Критерий того, что четырехугольник, отрезанный прямой линией от треугольника, вписан в некоторую окружность. Критерий того, что четырехугольник, составленный из двух треугольников, вписан в некоторую окружность

Теорема 1 . Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180° .

Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD (рис. 412). Требуется доказать, что ∠А + ∠С = 180° и ∠В + ∠D = 180°.

∠А, как вписанный в окружность О, измеряется 1 / 2 \(\breve{BCD}\).

∠С, как вписанный в ту же окружность, измеряется 1 / 2 \(\breve{BAD}\).

Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т.е. имеют 360°.

Отсюда ∠А + ∠С = 360°: 2 = 180°.

Аналогично доказывается, что и ∠В + ∠D = 180°. Однако это можно вывести и иным путём. Мы знаем, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Сумма углов Аи С равна 180°, значит, на сумму других двух углов четырёхугольника остаётся тоже 180°.

Теорема 2 (обратная). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна 180°, а именно

∠А + ∠С = 180° и ∠В + ∠D = 180°(рис. 412).

Докажем, что около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Через любые 3 вершины этого четырёхугольника можно провести окружность, например через точки А, В и С. Где будет находиться точка D?

Точка D может занять только одно из следующих трёх положений: оказаться внутри круга, оказаться вне круга, оказаться на окружности круга.

Допустим, что вершина окажется внутри круга и займёт положение D’ (рис. 413). Тогда в четырёхугольнике ABCD’ будем иметь:

∠В + ∠D’ = 2d .

Продолжив сторону AD’ до пересечения с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме

∠B + ∠Е = 2d .

Из этих двух равенств следует:

∠D’ = 2d - ∠B;

∠E = 2d - ∠B;

но этого быть не может, так как ∠D’, как внешний относительно треугольника CD’E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.

Так же доказывается, что вершина D не может занять положение D" вне круга (рис. 414).

Остаётся признать, что вершина D должна лежать на окружности круга, т. е. совпасть с точкой Е, значит, около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Следствия.

1. Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность.

2. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

В обоих случаях сумма противоположных углов равна 180°.

Теорема 3. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Пусть четырёхугольник ABCD описан около окружности (рис. 415), т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA - касательные к этой окружности.

Требуется доказать, что АВ + CD =AD + ВС. Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р, На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки, имеем:

Сложим почленно эти равенства. Получим:

АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ +DK + СМ,

т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать.

«Описанная окружность» мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность . Есть очень важное условие:

На нашем рисунке:

Посмотри, углы и лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами и? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов и взять углы и?

Конечно, можно! Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет. Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме. Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Пусть. Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, . То есть - всегда! . Но, → .

Волшебство прямо!

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна, то такой четырехугольник вписанный.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна.

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Попробуем сперва «методом тыка».

Вот как-то не получается.

Теперь применим знание:

предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм окружность. Тогда непременно должно быть: , то есть.

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма:

у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

У нас получилось, что

А что же углы и? Ну, то же самое конечно.

Вписанный → →

Параллелограмм→ →

Потрясающе, правда?

Получилось, что если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны, то есть это прямоугольник!

И ещё при этом - центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника . Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность - прямоугольник .

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция . Почему?

Вот пусть трапеция вписана в окружность. Тогда опять, но из-за параллельности прямых и.

Значит, имеем: → → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо - пригодиться:

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения , касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

1. Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна
2. Параллелограмм, вписанный в окружность - непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
3. Трапеция, вписанная в окружность - равнобокая.

Вписанный четырехугольник. Средний уровень

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике? Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность , а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .

На нашем рисунке -

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему. Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

Расшифровываем:

1. «Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна.
2. «Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна, то такой четырехугольник можно вписать в окружность.

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

Сначала 1.

Пусть четырехугольник вписан в окружность. Отметим её центр и проведём радиусы и. Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального? Если помнишь - сейчас применим, а если не очень - загляни в тему «Окружность. Вписанный угол» .

Вписанный

Вписанный

Но посмотри: .

Получаем, что если - вписанный, то

Ну, и ясно, что и тоже в сумме составляет. (нужно так же рассмотреть и).

Теперь и «наоборот», то есть 2.

Пусть оказалось так, что у четырехугольника сумма каких - то двух противоположных углов равна. Скажем, пусть

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка - снаружи. Тогда отрезок пересекает окружность в какой-то точке. Соединим и. Получился вписанный (!) четырехугольник.

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна, то есть, а по условию у нас.

Получается, что должно бы быть так, что.

Но это никак не может быть поскольку - внешний угол для и значит, .

А внутри? Проделаем похожие действия. Пусть точка внутри.

Тогда продолжение отрезка пересекает окружность в точке. Снова - вписанный четырехугольник, а по условию должно выполняться, но - внешний угол для и значит, то есть опять никак не может быть так, что.

То есть точка не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности - значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником.

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм вписан в окружность. Тогда должно выполняться.

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что.

И то же самое, естественно, касательно углов и.

Вот и получился прямоугольник - все углы по.

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт: центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр - прямой.

Диаметр,

Диаметр

а значит, - центр. Вот и всё.

Следствие 2

Трапеция, вписанная в окружность - равнобедренная.

Пусть трапеция вписана в окружность. Тогда.

И так же.

Всё ли мы обсудили? Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно), а докажем только в последнем уровне теории.

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону из точек и, равны), то такой четырехугольник - вписанный.

Это очень важный рисунок - в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов и.

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

« - вписанный» - и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак - запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачки.

Вписанный четырехугольник. Краткое описание и основные формулы

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна, то такой четырехугольник вписанный.

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна.

Параллелограмм, вписанный в окружность - непременно прямоугольник , и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Трапеция , вписанная в окружность - равнобокая .

Вписанный четырехугольник - четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник - такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

На рисунке - вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Пусть угол А равен 82°. Тогда напротив него лежит угол в 98 градусов. Если угол В равен 58°, то угол D равен 180° - 58° = 122°.

Ответ: 122.

2. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.

Пусть сторона АВ равна х, AD равна 2х, а DС - 3х. По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,
х + 3х = ВС + 2х.
Получается, что ВС равна 2х. Тогда периметр четырехугольника равен 8х. Мы получаем, что х = 4, а большая сторона равна 12.

3. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны a и c, а боковые стороны - b и d. По свойству описанного четырехугольника,
a + c = b + d, и значит, периметр равен 2(a + c).
Получаем, что а + с = 20, а средняя линия равна 10.

Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны180° .

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны .

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ,

§ 106. СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКОВ.

Теорема 1. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180° .

Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD (черт. 412). Требуется доказать, что / А + / С = 180° и / В + / D = 180°.

/ А, как вписанный в окружность О, измеряется 1 / 2 BCD.
/ С, как вписанный в ту же окружность, измеряется 1 / 2 BAD.

Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т. е. имеют 360°.
Отсюда / А + / С = 360°: 2 = 180°.

Аналогично доказывается, что и / В + / D = 180°. Однако это можно вывести и иным путём. Мы знаем, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Сумма углов А и С равна 180°, значит, на сумму других двух углов четырёхугольника остаётся тоже 180° .

Теорема 2 (обратная). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна 180°, а именно
/ А + / С = 180° и / В + / D = 180° (черт. 412).

Докажем, что около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Через любые 3 вершины этого четырёхугольника можно провести окружность, например через точки А, В и С. Где будет находиться точка D?

Точка D может занять только одно из следующих трёх положений: оказаться внутри круга, оказаться вне круга, оказаться на окружности круга.

Допустим, что вершина окажется внутри круга и займёт положение D" (черт. 413). Тогда в четырёхугольнике ABCD" будем иметь:

/ В + / D" = 2d .

Продолжив сторону AD" до пересечения с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме

/ B + / Е = 2d .

Из этих двух равенств следует:

/ D" = 2d - / B;
/ E = 2d - / B;

/ D" = / E,

но этого быть не может, так как / D", как внешний относительно треугольника CD"E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.

Так же доказывается, что вершина D не может занять положение D" вне круга (черт. 414).

Остаётся признать, что вершина D должна лежать на окружности круга, т. е. совпасть с точкой Е, значит, около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Следствия. 1. Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность.

2. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

В обоих случаях сумма противоположных углов равна 180°.

Теорема 3. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Пусть четырёхугольник ABCD описан около окружности (черт. 415), т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA - касательные к этой окружности.

Требуется доказать, что АВ + CD =AD + ВС. Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р, На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки (§ 75), имеем:

АР = АК;
ВР = ВМ;
DN = DK;
CN = СМ.

Сложим почленно эти равенства. Получим:

АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ +DK + СМ,

т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать.

Упражнения.

1. Во вписанном четырёхугольнике два противоположных угла относятся как 3: 5,
а другие два относятся как 4: 5. Определить величину этих углов.

2. В описанном четырёхугольнике сумма двух противоположных сторон равна 45 см. Остальные две стороны относятся как 0,2: 0,3. Найти длину этих сторон.

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

• В евклидовой геометрии , вписанный четырехугольник - это четырехугольник, у которого все вершины лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной окружностью четырехугольника, а вершины, как говорят, лежат на одной окружности. Центр этой окружности и ее радиус называются соответственно центром и радиусом описанной окружности. Другие термины для этого четырехугольника: четырехугольник лежит на одной окружности , стороны последнего четырехугольника являются хордами окружности. Обычно предполагается, что выпуклый четырехугольник является выпуклым четырехугольником. Формулы и свойства, приведенные ниже, действительны в выпуклом случае.
• Говорят, что если около четырёхугольника можно описать окружность , то четырёхугольник вписан в эту окружность , и наоборот.

Общие критерии вписанности четырехугольника

• Около выпуклого четырёхугольника $\backslash pi$ радиан), то есть:

или в обозначениях рисунка:

$\backslash alpha\; +\; \backslash gamma\; =\; \backslash beta\; +\; \backslash delta\; =\; \backslash pi\; =\; 180^\{\backslash circ\}.$

• Можно описать окружность около любого четырехугольника, у которого пересекаются в одной точке четыре серединных перпендикуляра его сторон (или медиатрисы его сторон, то есть перпендикуляры к сторонам, проходящие через их середины).
• Можно описать окружность около любого четырехугольника, у которого один внешний угол, смежный с данным внутренним углом , точно равен другому внутреннему углу, противолежащему данному внутреннему углу . По сути это условие есть условие антипараллельности двух противоположных сторон четырехугольника. На рис. ниже показан внешний и смежный с ним внутренний углы зеленого пятиугольника.

• Пересечение X может быть внутренним или внешним по отношению к кругу. В первом случае получим вписанный четырехугольник является ABCD , а в последнем случае получим вписанный четырехугольник ABDC . При пересечении внутри круга, равенство гласит, что произведение длин сегментов, в котором точка X делит одну диагональ, равна произведению длин сегментов, в котором точка X делит другую диагональ. Это условие известно, как "теорема о пересекающихся хордах". В нашем случае диагонали вписанного четырехугольника являются хордами окружности.
• Еще один критерий вписанности. Выпуклый четырехугольник ABCD вписан круг тогда и только тогда, когда

Частные критерии вписанности четырехугольника

Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник является выпуклым . Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180° ($\backslash pi$ радиан). Можно описать окружность около:

• любого антипараллелограмма
• любого прямоугольника (частный случай квадрат)
• любой равнобедренной трапеции
• любого четырехугольника, у которого два противоположных угла прямые.

Свойства

Формулы с диагоналями

В последней формуле пары смежных сторон числителя a и d , b и c опираются своими концами на диагональ длиной e . Аналогичное утверждение имеет место для знаменателя.

• Формулы для длин диагоналей (следствия ):

Формулы с углами

Для вписанного четырехугольника с последовательностью сторон a , b , c , d , с полупериметром p и углом A между сторонами a и d , тригонометрические функции угла A даются формулами

$\backslash cos\; A\; =\; \backslash frac\{a^2\; +\; d^2\; -\; b^2\; -\; c^2\}\{2(ad\; +\; bc)\},$ $\backslash sin\; A\; =\; \backslash frac\{2\backslash sqrt\{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)\}\}\{(ad+bc)\},$ $\backslash tan\; \backslash frac\{A\}\{2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(p-a)(p-d)\}\{(p-b)(p-c)\}\}.$

Угол θ между диагоналями есть :p.26

$\backslash tan\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(p-b)(p-d)\}\{(p-a)(p-c)\}\}.$

• Если противоположные стороны a и c пересекаются под углом φ , то он равен

где p есть полупериметр . :p.31

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника

Формула Парамешвара (Parameshvara)

Если четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d и полупериметром p вписан окружность, то ее радиус равен по формуле Парамешвара :p. 84

$R=\; \backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)\}\{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)\}\}.$

Она была получена индийским математиком Парамешваром в 15 веке (ок. 1380–1460 гг.)

• Выпуклый четырёхугольник (см. рис. справа), образованный четырьмя данными прямыми Микеля , вписан в окружность тогда и только тогда, когда точка Микеля M четырёхугольника лежит на прямой, соединяющей две из шести точек пересечения прямых (те, которые не являются вершинами четырёхугольника). То есть, когда M лежит на EF .

Критерий того, что четырехугольник, составленный из двух треугольников, вписан в некоторую окружность

• Последнее условие дает выражение для диагонали f четырёхугольника, вписанного в окружность, через длины четырех его сторон (a , b , c , d ). Эта формула немедленно следует при перемножении и при приравнивании друг другу левых и правых частей формул, выражающих суть первой и второй теорем Птолемея (см.выше).

Критерий того, что четырехугольник, отрезанный прямой линией от треугольника, вписан в некоторую окружность

• Прямая, антипараллельная стороне треугольника и пересекающая его, отсекает от него четырёхугольник, около которого всегда можно описать окружность.
• Следствие. Около антипараллелограмма , у которого две противоположные стороны антипараллельны, всегда можно описать окружность.

Площадь вписанного в окружность четырёхугольника

Варианты формулы Брахмагупты

a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end{vmatrix}}

Другие формулы площади

где θ любой из углов между диагоналями. При условии, что угол A не является прямым, площадь также может быть выражена как :p.26

$S\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{4\}(a^2-b^2-c^2+d^2)\backslash tan\{A\}.$ $\backslash displaystyle\; S=2R^2\backslash sin\{A\}\backslash sin\{B\}\backslash sin\{\backslash theta\},$

где R есть радиус описанной окружности . Как прямое следствие имеем неравенство

$S\backslash le\; 2R^2,$

где равенство возможно тогда и только тогда, когда этот четырехугольник является квадратом.

Четырехугольники Брахмагупты

Четырехугольник Брахмагупты является четырехугольником, вписанным в окружность, с целыми значениями длин сторон, целыми значениями его диагоналей и с целым значением его площади. Все возможные четырехугольники Брахмагупты со сторонами a , b , c , d , с диагоналями e , f , с площадью S , и радиусом описанной окружности R могут быть получены путем освобождения от знаменателей следующих выражений, включающих рациональные параметры t , u , и v :

$a=$ $b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)$ $c=t(1+u^2)(1+v^2)$ $d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)$ $e=u(1+t^2)(1+v^2)$ $f=v(1+t^2)(1+u^2)$ $S=uv$ $4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

Примеры

• Частными четырёхугольниками, вписанными в окружность, являются: прямоугольник , квадрат , равнобедренная или равнобочная трапеция , антипараллелограмм .

Четырехугольники, вписанные в окружность с перпендикулярными диагоналями (вписанные ортодиагональные четырехугольники)

Свойства четырехугольников, вписанных в окружность с перпендикулярными диагоналями

Радиус описанной окружности и площадь

У четырехугольника, вписанного в окружность с перпендикулярными диагоналями, предположим, что пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длины p 1 и p 2 , а другую диагональ делит на отрезки длины q 1 и q 2 . Тогда (Первое равенство является Предложением 11 у Архимеда " Книга лемм )

$D^2=p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2,$

где D - диаметр cокружности . Это справедливо, потому что диагонали перпендикулярны хорды окружности . Из этих уравнений следует, что радиус описанной окружности R может быть записан в виде

$R=\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2\}$

или в терминах сторон четырехугольника в виде

$R=\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{a^2+c^2\}=\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{b^2+d^2\}.$

Отсюда также следует, что

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

• Для вписанных ортодиагональных четырехугольников справедлива теорема Брахмагупты :

Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке $M$, то две пары его антимедиатрис проходят через точку $M$.

Замечание . В этой теореме под антимедиатрисой понимают отрезок $FE$ четырехугольника на рисунке справа (по аналогии с серединным перпендикуляром (медиатрисой) к стороне треугольника). Он перпендикулярен одной стороне и одновременно проходит через середину противоположной ей стороны четырехугольника.

Напишите отзыв о статье "Четырехугольники, вписанные в окружность"

Примечания

1. Bradley, Christopher J. (2007), The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates , Highperception, с. 179, ISBN 1906338000 , OCLC
2. . Вписанные четырёхугольники.
3. Siddons, A. W. & Hughes, R. T. (1929), Trigonometry , Cambridge University Press, с. 202, OCLC
4. Durell, C. V. & Robson, A. (2003), , Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8 ,
5. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), "", Forum Geometricorum Т. 7: 147–9,
6. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
7. Hoehn, Larry (March 2000), "Circumradius of a cyclic quadrilateral", Mathematical Gazette Т. 84 (499): 69–70
8. .
9. Altshiller-Court, Nathan (2007), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), Courier Dover, сс. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2 , OCLC
10. Honsberger, Ross (1995), , Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry , vol. 37, New Mathematical Library, Cambridge University Press, сс. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
11. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
12. Bradley, Christopher (2011), ,
13. .
14. Coxeter, Harold Scott MacDonald & Greitzer, Samuel L. (1967), , Geometry Revisited , Mathematical Association of America, сс. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
15. .
16. Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), , Mathematical Olympiad Treasures , Springer, сс. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
17. .
18. Buchholz, R. H. & MacDougall, J. A. (1999), "", Bulletin of the Australian Mathematical Society Т. 59 (2): 263–9, DOI 10.1017/S0004972700032883
19. .
20. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ. Co., 2007
21. , с. 74.
22. .
23. .
24. .
25. Peter, Thomas (September 2003), "Maximizing the area of a quadrilateral", The College Mathematics Journal Т. 34 (4): 315–6
26. Prasolov, Viktor, ,
27. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger (2009), , , Mathematical Association of America, с. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 ,
28. Sastry, K.R.S. (2002). «» (PDF). Forum Geometricorum 2 : 167–173.
29. Posamentier, Alfred S. & Salkind, Charles T. (1970), , Challenging Problems in Geometry (2nd ed.), Courier Dover, сс. 104–5, ISBN 978-0-486-69154-1
30. .
31. .
32. .

См. также