1 определение прямой перпендикулярной к плоскости. Перпендикулярность прямой и плоскости определение прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой

Статья раскрывает понятие о перпендикулярности прямой и плоскости, дается определение прямой, плоскости, графически иллюстрировано и показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. Сформулируем признак перпендикулярности прямой с плоскостью. Рассмотрим условия, при которых прямая и плоскость будут перпендикулярны с заданными уравнениями в плоскости и трехмерном пространстве. Все будет показано на примерах.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Прямая перпендикулярна к плоскости , когда она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Верно то, что и плоскость перпендикулярна к прямой, как и прямая к плоскости.

Перпендикулярность обозначается « ⊥ ». Если в условии задано, что прямая с перпендикулярна плоскости γ , тогда запись имеет вид с ⊥ γ .

Например, если прямая перпендикулярна к плоскости, тогда возможно провести только одну прямую, благодаря которой две смежных стены комнаты пересекутся. Прямая считается перпендикулярной к плоскости потолка. Канат, расположенный в спортзале рассматривается в качестве отрезка прямой, который перпендикулярен плоскости, в данном случае полу.

При наличии перпендикулярной прямой к плоскости, угол между прямой и плоскостью считается прямым, то есть равен 90 градусов.

Перпендикулярность прямой и плоскости – признак и условия перпендикулярности

Для нахождения выявления перпендикулярности необходимо использовать достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости. Оно гарантирует выполнение перпендикулярности прямой и плоскости. Данное условие считается достаточным и называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема 1

Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, которые лежат в этой плоскости.

Подробное доказательство приведено в учебнике геометрии 10 - 11 класса. Теорема применяется для решения задач, где необходимо установить перпендикулярность прямой и плоскости.

Теорема 2

При условии параллельности хоть одной из прямых плоскости, считается, что вторая прямая также перпендикулярна к данной плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости рассматривается еще со школы, когда необходимо решить задачи по геометрии. Рассмотрим подробнее еще одно необходимое и достаточное условие, при котором прямая и плоскость будут перпендикулярны.

Теорема 3

Для того, чтобы прямая а была перпендикулярна плоскости γ , необходимым и достаточным условием является коллинеарность направляющего вектора прямой а и нормального вектора плоскости γ .

Доказательство

При a → = (a x , a y , a z) являющимся вектором прямой a , при n → = (n x , n y , n z) являющимся нормальным вектором плоскости γ для выполнения перпендикулярности нужно, чтобы прямая a и плоскость γ принадлежали выполняемости условия коллинеарности векторов a → = (a x , a y , a z) и n → = (n x , n y , n z) . Отсюда получаем, что a → = t · n → ⇔ a x = t · n x a y = t · n y a z = t · n z , t является действительным числом.

Данное доказательство основывается на необходимом и достаточном условии перпендикулярности прямой и плоскости, направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Данное условие применимо для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, так как достаточно найти координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора в трехмерном пространстве, после чего производить вычисления. Используется для случаев, когда прямая определена уравнением прямой в пространстве, а плоскость уравнением плоскости некоторого вида.

Пример 1

Доказать перпендикулярность заданной прямой x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 с плоскостью x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z .

Решение

Знаменатели канонических уравнений являются координатами направляющего вектора данной прямой. Отсюда имеем, что a → = (2 - 1 , 2 , 2 - 7) является направляющим вектором прямой x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 .

В общем уравнении плоскости коэффициенты перед переменными x , y , z являются координатами нормального вектора данной плоскости. Отсюда следует, что n → = (1 , 2 (2 + 1) , - (5 + 6 2)) - это нормальный вектор плоскости x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z - 4 = 0

Необходимо произвести проверку выполнимости условия. Получаем, что

2 - 1 = t · 1 2 = t · 2 (2 + 1) 2 = t · (- (5 + 6 2)) ⇔ t = 2 - 1 , тогда векторы a → и n → связаны выражением a → = (2 - 1) · n → .

Это и есть коллинеарность векторов. отсюда следует, что прямая x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 перпендикулярна плоскости x + 2 (2 + 1) y - (5 + 6 2) z - 4 = 0 .

Ответ: прямая и плоскость перпендикулярны.

Пример 2

Определить, перпендикулярны ли прямая y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 и плоскость x 1 2 + z - 1 2 = 1 .

Решение

Чтобы ответить на вопрос перпендикулярности, необходимо, чтобы было выполнено необходимое и достаточное условие, то есть для начала нужно найти вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости.

Из прямой y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 видно, что направляющий вектор a → - это произведение нормальных векторов плоскости y - 1 = 0 и x + 4 z - 2 = 0 .

Отсюда получаем, что a → = i → j → k → 0 1 0 1 0 4 = 4 · i → - k → .

Координаты вектора a → = (4 , 0 , - 1) .

Уравнение плоскости в отрезках x 1 2 + z - 1 2 = 1 является эквивалентным уравнению плоскости 2 x - 2 z - 1 = 0 , нормальный вектор которой равен n → = (2 , 0 , - 2) .

Следует произвести проверку на коллинеарность векторов a → = (4 , 0 , - 1) и n → = (2 , 0 , - 2) .

Для этого запишем:

4 = t · 2 0 = t · 0 - 1 = t · (- 2) ⇔ t = 2 t ∈ R ⇔ t ∈ ∅ t = 1 2

Отсюда делаем вывод о том, что направляющий вектор прямой не коллинеарен нормальному вектору плоскости. Значит, y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 - это прямая, не перпендикулярная к плоскости x 1 2 + z - 1 2 .

Ответ: прямая и плоскость не перпендикулярны.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости (рис. 6.3).

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она будет перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Из множества этих прямых при построении перпендикуляров к плоскости выбирают горизонталь и фронталь плоскости. В этом случае, пользуясь свойством проецирования прямого угла на комплексном чертеже, фронтальную проекцию перпендикуляра проводим под углом 90 0 к фронтальной проекции фронтали, а горизонтальную проекцию перпендикуляра – под углом 90° к горизонтальной проекции горизонтали.

Рассмотрим алгоритм построения перпендикуляра n к плоскости Р(D АВС) (табл. 6.6).

Таблица 6.6

Алгоритм построения перпендикуляра к плоскости

§ 6. Перпендикулярность двух плоскостей

Две плоскости будут перпендикулярны друг к другу, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости (рис. 6.4).

АВ b , то есть АВ принадлежит плоскости b и АВ ^ плоскости a . Плоскость b ^ плоскости a .

Рассмотрим это положение на комплексном чертеже (табл. 6.7), где будет показано построение плоскости Р, проходящей через прямую l и перпендикулярной плоскости, заданной треугольником Q(D АВС) (табл. 6.7).

Таблица 6.7

Алгоритм построения плоскости, перпендикулярной данной

Выводы

а) не иметь общих точек;

б) иметь хотя бы одну общую точку;

в) иметь множество общих точек.

В зависимости от этого прямая может принадлежать плоскости, быть ей параллельна, пересекаться с данной плоскостью и, как частный случай, быть ей перпендикулярна.

2. Две плоскости в пространстве могут быть параллельны друг другу, пересекаться между собой и, как частный случай, быть взаимно перпендикулярны.

3. Две пересекающиеся плоскости имеют одну общую прямую – линию пересечения.

5. Для построения перпендикуляра к плоскости необходимо использовать свойства проецирования прямого угла.

Определение . Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.

Приведем без доказательства известные в школьном курсе стереометрии теоремы, необходимые для решения последующих метрических задач.

1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

2. Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

3. Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Для построения прямой t " Е, перпендикулярной плоскости Σ, необходимо, на основании признака перпендикулярности, провести в плоскости две пересекающиеся прямые h и f, а затем построить прямую t по условиям: t ^ h, t ^ f (рис. 7.3). В общем случае прямые t и h, t и f – пары скрещивающихся прямых.

Задача. Даны плоскость Σ(ΔАВС) и точка Е.

Построить прямую t по условиям: t " E, t ^ Σ (рис. 7.4).

Решение задачи может быть следующим:

1) строятся линии уровня h и f в плоскости Σ, где h 2 // х, f 1 // x;

2) строятся проекции t 1 и t 2 искомой прямой t, где t 2 " Е 2 , t 2 ^ f 2 ; t 1 " E 1 , t 1 ^ h 1 . В итоге t 1 , t 2 – решение задачи. Прямая t скрещивается с f и h.

Выбор линий уровня h и f в качестве пересекающихся прямых в плоскости Σ продиктован приведенными выше условиями теоремы о проецировании прямого угла и простотой построений на КЧ. Если точка Е находится в плоскости Σ, то последовательность построений остается прежней.

Задача. Даны прямая t и точка Е. Построить плоскость, проходящую через точку Е и перпендикулярную прямой t (рис. 7.5).

Решение задачи основывается на построении двух линий уровня h(h 1 ,h 2) и f(f 1 ,f 2), проходящих через точку Е: h 2 " E 2 , h 2 // х, h 1 " E 1 , h 1 ^ t 1 ; f 1 " E 1 , f 1 // х, f 2 " E 2 , f 2 ^ t 2 . Плоскость (h , f) – решение задачи.

ГПОУ «Усинский политехнический техникум»

Открытый урок по геометрии

Тема «Перпендикулярность прямой и плоскости».

Выполнил: преподаватель математики Мельникова Е.А.

Усинск, 2016 г.

Тип урока: Урок-семинар

Цели урока :

Обобщить, закрепить и систематизировать знания обучающихся по данной теме, умения применять эти знания при решении задач; показать практическую значимость изучаемого материала; изучить связь между отношениями параллельности и перпендикулярности в пространстве; показать межпредметную связь.

Воспитывать культуру устной и письменной речи, способствовать воспитанию эстетического вкуса, прививать интерес к предмету математики.

Развивать пространственное и логическое мышление.

Оборудование к уроку: карточки с названиями Теоретики, Практики, Исследователи, задания группам, ПК, проектор.

План урока.

I. Организация учащихся.

Обучающимся предлагаются карточки с названиями Теоретики, Практики, Исследователи и производится деление на 3 группы.

II. Постановка целей и задач урока.

Говорят, что математика- наука неинтересная, что математика - сухая наука, что о ней можно говорить только в кабинете математики, на уроке. Нет, жизнь доказывает обратное: математика повсюду вокруг нас. Послушайте, что пишет об этом Роман Бухараев в стихотворении “Геометрия трав”.

Математик несбывшийся, странник,
Оглянись, удивляясь стократ:
В травах - срез волчеца - пятигранник,
А в сеченьи душицы - квадрат.
Все на свете покажется внове
Под гольцом, чья вершина в снегу:
Водосбор - треуголен в основе
На цветущем альпийском лугу!
Где же круг?
Возле иглистой розы.
Там, где луг поднебесный скалист,
Вижу, с ветром играет березы
Треугольно-ромбический лист.

Но я соглашусь с тем, что математика наука точная, требующая четкости определений и доказательства фактов. И поэтому сейчас предлагаю от лирики перейти к практике.

Вы изучили очень важную тему геометрии “Перпендикулярность прямой и плоскости”. В результате изучения этой темы вы должны:

знать определения перпендикулярных прямых и прямой, перпендикулярной к плоскости.

уметьформировать и доказывать теоремы (прямую и обратную) о параллельных прямых, прямых, перпендикулярных к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости.

Решать задачи типа 119, 121, 126, 128, 131 (уч. “Геометрия 10-11”, автор Атанасян Л.С.)

Преподаватель знакомит с целями урока.

III. Закрепление знаний и умений.

На уроке будут работать 3 группы «Теоретики», «Практики», «Исследователи».

Преподаватель дает задание группам, приготовленное на листах. Указывает на порядок оценивания.

Перед началом работы групп фронтальная проверка готовности.

Каково может быть взаимное расположение 2-х прямых в пространстве? (Прямые могут пересекаться, скрещиваться и быть параллельными.)

Какие две прямые называют параллельными? (Параллельные прямые называются прямые , которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются.)

Какие две прямые называют скрещивающимися? (Прямые называются скрещивающимися, если одна из прямых лежит в плоскости, а другая эту плоскость пересекает в точке не принадлежащей первой прямой.)

Если угол между двумя прямыми 900 , как их называют? (Перпендикулярные прямые)

Какую прямую называют перпендикулярной к плоскости? (Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Верно ли утверждение:

a) Любая прямая перпендикулярная к плоскости, пересекает эту плоскость? (верно)
b) Любая прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна к этой плоскости? (неверно)
c) Если прямая не перпендикулярна к данной плоскости, то она не пересекает эту плоскость? (неверно)

Прямая а параллельна прямой в и не пересекает плоскость?. Может ли прямая в быть перпендикулярной к плоскости? Ответ обоснуйте. (не может быть, т.к если прямая в будет перпендикулярной плоскости, то и прямая а тоже перпендикулярна плоскости, что невозможно, т.к по условию прямая а не пересекает плоскость, следовательно она параллельна плоскости)

1. Задания для группы «Теоретики».

Доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Лемма . Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Дано:a ‖ b, a ⊥ c

Доказать: b ⊥ c

Доказательство:

Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а ⊥ с, то ∠ АМС=90о.

По условию, b ‖ a, а по построению а ‖ МА, поэтому b ‖ МА.

Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90о, т.е. b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90о

Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90о, то есть b ⊥ с. Лемма доказана.

Доказать теоремы (прямую и обратную) о параллельных прямых, прямых, перпендикулярных к плоскости.

Теорема: (прямая) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Запись на доске и в тетрадях:

Дано: а ‖ а1, а ⊥ α

Доказать, что а1 ⊥ α

Доказательство:

Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x ∊ α.Так как а ⊥ α, то а ⊥ x.

По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 ⊥ x.

Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а1 ⊥ α. Теорема доказана.

Теорема: (обратная) Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Дано: а ⊥ α, b ⊥ α

Доказать, что а ‖ b

Доказательство:

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а.

М ∊ b, M ∊ b1, b1 ‖ a. По предыдущей теореме b1 ⊥ α.

Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будем доказано, что а ‖ b. Допустим, что прямые b1 и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, а ‖ b, т.е. b ∊ β, b1 ∊β, α β=c (невозможно)→ а ‖ b.

Сформировать и провести анализ доказательства признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости

По окончании группы «Теоретики» преподаватель предоставляет слово обучащемуся с исторической справкой «Провешивание прямой».

Для проведения длинных отрезков прямых (при прокладывании трассы шоссейной или железной дороги, линий электропередач и т.д.) применяется способ, называемый провешиванием прямой, который заключается в использовании всех - шестов, имеющих длину около 2 м., заостренных с одного конца для того, чтобы их можно было воткнуть в землю. Если нужно провести прямую линию между двумя точками А и В, положение которых дано, то сначала в этих точках ставятся вехи; затем между ними устанавливается промежуточная веха С так, чтобы веха А и С закрывали веху В. Необходимо, чтобы все вехи стояли вертикально. Правильность вертикального направления проверяется с помощью отвеса. Отвес - это шнур, на конце которого укреплен небольшой груз. Казалось бы, в этой простой процедуре провешивания прямой все ясно. Но и здесь есть много вопросов, о которых следует подумать, а ответы на них дают изучение нашего курса и других дисциплин. Во-первых, почему все отвесы мира смотрят в центр Земли, а с точки зрения геометрии- определяют прямую, перпендикулярную ее поверхности? Во-вторых, веха должна быть параллельна отвесу, и тогда она также будет перпендикулярна поверхности Земли. Таким образом, все вехи перпендикулярны поверхности Земли и, значит, параллельны между собой.

Такой способ получил название провешивание прямой на местности. Слово "провешивание" - производное от слова "веха".

2. Задания для группы «Практики» .

Показать применение теории при решении задач № 126, 127, 128,131 (стр. 42 уч. “Геометрия 10-11 автор Атанасян Л.С.)

3. Задания для группы «Исследователи».

Изучить связь между отношениями параллельности и перпендикулярности в пространстве. Проверку осуществить с помощью таблицы.

Даны прямая а, перпендикулярная к плоскости α, и прямая b. Укажите взаимное расположение прямых а и b:

Если b параллельна , то……

Если b перпендикулярна , то ……

Если b параллельна или принадлежит , то…..

Если b перпендикулярна , то……

Даны прямая а, перпендикулярная к плоскости α, и плоскость .

Если параллельна , то……

Если перпендикулярна , то ……

Если параллельна а или а принадлежит , то…..

Если перпендикулярна , то……

Приведите примеры окружающей нас обстановки, иллюстрирующие перпендикулярность прямой и плоскости.

По окончании работы групп учащиеся приводят примеры расположения прямых в задачах по физике (межпредметная связь)

Вспомните о силе давления. Как она направлена? (Перпенд. плоскости поверхности).

Тело на горизонтальной поверхности. Как на любое тело на него действует сила тяжести mg? Каково ее направление?

Тело опущено в жидкость. На него оказывает действие выталкивающая сила. Каково ее направление?

IV. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

V . Домашнее задание.

П.15 - 16, вопросы 1, 2 (стр. 57), №116, 118.