Izračunamo vsoto kotov in površino paralelograma: lastnosti in značilnosti. Opredelitev paralelograma in njegovih lastnosti Dokaz lastnosti nasprotnih stranic in kotov paralelograma

Tema lekcije

• Lastnosti diagonal paralelograma.

Cilji lekcije

• Seznanite se z novimi definicijami in se spomnite nekaterih že preučenih.
• Navedi in dokaži lastnost diagonal paralelograma.
• Naučite se uporabiti lastnosti oblik pri reševanju nalog.
• Razvojni - razviti pozornost učencev, vztrajnost, vztrajnost, logično razmišljanje, matematični govor.
• Izobraževalni - skozi lekcijo gojite pozoren odnos drug do drugega, vcepljajte sposobnost poslušanja tovarišev, medsebojne pomoči in neodvisnosti.

Cilji lekcije

• Preizkusite sposobnosti študentov za reševanje problemov.

Učni načrt

1. Uvod.
2. Ponavljanje predhodno preučene snovi.
3. Paralelogram, njegove lastnosti in značilnosti.
4. Primeri nalog.
5. Samopreverjanje.

Uvod

"Veliko znanstveno odkritje nudi rešitev za velik problem, vendar je v rešitvi vsakega problema zrno odkritja."

Lastnost nasprotnih stranic paralelograma

Paralelogram ima nasprotni stranici, ki sta enaki.

Dokaz.

Naj bo ABCD dani paralelogram. In naj se njegovi diagonali sekata v točki O.
Ker je Δ AOB = Δ COD po prvem kriteriju enakosti trikotnikov (∠ AOB = ∠ COD, kot navpičnih, AO=OC, DO=OB, po lastnosti diagonal paralelograma), potem je AB=CD. Enako iz enakosti trikotnikov BOC in DOA sledi BC = DA. Izrek je dokazan.

Lastnost nasprotnih kotov paralelograma

V paralelogramu sta nasprotna kota enaka.

Dokaz.

Naj bo ABCD dani paralelogram. In naj se njegovi diagonali sekata v točki O.
Iz dokazanega v izreku o lastnostih nasprotnih stranic paralelograma Δ ABC = Δ CDA na treh stranicah (AB=CD, BC=DA iz dokazanega, AC – splošno). Iz enakosti trikotnikov sledi ∠ ABC = ∠ CDA.
Dokazano je tudi, da je ∠ DAB = ∠ BCD, kar sledi iz ∠ ABD = ∠ CDB. Izrek je dokazan.

Lastnost diagonal paralelograma

Diagonali paralelograma se sekata in v presečni točki razpolovita.

Dokaz.

Naj bo ABCD dani paralelogram. Narišimo diagonalo AC. Na njej označimo sredino O. Na nadaljevanju odseka DO odložimo odsek OB 1, ki je enak DO.
Po prejšnjem izreku je AB 1 CD paralelogram. Zato je premica AB 1 vzporedna z DC. Toda skozi točko A lahko narišemo samo eno premico, vzporedno z DC. To pomeni, da premica AB 1 sovpada z premico AB.
Dokazano je tudi, da BC 1 sovpada s BC. To pomeni, da točka C sovpada s C 1. paralelogram ABCD sovpada s paralelogramom AB 1 CD. Posledično se diagonali paralelograma sekata in v presečišču razpolovita. Izrek je dokazan.

V učbenikih za redne šole (na primer v Pogorelovu) je dokazano takole: diagonale delijo paralelogram na 4 trikotnike. Razmislimo o enem paru in ugotovimo - enaka sta: njuni osnovi sta nasprotni strani, ustrezni koti, ki mejijo nanjo, so enaki, kot navpični koti z vzporednimi črtami. To pomeni, da so segmenti diagonal v parih enaki. Vse.

Je to vse?
Zgoraj je bilo dokazano, da presečišče razpolavlja diagonali - če obstaja. Zgornje sklepanje nikakor ne dokazuje njegovega obstoja. To pomeni, da del izreka "diagonali paralelograma se sekata" ostaja nedokazan.

Smešno je, da je ta del veliko težje dokazati. Mimogrede, to izhaja iz bolj splošnega rezultata: pri vsakem konveksnem štirikotniku se bodo diagonale sekale, pri katerem koli nekonveksnem štirikotniku pa ne.

O enakosti trikotnikov vzdolž stranice in dveh sosednjih kotov (drugi znak enakosti trikotnikov) in drugi.

Thales je našel pomembno praktično uporabo izreka o enakosti dveh trikotnikov vzdolž stranice in dveh sosednjih kotov. V pristanišču v Miletu so zgradili merilnik razdalje za določanje razdalje do ladje na morju. Sestavljen je bil iz treh zabitih količkov A, B in C (AB = BC) in označene premice SC, pravokotne na CA. Ko se je na premici SK pojavila ladja, smo našli točko D tako, da so bile točke D, .B in E na isti premici. Kot je razvidno iz risbe, je razdalja CD na tleh želena razdalja do ladje.

Vprašanja

1. Ali so diagonale kvadrata razdeljene na pol s presečiščem?
   
2. Ali sta diagonali paralelograma enaki?
3. Ali sta nasprotna kota paralelograma enaka?
4. Navedite definicijo paralelograma?
5. Koliko znakov ima paralelogram?
   
6. Ali je romb lahko paralelogram?
   

Seznam uporabljenih virov

1. Kuznetsov A.V., učitelj matematike (5-9 razred), Kijev
2. “Enotni državni izpit 2006. Matematika. Izobraževalna in izobraževalna gradiva za pripravo študentov / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. Mazur K. I. "Reševanje glavnih tekmovalnih problemov v matematiki zbirke, ki jo je uredil M. I. Skanavi"
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometrija, 7 - 9: učbenik za izobraževalne ustanove"

Delali smo na lekciji

Kuznecov A.V.

Poturnak S.A.

Evgenij Petrov

Lahko postavite vprašanje o sodobnem izobraževanju, izrazite idejo ali rešite pereč problem na Izobraževalni forum, kjer se mednarodno srečuje izobraževalni svet sveže misli in delovanja. Ob ustvarjanju blog, Ne boste samo izboljšali svojega statusa kompetentnega učitelja, temveč boste pomembno prispevali k razvoju šole prihodnosti. Ceh izobraževalnih voditeljev odpira vrata vrhunskim strokovnjakom in jih vabi k sodelovanju pri ustvarjanju najboljših šol na svetu.

Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotni strani sta v parih vzporedni. Že ta definicija zadostuje, saj iz nje sledijo preostale lastnosti paralelograma in so dokazane v obliki izrekov.

Glavne lastnosti paralelograma so:

• paralelogram je konveksen štirikotnik;
• Paralelogram ima nasprotne stranice, ki so v parih enake;
• V paralelogramu sta nasprotna kota v parih enaka;
• Diagonali paralelograma sta razdeljeni na pol s točko presečišča.

Paralelogram - konveksni štirikotnik

Najprej dokažimo izrek, da paralelogram je konveksen štirikotnik. Mnogokotnik je konveksen, če katera koli njegova stran je razširjena v premico, bodo vse druge strani mnogokotnika na isti strani te premice.

Podan je paralelogram ABCD, v katerem je AB nasprotna stran CD, BC pa nasprotna stranica AD. Potem iz definicije paralelograma sledi AB || CD, BC || A.D.

Vzporedna odseka nimata skupnih točk in se ne sekata. To pomeni, da CD leži na eni strani od AB. Ker odsek BC povezuje točko B odseka AB s točko C odseka CD, odsek AD pa povezuje drugi točki AB in CD, ležita tudi odsek BC in AD na isti strani premice AB, kjer leži CD. Tako vse tri stranice - CD, BC, AD - ležijo na isti strani od AB.

Podobno je dokazano, da glede na druge stranice paralelograma ostale tri stranice ležijo na isti strani.

Nasprotni stranici in koti so enaki

Ena od lastnosti paralelograma je, da V paralelogramu so nasprotne stranice in nasprotni koti v parih enaki. Na primer, če je podan paralelogram ABCD, potem ima AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Ta izrek je dokazan na naslednji način.

Paralelogram je štirikotnik. To pomeni, da ima dve diagonali. Ker je paralelogram konveksen štirikotnik, ga vsak izmed njih razdeli na dva trikotnika. V paralelogramu ABCD poglejmo trikotnika ABC in ADC, ki jih dobimo, če narišemo diagonalo AC.

Ti trikotniki imajo eno skupno stranico - AC. Kot BCA je enak kotu CAD, kot sta navpični, ko sta BC in AD vzporedna. Tudi kota BAC in ACD sta enaka navpičnim kotom, če sta AB in CD vzporedna. Zato je ∆ABC = ∆ADC pri dveh kotih in stranici med njima.

V teh trikotnikih stranica AB ustreza strani CD, stranica BC pa AD. Zato je AB = CD in BC = AD.

Kot B ustreza kotu D, tj. ∠B = ∠D. Kot A paralelograma je vsota dveh kotov - ∠BAC in ∠CAD. Kot C je enak ∠BCA in ∠ACD. Ker so pari kotov med seboj enaki, potem je ∠A = ∠C.

Tako je dokazano, da so v paralelogramu nasprotne stranice in koti enaki.

Diagonale so razdeljene na pol

Ker je paralelogram konveksen štirikotnik, ima dve diagonali, ki se sekata. Naj bo podan paralelogram ABCD, njegovi diagonali AC in BD se sekata v točki E. Upoštevajte trikotnika ABE in CDE, ki ju tvorita.

Ti trikotniki imajo stranice AB in CD enake nasprotnim stranicam paralelograma. Kot ABE je enak kotu CDE, ki navzkrižno leži z vzporednima premicama AB in CD. Iz istega razloga je ∠BAE = ∠DCE. To pomeni ∆ABE = ∆CDE pri dveh kotih in stranici med njima.

Opazite lahko tudi, da sta kota AEB in CED navpična in zato tudi med seboj enaka.

Ker sta trikotnika ABE in CDE med seboj enaka, so vsi njuni ustrezni elementi enaki. Stranica AE prvega trikotnika ustreza strani CE drugega, kar pomeni AE = CE. Podobno BE = DE. Vsak par enakih odsekov sestavlja diagonalo paralelograma. Tako je dokazano, da Diagonali paralelograma sta razpolovljeni s presečiščem.

Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotni stranici sta vzporedni, to pomeni, da ležita na vzporednih premicah (slika 1).

1. izrek. O lastnostih stranic in kotov paralelograma. V paralelogramu sta nasprotni stranici enaki, nasprotni koti enaki in vsota kotov, ki mejijo na eno stran paralelograma, je 180°.

Dokaz. V ta paralelogram ABCD narišemo diagonalo AC in dobimo dva trikotnika ABC in ADC (slika 2).

Ti trikotniki so enaki, saj je ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (križni koti za vzporedne premice), stranica AC pa je skupna. Iz enakosti Δ ABC = Δ ADC sledi, da je AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Vsota kotov, ki mejijo na eno stran, na primer kota A in D, je kot enostranica enaka 180°. za vzporedne črte. Izrek je dokazan.

Komentiraj. Enakost nasprotnih stranic paralelograma pomeni, da so odseki vzporednic, ki jih odsekajo vzporednice, enaki.

Posledica 1. Če sta premici vzporedni, so vse točke na eni premici enako oddaljene od druge premice.

Dokaz. Dejansko naj || b (slika 3).

Iz nekih dveh točk B in C premice b potegnemo navpičnici BA in CD na premico a. Ker je AB || CD, potem je lik ABCD paralelogram, zato je AB = CD.

Razdalja med dvema vzporednima premicama je razdalja od poljubne točke na eni od premic do druge premice.

Glede na to, kar je bilo dokazano, je enaka dolžini navpičnice, ki poteka iz neke točke ene od vzporednih premic na drugo premico.

Primer 1. Obseg paralelograma je 122 cm. Ena njegova stranica je za 25 cm večja od druge. Poišči stranice paralelograma.

rešitev. Po izreku 1 sta nasprotni stranici paralelograma enaki. Eno stran paralelograma označimo z x, drugo pa z y. Nato po pogoju $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Če rešimo ta sistem, dobimo x = 43, y = 18 Tako so stranice paralelograma 18, 43, 18 in 43 cm.

Primer 2.

rešitev. Naj slika 4 izpolnjuje pogoje problema.

Označimo AB z x, BC pa z y. Glede na pogoj je obseg paralelograma 10 cm, to je 2(x + y) = 10 ali x + y = 5. Obseg trikotnika ABD je 8 cm. In ker je AB + AD = x + y = 5 potem BD = 8 - 5 = 3. Torej BD = 3 cm.

Primer 3. Poiščite kote paralelograma, pri čemer veste, da je eden od njiju za 50° večji od drugega.

rešitev. Naj slika 5 izpolnjuje pogoje problema.

Označimo stopinjsko mero kota A z x. Potem je stopinjska mera kota D x + 50°.

Kota BAD in ADC sta enostranska notranja kota z vzporednima premicama AB in DC ter sekanto AD. Potem bo vsota teh imenovanih kotov 180°, tj.
x + x + 50° = 180° ali x = 65°. Tako je ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Primer 4. Stranici paralelograma sta 4,5 dm in 1,2 dm. Iz vrha ostrega kota narišemo simetralo. Na katere dele deli večjo stranico paralelograma?

rešitev. Naj slika 6 izpolnjuje pogoje problema.

AE je simetrala ostrega kota paralelograma. Zato je ∠ 1 = ∠ 2.

Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotni strani sta v parih vzporedni. Površina paralelograma je enaka produktu njegove osnove (a) in višine (h). Njegovo ploščino lahko najdete tudi skozi dve stranici in kot ter skozi diagonale.

Lastnosti paralelograma

1. Nasprotni stranici sta enaki

Najprej narišimo diagonalo \(AC\) . Dobimo dva trikotnika: \(ABC\) in \(ADC\).

Ker je \(ABCD\) paralelogram, velja naslednje:

\(AD || BC \Desna puščica \kot 1 = \kot 2\) kot bi ležal navzkriž.

\(AB || CD \desna puščica \angle3 = \angle 4\) kot bi ležal navzkriž.

Zato (glede na drugo merilo: in \(AC\) je skupno).

In to pomeni \(\trikotnik ABC = \trikotnik ADC\), potem \(AB = CD\) in \(AD = BC\) .

2. Nasprotna kota sta enaka

Glede na dokaz lastnosti 1 To vemo \(\kot 1 = \kot 2, \kot 3 = \kot 4\). Tako je vsota nasprotnih kotov: \(\kot 1 + \kot 3 = \kot 2 + \kot 4\). Glede na to \(\trikotnik ABC = \trikotnik ADC\) dobimo \(\kot A = \kot C \) , \(\kot B = \kot D \) .

3. Diagonale deli presečišče na pol

Avtor: lastnina 1 vemo, da sta nasprotni stranici enaki: \(AB = CD\) . Še enkrat bodite pozorni na navzkrižno ležeče enake kote.

Tako je jasno, da \(\trikotnik AOB = \trikotnik COD\) po drugem znaku enakosti trikotnikov (dva kota in stranica med njima). To je \(BO = OD\) (nasproti kotov \(\kot 2\) in \(\kot 1\) ) in \(AO = OC\) (nasproti kotov \(\kot 3\) in \( \kot 4\) oziroma).

Znaki paralelograma

Če je v vašem problemu prisotna samo ena značilnost, potem je slika paralelogram in lahko uporabite vse lastnosti te figure.

Za boljše pomnjenje upoštevajte, da bo znak paralelograma odgovoril na naslednje vprašanje - "kako ugotoviti?". To je, kako ugotoviti, da je določena figura paralelogram.

1. Paralelogram je štirikotnik, katerega strani sta enaki in vzporedni

\(AB = CD\) ; \(AB || CD \desna puščica ABCD\)- paralelogram.

Pa poglejmo pobliže. Zakaj \(AD || BC \)?

\(\trikotnik ABC = \trikotnik ADC\) Avtor: lastnina 1: \(AB = CD \) , \(\kot 1 = \kot 2 \), ki leži navzkrižno, ko sta \(AB \) in \(CD \) ter sekanta \(AC \) vzporedna.

Ampak če \(\trikotnik ABC = \trikotnik ADC\), potem \(\kot 3 = \kot 4 \) (ležita nasproti \(AD || BC \) (\(\kota 3 \) in \(\kota 4 \) - tista, ki ležita navzkrižno, sta prav tako enaka).

Prvi znak je pravilen.

2. Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotni stranici sta enaki

\(AB = CD \) , \(AD = BC \desna puščica ABCD \) je paralelogram.

Razmislimo o tem znaku. Ponovno narišimo diagonalo \(AC\).

Avtor: lastnina 1\(\trikotnik ABC = \trikotnik ACD\).

Sledi, da: \(\kot 1 = \kot 2 \desna puščica AD || BC \) in \(\kot 3 = \kot 4 \Desna puščica AB || CD \), to pomeni, da je \(ABCD\) paralelogram.

Drugi znak je pravilen.

3. Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotna kota sta enaka

\(\kot A = \kot C\) , \(\kot B = \kot D \Desna puščica ABCD\)- paralelogram.

\(2 \alfa + 2 \beta = 360^(\circ) \)(ker \(\kot A = \kot C\) , \(\kot B = \kot D\) po pogoju).

Izkazalo se je, . Toda \(\alpha \) in \(\beta \) sta notranja enostranska v sekanti \(AB \) .

In kaj \(\alfa + \beta = 180^(\circ) \) pravi tudi, da \(AD || BC \) .

Dokaz

Najprej narišimo diagonalo AC. Dobimo dva trikotnika: ABC in ADC.

Ker je ABCD paralelogram, velja naslednje:

AD || BC \Desna puščica \kot 1 = \kot 2 kot bi ležal navzkriž.

AB || CD\desna puščica\kot3 =\kot 4 kot bi ležal navzkriž.

Zato je \trikotnik ABC = \trikotnik ADC (po drugem kriteriju: in AC je skupen).

In torej \trikotnik ABC = \trikotnik ADC, potem je AB = CD in AD = BC.

Dokazano!

2. Nasprotna kota sta enaka.

Dokaz

Glede na dokaz lastnosti 1 To vemo \kot 1 = \kot 2, \kot 3 = \kot 4. Tako je vsota nasprotnih kotov: \kot 1 + \kot 3 = \kot 2 + \kot 4. Ob upoštevanju, da \trikotnik ABC = \trikotnik ADC dobimo \kotnik A = \kotnik C , \kotnik B = \kotnik D .

Dokazano!

3. Diagonali sta razdeljeni na pol s presečiščem.

Dokaz

Narišimo še eno diagonalo.

Avtor: lastnina 1 vemo, da sta nasprotni stranici enaki: AB = CD. Še enkrat bodite pozorni na navzkrižno ležeče enake kote.

Tako je jasno, da je \trikotnik AOB = \trikotnik COD po drugem kriteriju enakosti trikotnikov (dva kota in stranica med njima). To pomeni, da je BO = OD (nasproti kotov \kota 2 in \kota 1) in AO = OC (nasproti vogalov \kota 3 oziroma \kota 4).

Dokazano!

Znaki paralelograma

Če je v vašem problemu prisotna samo ena značilnost, potem je slika paralelogram in lahko uporabite vse lastnosti te figure.

Za boljše pomnjenje upoštevajte, da bo znak paralelograma odgovoril na naslednje vprašanje - "kako ugotoviti?". To je, kako ugotoviti, da je določena figura paralelogram.

1. Paralelogram je štirikotnik, katerega strani sta enaki in vzporedni.

AB = CD; AB || CD\desna puščica ABCD je paralelogram.

Dokaz

Pa poglejmo pobliže. Zakaj AD || pr.n.št.?

\trikotnik ABC = \trikotnik ADC s lastnina 1: AB = CD, AC - skupni in \kotnik 1 = \kotnik 2, ki leži navzkrižno z vzporednikoma AB in CD ter sekanto AC.

Če pa \trikotnik ABC = \trikotnik ADC , potem je \kotnik 3 = \kotnik 4 (leži nasproti AB oziroma CD). In torej AD || BC (\kota 3 in \kota 4 - enaka sta tudi navzkrižno ležeča).

Prvi znak je pravilen.

2. Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotni stranici sta enaki.

AB = CD, AD = BC \desna puščica ABCD je paralelogram.

Dokaz

Razmislimo o tem znaku. Ponovno narišimo diagonalo AC.

Avtor: lastnina 1\trikotnik ABC = \trikotnik ACD .

Sledi, da: \kot 1 = \kot 2 \desna puščica AD || B.C. in \kot 3 = \kot 4 \Desna puščica AB || CD, to pomeni, da je ABCD paralelogram.

Drugi znak je pravilen.

3. Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotna kota sta enaka.

\kot A = \kot C , \kot B = \kot D \desna puščica ABCD- paralelogram.

Dokaz

2 \alfa + 2 \beta = 360^(\circ)(ker je ABCD štirikotnik in \kotnik A = \kotnik C , \kotnik B = \kotnik D po pogoju).

Izkazalo se je, da je \alpha + \beta = 180^(\circ) . Toda \alpha in \beta sta notranja enostranska na sekanti AB.

In dejstvo, da \alpha + \beta = 180^(\circ), pomeni tudi, da AD || B.C.

Poleg tega sta \alpha in \beta notranja enostranska na sekanti AD. In to pomeni AB || CD.

Tretji znak je pravilen.

4. Paralelogram je štirikotnik, katerega diagonale deli presečišče na pol.

AO = OC ; BO = OD\desna puščica paralelogram.

Dokaz

BO = OD; AO = OC , \kot 1 = \kot 2 kot navpičnica \Desna puščica \trikotnik AOB = \trikotnik COD, \Desna puščica \kot 3 = \kot 4, in \Rightarrow AB || CD.

Podobno BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8 in \Rightarrow AD || B.C.

Četrti znak je pravilen.