Задания с решениями. Общие критерии вписанности четырехугольника

Задача 6: в равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота - 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.

1. Проведем серединные перпендикуляры к основаниям Н и К, тогда центр окружности О лежит на прямой НК.

2. АО=ОВ=R. Точка О делит отрезок НК на две части: пусть НО = х, тогда ОК = 8 - х.

3. АО 2 = АК 2 + КО 2 ; ОВ 2 = ВН 2 + НО 2 ;

так как ОА 2 =ОВ 2 , получим:

АК 2 + КО 2 = ВН 2 + НО 2

90 + 64 - 16x = 0

ОВ 2 = ВН 2 + НО 2

Ответ: OB = 10,625

Задачи с окружностью, вписанной в четырехугольник

Задача 7: в ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса вписанной окружности.

Дано: ромб, радиус вписанной окружности - R, BD r в 4 раза

1. Пусть OE = R, BD = 4OE = 4R

Задача 8: найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.

Дано: ABCD - равнобедренная трапеция, r = 4, AB = 10

1. AB = CD = 10 по условию

2. AB + CD = AD + BC по свойству вписанной окружности

3. AD + BC = 10 + 10 = 20

4. FE = 2r = 2 · 4 = 8

Задача 9: внутри правильного треугольника со стороной a расположены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Найти площадь части треугольника, расположенной вне этих окружностей.

1. Пусть AB = BC = AC = a.

2. Обозначим O 1 E = O 1 K = ED = r, тогда AD = AE + ED = AE + r = .

3. AO 1 - биссектриса угла A, следовательно, ? O 1 AE = 30? и в прямоугольном?AO 1 E имеем AO 1 = 2O 1 E = 2r и AE ===. Тогда AE + r = == , откуда.

Задача 10 : вся дуга окружности радиуса R разделена на 4 большие и 4 малые части, которые чередуются одна за другой. Большая часть в два раза длиннее малой. Определить площадь восьмиугольника, вершинами которого являются точки деления дуги окружности.

1. Пусть?AOB = 2x, ?BOC = x, тогда по условию 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, ?AOB = 60°, ?BOC = 30°

Задача 11: стороны треугольника равны 12 м, 16 м и 20 м. Найдите го высоту, проведенную из вершины большего угла.

1. 202 = 122 + 162

400 = 400 верно, следовательно, ? АВС - прямоугольный (по теореме, обратной теореме Пифагора)

Ответ: ВН = 9,6

Задача 12: в прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите площадь квадрата, если катеты треугольника равны 10 м и 15 м.

Дано: ? ABC - прямоугольный, AC = 15, CB = 10

1. ? ADE ~ ? ACB (? A - общий, ? ADE = ? ACB = 90°)

2. Пусть DE = DC = X, тогда AD = 15 - X

15 · X = 10(15 - X)

15 · X = 150 - 10 · X

4. S кв. = 6 · 6 = 36

Ответ: S кв. = 36

Задача 13: основания трапеции равны 10 м и 31 м, а боковые стороны - 20 м и 13 м. Найдите высоту трапеции.

1. HK = BC = 10 м

2. Пусть BH = CK = x, AH=y, тогда KD = 21 - y

3. По теореме Пифагора:

x 2 + y 2 = 13 2

x 2 + (21 - y) 2 = 20 2

x 2 + 441 - 42y + y 2 = 400

4. По теореме Пифагора:

BH 2 = AB 2 - AH 2

BH 2 = 13 2 - 5 2

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ,

§ 106. СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКОВ.

Теорема 1. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180° .

Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD (черт. 412). Требуется доказать, что / А + / С = 180° и / В + / D = 180°.

/ А, как вписанный в окружность О, измеряется 1 / 2 BCD.
/ С, как вписанный в ту же окружность, измеряется 1 / 2 BAD.

Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т. е. имеют 360°.
Отсюда / А + / С = 360°: 2 = 180°.

Аналогично доказывается, что и / В + / D = 180°. Однако это можно вывести и иным путём. Мы знаем, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Сумма углов А и С равна 180°, значит, на сумму других двух углов четырёхугольника остаётся тоже 180° .

Теорема 2 (обратная). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна 180°, а именно
/ А + / С = 180° и / В + / D = 180° (черт. 412).

Докажем, что около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Через любые 3 вершины этого четырёхугольника можно провести окружность, например через точки А, В и С. Где будет находиться точка D?

Точка D может занять только одно из следующих трёх положений: оказаться внутри круга, оказаться вне круга, оказаться на окружности круга.

Допустим, что вершина окажется внутри круга и займёт положение D" (черт. 413). Тогда в четырёхугольнике ABCD" будем иметь:

/ В + / D" = 2d .

Продолжив сторону AD" до пересечения с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме

/ B + / Е = 2d .

Из этих двух равенств следует:

/ D" = 2d - / B;
/ E = 2d - / B;

/ D" = / E,

но этого быть не может, так как / D", как внешний относительно треугольника CD"E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.

Так же доказывается, что вершина D не может занять положение D" вне круга (черт. 414).

Остаётся признать, что вершина D должна лежать на окружности круга, т. е. совпасть с точкой Е, значит, около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Следствия. 1. Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность.

2. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

В обоих случаях сумма противоположных углов равна 180°.

Теорема 3. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Пусть четырёхугольник ABCD описан около окружности (черт. 415), т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA - касательные к этой окружности.

Требуется доказать, что АВ + CD =AD + ВС. Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р, На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки (§ 75), имеем:

АР = АК;
ВР = ВМ;
DN = DK;
CN = СМ.

Сложим почленно эти равенства. Получим:

АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ +DK + СМ,

т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать.

Упражнения.

1. Во вписанном четырёхугольнике два противоположных угла относятся как 3: 5,
а другие два относятся как 4: 5. Определить величину этих углов.

2. В описанном четырёхугольнике сумма двух противоположных сторон равна 45 см. Остальные две стороны относятся как 0,2: 0,3. Найти длину этих сторон.

Вписанный четырехугольник - четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник - такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

На рисунке - вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Пусть угол А равен 82°. Тогда напротив него лежит угол в 98 градусов. Если угол В равен 58°, то угол D равен 180° - 58° = 122°.

Ответ: 122.

2. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.

Пусть сторона АВ равна х, AD равна 2х, а DС - 3х. По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,
х + 3х = ВС + 2х.
Получается, что ВС равна 2х. Тогда периметр четырехугольника равен 8х. Мы получаем, что х = 4, а большая сторона равна 12.

3. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны a и c, а боковые стороны - b и d. По свойству описанного четырехугольника,
a + c = b + d, и значит, периметр равен 2(a + c).
Получаем, что а + с = 20, а средняя линия равна 10.

Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны180° .

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны .

Четырёхугольник вписан в окружность (задачи). Продолжаем рассматривать задания входящие в состав ЕГЭ по математике. В этой статье мы решим несколько задач с использованием свойств вписанного угла. Теория была подробно уже изложена, . В указанной статье решение заданий по сути сводилось к применению свойства вписанного угла сразу же, то есть это были задания практически в одно действие. Здесь нужно чуть подумать, ход решения не всегда с ходу очевиден.

Применяются: теорема о сумме углов треугольника, свойства вписанного угла, свойство четырёхугольника вписанного в окружность. О последнем подробнее.

*Это свойство было уже представлено, но в другой интерпретации. Итак:

Свойства:

Вписанный четырехугольник - это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180 градусам.

То есть, если мы такой четырёхугольник, то сумма его противоположных углов равна 180 градусам.

Рассмотрим задачи:

27870. В окружности с центром O AC и BD - диаметры. Центральный угол AOD равен 110 0 . Найдите вписанный угол ACB . Ответ дайте в градусах.

Треугольник B ОC равнобедренный, так как ОС=ОВ (это радиусы). Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Рассмотрим ∠BOC и ∠AOD:

Следовательно

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть

Другой способ:

Угол АОВ является центральным углом для вписанного угла АСВ. По свойству вписанного в окружность угла

Сумма смежных углов равна 180 0 , значит

Таким образом

Ответ: 35

27871. Угол А четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58 0 . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Здесь достаточно вспомнить свойство такого четырёхугольника. Известно, что сумма его противоположных углов такого равна 180 градусам, значит угол С будет равен

Второй способ:

Построим ОВ и OD.

По свойству вписанного угла градусная величина дуги BCD равна

2∙58 0 = 116 0

Следовательно градусная величина дуги BAD будет равна

360 0 – 116 0 = 244 0

По свойству вписанного угла угол С будет в два раза меньше, то есть 122 0 .

Ответ: 122

27872. Стороны четырехугольника ABCD AB , BC , CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95 0 , 49 0 , 71 0 , 145 0 . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Построим радиусы АО, OD, OC:

Градусная величина дуги AD равна 145 0 , градусная величина дуги СD равна 71 0 , значит градусная величина дуги АDС равна 145 0 + 71 0 = 216 0 .

По свойству вписанного угла угол В будет в два раза меньше центрального угла соответствующего дуге АDС, то есть

Ответ: 108

27874. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах.

Данная задача может вызвать затруднение. Сразу невозможно явно увидеть ход решения. Вспомним, что известно про вписанный четырёхугольник: сумма его противоположных углов равна 180 градусам. Найдём

На данный момент мы нашли тот угол, который сразу же возможно определить по известному свойству. Если есть возможность найти какую-либо величину, сделайте это, пригодится. Действуем по принципу «находим то, что можно найти исходя из данных величин».

Вписанные углы ABD и ACD опираются на одну и туже дугу, это означает, что они равны, то есть

Ответ: 70

27875. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABC . Ответ дайте в градусах.

Известно, что вписанные углы опирающиеся на одну и ту же дугу, и лежащие от неё по одну сторону равны. Следовательно

В треугольнике ACD известно два угла, можем найти третий:

Отмечу, что важно помнить указанные свойства и задачи вы решите без проблем. Конечно, можно выстроить решение не совсем корректно. Например, в задаче 27876 для самостоятельного решения приведено «длинное», или как ещё говорят нерациональное решение. Ничего страшного, если вы именно также решите задачу.

Главное чтобы вы помнили и применяли теорию, и в конечном итоге РЕШИЛИ задание.

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, приглашаю вас на блог!

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких

Комиссия спрашивает у директора простой сельской школы:
— По какой причине у вас все дети говорят: пришедши, ушедши?
— А кто их знает, может они так привыкши!

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.