Enačbe ravnih in sferičnih valov. Enačba ravninskega potujočega vala Odlomek, ki označuje ravninski val

Nihajni proces, ki se v mediju širi v obliki valovanja, katerega sprednja stran je letalo, poklical ravninski zvočni val. V praksi lahko ravninski val tvori vir, katerega linearne dimenzije so velike v primerjavi z dolgo valovno dolžino, ki jo oddaja, in če se območje valovnega polja nahaja na dovolj veliki razdalji od njega. Toda tako je v neomejenem okolju. Če vir ograjena kakršna koli ovira, potem je klasičen primer ravnega vala nihanje, ki ga vzbuja tog, neupogljiv bat v dolgi cevi (valovodu) s togimi stenami, če je premer bata bistveno manjši od dolžine oddanih valov. Zaradi togih sten se sprednja površina v cevi ne spremeni, ko se valovanje širi po valovodu (glej sliko 3.3). Zanemarjamo izgube zvočne energije zaradi absorpcije in disipacije v zraku.

Če emitor (bat) niha po harmoničnem zakonu s frekvenco
in so dimenzije bata (premer valovoda) bistveno manjše od zvočne valovne dolžine, potem je tlak, ustvarjen blizu njegove površine
. Očitno od daleč X pritisk bo
, Kje
– čas potovanja vala od emitorja do točkex. Ta izraz je bolj priročno zapisati kot:
, Kje
- valovno število širjenja valov. delo
- določen fazni zamik nihajnega procesa v za razdaljo oddaljeni točki X od oddajnika.

Če nadomestimo dobljeni izraz v enačbo gibanja (3.1), slednjo integriramo glede na nihajno hitrost:

(3.8)

Na splošno se za poljubni trenutek izkaže, da:

. (3.9)

Desna stran izraza (3.9) je značilni, valovni ali specifični zvočni upor medija (impedanca). Sama enačba (3.) se včasih imenuje akustični "Ohmov zakon". Kot izhaja iz rešitve, dobljena enačba velja v polju ravninskega vala. Tlak in hitrost nihanja v fazi, ki je posledica čisto aktivnega upora medija.

Primer: Največji tlak v ravnem valu
oče Določite amplitudo premikanja zračnih delcev s frekvenco?

Rešitev: Ker , potem:

Iz izraza (3.10) sledi, da je amplituda zvočnih valov zelo majhna, vsaj v primerjavi z velikostjo samih zvočnih virov.

Poleg skalarnega potenciala, tlaka in nihajne hitrosti zvočno polje označujejo tudi energijske značilnosti, med katerimi je najpomembnejša intenziteta - vektor gostote pretoka energije, ki jo prenaša val na časovno enoto. A-prednost
- je rezultat produkta zvočnega tlaka in hitrosti nihanja.

Če v mediju ni izgub, se ravninski val teoretično lahko širi brez slabljenja na poljubno velike razdalje, ker ohranitev ravne oblike sprednjega dela kaže na odsotnost "divergence" vala in s tem na odsotnost slabljenja. Situacija je drugačna, če ima val ukrivljeno fronto. Takšni valovi vključujejo predvsem sferične in cilindrične valove.

3.1.3. Modeli valov z neravninsko fronto

Za sferično valovanje je površina enakih faz krogla. Vir takega valovanja je tudi krogla, katere vse točke nihajo z enakimi amplitudami in fazami, središče pa ostane nepremično (glej sliko 3.4, a).

Sferično valovanje opisuje funkcija, ki je rešitev valovne enačbe v sferičnem koordinatnem sistemu za potencial valovanja, ki se širi od vira:

. (3.11)

Če delamo po analogiji z ravnim valom, lahko pokažemo, da je na razdaljah od vira zvoka dolžina preučevanih valov znatno večja:
. To pomeni, da tudi v tem primeru velja akustični "Ohmov zakon". V praktičnih razmerah sferične valove vzbujajo predvsem kompaktni viri poljubne oblike, katerih dimenzije so bistveno manjše od dolžine vzbujenega zvočnega ali ultrazvočnega valovanja. Z drugimi besedami, "točkovni" vir oddaja pretežno sferične valove. Na velikih razdaljah od vira ali, kot pravijo, v "daljnem" območju se sferični val glede na odseke valovne fronte z omejeno velikostjo obnaša kot ravni val ali, kot pravijo: "degenerira v ravninski val." Zahteve za majhno območje ne določajo le pogostost, temveč
- razlika v razdaljah med primerjanimi točkami. Upoštevajte, da ta funkcija
ima funkcijo:
pri
. To povzroča določene težave pri strogem reševanju problemov uklona, ​​povezanih s sevanjem in sipanjem zvoka.

Valjaste valove (površina fronte valov je valj) oddaja neskončno dolg pulzirajoči valj (glej sliko 3.4).

V oddaljenem območju se izraz za potencialno funkcijo takega vira asimptotično nagiba k izrazu:


. (3.12)

Lahko se pokaže, da tudi v tem primeru razmerje velja
. Cilindrični valovi, kot sferični, v oddaljenem območju degeneriran v ravne valove.

Oslabitev elastičnih valov med širjenjem ni povezana le s spremembo ukrivljenosti valovne fronte ("divergenca" vala), temveč tudi s prisotnostjo "slabljenja", tj. oslabitev zvoka. Formalno lahko prisotnost slabljenja v mediju opišemo s predstavitvijo valovnega števila kot kompleksnega
. Potem lahko na primer za ravninski tlačni val dobimo: R(x, t) = p maks
=
.

Vidimo lahko, da realni del kompleksnega valovnega števila opisuje prostorsko potujoče valovanje, imaginarni del pa označuje oslabitev valovanja v amplitudi. Zato se vrednost  imenuje atenuacijski (dušilni) koeficient,  je dimenzijska vrednost (Neper/m). En "Naper" ustreza spremembi amplitude valov za "e"-krat, ko se fronta valov premakne na enoto dolžine. V splošnem primeru je slabljenje določeno z absorpcijo in sipanjem v mediju:  =  absorbira +  dis. Te učinke določajo različni razlogi in jih je mogoče obravnavati ločeno.

Na splošno je absorpcija povezana z nepopravljivimi izgubami zvočne energije, ko se ta pretvori v toploto.

Sipanje je povezano s preusmeritvijo dela energije vpadnega vala v druge smeri, ki ne sovpadajo z vpadnim valom.

Ta funkcija mora biti periodična tako glede na čas kot glede na koordinate (val je razširjajoče se nihanje, torej periodično ponavljajoče se gibanje). Poleg tega točke, ki se nahajajo na razdalji l druga od druge, vibrirajo na enak način.

Enačba ravnih valov

Poiščimo obliko funkcije x v primeru ravnega vala ob predpostavki, da so nihanja harmonične narave.

Usmerimo koordinatni osi tako, da os x sovpada s smerjo širjenja valov. Takrat bo valovna površina pravokotna na os x. Ker vse točke valovne površine nihajo enako, bo premik x odvisen le od X in t: . Naj ima nihanje točk, ki ležijo v ravnini, obliko (v začetni fazi)

Poiščimo vrsto nihanja delcev v ravnini, ki ustreza poljubni vrednosti x. Da grem na pot x, traja.

torej nihanje delcev v ravninixbo zaostal za časomtod nihanja delcev v ravnini, tj.

,

(5.2.3)

- To enačba ravnih valov.

Torej x Tukaj je pristranskost katero koli točko s koordinatoxv določenem trenutkut. Pri izpeljavi smo predpostavili, da je amplituda nihanja . To se zgodi, če medij ne absorbira valovne energije.

Enačba (5.2.3) bo imela enako obliko, če se vibracije širijo vzdolž osi l oz z.

Na splošno enačba ravnih valov je napisano takole:

Izraza (5.2.3) in (5.2.4) sta enačbe potujočega vala .

Enačba (5.2.3) opisuje valovanje, ki se širi v smeri naraščanja x. Val, ki se širi v nasprotni smeri, ima obliko:

.

Valovno enačbo lahko zapišemo še v drugi obliki.

Predstavimo se valovno število , ali v vektorski obliki:

kjer je valovni vektor in je normala na valovno površino.

Od takrat . Od tod. Potem enačba ravnih valov bo zapisano takole:

.

(5.2.6)

Sferična valovna enačba

Valovanje odvisno od ene prostorske koordinate

Animacija

Opis

V ravninskem valu vse točke medija, ki ležijo v kateri koli ravnini, pravokotni na smer širjenja valovanja, v vsakem trenutku ustrezajo enakim premikom in hitrostim delcev medija. Tako so vse količine, ki označujejo ravni val, funkcije časa in samo ene koordinate, na primer x, če os Ox sovpada s smerjo širjenja valov.

Valovna enačba za longitudinalni ravninski val ima obliko:

d 2 j / dx 2 = (1/c 2 ) d 2 j / dt 2 . (1)

Njegova splošna rešitev je izražena takole:

j = f 1 (ct - x)+f 2 (ct + x), (2)

kjer je j potencial ali druga količina, ki označuje valovno gibanje medija (premik, hitrost premika itd.);

c je hitrost širjenja valov;

f 1 in f 2 sta poljubni funkciji, pri čemer prvi člen (2) opisuje ravninski val, ki se širi v pozitivni smeri osi Ox, drugi pa v nasprotni smeri.

Valovne ploskve ali geometrijske lokacije točk v mediju, kjer ima v danem trenutku faza valovanja enako vrednost, za PV predstavljajo sistem vzporednih ravnin (slika 1).

Valovne površine ravnega vala

riž. 1

V homogenem izotropnem mediju so valovne površine ravnega vala pravokotne na smer širjenja valov (smer prenosa energije), imenovano žarek.

Časovne značilnosti

Začetni čas (log do -10 do 1);

Življenjska doba (log tc od -10 do 3);

Čas razgradnje (log td od -10 do 1);

Čas optimalnega razvoja (log tk od -3 do 1).

Diagram:

Tehnične izvedbe učinka

Tehnična izvedba učinka

Strogo gledano, noben pravi val ni ravninski val, ker Ravni val, ki se širi vzdolž osi x, mora pokrivati ​​celotno območje prostora vzdolž koordinat y in z od -Ґ do +Ґ. Vendar pa je v mnogih primerih mogoče označiti del vala, omejen na y, z, kjer praktično sovpada z ravnim valom. Prvič, to je mogoče v homogenem izotropnem mediju na dovolj velikih razdaljah R od vira. Tako je za harmonično ravninsko valovanje faza v vseh točkah ravnine, ki je pravokotna na smer njegovega širjenja, enaka. Lahko se pokaže, da je mogoče vsako harmonično valovanje obravnavati kot ravno valovanje na odseku širine r<< (2R l )1/2 .

Uporaba učinka

Nekatere valovne tehnologije so najučinkovitejše pri aproksimaciji ravnih valov. Zlasti je prikazano, da med seizmoakustičnimi vplivi (z namenom povečanja pridobivanja nafte in plina) na naftne in plinske formacije, ki jih predstavljajo plastne geološke strukture, interakcija neposrednih in ravnih valovnih front, ki se odbijejo od meja plasti, povzroči pojav stoječi valovi, ki sprožijo postopno gibanje in koncentracijo ogljikovodikovih tekočin na antinodah stoječega vala (glejte opis FE »Stoječi valovi«).

PLOŠČA VAL

PLOŠČA VAL

Valovanje, katerega smer širjenja je na vseh točkah prostora enaka. Najenostavnejši primer je homogena enobarvna. neblažen P.v.:

u(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

kjer je A amplituda, j= wt±kz - , w=2p/T - krožna frekvenca, T - nihajna doba, k - . Konstantne fazne površine (fazne fronte) j=const P.v. so letala.

V odsotnosti disperzije, ko sta vph in vgr enaka in konstantna (vgr = vph = v), obstajajo stacionarna (tj. Gibljiva kot celota) tekoča linearna gibanja, ki omogočajo splošno predstavitev oblike:

u(z, t)=f(z±vt), (2)

kjer je f poljubna funkcija. V nelinearnih medijih z disperzijo so možni tudi stacionarni PV. tipa (2), vendar njihova oblika ni več poljubna, ampak je odvisna tako od parametrov sistema kot od narave gibanja. V absorbcijskih (disipativnih) medijih P. v. zmanjšati njihovo amplitudo, ko se širijo; pri linearnem dušenju je to mogoče upoštevati tako, da k v (1) nadomestimo s kompleksnim valovno število kd ± ikм, kjer je km koeficient. oslabitev P. v.

Homogen PV, ki zavzema celotno neskončnost, je idealizacija, toda vsako valovanje, koncentrirano v končnem območju (na primer, ki ga usmerjajo daljnovodi ali valovod), je mogoče predstaviti kot superpozicijo PV. z enim ali drugim prostorom. spekter k. V tem primeru ima val lahko še vedno ravno fazno fronto, vendar neenakomerno amplitudo. Takšna P. v. klical ravninski nehomogeni valovi. Nekatera območja so sferična. in cilindrični valovi, ki so majhni v primerjavi s polmerom ukrivljenosti fazne fronte, se obnašajo približno kot fazni val.

Fizični enciklopedični slovar. - M.: Sovjetska enciklopedija. . 1983 .

PLOŠČA VAL

- val, smer širjenja je na vseh točkah prostora enaka.

Kje A - amplituda, - faza, - krožna frekvenca, T - obdobje nihanja k- valovno število. = const P.v. so letala.
V odsotnosti disperzije, ko je fazna hitrost v f in skupina v gr so enaki in konstantni ( v gr = v f = v) obstajajo nepremični (tj. gibljivi kot celota), ki tečejo P. c., ki jih je mogoče predstaviti v splošni obliki

Kje f- poljubna funkcija. V nelinearnih medijih z disperzijo so možni tudi stacionarni PV. tipa (2), vendar njihova oblika ni več poljubna, ampak je odvisna tako od parametrov sistema kot od narave gibanja valov. V absorbcijskih (disipativnih) medijih P. k na kompleksnem valovnem številu k d vem m, kje k m - koeficient oslabitev P. v. Homogeno valovno polje, ki zavzema celotno neskončnost, je idealizacija, toda vsako valovno polje, koncentrirano v končnem območju (na primer usmerjeno daljnovodi oz valovodov), lahko predstavimo kot superpozicijo P. V. s takim ali drugačnim prostorskim spektrom k. V tem primeru ima lahko val še vedno ravno fazno fronto z neenakomerno porazdelitvijo amplitude. Takšna P. v. klical ravninski nehomogeni valovi. odd. področjasferična ali cilindrični valovi, ki so majhni v primerjavi s polmerom ukrivljenosti fazne fronte, se obnašajo približno kot PT.

Lit. glej pod čl. Valovi.

M. A. Miller, L. A. Ostrovski.

Fizična enciklopedija. V 5 zvezkih. - M.: Sovjetska enciklopedija. Glavni urednik A. M. Prohorov. 1988 .

: takšno valovanje v naravi ne obstaja, saj se fronta ravnega vala začne pri $-\backslash mathcal(1)$ in se konča ob $+\backslash mathcal(1)$, kar očitno ne more biti. Poleg tega bi ravninski val nosil neskončno moč in za ustvarjanje ravnih valov bi bila potrebna neskončna energija. Val s kompleksno (realno) fronto lahko predstavimo kot spekter ravnih valov z uporabo Fourierjeve transformacije v prostorskih spremenljivkah.

Kvaziravni val- val, katerega fronta je na omejenem območju skoraj ravna. Če so dimenzije območja dovolj velike za obravnavani problem, potem lahko kvaziravninski val približno obravnavamo kot ravninski. Valovanje s kompleksno fronto je mogoče aproksimirati z nizom lokalnih kvaziravninskih valov, katerih vektorji fazne hitrosti so normalni na pravo fronto v vsaki njeni točki. Primeri virov kvaziravninskih elektromagnetnih valov so laserske, zrcalne in lečne antene: porazdelitev faze elektromagnetnega polja v ravnini, vzporedni z odprtino (oddajno luknjo), je skoraj enakomerna. Ko se valovna fronta odmika od odprtine, dobi kompleksno obliko.

Opredelitev

Enačba katerega koli valovanja je rešitev diferencialne enačbe, imenovane val. Valovna enačba za funkcijo $A$ zapisana v obrazcu

$\backslash Delta\; A(\backslash vec(r),t)\; =\; \backslash frac\; (1)\; (v^2)\; \backslash ,\; \backslash frac\; (\backslash partial^2\; A(\backslash vec(r),t))\; (\backslash partial\; t^2)$ Kje

• $\backslash Delta$- Laplaceov operater;
• $A(\backslash vec(r),t)$- zahtevana funkcija;
• $r$- radius vektor želene točke;
• $v$- hitrost valovanja;
• $t$- čas.

Enodimenzionalni primer

Skupna energija je

$W\; =\; \backslash Delta\; W\_k\; +\; \backslash Delta\; W\_p\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash delno\; A)\; (\backslash delno\; t)\; \backslash desno)^2\; +\; v^2\; \backslash levo(\backslash \; cfrac(\backslash partial\; A)(\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; \backslash Delta\; V\; .$

Gostota energije je torej enaka

$\backslash omega\; =\; \backslash cfrac\; (W)\; (\backslash Delta\; V)\; =\; \backslash cfrac(\backslash rho)(2)\; \backslash bigg[\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash del\; A)\; (\backslash delta\; t)\; \backslash desno)^2\; +\; v^2\; \backslash left(\backslash cfrac\; (\backslash partial\; A)\; (\backslash partial\; (x))\; \backslash right)^2\; \backslash bigg]\; =\; \backslash rho\; A^2\; \backslash omega^2\; \backslash sin^2\; \backslash left(\backslash omega\; t\; -\; k\; x\; +\; \backslash varphi\_0\; \backslash prav)\; .$

Polarizacija

Napišite oceno o članku "Ravni val"

Literatura

• Saveljev I.V.[2. del. Valovi. Elastični valovi.] // Tečaj splošne fizike / Uredili Gladnev L.I., Mikhalin N.A., Mirtov D.A.. - 3. izd. - M.: Nauka, 1988. - T. 2. - P. 274-315. - 496 s. - 220.000 izvodov.

Opombe

Poglej tudi

Odlomek, ki označuje ravninski val

Na trgu, kamor je šel vladar, je na desni stal bataljon Preobraženskih vojakov iz oči v oči, na levi pa bataljon francoske garde v klobukih iz medvedje kože.
Medtem ko se je vladar približeval enemu boku bataljonov, ki so bili na straži, je druga množica konjenikov skočila na nasprotni bok in pred njimi je Rostov prepoznal Napoleona. Ne more biti nihče drug. Jezdil je v galopu v majhnem klobuku, z andrejevskim trakom čez ramo, v modri uniformi, odprti čez belo kamizolo, na nenavadnem čistokrvnem arabsko sivem konju, na škrlatnem, z zlatom vezenem sedlu. Ko se je približal Aleksandru, je dvignil klobuk in s tem gibom Rostovovo konjeniško oko ni moglo pomagati, da ne bi opazilo, da Napoleon slabo sedi in ni trdno na konju. Bataljoni so vzklikali: Hura in živel l "Empereur! [Živel cesar!] Napoleon je nekaj rekel Aleksandru. Oba cesarja sta stopila s konjev in se prijela za roke. Na Napoleonovem obrazu je bil neprijeten namišljen nasmeh. Aleksander je nekaj rekel ga z ljubečim izrazom.
Rostov je, ne da bi umaknil pogled, kljub teptanju konj francoskih žandarjev, ki so oblegali množico, spremljal vsako potezo cesarja Aleksandra in Bonaparteja. Presenetilo ga je dejstvo, da se je Aleksander z Bonapartejem obnašal enakovredno in da je bil Bonaparte popolnoma svoboden, kot da bi mu bila ta bližina z vladarjem naravna in domača, kot enakovrednega je obravnaval ruskega carja.
Aleksander in Napoleon sta se z dolgim ​​repom svojega spremstva približala desnemu boku Preobraženskega bataljona, neposredno proti množici, ki je tam stala. Množica se je nenadoma znašla tako blizu cesarjev, da se je Rostov, ki je stal v prvih vrstah, zbal, da ga bodo prepoznali.
"Sire, je vous demande la permission de donner la legion d"honneur au plus brave de vos soldats, [Sire, prosim za vaše dovoljenje, da podelim red legije časti najpogumnejšemu izmed vaših vojakov,] je rekel oster, natančen glas, dokončanje vsake črke. Govoril je kratek Bonaparte, ki je gledal naravnost v Aleksandrove oči, Aleksander je pozorno poslušal, kar je bilo rečeno, in sklonil glavo, se prijetno nasmejal.
»A celui qui s"est le plus vaillament conduit dans cette derieniere guerre, [Tistemu, ki se je med vojno izkazal za najpogumnejšega]," je dodal Napoleon in poudaril vsak zlog, z mirnostjo in samozavestjo, nezaslišano za Rostova, ter se ozrl po vrstah Rusov, raztegnjenih pred vojaki, držijo vse na straži in nepremično gledajo v obraz svojega cesarja.
»Votre majeste me permettra t elle de demander l"avis du colonel? [Vaše veličanstvo mi bo dovolilo vprašati polkovnikovo mnenje?]« je rekel Aleksander in naredil nekaj naglih korakov proti knezu Kozlovskemu, poveljniku bataljona. Medtem je Bonaparte začel jemati slekel svojo belo rokavico, majhno roko in jo raztrgal, jo vrgel noter. Adjutant, ki je naglo hitel naprej od zadaj, jo je pobral.
- Komu naj ga dam? – je cesar Aleksander vprašal Kozlovskega ne glasno, v ruščini.
- Komu naročate, vaše veličanstvo? »Cesar se je zdrznil od nezadovoljstva in se ozrl naokrog in rekel:
- Vendar mu moraš odgovoriti.
Kozlovski se je z odločnim pogledom ozrl nazaj na vrste in v tem pogledu ujel tudi Rostova.
"Ali nisem jaz?" je pomislil Rostov.
- Lazarev! – namrščeno poveljuje polkovnik; in prvi vojak, Lazarev, je pametno stopil naprej.
-Kam greš? Ustavi se tukaj! - glasovi so šepetali Lazarevu, ki ni vedel, kam naj gre. Lazarev se je ustavil, prestrašeno pogledal polkovnika in obraz mu je zatrepetal, kot se zgodi pri vojakih, ki so poklicani na fronto.
Napoleon je rahlo obrnil glavo nazaj in potegnil nazaj svojo majhno debelušno roko, kot da bi hotel nekaj vzeti. Obrazi njegovega spremstva, ki so v tistem trenutku slutili, kaj se dogaja, so se začeli mešati, šepetati, si nekaj pripovedovati, in paž, isti tisti, ki ga je Rostov videl včeraj pri Borisu, je stekel naprej in se spoštljivo sklonil. iztegnjeno roko in je ni pustil čakati niti sekunde, je vanjo vpisal ukaz na rdečem traku. Napoleon je, ne da bi pogledal, stisnil dva prsta. Red se je znašel med njima. Napoleon se je približal Lazarevu, ki je z zavijanjem oči trmasto gledal samo na svojega vladarja in se ozrl nazaj na cesarja Aleksandra, s čimer je pokazal, da to, kar zdaj počne, počne za svojega zaveznika. Majhna bela roka z ukazom se je dotaknila gumba vojaka Lazareva. Kot da bi Napoleon vedel, da je za to, da bi bil ta vojak za vedno srečen, nagrajen in odlikovan od vseh na svetu, potrebno samo to, da se je njegova, Napoleonova roka, vredna dotaknila vojakovih prsi. Napoleon je samo položil križ na prsi Lazareva in, ko je izpustil roko, se je obrnil k Aleksandru, kot da bi vedel, da se mora križ držati Lazarjevih prsi. Križ se je res zataknil.