Задать плоскость перпендикулярную прямой. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости

Построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей является важной графической операцией при решении метрических задач.

Построение перпендикуляра к прямой или плоскости основывается на свойстве прямого угла, которое формулируется следующим образом: если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, то угол проецируется в натуральную величину на эту плоскость.

Рисунок 28

Сторона ВС прямого угла АВС, изображенного на рисунке 28, параллельна плоскости П 1 . Следовательно, проекция угла АВС на эту плоскость будет представлять прямой угол А 1 В 1 С 1 =90.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. При построении перпендикуляра из множества прямых принадлежащих плоскости, выбирают прямые уровня - горизонталь и фронталь. В этом случае горизонтальную проекцию перпендикуляра проводят перпендикулярно горизонтали, а фронтальную -перпендикулярно фронтали. На примере, изображенном на рисунке 29, показано построение перпендикуляра к плоскости, заданной треугольником АВС, из точки К. Для этого сначала проводим горизонталь и фронталь в плоскости. Затем из фронтальной проекции точки К проводим перпендикуляр к фронтальной проекции фронтали, а из горизонтальной проекции точки - перпендикуляр к горизонтальной проекции горизонтали. Затем строим точку пересечения данного перпендикуляра с плоскостью при помощи вспомогательной секущей плоскости Σ. Искомая точка - F. Таким образом, полученный отрезок КF является перпендикуляром к плоскости АВС.

Рисунок 29

На рисунке 29 изображено построение перпендикуляра КF к плоскости АВС.

Две плоскости перпендикулярны, если прямая, лежащая в одной плоскости, перпендикулярна двум пересекающимся прямым другой плоскости. Построение плоскости перпендикулярной данной плоскости АВС показано на рисунке 30. Через точку М проводится прямая МN, перпендикулярная плоскости АВС. Горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна АС, так как АС является горизонталью, а фронтальная проекция перпендикулярна АВ, так как АВ - фронталь. Затем через точку М проводится произвольная прямая EF. Таким образом, плоскость перпендикулярна АВС и задана двумя пересекающимися прямыми EF и MN.

Рисунок 30

Этот способ применяется для определения натуральных величин отрезков общего положения, а также углов наклона их к плоскостям проекций. Для того, чтобы определить натуральную величину отрезка этим способом, необходимо достроить прямоугольный треугольник к одной из проекций отрезка. Другим катетом будет являться разность высот или глубин конечных точек отрезка, а гипотенуза - натуральной величиной.

Рассмотрим пример: на рисунке 31 дан отрезок АВ общего положения. Требуется определить его натуральную величину и углы его наклона к фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций.

Проводим перпендикуляр к одному из концов отрезка на горизонтальной плоскости. Откладываем на нем разность высот (ZA-ZB) концов отрезка и достраиваем прямоугольный треугольник. Гипотенуза его является натуральной величиной отрезка, а угол между натуральной величиной и проекцией отрезка - натуральной величиной угла наклона отрезка к плоскости П 1 . Порядок построений на фронтальной плоскости тот же самый. По перпендикуляру откладываем разность глубин концов отрезка (YA-YB). Полученный угол между натуральной величиной отрезка и его фронтальной проекцией - это угол наклона отрезка к плоскости П 2 .

Рисунок 31

1. Сформулируйте теорему о свойстве прямого угла.

2. В каком случае прямая перпендикулярна плоскости?

3. Сколько прямых и сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через точку пространства?

4. Для чего применяется способ прямоугольного треугольника?

5. Как при помощи этого способа определить угол наклона отрезка общего положения к горизонтальной плоскости проекций?

Рис. 4.17 Рис. 4.18

Если плоскость задана пересекающимися прямыми (рис. 4.17), то решение задачи сводится к проведению через точку А пары прямых, параллельных заданным.

Если плоскость задана следами (4.18), то построение может быть выполнено по следующему алгоритму:

1. Через точку А проводим, например, горизонталь искомой плоскости Q, параллельную горизонталям заданной плоскости Р.

2. Через эту горизонталь проводим искомую плоскость параллельно заданной. Фронтальный след Q V проводим через фронтальную проекцию п" фронтального следа горизонтали параллельно следу P V ; горизонтальный след Q H - через точку Q Х параллельно следу Р Н .

Задача 2. Через точку А (а, а" ) провести плоскость Q , перпендикулярную к прямой (рис. 4.19).

а) Требуется показать искомую плоскость пересекающимися прямыми. В этом случае наиболее просто построить плоскость Q главными линиями — горизонталью и фронталью, проходящими через точку А (а, а") .

Рис. 4.19 Рис. 4.20

б) Требуется показать искомую плоскость следами. Построение может быть выполнено по следующему алгоритму. Через точку А проводим горизонталь плоскости Q перпендикулярно к отрезку ВС. Затем через эту горизонталь проводим искомую плоскость перпендикулярно к прямой ВС. Фронтальный след Q V проводим через фронтальную проекцию п" фронтального следа горизонтали перпендикулярно b"с′ ; горизонтальный след Q H — через точку Q Х перпендикулярно к bс.

Задача 3 . Через точку А (а, а") провести плоскость Q, перпендикулярную к заданной плоскости Р и проходящую через точку схода следов Q Х на оси X (рис. 4.20).

Известно, что плоскость Q будет перпендикулярна к заданной плоскости Р, если она проходит через перпендикуляр к ней или перпендикулярно к линии, лежащей в плоскости Р.

На рис. 4.20 решение задачи выполнено по плану, использующему первое из этих условий:

1. Через заданную точку А проведен перпендикуляр к плоскости Р (am+P H , a′m′+P V ).

2. Через этот перпендикуляр и заданную точку Q X проведена искомая плоскость Q . При этом след Q Н проведен через горизонтальную проекцию т горизонтального следа перпендикуляра и точку Q X ; след Q V — через фронтальную проекцию п′ фронтального следа перпендикуляра и точку Q X .

Искомую плоскость можно было бы построить и пересекающимися прямыми, если через точку Q X провести какую-либо прямую, имеющую общую точку с перпендикуляром.

Задача 4. Через точку А (а, а" )провести прямую, перпендикулярную к прямой ВС.

Искомый перпендикуляр лежит в плоскости, перпендикулярной к заданной прямой ВС.

Поэтому задача может быть решена по следующему алгоритму:

1. Через точку А проводим плоскость Q , перпендикулярную к прямой ВС.

2. Определяем точку К (k, k") пересечения прямой ВС с плоскостью Q при помощи горизонтально-проецирующей плоскости S .

3. Соединяем точки А и К .

На эпюре, решая задачу по этому алгоритму, можно плоскость показать двумя пересекающимися главными линиями (h×f ) (рис. 4.21) или следами (рис. 4.22).

Рис. 4.21 Рис. 4.22

Задача 5. Построить линию пересечения плоскостей ABC и DEF .

Эту задачу можно решать с использованием задачи на пересечение прямой с плоскостью. На рис. 4.23 показано построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF . Прямая MN построена по найденным точкам пересечения сторон DF и EF треугольника DEF с плоскостью треугольника ABC .

Например, чтобы найти точку М пересечения стороны DF с плоскостью ABC , через прямую DF проводят фронтально-проецирующую плоскость Р ABC по прямой I II df и 12 m искомой точки М . Затем находят фронтальную проекцию m " точки М . Точку N пересечения прямой EF с плоскостью ABC находят, используя фронтально-проецирующую плоскость Q , которая пересекается с плоскостью треугольника ABC по прямой III IV . На пересечении горизонтальных проекций ef и 34 получают горизонтальную проекцию n искомой точки N .

Соединив попарно точки m " и n ", m и n , получают проекции линии пересечения MN плоскостей ABC и DEF .

Видимость частей отрезков плоскостей устанавливается способом конкурирующих точек.

Построение плоскости р, перпендикулярной к плоскости а, может быть произведено двумя путями: I) плоскость р проводится через прямую, перпендикулярную к плоскости а; 2) плоскость р проводится перпендикулярно к прямой, лежащей в плоскости а или параллельной этой плоскости. Для получения единственного решения требуются дополнительные условия. На рисунке 148 показано построение плоскости, перпендикулярной к плоскости, заданной треугольником CDE. Дополнительным условием здесь служит то, что искомая плоскость должна проходить через прямую АВ. Следовательно, искомая плоскость определяется прямой АВ и перпендикуляром к плоскости треугольника. Для проведения этого перпендикуляра к плоскости CDE в ней взяты фронтам CN и горизонталь СМ: если В"F" ± C"N" и В"Г 1 СМ\ то BFX плоскости CDF. Образованная пересекающимися прямыми АВ и BF плоскость перпендикулярна к плоскости CDE, гак как проходит через перпендикуляр к этой плоскости. Может ли перпендикулярность одноименных следов плоскостей служить признаком перпендикулярности самих плоскостей? К очевидным случаям, когда это так, относится также взаимная перпендикулярность двух горизонтально-проецирующих плоскостей, у которых горизонтальные следы взаимно перпендикулярны. Также это имеет место при взаимной перпендикулярности фронтальных следов фронтально-проецирующих плоскостей; эти плоскости взаимно перпендикулярны. Рассмотрим (рисунок 149) горизонтально-проецирующую плоскость р, перпендикулярную к плоскости общего положения а. Если плоскость р перпендикулярна к плоскости я, и к плоскости а, то р 1как к линии пересечения плоскости а и плоскости я,. Отсюда h"0a 1р и, следовательно, h"0u 1 р", как к одной из прямых в плоскости р. Итак, перпендикулярность горизонтальных следов плоскости общего положения и горизонтально-проецирующей соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей. Очевидно, перпендикулярность фронтальных следов фронтально-проецирующей плоскости и плоскости общего положения также соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей. Но если одноименные следы двух гыоскостей общего положения взаимно перпендикулярны, то сами плоскости не перпендикулярны между собой, так как здссь не соблюдается ни одно из условий, изложенных в начале этою параграфа. Вопросы для самопроверки 1. Как задается плоскость ма чертеже? 2. Что такое след плоскости на плоскости проекций? 3. Где располагаются фронтальная проекция горизонтального следа и горизонтальная проекция фронтального следа плоскости? Л. Как определяется на чертеже, принадлежит ли прямая данной плоскости? 5. Как построить на чертеже точку, принадлежащую данной плоскости? 6. Как располагается в системе nt, я? и 713 плоскость общего положения? 7. Что такое фронтально-проецирующая, горизонтально-проецирующая и про-фильно-проецирующая плоскости? 8. Как изображается на чертеже фрошально-проецирующая плоскость, проведенная через прямую общего положения? 9. Какое взаимное положение могут занимать две плоскости? 10. Каков признак параллельности двух плоскостей? 11. Как взаимно располагаются одноименные следы двух параллельных между собой плоскостей? 12. Как установить взаимное положение прямой и плоскости? 13. В чем заключается общий способ построения линии пересечения двух плоскостей? 14. В чем заключается в общем случае способ построения точки пересечения прямой с плоскостью? 15. Как определить «видимость» при пересечении прямой с плоскостью? 16. Чем определяется взаимная параллельность двук плоскостей? 17. Как провести через точку плоскость, параллельную заданной плоскости? 18. Как располагается проекция перпендикуляра к плоскости? 19. Как построить взаимно перпендикулярные плоскости?

Признак перпендикулярности прямой и плоскости позволяет построить взаимно перпендикулярные прямую и плоскость, т. е. доказать существование таких прямых и плоскостей. Начнем с построения плоскости, перпендикулярной данной прямой и проходящей через данную точку. Решим две задачи на построение, соответствующие двум возможностям в расположении данной точки и данной прямой.

Задача 1. Через данную точку А на данной прямой a провести плоскость, перпендикулярную этой прямой.

Проведем через прямую а любые две плоскости и в каждой их этих плоскостей через точку А проведем по прямой, перпендикулярной прямой а, обозначим их b и с (рис. 2.17). Плоскость а, проходящая через прямые бис, содержит точку А и перпендикулярна прямой а (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Поэтому плоскость а искомая. Задача решена.

Задача имеет лишь одно (т.е. единственное) решение. Действительно, допустим противное. Тогда, кроме плоскости а через точку А проходит еще какая-нибудь плоскость Р, перпендикулярная прямой а (рис. 2.18). Возьмем в плоскости Р любую прямую , проходящую через точку А и не лежащую в плоскости а. Проведем плоскость у через пересекающиеся прямые а и . Плоскость у пересечет плоскость а по прямой q. Прямая q не совпадает с прямой , так как q лежит в а не лежит в а. Обе эти прямые лежат в плоскости у, проходят через точку А и перпендикулярны прямой а так как и аналогично так как и . Но это противоречит известной теореме планиметрии, согласно которой в плоскости через каждую точку проходит лишь одна прямая, перпендикулярная данной прямой.

Итак, предположив, что через точку А проходят две плоскости, перпендикулярные прямой а, мы пришли к противоречию. Поэтому задача имеет единственное решение.

Задача 2. Через данную точку А, не лежащую на данной прямой а, провести плоскость, перпендикулярную этой прямой.

Через точку А проводим прямую b, перпендикулярную прямой а. Пусть В - точка пересечения а и b. Через точку В проводим еще прямую с, перпендикулярную прямой а (рис. 2.19). Плоскость, проходящая через обе проведенные прямые, будет перпендикулярна а по признаку перпендикулярности (теорема 2).

Как и в задаче 1, построенная плоскость единственная. Действительно, возьмем любую плоскость, проходящую через точку А перпендикулярно прямой а. Такая плоскость содержит прямую, перпендикулярную прямой а и проходящую через точку А. Но такая прямая только одна. Это прямая b, которая проходит через точку В. Значит, плоскость, проходящая через А и перпендикулярная прямой а, должна содержать точку В, а через точку В проходит лишь одна плоскость, перпендикулярная прямой а (задача 1). Итак, решив эти задачи на построение и доказав единственность их решений, мы доказали следующую важную теорему.

Теорема 3 (о плоскости, перпендикулярной прямой). Через каждую точку проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой, и притом только одна.

Следствие (о плоскости перпендикуляров). Прямые, перпендикулярные данной прямой в данной ее точке, лежат в одной плоскости и покрывают ее.

Пусть а - данная прямая и А - какая-либо ее точка. Через нее проходит плоскость. По определению перпендикулярности прямой и плоскости она покрыта

крыта прямыми, перпендикулярными прямой а в точке А, т.е. через каждую точку плоскости а в ней проходит прямая, перпендикулярная прямой а.

Допустим, что через точку А проходит прямая , не лежащая в плоскости а. Проведем через нее и прямую а плоскость Р. Плоскость Р пересечет а по некоторой прямой с (рис. 2.20). И так как то Получается, что через точку А в плоскости Р проходят две прямые b и с, перпендикулярные прямой а. Это невозможно. Значит, прямых, перпендикулярных прямой а в точке А и не лежащих в плоскости а, нет. Все они лежат в этой плоскости.

Пример к следствию теоремы 3 дают спицы в колесе, перпендикулярные его оси: при вращении они зачерчивают плоскость (точнее, круг), принимая все положения, перпендикулярные оси вращения.

Теоремы 2 и 3 помогают дать простое решение следующей задачи.

Задача 3. Через точку данной плоскости провести прямую, перпендикулярную этой плоскости.

Пусть даны плоскость а и точка А в плоскости а. Проведем в плоскости а через точку А какую-либо прямую а. Через точку А проведем плоскость , перпендикулярную прямой а (задача 1). Плоскость пересечет плоскость а по некоторой прямой b (рис. 2.21). Проведем в плоскости Р через точку А прямую с, перпендикулярную прямой b. Так как (поскольку с лежит в плоскости

И ), то по теореме 2 . Единственность ее решения установлена в п. 2.1.

Замечание. О построениях в пространстве. Напомним, что в главе 1 мы изучаем "строительную геометрию". А в этом пункте мы решили три задачи на построение в пространстве. Что же понимают в стереометрии под терминами "построить”, "провести", "вписать" и т.п.? Сначала вспомним о построениях на плоскости. Указав, например, как строить окружность, описанную около треугольника, мы тем самым доказываем ее существование. Вообще, решая задачу на построение, мы доказываем теорему существования фигуры с заданными свойствами. Это решение сводится к составлению некоторого алгоритма построения искомой фигуры, т.е. к указанию последовательности выполнения простейших операций, приводящих к необходимому результату. Простейшие операции - это проведение отрезков, окружностей и нахождение точек их пересечения. Затем с помощью чертежных инструментов выполняется непосредственное построение фигуры на бумаге или на доске.

Итак, в планиметрии решение задачи на построение имеет как бы две стороны: теоретическую - алгоритм построения - и практическую - реализацию этого алгоритма, например, циркулем и линейкой.

У стереометрической задачи на построение остается лишь одна сторона - теоретическая, так как нет инструментов для построения в пространстве, аналогичных циркулю и линейке.

За основные построения в пространстве принимают те, которые обеспечиваются аксиомами и теоремами о существовании прямых и плоскостей. Это - проведение прямой через две точки, проведение плоскости (предложения п. 1.1 и аксиома 1 п. 1.4), а также построение прямой пересечения любых двух построенных плоскостей (аксиома 2 п. 1.4). Кроме того, мы, естественно, будем считать, что можно выполнять планиметрические построения в уже построенных плоскостях.

Решить задачу на построение в пространстве - это значит указать последовательность основных построений, в результате которых получается нужная фигура. Обычно явно указываются не все основные построения, а делаются ссылки на уже решенные задачи на построение, т.е. на уже доказанные предложения и теоремы о возможности таких построений.

Кроме построений - теорем существования в стереометрии, возможны еще два вида задач, связанных с построениями.

Во-первых, задачи на рисунке или на чертеже. Таковы задачи на сечения многогранников или других тел. Мы не строим на самом деле само сечение, а только изображаем его на

рисунке или чертеже, который у нас уже есть. Такие построения осуществляются как планиметрические с учетом аксиом и теорем стереометрии и правил изображений. Задачи такого типа постоянно решают в черчении и в конструкторской практике.

Во-вторых, задачи на построение на поверхностях тел. Задача: "Построить точки на поверхности куба, удаленные от данной его вершины на данное расстояние" - решается с помощью циркуля (как?). Задача: "Построить точки на поверхности шара, удаленные от данной точки на данное расстояние" - также решается с помощью циркуля (как?). Задачи такого типа решают не на уроках геометрии - их постоянно решает разметчик, разумеется, с точностью, которой позволяют добиться его инструменты. Но, решая такие задачи, он опирается на геометрию.

Из всех возможных положений прямой, пересекающей плоскость, отметим случай, когда прямая перпендикулярна к плоскости, и рассмотрим свойства проекций такой прямой.

На рис. 185 задана плоскость, определяемая двумя пересекающимися прямыми AN и AM, причем AN является горизонталью, а AM - фронтальна этой плоскости. Прямая АВ, изображенная на том же чертеже, перпендикулярна к АN и к AM и, следовательно, перпендикулярна к определяемой ими плоскости.

Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к любой прямой, проведенной в этой плоскости. Но чтобы при этом проекция перпендикуляра к плоскости общего положения оказалась перпендикулярной к одноименной проекции какой-либо прямой этой плоскости, прямая должна быть горизонталью, или фронталью, или профильной прямой плоскости. Поэтому, желая построить перпендикуляр к плоскости, берут в общем случае две такие прямые (например, горизонталь и фронталь, как это показано на рис. 185).

Итак, у перпендикуляра к плоскости его горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали, профильная проекция перпендикулярна к профильной проекции профильной прямой этой плоскости.

Очевидно, в случае, когда плоскость выражена следами (рис. 186), мы получаем следующий вывод: если прямая перпендикулярна к плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна к горизонтальному следу плоскости, а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальному следу плоскости.

Итак, если в системе π 1 , π 2 горизонтальная проекция прямой перпендикулярна к горизонтальному следу и фронтальная проекция прямой перпендикулярна к фронтальному следу плоскости, то в случае плоскостей общего положения (рис. 186), а также горизонталъно- и фронталъно-проецирующих прямая перпендикулярна к плоскости . Но для профильно-проеци- рующей плоскости может оказаться, что прямая к этой плоскости не перпендикулярна, хотя

проекции прямой соответственно перпендикулярны к горизонтальному и фронтальному следам плоскости. Поэтому в случае профильно-проецйрующей плоскости надо рассмотреть также взаимное положение профильной проекции прямой и профильного следа данной плоскости и лишь после этого установить, будут ли перпендикулярны между собой данные прямая и плоскость,

Очевидно (рис. 187), горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости сливается с горизонтальной проекцией линии ската, проведенной в плоскости через основание перпендикуляра.

На рис. 186 из точки А проведен перпендикуляр к пл. α (А"С"⊥ f" 0α , А"С"⊥h" 0α) и показано построение точки Е, в которой перпендикуляр АС пересекает пл. α. Построение выполнено с помощью горизонтально-проецирующей пл. β, проведенной через перпендикуляр АЕ.

На рис. 188 показано построение перпендикуляра к плоскости, определяемой треугольником АВС. Перпендикуляр проведен через точку А.

Так как фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости должна быть перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости, а его горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, то в плоскости через точку А проведены фронталь с проекциями A"D" и A"D" и горизонталь А"Е", А"Е", Конечно, эти прямые не обязательно проводить именно через точку А.

Далее проведены проекции перпендикуляра: M"N"⊥A"D", M"N"⊥А"Е". Почему проекции на рис. 188 на участках A"N" и А"М" показаны штриховыми линиями? Потому, что здесь рассматривается плоскость, заданная треугольником АВС, а не только этот треугольник: перпендикуляр находится частично перед плоскостью, частично за ней.

На рис. 189 и 190 показано построение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно к прямой ВС. На рис. 189 плоскость выражена следами. Построение начато с проведения через точку А горизонтали искомой плоскости: так как горизонтальный след плоскости должен быть перпендикулярен к В"С", то и горизонтальная проекция горизонтали должна быть перпендикулярна к В"С". Поэтому A"N"⊥В"С". Проекция A"N"||оси х, как это должно быть у горизонтали. Затем проведен через точку N"(N" - фронтальная проекция фронтального следа горизонтали AN) след f" 0α ⊥В"С", получена точка Х α и проведен след h" 0α ||A"N" (h" 0α ⊥В"С").

На рис. 190 плоскость определена ее фронталью AM и горизонталью AN. Эти прямые перпендикулярны к ВС (А"М"⊥В"С", A"N"⊥В"С"); определяемая ими плоскость перпендикулярна к ВС.

Так как перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к каждой прямой, проведенной в этой плоскости, то, научившись проводить плоскость перпендикулярно к прямой, можно воспользоваться этим для проведения перпендикуляра из некоторой точки А к прямой общего положения ВС. Очевидно, можно наметить следую-щий план построения проекций искомой прямой:

1) через точку А провести плоскость (назовем ее γ), перпендикулярную к ВС;

2) определить точку К пересечения прямой ВС с пл. γ;

3) соединить точки А и К отрезком прямой линии.

Прямые АК и ВС взаимно перпендикулярны.

Пример построения дан на рис. 191. Через точку А проведена плоскость (γ), перпендикулярная к ВС. Это сделано при помощи фронтали, фронтальная проекция A"F" которой проведена перпендикулярно к фронтальной проекции В"С", и горизонтали, горизонтальная проекция которой перпендикулярна к В"С".

Затем найдена точка К, в которой прямая ВС пересекает пл. γ. Для этого через прямую ВС проведена горизонтально-проецируюгцая плоскость β (на чертеже она задана только горизонтальным следом (β"). Пл. β пересекает пл. γ по прямой с проекциями 1"2" и 1"2". В пересечении этой прямой с прямой ВС получается точка К. Прямая АК является искомым перпендикуляром к ВС. Действительно, прямая АК пересекает прямую ВС и находится в пл. γ, перпендикулярной к прямой ВС; следовательно, АК⊥ВС.

В § 15 было показано (рис. 92), как можно провести перпендикуляр из точки на прямую. Но там это было выполнено при помощи введения в систему π 1 , π 2 дополнительной плоскости и образования, таким образом, системы π 3 , π 1 , в которой пл. π 3 проводится параллельно заданной прямой. Рекомендуем сравнить построения, данные на рис. 92 и 191.

На рис. 192 изображены плоскость общего положения - α, проходящая через точку А, и перпендикуляр AM к этой плоркости, продолженный до пересечения с пл. π 1 в точке В".

Угол φ 1 между пл. α, и пл.π 1 и угол φ между прямой AM и пл. π 1 являются острыми углами прямоугольного треугольника В"AM", и, следовательно, φ 1 +φ=90°. Аналогично, если пл.α составляет с пл. π 2 угол σ 2 , а прямая AM, перпендикулярная к α, составляет с пл. π 2 угол σ, то σ 2 +σ=90°. Из этого, прежде всего, следует, что плоскость общего положения, которая должна составлять с пл.π 1 угол φ 1 , а с пл. π 2 угол σ 2 , может быть построена, лишь если 180° > φ 1 +σ 2 >90°.

Действительно, складывая почленно φ 1 + φ=90° и σ 2 +σ=90°, получим φ 1 +σ 2 +φ+σ=180°, т. е. φ 1 +σ 2 90°. Если взять φ 1 +σ 2 =90°, то получится профильно-проецирующая плоскость, а если взять φ 1 +σ 2 =180°, то получится профильная плоскость, т.е. в обоих этих случаях плоскость не общего положения, а частного.