Задания с параметром егэ модуль. Системы уравнений с параметром
Задание 1 #6329
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых система \[\begin{cases} (x-2a-2)^2+(y-a)^2=1\\ y^2=x^2\end{cases}\]
имеет ровно четыре решения.
(ЕГЭ 2018, основная волна)
Второе уравнение системы можно переписать в виде \(y=\pm x\) . Следовательно, рассмотрим два случая: когда \(y=x\) и когда \(y=-x\) . Тогда количество решений системы будет равно сумме количества решений в первом и во втором случаях.
1) \(y=x\)
. Подставим в первое уравнение и получим: \
(заметим, что в случае \(y=-x\)
мы поступим так же и тоже получим квадратное уравнение)
Чтобы исходная система имела 4 различных решения, нужно, чтобы в каждом из двух случаев получилось по 2 решения.
Квадратное уравнение имеет два корня, когда его \(D>0\)
. Найдем дискриминант уравнения (1):
\(D=-4(a^2+4a+2)\)
.
Дискриминант больше нуля: \(a^2+4a+2<0\)
, откуда \(a\in (-2-\sqrt2;
-2+\sqrt2)\)
.
2) \(y=-x\)
. Получаем квадратное уравнение: \
Дискриминант больше нуля: \(D=-4(9a^2+12a+2)>0\)
, откуда \(a\in
\left(\frac{-2-\sqrt2}3; \frac{-2+\sqrt2}3\right)\)
.
Необходимо проверить, не совпадают ли решения в первом случае с решениями во втором случае.
Пусть \(x_0\)
– общее решение уравнений (1) и (2), тогда \
Отсюда получаем, что либо \(x_0=0\)
, либо \(a=0\)
.
Если \(a=0\)
, то уравнения (1) и (2) получаются одинаковыми, следовательно, имеют одинаковые корни. Этот случай нам не подходит.
Если \(x_0=0\)
– их общий корень, то тогда \(2x_0^2-2(3a+2)x_0+(2a+2)^2+a^2-1=0\)
, откуда \((2a+2)^2+a^2-1=0\)
, откуда \(a=-1\)
или \(a=-0,6\)
. Тогда вся исходная система будет иметь 3 различных решения, что нам не подходит.
Учитывая все это, в ответ пойдут:
Ответ:
\(a\in\left(\frac{-2-\sqrt2}3; -1\right)\cup\left(-1; -0,6\right)\cup\left(-0,6; -2+\sqrt2\right)\)
Задание 2 #4032
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения \(a\) , при каждом из которых система \[\begin{cases} (a-1)x^2+2ax+a+4\leqslant 0\\ ax^2+2(a+1)x+a+1\geqslant 0 \end{cases}\]
имеет единственное решение.
Перепишем систему в виде: \[\begin{cases} ax^2+2ax+a\leqslant x^2-4\\ ax^2+2ax+a\geqslant -2x-1 \end{cases}\] Рассмотрим три функции: \(y=ax^2+2ax+a=a(x+1)^2\) , \(g=x^2-4\) , \(h=-2x-1\) . Из системы следует, что \(y\leqslant g\) , но \(y\geqslant h\) . Следовательно, чтобы система имела решения, график \(y\) должен находиться в области, которая задается условиями: “выше” графика \(h\) , но “ниже” графика \(g\) :
(будем называть “левую” область областью I, “правую” область – областью II)
Заметим, что при каждом фиксированном \(a\ne 0\)
графиком \(y\)
является парабола, вершина которой находится в точке \((-1;0)\)
, а ветви обращены либо вверх, либо вниз. Если \(a=0\)
, то уравнение выглядит как \(y=0\)
и графиком является прямая, совпадающая с осью абсцисс.
Заметим, что для того, чтобы исходная система имела единственное решение, нужно, чтобы график \(y\)
имел ровно одну общую точку с областью I или с областью II (это значит, что график \(y\)
должен иметь единственную общую точку с границей одной из этих областей).
Рассмотрим по отдельности несколько случаев.
1) \(a>0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вверх. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) касалась границы области I или границы области II, то есть касалась параболы \(g\) , причем абсцисса точки касания должна быть \(\leqslant -3\) или \(\geqslant 2\) (то есть парабола \(y\) должна коснуться границы одной из областей, которая находится выше оси абсцисс, раз парабола \(y\) лежит выше оси абсцисс).
\(y"=2a(x+1)\)
, \(g"=2x\)
. Условия касания графиков \(y\)
и \(g\)
в точке с абсциссой \(x_0\leqslant -3\)
или \(x_0\geqslant 2\)
: \[\begin{cases}
2a(x_0+1)=2x_0\\
a(x_0+1)^2=x_0^2-4 \\
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x_0\leqslant -3\\
&x_0\geqslant 2 \end{aligned}\end{gathered}\right. \end{cases}
\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x_0\leqslant -3\\
&x_0\geqslant 2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\\
a=\dfrac{x_0}{x_0+1}\\
x_0^2+5x_0+4=0 \end{cases}\]
Из данной системы \(x_0=-4\)
, \(a=\frac43\)
.
Получили первое значение параметра \(a\)
.
2) \(a=0\) . Тогда \(y=0\) и видно, что прямая имеет бесконечное множество общих точек с областью II. Следовательно, это значение параметра нам не подходит.
3) \(a<0\) . Тогда ветви параболы \(y\) обращены вниз. Чтобы у исходной системы было единственное решение, нужно, чтобы парабола \(y\) имела одну общую точку с границей области II, лежащей ниже оси абсцисс. Следовательно, она должна проходить через точку \(B\) , причем, если парабола \(y\) будет иметь еще одну общую точку с прямой \(h\) , то эта общая точка должна быть “выше” точки \(B\) (то есть абсцисса второй точки должна быть \(<1\) ).
Найдем \(a\)
, при которых парабола \(y\)
проходит через точку \(B\)
: \[-3=a(1+1)^2\quad\Rightarrow\quad a=-\dfrac34\]
Убеждаемся, что при этом значении параметра вторая точка пересечения параболы \(y=-\frac34(x+1)^2\)
с прямой \(h=-2x-1\)
– это точка с координатами \(\left(-\frac13; -\frac13\right)\)
.
Таким образом, получили еще одно значение параметра.
Так как мы рассмотрели все возможные случаи для \(a\) , то итоговый ответ: \
Ответ:
\(\left\{-\frac34; \frac43\right\}\)
Задание 3 #4013
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых система уравнений \[\begin{cases} 2x^2+2y^2=5xy\\ (x-a)^2+(y-a)^2=5a^4 \end{cases}\]
имеет ровно два решения.
1) Рассмотрим первое уравнение системы как квадратное относительно \(x\)
: \
Дискриминант равен \(D=9y^2\)
, следовательно, \
Тогда уравнение можно переписать в виде \[(x-2y)\cdot (2x-y)=0\]
Следовательно, всю систему можно переписать в виде \[\begin{cases}
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &y=2x\\
&y=0,5x\end{aligned}\end{gathered}\right.\\
(x-a)^2+(y-a)^2=5a^4\end{cases}\]
Совокупность задает две прямые, второе уравнение системы задает окружность с центром в \((a;a)\)
и радиусом \(R=\sqrt5a^2\)
. Чтобы исходное уравнение имело два решения, нужно, чтобы окружность пересекала график совокупности ровно в двух точках. Вот чертеж, когда, например, \(a=1\)
:
Заметим, что так как координаты центра окружности равны, то центр окружности “бегает” по прямой \(y=x\)
.
2) Так как у прямой \(y=kx\)
тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению оси \(Ox\)
равен \(k\)
, то тангенс угла наклона прямой \(y=0,5x\)
равен \(0,5\)
(назовем его \(\mathrm{tg}\,\alpha\)
), прямой \(y=2x\)
– равен \(2\)
(назовем его \(\mathrm{tg}\,\beta\)
). Заметим, что \(\mathrm{tg}\,\alpha\cdot
\mathrm{tg}\,\beta=1\)
, следовательно, \(\mathrm{tg}\,\alpha=\mathrm{ctg}\,\beta=\mathrm{tg}\,(90^\circ-\beta)\)
. Следовательно, \(\alpha=90^\circ-\beta\)
, откуда \(\alpha+\beta=90^\circ\)
. Это значит, что угол между \(y=2x\)
и положительным направлением \(Oy\)
равен углу между \(y=0,5x\)
и положительным направлением \(Ox\)
:
А так как прямая \(y=x\)
является биссектрисой I координатного угла (то есть углы между ней и положительными направлениями \(Ox\)
и \(Oy\)
равны по \(45^\circ\)
), то углы между \(y=x\)
и прямыми \(y=2x\)
и \(y=0,5x\)
равны.
Все это нам нужно было для того, чтобы сказать, что прямые \(y=2x\)
и \(y=0,5x\)
симметричны друг другу относительно \(y=x\)
, следовательно, если окружность касается одной из них, то она обязательно касается и второй прямой.
Заметим, что если \(a=0\)
, то окружность вырождается в точку \((0;0)\)
и имеет лишь одну точку пересечения с обеими прямыми. То есть этот случай нам не подходит.
Таким образом, для того, чтобы окружность имела 2 точки пересечения с прямыми, нужно, чтобы она касалась этих прямых:
Видим, что случай, когда окружность располагается в третьей четверти, симметричен (относительно начала координат) случаю, когда она располагается в первой четверти. То есть в первой четверти \(a>0\)
, а в третьей \(a<0\)
(но такие же по модулю).
Поэтому рассмотрим только первую четверть.
Заметим, что \(OQ=\sqrt{(a-0)^2+(a-0)^2}=\sqrt2a\)
, \(QK=R=\sqrt5a^2\)
. Тогда \
Тогда \[\mathrm{tg}\,\angle
QOK=\dfrac{\sqrt5a^2}{\sqrt{2a^2-5a^4}}\]
Но, с другой стороны, \[\mathrm{tg}\,\angle QOK=\mathrm{tg}\,(45^\circ-\alpha)=\dfrac{\mathrm{tg}\,
45^\circ-\mathrm{tg}\,\alpha}{1+\mathrm{tg}\,45^\circ\cdot
\mathrm{tg}\,\alpha}\]
следовательно, \[\dfrac{1-0,5}{1+1\cdot 0,5}=\dfrac{\sqrt5a^2}{\sqrt{2a^2-5a^4}}
\quad\Leftrightarrow\quad a=\pm \dfrac15\]
Таким образом, мы уже сразу получили и положительное, и отрицательное значение для \(a\)
. Следовательно, ответ: \
Ответ:
\(\{-0,2;0,2\}\)
Задание 4 #3278
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения \(a\) , для каждого из которых уравнение \
имеет единственное решение.
(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)
Сделаем замену \(t=5^x, t>0\)
и перенесем все слагаемые в одну часть: \
Получили квадратное уравнение, корнями которого по теореме Виета являются \(t_1=a+6\)
и \(t_2=5+3|a|\)
. Для того, чтобы исходное уравнение имело один корень, достаточно, чтобы полученное уравнение с \(t\)
тоже имело один (положительный!) корень.
Заметим сразу, что \(t_2\)
при всех \(a\)
будет положительным. Таким образом, получаем два случая:
1) \(t_1=t_2\) : \ &a=-\dfrac14 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]
2) Так как \(t_2\) всегда положителен, то \(t_1\) должен быть \(\leqslant 0\) : \
Ответ:
\((-\infty;-6]\cup\left\{-\frac14;\frac12\right\}\)
Задание 5 #3252
Уровень задания: Равен ЕГЭ
\[\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{3x^2-(3a+1)x+a}\]
имеет ровно один корень на отрезке \(\) .
(ЕГЭ 2017, резервный день)
Уравнение можно переписать в виде: \[\sqrt{(x-a)(x+a)}=\sqrt{(3x-1)(x-a)}\]
Таким образом, заметим, что \(x=a\)
является корнем уравнения при любых \(a\)
, так как уравнение принимает вид \(0=0\)
. Для того, чтобы этот корень принадлежат отрезку \(\)
, нужно, чтобы \(0\leqslant
a\leqslant 1\)
.
Второй корень уравнения находится из \(x+a=3x-1\)
, то есть \(x=\frac{a+1}2\)
. Для того, чтобы это число было корнем уравнения, нужно, чтобы оно удовлетворяло ОДЗ уравнения, то есть: \[\left(\dfrac{a+1}2-a\right)\cdot
\left(\dfrac{a+1}2+a\right)\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad
-\dfrac13\leqslant a\leqslant 1\]
Для того, чтобы этот корень принадлежал отрезку \(\)
, нужно, чтобы \
Таким образом, чтобы корень \(x=\frac{a+1}2\)
существовал и принадлежал отрезку \(\)
, нужно, чтобы \(-\frac13\leqslant a\leqslant 1\)
.
Заметим, что тогда при \(0\leqslant a\leqslant 1\)
оба корня \(x=a\)
и \(x=\frac{a+1}2\)
принадлежат отрезку \(\)
(то есть уравнение имеет два корня на этом отрезке), кроме случая, когда они совпадают: \
Таким образом, нам подходят \(a\in \left[-\frac13; 0\right)\)
и \(a=1\)
.
Ответ:
\(a\in \left[-\frac13;0\right)\cup\{1\}\)
Задание 6 #3238
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \
имеет единственный корень на отрезке \(.\)
(ЕГЭ 2017, резервный день)
Уравнение равносильно: \ ОДЗ уравнения: \[\begin{cases} x\geqslant 0\\ x-a\geqslant 0\\3a(1-x) \geqslant 0\end{cases}\] На ОДЗ уравнение перепишется в виде: \
1) Пусть \(a<0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело единственный корень на отрезке \(\) , этот корень должен быть равен \(1\) . Проверим: \ Не подходит под \(a<0\) . Следовательно, эти значения \(a\) не подходят.
2) Пусть \(a=0\) . Тогда ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 0\) . Уравнение перепишется в виде: \ Полученный корень подходит под ОДЗ и входит в отрезок \(\) . Следовательно, \(a=0\) – подходит.
3) Пусть \(a>0\)
. Тогда ОДЗ: \(x\geqslant a\)
и \(x\leqslant 1\)
. Следовательно, если \(a>1\)
, то ОДЗ – пустое множество. Таким образом, \(0
Производная равна \(y"=3x^2-2ax+3a\)
. Определим, какого знака может быть производная. Для этого найдем дискриминант уравнения \(3x^2-2ax+3a=0\)
: \(D=4a(a-9)\)
. Следовательно, при \(a\in (0;1]\)
дискриминант \(D<0\)
. Значит, выражение \(3x^2-2ax+3a\)
положительно при всех \(x\)
. Следовательно, при \(a\in (0;1]\)
производная \(y">0\)
. Следовательно, \(y\)
возрастает. Таким образом, по свойству возрастающей функции уравнение \(y(x)=0\)
может иметь не более одного корня.
Следовательно, для того, чтобы корень уравнения (точка пересечения графика \(y\)
с осью абсцисс) находился на отрезке \(\)
, нужно, чтобы \[\begin{cases} y(1)\geqslant 0\\
y(a)\leqslant 0 \end{cases}\quad\Rightarrow\quad a\in \]
Учитывая, что изначально в рассматриваемом случае \(a\in (0;1]\)
, то ответ \(a\in (0;1]\)
. Заметим, что корень \(x_1\)
удовлетворяет \((1)\)
, корни \(x_2\)
и \(x_3\)
удовлетворяют \((2)\)
. Также заметим, что корень \(x_1\)
принадлежит отрезку \(\)
.
Рассмотрим три случая:
1) \(a>0\)
. Тогда \(x_2>3\)
, \(x_3<3\)
, следовательно, \(x_2\notin .\)
Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\)
в одном из двух случаях:
- \(x_1\)
удовлетворяет \((2)\)
, \(x_3\)
не удовлетворяет \((1)\)
, или совпадает с \(x_1\)
, или удовлетворяет \((1)\)
, но не входит в отрезок \(\)
(то есть меньше \(0\)
);
- \(x_1\)
не удовлетворяет \((2)\)
, \(x_3\)
удовлетворяет \((1)\)
и не равен \(x_1\)
.
Заметим, что \(x_3\)
не может быть одновременно меньше нуля и удовлетворять \((1)\)
(то есть быть больше \(\frac35\)
). Учитывая это замечание, случаи записываются в следующую совокупность: \[\left[
\begin{gathered}\begin{aligned}
&\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\
3-a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\
&\begin{cases}
\dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\
3-a> Решая данную совокупность и учитывая, что \(a>0\)
, получим: \
2) \(a=0\) . Тогда \(x_2=x_3=3\in .\) Заметим, что в этом случае \(x_1\) удовлетворяет \((2)\) и \(x_2=3\) удовлетворяет \((1)\) , то есть уравнение имеет два корня на \(\) . Это значение \(a\) нам не подходит.
3) \(a<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) и \(x_3\notin \) . Рассуждая аналогично пункту 1), нужно решить совокупность: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\ &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решая данную совокупность и учитывая, что \(a<0\) , получим: \\]
Ответ:
\(\left(-\frac{13}5;-\frac{12}5\right] \cup\left[\frac{12}5;\frac{13}5\right)\)
1. Задача.
При каких значениях параметра a
уравнение
(a
- 1)x
2 + 2x
+ a
- 1 = 0
имеет ровно один корень?
1. Решение.
При a
= 1 уравнение имеет вид
2x
= 0 и, очевидно, имеет единственный корень
x
= 0. Если a
№
1, то данное уравнение является квадратным и
имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых
дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к
нулю, получаем уравнение относительно параметра a
4a
2 - 8a
= 0,
откуда a
= 0 или a
= 2.
1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О {0; 1; 2}.
2. Задача.
Найти все значения параметра a
, при
которых имеет два различных корня уравнение
x
2 +4ax
+8a
+3 = 0.
2. Решение.
Уравнение x
2 +4ax
+8a
+3 = 0 имеет два
различных корня тогда и только тогда, когда D
=
16a
2 -4(8a
+3) > 0. Получаем (после сокращения
на общий множитель 4) 4a
2 -8a
-3 > 0,
откуда
2. Ответ:
| a О (-Ґ ; 1 – | Ц
7 2 |
) И (1 + | Ц
7 2 |
; Ґ ). |
3. Задача.
Известно, что
f
2 (x
) = 6x
-x
2 -6.
а) Постройте график функции
f
1 (x
) при a
= 1.
б) При каком значении a
графики функций f
1 (x
) и
f
2 (x
) имеют единственную общую точку?
3. Решение.
3.а.
Преобразуем f
1 (x
) следующим образом
График этой функции при a
= 1 изображен на рисунке справа.
3.б.
Сразу отметим, что графики функций y
=
kx
+b
и y
= ax
2 +bx
+c
(a
№
0) пересекаются в единственной точке
тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx
+b
=
ax
2 +bx
+c
имеет единственный корень.
Используя представление f
1 из 3.а
, приравняем
дискриминант уравнения a
= 6x
-x
2 -6 к нулю.
Из уравнения 36-24-4a
= 0 получаем a
= 3. Проделав то же
самое с уравнением 2x
-a
= 6x
-x
2 -6
найдем a
= 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра
удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a
= 2 или a
= 3.
4. Задача.
Найти все значения a
, при которых множество решений неравенства
x
2 -2ax
-3a
і
0
содержит отрезок .
4. Решение.
Первая координата вершины параболы f
(x
) =
x
2 -2ax
-3a
равна x
0 =
a
. Из свойств квадратичной функции условие f
(x
) і
0 на отрезке равносильно совокупности трех систем
имеет ровно два решения?
5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде
x
2 + (2a
-2)x
- 3a
+7 = 0.
Это квадратное уравнение, оно
имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля.
Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней
является выполнение неравенства a
2 +a
-6 > 0.
Решая неравенство, находим a
< -3 или a
> 2. Первое из
неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим
натуральным решением второго является число 3.
5. Ответ: 3.
6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a
, при которых
график функции
или, после очевидных преобразований, a
-2 = |
2-a
|
. Последнее
уравнение равносильно неравенству a
і
2.
6. Ответ: a О , то первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом и получаем неравенство –2x < 2a , т.е. x > –a , т.е., решением является любой x Є (–a ; a ]. Если x > a оба модуля раскрываются с плюсом и получаем верное неравенство –2a < 2a , т.е. , решением является любой x Є (a ; +∞). Объединяя оба ответа, получим, что при a > 0 x Є (–a ; +∞).
Пусть a < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2a . Т.о., при a < 0 решений нет.
Ответ:
x
Є (–a
; +∞) при a
> 0, решений нет при 
.
Замечание. Решение данной задачи получается быстрее и проще, если использовать геометрическую интерпретацию модуля разности двух чисел, как расстояние между точками. Тогда выражение в левой части можно интерпретировать, как разность расстояний от точки х до точек а и –а .
Пример 3.
Найти все а
, при каждом из которых все решения неравенства 
удовлетворяют неравенству 2x
– a
² + 5 < 0.
Решение:
Решением неравенства |x
| ≤ 2 является множество A
=[–2; 2], а решением неравенства 2x
– a
² + 5 < 0 является множество B
= (–∞; 
) . Чтобы удовлетворить условию задачи, нужно, чтобы множество А входило в множество В (). Это условие выполнится тогда и только тогда, когда .
Ответ: a Є (–∞; –3)U (3; +∞).
Пример 4.
Найти все значения a , при которых неравенство 
выполняется для всех x
из отрезка .
Решение:
Дробь – меньше нуля между корнями, поэтому надо выяснить, какой корень больше.
–3a
+ 2 < 2a
+ 4 
и –3a
+ 2 > 2a
+ 4 
. Т.о., при 
x
Є (–3a
+ 2; 2a
+ 4) и чтобы неравенство выполнялось для всех x из отрезка , нужно, чтобы
При 
x
Є (2a
+ 4; –3a
+ 2) и чтобы неравенство выполнялось для всех x
из отрезка , нужно, чтобы
При a = – (когда корни совпадают) решений нет, т.к. в этом случае неравенство приобретает вид: .
Ответ:
.
Пример 5. а неравенство справедливо при всех отрицательных значениях х ?
Решение:
Функция монотонно возрастает, если коэффициент при x неотрицательный, и она монотонно убывает, если коэффициент при x отрицательный.
Выясним знак коэффициента при 
a ≤ –3,
a ≥ 1; (a ² + 2 a – 3) < 0 <=> –3 < a < 1.
a ≤ –3,
Пусть a
≥ 1. Тогда функция f
(x
)
монотонно не убывает, и условие задачи будет выполнено, если f
(x
)
≤ 0 <=> 3a
² – a
– 14 ≤ 0 <=> 
.
a ≤ –3,
Вместе с условиями a
≥ 1; получим: 
Пусть –3 < a < 1. Тогда функция f (x ) монотонно убывает, и условие задачи никогда не может быть выполнено.
Ответ
:
.
2. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами
.
В множестве действительных чисел это уравнение исследуется по следующей схеме.
Пример 1 . При каких значениях a уравнение x ² – ax + 1 = 0 не имеет действительных корней?
Решение:
x ² – ax + 1 = 0
D = a ² – 4 · 1 = a ² – 4
a ² – 4 < 0 + – +
( a – 2)( a + 2) < 0 –2 2
Ответ : при a Є (–2; 2)
Пример 2. При каких значениях а уравнение а (х ² – х + 1) = 3 х + 5 имеет два различных действительных корня?
Решение:
а (х ² – х + 1) = 3 х + 5, а ≠ 0
ах ² – ах+ а – 3 х – 5 = 0
ах ² – ( а + 3) х + а – 5 = 0
D = ( a +3)² – 4 a ( a – 5) = a ² +6 a + 9 – 4 a ² + 20 a = –3 a ² + 26 a + 9
–3 a ² + 26 a + 9 > 0
3 a ² – 26 a – 9 < 0
D = 26² – 4 · 3 · (–9) = 784
a
1
=
;
a
2
=
+ –
+
0 9
Ответ: при a Є (–1/3; 0) U (0; 9)
Пример 3. Решить уравнение 
.
Решение:
ОДЗ : x ≠1, x ≠ a
x
– 1 +
x
–
a
= 2, 2
x
= 3 +
a
, 
1)
; 3 +
a
≠ 2;
a
≠ –1
2) 
; 3 +
a
≠ 2
a
;
a
≠ 3
Ответ:
при
a
Є (–∞; –1)
U
(–1; 3)
U
(3; +∞);
решений нет при a = –1; 3 .
Пример 4 . Решить уравнение | x ²–2 x –3 | = a .
Решение:
Рассмотрим функции y = | x ²–2 x –3 | и y = a .
При a
<
0
нет решений;
при a
=
0 и a
> 4 два решения;
при 0 < a
< 4 – четыре решения;
при a
= 4 – три решения.
Ответ:
при a
< 0 нет решений;
при a
= 0 и a
> 4 два решения;
при 0 < a
< 4 – четыре решения;
при a
= 4 – три решения.
Пример 5.
Найти все значения
a
, при каждом из которых уравнение
|
x
²–(
a
+2)
x
+2
a
| = |
3
x
–6
|
имеет ровно два корня. Если таких значений
a
больше одного, в ответе укажите их произведение.
Решение:
Разложим квадратный трехчлен x
²–(
a
+2)
x
+2
a
на множители.
;
;
;
Получим |
(
x
–2)(
x
–
a
)
| =
3
|
x
–2
|.
Это уравнение равносильно совокупности
Поэтому данное уравнение имеет ровно два корня, если a
+ 3 = 2 и a
– 3 = 2.
Отсюда находим, что искомыми значениями a
являются a
1
= –1; a
2
= 5; a
1
·
a
2
= –5.
Ответ: –5.
Пример 6. Найти все значения a , при которых корни уравнения ax ² – 2( a + 1) x – a + 5 = 0 положительны .
Решение:
Контрольная точка a = 0, т.к. меняет суть уравнения.
1. a = 0 –2x + = 0;
Ответ: a Є U .
Пример 7. При каких значениях параметра a уравнение | x ² – 4 x + 3 | = ax имеет 3 корня.
Решение:
Построим графики функций y = | x ² – 4 x + 3 | и y = ax .
На отрезке построен график функции 
.
Данное уравнение будет иметь три корня, если график функции y
=
ax
будет являться касательной к графику y
= x
²+ 4
x
– 3
на
отрезке .
Уравнение касательной имеет вид y
=
f
(x
0
) +
f
’(x
0
)(x
–
x
0
),
Т.к. уравнение касательной y
=
a
, получим систему уравнений 
Т.к. x 0 Є ,
Ответ:
при a
= 4 – 2
.
Квадратные неравенства с параметрами
Пример.
Найдите все значения параметра
a
, при каждом из которых среди решений неравенства
нет ни одной точки отрезка .
Решение:
Сначала решим неравенство при всех значениях параметра, а потом найдем те из них, для которых среди решений нет ни одной точки отрезка .
Пусть 
, ax
= t
²
t ≥ 0
При такой замене переменных ОДЗ неравенства выполняется автоматически. x
можно выразить через t
, если a
≠ 0. Поэтому случай, когда a
= 0, рассмотрим отдельно.
1.Пусть a
= 0, тогда х
> 0, и заданный отрезок является решением.
2.Пусть a
≠ 0, тогда 
и неравенство примет вид 
, 
Решение неравенства зависит от значений a
, поэтому придется рассмотреть два случая.
1) Если a
>0, то 
при 
, или в старых переменных,
Решение не содержит ни одной точки заданного отрезка , тогда и только тогда, когда выполнены условия a ≤ 7,
16a
≥ 96. Отсюда, a
Є .
2). Если а
< 0, то ; 
; t
Є (4a
; a
). Так как t
≥ 0, то решений нет.
Ответ: .
Иррациональные уравнения с параметрами
При решении иррациональных уравнений и неравенств с параметром, во-первых, следует учитывать область допустимых значений. Во-вторых, если обе части неравенства – неотрицательные выражения, то такое неравенство можно возводить в квадрат с сохранением знака неравенства.
Во многих случаях иррациональные уравнения и неравенства после замены переменных сводятся к квадратным.
Пример 1.
Решить уравнение 
.
Решение:
ОДЗ: x + 1 ≥ 0, x ≥ –1, a ≥ 0.
x + 1 = a ².
Если x = a ² – 1, то условие выполняется.
Ответ: x = a ² – 1 при а ≥ 0; решений нет при a < 0.
Пример 2. Решить уравнение 
.
Решение:
ОДЗ: x + 3 ≥ 0, x ≥ –3,
a – x ≥ 0; x ≤ a ;
x + 3 = a – x ,
2x = a – 3,
<=>
<=>
<=>
a
≥ –3.
Ответ:
при a
≥ –3; решений нет при a
< –3.
Пример 3.
Сколько корней имеет уравнение 
в зависимости от значений параметра а
?
Решение:
Область допустимых значений уравнения: x Є [–2; 2]
Построим графики функций. График первой функции – это верхняя половина окружности x
² + y
² = 4. График второй функции – биссектрисы первого и второго координатных углов. Из графика первой функции вычтем график второй и получим график функции 
. Если заменить у
на а
, то последний график функции есть множество точек (х; а), удовлетворяющих исходному уравнению.
По графику видим ответ.
Ответ: при а Є (–∞; –2) U (1; +∞), корней нет;
при а Є [–2; 2), два корня;
при а = 1, один корень.
Пример 4.
При каких значениях параметра а
уравнение 
имеет единственное решение?
Решение:
1 способ (аналитический):
Ответ:
2 способ (графический):
Ответ: при а ≥ –2 уравнение имеет единственное решение
Пример 5. При каких значениях параметра а уравнение = 2 + х имеет единственное решение.
Решение:
Рассмотрим графический вариант решения данного уравнения, то есть построим две функции:
у
1 = 2 + х
и у
2 =
Первая функция является линейной и проходит через точки (0; 2) и (–2; 0).
График второй функции содержит параметр. Рассмотрим сначала график этой функции при а
= 0 (рис.1). При изменении значения параметра график будет передвигаться по оси ОХ
на соответсвующее значение влево (при положительных а
) или вправо (при отрицательных а
) (рис.2)
Из рисунка видно, что при а < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.
Ответ: при a ≥ –2 уравнение имеет единственное решение.
Тригонометрические уравнения с параметрами.
Пример 1. Решите уравнение sin (– x + 2 x – 1) = b + 1.
Решение:
Учитывая нечетность функции 
, данное уравнение сведем к равносильному 
.
1. b = –1
3. b =–2
4. | b + 1| > 1
Решений нет.
5. b Є(–1; 0)
6. b Є(–2; –1)
Пример 2.
Найдите все значения параметра p, при которых уравнение
не имеет решений.
Решение:
Выразим cos 2x
через sinx
.
Пусть 
тогда задача свелась к нахождению всех значений p
, при которых уравнение не имеет решений на [–1; 1]. Уравнение алгоритмически не решается, поэтому решим задачу, используя график. Запишем уравнение в виде , и теперь эскиз графика левой части 
строится несложно.
Уравнение не имеет решений, если прямая y
=
p
+ 9 не пересекает график на отрезке [–1; 1], т. е. 
Ответ: p Є (–∞; –9) U (17; +∞).
Системы уравнений с параметрами
Системы двух линейных уравнений с параметрами
Система уравнений 
Решениями системы двух линейных уравненийявляются точки пересечения двух прямых: и .
Возможны 3 случая:
1. Прямые не параллельны . Тогда и их нормальные вектора не параллельны, т.е. . В этом случае система имеет единственное решение.
2. Прямые параллельны и не совпадают. Тогда и их нормальные вектора параллельны, но сдвиги различны, т.е. .
В этом случае система решений не имеет .
3. Прямые совпадают. Тогда их нормальные вектора параллельны и сдвиги совпадают, т.е. . В этом случае система имеет бесконечно много решений – все точки прямой.
