да се вземе предвид, тъй като това ще повлияе на знака на израза.

Модул на числатасамото това число се нарича, ако е неотрицателно, или същото число с обратен знак, ако е отрицателно.

Например, модулът на числото 5 е 5, а модулът на числото –5 също е 5.

Тоест модулът на числото се разбира като абсолютната стойност, абсолютната стойност на това число, без да се взема предвид неговият знак.

Означава се както следва: |5|, | х|, |А| и т.н.

правило:

Обяснение:

|5| = 5
Той се чете така: модулът на числото 5 е 5.

|–5| = –(–5) = 5
Той се чете така: модулът на числото –5 е 5.

|0| = 0
Той се чете така: модулът на нула е нула.

Свойства на модула:

Геометрично значение на модула.

Модулът на число е разстоянието от нула до това число.

Например, нека отново вземем числото 5. Разстоянието от 0 до 5 е същото като от 0 до –5 (фиг. 1). И когато за нас е важно да знаем само дължината на отсечката, тогава знакът има не само значение, но и смисъл. Това обаче не е съвсем вярно: ние измерваме разстоянието само с положителни числа - или неотрицателни числа. Нека делението на нашата везна е 1 см. Тогава дължината на отсечката от нула до 5 е 5 см, от нула до –5 също е 5 см.

На практика разстоянието често се измерва не само от нулата - референтната точка може да бъде всяко число (фиг. 2). Но това не променя същността. Запис на формата |a – b| изразява разстоянието между точките АИ bна числовата ос.

Пример 1. Решете уравнението | х – 1| = 3.

Решение .

Значението на уравнението е, че разстоянието между точките хи 1 е равно на 3 (фиг. 2). Следователно от точка 1 броим три деления наляво и три деления надясно - и ясно виждаме и двете стойности х:
х 1 = –2, х 2 = 4.

Можем да го изчислим.

│х – 1 = 3
│х – 1 = –3

│х = 3 + 1
│х = –3 + 1

│х = 4
│ х = –2.

Отговор : х 1 = –2; х 2 = 4.

Пример 2. Модул за намиране на израз:

Решение .

Първо, нека разберем дали изразът е положителен или отрицателен. За да направим това, преобразуваме израза така, че да се състои от еднородни числа. Да не търсим корен от 5 - доста е трудно. Нека го направим по-просто: нека повдигнем корена на 3 и 10. След това сравнете големината на числата, които съставляват разликата:

3 = √9. Следователно, 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

Виждаме, че първото число е по-малко от второто. Това означава, че изразът е отрицателен, тоест отговорът му е по-малък от нула:

3√5 – 10 < 0.

Но според правилото модулът на отрицателно число е същото число с противоположен знак. Имаме отрицателен израз. Следователно е необходимо да се промени знакът му на противоположния. Обратният израз за 3√5 – 10 е –(3√5 – 10). Нека отворим скобите в него и да получим отговора:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Отговор .

Модулът е едно от онези неща, за които сякаш всички са чували, но в действителност никой не разбира. Затова днес ще има голям урок, посветен на решаването на уравнения с модули.

Ще кажа веднага: урокът няма да е труден. И като цяло модулите са относително проста тема. „Да, разбира се, не е сложно! Поразява ме!“ - ще кажат много студенти, но всички тези мозъчни счупвания се случват поради факта, че повечето хора нямат знания в главите си, а някакви глупости. И целта на този урок е да превърне глупостите в знания. :)

Малко теория

И така, да вървим. Да започнем с най-важното: какво е модул? Нека ви напомня, че модулът на едно число е просто същото число, но взето без знака минус. Това е например $\left| -5 \right|=5$. Или $\left| -129,5 \надясно|=$129,5.

Толкова ли е просто? Да, просто. Тогава каква е абсолютната стойност на положително число? Тук е още по-просто: модулът на положително число е равен на самото това число: $\left| 5 \right|=5$; $\ляво| 129,5 \right|=$129,5 и т.н.

Оказва се любопитно нещо: различни номера могат да имат един и същ модул. Например: $\left| -5 \right|=\left| 5 \right|=5$; $\ляво| -129,5 \дясно|=\ляво| 129,5\вдясно|=$129,5. Лесно е да се види какви са тези числа, чиито модули са еднакви: тези числа са противоположни. По този начин отбелязваме за себе си, че модулите на противоположните числа са равни:

\[\ляво| -a \дясно|=\ляво| a\right|\]

Друг важен факт: модулът никога не е отрицателен. Каквото и число да вземем – било то положително или отрицателно – модулът му винаги се оказва положителен (или в краен случай нула). Ето защо модулът често се нарича абсолютна стойност на число.

Освен това, ако комбинираме дефиницията на модула за положително и отрицателно число, получаваме глобална дефиниция на модула за всички числа. А именно: модулът на числото е равен на самото число, ако числото е положително (или нула), или равен на противоположното число, ако числото е отрицателно. Можете да напишете това като формула:

Има и модул нула, но той винаги е равен на нула. Освен това нулата е единственото число, което няма противоположност.

Така, ако разгледаме функцията $y=\left| x \right|$ и опитайте да начертаете неговата графика, ще получите нещо подобно:

Графика на модула и пример за решаване на уравнението

От тази снимка веднага става ясно, че $\left| -m \дясно|=\ляво| m \right|$ и графиката на модула никога не пада под оста x. Но това не е всичко: червената линия маркира правата $y=a$, която при положително $a$ ни дава два корена едновременно: $((x)_(1))$ и $((x) _(2)) $, но ще говорим за това по-късно. :)

В допълнение към чисто алгебричната дефиниция има геометрична. Да кажем, че има две точки на числовата ос: $((x)_(1))$ и $((x)_(2))$. В този случай изразът $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ е просто разстоянието между посочените точки. Или, ако предпочитате, дължината на отсечката, свързваща тези точки:

Това определение също предполага, че модулът винаги е неотрицателен. Но стига дефиниции и теория - да преминем към реални уравнения. :)

Основна формула

Добре, подредихме определението. Но това не го направи по-лесно. Как да решим уравнения, съдържащи точно този модул?

Спокойно, само спокойно. Да започнем с най-простите неща. Помислете за нещо подобно:

\[\ляво| x\надясно|=3\]

Така че модулът на $x$ е 3. На какво може да бъде равно $x$? Е, съдейки по дефиницията, ние сме доста доволни от $x=3$. Наистина ли:

\[\ляво| 3\надясно|=3\]

Има ли други номера? Cap сякаш намеква, че има. Например $x=-3$ също е $\left| -3 \right|=3$, т.е. изискваното равенство е изпълнено.

Така че може би, ако търсим и мислим, ще намерим повече числа? Но нека си признаем: няма повече числа. Уравнение $\left| x \right|=3$ има само два корена: $x=3$ и $x=-3$.

Сега нека усложним малко задачата. Нека функцията $f\left(x \right)$ виси под знака за модул вместо променливата $x$ и поставете произволно число $a$ на мястото на тройката отдясно. Получаваме уравнението:

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=a\]

И така, как можем да разрешим това? Нека ви напомня: $f\left(x \right)$ е произволна функция, $a$ е произволно число. Тези. Каквото и да било! Например:

\[\ляво| 2x+1 \надясно|=5\]

\[\ляво| 10x-5 \right|=-65\]

Нека обърнем внимание на второто уравнение. Веднага можете да кажете за него: той няма корени. Защо? Всичко е правилно: защото изисква модулът да е равен на отрицателно число, което никога не се случва, тъй като вече знаем, че модулът винаги е положително число или, в краен случай, нула.

Но с първото уравнение всичко е по-забавно. Има два варианта: или има положителен израз под знака за модул и след това $\left| 2x+1 \right|=2x+1$ или този израз все още е отрицателен и след това $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. В първия случай нашето уравнение ще бъде пренаписано, както следва:

\[\ляво| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

И изведнъж се оказва, че подмодулният израз $2x+1$ наистина е положителен - той е равен на числото 5. Т.е. можем безопасно да решим това уравнение - полученият корен ще бъде част от отговора:

Тези, които са особено недоверчиви, могат да опитат да заменят намерения корен в оригиналното уравнение и да се уверят, че под модула наистина има положително число.

Сега нека да разгледаме случая на отрицателен подмодулен израз:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Стрелка надясно 2x+1=-5\]

Опа! Отново всичко е ясно: приехме, че $2x+1 \lt 0$, и в резултат получихме, че $2x+1=-5$ - наистина, този израз е по-малък от нула. Решаваме полученото уравнение, като вече знаем със сигурност, че намереният корен ще ни подхожда:

Общо отново получихме два отговора: $x=2$ и $x=3$. Да, количеството изчисления се оказа малко по-голямо, отколкото в много простото уравнение $\left| x \right|=3$, но нищо фундаментално не се е променило. Така че може би има някакъв универсален алгоритъм?

Да, такъв алгоритъм съществува. И сега ще го анализираме.

Отървете се от знака за модул

Нека ни е дадено уравнението $\left| f\left(x \right) \right|=a$ и $a\ge 0$ (в противен случай, както вече знаем, няма корени). След това можете да се отървете от знака за модул, като използвате следното правило:

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Така нашето уравнение с модул се разделя на две, но без модул. Това е цялата технология! Нека се опитаме да решим няколко уравнения. Да започнем с това

\[\ляво| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Нека разгледаме отделно кога има десет плюс отдясно и отделно кога има минус. Ние имаме:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Дясна стрелка 5x=-14\Дясна стрелка x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\край (подравняване)\]

Това е всичко! Имаме два корена: $x=1,2$ и $x=-2,8$. Цялото решение отне буквално два реда.

Добре, няма въпрос, нека да разгледаме нещо малко по-сериозно:

\[\ляво| 7-5x\надясно|=13\]

Отново отваряме модула с плюс и минус:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Стрелка надясно -5x=-20\Стрелка надясно x=4. \\\край (подравняване)\]

Отново няколко реда - и отговорът е готов! Както казах, няма нищо сложно в модулите. Просто трябва да запомните няколко правила. Затова продължаваме напред и започваме с наистина по-сложни задачи.

Случаят на променлива от дясната страна

Сега разгледайте това уравнение:

\[\ляво| 3x-2 \надясно|=2x\]

Това уравнение е фундаментално различно от всички предишни. как? И фактът, че вдясно от знака за равенство е изразът $2x$ - и не можем да знаем предварително дали е положителен или отрицателен.

Какво да направите в този случай? Първо, трябва да разберем това веднъж завинаги ако дясната страна на уравнението се окаже отрицателна, тогава уравнението няма да има корени- вече знаем, че модулът не може да бъде равен на отрицателно число.

И второ, ако дясната част все още е положителна (или равна на нула), тогава можете да действате точно по същия начин, както преди: просто отворете модула отделно със знак плюс и отделно със знак минус.

Така формулираме правило за произволни функции $f\left(x \right)$ и $g\left(x \right)$ :

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Във връзка с нашето уравнение получаваме:

\[\ляво| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Е, все някак ще се справим с изискването $2x\ge 0$. В крайна сметка можем глупаво да заместим корените, които получаваме от първото уравнение и да проверим дали неравенството е валидно или не.

Така че нека решим самото уравнение:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Стрелка надясно 3x=0\Стрелка надясно x=0. \\\край (подравняване)\]

Е, кой от тези два корена удовлетворява изискването $2x\ge 0$? Да и двете! Следователно отговорът ще бъде две числа: $x=(4)/(3)\;$ и $x=0$. Това е решението. :)

Подозирам, че някои от учениците вече започват да скучаят? Е, нека да разгледаме още по-сложно уравнение:

\[\ляво| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Въпреки че изглежда зло, всъщност това все още е същото уравнение във формата „модул е ​​равно на функция“:

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

И се решава по абсолютно същия начин:

\[\ляво| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Ще се занимаваме с неравенството по-късно - то е някак си твърде зло (всъщност е просто, но няма да го решаваме). Засега е по-добре да се справите с получените уравнения. Нека разгледаме първия случай - това е, когато модулът е разширен със знак плюс:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Е, няма смисъл да съберете всичко отляво, да донесете подобни и да видите какво ще се случи. И ето какво се случва:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\край (подравняване)\]

Изваждаме общия множител $((x)^(2))$ извън скобите и получаваме много просто уравнение:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Тук се възползвахме от едно важно свойство на произведението, в името на което разложихме оригиналния полином: произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула.

Сега нека се справим с второто уравнение по абсолютно същия начин, което се получава чрез разширяване на модула със знак минус:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\наляво(-3x+2 \надясно)=0. \\\край (подравняване)\]

Отново същото: произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула. Ние имаме:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Е, имаме три корена: $x=0$, $x=1,5$ и $x=(2)/(3)\;$. Е, кое от този набор ще влезе в окончателния отговор? За да направите това, не забравяйте, че имаме допълнително ограничение под формата на неравенство:

Как да вземем предвид това изискване? Нека просто заместим намерените корени и да проверим дали неравенството е валидно за тези $x$ или не. Ние имаме:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Стрелка надясно x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\край (подравняване)\]

Така коренът $x=1,5$ не ни устройва. И в отговор ще има само два корена:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Както можете да видите, дори в този случай нямаше нищо сложно - уравненията с модули винаги се решават с помощта на алгоритъм. Просто трябва да имате добро разбиране на полиномите и неравенствата. Затова преминаваме към по-сложни задачи - вече ще има не един, а два модула.

Уравнения с два модула

Досега сме изучавали само най-простите уравнения - имаше един модул и нещо друго. Изпратихме това „нещо друго“ в друга част от неравенството, далеч от модула, така че накрая всичко да се сведе до уравнение от вида $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ или още по-просто $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Но детската градина свърши - време е да помислим за нещо по-сериозно. Нека започнем с уравнения като това:

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Това е уравнение във формата „модул е ​​равен на модул“. Основно важният момент е липсата на други условия и фактори: само един модул отляво, още един модул отдясно - и нищо повече.

Сега някой ще си помисли, че такива уравнения са по-трудни за решаване от това, което сме изучавали досега. Но не: тези уравнения са още по-лесни за решаване. Ето формулата:

\[\ляво| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Всичко! Ние просто приравняваме подмодулни изрази, като поставяме знак плюс или минус пред един от тях. И тогава решаваме получените две уравнения - и корените са готови! Без допълнителни ограничения, без неравности и т.н. Всичко е много просто.

Нека се опитаме да разрешим този проблем:

\[\ляво| 2x+3 \дясно|=\ляво| 2x-7 \right|\]

Елементарно Уотсън! Разширяване на модулите:

\[\ляво| 2x+3 \дясно|=\ляво| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Нека разгледаме всеки случай поотделно:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\ляво(2x-7 \дясно)\Дясна стрелка 2x+3=-2x+7. \\\край (подравняване)\]

Първото уравнение няма корени. Защото кога $3=-7$? При какви стойности на $x$? „Какво, по дяволите, е $x$? Накаменен ли си? Там изобщо няма $x$“, казвате вие. И ще бъдеш прав. Получихме равенство, което не зависи от променливата $x$, а в същото време самото равенство е неправилно. Затова няма корени. :)

С второто уравнение всичко е малко по-интересно, но и много, много просто:

Както можете да видите, всичко беше решено буквално в няколко реда - не очаквахме нищо друго от линейно уравнение. :)

В резултат крайният отговор е: $x=1$.

И как? Труден? Разбира се, че не. Нека опитаме нещо друго:

\[\ляво| x-1 \дясно|=\ляво| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

Отново имаме уравнение от вида $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Затова незабавно го пренаписваме, разкривайки знака на модула:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Може би сега някой ще попита: „Ей, какви глупости? Защо „плюс-минус“ се появява в израза отдясно, а не вляво?“ Спокойно, сега ще обясня всичко. Наистина, по добър начин трябваше да пренапишем нашето уравнение, както следва:

След това трябва да отворите скобите, да преместите всички членове от едната страна на знака за равенство (тъй като уравнението очевидно ще бъде квадратно и в двата случая) и след това да намерите корените. Но трябва да признаете: когато „плюс-минус“ се появява пред три термина (особено когато един от тези термини е квадратичен израз), изглежда някак си по-сложно от ситуацията, когато „плюс-минус“ се появява само преди два термина.

Но нищо не ни пречи да пренапишем оригиналното уравнение, както следва:

\[\ляво| x-1 \дясно|=\ляво| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \right|\]

Какво стана? Нищо особено: те просто размениха лявата и дясната страна. Малко нещо, което в крайна сметка ще направи живота ни малко по-лесен. :)

Като цяло решаваме това уравнение, като разглеждаме опции с плюс и минус:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\край (подравняване)\]

Първото уравнение има корени $x=3$ и $x=1$. Вторият обикновено е точен квадрат:

\[((x)^(2))-2x+1=((\ляво(x-1 \дясно))^(2))\]

Следователно има само един корен: $x=1$. Но ние вече получихме този корен по-рано. Така само две числа ще влязат в крайния отговор:

\[((x)_(1))=3;\квадрат ((x)_(2))=1.\]

Мисията е завършена! Можете да вземете пай от рафта и да го изядете. Те са 2, твоето е средното. :)

Важна забележка. Наличието на еднакви корени за различни варианти на разширение на модула означава, че оригиналните полиноми са факторизирани и сред тези фактори определено ще има общ. Наистина ли:

\[\begin(align)& \left| x-1 \дясно|=\ляво| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \ляво| x-1 \дясно|=\ляво| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\край (подравняване)\]

Едно от свойствата на модула: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (т.е. модулът на произведението е равен на произведението на модулите), така че оригиналното уравнение може да бъде пренаписано, както следва:

\[\ляво| x-1 \дясно|=\ляво| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \надясно|\]

Както виждате, наистина имаме общ фактор. Сега, ако съберете всички модули от едната страна, можете да извадите този фактор от скобата:

\[\begin(align)& \left| x-1 \дясно|=\ляво| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \вдясно|; \\& \ляво| x-1 \дясно|-\ляво| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \ляво| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\край (подравняване)\]

Е, сега не забравяйте, че произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(align) \right.\]

Така първоначалното уравнение с два модула е сведено до двете най-прости уравнения, за които говорихме в самото начало на урока. Такива уравнения могат да бъдат решени буквално в няколко реда. :)

Тази забележка може да изглежда ненужно сложна и неприложима на практика. В действителност обаче може да срещнете много по-сложни проблеми от тези, които разглеждаме днес. В тях модулите могат да се комбинират с полиноми, аритметични корени, логаритми и др. И в такива ситуации способността да се намали общата степен на уравнението чрез изваждане на нещо извън скоби може да бъде много, много полезна. :)

Сега бих искал да разгледам друго уравнение, което на пръв поглед може да изглежда налудничаво. Много студенти се забиват в него, дори и тези, които смятат, че разбират добре модулите.

Това уравнение обаче е дори по-лесно за решаване от това, което разгледахме по-рано. И ако разберете защо, ще получите още един трик за бързо решаване на уравнения с модули.

Така че уравнението е:

\[\ляво| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Не, това не е печатна грешка: това е плюс между модулите. И трябва да намерим при колко $x$ сумата от два модула е равна на нула. :)

Какъв е проблемът все пак? Но проблемът е, че всеки модул е ​​положително число или, в краен случай, нула. Какво се случва, ако съберете две положителни числа? Очевидно отново положително число:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\край (подравняване)\]

Последният ред може да ви даде идея: единственият път, когато сборът на модулите е нула, е ако всеки модул е ​​нула:

\[\ляво| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(align) \right.\]

А кога модулът е равен на нула? Само в един случай - когато подмодулният израз е равен на нула:

\[((x)^(2))+x-2=0\Дясна стрелка \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Така имаме три точки, в които първият модул се нулира: 0, 1 и −1; както и две точки, в които вторият модул се нулира на нула: −2 и 1. Трябва обаче и двата модула да бъдат нулирани едновременно, така че сред намерените числа трябва да изберем тези, които са включени в двата комплекта. Очевидно има само едно такова число: $x=1$ - това ще бъде окончателният отговор.

Метод на разцепване

Е, вече покрихме куп проблеми и научихме много техники. Мислите ли, че това е всичко? Но не! Сега ще разгледаме крайната техника - и в същото време най-важната. Ще говорим за разделяне на уравнения с модул. За какво изобщо ще говорим? Нека се върнем малко назад и да разгледаме едно просто уравнение. Например това:

\[\ляво| 3x-5 \надясно|=5-3x\]

По принцип вече знаем как да решим такова уравнение, защото то е стандартна конструкция от вида $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Но нека се опитаме да погледнем това уравнение от малко по-различен ъгъл. По-точно, разгледайте израза под знака за модул. Нека ви напомня, че модулът на всяко число може да бъде равен на самото число или може да бъде противоположен на това число:

\[\ляво| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Всъщност тази неяснота е целият проблем: тъй като числото под модула се променя (зависи от променливата), не ни е ясно дали е положително или отрицателно.

Но какво ще стане, ако първоначално изисквате това число да е положително? Например изискваме $3x-5 \gt 0$ - в този случай гарантирано ще получим положително число под знака на модула и можем напълно да се отървем от същия модул:

Така нашето уравнение ще се превърне в линейно, което лесно може да бъде решено:

Вярно е, че всички тези мисли имат смисъл само при условие $3x-5 \gt 0$ - ние сами въведохме това изискване, за да разкрием недвусмислено модула. Следователно, нека заместим намереното $x=\frac(5)(3)$ в това условие и да проверим:

Оказва се, че за посочената стойност на $x$ нашето изискване не е изпълнено, т.к изразът се оказа равен на нула и трябва да е строго по-голям от нула. Тъжно. :(

Но няма страшно! В края на краищата има още една опция $3x-5 \lt 0$. Освен това: има и случай $3x-5=0$ - това също трябва да се има предвид, в противен случай решението ще бъде непълно. И така, разгледайте случая $3x-5 \lt 0$:

Очевидно модулът ще се отвори със знак минус. Но тогава възниква странна ситуация: и отляво, и отдясно в оригиналното уравнение ще стърчи един и същ израз:

Чудя се при колко $x$ изразът $5-3x$ ще бъде равен на израза $5-3x$? Дори капитан Очевидност би се задавил със слюнка от подобни уравнения, но знаем: това уравнение е тъждество, т.е. вярно е за всяка стойност на променливата!

Това означава, че всеки $x$ ще ни подхожда. Имаме обаче ограничение:

С други думи, отговорът няма да бъде едно число, а цял интервал:

И накрая, остава още един случай за разглеждане: $3x-5=0$. Тук всичко е просто: под модула ще има нула, а модулът на нула също е равен на нула (това следва директно от определението):

Но тогава първоначалното уравнение $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ ще бъде пренаписано както следва:

Вече получихме този корен по-горе, когато разгледахме случая $3x-5 \gt 0$. Освен това този корен е решение на уравнението $3x-5=0$ - това е ограничението, което ние сами въведохме, за да нулираме модула. :)

Така, освен с интервала, ще се задоволим и с числото, лежащо в самия край на този интервал:

Общ окончателен отговор: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Не е много обичайно да видите такива глупости в отговора на доста просто (по същество линейно) уравнение с модул, Е, свикнете с това: трудността на модула е, че отговорите в такива уравнения могат да се окажат напълно непредвидими.

Нещо друго е много по-важно: току-що анализирахме универсален алгоритъм за решаване на уравнение с модул! И този алгоритъм се състои от следните стъпки:

1. Приравнете всеки модул в уравнението на нула. Получаваме няколко уравнения;
2. Решете всички тези уравнения и маркирайте корените на числовата ос. В резултат на това правата линия ще бъде разделена на няколко интервала, на всеки от които всички модули се разкриват уникално;
3. Решете оригиналното уравнение за всеки интервал и комбинирайте отговорите си.

Това е всичко! Остава само един въпрос: какво да правим с корените, получени в стъпка 1? Да кажем, че имаме два корена: $x=1$ и $x=5$. Те ще разделят числовата линия на 3 части:

И така, какви са интервалите? Ясно е, че те са три:

1. Най-ляво: $x \lt 1$ — самата единица не е включена в интервала;
2. Централна: $1\le x \lt 5$ - тук единица е включена в интервала, но пет не са включени;
3. Най-вдясно: $x\ge 5$ - пет са включени само тук!

Мисля, че вече разбирате модела. Всеки интервал включва левия край и не включва десния.

На пръв поглед подобно влизане може да изглежда неудобно, нелогично и като цяло някаква лудост. Но повярвайте ми: след малко практика ще откриете, че този подход е най-надеждният и не пречи на недвусмисленото отваряне на модулите. По-добре е да използвате такава схема, отколкото да мислите всеки път: дайте левия/десния край на текущия интервал или го „хвърлете“ в следващия.

Това приключва урока. Изтеглете задачи, които да решавате сами, практикувайте, сравнявайте с отговорите - и ще се видим в следващия урок, който ще бъде посветен на неравенства с модули. :)

Първо дефинираме знака за израз под знака на модула и след това разширяваме модула:

• ако стойността на израза е по-голяма от нула, тогава просто го премахваме от под знака за модул,
• ако изразът е по-малък от нула, тогава го премахваме под знака за модул, променяйки знака, както направихме по-рано в примерите.

Е, ще опитаме ли? Нека да оценим:

(Забравих, повторете.)

Ако е така, какъв знак има? Добре, разбира се, !

И следователно разширяваме знака на модула, като променяме знака на израза:

Схванах го? Тогава опитайте сами:

Отговори:

Какви други свойства има модулът?

Ако трябва да умножим числа вътре в знака за модул, можем лесно да умножим модулите на тези числа!!!

В математически термини, Модулът на произведението на числата е равен на произведението на модулите на тези числа.

Например:

Ами ако трябва да разделим две числа (изрази) под знака за модул?

Да, същото като при умножението! Нека го разделим на две отделни числа (изрази) под знака за модул:

при условие че (тъй като не можете да делите на нула).

Струва си да запомните още едно свойство на модула:

Модулът на сбора на числата винаги е по-малък или равен на сбора на модулите на тези числа:

Защо така? Всичко е много просто!

Както помним, модулът винаги е положителен. Но под знака на модула може да има всяко число: както положително, така и отрицателно. Да приемем, че и двете числа и са положителни. Тогава левият израз ще бъде равен на десния израз.

Да разгледаме един пример:

Ако под знака за модул едното число е отрицателно, а другото е положително, левият израз винаги ще бъде по-малък от десния:

Всичко изглежда ясно с това свойство, нека да разгледаме още няколко полезни свойства на модула.

Ами ако имаме този израз:

Какво можем да направим с този израз? Стойността на x не ни е известна, но вече знаем какво означава.

Числото е по-голямо от нула, което означава, че можете просто да напишете:

Така стигаме до друго свойство, което най-общо може да бъде представено по следния начин:

На какво се равнява този израз:

И така, трябва да дефинираме знака под модула. Необходимо ли е да се дефинира знак тук?

Разбира се, че не, ако помните, че всяко число на квадрат винаги е по-голямо от нула! Ако не си спомняте вижте темата. И какво става? Ето какво:

Страхотно, нали? Доста удобно. А сега конкретен пример за засилване:

Е, защо съмненията? Да действаме смело!

Разбрахте ли всичко? След това продължете и практикувайте с примери!

1. Намерете стойността на израза if.

2. Кои числа имат еднакъв модул?

3. Намерете значението на изразите:

Ако все още не всичко е ясно и има трудности в решенията, тогава нека да го разберем:

Решение 1:

И така, нека заместим стойностите и в израза

Решение 2:

Както помним, противоположните числа са равни по модул. Това означава, че стойността на модула е равна на две числа: и.

Решение 3:

а)
б)
V)
G)

Хванахте ли всичко? Тогава е време да преминете към нещо по-сложно!

Нека се опитаме да опростим израза

Решение:

И така, помним, че стойността на модула не може да бъде по-малка от нула. Ако знакът за модул има положително число, тогава можем просто да отхвърлим знака: модулът на числото ще бъде равен на това число.

Но ако има отрицателно число под знака за модул, тогава стойността на модула е равна на противоположното число (тоест числото, взето със знака „-“).

За да намерите модула на всеки израз, първо трябва да разберете дали той приема положителна или отрицателна стойност.

Оказва се, че стойността на първия израз под модула.

Следователно изразът под знака за модул е ​​отрицателен. Вторият израз под знака за модул винаги е положителен, тъй като събираме две положителни числа.

И така, стойността на първия израз под знака на модула е отрицателна, втората е положителна:

Това означава, че когато разширяваме знака за модул на първия израз, трябва да вземем този израз със знака „-“. Като този:

Във втория случай просто изхвърляме знака за модул:

Нека опростим този израз в неговата цялост:

Модул на числото и неговите свойства (строги определения и доказателства)

определение:

Модулът (абсолютната стойност) на число е самото число, ако, и числото, ако:

Например:

Пример:

Опростете израза.

Решение:

Основни свойства на модула

За всички:

Пример:

Докажете свойство № 5.

Доказателство:

Да приемем, че има такива

Нека повдигнем на квадрат лявата и дясната страна на неравенството (това може да се направи, тъй като и двете страни на неравенството винаги са неотрицателни):

а това противоречи на определението за модул.

Следователно такива хора не съществуват, което означава, че неравенството е валидно за всички

Примери за независими решения:

1) Докажете свойство № 6.

2) Опростете израза.

Отговори:

1) Нека използваме свойство № 3: , и тъй като, тогава

За да опростите, трябва да разширите модулите. И за да разширите модули, трябва да разберете дали изразите под модула са положителни или отрицателни?

а. Нека сравним числата и и:

b. Сега нека сравним:

Добавяме стойностите на модулите:

Абсолютната стойност на число. Накратко за основното.

Модулът (абсолютната стойност) на число е самото число, ако, и числото, ако:

Свойства на модула:

1. Модулът на числото е неотрицателно число: ;
2. Модулите на противоположните числа са равни: ;
3. Модулът на произведението на две (или повече) числа е равен на произведението на техните модули: ;
4. Модулът на частното на две числа е равен на частното на техните модули: ;
5. Модулът на сбора на числата винаги е по-малък или равен на сбора на модулите на тези числа: ;
6. Постоянният положителен множител може да бъде изваден от знака за модул: at;

Модулът на числото е нова концепция в математиката. Нека да разгледаме по-подробно какво представлява числовият модул и как да работим с него?

Да разгледаме един пример:

Излязохме от къщата, за да отидем до магазина. Изминахме 300 м, математически този израз може да се напише като +300, значението на числото 300 от знака „+“ няма да се промени. Разстоянието или модулът на число в математиката е едно и също нещо и може да се запише по следния начин: |300|=300. Знакът за модул на числото се обозначава с две вертикални линии.

И тогава вървяхме 200м в обратната посока. Математически можем да запишем обратния път като -200. Но ние не казваме „минахме минус двеста метра“, въпреки че се върнахме, защото разстоянието като количество остава положително. За тази цел в математиката е въведено понятието модул. Можете да запишете разстоянието или модула на числото -200 по следния начин: |-200|=200.

Свойства на модула.

определение:
Модул на число или абсолютна стойност на числое разстоянието от началната точка до крайната точка.

Модулът на цяло число, което не е равно на нула, винаги е положително число.

Модулът е написан така:

1. Модулът на положително число е равен на самото число.
| a|=а

2. Модулът на отрицателно число е равен на противоположното число.
|- a|=а

3. Модулът нула е равен на нула.
|0|=0

4. Модулите на противоположните числа са равни.
| а|=|-a|=а

Свързани въпроси:
Какъв е модулът на числото?
Отговор: Модулът е разстоянието от началната точка до крайната точка.

Ако поставите знак „+“ пред цяло число, какво се случва?
Отговор: числото няма да промени значението си, например 4=+4.

Ако поставите знак „-“ пред цяло число, какво се случва?
Отговор: числото ще се промени например на 4 и -4.

Кои числа имат еднакъв модул?
Отговор: положителните числа и нулата ще имат еднакъв модул. Например 15=|15|.

Кои числа имат модул на противоположното число?
Отговор: за отрицателни числа модулът ще бъде равен на противоположното число. Например |-6|=6.

Пример #1:
Намерете модула на числата: а) 0 б) 5 в) -7?

Решение:
а) |0|=0
б) |5|=5
в)|-7|=7

Пример #2:
Има ли две различни числа, чиито модули са равни?

Решение:
|10|=10
|-10|=10

Модулите на противоположните числа са равни.

Пример #3:
Кои две срещуположни числа имат модул 9?

Решение:
|9|=9
|-9|=9

Отговор: 9 и -9.

Пример #4:
Следвайте тези стъпки: a) |+5|+|-3| б) |-3|+|-8| в)|+4|-|+1|

Решение:
а) |+5|+|-3|=5+3=8
б) |-3|+|-8|=3+8=11
в)|+4|-|+1|=4-1=3

Пример #5:
Намерете: а) модула на числото 2 б) модула на числото 6 в) модула на числото 8 г) модула на числото 1 д) модула на числото 0.
Решение:

а) модулът на числото 2 се означава като |2| или |+2| Същото е.
|2|=2

б) модулът на числото 6 се означава като |6| или |+6| Същото е.
|6|=6

в) модулът на числото 8 се означава като |8| или |+8| Същото е.
|8|=8

г) модулът на числото 1 се означава като |1| или |+1| Същото е.
|1|=1

д) модулът на числото 0 се означава като |0|, |+0| или |-0| Същото е.
|0|=0