Как решать теоремы. Учимся доказывать теорему

По способу связи аргументов от условия к заключению доказательства подразделяются на прямые и косвенные .

Прямое доказательство основано на каком-нибудь несомненном начале, из которого непосредственно устанавливается истинность теоремы.

Методы прямого доказательства:

– синтетический,

– аналитический,

– метод математической индукции.

Синтетический метод : при построении цепочки силлогизмов мысль движется от условия теоремы к ее заключению.

В учебниках приводятся преимущественно синтетические доказательства. Их преимущества – полнота, сжатость, краткость. Недостатки – отсутствие мотивации шагов, обоснования дополнительных построений; они носят значительно более формальный характер, чем аналитические доказательства.

Пример

Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведения отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Дано: АВ и СД – хорды окружности, Е – точка их пересечения.

Доказать: АЕ×ВЕ = СЕ×ДЕ. (1)

Доказательство (синтетическое)

Рассмотрим треугольники АДЕ и СВЕ. В этих треугольниках углы 1 и 2 равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу ВМД, а углы 3 и 4 равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников DАДЕ ~ DСВЕ. Отсюда следует, что , или АЕ×ВЕ = СЕ×ДЕ. Теорема доказана .

Аналитический метод : при поиске доказательства мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Преимущества этого метода – есть отправное звено доказательства, дополнительные построения мотивированы, увеличивается творческая активность учащихся. Недостатки – большие потери времени, искусственные дополнительные построения трудно обосновать.

Пример . Теорема о хордах окружности.

Доказательство (аналитическое)

Чтобы доказать равенство (1), достаточно показать, что (2).

Для того, чтобы найти пропорцию (2), достаточно доказать подобие треугольников, стороны которых являются членами этой пропорции. Для получения таких треугольников соединяем точки С и В, А и Д.

Чтобы обосновать верность пропорции (2), достаточно доказать, что DАДЕ ~ DСВЕ. Эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников: Ð1 = Ð2 как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВМД, а Ð3 = Ð4 как вертикальные. Следовательно, теорема верна .

Любое аналитическое доказательство обратимо в синтетическое и наоборот. Это широко используется в учебном процессе. Технологии могут быть таковы:

1) синтетическое доказательство предваряется аналитическими поисками его плана;

2) синтетическое доказательство заменяется аналитическим, в качестве домашнего задания – изучение синтетического доказательства по учебнику;

3) при использовании лекционного метода (преимущественно за пределами курса основной школы) часто используется чисто синтетический метод доказательства.

Метод математической индукции не имеет распространения в геометрии, так как основан на свойствах множества натуральных чисел, выходит за рамки основной школы, поэтому мы не будет подвергать его специальному изучению.

Косвенное доказательство : истинность теоремы устанавливается посредством опровержения некоторых суждений, содержащихся в теореме.

Наиболее распространенный и единственно применимый в курсе планиметрии метод косвенного доказательства – доказательство от противного .

Логико-математическая сущность метода от противного: вместо прямой (р Þ q) доказывается обратная противоположной теорема ().

Поэтому доказательство методом от противного строится по следующей схеме:

1) пусть неверно q, то есть истинно ;

2) докажем, что ложно р, то есть истинно ;

3) убедились, что из ;

4) следовательно, р Þ q (в силу равносильности импликаций р Þ q и ), что и требовалось доказать.

Курс геометрии основной школы широко применяет доказательства от противного, начиная буквально с первых уроков в седьмом классе. При этом необходимо использовать алгоритмический подход.

Алгоритм доказательства от противного .

1. Допускаем, что заключение теоремы ложно. Тогда будет верно противоречащее ему утверждение.

2. Вычленяем возможные случаи.

3. Убеждаемся, что в каждом случае приходим к следствию, которое противоречит:

– условию теоремы,

– ранее установленным математическим фактам.

4. Наличие противоречия заставляет отказаться от принятого заключения.

5. Признаем справедливость заключения доказываемой теоремы.

Мы охарактеризовали основные логические методы доказательства теорем: прямые и косвенные, которые в свою очередь могут быть аналитическими и синтетическими, доказательствами от противного.

Можно говорить об основных математических методах доказательства теорем. В геометрии к ним можно отнести следующие базовые методы:

1) метод геометрических преобразований : эффективен, соответствует современной концепции обучения геометрии в школе, но требует развитого абстрактного и пространственного мышления; методика его использования в школе недостаточно отработана;

2) метод равенства и подобия треугольников – соответствует классической концепции обучения геометрии в школе, известен со времен Евклида, поэтому методика его хорошо разработана; навыки его применения формируются постепенно, в процессе решения задач и доказательства теорем.

Кроме указанных базовых математических методов доказательства теорем планиметрии можно говорить о более частных методах: метод симметрии, метод поворота, векторный метод, алгебраический метод, метод подобия, координатный метод и др.

Методы доказательства, используемые в курсе геометрии основной школы, можно обобщить в виде схемы I.

Как мы уже говорили, цель нашей книги - подробное изложение математических основ системы шифрования RSA. Разработка ее математического хребта была завершена к концу девятнадцатого века усилиями древнегреческих математиков, Ферма, Эйлера и Гаусса. Однако еще 20 лет назад большинство приложений оставалось неизвестными, а некоторые теоремы, которые мы будем упоминать, появились лишь в последние годы.

Многие из приводимых здесь результатов не будут для Вас новыми. К их числу относятся, например, способ вычисления наибольшего общего делителя, основанный на последовательных делениях, а также простейшие процедуры разложения на простые множители. Новизна может заключаться, однако, в самом подходе, поскольку мы доказываем каждое утверждение, включая и корректность вычислительных процедур, исходя из первичных принципов.

Математика древнего Египта и Месопотамии представляла собой набор правил для решения практических задач. Только ее объединение с греческой философией превратило ее в современную теоретическую науку. Первые греческие математики - Фалес (Thales) и Пифагор (Pythagoras) - были также знаменитыми философами. Представление о том, что математический факт можно доказывать, произросло из взаимодействия с философией. Помимо всего прочего, доказательство - это просто рассуждение, которое выводит некоторое утверждение из других, уже известных. А рассуждать греческие философы любили!

Около 400 года до н. э. греческие математики почувствовали необходимость в более или менее точной формулировке

предположений, лежащих в основе их работы. Поэтому и Эвклид открывает свои «Начала» со строгих определений и аксиом, на которых базируются его доказательства. Например, в начале первой книги он определяет точку, прямую, плоскость, поверхность и т.д. Затем он формулирует аксиомы, истинность которых он считает самоочевидной. Аксиомы объясняют связи между ранее введенными объектами. Затем он показывает, каким образом гораздо более сложные факты об изучаемых объектах сводятся, путем логических рассуждений, к аксиомам. Главное достоинство его подхода состоит в придании основательности всему зданию. Если фундамент достаточно прочный, то и все здание может возноситься высоко без опасения, что оно рухнет под собственным весом.

Математический факт обычно называется теоремой. Это греческое слово исходно означало «наблюдение, теория». Его современное значение «доказываемое утверждение» восходит по меньшей мере к эвклидовым «Началам». Утверждение теоремы часто принимает вид условного утверждения:

если выполняется некоторое предположение, то справедливо некоторое заключение.

Доказательство такой теоремы представляет собой логическое рассуждение, которое показывает, как заключение вытекает из предположения. Приведем пример:

Теорема 1. Если а - четное целое число, то число тоже четное.

Предположение данной теоремы состоит в том, что - четное число, а заключение - в том, что тоже четное. Разумеется, чтобы показать, что заключение вытекает из предположения, мы должны пользоваться базисными свойствами целых чисел. Для придания доказательствам незыблемости, все эти свойства следовало бы подробно перечислить. Нет необходимости говорить, что в элементарной книге, подобной нашей, это невозможно. Вместо этого мы просто делаем вид,

что «базисные свойства» действительно элементарны и Вы их хорошо знаете. Сюда входят, например, правила сложения и умножения целых чисел, а также утверждение о том, что между любыми двумя целыми числами есть лишь конечное множество целых чисел. Воспользуемся этими свойствами для доказательства приведенной выше теоремы.

Доказательство теоремы 1. Предположение теоремы о четности а означает, что а делится на 2, см. § 3.1. Поэтому должно существовать такое число что Возводя в квадрат последнее равенство, получаем

Поэтому число также делится на 2. Другими словами, число четное, что и является заключением теоремы.

Теорема 1 показывает, что из факта четности числа о вытекает, факт четности его квадрата. Обратным к условному утверждению «из А следует В» является условное утверждение «из В следует А». Значит утверждение, обратное к теореме 1, звучит так: если целое число четное, то и а - четное целое число. Заметим, что если само утверждение истинно, то это ничего не говорит нам об истинности обратного утверждения. Например, для истинного утверждения если целое число делится на 4, то оно четное, обратное утверждение ложно: число 6 четное, однако на 4 оно не делится. Если оба утверждения «из А следует В» и «из В следует А» истинны, то мы говорим, что эквивалентны. Эквивалентность обычно записывается в виде: «А выполняется, если и только если выполняется В». Таким образом, мы приходим к следующей теореме.

Теорема 2. Целое число а четное, если и только если тоже четное.

Мы уже доказали, что если о четное, то и тоже четное. Теперь мы должны доказать обратное утверждение. Прежде

Перейти к доказательству, обсудим еще один логический момент. Обозначим отрицание утверждения через не Например, отрицание не утверждения Р: «число а четное» имеет вид «число нечетное». Пусть теперь два утверждения. Утверждение: «из не следует не называется противоположным к утверждению из следует Любое утверждение истинно, если и только если его противоположное тоже истинно. Подобное высказывание выглядит сомнительно только потому, что оно выражено на непривычном языке. Но представим себе следующую историю. Друг, приглашенный Вами на вечеринку, говорит: «Моя машина сломана, однако если ее вовремя починят, то я приеду». Если теперь Ваш друг не приезжает на вечеринку, то Вы заключаете, что его машину вовремя не починили, а это и есть противоположное к утверждению Вашего друга.

Вернемся к доказательству теоремы 2.

Доказательство теоремы 2. Мы уже видели, что если число о четное, то и число четное. Осталось доказать, что если четное, то и о будет четным. Вместо последнего утверждения мы будем доказывать противоположное ему, т.е. утверждение «если число о нечетное, то и нечетное». Однако целое число, не являющееся четным, нечетно. Более того, всякое нечетное целое число представимо в виде «четное . Поэтому для нечетного о существует целое число при котором Возводя в квадрат обе части последней формулы, мы получаем

т.е. тоже нечетное число. Таким образом, утверждение, противоположное к исходному, истинно, а значит, истинно и исходное утверждение, и мы доказали, что если четно, то и о четно.

Теорема 1 была сформулирована в виде «если о четно, то и четно». Это означает, на самом деле, что квадрат любого четного числа четен. Другими словами, мы доказываем

справедливость утверждения для всех четных чисел. Рассмотрим теперь утверждение «всякое четное число делится на 4». Мы снова указываем на общее свойство всех четных чисел, однако на сей раз утверждение оказывается ложным. Почему? Например, потому, что число 6 четное, однако на 4 оно не делится. Таким образом, утверждение о том, что какое-то свойство присуще всем элементам некоторого множества, можно опровергнуть, предъявив элемент, для которого оно не выполняется. Такой элемент называется контрпримером к утверждению.

Не всегда утверждение теоремы записывается в приведенном выше условном виде. Иногда, например, утверждается, что объект с заданными свойствами существует. Так, для любого вещественного числа х существует такое целое число что Самый естественный способ доказательства подобных теорем состоит в предъявлении явного метода для нахождения такого объекта. Если в приведенном выше примере обозначить целую часть числа х через то является целым числом, большим х, и мы можем положить Предположив теперь, что десятичное представление числа х известно, мы легко найдем с помощью описанного метода. Однако подобные утверждения можно доказывать и не указывая способа построения объекта. Такое доказательство называется неконструктивным доказательством существования. Оно не настолько таинственно, как может показаться. Мы знаем, например, что в любой компании из 400 человек есть двое с совпадающим днем рождения, поскольку Хотя такое рассуждение и верно, оно не дает нам способа найти таких двух человек; значит это неконструктивное доказательство существования.

Большинство книг по теории чисел широко используют неконструктивные доказательства даже при наличии

конструктивных. Это не просто вопрос вкуса: часто конструктивные доказательства выглядят гораздо более неуклюже, чем аналогичные доказательства чистого существования, а для математиков элегантность значит не меньше, чем для художников. В этой книге мы будем, однако, по мере сил избегать неконструктивных доказательств. Такой подход объясняется, в первую очередь, тем, что нас интересуют приложения в криптографии. Поэтому не достаточно просто знать, что у составного числа есть нетривиальный множитель, нужно уметь его отыскивать.

Эти краткие заметки должны позволить Вам приступить к чтению. Методы доказательств будут подробнее разобраны ниже, прежде всего в § 3.7 и § 6.2. Однако необходимо с самого начала понять, что искусство доказательства теорем следует заботливо взращивать, и лучший способ выращивания - частое упражнение. Когда Птолемей, царь египетский, спросил Эвклида, нет ли более простого способа изучения геометрии, чем штудирование «Начал», ответ математика гласил: «В геометрии нет царской дороги». Истинное во времена Эвклида, это утверждение сохраняет свою справедливость и по сей день.

Е.В. Петрова,учитель математики СОШ №25 г. Владимира

Доказательство - это рассуждение, которое убеждает. (Ю.А. Шиханович)

Реализация современной роли математики предполагает улучшение математической подготовки учащихся, важное место в котором отводится умению открывать закономерности, обосновывать их и применять на практике. Формирование алгоритмического, эвристического, абстрактного мышления учащихся осуществляется также главным образом в процессе доказательства. Обучение математике предполагает обучение способам деятельности по приобретению знаний, что требует выявления и освоения в процессе обучения математике различных схем используемых в математике рассуждений. В опытных науках мы постоянно обращаемся к наблюдениям и экспериментам, чтобы проверить те или иные утверждения. Совершенно иначе дело обстоит в математике. Теорема считается доказанной только в том случае, если она логически выведена из других предложений. Поэтому проблема обучения учащихся доказательству всегда являлась одной из центральных в методике преподавания математики.

В настоящее время, идущий процесс гуманизации образования предполагает направленность обучения на развитие личности, на формирование нравственности, чему способствует обучение доказательству, где важная роль отводится обучению поиска способов доказательства, их сравнения, выбора наиболее простого из них.

Что значит доказать теорему, что такое доказательство?

Когда вы убеждаете своего товарища в чем-либо или отстаиваете в споре с ним свое мнение, свою точку зрения, то вы по существу производите доказательство (умело или неумело - это уже другой вопрос).

Математическое доказательство должно представлять собой цепочку логических следствий из исходных аксиом, определений, условий теоремы и ранее доказанных теорем до требуемого заключения. Основную нагрузку по формированию у учащихся умения доказывать несёт курс геометрии. Д. Пойа указывал на важную роль, которую играют доказательства при построении геометрической системы: «Геометрическая система цементирована доказательствами. Каждая теорема связана с предшествующими аксиомами, определениями и теоремами каким-нибудь доказательством. Без понимания таких доказательств нельзя понять самую сущность системы». Исторически сложилось так, что геометрия как учебный предмет имеет большое значение для изучения окружающего мира и создаёт благоприятные условия для приобщения учащихся к творческой исследовательской деятельности. Изучение геометрии способствует развитию умения доказывать, т.е. умения логически мыслить и рассуждать. Развитие логического мышления происходит в ходе изучения приводимых в учебниках и учителем доказательств теорем, при решении задач. Что значит доказать теорему, что такое доказательство? Доказательство в широком смысле - это логическое рассуждение, в процессе которого истинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других положений. В математике недопустимо ссылаться, например, на очевидные отношения, иллюстрируемые чертежом. Математическое доказательство должно представлять собой цепочку логических следствий из исходных аксиом, определений, условий теоремы и ранее доказанных теорем до требуемого заключения.

Таким образом, при доказательстве теоремы мы сводим ее к ранее доказанным теоремам, а те в свою очередь еще к другим и т.д. Очевидно, что этот процесс сведения должен быть конечным, и поэтому всякое доказательство в конце концов сводит доказываемою теорему к исходным определениям и принятым без доказательства аксиомам.

Процесс доказательства – сложный процесс мышления, и он формируется лишь постепенно, от простых к более сложным структурам. Следовательно, обучение доказательству представляет собой сложную систему, структура которой обусловлена многочисленными связями между различными ее составляющими.

К 13 – 14 годам мозг школьника становится способным овладеть абстрактным, обоснованным, рассуждающим мышлением. Развитие доказательного мышления, отмечает П. П. Блонский, проходит две стадии. В подростковом возрасте школьник скорее усваивает доказательства, чем самостоятельно пользуется ими, и еще меньше он создает их: в этом возрасте доказывание скорее дело памяти. В юношеском же возрасте уже заметно выступают критическое мышление к даваемым доказательствам и стремление к своим доказательствам. Все вышесказанное приводит к выводу о необходимости исследования индивидуальных познавательных стратегий школьников при изучении и доказательстве теорем.

Над этой проблемой я работаю первый год. Сначала я определила цель, задачи и гипотезу исследования.

Цель: выявить и развить индивидуальные стратегии изучения и доказательства теоремы в 8 классе.

Задачи:

1. Выявить индивидуальные стратегии изучения и доказательства теорем на основе вопросника (с элементами листа анализа).

2. Развить индивидуальные стратегии учащихся через обсуждение полученных результатов, создание банка успешных действий при выполнении изучения и доказательства теорем.

3. Разработать советы по успешному изучению теорем по геометрии.

4. Проанализировать результаты освоения учащимися теорем до и после применения технологии ЦРПС, разработать и апробировать памятку успешной деятельности учеников.

Гипотеза: осмысление учащимися собственных действий при изучении теорем позволит развить навыки доказательстваирешения задач по геометрии, достичь более высоких результатов обучения.

Школьные учебники геометрии показывают готовое доказательство теорем, но не обучают самому процессу доказательства. Учащиеся нередко испытывают трудности в усвоении теорем и воспроизведении их доказательств . Хорошо известен страх многих учащихся перед словом «теорема». Преодолеть его помогает целенаправленная работа в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина. Чтобы обеспечить усвоение теорем, их доказательств и научить самостоятельно решать задачи по геометрии, в соответствии с этой теорией необходимо организовать самостоятельную деятельность учащихся. Необходимо научить учащихся доказывать теорему самостоятельно.

Под обучением доказательству надо понимать обучение учащихся анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию фактов, поиску других путей доказательств, а также опровержению выдвинутых предложений.

Свой эксперимент я начала с вопроса, на который получила неожиданный ответ.

На первом этапе учащимся было предложено описать действия, которые они совершают при знакомстве и доказательстве теоремы. В результате были получены следующие варианты:

***

Читаю по учебнику теорему.

Учу.

В классе доказываю теорему.

***

Учу, как стихотворение. Когда рассказываю, то боюсь сбиться.

. ***

1.Учу по учебнику теорему.

2. Кратко записываю для себя доказательство.

3. Доказываю теорему, используя записи.

4. Рассказываю доказательство маме.

5. В классе доказываю теорему учителю.

После анализа индивидуальных стратегий я поняла, почему ребятам сложно доказать теорему. Это происходит потому, что они в принципе не понимают, что значит « выучить теорему». Далее, я выявила причины затруднений. Это и плохое качество знаний, неумение их применять, неосознанность умственных операций, неумение устанавливать связи между логическими шагами, слабая мотивация и т.д. Реализация требования «доказать теорему» предполагает ряд действий. Без овладения этими действиями в мышлении ученика не возникнет ассоциаций, которые позволили бы ему продвигаться в доказательстве теорем. К числу таких мыслительных операций относятся: выделить условие и заключение теоремы, зафиксировать их словесно и графически, разбить доказательство на части, каждую из которых проанализировать, сделать выводы и двигаться дальше. Следовательно, необходимо сформировать у учащихся в мышлении нужные для осуществления доказательства действия.

При изучении теоремы« Первый признак подобия треугольников», я составила для учащихся вопросник. Эти вопросы заставили задуматься над содержанием теоремы, над этапами доказательства, вызвав при этом в мышлении учащихся нужные ассоциации.

Вопросник.

С какого действия начали знакомство с теоремой?

Как вы понимаете, что это теорема?

Что мотивирует вас на изучение доказательства теоремы?

Сколько раз прочитали теорему?

Что дано?

Что надо доказать?

Поможет ли чертеж при доказательстве теоремы?

С чего вы начали изучать доказательство теоремы?

Можно ли доказательство теоремы разбить на части?

Знание каких фактов,теорем, определений вам пригодилось?

Что вам мешало при доказательстве теоремы?

А что помогало доказать теорему?

Как вы поняли, что теорема доказана?

Какое открытие вы для себя сделали?

Вы довольны? Что вы при этом испытываете?

Какие советы вы могли бы дать тем,кому предстоит изучать теорему ?

Вот некоторые из ответов на данные вопросы.

Юля:

Открыла учебник, нашла теорему, познакомилась зрительно.

Прочитала.

Стала изучать, т. К. мне интересно.

2 раза прочла теорему.

Дан первый признак подобия треугольников.

Что, если 2 угла одного треугольника равны 2 соответственным углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Да.

С текста.

Да.

Да.

Несосредоточенность, много новых слов.

Чертеж.

Когда поняла о чем теорема, посмотрела доказательство.

-----------

Антон:

С открытия учебника.

Там написано, что это теорема.

Знание теоремы и оценка.

2 раза.

Два треугольника.

Подобие треугольников.

Да.

С прочтения.

Да.

Теорема об отношении площадей подобных треугольников.

Незнание некоторых нужных фактов.

Помогла память.

В учебнике написано, что теорема доказана.

Я узнал новую теорему.

Да, я доволен.

Быть внимательным.

Алина:

Я ищу нужную мне теорему в учебнике, читаю ее, пытаюсь вникнуть в текст.

Я понимаю, что это теорема, т. к. к правилу дано доказательство этого факта.

Умение и понимание решения задач.

Я перечитываю теорему, пока не запомню ее, раза 4 -6.

Даны 2 треугольника, обозначены равные углы.

Подобие этих двух треугольников.

Чертеж поможет мне лучше понять, что нужно доказать и разобраться с условием.

Сначала я прочитаю все доказательство, потом сделаю чертеж и, внимательно вчитываясь, начну разбирать доказательство.

Что дано – подход к решению проблемы – доказательство – вывод.

Мне помогла с доказательством теорема о сумме углов треугольника, определение подобных треугольников, теорема об отношении площадей подобных треугольников.

Ничего не мешало.

Знание определения о подобных треугольниках, знание других теорем и фактов.

Дан вывод, и когда мы получили то, что нужно было доказать, заканчиваю словами «теорема доказана».

Я открыла для себя новый признак подобия треугольников и впервые сама смогла разобрать доказательство новой теоремы.

Учите теорему в тишине, вникая в текст. Сначала выучите формулировку теоремы, вспомните материал, который может помочь при доказательстве.

Виктория:

Открыла учебник, нашла нужную мне теорему, прочитала ее, стараясь запомнить ее.

Это предложение, которое надо доказать.

Меня мотивирует: а) получение хорошей оценки, т. к. это очень важно моим родителям и моему будущему; б) Изучение теорем развивает логическое мышление, а логика нужна при решении задач по геометрии. Значит, изучая теоремы, я учусь решать задачи.

Дано: 2 треугольника, равные углы в них.

Надо доказать, что два треугольника подобны.

Да. Чертеж мне очень помогает при доказательстве теорем и решении задач. Иногда чертеж подсказывает решение задачи.

Я прочитала несколько раз доказательство теоремы по учебнику, кратко записала его в тетрадь, а затем попыталась устно повторить теорему и доказательство.

Можно, на 2 части.

Мне пригодились знания, которые были получены мною ранее, даже из 7 класса.

Мне ничего не мешало. Главное знать, зачем все это надо.

В доказательстве теоремы мне помог учебник и огромное желание знать то, что еще мне не ведомо.

Логически определила, что доказывать больше нечего.

Сама теорема для меня уже открытие, я же не знала этого свойства раньше.

Довольна, что смогла доказать теорему, чувство удовлетворения, чувство гордости, что я все поняла.

Внимательно прочитай теорему и доказательство, попытайся понять их, прочитай несколько раз, докажи теорему кому-нибудь или зеркалу, я бы посоветовала иметь этот вопросник перед собой – помогает.

Используя этот вопросник ребята сами доказывали теорему. Для учеников данная работа была необычной, интересной и трудной. Мы рассмотрели и обобщили все ответы, отметив их разнообразие, выявили наиболее рациональные действия при выполнении данной работы. На следующий урок все опрошенные учащиеся смогли доказать теорему на положительные отметки.

Далее мы с учениками обсудили стратегии изучения и доказательства теоремы, выявили общие и различные закономерности их действий, создали банк успешных действий, назвав итоговую работу «Мои шаги».

Второй признак подобия треугольников ребята доказали сами, используя перечень «Мои шаги». А вот при изучении третьего признакаподобия (этот урок записан на видео, а конспект урока приведен ниже),мы смогли составить памятку доказательства теоремы, которую успешно применяли при доказательстве других теорем как в этом классе так и в другом классе данной параллели.

Памятка.

При изучении и доказательстве теорем надо:

Заменить термины в теореме определениями понятий, которые они обозначают или их признаками.

Развести элементы условия и заключения словами «дано» и «доказать».

Записать все известные величины в графу «Дано».

В графу «Доказательство» записать, что необходимо доказать.

Сделать четкий и аккуратный чертеж. Отметить на нем латинскими буквами то, что изначально известно.

Разбить теорему на части.

Доказать каждую часть по отдельности.

Закончить доказательство выводом «следовательно, первоначальное утверждение верно, теорема доказана».

Закрой учебник, докажи кому-нибудь теорему, попробуй.

Положив памятку перед собой, теперь любой ребенок может самостоятельно разобраться с теоремой и доказать ее. Эта памятка помогает извлекать информацию из условия теоремы, вычленять отдельные элементы, комбинировать их, делать самостоятельные выводы, формировать требования каждого этапа доказательства, в процессе работы оценивать свои знания, ликвидировать «пробелы». Не меньший интерес наша работа вызвала у моих коллег – математиков.

Использование технологии ЦРПС позволило добиться положительной динамики в изучении и доказательстве теорем в геометрии. Теперь все ученики 8 класса понимают, что означают слова учителя «выучить теорему». Ребят стала привлекать самостоятельная познавательная деятельность, у них изменилась мотивация, появилась уверенность в себе и собственных силах, возникло ответственное отношение к собственной деятельности. Вот одна из стратегий успешного изучения и доказательства теоремы после знакомства с основными принципами ЦРПС:

Саша:

Внимательно читаю теорему по учебнику.

Вчитываюсь в каждое слово, отмечая новые термины, словосочетания.

Читаю доказательство.

Определяюсь, понятно ли мне все.

Если что-то непонятно, вновь читаю, обращая внимание на каждое слово.

Если все понятно, то выясняю и записываю, что дано и что надо доказать.

Делаю чертеж, соответствующий условию теоремы с указанием всех данных.

Перечитываю вновь внимательно доказательство.

Стараюсь поделить доказательство на логические части.

Доказываю теорему по частям, делая необходимые выводы.

Еще раз читаю теорему.

Закрыв учебник, используя чертеж, доказываю теорему.

Все, теорему выучил и доказал!

Теперь постараюсь применить знания, полученные в ходе изучения теоремы.

Проведенные наблюдения, анализ стратегий, беседы с учащимися позволили определить и перспективы работы – необходимость исследования стратегии эвристического доказательства теорем, доказательства методом «от противного».

Разработка урока

Предмет: геометрия.

Учитель: Петрова Елена Владимировна

Класс: 8 «г»

Тема урока: третий признак подобия треугольников.

Цель урока: составить памятку по изучению и доказательству теорем, апробировать ее при изучении третьего признака подобия треугольников.

Задачи урока, сформулированные на деятельностной основе:

- воспитательная: развитие мотивации для изучения геометрии; формирование уважительного отношения к иному мнению, к иной точке зрения; развитие самостоятельности в решении личностных проблем.

-учебная : Составить памятку, способствующую успешному изучению и доказательству теорем, применить ее для самостоятельного изучения

третьего признака подобия треугольников.

- развивающая: формировать умение анализировать, выделять главное, сравнивать, обобщать, систематизировать, объяснять понятия и доказывать их.

Этап

Название этапа

Задачи

Деятельность учителя (методы и приёмы обучения)

Деятельность ученика (формы организации УПД)

Ожидаемый результат (знания, умения, способы деятельности)

Мотивирование к учебной деятельности

Создать условия для возникновения внутренней потребности включения в учебную деятельность

У меня есть два треугольника. Стороны одного из них 3 см, 5см и 4 см, а другого 12 см, 20 см и 16 см. Как выяснить, подобны ли эти треугольники?

Проанализировать ситуацию, потытаться решить проблему.

Ученики задумаются над решением этой задачи, но решить не смогут.

Выявление места и причины затруднения.

Выяснить причины: почему мы не можем ответить на поставленный вопрос?

Организовать деятельность учеников так, чтобы подвести их к причине затруднения.

В процессе обсуждения ученики выясняют, что им мешает решить эту задачу, а что могло бы помочь выйти из затруднительного положения.

Ученики осознают, что для решения проблемы, у них недостаточно знаний

Построение проекта выхода из затруднения.

Помочь ученикам найти выход из ситуации

Учитель помогает в постановке цели с помощью подводящего диалога, побуждения к действию.

Учащиеся ставят цели и выбирают способ для достижения цели – изучить еще один признак подобия треугольников.

Проанализировав ситуацию, приходим к выводу о необходимости создания памятки по изучению и доказательству теорем.

Реализация намеченного плана

Создать универсальную памятку.

Учитель руководит процессом

Учащиеся составляют индивидуально свою памятку на основе «мои шаги», выявленных на предыдущих уроках, чтоб успешно изучить теорему; а затем в процессе обсуждения создаем универсальную памятку.

Создание памятки для успешного доказательства лябой теоремы по учебнику.

Реализация построенного проекта.

Разобрать по учебнику третий признак подобия треугольников.

Учитель руководит процессом

Ученики по учебнику разбирают новую для нх теорему и с помощью памятки описывают ее доказательство в тетрадь.

Теорема разобрана и ее доказательство записано в тетрадь.

Первичное закрепление с программированием во внешней речи

Выяснить все непонятные моменты в теореме

Учитель помогает учащимся, фиксируя преодоление возникших затруднений.

Соотносят записи в тетради с планом доказательства, выясняют возникшие вопросы и делают выводы.

.Проанализировать проделанную работу и устно разобрать доказательство

Включение в систему знаний и повторение.

Доказать третий признак подобия треугольников.

Учитель предлагает, используя составленную памятку, доказать теорему у доски.

Ученики по своему желанию доказывают теорему у доски.

Кто-то из ребят сможет ответить у доски.

Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Фиксирует степень достижения цели.

Ученики понимают, что теперь и эта задача решаема, т.е. поднимается самооценка ученика.

Ученикам понравится такой вид деятельности и они поймут, что именно такой подход к изучению и доказательству теоремы наиболее эффективен.

Как мы уже отмечали выше, структура доказательства как логическая конструкция состоит из тезиса, аргументов и демонстрации.

В демонстрации отражается характер логических связей между тезисом и аргументами. В зависимости от вида демонстрации в методической литературе часто употребляются термины «способ доказательства» и «метод доказательства». Покажем, в чем состоит их отличие.

Если доказательство утверждения отличается от другого доказательства того же самого утверждения не логической основой, а последовательностью умозаключений, то будем говорить, что утверждение доказывается двумя различными способами. Если же одно доказательство отличается от другого логической основой, то будем говорить о различных методах доказательства.

Покажем отличие метода от способа доказательства (или решения) на задачах, приведенных ниже.

На рисунке 2 KM LN, ∠POM + ∠LOR = 75° и ∠KOR = 58°. Вычислить ∠РОМ и ∠LOP.

Дано: KM LN, ∠РОМ + ∠LOR = 75°, ∠KOR = 58°.

Найти: ∠РОМ и ∠LOP.

1) ∠ROL = 90° - ∠KOR = 90° - 58° = 32°.

2) ∠РОМ = 75° - ∠ROL = 75° - 32° = 43°.

3) ∠POL = ∠LOM + ∠MOP = 90°+ 43° = 133°.

1) ∠ROL = 90° - 58° = 32°.

2) ∠РОМ = 75° - 32° = 43°.

3) ∠NOP = 90°- 43° = 47°.

4) ∠POL = 180° - ∠NOP = 180°- 43° = 133°.

1) ∠NOР = 360° - 90° - 90° - 58° - 75° = 47°.

2) ∠POL = 180° - ∠NОР = 180° - 47° = 133°.

3) ∠РОМ = 90° - ∠NОР = 90° - 47° = 43°.

Как мы видим, в этих способах решения отличными являются лишь последовательности умозаключений.

Задача 2. Дан квадрат ABCD (рис. 3). Вершина квадрата D соединена с точками М и Р, которые соответственно являются серединами сторон АВ и ВС. Точка М соединена с точкой N, являющейся серединой стороны DC. Докажите, что .

Из чертежа имеем . Отнимем от обеих частей равенства . Получим - = - , откуда имеем .

Из чертежа имеем

Вычтем из равенства (1) равенство (2). Получим - = - - - + +

Учитывая, что = , последнее равенство будет иметь вид: - = - . Прямоугольник AMND разделен диагональю DM на два равных треугольника: ∆ADM=∆DMN, тогда - . Учитывая это, получим - = 0, откуда окончательно имеем = .

Задача 3. К плоскости прямоугольника ABCD через точку А проведен перпендикуляр, на котором взята точка К, соединенная с точками В, С и D (рис. 4). Найти АК, если KB = 6 м, КС = 7 м, KD = 5 м.

Дано: ABCD - прямоугольник; AK ⊥ (АВС)

Найти: АК.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник КDC (∠KDC = 90° по теореме о трех перпендикулярах). По теореме Пифагора имеем DC = (м).

2) По свойству прямоугольника имеем AB = DC = (м).

3) Из прямоугольного треугольника АВК имеем AK = (м).

Введем обозначения: АВ = х, AC = z, AD = y.

1) Из прямоугольного треугольника АКВ .

2) Из прямоугольного треугольника КАС .

3) Из прямоугольного треугольника KAD .

4) Получим систему уравнений:

5) Учитывая, что , система примет вид:

Решив систему, получим - = -12, откуда AK (м).

Мы видим, что в основе этих двух решений лежат совершенно разные логические основы, а значит, речь должна идти о двух разных методах решения: геометрическом и алгебраическом.

Задача 4. Доказать, что если в выпуклом четырехугольнике каждая из его диагоналей делит его площадь пополам, то он является параллелограммом.

В четырехугольнике ABCD (рис. 5), в котором АС и BD - диагонали, проведем BN ⊥ AC и DM АС.

По условию . Учитывая, что = AC BN, а =

AC DM, имеем AC BN = AC DM , откуда следует, что BN = DM. ∠MOD = ∠NOB как вертикальные, следовательно, прямоугольные треугольники BON и MOD равны по катету и острому углу, откуда имеем

Аналогично доказывается равенство OC = OA. Следовательно, мы получили, что в выпуклом четырехугольнике его диагонали в точке пересечения делятся пополам, а это и означает, что четырехугольник – параллелограмм.

Обозначим площадь четырехугольника буквой S. Тогда по условию задачи и , откуда . И так как площади треугольников BCD и ACD равны и основанием у них является один и тот же отрезок CD, то и высоты этих треугольников будут равными. То есть мы доказали, что все точки отрезка АВ отстоят на одинаковом расстоянии от отрезка CD, а значит, АВ ∥ CD. Аналогично доказывается параллельность отрезков AD и ВС. Из того что в четырехугольнике противоположные стороны оказались попарно параллельны, мы заключаем, что он является параллелограммом.

Построим к предложенной задаче новый чертеж (рис. 6). Проведем через точки В и D прямые , параллельные АС, через точки А л С - прямые и , параллельные BD.

Так как по условию задачи и АС - общее основание треугольников AВС и ADC, то высоты этих треугольников равны и прямые находятся на равных расстояниях от прямой . Аналогично рассуждение о прямых и .

При центральной симметрии с центром О прямая переходит в прямую , прямая переходит в прямую , а прямые и перходят сами в себя как прямые, проходящие через центр симметрии. Тогда эта центральная симметрия переведет точку В в точку D, а точка А в точку С. В силу свойства центральной симметрии AB = CD и BC = DA, а значит, по признаку параллелограмма четырехугольник ABCD - параллелограмм.

Доказательство в математике и других дедуктивных науках есть цепочка правильных умозаключений, идущих от исходных для данной теории посылок, признанных истинными, к доказываемому утверждению.

Основным инструментом доказательства теорем являются умозаключения. Умозаключение - рассуждение, в ходе которого из одного или нескольких суждений (называемых посылками умозаключения) выводится новое суждение (называемое заключением или следствием), логически вытекающее из посылок.

Формой дедуктивных умозаключений, используемых при доказательстве теоремы, является силлогизм. В силлогизме содержится три понятия, а состоит он из двух посылок и вывода. Его структуру можно представить в таком виде:

Все М есть Р - большая посылка (БП);

К есть М - меньшая посылка (МП);

К есть Р - вывод (В).

Приведем пример силлогизма: «Все ромбы (М) есть параллелограммы (Р). Квадрат (К) есть ромб (М). Следовательно, квадрат (К) есть параллелограмм (Р)».

Цепочка последовательно связанных силлогизмов, устанавливающая истинность теоремы, называется доказательством теоремы. В качестве примера такой цепочки силлогизмов рассмотрим доказательство теоремы из курса 8 класса: «Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды».

Дано: АВ, CD - хорды, Е - точка пересечения хорд.

Доказать: AE BE = CE DE (рис. 7).

Доказательство

Силлогизм 1

БП: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.

МП: Вписанные углы (∠1 и ∠2) опираются на одну и ту же дугу BMD.

В: ∠1 = ∠2.

Силлогизм 2

БП: Вертикальные углы равны.

МП: ∠3 и ∠4- вертикальные.

В: ∠3 = ∠4.

Силлогизм 3

БП: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.

МП: Два угла (∠1 = ∠3) треугольника AED соответственно равны двум углам (∠2 = ∠4) треугольника СЕВ.

В: ∆AED ∆СЕВ.

Силлогизм 4

БП: В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны.

МП: Стороны АЕ, DE и СЕ, BE - сходственные стороны подобных треугольников AED и СЕВ.

Силлогизм 5

БП: Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции.

МП: АЕ и BE - крайние члены, a DE и СЕ - средние члены одной и той же пропорции.

В: AE BE = DE CE.

Проведение любого доказательства опирается на три блока знаний и умений: содержательный, структурный, логический.

В содержательный блок входят элементы, связанные с ранее изученными математическими понятиями и фактами, которые использованы или в формулировке утверждения, или в качестве аргументов при проведении рассуждений. Эти элементы существенно зависят от логической структуры курса, от его аксиоматики, от методических особенностей изложения и т. д., а поэтому для одной и той же теоремы в различных учебниках содержательный блок может оказаться различным.

В структурный блок входят знания и умения, связанные со структурой утверждения и возможностями ее преобразования. В этот блок входят умения выделять условие и заключение теоремы, преобразовывать логическую форму теоремы с целью получения более простых под теорем и т. д.

Логический блок содержит знания и умения, связанные с правилами логических рассуждений.

Усвоить содержание теорем (правил, формул, тождеств и т. д.), которые изучаются в школе, не так уж трудно. Для этого необходимо систематически пытаться понять смысл теоремы (правил, формул, тождеств и т. д., как можно чаще применять их при решении задач, при доказательстве других теорем. Такая работа, как показывает практика, приводит к непроизвольному усвоению их содержания, запоминанию их формулировок. Значительно труднее научиться доказывать теоремы. При этом речь идет не о запоминании доказательства той или иной теоремы, которая была рассмотрена на уроке. Специально запоминать доказательство не нужно, нужно научиться самому доказывать теоремы. Доказательства теорем в учебнике следует рассматривать как образец (эталон) рассуждений при доказательстве какого-либо утверждения.

Что значит доказать теорему, что такое доказательство?

Доказательство в широком смысле — это логическое рассуждение, в процессе которого истинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других положений.

Поэтому, когда вы убеждаете своего товарища в чем-либо или отстаиваете в споре с ним свое мнение, свою точку зрения, то вы по существу производите доказательство (умело или неумело — это уже другой вопрос) . В жизни все время, каждодневно в общении с другими людьми, приходится доказывать те или иные мысли, утверждения, приходится убеждать в чем-то, т. е. доказывать.

Доказательство математических теорем есть частный случай доказательства вообще. Оно отличается от доказательства в житейских условиях или в других науках тем, что оно совершается по возможности чисто дедуктивным способом (от латинского слова дедукция — выведение), т. е. выведением новой доказываемой мысли (утверждения, суждения) из ранее доказанных или принятых без доказательства мыслей (аксиом) по правилам логики без каких-либо ссылок на примеры или опыт. В других науках, в житейских обстоятельствах мы для доказательства часто прибегаем к примерам, к опыту. Мы говорим: «Смотри» — и это может служить доказательством. В математике такой способ доказательства недопустим, ссылаться, например, на очевидные отношения, иллюстрируемые чертежом, не разрешается. Математическое доказательство должно представлять собой цепочку логических следствий из исходных аксиом, определений, условий теоремы и ранее доказанных теорем до требуемого заключения.

Таким образом, при доказательстве теоремы мы сводим ее к ранее доказанным теоремам, а те в свою очередь еще к другим и т. д. Очевидно, что этот процесс сведения должен быть конечным, и поэтому всякое доказательство в конце концов сводит доказываемую теорему к исходным определениям и принятым без доказательства аксиомам.

Следовательно, аксиомы служат не только для косвенного определения первичных понятий, но и в качестве оснований для доказательства всех теорем математики. Вот почему в числе аксиом встречаются и такие, которые указывают особые свойства понятий, имеющих логические определения. Так, например, параллельные прямые в курсе геометрии являются не первичным понятием, а определяемым. Однако одно из свойств параллельных прямых, а именно что ч ерез точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной , мы вынуждены принять за аксиому, ибо, как было установлено великим русским геометром Н. И. Лобачевским (1792—1856), а также немецким математиком К. Ф. Гауссом (1777—1855) и венгерским математиком Я. Больяй (1802—1860), доказать это свойство параллельных прямых на основе лишь остальных аксиом геометрии невозможно.

Всякий шаг доказательства состоит из трех частей:

1) предложение (аксиома, теорема, определение), на основе которого производится этот шаг доказательства; это основание шага доказательства называется посылкой или аргументом;

2) логическое рассуждение, в процессе которого посылка применяется к условиям теоремы или к ранее полученным следствиям;

3) логическое следствие применения посылки к условиям или ранее полученным следствиям.

В последнем шаге доказательства теоремы в качестве следствия получаем утверждение, которое необходимо было доказать. Покажем процесс доказательства на примере такой теоремы: «Диагонали прямоугольника равны».

В этой теореме нам дан произвольный (любой) прямоугольник, Для того чтобы легче было рассуждать в процессе доказательства, поступают следующим образом. Начертим вполне определенный прямоугольник ABCD, но при доказательстве не будем использовать какие-либо частные особенности этого прямоугольника (например, что его сторона АВ примерно в 2 раза больше стороны AD и т. д.). Поэтому наши рассуждения относительно этого определенного прямоугольника будут верны и для любого другого прямоугольника, т. е. они будут иметь общий характер для всех прямоугольников.

Проведем диагонали АС и BD. Рассмотрим полученные треугольники ABC и ABD. У этих треугольников углы ABC и BAD равны как прямые, катет АВ — общий, а катеты ВС и AD равны как противоположные стороны прямоугольника. Следовательно, эти треугольники равны. Отсюда следует, что стороны АС и BD также равны, что и требовалось доказать.

Все доказательство этой теоремы можно изобразить в виде следующей схемы.

Самое трудное в доказательстве — это найти последовательность посылок (аксиом, теорем, определений), применяя которые к условиям теоремы или промежуточным результатам (следствиям) в конечном итоге можно получить нужное следствие — доказываемое положение.

Какими правилами нужно руководствоваться при поиске этой последовательности? Очевидно, что эти правила не могут носить обязательный характер, они лишь указывают возможные пути поиска. Поэтому они называются эвристическими правилами или просто эвристиками (от греческого слова эврика — нахожу, нашел). Многие выдающиеся математики, такие, как Папп (древнегреческий математик, живший в III в.), Блез Паскаль (1623—1662), Рене Декарт (1596—1650), Жак Адамар (1865—1963), Дьердж Пойя (1887) и многие другие, занимались разработкой эвристик для поиска доказательства теорем и решения задач. Вот некоторые эвристические правила, которые полезно помнить:

1. Полезно заменять названия объектов, о которых идет речь в теореме (задаче), их определениями или признаками.

Например, в рассмотренной выше теореме шла речь о прямоугольнике, и мы для доказательства использовали определение прямоугольника.

2. Если можно, то нужно доказываемое положение раздробить на части и доказывать каждую часть в отдельности.

Так, например, доказательство теоремы: «Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм» — можно разделить на две части: сначала доказать, что одна пара противоположных сторон данного четырехугольника параллельна, а затем доказать, что и вторая пара противоположных сторон также параллельна.

Так следует поступать всегда, когда есть возможность доказываемое утверждение разбить на несколько частей более простых утверждений.

3. В поисках доказательства теоремы полезно идти с двух сторон: от условий теоремы к заключению и от заключения к условиям.

Например, нужно доказать такую теорему: «Если некоторая последовательность такова, что любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, то эта последовательность — арифметическая прогрессия».

Пойдем от условия теоремы. Что нам дано? Дано, что каждый член последовательности, начиная со второго (обозначим его a n , где n ³ 2), есть среднее арифметическое предшествующего и последующего членов, т.

a n- 1 и a n+1 . Значит, верно такое равенство:
(1)

Теперь пойдем от заключения. А что нам нужно доказать? Нужно доказать, что эта последовательность — арифметическая прогрессия. А какая последовательность называется арифметической прогрессией? Вспоминаем определение:

a n = a n-1 + d, где n 2, d — постоянное число. (2)

Сопоставляем данное нам условие (1) с заключением (2). Чтобы условие приняло форму заключения, надо преобразовать так:

2a n = a n-1 + a n+1 , (3)

Отсюда a n — a n-1 = a n+1 — a n . (4)

Левая и правая части (4) обозначают одно и то же, а именно разность между двумя последовательными членами заданной последовательности. Если в равенстве (4) п давать последовательно значения 2, 3 и т. д., то получим: а 2 —a 1 = а 3 — a 2 , затем а 3 - a 2 = a 4 - a 3 и т. д. Следовательно, все эти разности равны между собой, а это значит, что разность а п — а п -1 есть постоянное число, которое можно обозначить буквой, например, буквой d:

а п — а п-1 = d.

Отсюда получаем: a n = a n-1 + d, а это значит, что согласно определению (2) данная последовательность есть арифметическая прогрессия, что нам и надо было доказать.

Эту эвристику можно и так сформулировать: надо стараться сблизить условие и заключение теоремы, преобразуя их или заменяя их следствиями.

Известен и ряд более частных эвристических правил, которые применяются при поиске лишь некоторых теорем. Например, такая эвристика: для того чтобы доказать равенство каких-либо отрезков, надо найти или построить фигуры, соответствующими сторонами которых являются эти отрезки; если фигуры окажутся равными, то будут равны и соответствующие отрезки.

Изучая теоремы, нужно не просто запоминать их доказательство, а каждый раз думать и устанавливать, какими методами они доказываются, какими эвристическими правилами руководствовались при нахождении этих доказательств, как догадались (додумались) до этих доказательств.

В ряде случаев для доказательства теорем используется особый прием, называемый «доказательством от противного» или «приведением к нелепости».

Сущность этого приема заключается в том, что предполагают несправедливость (ложность) заключения данной теоремы и доказывают, что такое предположение приводит к противоречию с условием или с ранее доказанными теоремами или аксиомами. А так как любое утверждение может быть либо верным, либо неверным (ничего другого быть не может), то полученное противоречие показывает, что допущение о ложности заключения теоремы неверно и, следовательно, заключение верно, тем самым теорема доказана.

Приведем пример.

Теорема. Две прямые, порознь параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: а||с, b||с.
Доказать: а||b.

Докажем эту теорему методом от противного. Допустим, что заключение теомы неверно, т. е. прямая а непараллельна прямой b. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. А так как по условию каждая из этих прямых параллельна прямой с, то получается, что через точку М проведены две прямые а и b, параллельные одной и той же прямой с. А мы знаем по аксиоме параллельности, что через точку вне прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Пришли к противоречию с аксиомой. Это показывает, что наше предположение о непараллельности прямых а и b неверно, следовательно, а||b, что и требовалось доказать.

Другой пример.

Теорема. Среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше {значит: больше или равно) среднего геометрического этих чисел.

Эту теорему можно так записать:

Где а>0, b>0, (1)

Ее можно доказать как прямым способом, так и способом от противного. Докажем ее способом от противного.

Для этого допустим, что она неверна, т. е. среднее арифметическое меньше среднего геометрического двух положительных чисел: ; (2)

Умножим обе части (2) на 2 и возведем их в квадрат, получим: a 2 + 2ab + b 2 <.4ab или a 2 — 2ab + b 2 < 0. По формуле квадрата разности двух чисел получаем: (а — b) 2 < 0.

В результате получили явную нелепость: квадрат некоторого числа (а — b) отрицателен, чего быть не может. Следовательно, предположение о неверности теоремы привело к противоречию, что доказывает справедливость теоремы.

Таким образом, доказательство от противного некоторой теоремы состоит в том, что мы делаем допущение о неверности заключения теоремы. Затем делаем ряд логических умозаключений на основе этого допущения, в результате которых приходим к явно нелепому положению (к противоречию с условием или ранее доказанными теоремами, аксиомами). Далее рассуждаем так: если бы наше предположение было бы верным, то мы могли бы прийти лишь к верному выводу, а так как мы пришли к неверному выводу, то это означает, что наше предположение было ложным, следовательно, тем самым мы убедились, что заключение теоремы верно.

Заметим, что если в результате рассуждений мы не получили бы нелепости (противоречия), то это еще не означало бы, что предположение верно. Иными словами, если исходить из верности (справедливости) заключения теоремы и из этого предположения получить верное (очевидное) следствие, то это еще не значит, что предположение верно: может случиться, что исходная теорема как раз неверна.

На этом построены многие софизмы (умышленно ложно построенные умозаключения, кажущиеся лишь правильными), этим объясняются многие ошибки, допускаемые, при решении задач.

Рассмотрим, например, такое равенство: а — b = b — a (1), где а и b — произвольные числа. Допустим, что (1) верно, тогда возвысим обе части (1) в квадрат, получим:

a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2

Перенеся все члены в одну сторону и сделав приведение подобных, придем к совершенно верному равенству: 0 = 0. Но отсюда нельзя делать вывод, что и исходное равенство (1) верно. Если бы мы такой вывод сделали, то пришли бы к такому софизму: 2а = 2b или а = b, т. е. любые произвольные числа равны между собой. Ошибка состоит в том, что из равенства квадратов двух чисел не следует равенство самих этих чисел. Например, (-2) 2 = 2 2 , но -2 2.

Вот пример ошибочного решения задачи.

Задача. Решить уравнение 3 + x + 2 = 0 (1).

Допустим, что уравнение (1) имеет решение и, следовательно, равенство (1) верно. Тогда получим: З = — х — 2. Возведем обе части равенства в квадрат: 9х = х 2 + 4х + 4 или х 2 —5x + 4 = 0, отсюда x 1 =4, х 2 =1. Можно ли найденные значения х считать корнями уравнения (1)? Некоторые ученики отвечают на этот вопрос утвердительно, ибо ведь все преобразования уравнения верные. И все же ни одно из найденных значений х не является корнем (1). Это подтверждает проверка. Подставляя найденные значения х в (1), получаем явно нелепые равенства: 12 = 0 и 6 = 0.

А как все же решить это уравнение. Заметим, что выражение в левой части уравнения имеет смысл, если x 0. Тогда левая часть уравнения при любых допустимых значениях х принимает только положительные значения и ни как не может быть равной 0, следовательно, данное уравнение корней не имеет.

Таким образом вы должны учиться доказывать теоремы (формулы, тождества и т. д.), овладевать общими способами поиска доказательства теорем.