Стереометрия шар и сфера. Геометрическое понятие о сфере: формула, свойства, площадь поверхности нашей планеты

В главе 2 мы продолжим “строительную геометрию" и расскажем о строении и свойствах важнейших пространственных фигур - шара и сферы, цилиндров и конусов, призм и пирамид. Большинство предметов, созданных руками человека, - здания, машины, мебель, посуда и т.д., и т.п., состоит из частей, имеющих форму этих фигур.

§ 4. СФЕРА И ШАР

После прямых и плоскостей сфера и шар - самые простые, но очень важные и богатые разнообразными свойствами пространственные фигуры. О геометрических свойствах шара и его поверхности - сферы - написаны целые книги. Некоторые из этих свойств были известны еще древнегреческим геометрам, а некоторые найдены совсем недавно, в последние годы. Эти свойства (вместе с законами естествознания) объясняют, почему, например, форму шара имеют небесные тела и икринки рыб, почему в форме шара делают батискафы и футбольные мячи, почему так распространены в технике шарикоподшипники и т.д. Мы можем доказать лишь самые простые свойства шара. Доказательства других, хотя и очень важных свойств, часто требуют применения совсем не элементарных методов, хотя формулировки таких свойств могут быть очень простыми: например, среди всех тел, имеющих данную площадь поверхности, наибольший объем у шара.

4.1. Определения сферы и шара.

Определяются сфера и шар в пространстве совершенно так же, как окружность и круг на плоскости. Сферой называется фигура, состоящая из всех точек пространства, удаленных от данной

ной точки на одно и то же (положительное) расстояние.

Эта точка называется центром сферы, а расстояние - ее радиусом (рис. 4.1).

Итак, сфера с центром О и радиусом R - это фигура, образованная всеми точками X пространства, для которых

Шаром называется фигура, образованная всеми точками пространства, находящимися на расстоянии не большем данного (положительного) расстояния от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние - его радиусом.

Итак, шар с центром О и радиусом R - это фигура, образованная всеми точками X пространства, для которых

Те точки X шара с центром О и радиусом R, для которых образуют сферу. Говорят, что эта сфера ограничивает данный шар или что она является его поверхностью.

Шар и сфера — это прежде всего геометрические фигуры, и если шар — это геометрическое тело, то сфера — это поверхность шара. Этими фигурами интересовались еще многие тысячи лет назад до н.э.

Впоследствии когда было открыто, что Земля — это шар, а небо — небесная сфера, получило развитие новое увлекательное направление в геометрии — геометрия на сфере или сферическая геометрия. Для того, чтобы рассуждать о размере и объеме шара, нужно сначала дать ему определение.

Шар

Шаром радиуса R с центром в точке О в геометрии называют тело, которое создано всеми точками пространство, имеющими общее свойство. Эти точки находятся на расстоянии, не превышающем радиуса шара, то есть заполняют все пространство меньше радиуса шара во все стороны от его центра. Если мы рассмотрим только те точки, которые равноудалены от центра шара — мы будем рассматривать его поверхность или оболочку шара.

Как можно получить шар? Мы можем вырезать из бумаги круг и начать его вращать вокруг его же диаметра. То есть диаметр круга будет осью вращения. Образованная фигура — будет шар. Поэтому шар называют также телом вращения. Потому что он может быть образован путем вращения плоской фигуры — круга.

Возьмем какую-нибудь плоскость и разрежем ею наш шар. Подобно тому как мы режем ножом апельсин. Кусок, который мы отсечем от шара, называется шаровым сегментом.

В Древней Греции умели не только работать с шаром и сферой, как с геометрическими фигурами, например, использовать их при строительстве, а также умели расчитывать площадь поверхности шара и объем шара.

Сферой иначе называется поверхность шара. Сфера — это не тело — это поверхность тела вращения. Однако так как и Земля и многие тела имеют сферическую форму, например капля воды, то изучение геометрических соотношений внутри сферы получило большое распространение.

Например, если мы соединим две точки сферы между собой прямой линией, то эта прямая линия назовется хордой, а если эта хорда пройдет через центр сферы, который совпадает с центром шара, то хорда назовется диаметром сферы.

Если мы проведем прямую линию, которая коснется сферы всего в одной точке, то эта линия будет называться касательной. Кроме того, эта касательная к сфере в этой точке будет перпендикулярна к радиусу сферы, проведенному в точку касания.

Если мы продолжим хорду до прямой в одну и другую сторону от сферы, то эта хорда станет называться секущей. Или можно сказать иначе — секущая к сфере содержит в себе ее хорду.

Объем шара

Формула для вычисления объема шара имеет вид:

где R — радиус шара.

Если нужно найти объем шарового сегмента — воспользуйтесь формулой:

V сег =πh 2 (R-h/3), h — высота шарового сегмента.

Площадь поверхности шара или сферы

Чтобы вычислить площадь сферы или площадь поверхности шара (это одно и то же):

где R — радиус сферы.

Архимед очень любил шар и сферу, он даже попросил оставить на его гробницу рисунок, на котором в цилиндр вписан шар. Архимед считал, что объем шара и его поверхность равны двум третьим от объема и поверхности цилиндра, в который вписан шар»

Сфера и шар

Слово «сфера» произошло от греческого слова «сфайра», которое переводится на русский язык как «мяч».

ШАР-символ будущего.

Символ шара-глобальность шара Земли. Символ будущего, он отличается от креста тем, что последний олицетворяет собой страдание и человеческую смерть. В Древнем Египте впервые пришли к заключению, что земля шарообразна. Это предположение послужило основой для многочисленных размышлений о бессмертии земли и возможности бессмертия населяющих ее живых организмах.

Человек, держащий шар в руках, символизирует субъекта, несущего тяготы мира Не случайно подобными скульптурами украшены некоторые вокзалы Западной Европы, например в Хельсинки: здесь запечатлены тяготы, выпадающие на плечи путешественника.

Таким образом, шар и глобус - это знаки промысла, проведения, вечности, власти и могущество коронованных особ

Каменное полушарие сферы воплощается в религиозных храмах - куполах православных церквей в России; ступах, связанных с местом пребывания бодхисаттв в Индии. В Индонезии ступы приобрели форму колокола с каменным шпилем наверху и называются дагобы.

В греко-римской мифологии шар символизировал удачу, судьбу, ассоциируясь с Тихэ (Фортуной), стоящей на шаре. Знаменитая картина Пикассо «Девочка на шаре» - танцующая Фортуна.

Форма шара в природе Многие ягоды имеют форму шара.

Планеты имеют форму шара.

Некоторые деревья имеют сферическую форму.

Определение сферы Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки

Сфера –это поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг диаметра

Данная точка (О) называется центром сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы (R-радиус сферы). Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы. Очевидно, что диаметр сферы равен 2R.

Определение шара Шар – это тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки (или фигура, ограниченная сферой). Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.

Шаровой сегмент Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой - нибудь плоскостью.

Шаровой слой Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями.

Шаровой сектор Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 900, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.

Плоскость,проходящая через центр шара,называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом,а сечение сферы - большой окружностью. Сечение шара

Закрепляем Решите задачу № 573, №574 (а)

Уравнение сферы в прямоугольной системе координат M(x;y;z)-произвольная точка, принадлежащая сфере. /MC/= v(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 т.к. MC=R, то (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2

Задание 1.Найдите координаты центра и радиуса сферы, заданной уравнением: x?+y?+z?=49 (X-3)?+(y+2)?+z?=2 2. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если A(2;-4;7) R=3 A(0;0;0) R=v2 A(2;0;0) R=4 3. Решите задачу №577(а)

Взаимное расположение сферы и плоскости Обозначим радиус сферы буквой R, а расстояние от ее центра до плоскости?-буквой d. Введем систему координат так, чтобы плоскость Oxy совпадала с плоскостью?, а центр С сферы лежал на положительной полуоси Oz.

В этой системе координат точка C (о;о;d), поэтому сфера имеет уравнение x2+y2+(z-d)2=R? Плоскость совпадает с координатной плоскостью Oxy, и поэтому ее уравнение имеет вид z=0

Таким образом вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений. Подставив z=0 во второе уравнение, получим x?+y?=R?-d? Возможны 3 случая:

x?+y?=R?-d? Если d>R, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

x?+y?=R?-d? Если d=R, то сфера и плоскость именуют только одну общую точку. В этом случае? называют касательной плоскостью к сфере

x?+y?=R?-d? Если d

Закрепляем Решите задачу №580, №581

Касательная плоскость к сфере Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания А плоскости и сферы.

Теорема:Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. Доказательство: Рассмотрим плоскость?, касающуюся сферы с центром О в точке А. Докажем, что ОА перпендикулярен?. Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости?, и, следовательно расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Это противоречит тому, что-касательная, т.е. сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Полученное противоречие доказывает, что ОА перпендикулярен?.

Обратная теорема:Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Закрепляем Решите задачу № 592

Площадь сферы Сферу нельзя развернуть на плоскость! Описанным около сферы многогранником называется многогранник, всех граней которого которого касается сфера. Сфера называется вписанной в многогранник

Задание: Площадь сечения сферы, проходящего через её центр, равна 9м2. Найдите площадь сферы. Решение: Сечение, проходящее через центр сферы есть окружность. Sсеч =?r2, 9= ?R2, R=v9/? . Sсферы=4 ?r2 , Sсферы=4? · 9/? =36м2

Плоскость,проходящая через центр шара,называется диаметральной плоскостью.Плоскость,проходящая через центр шара,называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом,а сечение сферы - большой окружностью.Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом,а сечение сферы - большой окружностью.

X²+y²=R²-d² Если d>R, то сфера и плоскость не имеют общих точек. R, то сфера и плоскость не имеют общих точек."> R, то сфера и плоскость не имеют общих точек."> R, то сфера и плоскость не имеют общих точек." title="x²+y²=R²-d² Если d>R, то сфера и плоскость не имеют общих точек."> title="x²+y²=R²-d² Если d>R, то сфера и плоскость не имеют общих точек.">

Касательная плоскость к сфере касательной плоскостью к сфереПлоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, точкой касания А плоскости и сферы.а их общая точка называется точкой касания А плоскости и сферы.

Теорема: Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. Доказательство: Рассмотрим плоскость α, касающуюся сферы с центром О в точке А. Докажем, что ОА перпендикулярен α. Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости α, и, следовательно расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Это противоречит тому, что-касательная, т.е. сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Полученное противоречие доказывает, что ОА перпендикулярен α.