Формула пика для нахождения площади. Геометрия

При помощи формулы Пика можно находить площадь фигуры, построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник).

В задачах, которые будут на ЕГЭ, есть целая группа заданий, в которых дан многоугольник, построенный на листе в клетку и стоит вопрос о нахождении площади. Масштаб клетки - один квадратный сантиметр.

Просмотр содержимого презентации

Георг Пик

Георг Александр Пик,

австрийский математик

(10.08.1859 - 13.07.1942)

Формула была открыта в 1899 г.

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах):
N – количество узлов внутри треугольника;

* Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.

Найдём площадь треугольника:

Отметим узлы:

1 клетка = 1 см

M = 15 (обозначены красным)
N = 34 (обозначены синим)

Найдём площадь параллелограмма:

Отметим узлы:

M = 18 (обозначены красным)
N = 20 (обозначены синим)

Найдём площадь трапеции:

Отметим узлы:

M = 24 (обозначены красным)
N = 25 (обозначены синим)

Найдём площадь многоугольника:

Отметим узлы:

M = 14 (обозначены красным)
N = 43 (обозначены синим)

Отметим узлы:

M = 11 (обозначены красным)
N = 5 (обозначены синим)

Решите самостоятельно:

1. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах .

Опишем около неё прямоугольник:

Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур:

Ответы:

№ задания

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу). Точнее, если S - площадь многоугольника, - число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и - число клеток, которые имеют с внутренностью многоугольника хоть одну общую точку.

Будем рассматривать ниже только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги - в таких, где пересекаются линии сетки. Оказывается, что для таких многоугольников можно указать такую формулу:

где - площадь, r - число узлов, которые лежат строго внутри многоугольника.

Эту формулу называют «формула Пика» - по имени математика, открывшего её в 1899 году.

Простые треугольники

Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника. Проделав это, например, для треугольников, изображённых на рисунке 1.34, можно убедиться, что площадь получается всегда равной «полученному» числу - числу вида, где - целое.

Назовём треугольник простым, если ни внутри него, ни на его сторонах нет узлов сетки, за исключением вершин. Все простые треугольники на рис. 1.34 имеют площадь. Мы увидим, что это не случайно.

Задача . Три кузнечика (три точки) в начальный момент времени сидят в трёх вершинах одной клетки, а затем начинают «играть в чехарду»: каждый может прыгнуть через одного из двух других, после чего оказывается в симметричной относительно его точке (рис. 1.35, ясно, что после любого числа таких прыжков кузнечики будут попадать в узлы клетчатой бумаги). В каких тройках точек могут через несколько прыжков оказаться кузнечики?

Назовём треугольник достижимым, если в его вершинах могут одновременно оказаться три кузнечика, которые вначале были в трёх вершинах одной клетки; прыжком будем называть преобразование треугольника, заключающееся в том, что одна из вершин переходит в точку, симметричную относительно любой из двух других вершин (эти две вершины остаются на месте).

Теорема 1 . Следующие три свойства треугольников с вершинами в узлах клетчатой бумаги эквивалентны друг другу:

1) треугольник имеет площадь,

2) треугольник прост,

3) треугольник достижим.

Познакомимся со следующими свойствами простого треугольника, которые и приводят к справедливости данной теоремы.

1. Площадь треугольника при прыжке не меняется.

2. Любой достижимый треугольник имеет площадь.

3. Если достроить простой треугольник АВС до параллелограмма ABCD , то ни внутри, ни на сторонах этого параллелограмма не будет узлов (не считая вершин).

4. Из простого треугольника при прыжке получается простой.

5. Из простого треугольника один из углов - тупой или прямой (причём последний случай возможен только для треугольника, у которого три вершины принадлежат одной клетке, такой простой треугольник - со сторонами 1, 1, будем называть минимальным.)

6. Из любого простого не минимального треугольника можно одним прыжком получить треугольник, у которого наибольшая сторона меньше, чем наибольшая сторона исходного.

7. Любой простой треугольник можно конечным числом прыжков перевести в минимальный.

8. Любой простой треугольник достижим.

9. Любой простой треугольник имеет площадь.

10. Любой треугольник можно разрезать на простые.

11. Площадь любого треугольника равна, причём при любом разрезании его на простые их количество равно m .

12. Любой треугольник площади - простой.

13. Для любых двух узлов А и В решётки, на отрезке между которыми нет других узлов, найдётся узел С такой, что треугольник АВС - простой.

14. Узел С в предыдущем свойстве можно всегда выбрать так, что угол АСВ будет тупым или прямым.

15. Пусть клетчатая плоскость разрезана на равные параллелограммы так, что все узлы являются вершинами параллелограммов. Тогда каждый из треугольников, на которые один из этих параллелограммов разрезается своей диагональю - простой.

16. (Обратное 15). Треугольник АВС - простой тогда и только тогда, когда всевозможные треугольники, полученные из АВС параллельными переносами, переводящими узел А в различные узлы решётки, не накладываются друг на друга.

17. Если решётку - узлы клетчатой бумаги - разбить на четыре подрешётки с клетками (рис. 1.36), то вершины простого треугольника обязательно попадут в три разные подрешётки (все три имеют разные обозначения).

Следующие два свойства дают ответ к задаче о трёх кузнечиках.

18. Три кузнечика могут одновременно попасть в те и только те тройки точек, которые служат вершинами простого треугольника и имеют тот же знак, что и соответствующие вершины начального треугольника.

19. Два кузнечика могут одновременно попасть в те и только те пары узлов соответствующих знаков, на отрезке между которыми нет других узлов.

Триангуляция многоугольника

Мы рассмотрим частный вид многоугольников на клетчатой бумаге, которому в формуле Пика соответствуют значения. Но от этого частного случая можно перейти сразу к самому общему, воспользовавшись теоремой о разрезании на треугольники произвольного многоугольника (клетчатая бумага больше не нужна).

Пусть на плоскости задан некоторый многоугольник и некоторое конечное множество К точек, лежащих внутри многоугольника и на его границе (причём все вершины многоугольника принадлежат множеству К ).

Триангуляцией с вершинами К называется разбиение данного многоугольника на треугольники с вершинами в множестве К такое, что каждая точка из К служит вершиной каждому из тех треугольников триангуляции, которым эта точка принадлежит (то есть точки из К не попадают внутрь или на стороны треугольников, рис. 1.37).

Теорема 2 . а) Любой n -угольник можно разрезать диагоналями на треугольники, причём количество треугольников будет равно n - 2 (это разбиение - триангуляция с вершинами в вершинах n -угольника).

б) Пусть на границе многоугольника отмечено r точек (включая все вершины), внутри - ещё i точек. Тогда существует триангуляция с вершинами в отмеченных точках, причём количество треугольников такой триангуляции будет равно.

Разумеется, а) - частный случай б), когда.

Справедливость этой теоремы следует из следующих утверждений.

1) Из вершины наибольшего угла n -угольника () всегда можно провести диагональ, целиком лежащую внутри многоугольника.

2) Если n -угольник разрезан диагональю на р -угольник и q -угольник, то.

3) Сумма углов n -угольника равна.

4) Любой n -угольник можно разрезать диагоналями на треугольника.

5) Для любого треугольника, внутри и на границе которого отмечены несколько точек (в том числе и все три его вершины), существует триангуляция с вершинами в отмеченных точках.

6) То же самое верно и для любого n -угольника.

7) Число треугольников триангуляции равно, где i и r - количество отмечены несколько точек соответственно внутри и на границе многоугольника. Назовём разбиение n -угольника на несколько многоугольников правильным, если каждая вершина одного из многоугольников разбиения служит вершиной всех других многоугольников разбиения, которым она принадлежит. 8) Если из вершин k -угольников, на которые разбит правильным образом n -угольник, i вершин лежат внутри и r - на границе n -угольника, то количество k -угольников равно

9) Если точек плоскости и отрезков с концами в этих точках образуют многоугольник, правильно разбитый на многоугольников, то (рис. 1.38)

Из теорем 1 и 2 и вытекает формула Пика:

1.5 Теорема Пифагора о сумме площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника

Теорема . Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника.Доказательство. Пусть АВС (рис. 1.39) - прямоугольный треугольник, а BDEA , AFGE и BCKH - квадраты, построенные на его катетах и гипотенузе; требуется доказать, что сумма площадей двух первых квадратов равна площади третьего квадрата.

Проведём ВС . Тогда квадрат BCKH разделится на два прямоугольника. Докажем, что прямоугольник BLMH равновелик квадрату BDEA , а прямоугольник LCKM равновелик квадрату AFGC .

Проведём вспомогательные прямые DC и АН . Рассмотрим треугольники DCB и ABH . Треугольник DCB , имеющий основание BD , общее с квадратом BDEA , а высоту СN , равную высоте АВ этого квадрата, равновелик половине квадрата. Треугольник АВН , имеющий основание ВН , общее с прямоугольником BLMH , и высоту АР , равную высоте BL этого прямоугольника, равновелик его половине. Сравнивая эти два треугольника между собой, находим, что у них BD = ВА и ВС = ВН (как стороны квадрата);

Сверх того, DCB = АВН , т. к. каждый из этих углов состоит из общей части - АВС и прямого угла. Значит, треугольники АВН и ВСD равны. Отсюда следует, что прямоугольник BLMN равновелик квадрату BDEA . Точно также доказывается, что прямоугольник LGKM равновелик квадрату AFGC . Отсюда следует, что квадрат ВСКН равновелик сумме квадратов BDEA и AFGC .

Вычисление площади фигуры.

Метод Пика

Работа обучающейся 5Б класса МБОУ СОШ №23 г. Иркутска

Балсуковой Александры

Руководитель: Ходырева Т.Г.

2014г.

Вычисление площади фигуры. Метод Пика

Объект исследования : задачи на клетчатой бумаге

Предмет исследования : задач на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Методы исследования : сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературы и Интернет-ресурсов, анализ информации.

Цель исследования:

выбрать главную, интересную, понятную информацию

Проанализировать и систематизировать полученную информацию

Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге

проверить формулы вычисления площадей геометрических фигур с помощью формулы Пика

Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.

(Г. Галилей)

Актуальность темы

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Так при изучении темы «Площади многоугольников» встает вопрос есть ли задачи, отличные от задач рассмотренных в учебнике. К таким задачам можно отнести задачи на клетчатой бумаге. В чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. На уроке математики учитель познакомила нас с интересным методом вычисления многоугольников. Я приступила к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке. Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

И еще я узнала, что такие задачи рассматриваются в контрольно – измерительных материалах ГИА и ЕГЭ. Поэтому, считаю изучение этого материала полезным для применения его не только в дальнейшем учебном процессе, но и для решения нестандартных олимпиадных задач.

2.Понятие площади

Площадь - численная характеристика двумерной геометрической фигуры, показывающая размер этой фигуры. Исторически вычисление площади называлось . Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой .

Площадь плоской фигуры с точки зрения геометрии

1. Площадь -мера плоской фигуры по отношению к стандартной фигуре, являющейся квадратом со стороной, равной единице длины.

2. Площадь - численная характеристика, приписываемая плоским фигурам определенного класса (например, многоугольникам). Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, принимаемая равной единице площади

3. Площадь - положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

 Равные фигуры имеют равные площади;

 Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами (т.е. те, которые можно разбить на конечное число плоских треугольников), то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей;

 Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.

Таким образом, можно сделать вывод, что площадь не является конкретной величиной, а только дает некоторую условную характеристику какой-либо плоской фигуры. Чтобы найти площадь произвольной фигуры, то необходимо определить, сколько квадратов со стороной, равной единице длины, она в себя вмещает. Например, возьмем прямоугольник, в котором квадратный сантиметр укладывается ровно 6 раз. Это означает, что площадь прямоугольника равняется 6 см 2 .

Выбор площади квадрата со стороной, равной единице измерения, в качестве минимальной единицы измерения всех площадей не случаен. Это результат договоренности между людьми, возникший в ходе «естественного» многовекового отбора. Кроме того, были и другие предложения о единице измерения. Так, например, за такую единицу предлагалось взять площадь равностороннего треугольника (т.е. любую плоскую фигуру можно было представить в виде «суммы» некоего числа равносторонних треугольников), что привело бы к изменению численного представления площадей.

Таким образом, формулы для вычисления площадей появились в математике и осознались человеком не сразу-это многих ученых, проживающих в разные эпохи и разных странах. (Ошибочные формулы не находили место в науке и уходили в небытие). Истинные же формулы дополнялись, исправлялись и обосновывались на протяжений тысячелетий, пока не дошли до нас в их современном обличии.

Само же измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью фигуры, принятой за единицу измерения. В результате сравнения получается некоторое число- численное значение площади данной фигуры. Это число показывает, во сколько раз площадь данной фигуры больше (или меньше) площади фигуры, принятой за единицу измерения площади.

Таким образом, можно сделать вывод, что площадь-это искусственная величина, исторически введенная человеком для измерения некоторого свойства плоской фигуры. Необходимость ввода такой величины обуславливалась возрастающими потребностями в знании того, насколько большая та или иная территория, сколько надо зерна, чтобы засеять поле или вычислить площадь поверхности пола для украшения орнаментной плитки.

Формула Пика

Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу). Точнее, если S – площадь многоугольника, В - число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и Г - число клеток, которые имеют с внутренностью. Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги – в таких, где пересекаются линии сетки многоугольника хоть одну общую точку.

Для вычисления площади такого многоугольника можно воспользоваться следующей теоремой:

Теорема . Пусть - число целочисленных точек внутри многоугольника, - количество целочисленных точек на его границе, - его площадь. Тогда справедлива формула Пика :

Пример. Для многоугольника на рисунке L = 7 (красные точки), 9 (зеленые точки), поэтому S = 7+ 9/2 -1 = 10,5 квадратных единиц.

Теорема Пика - классический результат и .

Площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2. Этот факт.

3. История

Формула Пика была открыта австрийским математиком Георгом Александром (1859-1942) в г.. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в . В 20 лет получил право преподавать физику и математику. В 1884 году Пик уехал в к . Там он познакомился с другим учеником Клейна, . Позже, в 1885 году, он вернулся в , где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры.

Георг Пик дружил с Эйнштейном. Пик и Эйнштейн не только имели общие научные интересы, но и страстно увлекались музыкой. Пик, игравший в квартете, который состоял из университетских профессоров, ввёл Эйнштейна в научное и музыкальное общества Праги.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им более 50 научных работ. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

4.Приложения формулы Пика

Формула Пика используется не только для вычисления площадей многоугольников, но и для решения многих задач олимпиадного уровня.

Некоторые примеры использования формулы Пика при решении задач:

1) Шахматный король обошел доску 8 × 8 клеток, побывав на каж-

дом поле ровно один раз и последним ходом вернувшись на исходное

поле. Ломаная, соединяющая последовательно центры полей, которые

проходил король, не имеет самопересечений. Какую площадь может

ограничивать эта ломаная? (Сторона клетки равна 1.)

Из формулы Пика сразу следует, что площадь, ограниченная ло-

маной, равна 64/2 − 1 = 31; здесь узлами решетки служат центры 64

полей и, по условию, все они лежат на границе многоугольника. Таким

образом, хотя таких «траекторий» короля достаточно много, но все они

ограничивают многоугольники равных площадей.

Задачи из контрольно – измерительных материалов ГИА и ЕГЭ

Задание B3

Найдите площади фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4.Заключение

В процессе исследования я изучила справочную, научно-популярную литературу. Узнала, что задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки с подвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.

В результате моей работы я расширила свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определили для себя классификацию исследуемых задач, убедились в их многообразии.

Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке Рассмотренные задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

Я пришла к выводу, что тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны. Поэтому наша я решила продолжить работу в этом направлении.

5. Используемая литература:

1.В а с и л ь е в Н. Б. Вокруг формулы Пика // Квант. - 1974. - № 12

2.К о к с е П р а с о л о в В. В. Задачи по планиметрии. - М.: МЦНМО, 2006.т е р Г. С.М. Введение в геометрию. - М.: Наука, 1966

3.Рослова Л.О., Шарыгин И.Ф. Измерения. – М.:Изд. «Открытый мир», 2005.

Интернет – ресурсы :

Отзыв на работу

«Вычисление площадей плоских фигур. Метод Пика»

Рассмотрение данной темы позволит повысить познавательную активность обучающегося, который впоследствии на уроках геометрии начнет видеть гармонию чертежа и перестанет воспринимать геометрию (да и математику в целом) как скучную науку.

Отзыв составила учитель математики

Ходырева Татьяна Георгиевна

Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат).

Теорема Пика

Формула

Пусть дан некоторый решётчатый многоугольник, с ненулевой площадью.

Обозначим его площадь через ; количество точек с целочисленными координатами, лежащих строго внутри многоугольника — через ; количество точек с целочисленными координатами, лежащих на сторонах многоугольника — через .

Тогда справедливо соотношение, называемое формулой Пика :

В частности, если известны значения I и B для некоторого многоугольника, то его площадь можно посчитать за , даже не зная координат его вершин.

Это соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик (Georg Alexander Pick) в 1899 г.

Доказательство

Доказательство производится в несколько этапов: от самых простых фигур до произвольных многоугольников:

Обобщение на высшие размерности

К сожалению, эта столь простая и красивая формула Пика плохо обобщается на высшие размерности.

Наглядно показал это Рив (Reeve), предложив в 1957 г. рассмотреть тетраэдр (называемый теперь тетраэдром Рива ) со следующими вершинами:

где — любое натуральное число. Тогда этот тетраэдр при любых не содержит внутри ни одной точки с целочисленными координатами, а на его границе — лежат только четыре точки , , , и никакие другие. Таким образом, объём и площадь поверхности этого тетраэдра могут быть разными, в то время как число точек внутри и на границе — неизменны; следовательно, формула Пика не допускает обобщений даже на трёхмерный случай.

Тем не менее, некоторое подобное обобщение на пространства большей размерности всё же имеется, — это многочлены Эрхарта (Ehrhart Polynomial), но они весьма сложны, и зависят не только от числа точек внутри и на границе фигуры.

В Викисловаре есть статья «пика» Пика В военном деле: Пика холодное колющее оружие, разновидность длинного копья. Пикинёры вид пехоты в европейских армиях XVI начала XVIII веков. Пикельхельм (п … Википедия

Теорема Пика (комбинаторная геометрия) - В=7, Г=8, В + Г/2 − 1= 10 Теорема Пика классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел. Площадь многоугольника с целочисле … Википедия

Треугольник - У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия

Трапеция - У этого термина существуют и другие значения, см. Трапеция (значения). Трапеция (от др. греч. τραπέζιον «столик»; … Википедия

Четырёхугольник - ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ ┌─────────────┼────────────┐ невыпуклый выпуклый самопересекающийся … Википедия

Двуугольник - Правильный двуугольник на поверхности сферы Двуугольник в геометрии это … Википедия

Пятиугольник - Правильный пятиугольник (пентагон) Пятиугольник многоугольник с пятью углами. Также пятиугольником называют всякий предмет такой формы. Сумма внут … Википедия

Шестиугольник - Правильный шестиугольник Шестиугольник многоугольник с шестью углами. Также шестиугольником называют всякий предмет такой формы. Сумма внутренних углов выпуклого шестиугольника р … Википедия

Додекагон - Правильный додекагон Додекагон (греч … Википедия

Прямоугольник - Прямоугольник параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Примечание. В евклидовой геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые. Четвёртый угол (в силу … Википедия

Книги

Эффект плато. Как преодолеть застой и двигаться дальше , Салливан Б.. Эффект плато - эта пугающая формула «после каждого успеха приходит застой», понимание того, что ваши усилия больше не приносят результата, - мощный закон природы, который касается каждого из… Купить за 460 руб
Математический клуб «Кенгуру». Выпуск № 8. Математика на клетчатой бумаге , . Выпуск посвящен различным задачам и играм, связанным с листом клетчатой бумаги. В частности, в нем подробно рассматривается вычисление площади многоугольника, вершины которого расположены в…