1 найти корни квадратного уравнения. Как решать квадратные уравнения

Развитие экономики и постоянное изменение государственных границ создают широкое поле для миграционных процессов. Мы постоянно слышим знакомые термины, но не всегда знаем об их истинном значении. Такие понятия, как эмиграция и иммиграция похожи, но обозначают противоположные явления. Что такое эмиграция? В чем сходства и различия с иммиграцией? Почему люди стремятся уехать из России?

Латинский термин «миграция», что в переводе означает «переселение, перемещение» – это добровольное или принудительное перемещение населения из одних стран в другие. Современные представлены внешней и внутренней. Разница заключается в территориальном переселении – внутри или за пределами страны.

Что такое миграция населения с точки зрения ее видов:

постоянная – выбрав новое местожительство, человек не возвращается к предыдущему;
временная – переезд в страну осуществляется не на постоянной основе, а лишь на некоторый срок;
маятниковая – цикличный переезд на новое место и возвращение к прежнему (например, учеба в другом городе России);
сезонная – на время выполнения сезонных работ.

Таким образом, миграция – это перемещение по стране или за ее пределами с определенной целью (учеба, работа, отдых). Более конкретные разновидности миграции представлены эмиграцией и иммиграцией.

Эмиграция

Определение понятия «эмиграция» гласит, что это выезд из страны в другое государство на ПМЖ. По своей сути, эмиграция – это поиск лучшего места для проживания, чем успешно пользуются наши соотечественники. Неправильно считать эмигрантом человека, который был выдворен из страны насильно.

Сейчас особо актуальный вопрос, сколько уезжает из России в год? На основе статистики можно сделать вывод, что в ходе эмиграции преследуют две цели:

покинуть родную страну добровольно и найти лучшее место для проживания;
уехать из страны вынужденно, ввиду неудовлетворения жизнью.

Второй насущный вопрос, иммигрант и эмигрант: в чем разница понятий? Эмигрант не видит перспектив находиться в своей стране. Иммигрант, напротив, приезжает с целью остаться в стране навсегда или на длительный период. Иммиграция требует обязательного оформления разрешения на проживание. Например, в России действуют миграционные карты, визы, РВП и ВНЖ.

Реэмиграция – это возвращение эмигрантов на родину. Причины могут быть самыми разными, от разочарования в других государствах до патриотизма по отношению к родной стране. Реэмиграция тесно связана с иммиграцией и эмиграцией, поскольку является частью миграционных процессов.

Трудовая миграция – экономические и социальные аспекты: Видео

Почему люди уезжают

Универсальной причины миграции не существует.

Выделяют несколько причин эмиграции:

экономические неурядицы (отсутствие работы, низкий заработок, высокие цены);
экологические проблемы (загрязнение воздуха, истощение почв, лесов, водоемов);
военные конфликты и теракты.

Особенно интересна эмиграция пенсионеров, которые возвращаются на родину своих предков с целью отдать дань памяти. Но в большинстве своем люди ищут лучшее «место под солнцем». Официальная статистика эмиграции из России свидетельствует о том, что не всех устраивает уровень жизни в нашей стране. Куда более перспективными для эмиграции из России считаются Европа, США и ряд восточных государств.

Способы эмиграции

Эмигрировать в другую страну можно в любое время. Стоит ли напоминать, что эмиграция контролируется не всеми государствами. Но в РФ принят , согласно которому иностранцы обязаны зарегистрироваться в ГУВМ МВД и получить разрешение.

Различают следующие способы эмиграции:

участие в Программе переселения соотечественников – основная цель воссоединиться с семьей;
трудовая эмиграция;
получение политического убежища (беженцы);
бизнес-эмиграция – вложение в экономику другой страны.

Выбор в пользу того или иного способа эмиграции обусловлен статусом человека и его финансовыми возможностями.

Латинский термин «иммиграция» означает «вселение» или «въезд в страну с целью обретения ПМЖ». Сегодня иммиграция – это отличный вариант обосноваться в стране и получить работу. Разумеется, мигранты рассчитывают на пользование всеми благами государства. Иммиграция в Россию привлекает жителей Ближнего зарубежья, в частности, из восточных государств и бывших стран СНГ.

Причины

Иммигрировать в другую страну – значит обрести новую родину, поменять гражданство и стать членом другого общества. Не все люди могут точно ответить, зачем они приезжают в нашу страну? Но основные причины иммиграции в целом понятны:

лучшие условия для проживания;
наличие свободных рабочих мест;
достойный заработок;
социальные, экономические и иные льготы страны;
политическая защита;
национальное и конфессиональное единство.

Многочисленные иммиграционные программы способствуют увеличению миграционного трафика. Одним из видов контроля за въездом мигрантов считается установление квот на рабочие места.

Выбор страны и города

Сталкиваясь с разнородными потоками иностранцев, миграционная политика стран определяет въездной лимит. Российские власти учитывают региональную демографию и количество вакансий. Внутренняя эмиграция связана с уровнем жизни городов и поселений. Неудивительно, что многие спрашивают, (внутренняя эмиграция)? На первый взгляд кажется, что лучше Москвы или Санкт-Петербурга не найти, однако это не так.

Не менее насущный вопрос связан с обратными потоками – из России в другие страны. Прежде чем думать, куда лучше эмигрировать из России, нужно взвесить все за и против, а именно:

стабильность будущего государства;
оформление разрешения и визы на проживание в стране;
легализацию статуса;
налоговую политику;
отношение местного населения к приезжим.

Лакомыми странами для россиян становятся США, Германия, Канада, Черногория, ОАЭ и Вьетнам.

Финансовая подготовка

Ускоренное развитие экономических отношений с другими странами повышает шансы на инвестиции. Все большую популярность для наших соотечественников приобретает . Уехав в другую страну, бизнесмены вкладываются в местную экономику. Взамен они получают гражданство иностранного государства + налоговые льготы. Преференции повышают шансы на успешное ведение бизнеса за рубежом. Впрочем, позволить себе финансирование могут лишь состоятельные граждане РФ.

Возможность уехать в другую страну на постоянное место жительства не рассматривал только ленивый. Люди хотят улучшить свою жизнь, но эмиграция не встреча друзей с распростертыми объятиями. Чаще всего, это трудности с адаптацией, поиском работы, получением документов. Поэтому, прежде чем решиться покинуть родину, необходимо изучить все нюансы переезда.

Миграция – это перемещение населения как внутри государства, так и за его пределы. Место жительства меняется с целью постоянного или временного пребывания на новой территории. Благодаря миграции, человечество расселилось по всей поверхности Земного шара.

Простые обыватели точно знают, что смысл понятий заключается в пересечении границы. Но значение терминов «иммиграция» и «эмиграция» часто путают. Оба слова происходят от латинского слова migratio - переселение (людей). Разница состоит в том, что одни приезжают в страну, а другие - уезжают из нее.

Что такое эмиграция? Это отъезд на постоянное место жительства в другую страну. Понятие иммиграции формулируется с точностью до наоборот, и означает въезд на территорию другого государства.

Как связаны между собой понятия

В чем схожесть двух терминов? И тот и другой означает перемену страны проживания. Человек одновременно может иметь два статуса:

эмигрант - в стране отъезда;
иммигрант - на территории прибытия.

В любом случае переезд должен быть связан с пересечением государственной границы с целью сменить место жительства. Первая волна эмиграции захлестнула Россию в начале XX века, во времена Гражданской войны. В те неспокойные дни страна хорошо узнала, кто такие эмигранты. По минимальным подсчетам, количество человек, выехавших за границу в тот период, перевалило за миллион.

Что заставляет людей эмигрировать

Мотивы, которые заставляют покинуть родные края, у каждого свои. Но объединяет всех переселенцев одно: желание сделать свою жизнь лучше. Жгучая жажда перемен буквально выталкивает человека из привычной круговерти навстречу новым перспективам. Причины миграции можно разделить на две категории:

Угроза для жизни (военные действия, экологическая катастрофа).
Экономический кризис.

В любом из перечисленных вариантов человек стремится покинуть агрессивную среду. Эмигранты выбирают новую страну, основываясь на возможности найти работу. В большинстве случаев, рассчитывать на трудоустройство по профессии не приходится. Иностранцы в первые годы довольствуются рабочими специальностями. Страны, приютившие у себя иммигранта, предоставляют ему один из статусов:

гражданин;
постоянный житель;
временно проживающий.

Следует четко понимать, что статус гражданина получить сложно. В основном выдается разрешение на постоянное проживание. Документ действует определенный срок, он предоставляет человеку право находиться на территории государства на правах гостя. Преференции на медицинское обслуживание и легальное трудоустройство на субъектов с таким статусом не распространяются.

Казань;

Красноярск;

Краснодар;

Новосибирск.

Все вышеперечисленные города имеют высокий потенциал, потому что в них активно развивается промышленность, ведется жилищное строительство. Экономика динамично развивается, поэтому перспективна в плане открытия собственного бизнеса.

Вывод

Решение уехать в другую страну не должно быть импульсивным. Каждое государство устанавливает для приезжих жесткие законы. Ощущение уверенности в завтрашнем дне, возможность реализовать свой потенциал иммигранту даст только тщательный сбор информации. Многие страны поддерживают мигрантов, и этим следует воспользоваться.

Юрист: Иван Сердюков

Написано статей

Люди, несведущие в юридических тонкостях, часто не могут понять, в чём заключена разница между такими понятиями, как эмиграция и иммиграция. По их мнению, действия, которые обозначают эти два термина, во многом схожи и касаются вопроса переезда конкретного лица на ПМЖ из одной страны в другую.

На самом деле эмиграция от иммиграции отличается кардинальным образом, а иммигрант и эмигрант - это противоположные понятия. Эмиграция - это выезд навсегда или, по крайней мере, на очень длительный срок из страны, которая для покидающего её лица являлась постоянным местом жительства. Иммиграция - въезд в страну, в которой человек хотел бы обосноваться, при этом ставя одной из целей получение в ней гражданства.
Выезд за пределы страны будет называться эмиграцией, а иммиграцией - въезд в другую страну. Таким образом, для своей новой родины перемещенные лица - иммигранты, а эмигранты - для другой, где они проживали и территорию которой решили покинуть.

В чём разница между миграцией и иммиграцией

Эти понятия являются сходными, так как в обоих случаях речь идёт о перемещении населения. Разница же заключается в том, что при миграции человек перемещается в пределах страны, при этом стремясь достичь определённых целей. Миграция может быть следующих видов.

Постоянная: это происходит в тех случаях, когда человек навсегда покидает свой регион и переезжает на постоянное место жительства в другой край или область.
Временная: в этом случае отъезд из родного региона происходит на фиксированный период.
Маятниковая: типичный пример - отъезд студентов на учёбу в вузы и возвращение домой по окончанию учёбы.
Сезонная. Этот вид миграции чаще всего имеет место в сельском хозяйстве, когда значительное число населения перемещается из региона в регион для уборки урожая.

неудовлетворённость своим экономическим положением и желание его улучшить;
желание посмотреть мир;
стремление вернуться на историческую родину; указанный мотив характерен прежде всего для лиц еврейской и немецкой национальностей;
сложная экологическая ситуация в регионе проживания, заставляющая искать новое место для жизни;
отсутствие перспектив на родине и надежда обрести их за кордоном.

Кроме того, бывают ситуации, когда государство в силу разных причин желает избавиться от конкретного гражданина, объявляя его персоной нон-грата и отправляя в эмиграцию. Иммиграция для таких людей становится единственным выходом из сложившегося положения, и такое случается не так уж редко.

Плюсы и минусы иммиграции

Наивным было бы полагать, что у лица, принявшего решение иммигрировать, после въезда в другую страну сразу же появится возможность решить все имеющиеся у него проблемы - такое практически никогда и никому не удаётся. Государство, принимающее на постоянное жительство иммигрантов, прежде всего заинтересовано в решении собственных проблем и, отправляясь в эмиграцию и подыскивая страну для будущего ПМЖ, это следует учитывать. Принимая к себе тех, кто решил иммигрировать, такое государство рассчитывает получить:

квалифицированные кадры, владеющие востребованными профессиями: таким образом стране не придётся тратиться на подготовку собственных специалистов;
дешёвую рабочую силу для выполнения тяжёлых и низкооплачиваемых работ;
приток «свежей крови» для омоложения нации, так как возраст основной массы желающих иммигрировать не превышает сорока лет.

Поэтому эмиграция, как и иммиграция, - непростой процесс, и приступая к ней, необходимо всё тщательно обдумать и взвесить, чтобы затем правильно действовать. Чтобы заранее быть готовым к ожидающим трудностям и правильно принимать решения по возникающим вопросам, ещё на этапе подготовки к реализации решения эмигрировать следует тщательно изучить следующие вопросы.

Какова перспектива после иммиграции в выбранную для этой цели страну получить в ней гражданство?
Есть ли перспектива трудоустройства по специальности, которая имеется у иммигранта?
Чем отличается жизнь в выбранной стране от той, из которой лицо уезжает, и устраивает ли она иммигранта?

Не следует забывать, что, став эмигрантом на родине, человек не всегда может найти себя в новой стране. Именно поэтому иммиграция и эмиграция хоть и привлекательны, но очень сложны в процессе реализации, и к вероятным сложностям следует тщательно готовиться.

Начальный уровень

Квадратные уравнения. Исчерпывающий гид (2019)

В термине «квадратное уравнение» ключевым является слово «квадратное». Это значит, что в уравнении обязательно должна присутствовать переменная (тот самый икс) в квадрате, и при этом не должно быть иксов в третьей (и большей) степени.

Решение многих уравнений сводится к решению именно квадратных уравнений.

Давай научимся определять, что перед нами квадратное уравнение, а не какое-нибудь другое.

Пример 1.

Избавимся от знаменателя и домножим каждый член уравнения на

Перенесем все в левую часть и расположим члены в порядке убывания степеней икса

Теперь можно с уверенностью сказать, что данное уравнение является квадратным!

Пример 2.

Домножим левую и правую часть на:

Это уравнение, хотя в нем изначально был, не является квадратным!

Пример 3.

Домножим все на:

Страшно? Четвертая и вторая степени… Однако, если произвести замену, то мы увидим, что перед нами простое квадратное уравнение:

Пример 4.

Вроде бы есть, но давай посмотрим внимательнее. Перенесем все в левую часть:

Видишь, сократился - и теперь это простое линейное уравнение!

Теперь попробуй сам определить, какие из следующий уравнений являются квадратными, а какие нет:

Примеры:

Ответы:

квадратное;
квадратное;
не квадратное;
не квадратное;
не квадратное;
квадратное;
не квадратное;
квадратное.

Математики условно делят все квадратные уравнения на вида:

Полные квадратные уравнения - уравнения, в которых коэффициенты и, а также свободный член с не равны нулю (как в примере). Кроме того, среди полных квадратных уравнений выделяют приведенные - это уравнения, в которых коэффициент (уравнение из примера один является не только полным, но еще и приведенным!)

Неполные квадратные уравнения - уравнения, в которых коэффициент и или свободный член с равны нулю:
Неполные они, потому что в них не хватает какого-то элемента. Но в уравнении всегда должен присутствовать икс в квадрате!!! Иначе это будет уже не квадратное, а какое-то другое уравнение.

Зачем придумали такое деление? Казалось бы, есть икс в квадрате, и ладно. Такое деление обусловлено методами решения. Рассмотрим каждый из них подробнее.

Решение неполных квадратных уравнений

Для начала остановимся на решении неполных квадратных уравнений - они гораздо проще!

Неполные квадратные уравнения бывают типов:

, в этом уравнении коэффициент равен.
, в этом уравнении свободный член равен.
, в этом уравнении коэффициент и свободный член равны.

1. и. Поскольку мы знаем, как извлекать квадратный корень, то давайте выразим из этого уравнения

Выражение может быть как отрицательным, так и положительным. Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел - результатом всегда будет положительное число, так что: если, то уравнение не имеет решений.

А если, то получаем два корня. Эти формулы не нужно запоминать. Главное, ты должен знать и помнить всегда, что не может быть меньше.

Давай попробуем решить несколько примеров.

Пример 5:

Решите уравнение

Теперь осталось извлечь корень из левой и правой части. Ведь ты помнишь как извлекать корни?

Ответ:

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!!!

Пример 6:

Решите уравнение

Ответ:

Пример 7:

Решите уравнение

Ой! Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

нет корней!

Для таких уравнений, в которых нет корней, математики придумали специальный значок - (пустое множество). И ответ можно записать так:

Ответ:

Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня. Здесь нет никаких ограничений, так как корень мы не извлекали.
Пример 8:

Решите уравнение

Вынесем общий множитель за скобки:

Таким образом,

У этого уравнения два корня.

Ответ:

Самый простой тип неполных квадратных уравнений (хотя они все простые, не так ли?). Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

Здесь обойдемся без примеров.

Решение полных квадратных уравнений

Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида уравнение где

Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.

Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.

1. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.

Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.

Если, то уравнение имеет корняНужно особое внимание обратить на шаг. Дискриминант () указывает нам на количество корней уравнения.

Если, то формула на шаге сократится до. Таким образом, уравнение будет иметь всего корень.
Если, то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.

Пример 9:

Решите уравнение

Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

А значит уравнение имеет два корня.

Шаг 3.

Ответ:

Пример 10:

Решите уравнение

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

А значит уравнение имеет один корень.

Ответ:

Пример 11:

Решите уравнение

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

Азначит мы не сможем извлечь корень из дискриминанта. Корней уравнения не существует.

Теперь мы знаем, как правильно записывать такие ответы.

Ответ: Корней нет

2. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Если ты помнишь, то есть такой тип уравнений, которые называются приведенными (когда коэффициент а равен):

Такие уравнения очень просто решать, используя теорему Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна, а произведение корней равно.

Пример 12:

Решите уравнение

Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. .

Сумма корней уравнения равна, т.е. получаем первое уравнение:

А произведение равно:

Составим и решим систему:

и. Сумма равна;
и. Сумма равна;
и. Сумма равна.

и являются решением системы:

Ответ: ; .

Пример 13:

Решите уравнение

Ответ:

Пример 14:

Решите уравнение

Уравнение приведенное, а значит:

Ответ:

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Что такое квадратное уравнение?

Другими словами, квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - некоторые числа, причем.

Число называют старшим или первым коэффициентом квадратного уравнения, - вторым коэффициентом , а - свободным членом .

Почему? Потому что если, уравнение сразу станет линейным, т.к. пропадет.

При этом и могут быть равны нулю. В этом стулчае уравнение называют неполным. Если же все слагаемые на месте, то есть, уравнение - полное.

Решения различных типов квадратных уравнений

Методы решения неполных квадратных уравнений:

Для начала разберем методы решений неполных квадратных уравнений - они проще.

Можно выделить типа таких уравнений:

I. , в этом уравнении коэффициент и свободный член равны.

II. , в этом уравнении коэффициент равен.

III. , в этом уравнении свободный член равен.

Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.

Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел результатом всегда будет положительное число. Поэтому:

если, то уравнение не имеет решений;

если, имеем учаем два корня

Эти формулы не нужно запоминать. Главное помнить, что не может быть меньше.

Примеры:

Решения:

Ответ:

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!

Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

нет корней.

Чтобы коротко записать, что у задачи нет решений, используем значок пустого множества.

Ответ:

Итак, это уравнение имеет два корня: и.

Ответ:

Вынесем общим множитель за скобки:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:

Итак, данное квадратное уравнение имеет два корня: и.

Пример:

Решите уравнение.

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:

Ответ:

Методы решения полных квадратных уравнений:

1. Дискриминант

Решать квадратные уравнения этим способом легко, главное запомнить последовательность действий и пару формул. Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

Ты заметил корень из дискриминанта в формуле для корней? Но ведь дискриминант может быть отрицательным. Что делать? Нужно особое внимание обратить на шаг 2. Дискриминант указывает нам на количество корней уравнения.

Если, то уравнение имеет корня:
Если, то уравнение имеет одинаковых корня, а по сути, один корень:
Такие корни называются двукратными.
Если, то корень из дискриминанта не извлекается. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Почему возможно разное количество корней? Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции является параболой:

В частном случае, которым является квадратное уравнение, . А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось). Парабола может вообще не пересекать ось, либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси) или двух точках.

Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент. Если, то ветви параболы направлены вверх, а если - то вниз.

Примеры:

Решения:

Ответ:

Ответ: .

Ответ:

А значит, решений нет.

Ответ: .

2. Теорема Виета

Использовать теорему Виета очень легко: нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма - второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.

Важно помнить, что теорему Виета можно применять только в приведенных квадратных уравнениях ().

Рассмотрим несколько примеров:

Пример №1:

Решите уравнение.

Решение:

Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. . Остальные коэффициенты: ; .

Сумма корней уравнения равна:

А произведение равно:

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, и проверим, равна ли их сумма:

и. Сумма равна;
и. Сумма равна;
и. Сумма равна.

и являются решением системы:

Таким образом, и - корни нашего уравнения.

Ответ: ; .

Пример №2:

Решение:

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, а затем проверим, равна ли их сумма:

и: в сумме дают.

и: в сумме дают. Чтобы получить, достаточно просто поменять знаки предполагаемых корней: и, ведь произведение.

Ответ:

Пример №3:

Решение:

Свободный член уравнения отрицательный, а значит и произведение корней - отрицательное число. Это возможно только если один из корней отрицательный, а другой - положительный. Поэтому сумма корней равна разности их модулей .

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, и разность которых равна:

и: их разность равна - не подходит;

и: - не подходит;

и: - подходит. Остается только вспомнить, что один из корней отрицательный. Так как их сумма должна равняться, то отрицательным должен быть меньший по модулю корень: . Проверяем:

Ответ:

Пример №4:

Решите уравнение.

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

Свободный член отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:

Очевидно, что под первое условие подходят только корни и:

Ответ:

Пример №5:

Решите уравнение.

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно:

Очевидно, что корнями являются числа и.

Ответ:

Согласись, это очень удобно - придумывать корни устно, вместо того, чтобы считать этот противный дискриминант. Старайся использовать теорему Виета как можно чаще.

Но теорема Виета нужна для того, чтобы облегчить и ускорить нахождение корней. Чтобы тебе было выгодно ее использовать, ты должен довести действия до автоматизма. А для этого порешай-ка еще пяток примеров. Но не жульничай: дискриминант использовать нельзя! Только теорему Виета:

Решения заданий для самостоятельной работы:

Задание 1. {{x}^{2}}-8x+12=0

По теореме Виета:

Как обычно, начинаем подбор с произведения:

Не подходит, так как сумма;

: сумма - то что надо.

Ответ: ; .

Задание 2.

И снова наша любимая теорема Виета : в сумме должно получиться, а произведение равно.

Но так как должно быть не, а, меняем знаки корней: и (в сумме).

Ответ: ; .

Задание 3.

Хм… А где тут что?

Надо перенести все слагаемые в одну часть:

Сумма корней равна, произведение.

Так, стоп! Уравнение-то не приведенное. Но теорема Виета применима только в приведенных уравнениях. Так что сперва нужно уравнение привести. Если привести не получается, бросай эту затею и решай другим способом (например, через дискриминант). Напомню, что привести квадратное уравнение - значит сделать старший коэффициент равным:

Отлично. Тогда сумма корней равна, а произведение.

Тут подобрать проще простого: ведь - простое число (извини за тавтологию).

Ответ: ; .

Задание 4.

Свободный член отрицательный. Что в этом особенного? А то, что корни будут разных знаков. И теперь во время подбора проверяем не сумму корней, а разность их модулей: эта разность равна, а произведение.

Итак, корни равны и, но один из них с минусом. Теорема Виета говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком, то есть. Значит, минус будет у меньшего корня: и, так как.

Ответ: ; .

Задание 5.

Что нужно сделать первым делом? Правильно, привести уравнение:

Снова: подбираем множители числа, и их разность должна равняться:

Корни равны и, но один из них с минусом. Какой? Их сумма должна быть равна, значит, с минусом будет больший корень.

Ответ: ; .

Подведу итог:

Теорема Виета используется только в приведенных квадратных уравнениях.
Используя теорему Виета можно найти корни подбором, устно.
Если уравнение не приводится или не нашлось ни одной подходящей пары множителей свободного члена, значит целых корней нет, и нужно решать другим способом (например, через дискриминант).

3. Метод выделения полного квадрата

Если все слагаемые, содержащие неизвестное, представить в виде слагаемых из формул сокращенного умножения - квадрата суммы или разности - то после замены переменных можно представить уравнение в виде неполного квадратного уравнения типа.

Например:

Пример 1:

Решите уравнение: .

Решение:

Ответ:

Пример 2:

Решите уравнение: .

Решение:

Ответ:

В общем виде преобразование будет выглядеть так:

Отсюда следует: .

Ничего не напоминает? Это же дискриминант! Вот именно, формулу дискриминанта так и получили.

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - коэффициенты квадратного уравнения, - свободный член.

Полное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициенты, не равны нулю.

Приведенное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент, то есть: .

Неполное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент и или свободный член с равны нулю:

если коэффициент, уравнение имеет вид: ,
если свободный член, уравнение имеет вид: ,
если и, уравнение имеет вид: .

1. Алгоритм решения неполных квадратных уравнений

1.1. Неполное квадратное уравнение вида, где, :

1) Выразим неизвестное: ,

2) Проверяем знак выражения:

если, то уравнение не имеет решений,
если, то уравнение имеет два корня.

1.2. Неполное квадратное уравнение вида, где, :

1) Вынесем общим множитель за скобки: ,

2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня:

1.3. Неполное квадратное уравнение вида, где:

Данное уравнение всегда имеет только один корень: .

2. Алгоритм решения полных квадратных уравнений вида где

2.1. Решение с помощью дискриминанта

1) Приведем уравнение к стандартному виду: ,

2) Вычислим дискриминант по формуле: , который указывает на количество корней уравнения:

3) Найдем корни уравнения:

если, то уравнение имеет корня, которые находятся по формуле:
если, то уравнение имеет корень, который находится по формуле:
если, то уравнение не имеет корней.

2.2. Решение с помощью теоремы Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения (уравнения вида, где) равна, а произведение корней равно, т.е. , а.

2.3. Решение методом выделения полного квадрата

Если квадратное уравнение вида имеет корни, то его можно записать в виде: .

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 499 руб.

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа

10 способов решения квадратных уравнений

Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

учитель математики

с.Копьево, 2007

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

1.3 Квадратные уравнения в Индии

1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв

1.6 О теореме Виета

2. Способы решения квадратных уравнений

Заключение

Литература

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х , другое же меньше, т.е. 10 - х . Разность между ними 2х .

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 - х) = 96

100 - х 2 = 96

х 2 - 4 = 0 (1)

Отсюда х = 2 . Одно из искомых чисел равно 12 , другое 8 . Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у(20 - у) = 96,

у 2 - 20у + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

1.3 Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах 2 + b х = с, а > 0. (1)

В уравнении (1) коэфиценты, кроме а , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Задача 13.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

Соответствующее задаче 13 уравнение:

( x /8) 2 + 12 = x

Бхаскара пишет под видом:

х 2 - 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

х 2 - 64х + 32 2 = -768 + 1024,

(х - 32) 2 = 256,

х - 32 = ± 16,

х 1 = 16, х 2 = 48.

1.4 Квадратные уравнения у ал – Хорезми

В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = b х.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = b х.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

Для ал - Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал - джабр и ал - мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида

ал - Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

х 2 + bx = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1.6 О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D , умноженное на A - A 2 , равно BD , то A равно В и равноD ».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А , как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х ), гласные же В, D - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

(а + b )х - х 2 = ab ,

х 2 - (а + b )х + а b = 0,

х 1 = а, х 2 = b .

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

2. Способы решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.