Знаменатель обыкновенной. Доли, обыкновенные дроби: определения, обозначения, примеры, действия с дробями

Рассмотрение данной темы мы начнем с изучения понятия доли в целом, которое даст нам более полное понимание смысла обыкновенной дроби. Дадим основные термины и их определение, изучим тему в геометрическом толковании, т.е. на координатной прямой, а также определим список основных действий с дробями.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Доли целого

Представим некий предмет, состоящий из нескольких, совершенно равных частей. Например, это может быть апельсин, состоящий из нескольких одинаковых долек.

Определение 1

Доля целого или доля – это каждая из равных частей, составляющих целый предмет.

Очевидно, что доли могут быть разные. Чтобы наглядно пояснить это утверждение, представим два яблока, одно из которых разрезано на две равные части, а второе – на четыре. Ясно, что размеры получившихся долей у разных яблок будут различаться.

Доли имеют свои названия, которые зависят от количества долей, составляющих целый предмет. Если предмет имеет две доли, то каждая из них будет определяться как одна вторая доля этого предмета; когда предмет состоит из трех долей, то каждая из них – одна третья и так далее.

Определение 2

Половина – одна вторая доля предмета.

Треть – одна третья доля предмета.

Четверть – одна четвертая доля предмета.

Чтобы сократить запись, ввели следующие обозначения долей: половина - 1 2 или 1 / 2 ; треть - 1 3 или 1 / 3 ; одна четвертая доля - 1 4 или 1 / 4 и так далее. Записи с горизонтальной чертой используются чаще.

Понятие доли естественно расширяется с предметов на величины. Так, можно использовать для измерения небольших предметов доли метра (треть или одна сотая), как одной из единиц измерения длины. Аналогичным образом можно применить доли других величин.

Обыкновенные дроби, определение и примеры

Обыкновенные дробиприменяются для описания количества долей. Рассмотрим простой пример, который приблизит нас к определению обыкновенной дроби.

Представим апельсин, состоящий из 12 долек. Каждая доля тогда будет – одна двенадцатая или 1 / 12 . Две доли – 2 / 12 ; три доли – 3 / 12 и т.д. Все 12 долей или целое число будет выглядеть так: 12 / 12 . Каждая из используемых в примере записей является примером обыкновенной дроби.

Определение 3

Обыкновенная дробь – это запись вида m n или m / n , где m и n являются любыми натуральными числами.

Согласно данному определению, примерами обыкновенных дробей могут быть записи: 4 / 9 , 11 34 , 917 54 . А такие записи: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 не являются обыкновенными дробями.

Числитель и знаменатель

Числителем обыкновенной дроби m n или m / n является натуральное число m .

Знаменателем обыкновенной дроби m n или m / n является натуральное число n .

Т.е. числитель – число, расположенное сверху над чертой обыкновенной дроби (или слева от наклонной черты), а знаменатель – число, расположенное под чертой (справа от наклонной черты).

Какой же смысл несут в себе числитель и знаменатель? Знаменатель обыкновенной дроби указывает на то, из скольких долей состоит один предмет, а числитель дает нам информацию о том, каково рассматриваемое количество таких долей. К примеру, обыкновенная дробь 7 54 указывает нам на то, что некий предмет состоит из 54 долей, и для рассмотрения мы взяли 7 таких долей.

Натуральное число как дробь со знаменателем 1

Знаменатель обыкновенной дроби может быть равен единице. В таком случае возможно говорить, что рассматриваемый предмет (величина) неделим, являет собой нечто целое. Числитель в подобной дроби укажет, какое количество таких предметов взято, т.е. обыкновенная дробь вида m 1 имеет смысл натурального числа m . Это утверждение служит обоснованием равенства m 1 = m .

Запишем последнее равенство так: m = m 1 . Оно даст нам возможность любое натуральное число использовать в виде обыкновенной дроби. К примеру, число 74 – это обыкновенная дробь вида 74 1 .

Определение 5

Любое натуральное число m возможно записать в виде обыкновенной дроби, где знаменатель – единица: m 1 .

В свою очередь, любая обыкновенная дробь вида m 1 может быть представлена натуральным числом m .

Черта дроби как знак деления

Использованное выше представление данного предмета как n долей является не чем иным, как делением на n равных частей. Когда предмет разделен на n частей, мы имеем возможность разделить его поровну между n людьми – каждый получит свою долю.

В случае, когда мы изначально имеем m одинаковых предметов (каждый разделен на n частей), то и эти m предметов возможно поровну разделить между n людьми, дав каждому из них по одной доле от каждого из m предметов. При этом у каждого человека будет m долей 1 n , а m долей 1 n даст обыкновенную дробь m n . Следовательно, обыкновенную дробь m n можно использовать, чтобы обозначать деление m предметов между n людьми.

Полученное утверждение устанавливает связь между обыкновенными дробями и делением. И эту связь можно выразить следующим образом: черту дроби возможно иметь в виду в качестве знака деления, т.е. m / n = m: n .

При помощи обыкновенной дроби мы можем записать итог деления двух натуральных чисел. К примеру, деление 7 яблок на 10 человек запишем как 7 10: каждому человеку достанется семь десятых долей.

Равные и неравные обыкновенные дроби

Логичным действием является сравнение обыкновенных дробей, ведь очевидно, что, к примеру, 1 8 яблока отлична от 7 8 .

Результатом сравнения обыкновенных дробей может быть: равны или неравны.

Определение 6

Равные обыкновенные дроби – обыкновенные дроби a b и c d , для которых справедливо равенство: a · d = b · c .

Неравные обыкновенные дроби - обыкновенные дроби a b и c d , для которых равенство: a · d = b · c не является верным.

Пример равных дробей: 1 3 и 4 12 – поскольку выполняется равенство 1 · 12 = 3 · 4 .

В случае, когда выясняется, что дроби не являются равными, обычно необходимо также узнать, какая из данных дробей меньше, а какая – больше. Чтобы дать ответ на эти вопросы, обыкновенные дроби сравнивают, приводя их к общему знаменателю и затем сравнив числители.

Дробные числа

Каждая дробь – это запись дробного числа, что по сути - просто «оболочка», визуализация смысловой нагрузки. Но все же для удобства мы объединяем понятия дроби и дробного числа, говоря просто – дробь.

Все дробные числа, как и любое другое число, имеют свое уникальное месторасположение на координатном луче: существует однозначное соответствие между дробями и точками координатного луча.

Чтобы на координатном луче найти точку, обозначающую дробь m n , необходимо от начала координат отложить в положительном направлении m отрезков, длина каждого из которых составит 1 n долю единичного отрезка. Отрезки можно получить, разделив единичный отрезок на n одинаковых частей.

Как пример, обозначим на координатном луче точку М, которая соответствует дроби 14 10 . Длина отрезка, концами которого является точка О и ближайшая точка, отмеченная маленьким штрихом, равна 1 10 доле единичного отрезка. Точка, соответствующая дроби 14 10 , расположена в удалении от начала координат на расстояние 14 таких отрезков.

Если дроби равны, т.е. им соответствует одно и то же дробное число, тогда эти дроби служат координатами одной и той же точки на координатном луче. К примеру, координатам в виде равных дробей 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 соответствует одна и та же точка на координатном луче, располагающаяся на расстоянии трети единичного отрезка, отложенного от начала отсчета в положительном направлении.

Здесь работает тот же принцип, что и с целыми числами: на горизонтальном, направленном вправо координатном луче точка, которой соответствует большая дробь, разместится правее точки, которой соответствует меньшая дробь. И наоборот: точка, координата которой – меньшая дробь, будет располагаться левее точки, которой соответствует бОльшая координата.

Правильные и неправильные дроби, определения, примеры

В основе разделения дробей на правильные и неправильные лежит сравнение числителя и знаменателя в пределах одной дроби.

Определение 7

Правильная дробь – это обыкновенная дробь, в которой числитель меньше, чем знаменатель. Т.е., если выполняется неравенство m < n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Неправильная дробь - это обыкновенная дробь, числитель которой больше или равен знаменателю. Т.е., если выполняется неравенство undefined , то обыкновенная дробь m n является неправильной.

Приведем примеры: - правильные дроби:

Пример 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Неправильные дроби:

Пример 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

Также возможно дать определение правильных и неправильных дробей, опираясь на сравнение дроби с единицей.

Определение 8

Правильная дробь – обыкновенная дробь, которая меньше единицы.

Неправильная дробь – обыкновенная дробь, равная или бОльшая единицы.

Например, дробь 8 12 – правильная, т.к. 8 12 < 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 > 1 , а 14 14 = 1 .

Немного углубимся в размышление, почему дроби, в которых числитель больше или равен знаменателю получили название «неправильных».

Рассмотрим неправильную дробь 8 8: она сообщает нам, что взято 8 долей предмета, состоящего из 8 долей. Таким образом, из имеющихся восьми долей мы можем составить целый предмет, т.е. заданная дробь 8 8 по сути представляет целый предмет: 8 8 = 1 . Дроби, в которых числитель и знаменатель равны, полноценно заменяет натуральное число 1 .

Рассмотрим также дроби, в которых числитель превосходит знаменатель: 11 5 и 36 3 . Понятно, что дробь 11 5 сообщает о том, что из нее мы можем составить два целых предмета и еще останется одна пятая доля. Т.е. дробь 11 5 – это 2 предмета и еще 1 5 от него. В свою очередь, 36 3 – дробь, означающая по сути 12 целых предметов.

Указанные примеры дают возможность сделать вывод, что неправильные дроби возможно заменить натуральными числами (если числитель без остатка делится на знаменатель: 8 8 = 1 ; 36 3 = 12) или суммой натурального числа и правильной дроби (если числитель не делится на знаменатель без остатка: 11 5 = 2 + 1 5). Вероятно, потому такие дроби и получили название «неправильных».

Здесь также мы сталкиваемся с одним из важнейших навыков работы с числами.

Определение 9

Выделение целой части из неправильной дроби – это запись неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби.

Также отметим, что существует тесная взаимосвязь между неправильными дробями и смешанными числами.

Положительные и отрицательные дроби

Выше мы говорили о том, что каждой обыкновенной дроби соответствует положительное дробное число. Т.е. обыкновенные дроби – это положительные дроби. Например, дроби 5 17 , 6 98 , 64 79 – положительные, и, когда необходимо особо подчеркнуть «положительность» дроби, она записывается с использованием знака плюс: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .

Если же обыкновенной дроби присвоить знак минус, то полученная запись будет являться записью отрицательного дробного числа, и мы говорим в таком случае об отрицательных дробях. Например, - 8 17 , - 78 14 и т.д.

Положительная и отрицательная дроби m n и - m n – противоположные числа.Например, дроби 7 8 и - 7 8 являются противоположными.

Положительные дроби, как и любые положительные числа в целом, означают прибавление, изменение в сторону увеличения. В свою очередь, отрицательные дроби соответствуют расходу, изменению в сторону уменьшения.

Если мы рассмотрим координатную прямую, то увидим, что отрицательные дроби расположены левее точки начала отсчета. Точки, которым соответствуют дроби, являющиеся противоположными (m n и - m n), располагаются на одинаковом расстоянии от начала отсчета координат О, но по разные стороны от нее.

Здесь также отдельно скажем о дробях, записанных в виде 0 n . Такая дробь равна нулю, т.е. 0 n = 0 .

Суммируя все вышесказанное, мы подошли к важнейшему понятию рациональных чисел.

Определение 10

Рациональные числа – это множество положительных дробей, отрицательных дробей и дробей вида 0 n .

Действия с дробями

Перечислим основные действия с дробями. В общем и целом, суть их та же, что имеют соответствующие действия с натуральными числами

1. Сравнение дробей – данное действие мы рассмотрели выше.
2. Сложение дробей – результатом сложения обыкновенных дробей является обыкновенная дробь (в частном случае сокращаемая до натурального числа).
3. Вычитание дробей – действие, обратно сложению, когда по одной известной дроби и заданной сумме дробей определяется неизвестная дробь.
4. Умножение дробей – это действие можно описать как нахождение дроби от дроби. Результат умножения двух обыкновенных дробей – обыкновенная дробь (в частном случае равная натуральному числу).
5. Деление дробей – действие, обратное умножению, когда мы определяем дробь, на которую необходимо умножить заданную, чтобы получить известное произведение двух дробей.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Дроби мы постоянно используем в жизни. Например, когда едим торт с друзьями. Торт можно разделить на 8 равных частей или на 8 долей . Доля – это равная часть от чего-то целого. Четыре друга съели по кусочку торта. Четыре взяли из восьми кусочков можно записать математически в виде обыкновенной дроби \(\frac{4}{8}\), читается дробь “четыре восьмых” или “четыре деленное на восемь”. Обыкновенную дробь еще называют простой дробью .

Дробная черта заменяет деление:
\(4 \div 8 = \frac{4}{8}\)
Это мы записали доли в дробях. В буквенном виде будет так:
\(\bf m \div n = \frac{m}{n}\)

4 – числитель или делимое, находится вверху над дробной чертой и показывает сколько частей или долей из общего было взято.
8 – знаменатель или делитель, находится внизу под дробной чертой и показывает общее количество частей или долей.

Если мы приглядимся внимательно, то увидим, что друзья съели половину торта или одну часть из двух. Запишем в виде обыкновенной дроби \(\frac{1}{2}\), читается “одна вторая”.

Рассмотрим еще пример:
Имеется квадрат. Квадрат разделили на 5 равных частей. Две части закрасили. Запишите дробь для закрашенных частей? Запишите дробь для не закрашенных частей?

Две части закрасили, а всего частей пять, поэтому дробь будет иметь вид \(\frac{2}{5}\), читается дробь “две пятых”.
Три части не закрасили, всего частей пять, поэтому дробь запишем так \(\frac{3}{5}\), читается дробь “три пятых”.

Разделим квадрат на более мелкие квадраты и запишем дроби, для закрашенных и не закрашенных частей.

Закрашенных 6 частей, а всего 25 частей. Получаем дробь \(\frac{6}{25}\) , читается дробь “шесть двадцать пятых”.
Не закрашенных 19 частей, а всего 25 частей. Получаем дробь \(\frac{19}{25}\), читается дробь “девятнадцать двадцать пятых”.

Закрашенных 4 части, а всего 25 частей. Получаем дробь \(\frac{4}{25}\), читается дробь “четыре двадцать пятых”.
Не закрашенных 21 частей, а всего 25 частей. Получаем дробь \(\frac{21}{25}\), читается дробь “двадцать один двадцать пятых”.

Любое натуральное число можно представить в виде дроби . Например:

\(5 = \frac{5}{1}\)
\(\bf m = \frac{m}{1}\)

Любое число делиться на единицу, поэтому это число можно представить в виде дроби.

Вопросы по теме “обыкновенные дроби”:
Что такое доля?
Ответ: доля – это равная часть от чего-то целого.

Что показывает знаменатель?
Ответ: знаменатель показывает на сколько всего частей или долей поделено.

Что показывает числитель?
Ответ: числитель показывает сколько частей или долей было взято.

Дорога составляла 100м. Миша прошел 31м. Запишите дробью выражение сколько прошел Миша?
Ответ:\(\frac{31}{100}\)

Что такое обыкновенная дробь?
Ответ: обыкновенная дробь – это отношение числителя к знаменателю, где числитель меньше знаменателя. Пример, обыкновенных дробей \(\frac{1}{4}, \frac{3}{7}, \frac{5}{13}, \frac{9}{11}…\)

Как перевести натуральное число в обыкновенную дробь?
Ответ: любое число можно записать в виде дроби, например, \(5 = \frac{5}{1}\)

Задача №1:
Купили 2кг 700г дыни. Мише отрезали \(\frac{2}{9}\) дыни. Чему равна масса отрезанного кусочка? Сколько граммов дыни осталось?

Решение:
Переведем килограммы в граммы.
2кг = 2000г
2000г + 700г = 2700г всего весит дыня.

Мише отрезали \(\frac{2}{9}\) дыни. В знаменателе стоит число 9, значит на 9 частей разделили дыню.
2700: 9 =300г масса одного кусочка.
В числители стоит число 2, значит надо Мише дать два кусочка.
300 + 300 = 600г или 300 ⋅ 2 = 600г столько дыни съел Миша.

Чтобы найти какая масса дыни осталась нужно вычесть от общей массы дыни съеденную массу.
2700 — 600 = 2100г осталось дыни.

Числитель

Четверти

1. Упорядоченность . a и b существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений : « < », « > » или « = ». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два неотрицательных числа и связаны тем же отношением, что и два целых числа и ; два неположительных числа a и b связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа и ; если же вдруг a неотрицательно, а b - отрицательно, то a > b . src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Суммирование дробей

2. Операция сложения . Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило суммирования c . При этом само число c называется суммой чисел a и b и обозначается , а процесс отыскания такого числа называется суммированием . Правило суммирования имеет следующий вид: .
3. Операция умножения . Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило умножения , которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c . При этом само число c называется произведением чисел a и b и обозначается , а процесс отыскания такого числа также называется умножением . Правило умножения имеет следующий вид: .
4. Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел a , b и c если a меньше b и b меньше c , то a меньше c , а если a равно b и b равно c , то a равно c . 6435">Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.
5. Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
6. Наличие нуля . Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.
7. Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.
8. Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.
9. Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
10. Наличие единицы . Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.
11. Наличие обратных чисел . Любое рациональное число имеет обратное рациональное число, при умножении на которое даёт 1.
12. Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:
13. Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Аксиома Архимеда . Каково бы ни было рациональное число a , можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт a . src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Дополнительные свойства

Все остальные свойства, присущие рациональным числам, не выделяют в основные, потому что они, вообще говоря, уже не опираются непосредственно на свойства целых чисел, а могут быть доказаны исходя из приведённых основных свойств или непосредственно по определению некоторого математического объекта. Таких дополнительных свойств очень много. Здесь имеет смысл привести лишь некоторые из них.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Счётность множества

Нумерация рациональных чисел

Чтобы оценить количество рациональных чисел, нужно найти мощность их множества. Легко доказать, что множество рациональных чисел счётно . Для этого достаточно привести алгоритм, который нумерует рациональные числа, т. е. устанавливает биекцию между множествами рациональных и натуральных чисел.

Самый простой из таких алгоритмов выглядит следующим образом. Составляется бесконечная таблица обыкновенных дробей, на каждой i -ой строке в каждом j -ом столбце которой располагается дробь . Для определённости считается, что строки и столбцы этой таблицы нумеруются с единицы. Ячейки таблицы обозначаются , где i - номер строки таблицы, в которой располагается ячейка, а j - номер столбца.

Полученная таблица обходится «змейкой» по следующему формальному алгоритму.

Эти правила просматриваются сверху вниз и следующее положение выбирается по первому совпадению.

В процессе такого обхода каждому новому рациональному числу ставится в соответствие очередное натуральное число. Т. е. дроби 1 / 1 ставится в соответствие число 1, дроби 2 / 1 - число 2, и т. д. Нужно отметить, что нумеруются только несократимые дроби. Формальным признаком несократимости является равенство единице наибольшего общего делителя числителя и знаменателя дроби.

Следуя этому алгоритму, можно занумеровать все положительные рациональные числа. Это значит, что множество положительных рациональных чисел счётно. Легко установить биекцию между множествами положительных и отрицательных рациональных чисел, просто поставив в соответствие каждому рациональному числу противоположное ему. Т. о. множество отрицательных рациональных чисел тоже счётно. Их объединение также счётно по свойству счётных множеств. Множество же рациональных чисел тоже счётно как объединение счётного множества с конечным.

Утверждение о счётности множества рациональных чисел может вызывать некоторое недоумение, т. к. на первый взгляд складывается впечатление, что оно гораздо обширнее множества натуральных чисел. На самом деле это не так и натуральных чисел хватает, чтобы занумеровать все рациональные.

Недостаточность рациональных чисел

Гипотенуза такого треугольника не выражается никаким рациональным числом

Рациональными числами вида 1 / n при больших n можно измерять сколь угодно малые величины . Этот факт создаёт обманчивое впечатление, что рациональными числами можно измерить вообще любые геометрические расстояния . Легко показать, что это не верно.

Из теоремы Пифагора известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника выражается как квадратный корень суммы квадратов его катетов . Т. о. длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с единичным катетом равна , т. е. числу, квадрат которого равен 2.

Если допустить, что число представляется некоторым рациональным числом, то найдётся такое целое число m и такое натуральное число n , что , причём дробь несократима, т. е. числа m и n - взаимно простые.

Числитель и знаменатель дроби. Виды дробей. Продолжаем рассматривать дроби. Сначала небольшая оговорка – мы, рассматривая дроби и соответствующие примеры с ними, пока будем работать только с числовым её представлением. Бывают ещё и дробные буквенные выражения (с числами и без них). Впрочем, все «принципы» и правила также распространяются и на них, но о таких выражениях поговорим в будущем отдельно. Рекомендую посетить и изучать (вспоминать) тему дробей шаг за шагом.

Самое главное понять, запомнить и осознать, что ДРОБЬ – это ЧИСЛО!!!

Обыкновенная дробь – это число вида:

Число расположенное «сверху» (в данном случае m) называется числителем, число расположенное снизу (число n) называется знаменателем. У тех, кто только коснулся темы частенько возникает путаница – что как называется.

Вот вам приёмчик, как навсегда запомнить – где числитель, а где знаменатель. Данный приём связан со словесно-образной ассоциацией. Представьте себе банку с мутной водой. Известно, что по мере отстоя воды чистая вода остаётся сверху, а муть (грязь) оседает, запоминаем:

ЧИССС тая вода ВВЕРХУ (ЧИССС литель сверху)

ГряЗЗЗННН ая вода ВНИЗУ (ЗННН аменатель внизу)

Так что, как только возникнет необходимость вспомнить, где числитель, а где знаменатель, то сразу зрительно представили банку с отстоянной водой, в которой сверху ЧИСтая вода, а снизу гряЗНая вода. Есть и другие приёмы для запоминания, если они вам помогут, то хорошо.

Примеры обыкновенных дробей:

Что означает горизонтальная черточка между числами? Это не что иное, как знак деления. Получается, что дробь можно рассматривать как бы как пример с действием делением. Просто записано это действие вот в таком виде. То есть, верхнее число (числитель) делится на нижнее (знаменатель):

Кроме того, есть ещё форма записи – дробь может записываться и так (через косую черту):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 и так далее…

Можем записать вышеуказанные нами дроби так:

Результат деления, как известно это число.

Уяснили – ДРОБЬ ЭТО ЧИСЛО!!!

Как вы уже заметили, у обыкновенной дроби числитель может быть меньше знаменателя, может быть больше знаменателя и может быть равен ему. Тут присутствует множество важных моментов, которые понятны интуитивно, без каких-либо теоретических изысков. Например:

1. Дроби 1 и 3 можно записать как 0,5 и 0,01. Забежим немного вперёд – это десятичные дроби, о них поговорим чуть ниже.

2. Дроби 4 и 6 в результате дают целое число 45:9=5, 11:1 = 11.

3. Дробь 5 в результате даёт единицу 155:155 = 1.

Какие выводы напрашиваются сами собой? Следующие:

1. Числитель при делении на знаменатель может дать конечное число. Может и не получится, разделите столбиком 7 на 13 или 17 на 11 — никак! Делить можно бесконечно, но об этом также поговорим чуть ниже.

2. Дробь в результате может дать целое число. Следовательно и любое целое число мы можем представить в виде дроби, вернее бесконечного ряда дробей, посмотрите, все эти дроби равны 2:

Ещё! Любое целое число мы всегда можем записать в виде дроби – само это число в числителе, единица в знаменателе:

3. Единицу мы всегда можем представить в виде дроби с любым знаменателем:

*Указанные моменты крайне важны для работы с дробями при вычислениях и преобразованиях.

Виды дробей.

А теперь о теоретическом разделении обыкновенных дробей. Их разделяют на правильные и неправильные .

Дробь у которой числитель меньше знаменателя называется правильной. Примеры:

Дробь у которой числитель больше знаменателя или равен ему называется неправильной. Примеры:

Смешанная дробь (смешанное число).

Смешанной дробью называется дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби и понимается как сумма этого числа и дробной его части. Примеры:

Смешанную дробь всегда можно представить в виде неправильной дроби и наоборот. Идём далее!

Десятичные дроби.

Выше мы их уже затронули, это примеры (1) и (3), теперь подробнее. Вот примеры десятичных дробей: 0,3 0,89 0,001 5,345.

Дробь, знаменатель которой есть степень числа 10, например 10, 100, 1000 и так далее, называется десятичной. Записать первые три указанные дроби в виде обыкновенных дробей несложно:

Четвёртая является смешанной дробью (смешанным числом):

Десятичная дробь имеет следующую форму записи — с начала целая часть, затем разделитель целой и дробной части точка или запятая и затем дробная часть, количество цифр дробной части строго определяется размерностью дробной части: если это десятые доли, дробная часть записывается одной цифрой; если тысячные - тремя; десятитысячные - четырьмя и т. д.

Данные дроби бывают конечными и бесконечными.

Примеры конечных десятичных дробей: 0,234; 0,87; 34,00005; 5,765.

Примеры бесконечных. Например число Пи это бесконечная десятичная дробь, ещё – 0,333333333333…... 0,16666666666…. и прочие. Также результат извлечения корня из чисел 3, 5, 7 и т.д. будет являться бесконечной дробью.

Дробная часть может быть цикличная (в ней присутствует цикл), два примера выше именно такие, ещё примеры:

0,123123123123…... цикл 123

0,781781781718…... цикл 781

0,0250102501…. цикл 02501

Записать их можно как 0,(123) 0,(781) 0,(02501).

Число Пи не является цикличной дробью как и, например, корень из трёх.

Ниже в примерах, будут звучать такие слова как «переворачиваем» дробь – это означает что числитель и знаменатель меняем местами. На самом деле у такой дроби есть название – обратная дробь. Примеры взаимно-обратных дробей:

Небольшой итог! Дроби бывают:

Обыкновенные (правильные и неправильные).

Десятичные (конечные и бесконечные).

Смешанные (смешанные числа).

На этом всё!

С уважением, Александр.

Долей единицы и представляется в виде \frac{a}{b} .

Числитель дроби (a) — число, находящееся над чертой дроби и показывающее количество долей, на которые была поделена единица.

Знаменатель дроби (b) — число, находящееся под чертой дроби и показывающее на сколько долей поделили единицу.

Скрыть Показать

Основное свойство дроби

Если ad=bc , то две дроби \frac{a}{b} и \frac{c}{d} считаются равными. К примеру, равными будут дроби \frac35 и \frac{9}{15} , так как 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac{12}{7} и \frac{24}{14} , так как 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Из определения равенства дробей следует, что равными будут дроби \frac{a}{b} и \frac{am}{bm} , так как a(bm)=b(am) — наглядный пример применения сочетательного и переместительного свойств умножения натуральных чисел в действии.

Значит \frac{a}{b} = \frac{am}{bm} — так выглядит основное свойство дроби .

Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.

Сокращение дроби — это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.

Например, \frac{45}{60}=\frac{15}{20} (числитель и знаменатель делится на число 3 ); полученную дробь снова можно сократить, разделив на 5 , то есть \frac{15}{20}=\frac 34 .

Несократимая дробь — это дробь вида \frac 34 , где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби — сделать дробь несократимой.

Приведение дробей к общему знаменателю

Возьмем в качестве примера две дроби: \frac{2}{3} и \frac{5}{8} с разными знаменателями 3 и 8 . Для того, чтобы привести данные дроби к общему знаменателю и сначала перемножим числитель и знаменатель дроби \frac{2}{3} на 8 . Получаем следующий результат: \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24} . Затем умножаем числитель и знаменатель дроби \frac{5}{8} на 3 . Получаем в итоге: \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24} . Итак, исходные дроби приведены к общему знаменателю 24 .

Арифметические действия над обыкновенными дробями

Сложение обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:

\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b} ;

б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а) :

\frac{7}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7 \cdot 4}{3}+\frac{1 \cdot 3}{4}=\frac{28}{12}+\frac{3}{12}=\frac{31}{12} .

Вычитание обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:

\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b} ;

б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а) .

Умножение обыкновенных дробей

Умножение дробей подчиняется следующему правилу:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d} ,

то есть перемножают отдельно числители и знаменатели.

Например:

\frac{3}{5} \cdot \frac{4}{8} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 8}=\frac{12}{40} .

Деление обыкновенных дробей

Деление дробей производят следующим способом:

\frac{a}{b} : \frac{c}{d}= \frac{ad}{bc} ,

то есть дробь \frac{a}{b} умножается на дробь \frac{d}{c} .

Пример: \frac{7}{2} : \frac{1}{8}=\frac{7}{2} \cdot \frac{8}{1}=\frac{7 \cdot 8}{2 \cdot 1}=\frac{56}{2} .

Взаимно обратные числа

Если ab=1 , то число b является обратным числом для числа a .

Пример: для числа 9 обратным является \frac{1}{9} , так как 9 \cdot \frac{1}{9}=1 , для числа 5 — \frac{1}{5} , так как 5 \cdot \frac{1}{5}=1 .

Десятичные дроби

Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .

Например: \frac{6}{10}=0,6;\enspace \frac{44}{1000}=0,044 .

Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10^n или смешанные числа.

Например: 5\frac{1}{10}=5,1;\enspace \frac{763}{100}=7\frac{63}{100}=7,63 .

В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10 .

Пример: 5 — делитель числа 100 , поэтому дробь \frac{1}{5}=\frac{1 \cdot 20}{5 \cdot 20}=\frac{20}{100}=0,2 .

Арифметические действия над десятичными дробями

Сложение десятичных дробей

Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.

Вычитание десятичных дробей

Выполняется аналогично сложению.

Умножение десятичных дробей

При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.

Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3 . Имеем 27 \cdot 13=351 . Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа — одна цифра после запятой; 1+1=2 ). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,51 .

Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:

Для умножения на 10 , 100 , 1000 , надо в десятичной дроби перенести запятую на 1 , 2 , 3 цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).

Например: 1,47 \cdot 10\,000 = 14 700 .

Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.

Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:

Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12 . Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100 , то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две). Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112 , то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:

Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.

2,8: 0,09= \frac{28}{10} : \frac {9}{100}= \frac{28 \cdot 100}{10 \cdot 9}=\frac{280}{9}=31 \frac{1}{9} .